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  • 在系统np中证明
    2018-01-11 21:31:08

    题目 : 练习题8.3

    证明: 首先,因为String SAT的解可以在多项式时间内验证,所以属于NP问题, 另外, 可以将SAT归约到STRING SAT(将k设置成总个数), 所以STRING SAT是NP完全问题

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    8.3

    STINGY SAT is the following problem: given a set of clauses (each a disjunction of literals) and an

    integer k, find a satisfying assignment in which at most k variables are true, if such an assignment

    exists. Prove that STINGY SAT is NP-complete.

    证明:

    由于可以在多项式时间内验证STINGY SAT的解,所以该问题属于NP问题。而将k设为所有变量的总数

    时,就可以将SAT规约到STINGY SAT,因此该问题为NP完全问题。

     


    8.8

    In the EXACT 4SAT problem, the input is a set of clauses, each of which is a disjunction of exactly

    four literals, and such that each variable occurs at most once in each clause. The goal is to find a

    satisfying assignment, if one exists. Prove that EXACT 4SAT is NP-complete.

    证明:

    由于可以在多项式时间内验证EXACT 4SAT的解,因此该问题属于NP问题。为证明其NP完全性,考虑

    通过将3SAT规约到EXACT 4SAT。对于任意一个3SAT实例,如果其中某个子句中包含同一个literal多次,

    那么可以把这个多次出现的literal缩减为一次;如果同时包含某个literal的肯定和否定,则可以去掉它。另

    外,可以在每个子句中添加一些哑变量(辅助变量,没有实际用处),这样就可以将每个子句中包含的

    literal的数目增加到四个。因此,该3SAT实例可以转化为一个EXACT 4SAT问题。因此,可以证明该问

    题是NP完全的。

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/pxy7896/p/7117207.html

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  • 8.3 吝啬SAT问题是这样的... 证明吝啬SAT问题是NP完全问题. 证明:  考虑将SAT归约为旅行商问题(TSP), 如果可以确定一条经过所有变量的路径, 且变量值为true的个数不超过k, 则存在这样的赋值, 反之, 则不存在; 证毕.

    8.3 吝啬SAT问题是这样的: 给定一组字句(每个句子都是其中文字的析取)和整数k, 求一个最多有k个变量为true的满足赋值, 如果该赋值存在. 证明吝啬SAT问题是NP完全问题.


    证明:

          考虑将SAT归约为旅行商问题(TSP), 如果可以确定一条经过所有变量的路径, 且变量值为true的个数不超过k, 则存在这样的赋值, 反之, 则不存在; 证毕.



    8.8 在精确的4SAT(EXACT 4SAT)问题中, 输入一组子句, 每个子句都是恰好4个文字的析取, 且每个变量最多在每个子句中出现一次. 目标是求它的满足赋值, 如果该赋值存在. 证明精确的4SAT是NP完全问题.


    证明:

           设3SAT的实例I, 且I的子句集为(a1 v a2 v a3)(a1’ v a2 v a3)...(a1‘ v a2’ v a3‘),共k个子句, 采用如下子句集代替:

    (a1 v a2 v a3 v y1)(a1' v a2 v a3 v y2)...(a1' v a2' v a3 v yk), yi是新增的变量, 记该4SAT的实例为I‘, 在该实例中, 假设变量x在m(m > 4)个子句中出现, 则将其第一次出现代替为x1, 第二次出现代替为x2, 第三次出现代替为x3, 以此类推. 并且增加一组子句(x1' v x2)(x2' v x3)...(xm' v x1).

          对所有重复超过4次的变量重复以上过程, 完成从3SAT到4SAT的归约. 因为3SAT是NP完全问题, 且3SAT可归约为4SAT, 所以4SAT是NP完全问题; 证毕.



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    NP-完全问题

    一、概述

    1.1 P问题

    如果一个问题可以找到一个能在多项式的时间里解决它的算法,那么这个问题就属于P问题,P(olynominal) 问题。

    1.2 NP问题

    能在多项式时间内验证给出的一个解的问题属于NP问题,Nondeterministic Polynominal,非确定性多项式问题。
    NP 问题不是非 P 类问题,NP问题的另一个定义是,可以在多项式的时间里猜出一个解的问题。之所以要定义NP问题,是因为通常只有 NP 问题才可能找到多项式时间复杂度的算法,因为我们不会指望一个连多项式地验证一个解都不行的问题存在一个解决它的多项式级的算法。
    NP 问题,实际上是在探讨 NP 问题与 P 问题的关系。
    很显然,所有的 P 问题都是 NP 问题,也就是说,能多项式地解决一个问题,必然能多项式时间内验证一个问题的解(既然正解都出来了,验证任意给定的解也只需要比较一下就可以了)。
    是否所有的 NP 问题都是 P 问题?我们可以用集合的观点来说明:如果把所有 P 类问题归为一个集合 P 中,把所有 NP 问题划进另一个集合 NP 中,那么,显然有P 属于 NP。现在,所有对 NP 问题的研究都集中在一个问题上,即究竟是否有 P=NP?在研究 NP 问题的过程中找出了一类非常特殊的 NP 问题叫做 NP-完全问题,也即所谓的 NPC 问题。正是 NPC 问题的存在,使人们相信 P≠NP。

    1.3 NCP问题(NP完全问题)

    NPC问题的定义非常简单,同时满足下面两个条件的问题就是 NPC 问题:① 首先,它得是一个 NP 问题;②然后,所有的 NP 问题都可以在多项式时间内归约到它。即如果所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到一个 NP 问题,则称该 NP 问题为 NPC问题,NP Complete,NP 完全问题。

    二、习题证明

    8.3 STINGY SAT is the following problem: given a set of clauses (each a disjunction of literals) and an integer k, find a satisfying assignment in which at most k variables are true, if such an assignment exists. Prove that STINGY SAT is NP-complete.
    证明:
    证明一个问题是NPC问题先证明它至少是一个 NP 问题;再证明一个已知的 NPC 问题能在多项式时间内归约到它
    首先,易知 STINGY SAT 的解是可在多项式时间内验证的,因此属于 NP。
    另外,很容易可以将 SAT 归约到 STINGY SAT(将 k 设为所有变量的总个数即可),于是可知 STINGY SAT 为 NP 完全问题。

    8.8 In the EXACT 4SAT problem, the input is a set of clauses, each of which is a disjunction of exactly four literals, and such that each variable occurs at most once in each clause. The goal is to find a satisfying assignment, if one exists. Prove that EXACT 4SAT is NP-complete.
    证明:
    证明一个问题是NPC问题先证明它至少是一个 NP 问题;再证明一个已知的 NPC 问题能在多项式时间内归约到它
    首先EXACT 4SAT 属于 NP。
    现在通过将 3SAT 归约到 EXACT 4SAT 来证明后者的 NP 完全性。
    对于任意一个 3SAT 实例,如果其中某个子句中包含了同一个文字多次,那么可以缩减为一次,如果同时包含了某个变量的肯定及否定,那么可以将这个变量去掉。然后,
    可以再在每个子句中可以添加一些哑变量(即没用的辅助变量),这样就可以将每个子句所包含的文字数目扩充到四个。
    至此,即已将该3SAT 实例转化成了一个 EXACT 4SAT问题
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