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  • 复变函数-第一章-复数与复变函数

    千次阅读 2017-11-25 11:24:13
    复变函数-第一章-复数与复变函数 复变函数-第一章-复数与复变函数 1 复数与复变函数 1.1 复数 1.2集合表示 1.3 乘幂与方根 1.4 区域 1.5 复变函数及其极限和连续性 1 复数与复变函数 1.1 复数 ...

    1 复数与复变函数

    1.1 复数

    实部 x=Re(z),虚部y=Im(z)。

    z=x+iy,共轭复数zˉ=x−iy\bar z=x-iyzˉ=xiy

    1.2集合表示

    zˉz=∣z∣2=∣z2∣\bar z z=|z|^2=|z^2|zˉz=z2=z2

    幅角Argz=θ,tg(Argz)=yx\frac{y}{x}xy.

    Argz=θ1+2kπArgz=\theta_1+2k\piArgz=θ1+2kπ

    Argz的主值θ0:−π<θ0≤π,记为θ0=argzArgz的主值\theta_0:-\pi<\theta_0\le\pi,记为\theta_0=argzArgzθ0:π<θ0π,θ0=argz.

    z=0时,幅角不确定。

    三角不等式:∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣,∣z1−z2∣≥∣∣z1∣−∣z2∣∣|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|,|z_1-z_2|\ge||z_1|-|z_2||z1+z2z1+z2,z1z2z1z2

    三角表示式:z=r(cosθ+isinθ)z=r(cos\theta+isin\theta)z=r(cosθ+isinθ)

    欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=cos\theta+isin\thetaeiθ=cosθ+isinθ

    指数表示式:z=reiθz=re^{i\theta}z=reiθ

    复球面:。。。

    1.3 乘幂与方根

    ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣Arg(z1z2)=Argz1+Argz2Arg(z2)=Arg(z2z1)+Arg(z1)⇒Arg(z2z1)=Arg(z2)−Arg(z1)zn=rn(cosnθ+isinnθ)DeMoivre公式:(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθz=r(cosθ+isinθ)⇒w=zn=r1n(cosθ+2kπn+isinθ+2kπn) |z_1z_2|=|z_1||z_2|\\ Arg(z_1z_2)=Argz_1+Argz_2\\ Arg(z_2)=Arg(\frac{z_2}{z_1})+Arg(z_1)\Rightarrow Arg(\frac{z_2}{z_1})=Arg(z_2)-Arg(z_1)\\ z^n=r^n(cosn\theta+isinn\theta)\\ De Moivre 公式:(cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta\\ z=r(cos\theta+isin\theta)\Rightarrow w =\sqrt[n]{z}=r^{\frac{1}{n}}(cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+isin\frac{\theta+2k\pi}{n}) z1z2=z1z2Arg(z1z2)=Argz1+Argz2Arg(z2)=Arg(z1z2)+Arg(z1)Arg(z1z2)=Arg(z2)Arg(z1)zn=rn(cosnθ+isinnθ)DeMoivre:(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθz=r(cosθ+isinθ)w=nz=rn1(cosnθ+2kπ+isinnθ+2kπ)

    1.4 区域

    G为一平面点集,z0为G中任意一点,如果存在z0的一个邻域,邻域内所有点属于G,那么称z0为G的内点。如果G内每个点都是它的内点,那么称G为开集。

    区域与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作Dˉ\bar DDˉ.

    光滑:z(t)=x(t)+iy(t)[x′(t)]2+[y′(t)]2≠0z(t)=x(t)+iy(t) [x'(t)]^2 +[y'(t)]^2 \ne 0z(t)=x(t)+iy(t)[x(t)]2+[y(t)]2=0

    一条连续曲线,重合的点称为重点。没重点的曲线称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线。

    单连通域:没洞。

    多连通域:有洞。

    1.5 复变函数及其极限和连续性

    G:定义集合

    G*:函数值集合

    连续:lim⁡z→z0f(z)=f(z0)\lim_{z \to z_0}f(z)=f(z_0)limzz0f(z)=f(z0)

    函数连续⟺\Longleftrightarrow实部和虚部分别连续

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  • 复变函数第三章-复变函数的积分

    千次阅读 2017-11-26 22:30:48
    3 复变函数的积分 3.1 概念 3.2 柯西-古萨基本定理 3.3 复合闭路定理 3.4 原函数与不定积分 3.5 柯西积分公式 3.6 解析函数的高阶导数 3.7 调和函数 3 复变函数的积分 3.1 概念 闭曲线积分∮Cf(z)dz=−...

