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  • 定义两个函数,分别是CartesianMap 和PolarMap 用来处理直角坐标和极坐标下的绘图,可接受绘图参数来控制图形显示效果。(这两个函数后来加入系统扩展包中了,再到后来又取消了,见评论链接,不过仍然不失为一种不错...

    这是很早之前貌似从一本书上学习 Mathematica 时写的,算法原理也是书上的,年代太久远,我记不清楚出处了。

    定义两个函数,分别是 CartesianMap 和 PolarMap 用来处理直角坐标和极坐标下的绘图,可接受绘图参数来控制图形显示效果。(这两个函数后来加入系统扩展包中了,再到后来又取消了,见评论链接,不过仍然不失为一种不错的方法)具体用法我举几个例子说明一下。

    $Lines = 15;

    Options[CartesianMap] = Options[PolarMap] = {Lines -> $Lines};

    CartesianMap[

    func_, {x0_, x1_, dx_: Automatic}, {y0_, y1_, dy_: Automatic},

    opts___?OptionQ] /;

    VectorQ[{x0, x1, y0, y1},

    NumericQ] && (NumericQ[dx] ||

    dx === Automatic) && (NumericQ[dy] || dy === Automatic) :=

    Module[{x, y},

    Picture[CartesianMap,

    func[x + I*y], {x, x0, x1, dx}, {y, y0, y1, dy}, opts]];

    PolarMap[func_, {r0_: 0, r1_, dr_: Automatic}, {p0_, p1_,

    dp_: Automatic}, opts___?OptionQ] /;

    VectorQ[{r0, r1, p0, p1},

    NumericQ] && (NumericQ[dr] ||

    dr === Automatic) && (NumericQ[dp] || dp === Automatic) :=

    Module[{r, p},

    Picture[PolarMap,

    func[r*Exp[I*p]], {r, r0, r1, dr}, {p, p0, p1, dp}, opts]];

    PolarMap[func_, rr_List, opts_?OptionQ] :=

    PolarMap[func, rr, {0, 2*Pi}, opts];

    Picture[cmd_, e_, {s_, s0_, s1_, ds_}, {t_, t0_, t1_, dt_}, opts___] :=

    Module[{hg, vg, lines, nds = ds, ndt = dt},

    lines = Lines /. {opts} /. Options[cmd];

    If[Head[lines] =!= List, lines = {lines, lines}];

    If[ds === Automatic, nds = N[(s1 - s0)/(lines[[1]] - 1)]];

    If[dt === Automatic, ndt = N[(t1 - t0)/(lines[[2]] - 1)]];

    hg = Curves[e, {s, s0, s1, nds}, {t, t0, t1}, opts];

    vg = Curves[e, {t, t0, t1, ndt}, {s, s0, s1}, opts];

    Show[Graphics[Join[hg, vg]],

    Evaluate[FilterRules[{opts}, Options[Graphics]]],

    AspectRatio -> Automatic, Axes -> True]];

    Curves[xy_, spread_, bounds_, opts___] :=

    With[{curves = Table[{Re[xy], Im[xy]}, spread]},

    ParametricPlot[curves, bounds, DisplayFunction -> Identity,

    Evaluate[FilterRules[{opts}, Options[ParametricPlot]]]][[1]]];

    指数函数

    余弦函数

    自定义的函数:倒数

    Zeta 函数

    复共轭的倒数

    上面都是直角坐标下的图形,极坐标下的用法是完全相同的,不再举例说明。

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  • 第一步:是什么(1)定义是什么?(2)图像是什么?(3)性质是什么?老师讲课也好,学生学习也罢,只要涉及到函数内容,一般都是从这三个‘是什么’切入进去的。拿三角函数举例(因为有家长说三角函数有点难学,...

    2781b667f0ef5387deaacc291312f7c8.png

    本人微信公众号:丑人数学

    今天分享一种思考数学问题的方式。

    逻辑清晰,只需三步:

    1. 是什么?

    2. 考什么?

    3. 怎么做?

    第一步:是什么

    (1)定义是什么?

    (2)图像是什么?

    (3)性质是什么?

