文章目录
 
1. 复数的导数
2. 柯西-黎曼方程

 
1. 复数的导数
 
复数也可以有导数，为了更好理解复数的导数，我们可以借鉴实数的相关定义，引申出复数域的导数：
 
 
 
定义1：设函数 $f(z)$ 在 $z_o$ 的邻域内有定义， $\lim \frac{f(z_o+\Delta z)-f(z_o)}{\Delta z}=C$ 存在，则称 $C$ 是 $f(z)$ 在 $z_o$ 的导数，记作 $f^{\prime }(z_o)$。
 
 
那么它必然就要有可微、连续等一般性质。所以在这个前提下，原本用于实数域的导数规则，就可以直接用在复数域里。那么关于导数的公式定义，不熟悉的朋友可以参考我之前写的这一章节 《数学基础知识总结 —— 1. 常用导数公式》。
 
 
 
例题：
 已知 $f(0)=1$，$f^{\prime }(0)=1+j$ 求 ${\lim }_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}$
 解：
 首先把极限公式按照标准形式进行改变，于是有
 $$\lim \frac{f(z)-1}{z}=\underset{z\to 0}{\lim }\frac{f(0+z)-f(0)}{z}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(0+\Delta z)-f(0)}{\Delta z}$$
 而以上结果其实就变成了对于函数 $f(z)$ 在 $z=0$ 处的导数，结果为 $f^{\prime }(0)=1+j$。
 
 
2. 柯西-黎曼方程
 
如果我们的复函数 $f(z)$ 仅仅是 $f(z)=x+jy$ 这种简单形式，那么就完全不需要引入复变函数的概念。但如果复函数的实数与虚数部分，都可以分别表示为两个实数函数的形式时，例如
 
$$f(z)=x{y}^3+j(x+y)$$
 
那么对这样的问题分析和求解就会变得格外麻烦和棘手。所以此时，我们会分别令 $u(x,y)=x{y}^3$ 和 $v(x,y)=x+u$，上式于是就变成了这样的的形式
 
$$f(z)=u(x,y)+jv(x,y)$$
 
那问题就可以从复杂的复函数问题，变成简单的实数函数问题的线性相加，也就是把原本复杂的数据问题降维处理了。因此，原本比如对 $f^{\prime }(z)$ 的求导，就可以变成对 $u$ 和 $v$ 的求导。
 
 
 
这里参考求导公式 $f^{\prime }(u,v)=[u+v{]}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$
 
 
因此，如果 $u$ 和 $v$ 函数分别都有各自的导数，那么$f(z)$ 就可以有导数，且 $f^{\prime }(z)=u^{\prime }+v^{\prime }$。现在，当我们有复函数 $f(z)=z^2$，其中 $z=x+jy$。它一定对于所有的点 $z$ 处处可导，那么当它展开后
 
$$f(z)=x^2-y^2+2jxy$$
 
其各自的复变函数 $u$ 和 $v$ 的偏微分函数为
 
$$\{\begin{array}{c}{u}_x=(x^2-y^2{)}^{\prime }=2x\\ v_x=(2xy{)}^{\prime }=2y\\ u_y=(x^2-y^2{)}^{\prime }=-2y\\ v_y=(2xy{)}^{\prime }=2x\end{array}$$
 
于是可以得到 $u_x=v_y$，$v_x=-u_y$，注意这里是系数关系。于是，我们间接的引入了「柯西-黎曼」方程：
 
 
 
在一对实值函数 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程：
 $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$$
 和
 $$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$
 通常，$u$ 和 $v$ 取为一个复函数的实部和虚部：$f(x+iy)=u(x,y)+jv(x,y)$。假设 $u$ 和 $v$ 在开集C上连续可微，则当且仅当 $u$ 和 $v$ 的偏微分满足柯西-黎曼方程组，$f=u+iv$是全纯的。
 
 
关于「柯西-黎曼」方程一些小历史
 
 
 
复分析中的柯西-黎曼微分方程（Cauchy–Riemann equations）是提供了可微函数在开集中为全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，以柯西和黎曼得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。
 