    3 复变函数的积分

    3.1 概念

    闭曲线积分Cf(z)dz=Cf(z)dz∮Cf(z)dz=−∮C−f(z)dz

    Cf(z)dz=Cudxvdy+iCvdx+udy∮Cf(z)dz=∫Cudx−vdy+i∫Cvdx+udy

    Cf(z)dz=βαf[z(t)]z(t)dt∮Cf(z)dz=∫αβf[z(t)]z′(t)dt

    |zz0|=rdz(zz0)n+1={2πi,0,n=0n0∮|z−z0|=rdz(z−z0)n+1={2πi,n=00,n≠0

    估值不等式:曲线C长度为L,函数f(z)在C上满足|f(z)|M,则

    |Cf(z)dz|C|f(z)|dsML|∫Cf(z)dz|≤∫C|f(z)|ds≤ML

    3.2 柯西-古萨基本定理

    积分与路线无关。

    柯西-古萨基本定理:如果f(z)在单连通域B内处处解析,那么f(z)在B内的任何一条封闭曲线C的积分为0。

    Cf(z)dz=0∮Cf(z)dz=0

    3.3 复合闭路定理

    闭路变形原理:区域内一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,只要变形过程中不经过不解析的点。

    复合闭路定理:C为多连通域D内的一条简单闭曲线,C1,C2...C1,C2... 为C内部的简单闭曲线,塔门互不包含互不相交,以它们为边界的区域全含于D,如果f(z)在D内解析,则

    Cf(z)dz=k=1nCkf(z)dz∮Cf(z)dz=∑k=1n∮Ckf(z)dz

    3.4 原函数与不定积分

    如果函数在单连通区域内处处解析,那么积分与路线无关。

    如果f(z)在单连通域B内处处解析,那么函数F(z)必为B内的解析函数。

    3.5 柯西积分公式

    f(z0)=12πiCf(z)zz0dzf(z0)=12πi∮Cf(z)z−z0dz

    如果C是圆周z=z0+Reiθz=z0+Reiθ,那么

    f(z0)=12π2π0f(z0+Reiθ)dθf(z0)=12π∫02πf(z0+Reiθ)dθ

    即,一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。

    逆定理:魔勒拉

    3.6 解析函数的高阶导数

    f(n)(z0)=n!2πiCf(z)(zz0)n+1dzf(n)(z0)=n!2πi∮Cf(z)(z−z0)n+1dz

    3.7 调和函数

    如果二元实变函数φ(x,y)φ(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程

    2φx2+2φy2=0∂2φ∂x2+∂2φ∂y2=0

    那么称φ(x,y)φ(x,y)为D内的调和函数。

    D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。

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  • 复变函数与积分变换系列(一) - 复变函数与解析函数 Author : Benjamin142857 [TOC] 0 .几基本概念 实虚部 Plural:&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;z=x+iyReal:&amp;nbsp;&amp...

    复变函数与解析函数

    Author : Benjamin142857

    [TOC]

    0 .几个基本概念

    • 实虚部
      Plural:   z=x+iyReal:   x=Re zImaginary:   y=Im z Plural:\ \ \ z=x+iy \\ Real:\ \ \ x = Re\ z \\ Imaginary: \ \ \ y=Im\ z

    • 辐角

      θ0\theta_0 : 唯一; π&lt;θ0&lt;π-\pi &lt; \theta_0 &lt; \pi

      θ\theta : 无穷个; θ=θ0+2kπ   (kZ)\theta = \theta_0 + 2k\pi\ \ \ (k\in Z)

      • 主辐角
        θ0=arg z \theta_0 = arg\ z

      • 辐角
        θ=Arg z \theta = Arg\ z

    1. 复数常用运算

    复数运算满足交换律、结合律、分配律、以下是几种常用的快捷运算

    (1.1)z1z2=(x1x2y1y2)+i(x1y2+x2y1) z_1z_2 = (x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)\tag{1.1}

    (1.2)z1z2=x1x2+y1y2x22+y22+ix2y1x1y2x22+y22 \frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\tag{1.2}

    (1.3)z1±z2=z1±z2,    z1z2=z1z2,    (z1z2)=z1z2 \overline{z_1\pm z_2} =\overline{z_1} \pm \overline{z_2},\ \ \ \ \overline{z_1z_2} =\overline{z_1}·\overline{z_2},\ \ \ \ \overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\tag{1.3}

