这是很早之前貌似从一本书上学习 Mathematica 时写的，算法原理也是书上的，年代太久远，我记不清楚出处了。
定义两个函数，分别是 CartesianMap 和 PolarMap 用来处理直角坐标和极坐标下的绘图，可接受绘图参数来控制图形显示效果。(这两个函数后来加入系统扩展包中了，再到后来又取消了，见评论链接，不过仍然不失为一种不错的方法)具体用法我举几个例子说明一下。
$Lines = 15;
Options[CartesianMap] = Options[PolarMap] = {Lines -> $Lines};
CartesianMap[
func_, {x0_, x1_, dx_: Automatic}, {y0_, y1_, dy_: Automatic},
opts___?OptionQ] /;
VectorQ[{x0, x1, y0, y1},
NumericQ] && (NumericQ[dx] ||
dx === Automatic) && (NumericQ[dy] || dy === Automatic) :=
Module[{x, y},
Picture[CartesianMap,
func[x + I*y], {x, x0, x1, dx}, {y, y0, y1, dy}, opts]];
PolarMap[func_, {r0_: 0, r1_, dr_: Automatic}, {p0_, p1_,
dp_: Automatic}, opts___?OptionQ] /;
VectorQ[{r0, r1, p0, p1},
NumericQ] && (NumericQ[dr] ||
dr === Automatic) && (NumericQ[dp] || dp === Automatic) :=
Module[{r, p},
Picture[PolarMap,
func[r*Exp[I*p]], {r, r0, r1, dr}, {p, p0, p1, dp}, opts]];
PolarMap[func_, rr_List, opts_?OptionQ] :=
PolarMap[func, rr, {0, 2*Pi}, opts];
Picture[cmd_, e_, {s_, s0_, s1_, ds_}, {t_, t0_, t1_, dt_}, opts___] :=
Module[{hg, vg, lines, nds = ds, ndt = dt},
lines = Lines /. {opts} /. Options[cmd];
If[Head[lines] =!= List, lines = {lines, lines}];
If[ds === Automatic, nds = N[(s1 - s0)/(lines[[1]] - 1)]];
If[dt === Automatic, ndt = N[(t1 - t0)/(lines[[2]] - 1)]];
hg = Curves[e, {s, s0, s1, nds}, {t, t0, t1}, opts];
vg = Curves[e, {t, t0, t1, ndt}, {s, s0, s1}, opts];
Show[Graphics[Join[hg, vg]],
Evaluate[FilterRules[{opts}, Options[Graphics]]],
AspectRatio -> Automatic, Axes -> True]];
Curves[xy_, spread_, bounds_, opts___] :=
With[{curves = Table[{Re[xy], Im[xy]}, spread]},
ParametricPlot[curves, bounds, DisplayFunction -> Identity,
Evaluate[FilterRules[{opts}, Options[ParametricPlot]]]][[1]]];
指数函数
余弦函数
自定义的函数：倒数
Zeta 函数
复共轭的倒数
上面都是直角坐标下的图形，极坐标下的用法是完全相同的，不再举例说明。