 
至此，我们得出了对于复变函数的导数，一个极为重要的——「柯西-黎曼」方程：
 
$$f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+j\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-j\frac{\partial u}{\partial y}$$

复数的引入
 
可以很平凡而繁琐地，将复数作为一个数域引入。它是实数域加上虚数$i$的扩充域。
代数结构 即运算法则，注意乘法法则(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
几何结构 引入复平面，加入无穷远点成为$\overline{\mathbb C}$。
拓扑结构 或分析，刻画度量。即模和极限。
 
复数和复平面的刻画
 

 $$\begin{cases}
z=x+iy\\\bar z=x-iy
\end{cases}$$  

 

 $$\begin{cases}
x=\dfrac{z+\bar z}{2}\\
y=\dfrac{z-\bar z}{2i}
\end{cases}$$  

 使用

$(x,y)$可能是因为习惯于使用实数；使用

$(z,\bar z)$更符合复数习惯，尤其是后面的解析函数特征就是用

$(z,\bar z)$的表达式中不含

$\bar z$，这比用

$(x,y)$的描述还需要用C-R关系加以限制要清晰得多。
 
用$z,\bar z$表示几何图形
 
这其实就是上述的复平面的刻画问题，直接用上面的变换式就可以得到结论
 
直线的一般方程 
 
   $$Az+\bar A\bar z+C=0$$ 
圆的一般方程 
 
   $$(z-c)\overline{(z-c)}=R^2$$ 
 
复数域的分析性质
 
这里主要是指分析上的一些基本概念和命题，包括
 
邻域
开集
闭集
极限点
内点
闭包
边界
孤立点
直径
区域
 
以及关于复数域拓扑和分析的几个定理，包括
 
Chauchy准则（复数域完备性定理）
闭区间套定理
开覆盖定理
极限点原理
Weierstrass-Bolzano定理
连通的等价条件
 
由于这些结论也都是平凡的，不是复变函数论研究的主题，因此忽略。
 
复函数
 
复函数这个概念的核心应该是值域为$\mathbb C$，至于定义域，一般是数集$\mathbb C$，当然也可以拓展到向量，到欧式空间，到$H,B$空间。
极限和连续
 
复变函数作为一门学科，和实变函数理论主要不同之处在于函数对复变量的可导性。（教材语）因此，在可导之前的内容，不需要过多着墨。
 
导数
 
对实变量的偏导
 
设 
 
 $$f(z)=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$$  

 如果

$u(x,y),v(x,y)$在

$z_0=(x_0,y_0)$处都存在关于

$x$的偏导数，那么定义$f$对

$x$的偏导为 

 $$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}$$  

 同理， 

 

 $$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial y}+i\dfrac{\partial v}{\partial y}$$ 
 
利用$(x,y)$和$(z,\bar z)$的转换关系，可以得到对$z$和$\bar z$的形式偏导 
 
 $$\begin{cases}
\dfrac{\partial }{\partial z}=\dfrac12\left(\dfrac{\partial }{\partial x}-i\dfrac{\partial }{\partial y}\right)\\
\dfrac{\partial }{\partial \bar z}=\dfrac12\left(\dfrac{\partial }{\partial x}+i\dfrac{\partial }{\partial y}\right)
\end{cases}$$ 
 
对复变量的导数
 
如果极限 
 
 $$\lim_{z\to z_0}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z\to z_0}=A,A\in\mathbb C$$  

 存在，则称

$f(z)$在

$z_0$处可导，

$A$称为$f(z)$在

$z_0$处的导数，记作

$f'(z_0)$.
 