    (1.4)zz=(Re z)2+(Im z)2 z·\overline{z} = (Re\ z)^2+(Im\ z)^2\tag{1.4}

    2. 各种复数表示式

    三角表示式 \Leftrightarrow 指数表示式 : 欧拉公式

    • 常规复数 - 表示式
      (2.1)z=x+iy z = x+iy\tag{2.1}

    • 复平面点 - 表示式
      (2.2)z=(x,y) z = (x, y)\tag{2.2}

    • 复平面向量 - 表示式
      (2.3)z=OP z = \overrightarrow{OP}\tag{2.3}

    • 三角 - 表示式
      (2.4)z=r(cosθ+isinθ) z = r·(cos\theta + isin\theta)\tag{2.4}

    • 指数 - 表示式

    (2.5)z=reiθ z = r·e^{i\theta}\tag{2.5}

    • 复球面 - 表示法

      N:北极 - 无穷远点

      S:南极 - 复平面原点

      Describe : 复平面一点 PPNN 连线交于复球面的一点 QQQQ的位置可完全表示复数信息

      • OPOP 方向表示:作 ONON 上一点 OO&#x27; 使得 OQ//OPO&#x27;Q // OPOQO&#x27;Q 方向即 OPOP 方向
      • OPOP 大小表示:QQNN 越近越大,越远越小

    3. 乘幂与方根

    z1=r1(cosθ1+isinθ1)z_1 = r_1(cos\theta_1+isin\theta_1)

    z2=r2(cosθ2+isinθ2)z_2 = r_2(cos\theta_2+isin\theta_2)

    • 乘幂
      (3.1)z1z2=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))=r1r2ei(θ1+θ2) z_1z_2 = r_1r_2(cos(\theta_1 + \theta_2) + isin(\theta_1 + \theta_2))=r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\tag{3.1}

      (3.2)zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)]=rneinθ z^n = r^n[cos(n\theta) +isin(n\theta)]=r^ne^{in\theta}\tag{3.2}

      • DeMoivre (棣莫佛公式)

        r=1r=1

        (3.3)(cosθ+isinθ)n=[cos(nθ)+isin(nθ)] (cos\theta+isin\theta)^n=[cos(n\theta)+isin(n\theta)]\tag{3.3}

    • 方根
      (3.4)z1z2=r1r2(cos(θ1θ2)+isin(θ1θ2))=r1r2ei(θ1θ2) \frac{z_1}{z_2} = r_1r_2(cos(\theta_1 - \theta_2) + isin(\theta_1 - \theta_2))=r_1r_2e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\tag{3.4}

      (3.5)z1n=r1n[cos(θ+j2πn)+isin(θ+j2πn)]=r1nei(θ+j2πn)(j=0,1,...,n1) z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}}[cos(\frac{\theta+j·2\pi}{n})+isin(\frac{\theta+j·2\pi}{n})] = r^{\frac{1}{n}}e^{i(\frac{\theta+j·2\pi}{n})}\\ (j = 0,1,...,n-1)\tag{3.5}

    4. 区域

    • 主要内容
      1. 领域 + 去心领域
      2. 一些点 - [内点,外点,边界点,边界点集]
      3. 一些域 - [开集,连通,区域,闭域]
      4. 有界 + 无界
    • 领域与去心领域

      • 领域:zz0&lt;δ|z-z_0|&lt;\delta
      • 去心领域:0&lt;zz0&lt;δ0&lt;|z-z_0|&lt;\delta
      • 简记:B(z0,δ)B(z_0, \delta)
    • 内点、外点、边界点、边界点集

      • 内点:ρ&gt;0     B(z0,ρ)E\exists \rho&gt;0 \ \ \ \rightarrow \ \ B(z_0, \rho)\subset E

      • 外点:ρ&gt;0     B(z0,ρ)E=\exists \rho&gt;0 \ \ \ \rightarrow \ \ B(z_0, \rho)\cap E = \varnothing

      • 边界点:ρ&gt;0z1,z2B(z0,ρ)     z1Ez2E\forall \rho&gt;0 ,\exist z_1,z_2 \in B(z_0, \rho)\ \ \ \rightarrow \ \ z_1 \in E,z_2 \notin E

      • 边界点集:KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\part' at position 1: \̲p̲a̲r̲t̲ ̲E

    • 开集、连通、区域、闭域

      • 开集:点集内所有点都是内点

      • 连通:z1,z2E\forall z_1,z_2 \in E\exist 一条曲线 $ \rightarrow$ 能将 z1,z2z_1, z_2 连接起来

      • 区域:DD = [开集] + [连通]

