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复函数图像怎么画_如何画出复平面上的网格在复函数映射下的图像?
2021-01-12 08:18:49定义两个函数,分别是CartesianMap 和PolarMap 用来处理直角坐标和极坐标下的绘图,可接受绘图参数来控制图形显示效果。(这两个函数后来加入系统扩展包中了,再到后来又取消了,见评论链接,不过仍然不失为一种不错...这是很早之前貌似从一本书上学习 Mathematica 时写的,算法原理也是书上的,年代太久远,我记不清楚出处了。
定义两个函数,分别是 CartesianMap 和 PolarMap 用来处理直角坐标和极坐标下的绘图,可接受绘图参数来控制图形显示效果。(这两个函数后来加入系统扩展包中了,再到后来又取消了,见评论链接,不过仍然不失为一种不错的方法)具体用法我举几个例子说明一下。
$Lines = 15;
Options[CartesianMap] = Options[PolarMap] = {Lines -> $Lines};
CartesianMap[
func_, {x0_, x1_, dx_: Automatic}, {y0_, y1_, dy_: Automatic},
opts___?OptionQ] /;
VectorQ[{x0, x1, y0, y1},
NumericQ] && (NumericQ[dx] ||
dx === Automatic) && (NumericQ[dy] || dy === Automatic) :=
Module[{x, y},
Picture[CartesianMap,
func[x + I*y], {x, x0, x1, dx}, {y, y0, y1, dy}, opts]];
PolarMap[func_, {r0_: 0, r1_, dr_: Automatic}, {p0_, p1_,
dp_: Automatic}, opts___?OptionQ] /;
VectorQ[{r0, r1, p0, p1},
NumericQ] && (NumericQ[dr] ||
dr === Automatic) && (NumericQ[dp] || dp === Automatic) :=
Module[{r, p},
Picture[PolarMap,
func[r*Exp[I*p]], {r, r0, r1, dr}, {p, p0, p1, dp}, opts]];
PolarMap[func_, rr_List, opts_?OptionQ] :=
PolarMap[func, rr, {0, 2*Pi}, opts];
Picture[cmd_, e_, {s_, s0_, s1_, ds_}, {t_, t0_, t1_, dt_}, opts___] :=
Module[{hg, vg, lines, nds = ds, ndt = dt},
lines = Lines /. {opts} /. Options[cmd];
If[Head[lines] =!= List, lines = {lines, lines}];
If[ds === Automatic, nds = N[(s1 - s0)/(lines[[1]] - 1)]];
If[dt === Automatic, ndt = N[(t1 - t0)/(lines[[2]] - 1)]];
hg = Curves[e, {s, s0, s1, nds}, {t, t0, t1}, opts];
vg = Curves[e, {t, t0, t1, ndt}, {s, s0, s1}, opts];
Show[Graphics[Join[hg, vg]],
Evaluate[FilterRules[{opts}, Options[Graphics]]],
AspectRatio -> Automatic, Axes -> True]];
Curves[xy_, spread_, bounds_, opts___] :=
With[{curves = Table[{Re[xy], Im[xy]}, spread]},
ParametricPlot[curves, bounds, DisplayFunction -> Identity,
Evaluate[FilterRules[{opts}, Options[ParametricPlot]]]][[1]]];
指数函数
余弦函数
自定义的函数:倒数
Zeta 函数
复共轭的倒数
上面都是直角坐标下的图形,极坐标下的用法是完全相同的,不再举例说明。
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复函数图像怎么画_分析函数,只需三步走
2021-01-01 07:41:38第一步:是什么(1)定义是什么?(2)图像是什么?(3)性质是什么?老师讲课也好,学生学习也罢,只要涉及到函数内容,一般都是从这三个‘是什么’切入进去的。拿三角函数举例(因为有家长说三角函数有点难学,...本人微信公众号:丑人数学
今天分享一种思考数学问题的方式。
逻辑清晰,只需三步:
1. 是什么?
2. 考什么?
3. 怎么做?
第一步:是什么
(1)定义是什么?
(2)图像是什么?
(3)性质是什么?
老师讲课也好,学生学习也罢,只要涉及到函数内容,一般都是从这三个‘是什么’切入进去的。
拿三角函数举例
(因为有家长说三角函数有点难学,所以这里就拿三角函数举例)
按三个‘是什么’来学习三角函数,应该怎么学?
1.三角函数的定义是什么?
随手画个坐标系,再随手画个任意角β。
这个β角的起始边和X轴重合。
角的顶点和坐标系原点重合在一起。
在角的另一边取个点(x,y),这个点到原点的距离是r,推出:
sin(β)=y/r(对边比斜边)
cos(β)=x/r(邻边比斜边)
tan(β)=y/x(对边比领边)
诸位,知识点呀!
此时不记,更待何时?
非等到海枯石烂,你才愿意记住定义吗?
2.三角函数的图像是什么?
图像是什么?
不知道!我不懂!别问我!
(像不像素质三连?假装此处有表情包)
如果连图像是什么都不知道,那我就不想说话,并有种想揍人的赶脚。
就算你定义记不住,请你也一定要把图像画出来。
没图像就研究三角函数,那就相当于你没枪就上战场,闲着没事你闹着玩呢!