微分
 
如果存在$A\in\mathbb C$，在点$z_0$处有 
 
 $$f(z)=f(z_0)+A(z-z_0)+\omicron(|z-z_0|)$$  

 那么称

$f$在$z_0$处可微。
 
复变函数可导等价于可微。
 
解析函数
 
定义
 
若$f(z)$在点$z_0$的邻域内都可导，那么$f(z)$在$z_0$点解析；
若$f(z)$在区域$\Omega$内每一点都可导，那么$f(z)$在区域$\Omega$内解析，是$\Omega$内的解析函数。
Cauchy-Riemann方程 
 
   $$\begin{cases}
\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}\\
\dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}
\end{cases}$$ 
定理 解析函数满足Cauchy-Riemann方程
 
  
 
   
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，从实轴和虚轴两个方向求极限，可得。
 
  
方法 证明一个复变函数在某一点不可导（从而不解析）
 
  
 
   
用实变量描述，证明从不同方向逼近得到的极限不同。
 
  
命题 实值函数在区域上解析，一定是常数。
 
  
 
   
利用上面的办法，用实变量描述，证明从实轴和虚轴两个方向逼近得到的极限一个是实数一个是虚数，从而导数为$0$，从而是常数。
  
或用Cauchy-Riemann方程证明。 

命题 解析函数如果存在反函数，那么反函数也是解析函数。
命题 如果两个实函数$u,v$满足C-R方程，那么$f=u+iv$解析。
命题 如果$f=u+iv$关于$u,v$二阶连续可导，且$f$解析，那么$f'$也解析。
 
     
 
      

       $$f'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}(极限的唯一性)$$ 
      
 
     
命题 解析函数$f=u+iv$满足 
 
      $$\begin{cases}
\dfrac{\partial ^2u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2u}{\partial y^2}=0\\\dfrac{\partial ^2v}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2v}{\partial y^2}=0
\end{cases}$$  
 或 
 
      $$\begin{cases}
\nabla^2u=0\\\nabla^2v=0
\end{cases}$$  
 即解析函数的两个实函数都是调和函数，并且是共轭的。
命题 单连通区域$\Omega$上调和函数唯一地确定另一个共轭的调和函数。（不考虑常数）
命题 
 
      $$\nabla^2=\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2}{\partial y^2}=4\dfrac{\partial^2}{\partial z\partial \bar z}$$ 
定理 解析函数的充要条件 
 
      $$\dfrac{\partial f}{\partial \bar z}=0$$ 
定理 单连通区域$\Omega$上的解析函数处处不为零，且关于实变量$x$和$y$二阶连续可导，则存在$\Omega$上解析函数$g(z)$，使得
      $$e^{g(z)}=f(z)$$ 
定理 单连通区域$\Omega$上的解析函数处处不为零，且关于实变量$x$和$y$二阶连续可导，则存在$\Omega$上解析函数$g(z)$，对任意的自然数$n$，有使得
 $$g(z)^n=f(z)$$ 
定理 （导数的几何意义）导数$|f'(z_0)|^2$是映射$w=f(z)$关于对应区域的面积比，即映射的Jacobi行列式。
 
     
 
      
用C-R关系证明。
 
     
推论 解析函数导函数处处连续，如果在$z_0$处导数不为$0$，则存在 $z_0$的一个邻域$D$，满足：(1)$f(D)$是开集；(2)$f:D\to f(D)$是一一映射；(3)$f^{-1}:f(D)\to D$在$f(D)$上解析，且 
 
      $$(f^{-1})'(w)=\dfrac1{f'(z)},w=f(z)$$  
 这个推论的应用：如果$f$将一个区域映射到一条曲线上，那么$f$一定是常数函数。

  

 
这是很早之前貌似从一本书上学习 Mathematica 时写的，算法原理也是书上的，年代太久远，我记不清楚出处了。
 
定义两个函数，分别是 CartesianMap 和 PolarMap 用来处理直角坐标和极坐标下的绘图，可接受绘图参数来控制图形显示效果。(这两个函数后来加入系统扩展包中了，再到后来又取消了，见评论链接，不过仍然不失为一种不错的方法)具体用法我举几个例子说明一下。
 
$Lines = 15;
 
Options[CartesianMap] = Options[PolarMap] = {Lines -> $Lines};
 
CartesianMap[
 
func_, {x0_, x1_, dx_: Automatic}, {y0_, y1_, dy_: Automatic},
 
opts___?OptionQ] /;
 