      • 闭域:KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\part' at position 18: …verline{D} = D+\̲p̲a̲r̲t̲ ̲D

    • 有界、无界

      • 有界:M&gt;0\exist M &gt;0 \rightarrow zD,z&lt;M\forall z \in D, |z|&lt;M
      • 无界: $ 不存在 M >0$ \rightarrow zD,z&lt;M\forall z \in D, |z|&lt;M

    5. Jordan曲线、区域连通性

    • 主要内容
      1. 复平面 - 连续曲线
      2. 连续曲线 - 方向
      3. 闭合曲线 + 简单曲线
      4. Jordan曲线
      5. 光滑曲线 + 分段光滑曲线
      6. 单连通区域 + 多连通区域
    • 复平面上的连续曲线

      XOYXOY 复平面上,曲线 CC 连续

      (5.1)z=x(t)+iy(t)    αtβ z = x(t) + iy(t)\ \ \ \ (\alpha \leq t \leq \beta )\tag{5.1}

      其中,x(t),y(t)x(t) , y(t)[α,β][\alpha, \beta] 上连续的实值函数

    • 复平面连续曲线的方向

      • 对于曲线 z(t)z(t)tt 增加的方向为曲线方向,若没有特别说明,则需约定一个正方向
      • CC 的反向曲线表示为 C1C^{-1}
    • 闭合曲线与简单曲线

      • 闭合曲线:z(起点)=z(终点)

      • 简单曲线:曲线除起点和终点以外的其他位置不相交(起点终点可交可不交)

    • Jordan曲线

      连续的简单闭曲线:[连续] + [闭合] + [简单]

      • Jordan曲线把复平面分为两个区域:内部有界,外部无界,曲线为公共边界

      • Jordan曲线的正方向为逆时针方向

    • 光滑曲线与分段光滑曲线

      • z(t)=x(t)+iy(t)z(t) = x(t) + iy(t) 是光滑曲线:

        • x(t)x(t)y(t)y(t)t[α,β]t\in [\alpha, \beta] 上连续可导
        • [x(t)]2+[y(t)]20[x&#x27;(t)]^2+[y&#x27;(t)]^2\neq0 (切线方向唯一存在性定理:就是不能为零向量)
      • 分段光滑光滑曲线:由几段光滑曲线依次相连

    • 单连通域,多连通域

      首先前提:点集是区域

      • 单连通区域:DD 内任何Jordan曲线的内部区域都包含于 DD

      • 多连通区域:不是单连通区域的区域

    6. 复变函数与其基本性质

    • 主要内容
      1. 复变函数 - 定义
      2. 复变函数 - 单值与多值
      3. 复变函数 - 二元实函数表示
      4. 复变函数 - 反函数
      5. 复变函数 - 极限存在性
      6. 复变函数 - 连续性
      7. 复变函数 - 连续性的相关定理
    • 复变函数的定义

      EE 为复平面上的点集

      zEz \in Ew=f(z)w=f(z)

    • 复变函数的单值与多值

      • 单值复变函数:zE\forall z \in E,存在唯一 f(z)f(z) 值与之对应

        例:f(z)=zf(z) = |z|

      • 多值复变函数 : zE\exist z \in Ef(z)f(z) 有多个值

        例:f(z)=Arg zf(z) = Arg\ z

    • 复变函数的二元实函数表示

      z=x+iyz = x+iy 为复数

      w=f(z)w=f(z) 为复数

      w=f(z)w=f(z) 可写成实变量 x,yx, y 的二元实函数组成的复数

      (6.1)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\tag{6.1}

    • 复变函数的反函数

      对于 w=f(z)w=f(z)

      ww 的值域(点集):G={ww=f(z),zD}G = \{w|w=f(z),z\in D\}

      D={zz=φ(w),wG}D = \{z|z=\varphi(w), w\in G\}

      则称 z=φ(w)z = \varphi(w)w=f(z)w = f(z) 的反函数

    • 复变函数的极限

      与高数中二元实函数极限思想类似

      ε&gt;0\forall \varepsilon &gt;0

       δ\exist\ \delta,当 0&lt;zz0&lt;δ0&lt;|z-z_0|&lt;\delta

      f(z)A&lt;ε|f(z) - A|&lt;\varepsilon

      f(z)f(z)z0z_0 点的极限存在

    (6.2)limzz0f(z)=A \lim_{z\rightarrow z_0} f(z) = A\tag{6.2}

    • 证明该点极限不存在

      • 找一条过该点的路径趋近,算出极限不为定值或不存在
      • 找不同过该点的路径趋近,算出极限不相等
    • 证明该点极限存在

      • 夹逼准则
    • 复变函数的连续性

      • 复变函数在某点连续

        在该点的领域内有定义,且该点极限存在

      • 复变函数在某区域内连续

        在该区域内没一点都连续

    • 与复变函数连续性有关的几个定理

      • 定理一

        [复变的二元实函等价性]

