一、关于函数的概念：
函数的概念有两个，其一为初中的定义，称为传统定义，其二为高中的定义，称为近代定义。
传统定义：设在某变化过程中有两个变量\(x\)、\(y\)，如果对于\(x\)在某一范围内的每一个确定的值，\(y\)都有唯一确定的值与它对应，那么就称\(y\)是\(x\)的函数，\(x\)叫做自变量。我们将自变量\(x\)取值的集合叫做函数的定义域，和自变量\(x\)对应的\(y\)的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
近代定义：设\(A\)，\(B\)都是非空的数集，\(f：x→y\)是从\(A\)到\(B\)的一个对应法则，那么从\(A\)到\(B\)的映射\(f：A→B\)就叫做函数，记作\(y=f(x)\)，其中\(x∈A\)，\(y∈B\)，原象集合\(A\)叫做函数\(f(x)\)的定义域，象集合\(C\)叫做函数\(f(x)\)的值域，显然有\(C\subseteq B\)。
- 对函数概念的理解
函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。
二、基于对应基础的函数概念的理解（近代定义）
（1）首先需要先搞清楚对应的概念，
关于对应的概念，我们基于蜜蜂采蜜的生活常识来理解，可以一只蜜蜂采一朵花（称为“一对一”的对应），
可以一只蜜蜂采多朵花（称为“一对多”的对应），还可以多只蜜蜂采一朵花（称为“多对一”的对应）
即对应有一对一，一对多和多对一三种对应关系。
（2）映射
能够称为映射的对应只有一对一和多对一两种，其中一对多不能称为映射，
映射\(f：A\rightarrow B\)和映射\(f：B\rightarrow A\)是不一样的。
集合\(A，B\)不一定是数集，可以是图形集，式集，点集，向量集等，
（3）函数
非空数集\(A\)到非空数集\(B\)的映射\(f：A\rightarrow B\)就称为函数，记为\(y=f(x)\)。
- 符号\(y=f(x)\)即是“\(y\)是\(x\)的函数”的数学表示，
应理解为：\(x\)是自变量，它是法则所施加的对象；\(f\)是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；
\(y\)是自变量的函数，当\(x\)为允许的某一具体值时，相应的\(y\)值为与该自变量值对应的函数值，
当\(f\)用解析式表示时，则解析式为函数解析式。\(y=f(x)\)仅仅是函数符号，不是表示“\(y\)等于\(f\)与\(x\)的乘积”，
\(f(x)\)也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号\(f(x)\)外，还常用\(g(x)\)，\(F(x)\)，\(G(x)\)等符号来表示。
（4）映射与函数的关系：
由关系图可以看出，函数是映射的特殊情况，映射是函数的拓展和推广。
三、典例赏析：
例1【映射个数和函数个数模型】
给定集合\(A=\{1，2，3\}\)，集合\(B=\{a，b，c，d\}\) ，求映射\(f:A \rightarrow B\)的个数和映射\(f:B \rightarrow A\)的个数。
分析：依据映射的概念，映射\(f:A \rightarrow B\)需要给集合\(A\)中的每一个元素(原像)，都找一个确定的对应对象(像)。
此时注意，原像必须有与之对应的唯一的像，但是像不一定必须有原像和她对应。
我们分步完成：先给元素\(1\)分配对象，每次取一个有\(a、b、c、d\)四种选择；
再给元素\(2\)分配对象，每次取一个也有\(a、b、c、d\)四种选择；
最后给元素\(3\)分配对象，每次取一个也有\(a、b、c、d\)四种选择，
允许出现元素\(1、2、3\)都对应到元素\(a\)上而其他元素没有原像与之对应的情形出现；
利用乘法原理，映射\(f:A \rightarrow B\)共有\(4\times 4\times4=4^3\)个，即\((cardB)^{cardA}\)个。
同理，映射\(f:B \rightarrow A\)共有\(3^4\)个，即\((cardA)^{cardB}\)个。
【引申】：若集合\(B\)为数集，则能构成的函数\(f:A \rightarrow B\)共有\(4\times 4\times4=4^3\)个，
能构成的函数\(f:B \rightarrow A\)共有\(3^4\)个，若集合\(B\)不为数集，则所求的函数个数都是\(0\)个。
原因是：函数是非空数集到非空数集的映射。
例2【映射个数和函数个数模型】
给定集合\(A=\{1，2，3\}\)，集合\(B=\{a，b，c\}\) ，求一一映射\(f：A \rightarrow B\)的个数和一一映射\(f：B \rightarrow A\)的个数。
先分析一一映射\(f:A \rightarrow B\)的个数，由于是一一映射，类似有3人坐3个凳子，故有\(A_3^3=6\)个。
同理，一一映射\(f：B \rightarrow A\)的个数也是\(6\)种。