VectorQ[{x0, x1, y0, y1},
 
NumericQ] && (NumericQ[dx] ||
 
dx === Automatic) && (NumericQ[dy] || dy === Automatic) :=
 
Module[{x, y},
 
Picture[CartesianMap,
 
func[x + I*y], {x, x0, x1, dx}, {y, y0, y1, dy}, opts]];
 
PolarMap[func_, {r0_: 0, r1_, dr_: Automatic}, {p0_, p1_,
 
dp_: Automatic}, opts___?OptionQ] /;
 
VectorQ[{r0, r1, p0, p1},
 
NumericQ] && (NumericQ[dr] ||
 
dr === Automatic) && (NumericQ[dp] || dp === Automatic) :=
 
Module[{r, p},
 
Picture[PolarMap,
 
func[r*Exp[I*p]], {r, r0, r1, dr}, {p, p0, p1, dp}, opts]];
 
PolarMap[func_, rr_List, opts_?OptionQ] :=
 
PolarMap[func, rr, {0, 2*Pi}, opts];
 
Picture[cmd_, e_, {s_, s0_, s1_, ds_}, {t_, t0_, t1_, dt_}, opts___] :=
 
Module[{hg, vg, lines, nds = ds, ndt = dt},
 
lines = Lines /. {opts} /. Options[cmd];
 
If[Head[lines] =!= List, lines = {lines, lines}];
 
If[ds === Automatic, nds = N[(s1 - s0)/(lines[[1]] - 1)]];
 
If[dt === Automatic, ndt = N[(t1 - t0)/(lines[[2]] - 1)]];
 
hg = Curves[e, {s, s0, s1, nds}, {t, t0, t1}, opts];
 
vg = Curves[e, {t, t0, t1, ndt}, {s, s0, s1}, opts];
 
Show[Graphics[Join[hg, vg]],
 
Evaluate[FilterRules[{opts}, Options[Graphics]]],
 
AspectRatio -> Automatic, Axes -> True]];
 
Curves[xy_, spread_, bounds_, opts___] :=
 
With[{curves = Table[{Re[xy], Im[xy]}, spread]},
 
ParametricPlot[curves, bounds, DisplayFunction -> Identity,
 
Evaluate[FilterRules[{opts}, Options[ParametricPlot]]]][[1]]];
 
指数函数
 

 
余弦函数
 

 
自定义的函数：倒数
 

 
Zeta 函数
 

 
复共轭的倒数
 

 
上面都是直角坐标下的图形，极坐标下的用法是完全相同的，不再举例说明。

 
展开全部
 
看你的代码。
 
你问题并不在数组传入62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333431346362。你函数mymd5接收password数组，mymd5的password数组变量和外部函数的password地址相同，所以改变其中外部函数的数组也改变。
 
但你mymd5返回的数组decrypt，是局部变量，当mymd5调用结束，这个数组的内存空间就释放了。你接收了也是NULL。所以要用malloc或calloc申请动态内存。这样不会被释放。
 
我写了简单案例，你参考：
 
#include
 
#include
 
#include
 
char *md(char a[]);//错误的数组返回
 
char *md2(char a[]);//正确的数组返回
 
int main()
 
{
 
char password[10]="123456789",*decrypt=NULL;
 
decrypt=md(password);
 
printf("外部函数传递数组到子函数，子函数改变，外部函数也改变，password=%s\n",password);
 
printf("错误返回方式：局部变量，外部函数接收失败，被自动释放,decrypt=%s\n",decrypt);
 
decrypt=md2(password);
 
printf("正确返回方式：动态申请，外部函数接收成功，不会被自动释放,decrypt=%s\n",decrypt);
 
return 0;
 
}
 
char *md(char password[])
 
{
 
char decrypt[10]="*********";
 
password[0]=0,strcpy(password,"abcdefghi");
 
return decrypt;
 
}
 
char *md2(char password[])
 
{
 
char *decrypt=(char *)malloc(sizeof(char)*10);
 
if(!decrypt)
 
return NULL;
 
strcpy(decrypt,"*********");
 
password[0]=0,strcpy(password,"abcdefghi");
 
return decrypt;
 
}