    老师讲课也好,学生学习也罢,只要涉及到函数内容,一般都是从这三个‘是什么’切入进去的。

    拿三角函数举例

    (因为有家长说三角函数有点难学,所以这里就拿三角函数举例)

    按三个‘是什么’来学习三角函数,应该怎么学?

    1.三角函数的定义是什么?

    随手画个坐标系,再随手画个任意角β。

    这个β角的起始边和X轴重合。

    角的顶点和坐标系原点重合在一起。

    在角的另一边取个点(x,y),这个点到原点的距离是r,推出:

    sin(β)=y/r(对边比斜边)

    cos(β)=x/r(邻边比斜边)

    tan(β)=y/x(对边比领边)

    诸位,知识点呀!

    此时不记,更待何时?

    非等到海枯石烂,你才愿意记住定义吗?

    2.三角函数的图像是什么?

    图像是什么?

    不知道!我不懂!别问我!

    (像不像素质三连?假装此处有表情包)

    如果连图像是什么都不知道,那我就不想说话,并有种想揍人的赶脚。

    就算你定义记不住,请你也一定要把图像画出来。

    没图像就研究三角函数,那就相当于你没枪就上战场,闲着没事你闹着玩呢!

    关于函数图像怎么画,这个之前讲的太多,文字语言就不多说,不会画的童鞋请自行面壁思过,然后打开数学书,好好地翻书学一下。

    3.三角函数性质是什么?

    定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性;

    第二步:考什么

    (1)考定义;

    (2)考图像

    (3)考性质

    你看,直接回到第一点,简单来说:

    讲什么,考什么!

    这里讲考试的性质分为:期中考试、期末考试、高考;

    先说一下,期末考试针对性太强,简单来说就是,这几个月你学了什么,期中考试就会考察什么。

    之前学的,之后学的,几乎都不会考!

    期末考试,一般指的是整年的考试,也就是说,你整个学年学了什么,期末考试就会考察什么。

    高考,这个不用多说,整个高中三年所学知识,几乎都会考到。

    很多学生连这三种考试都分不清楚,就会抱怨说,分明已经很认真学习了,为什么还学不好呢?

    我们先来弄明白这三种考试的区别:

    期中考试针对性很强,会针对某个知识点专门命题出试卷,这种试卷考得不好,只能说明你这个阶段学的不好。

    期末考试,针对整个学年出试卷,考得不好,只能说明你这整年都没学好。

    高考没考好,那就说明,你这高中三年没学好。

    别整天抱着一张期中考试的试卷,大喊大叫说:“我数学太差了,我果然还是不适合学习数学。”

    你要是抱着一张高考试卷来说这话,我倒是很信服,毕竟大局已定。

    我以前高中同学,目前在北邮读研,他高二时数学不好,高三努力一把,然后数学直接起飞。

    你看,通过一张试卷,就否定你,这明显是心态有问题,心态千万别炸,成绩再差都别慌,建议先调整自我心态,再谈学习数学。

    弄清楚三种考试区别后,我们来谈一下考什么。

    1.图像考什么?

    这里我将定义考什么忽略掉。为啥呢?因为,身边很多人不记得定义,但仍然可以把题目做出来。

    譬如说,你还记得有理数的定义是什么吗?不记得吧!哈哈……可你依旧可以做题。

    图像的考法一般是:

    (1)画图,建议使用特殊值,取五个点,使用五点描图法。

    (2)平移,函数图像平移,无非就是左加右减,上加下减。

    (3)观察性质,是的,请注意,是观察,而不是计算。当然,如果你要是能通过画图把答案给画出来,那也可以。

    2.性质考什么?