        f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

        \Downarrow

        f(z)f(z)z0=x0+iy0z_0=x_0 + iy_0 处连续 \Leftrightarrow u(x,y),v(x,y)u(x, y), v(x, y) 都在 (x0,y0)(x_0, y_0) 处连续

      • 定理二

        [四则运算连续性]

        f(z),g(z)f(z),g(z) 都在 z0z_0 处连续

        \Downarrow

        f(z)±g(z),   f(z)g(z),   f(z)g(z)(g(z)0)f(z) \pm g(z),\ \ \ f(z)g(z), \ \ \ \frac{f(z)}{g(z)}(g(z) \neq 0) 均在 z0z_0 处连续

      • 定理三

        [复合连续性]

        f(z)f(z)z=z0z = z_0 处连续,g(z) 在 z=f(z0)z = f(z_0) 处连续

        \Downarrow

        g(f(z))g(f(z))z0z_0 处连续

      • 定理四

        [连续有界性]

        设曲线C连续,有限长

        f(z)f(z)zCz \in C 上连续

        \Downarrow

        M&gt;0\exist M &gt;0,当 zCz \in C 时, 有 z&lt;M|z|&lt;M

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  • 复变函数 复变函数定义 对应实变函数,同样也可以建立从复变量映射到复变量的函数。 即可以定义映射 f:S↦S∗f:S\mapsto S^*f:S↦S∗,S,S∗⊆CS,S^*\subseteq\mathbb{C}S,S∗⊆C,对于任一复数 z∈Sz\in Sz∈S,都...

    2.1\quad复变函数

    2.1.1\quad复变函数的定义

    对应实变函数,同样也可以建立从复变量映射到复变量的函数。
    即可以定义映射 f:SSf:S\mapsto S^*S,SCS,S^*\subseteq\mathbb{C},对于任一复数 zSz\in S,都对应一个或多个 wSw\in S^*. 用记号表示为 w=f(z)w=f(z).
    上述表述中,SS定义集合SS^*函数值集合SSff定义域wwzz映象),zzww原象
    为了形象地表示复变函数的映射情况,通常用从一个复平面映射到另一个复平面的方式来体现函数的几何特征。

    2.1.2\quad复变函数的图像表示

    【例 2-12\verb|-|1】用图像表示函数 w=z2w=z^2.
    函数w=z^2
    具体变换式与曲线对应方程如下:
    第一组方程描述 x-yx\verb|-|y 平面映射到 u-vu\verb|-|v 平面的变换。
    第二、三组方程描述 u-vu\verb|-|v 平面上平行于 x,yx,y 两轴的直线对应在 x-yx\verb|-|y 平面中的原象。
    当然也可以观察辐角的变化:

    同时也可以观察 u-vu\verb|-|v 平面上的每个单位小正方形区域对应在 x-yx\verb|-|y 平面中的原象:

    不难看出,在两复平面内,原象中的两条相交直线形成的夹角在经过变换后没有发生变化。称满足此条件的函数映射本身为 共形映射保形映射 。共形映射和的具体内容会在之后提及。

    2.1.3\quad复变函数在不同坐标下的形式转换

    同一个函数在不同类型的平面内几何特征也不同。上例中若将 x-yx\verb|-|y 平面与 u-vu\verb|-|v 平面都转化为极坐标,可得到下面的图像:

    容易看出,该例中极坐标下函数的图像变得尤其简单。转化坐标对研究某些函数很有帮助。

    同样地,也可以将复变函数用指数函数形式来表示。


    【例 2-22\verb|-|2】用图像表示函数 w=ezw=e^z.
    以下直接给出图像的两复平面上的等值线与辐角的对应关系图像。

              

    2.1.4\quad复变函数的反函数

    复变函数也有反函数的概念。按照实变函数的定义进行类比,可以得到如下定义:
    若函数 w=f(z)w=f(z) 的定义集合为 zz 平面上的集合 SS,函数值集合为 ww 平面上的集合 SS^*。对于映射 f:SSf:S\mapsto S^*SS^*上每一点 ww 必对应着 SS 中的一个(或多个)点,由此在 SS^* 上就确定了一个单值(或多值)函数 z=φ(w)z=\varphi(w),称为函数 w=f(z)w=f(z)反函数,也称为映射 w=f(z)w=f(z)逆映射

    也即:对于任意的 wSw\in S^*,有w=f[φ(w)],w=f[\varphi(w)],当反函数为单值函数时,也有z=φ[f(z)],zG.z=\varphi[f(z)],\quad z\in G.