本人微信公众号：丑人数学
今天分享一种思考数学问题的方式。
逻辑清晰，只需三步：
1. 是什么？
2. 考什么？
3. 怎么做？
第一步：是什么
（1）定义是什么？
（2）图像是什么？
（3）性质是什么？
老师讲课也好，学生学习也罢，只要涉及到函数内容，一般都是从这三个‘是什么’切入进去的。
拿三角函数举例
（因为有家长说三角函数有点难学，所以这里就拿三角函数举例）
按三个‘是什么’来学习三角函数，应该怎么学？
1.三角函数的定义是什么？
随手画个坐标系，再随手画个任意角β。
这个β角的起始边和X轴重合。
角的顶点和坐标系原点重合在一起。
在角的另一边取个点（x，y），这个点到原点的距离是r，推出：
sin（β）=y/r（对边比斜边）
cos（β）=x/r（邻边比斜边）
tan（β）=y/x（对边比领边）
诸位，知识点呀！
此时不记，更待何时？
非等到海枯石烂，你才愿意记住定义吗？
2.三角函数的图像是什么？
图像是什么？
不知道！我不懂！别问我！
（像不像素质三连？假装此处有表情包）
如果连图像是什么都不知道，那我就不想说话，并有种想揍人的赶脚。
就算你定义记不住，请你也一定要把图像画出来。
没图像就研究三角函数，那就相当于你没枪就上战场，闲着没事你闹着玩呢！
关于函数图像怎么画，这个之前讲的太多，文字语言就不多说，不会画的童鞋请自行面壁思过，然后打开数学书，好好地翻书学一下。
3.三角函数性质是什么？
定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性；
第二步：考什么
（1）考定义；
（2）考图像
（3）考性质
你看，直接回到第一点，简单来说：
讲什么，考什么！
这里讲考试的性质分为：期中考试、期末考试、高考；
先说一下，期末考试针对性太强，简单来说就是，这几个月你学了什么，期中考试就会考察什么。
之前学的，之后学的，几乎都不会考！
期末考试，一般指的是整年的考试，也就是说，你整个学年学了什么，期末考试就会考察什么。
高考，这个不用多说，整个高中三年所学知识，几乎都会考到。
很多学生连这三种考试都分不清楚，就会抱怨说，分明已经很认真学习了，为什么还学不好呢？
我们先来弄明白这三种考试的区别：
期中考试针对性很强，会针对某个知识点专门命题出试卷，这种试卷考得不好，只能说明你这个阶段学的不好。
期末考试，针对整个学年出试卷，考得不好，只能说明你这整年都没学好。
高考没考好，那就说明，你这高中三年没学好。
别整天抱着一张期中考试的试卷，大喊大叫说：“我数学太差了，我果然还是不适合学习数学。”
你要是抱着一张高考试卷来说这话，我倒是很信服，毕竟大局已定。
我以前高中同学，目前在北邮读研，他高二时数学不好，高三努力一把，然后数学直接起飞。
你看，通过一张试卷，就否定你，这明显是心态有问题，心态千万别炸，成绩再差都别慌，建议先调整自我心态，再谈学习数学。
弄清楚三种考试区别后，我们来谈一下考什么。
1.图像考什么？
这里我将定义考什么忽略掉。为啥呢？因为，身边很多人不记得定义，但仍然可以把题目做出来。
譬如说，你还记得有理数的定义是什么吗？不记得吧！哈哈……可你依旧可以做题。
图像的考法一般是：
（1）画图，建议使用特殊值，取五个点，使用五点描图法。
（2）平移，函数图像平移，无非就是左加右减，上加下减。
（3）观察性质，是的，请注意，是观察，而不是计算。当然，如果你要是能通过画图把答案给画出来，那也可以。
2.性质考什么？
定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性，这六个点，一般来讲，高考命题会侧重于某几个点，至于侧重于哪几个点，我也不知道，这取决于命题组老师，因此这六个点都很重要。
涉及到这六个点的题目有很多，下次我会专门找一些题目来分析。
第三步：怎么做
我先问你一个问题，你现在弄没弄明白三角函数到底考什么？如果你弄明白了，那就请点个赞，然后赶紧针对性找题目去训练。
一定要把逻辑理清楚，要弄懂题目想考什么，而不是稀里糊涂的胡乱做题目。数学考察逻辑思维能力，如果你保持云里雾里的状态去学数学，考不出来成绩是应该的。

先声明一下，笔者是自己高一琢磨出来的，并没有参考任何、任何教辅资料。如有雷同，纯属巧合。
下面直接进入正题：
如果我们想画出一般的复合函数 
 的图像，该怎么画呢？
我们可以从如下角度去考虑：
第一步，确定 
 ，从而得到了 
 的值
第二步，得到了 
 的值，将这个值带入到 
 这个对应法则中去，便能得到
的值
由上可知， 
 这个对应法则的“定义域”，就相当于 
 的“值域”。（当然并不完全是，根据具体题目而定）
所以，为了研究
，我们也就只用研究 
 和 
 了。（废话）
那么，我们不妨做一个大胆的尝试：把 
和 
放在“同一个坐标系”里。
下面放第一个简单的例题：
例1.已知
= 
， 
= 
 ，那么
=1一共有几个根？
显然，我们从常规方法考虑，很容易知道有2个根。
那么我们梳理一下常规思路：
第一步，令
=1，解得 
 = 

第二步，令 
 ,解得： 
由这一题，我们便可以总结出
 =k的解题步骤：
因为有 
 这个对应法则，使得我们将
=k的“k”转换得到了 “
 的值”
因为有 
 这个对应法则，使得我们将“ 
 的值”转换得到了“ 
 ”的值
so，这就是放在“同一个坐标系”里的原因（图画的不好，见谅）
此时的 
= 
是横着的，它的“值域”（描述不准确，见谅）对应着这个坐标系里的x轴，而 
 本身的“x轴”则不确定（没必要画出来），并不是这个图里所谓“-5”的位置。