    定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性,这六个点,一般来讲,高考命题会侧重于某几个点,至于侧重于哪几个点,我也不知道,这取决于命题组老师,因此这六个点都很重要。

    涉及到这六个点的题目有很多,下次我会专门找一些题目来分析。

    第三步:怎么做

    我先问你一个问题,你现在弄没弄明白三角函数到底考什么?如果你弄明白了,那就请点个赞,然后赶紧针对性找题目去训练。

    一定要把逻辑理清楚,要弄懂题目想考什么,而不是稀里糊涂的胡乱做题目。数学考察逻辑思维能力,如果你保持云里雾里的状态去学数学,考不出来成绩是应该的。

    展开全文
  • 我们可以从如下角度去考虑:第一步,确定 ,从而得到了 的值第二步,得到了 的值,将这个值带入到 这个对应法则中去,便能得到的值由上可知, 这个对应法则的“定义域”,就相当于 的“值域”。(当然并不完全是,...

    93f7a35331eb3fa65f906e275e5d8877.png

    先声明一下,笔者是自己高一琢磨出来的,并没有参考任何、任何教辅资料。如有雷同,纯属巧合。

    下面直接进入正题:

    如果我们想画出一般的复合函数

    的图像,该怎么画呢?

    我们可以从如下角度去考虑:

    • 第一步,确定
      ,从而得到了
      的值
    • 第二步,得到了
      的值,将这个值带入到
      这个对应法则中去,便能得到
      的值

    由上可知,

    这个对应法则的“定义域”,就相当于
    的“值域”。(当然并不完全是,根据具体题目而定)

    所以,为了研究

    ,我们也就只用研究
    了。(废话)

    那么,我们不妨做一个大胆的尝试:把

    放在“同一个坐标系”里。

    下面放第一个简单的例题:


    例1.已知

    =
    =
    ,那么
    =1一共有几个根?

    显然,我们从常规方法考虑,很容易知道有2个根。

    那么我们梳理一下常规思路:

    第一步,令
    =1,解得
    =

    第二步,令
    ,解得:

    由这一题,我们便可以总结出

    =k的解题步骤:
    • 因为有
      这个对应法则,使得我们将
      =k的“k”转换得到了 “
      的值”
    • 因为有
      这个对应法则,使得我们将“
      的值”转换得到了“
      ”的值

    so,这就是放在“同一个坐标系”里的原因(图画的不好,见谅)

    938614d1c89e868a89fe048f9c37c191.png
    此时的
    =
    是横着的,它的“值域”(描述不准确,见谅)对应着这个坐标系里的x轴,而
    本身的“x轴”则不确定(没必要画出来),并不是这个图里所谓“-5”的位置。

    竖直的红线与图示x轴的交点为

    横着线表示着 :通过利用

    这个对应法则,将“1”转换成“
    的值”

    竖直线表示着:通过利用

    这个对应法则,将“
    的值”转换得到“
    ”的值

    所以从图中很容易就看出来,一共有两个不等实根。

    这个方法很像“标根法”。

    既然大家稍微理解了,那么我们来几道“难的”


    例2. 已知

    ,且
    (
    )有4个不等实根
    =1,2,3,4)
    ,则
    ________

    我们不妨画一下图

    99ca5e3e8cd5b961e4cdf83fc5a49be9.png
    绿线与图示x轴交点分别为1-m,1+m(从左到右)
    竖直的绿线与图示x轴的交点的数值=

    显然,

    ,在小
    里,有

    易得:

    从而:


    例3.

    ,且
    有三个不等实根,则
    ________________

    容易画出

    的图像:

    11826ffe87921ef41767d8fbe1ab365e.png

    则原题条件可看成:

    =
    复合成
    ,且
    =0有且仅有三个不等实根

    我们通过标根,容易发现,当且仅当下图所示时,才可能有3个根:

    a62a570cb80858e25219f71e5a45bbf2.png

    从而易得:

    从而解得:

    所以


    例4.已知函数

    满足
    有6个不等实根,求
    应满足的条件为_____________________

    容易画出函数

    图像:

    c3b0a24d6fab6dc2993e9cae7fc75a17.png
    貌似多画了一个点(1,0),实在不想改了

    则原题条件可看成:

    =
    复合成
    ,且
    =0有6个不等实根

    那么我们通过标根,容易发现,当且仅当下图所示时,才可能有6个根:

    4db5645604655f6cea9a1c65a308bebd.png
    两个蓝色的虚线与横着的
    的交点就是零点

    则,原题目等价为:

    =
    内各有一个根。

    这样子题目就变得很简单啦,答案是


    由于笔者实在太懒,毕竟码公式和做图片也很难,那笔者就将剩下的题目和答案作为练习奉上:

    1.已知函数

    ,若
    有4个零点,则a的取值范围为:________________________

    2.已知函数

    其中
    ,若函数
    有3个不同零点,则m的取值范围是:_______________________

    3.已知函数

    ,
    ,若
    总共有六个零点,求m范围:____________________

    答案:

    1.