    称正映射与逆映射都为单值的函数是 一一的,称对应的集合 SSSS^*一一对应 的。


    2.2\quad复变函数的极限和连续性

    2.2.1\quad复变函数的极限

    . \bold{Ⅰ}.\ \,极限的定义

    设函数 ffz0z_0 的去心邻域中有定义,当 zz 趋近于 z0z_0 时,limzz0f(z)=w0\lim_{z\to z_0}{f(z)}=w_0w=f(z)w=f(z) 可以无限接近于 w0w_0,只要 zz 足够接近 z0z_0 而不等于它。

    按照实变函数中极限的 ε-δ\varepsilon\verb|-|\delta 定义,即:对于  ε>0\forall\ \varepsilon>0 δ>0\exist\ \delta>0s.t.\text{s.t.}    0<zz0<δ\ \ \ 0<|z-z_0|<\delta 时,f(z)w0<ε.|f(z)-w_0|<\varepsilon.

    注意:极限定义中 zz 趋向于 z0z_0 的方式是任意的。(类比多元实变函数极限)

    . \bold{Ⅱ}.\ \,极限定理

    定理一 【极限唯一定理】\quad设函数 f(z)f(z) 在一点 z0z_0 处存在极限值,那么极限值唯一。

    定理二 【极限分部定理】\quad设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\quad A=u_0+iv_0,\quad z_0=x_0+iy_0, 那么limzz0f(z)=A\displaystyle{\lim_{z\to z_0}{f(z)}=A} 的充要条件是 lim(x,y)(x0,y0)u(x,y)=u0,lim(x,y)(x0,y0)v(x,y)=v0.\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}{u(x,y)}=u_0,\quad\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}{v(x,y)}=v_0​.
    定理三 【极限四则运算】\quadlimzz0f(z)=A,  limzz0g(z)=B\displaystyle{\lim_{z\to z_0}{f(z)=A}},\,\,\displaystyle{\lim_{z\to z_0}{g(z)=B}},那么
     1. limzz0f(z)±g(z)=A±B  ;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \, 1. \ \displaystyle{\lim_{z\to z_0}{f(z)\pm g(z)=A\pm B}\; ;}
     2. limzz0f(z)g(z)=AB  ;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \,2. \ \displaystyle{\lim_{z\to z_0}{f(z)g(z)=AB}\; ;}
     3. limzz0f(z)g(z)=AB(B0).\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \,3. \ \displaystyle{\lim_{z\to z_0}{\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{A}{B}}\quad (B\ne 0).}

    . \bold{Ⅲ}.\ \,无穷远点的极限

    将无穷远点 \infty 归入复平面,并且使用相关的极限能够带来许多便利。将纳入了无穷远点的复平面称为 扩充复平面

    在扩充复平面上表示无穷远点时,可以先想象在复平面原点的正上方存在一个球与之相切于原点。定义球的北极 NN 为球上在原点正上方的点,南极 SS 即为原点 OO ,则原来的复平面上任一点 zz 都能与 NN 相连并交于球面与另一点 PP ,如图所示。由此,我们可以建立 PPzz 的一一对应关系。而北极点 NN 则定义为无穷远点。上述定义的球面被称为 复球面黎曼球面。它是一种对复数平面加上一个无穷远点的扩张。


    引入无穷远点以后,我们可以在原有极限的定义中,把 zzww 的适当的领域替换为 \infty ,并且以下定理成立:
              
    上述定理均可用 ε-δ\varepsilon\verb|-|\delta 定义证明。


    2.2.2\quad复变函数的连续性

    . \bold{Ⅰ}.\ \,连续的定义

    类比实变函数,复变函数的连续性定义也以极限的概念为基础。

    复变函数的连续性定义由以下三个条件共同决定:

    • f(z0)f(z_0) 存在 ;;
    • limzz0f(z)\displaystyle{\lim_{z\to z_0}{f(z)}} 存在 ;;
    • limzz0f(z)=f(z0)\displaystyle{\lim_{z\to z_0}{f(z)}=f(z_0)} ..