关于函数图像怎么画,这个之前讲的太多,文字语言就不多说,不会画的童鞋请自行面壁思过,然后打开数学书,好好地翻书学一下。
3.三角函数性质是什么?
定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性;
第二步:考什么
(1)考定义;
(2)考图像
(3)考性质
你看,直接回到第一点,简单来说:
讲什么,考什么!
这里讲考试的性质分为:期中考试、期末考试、高考;
先说一下,期末考试针对性太强,简单来说就是,这几个月你学了什么,期中考试就会考察什么。
之前学的,之后学的,几乎都不会考!
期末考试,一般指的是整年的考试,也就是说,你整个学年学了什么,期末考试就会考察什么。
高考,这个不用多说,整个高中三年所学知识,几乎都会考到。
很多学生连这三种考试都分不清楚,就会抱怨说,分明已经很认真学习了,为什么还学不好呢?
我们先来弄明白这三种考试的区别:
期中考试针对性很强,会针对某个知识点专门命题出试卷,这种试卷考得不好,只能说明你这个阶段学的不好。
期末考试,针对整个学年出试卷,考得不好,只能说明你这整年都没学好。
高考没考好,那就说明,你这高中三年没学好。
别整天抱着一张期中考试的试卷,大喊大叫说:“我数学太差了,我果然还是不适合学习数学。”
你要是抱着一张高考试卷来说这话,我倒是很信服,毕竟大局已定。
我以前高中同学,目前在北邮读研,他高二时数学不好,高三努力一把,然后数学直接起飞。
你看,通过一张试卷,就否定你,这明显是心态有问题,心态千万别炸,成绩再差都别慌,建议先调整自我心态,再谈学习数学。
弄清楚三种考试区别后,我们来谈一下考什么。
1.图像考什么?
这里我将定义考什么忽略掉。为啥呢?因为,身边很多人不记得定义,但仍然可以把题目做出来。
譬如说,你还记得有理数的定义是什么吗?不记得吧!哈哈……可你依旧可以做题。
图像的考法一般是:
(1)画图,建议使用特殊值,取五个点,使用五点描图法。
(2)平移,函数图像平移,无非就是左加右减,上加下减。
(3)观察性质,是的,请注意,是观察,而不是计算。当然,如果你要是能通过画图把答案给画出来,那也可以。
2.性质考什么?
定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性,这六个点,一般来讲,高考命题会侧重于某几个点,至于侧重于哪几个点,我也不知道,这取决于命题组老师,因此这六个点都很重要。
涉及到这六个点的题目有很多,下次我会专门找一些题目来分析。
第三步:怎么做
我先问你一个问题,你现在弄没弄明白三角函数到底考什么?如果你弄明白了,那就请点个赞,然后赶紧针对性找题目去训练。
一定要把逻辑理清楚,要弄懂题目想考什么,而不是稀里糊涂的胡乱做题目。数学考察逻辑思维能力,如果你保持云里雾里的状态去学数学,考不出来成绩是应该的。
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复函数图像怎么画_复合函数零点问题——最直观最简单
2020-12-30 04:37:11我们可以从如下角度去考虑:第一步,确定 ,从而得到了 的值第二步,得到了 的值,将这个值带入到 这个对应法则中去,便能得到的值由上可知, 这个对应法则的“定义域”,就相当于 的“值域”。(当然并不完全是,...先声明一下,笔者是自己高一琢磨出来的,并没有参考任何、任何教辅资料。如有雷同,纯属巧合。
下面直接进入正题:
如果我们想画出一般的复合函数
的图像,该怎么画呢?
我们可以从如下角度去考虑:
- 第一步,确定
,从而得到了
的值
- 第二步,得到了
的值,将这个值带入到
这个对应法则中去,便能得到
的值
由上可知,
这个对应法则的“定义域”,就相当于
的“值域”。(当然并不完全是,根据具体题目而定)
所以,为了研究
,我们也就只用研究
和
了。(废话)
那么,我们不妨做一个大胆的尝试:把
和
放在“同一个坐标系”里。
下面放第一个简单的例题:
例1.已知
=,=,那么=1一共有几个根?显然,我们从常规方法考虑,很容易知道有2个根。
那么我们梳理一下常规思路:
第一步,令
=1,解得=
第二步,令,解得:
由这一题,我们便可以总结出
=k的解题步骤:
- 因为有
这个对应法则,使得我们将
=k的“k”转换得到了 “
的值”
- 因为有
这个对应法则,使得我们将“
的值”转换得到了“
”的值
so,这就是放在“同一个坐标系”里的原因(图画的不好,见谅)
此时的
=是横着的,它的“值域”(描述不准确,见谅)对应着这个坐标系里的x轴,而
本身的“x轴”则不确定(没必要画出来),并不是这个图里所谓“-5”的位置。
竖直的红线与图示x轴的交点为横着的红线表示着 :通过利用
这个对应法则,将“1”转换成“
的值”
竖直的红线表示着:通过利用
这个对应法则,将“
的值”转换得到“
”的值
所以从图中很容易就看出来,一共有两个不等实根。
这个方法很像“标根法”。
既然大家稍微理解了,那么我们来几道“难的”
例2. 已知
,且()有4个不等实根(
,则=1,2,3,4)
________我们不妨画一下图
绿线与图示x轴交点分别为1-m,1+m(从左到右) 竖直的绿线与图示x轴的交点的数值=
显然,
,在小
里,有
易得:
从而:
例3.