竖直的红线与图示x轴的交点为 
横着的红线表示着 ：通过利用
 这个对应法则，将“1”转换成“
 的值”
竖直的红线表示着：通过利用 
 这个对应法则，将“
 的值”转换得到“ 
 ”的值
所以从图中很容易就看出来，一共有两个不等实根。
这个方法很像“标根法”。
既然大家稍微理解了，那么我们来几道“难的”
例2. 已知 
 ,且 
 ( 
 )有4个不等实根 
 （ 
 =1,2,3,4）
，则 
 ________
我们不妨画一下图
竖直的绿线与图示x轴的交点的数值＝ 
显然， 
 ，在小
里，有
易得：
从而：
例3. 
 ，且 
 有三个不等实根，则 
 ________________
容易画出 
 的图像：
则原题条件可看成：
= 
 与
复合成 
 ，且
=0有且仅有三个不等实根
我们通过标根，容易发现，当且仅当下图所示时，才可能有3个根：
从而易得：
从而解得：
所以 
例4.已知函数 
满足 
 有6个不等实根，求 
 应满足的条件为_____________________
容易画出函数 
 图像：
则原题条件可看成：
= 
 与
复合成 
 ，且
=0有6个不等实根
那么我们通过标根，容易发现，当且仅当下图所示时，才可能有6个根：
两个蓝色的虚线与横着的 
 的交点就是零点
则，原题目等价为：
= 
在 
 内各有一个根。
这样子题目就变得很简单啦，答案是 
由于笔者实在太懒，毕竟码公式和做图片也很难，那笔者就将剩下的题目和答案作为练习奉上：
1.已知函数 
 ， 
 ,若
有4个零点，则a的取值范围为：________________________
2.已知函数 
 其中 
 ，若函数 
 有3个不同零点，则m的取值范围是：_______________________
3.已知函数 
 , 
 ，若 
 总共有六个零点，求m范围：____________________
答案：
1. 
2.（0,1）
3. 
本篇文章从2020.4.4下午2点一直码到2020.4.5凌晨0.56，由于笔者只有手写的题目，故每个题目都手码公式了很久，如果有不足之处，希望大家多多包涵。欢迎在评论区补充留言。在这里，我要特别鸣谢一直支持我的dl @meteor （大家可以看一下这个dl的圆锥曲线），题目里的图片都是我请他帮忙加工的（本人电脑渣）。我也要感谢dl @槿灵兮 （某种程度上是这些dl的文章激励着我去写一些平时微不足道的数学思考）
以上.

摘要：本节主要介绍欧氏空间中子空间的距离和酉矩阵的概念，这一板块大家在第一遍的复习过程中可以考虑记住概念，当第二遍复习强化刷题阶段，看自己报考得院校是否考察酉变换，在确定是否刷对应的题目.
一.子空间的距离.
定义1. 长度
称为向量
和
的距离，记为
岩宝小提示：距离的三条基本性质
（1）
（2） 
并且仅当时等号才成立；
（3） 
（三角不等式）.
定义2. 设V是复数域上的线性空间，在V上定义了一个二元复函数，称为内积，记作
，它具有以下性质：
（1）
这里
是
的共轭复数；
（2）
（3）
；
（4）
是非负实数，且
当且仅当
这里
是V中任意的向量，k为任意复数，这样的线性空间称为酉空间.
岩宝小提示：由于酉空间的讨论与欧式空间的讨论很相似，有一套平行的理论，这里给大家一一列出来.
首先由内积的定义可以得到：
（1） 
（2）
和欧式空间一样，因为
故可定义向量的长度.
（3）
叫做向量
的长度，记为
 （4）柯西-布涅夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量
有
当且仅当
线性相关时，等号成立.
这里岩宝要强调一点，酉空间中的内积
一般是复数，故向量之间不易定义夹角，但我们仍引入：
（5）向量
，当
时称为正交或者互相垂直.
在n维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要的性质：
（6）任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充成为一组标准正交基.
（7）对n级复矩阵A，用
表示以A的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A满足
 就叫做酉矩阵，它的行列式绝对值等于1.
类似于欧氏空间的正交变换和对称变换，可以引进酉空间的酉变换和埃尔米特矩阵.他们也分别具有正交变换和对称矩阵的一些重要性质，如下
（8）酉空间V的线性变换
,如果满足
 就称为V的一个酉变换，酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.
（9）如果矩阵A满足 
 叫做埃尔米特矩阵.在酉空间
中令
则
也是对称变换.
（10）V是酉空间， 
是子空间，
是
的正交补，则
（11）埃尔米特矩阵的特征值为实数，它的属于不同特征值的特征向量必正交.
（12）若A是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵C，使得
是对角矩阵.
（13）设A为埃尔米特矩阵，二次齐次函数
叫做艾尔米特二次型，必有酉矩阵C,当
时，
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