    当然,第三个条件也可以用极限的 ε-δ\varepsilon\verb|-|\delta 定义描述。

    如果 f(z)f(z) 在区域 DD 范围内处处连续,则称 f(z)f(z)DD 内连续。

    . \bold{Ⅱ}.\ \,连续性定理

    定理一 【连续分部定理】\quad函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)z0=x0+iy0z_0=x_0+iy_0 处连续的充要条件是:u(x,y)u(x,y)v(x,y)v(x,y)(x0,y0)(x_0,y_0) 处连续。

    定理二 【连续四则运算】\quadz0z_0 处连续的两个函数 f(z),g(z)f(z),g(z) 的和、差、积、商(z0z_0 分母不为 00) 在 z0z_0 处仍连续。

    定理三 【连续复合定理】\quad若函数 h=g(z)h=g(z)z0z_0 处连续,函数 w=f(h)w=f(h)h0=g(z0)h_0=g(z_0) 处连续,则复合函数 w=f[g(z)]w=f[g(z)]z0z_0 处连续。

    定理三 【有界性定理】\quad在闭曲线或包括曲线在内的曲线段上连续的函数 f(z)f(z) 在曲线上有界。即存在一正数 MM,在曲线上恒有f(z)M.|f(z)|\le M.


    2.3\quad复变函数的导数和微分

    2.3.1\quad复变函数的导数

    . \bold{Ⅰ}.\ \,导数的定义

    设函数 w=f(z)w=f(z) 定义于区域 DDz0z_0DD 中的一点,点 z0+Δzz_0+\Delta z 不出 DD 的范围。如果极限 limΔz0f(z0+Δz)f(z0)Δz\displaystyle{\lim_{\Delta z\to 0}{\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}}} 存在,那么就说 f(z)f(z)z0z_0可导 ,这个极限值称为 f(z)f(z)z0z_0导数,记作:f(z0)=dwdzz=z0=limΔz0f(z0+Δz)f(z0)Δz.f'(z_0)=\frac{dw}{dz}|_{z=z_0}=\lim_{\Delta z\to 0}{\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}}.

    注意:导数定义中 z0+Δzz0z_0+\Delta z\to z_0(即Δz0\Delta z\to 0)的方式是任意的,所以复变函数对于导数的限制比对一元实变函数的类似限制要严格很多,并且是复变可导函数有了独特的性质和应用。

    f(z)f(z) 在区域 DD 内处处可导,则称 f(z)f(z)DD 内可导

    . \bold{Ⅱ}.\ \,导数的性质
    1. 四则运算
    • (c)=0(c)'=0
    • (zn)=nzn1(z^n)'=nz^{n-1}
    • [f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)[f(z)\pm g(z)]'=f'(z)\pm g'(z)
    • [f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)[f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)
    • [f(z)g(z)]=1g2(z)[g(z)f(z)f(z)g(z)]\displaystyle{[\frac{f(z)}{g(z)}]'=\frac{1}{g^2(z)}[g(z)f'(z)-f(z)g'(z)]}
    • f[g(z)]=f[g(z)]g(z){f[g(z)]}'=f'[g(z)]g'(z)
    • f(z)=1φ(w)(w=f(z)\displaystyle{f'(z)=\frac{1}{\varphi '(w)}}\quad(w=f(z)z=φ(w)z=\varphi(w) 互为反函数))
    1. 性质
      可导一定连续,连续不一定可导。

    2.3.2\quad复变函数的微分

    复变函数的微分概念在形式上和实变函数的微分概念完全相同。

    设函数 w=f(z)w=f(z)z0z_0 处可导,则 Δw=f(z0+Δz)f(z0)=f(z0)Δz+ρ(Δz)Δz.\Delta w=f(z_0+\Delta z)-f(z_0)=f'(z_0)\Delta z+\rho(\Delta z)\Delta z.其中limΔz0ρ(Δz)=0.\displaystyle{\lim_{\Delta z\to 0}{\rho(\Delta z)}=0.} 因此,ρ(Δz)Δz|\rho(\Delta z)\Delta z|Δz\Delta z 的高阶无穷小量,而 f(z0)Δzf'(z_0)\Delta z 是函数 w=f(z)w=f(z) 的线性部分,称为函数 w=f(z)w=f(z) 在点 z0z_0 处的微分,记作:dw=f(z0)dz,dw=f'(z_0)dz,f(z0)=dwdzz=z0.f'(z_0)=\frac{dw}{dz}|_{z=z_0}.