    2.(0,1)

    3.


    本篇文章从2020.4.4下午2点一直码到2020.4.5凌晨0.56,由于笔者只有手写的题目,故每个题目都手码公式了很久,如果有不足之处,希望大家多多包涵。欢迎在评论区补充留言。在这里,我要特别鸣谢一直支持我的dl @meteor (大家可以看一下这个dl的圆锥曲线),题目里的图片都是我请他帮忙加工的(本人电脑渣)。我也要感谢dl @槿灵兮 (某种程度上是这些dl的文章激励着我去写一些平时微不足道的数学思考)

    以上.


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  • 摘要:本节主要介绍欧氏空间中子空间的距离和酉矩阵的概念,这一板块大家在第一遍的复习过程中可以考虑记住概念,当第二遍复习强化刷题阶段,看自己... 设V是复数域上的线性空间,在V上定义了一个二元复函数,称为...

    05c709e42cccad733f10154bec94d105.png
    摘要:本节主要介绍欧氏空间中子空间的距离和酉矩阵的概念,这一板块大家在第一遍的复习过程中可以考虑记住概念,当第二遍复习强化刷题阶段,看自己报考得院校是否考察酉变换,在确定是否刷对应的题目.

    一.子空间的距离.

    定义1. 长度

    称为向量
    的距离,记为

    岩宝小提示:距离的三条基本性质

    (1)

    (2)

    并且仅当时等号才成立;

    (3)

    (三角不等式).

    定义2. 设V是复数域上的线性空间,在V上定义了一个二元复函数,称为内积,记作

    ,它具有以下性质:

    (1)

    这里
    的共轭复数;

    (2)

    (3)

    (4)

    是非负实数,且
    当且仅当

    这里

    是V中任意的向量,k为任意复数,这样的线性空间称为酉空间.

    岩宝小提示:由于酉空间的讨论与欧式空间的讨论很相似,有一套平行的理论,这里给大家一一列出来.

    首先由内积的定义可以得到:

    (1)

    (2)

    和欧式空间一样,因为

    故可定义向量的长度.

    (3)

    叫做向量
    的长度,记为
    (4)柯西-布涅夫斯基不等式仍然成立,即对于任意的向量

    当且仅当

    线性相关时,等号成立.

    这里岩宝要强调一点,酉空间中的内积

    一般是复数,故向量之间不易定义夹角,但我们仍引入:

    (5)向量

    ,当
    时称为正交或者互相垂直.

    在n维酉空间中,同样可以定义正交基和标准正交基,并且关于标准正交基也有下述一些重要的性质:

    (6)任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化,并扩充成为一组标准正交基.

    (7)对n级复矩阵A,用

    表示以A的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A满足
    就叫做酉矩阵,它的行列式绝对值等于1.

    类似于欧氏空间的正交变换和对称变换,可以引进酉空间的酉变换和埃尔米特矩阵.他们也分别具有正交变换和对称矩阵的一些重要性质,如下

    (8)酉空间V的线性变换

    ,如果满足
    就称为V的一个酉变换,酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.

    (9)如果矩阵A满足

    叫做埃尔米特矩阵.在酉空间
    中令

    也是对称变换.

    (10)V是酉空间,

    是子空间,
    的正交补,则

    (11)埃尔米特矩阵的特征值为实数,它的属于不同特征值的特征向量必正交.

    (12)若A是埃尔米特矩阵,则有酉矩阵C,使得

    是对角矩阵.

    (13)设A为埃尔米特矩阵,二次齐次函数

    叫做艾尔米特二次型,必有酉矩阵C,当

    时,


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