,且
有三个不等实根,则
________________
容易画出
的图像:
则原题条件可看成:
=
与
复合成
,且
=0有且仅有三个不等实根
我们通过标根,容易发现,当且仅当下图所示时,才可能有3个根:
从而易得:
从而解得:
所以
例4.已知函数
满足有6个不等实根,求应满足的条件为_____________________容易画出函数
图像:
貌似多画了一个点(1,0),实在不想改了 则原题条件可看成:
=
与
复合成
,且
=0有6个不等实根
那么我们通过标根,容易发现,当且仅当下图所示时,才可能有6个根:
两个蓝色的虚线与横着的
的交点就是零点
则,原题目等价为:
=
在
内各有一个根。
这样子题目就变得很简单啦,答案是
由于笔者实在太懒,毕竟码公式和做图片也很难,那笔者就将剩下的题目和答案作为练习奉上:
1.已知函数
,
,若
有4个零点,则a的取值范围为:________________________
2.已知函数
其中
,若函数
有3个不同零点,则m的取值范围是:_______________________
3.已知函数
,
,若
总共有六个零点,求m范围:____________________
答案:
1.
2.(0,1)
3.
本篇文章从2020.4.4下午2点一直码到2020.4.5凌晨0.56,由于笔者只有手写的题目,故每个题目都手码公式了很久,如果有不足之处,希望大家多多包涵。欢迎在评论区补充留言。在这里,我要特别鸣谢一直支持我的dl @meteor (大家可以看一下这个dl的圆锥曲线),题目里的图片都是我请他帮忙加工的(本人电脑渣)。我也要感谢dl @槿灵兮 (某种程度上是这些dl的文章激励着我去写一些平时微不足道的数学思考)
以上.
- 第一步,确定
-
欧氏空间内积定义_向量到子空间的距离与酉空间
2021-01-07 11:19:07摘要:本节主要介绍欧氏空间中子空间的距离和酉矩阵的概念,这一板块大家在第一遍的复习过程中可以考虑记住概念,当第二遍复习强化刷题阶段,看自己... 设V是复数域上的线性空间,在V上定义了一个二元复函数,称为...摘要:本节主要介绍欧氏空间中子空间的距离和酉矩阵的概念,这一板块大家在第一遍的复习过程中可以考虑记住概念,当第二遍复习强化刷题阶段,看自己报考得院校是否考察酉变换,在确定是否刷对应的题目.
一.子空间的距离.
定义1. 长度
称为向量
和
的距离,记为
岩宝小提示:距离的三条基本性质
(1)
(2)
并且仅当时等号才成立;
(3)
(三角不等式).
定义2. 设V是复数域上的线性空间,在V上定义了一个二元复函数,称为内积,记作
,它具有以下性质:
(1)
这里
是
的共轭复数;
(2)
(3)
;
(4)
是非负实数,且
当且仅当
这里
是V中任意的向量,k为任意复数,这样的线性空间称为酉空间.
岩宝小提示:由于酉空间的讨论与欧式空间的讨论很相似,有一套平行的理论,这里给大家一一列出来.
首先由内积的定义可以得到:
(1)
(2)
和欧式空间一样,因为
故可定义向量的长度.
(3)
叫做向量
的长度,记为
(4)柯西-布涅夫斯基不等式仍然成立,即对于任意的向量
有
当且仅当
线性相关时,等号成立.
这里岩宝要强调一点,酉空间中的内积
一般是复数,故向量之间不易定义夹角,但我们仍引入:
(5)向量
,当
时称为正交或者互相垂直.
在n维酉空间中,同样可以定义正交基和标准正交基,并且关于标准正交基也有下述一些重要的性质:
(6)任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化,并扩充成为一组标准正交基.
(7)对n级复矩阵A,用
表示以A的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A满足
就叫做酉矩阵,它的行列式绝对值等于1.
类似于欧氏空间的正交变换和对称变换,可以引进酉空间的酉变换和埃尔米特矩阵.他们也分别具有正交变换和对称矩阵的一些重要性质,如下
(8)酉空间V的线性变换
,如果满足
就称为V的一个酉变换,酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.
(9)如果矩阵A满足
叫做埃尔米特矩阵.在酉空间
中令
则
也是对称变换.
(10)V是酉空间,
是子空间,
是
的正交补,则
(11)埃尔米特矩阵的特征值为实数,它的属于不同特征值的特征向量必正交.
(12)若A是埃尔米特矩阵,则有酉矩阵C,使得
是对角矩阵.
(13)设A为埃尔米特矩阵,二次齐次函数
叫做艾尔米特二次型,必有酉矩阵C,当
时,
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