    f(z)f(z) 在区域 DD 内处处可微,则称 f(z)f(z)DD 内可微

    从上述过程中可以知道,函数 w=f(z)w=f(z)z0z_0 处可导与在 z0z_0 处可微是等价的。


    2.4\quad解析函数

    2.4.1\quad解析函数的定义

    复变函数中,解析的概念比可导更重要。

    如果函数 f(z)f(z)z0z_0 及其邻域内处处可导,则称 f(z)f(z) z0z_0 解析 。而函数 f(z)f(z) 在区域 DD 内每一点解析,则称 f(z)f(z) DD 内解析,或称 f(z)f(z)DD 内的一个 解析函数
    如果 f(z)f(z)z0z_0 处不解析,则称 z0z_0f(z)f(z)奇点

    由定义我们就直接可以看出:函数在某点可导,不一定在该点解析(邻域不可导);函数在某点解析,则一定在该点可导。

    而根据求导法则,我们也可以得出:

    • 在区域 DD 内解析的两个函数 f(z),g(z)f(z),g(z) 的和、差、积、商(去除分母为 00 的点) 在 DD 内仍解析。
    • 若函数 h=g(z)h=g(z)DD 内解析,函数 w=f(h)w=f(h)h)h) 平面上的区域 GG 解析。如果对 DD 内的每一个点 zz,函数 g(z)g(z) 的对应值 hh 都属于 GG,则复合函数 w=f[g(z)]w=f[g(z)]DD 内解析。

    2.4.2\quad柯西-黎曼方程

    . \bold{Ⅰ}.\ \,解析的充要条件

    与实变函数的全微分类似,复变函数对于一个函数是否解析只用定义判断是不够的。从导数的定义出发,我们可以得到更好的函数解析的充要条件——柯西-黎曼方程。

    函数在某点处可导的充要条件\quad设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 定义在区域 DD 内,则 f(z)f(z)DD 内一点 z=x+iyz=x+iy 可导的充要条件为:u(x,y)u(x,y)v(x,y)v(x,y) 在点 (x,y)(x,y) 可微,并且在该点满足 柯西-黎曼方程ux=vy,uy=vx.\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.

    函数解析的充要条件\quad函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在其定义域 DD 内解析的充要条件为:u(x,y)u(x,y)v(x,y)v(x,y)DD 内可微,并且满足柯西-黎曼方程。

    同时,我们也可以得到可导函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在点 z=x+iyz=x+iy 处的导数公式:f(z)=ux+ivx=1iuy+vy.f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}.

    当然,上述的讨论只是在直角坐标下的。极坐标下对于函数解析可以利用上述结论,用链式法则推出。

    函数在某点处可导的充要条件(极坐标下)\quad设函数 f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ)f(z)=u(r,\theta)+iv(r,\theta) 定义在区域 DD 内,则 f(z)f(z)DD 内一点 z=reiθ (z0)z=re^{i\theta}\ (z\ne 0) 可导的充要条件为:u(r,θ)u(r,\theta)v(r,θ)v(r,\theta) 在点 (r,θ)(r,\theta) 可微,并且在该点满足 柯西-黎曼方程rur=vθ,uθ=rvr.r\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial v}{\partial \theta},\qquad \frac{\partial u}{\partial \theta}=-r\frac{\partial v}{\partial r}.

    此时 f(z)f'(z) 可以写为f(z)=eiθ(ur+ivr).f'(z)=e^{-i\theta}(\frac{\partial u}{\partial r}+i\frac{\partial v}{\partial r}).

    解析函数有许多好的性质,所以也相当重要。之后要学习的初等函数都是在整个复平面上解析的函数。我们把这样的函数称为 整函数

    . \bold{Ⅱ}.\ \,解析函数的性质

    以上的内容能够更快速地对函数是否解析作出判别。而知道了一个函数是解析函数后,也能带来一些好的性质。

    1. 如果 f(z)f(z) 在区域 DD 是解析的,且在区域 DD 内处处满足 f(z)=0f'(z)=0,则 f(z)f(z) 在区域 DD 内为一常数。
    2. 如果 f(z)=u+ivf(z)=u+iv 为一解析函数,且 f(z)0f'(z)\ne 0,那么曲线组 u(x,y)=c1u(x,y)=c_1v(x,y)=c2v(x,y)=c_2 必互相正交,其中 c1,c2c_1,c_2 为常数。

    第二条性质在上一部分中有所提及。由此可猜测,解析函数对应的映射属于共形映射。而此性质的确成立。

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