文章目录
 
1 复数与复变函数
1.1 复数
1.2集合表示
1.3 乘幂与方根
1.4 区域
1.5 复变函数及其极限和连续性
 

 
1 复数与复变函数
 
1.1 复数
 
实部 x=Re(z),虚部y=Im(z)。
 
z=x+iy,共轭复数$\bar{z}=x-iy$。
 
1.2集合表示
 
$\bar{z}z=|z{|}^2=|z^2|$
 
幅角Argz=θ，tg(Argz)=$\frac{y}{x}$.
 
$Argz={\theta }_1+2k\pi$
 
$Argz的主值{\theta }_0:-\pi <{\theta }_0\le \pi ,记为{\theta }_0=argz$.
 
z=0时，幅角不确定。
 
三角不等式：$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|,|z_1-z_2|\ge ||z_1|-|z_2||$
 
三角表示式：$z=r(cos\theta +isin\theta )$
 
欧拉公式：$e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$
 
指数表示式：$z=r{e}^{i\theta }$
 
复球面：。。。
 
1.3 乘幂与方根
 
$$\begin{gathered} |z_1{z}_2|=|z_1||z_2| \\ Arg(z_1{z}_2)=Arg{z}_1+Arg{z}_2 \\ Arg(z_2)=Arg(\frac{z_2}{z_1})+Arg(z_1)\Rightarrow Arg(\frac{z_2}{z_1})=Arg(z_2)-Arg(z_1) \\ {z}^n=r^n(cosn\theta +isinn\theta ) \\ DeMoivre公式:(cos\theta +isin\theta {)}^n=cosn\theta +isinn\theta \\ z=r(cos\theta +isin\theta )\Rightarrow w=\sqrt[n]{z}=r^{\frac{1}{n}}(cos\frac{\theta +2k\pi }{n}+isin\frac{\theta +2k\pi }{n}) \end{gathered}$$
 
1.4 区域
 
G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，邻域内所有点属于G，那么称z0为G的内点。如果G内每个点都是它的内点，那么称G为开集。
 
区域与它的边界一起构成闭区域或闭域，记作$\bar{D}$.
 
光滑：$z(t)=x(t)+iy(t)[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2\ne 0$
 
一条连续曲线，重合的点称为重点。没重点的曲线称为简单曲线或若尔当（Jardan）曲线。
 
单连通域：没洞。
 
多连通域：有洞。
 
1.5 复变函数及其极限和连续性
 
G：定义集合
 
G*:函数值集合
 
连续：${\lim }_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$
 
函数连续$⟺$实部和虚部分别连续

这个总结文章本来是学完复变函数之后的复习总结，打印应付考试用的，后来假期里面又添加了一些公式、注意点什么的，稍稍完善了一些。
 
本文主要整理自我的复变函数老师的课件和作业、相关教材和上课笔记，不做商用，侵删。
 
一方面考虑到当初我学习的时候四处查资料的痛苦，就想服务一下学习复变的孩子们，另一方面也想整理一个合集，方便后面课程学习时查找（比如电磁波），还有就是想要鞭策自己啦，别再咕咕咕了。
 
手打公式难免有些小问题，如果有什么错误欢迎大家指正哈，评论或者私信都可以。
 
这一篇包含复变函数的主要内容，包括：
 
复数及其运算，复变函数及其性质
解析函数，导数
柯西积分定理，柯西积分公式
幂级数和泰勒级数
洛朗级数
留数定理
 
一、复变函数
 
复数和复变函数
 
复数及运算
 
复数的表示：
 
$z=x+iy$
$z=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )$
$z=\rho e^{i\phi }$
 
$\rho$是复数的模，$\phi =Argz=argz+2k\pi$是复数的辐角。
 
共轭复数：$z^{\ast }=x-iy=\rho e^{-i\phi }$
 
复数的运算：
 
 
加法
 $$z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$$
 有三角不等式：
 $$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$$
 
 
减法
 $$z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2)$$
 有三角不等式：
 $$|z_1-z_2|\ge |z_1|-|z_2|$$
 
 
乘法
 $$z_1{z}_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+i(x_1{y}_2+x_2{y}_1)$$
 
$$z_1{z}_2={\rho }_1{\rho }_2{e}^{i({\phi }_1+{\phi }_2)}$$
 
 
除法
 $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+i{y}_1}{x_2+i{y}_2}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2{y}_1-x_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}$$
 
$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}{e}^{i({\phi }_1-{\phi }_2)}$$
 
 
乘方
 $$z^n={\rho }^n{e}^{in\phi }$$
 
 
开方
 $$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho }{e}^{i\frac{\phi }{n}}$$
 
 
注：在计算复数的开方时，要注意将辐角$\phi$写成$argz+2k\pi$的形式，便于确定最终开方后得到的复数的个数。
 
复变函数及性质
 
几个常见的初等复变函数：
 
$$\begin{array}{rl}& e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\\ & \sin z=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}),\cos z=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})\\ & shz=\frac{1}{2}(e^z-e^{-z}),chz=\frac{1}{2}(e^z+e^{-z})\\ & \ln z=\ln (|z|e^{iArgz})=\ln |z|+iArgz\\ & z^s=e^{s\ln z}\end{array}$$
 
复变函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$可以归结为对应于一对二元实变函数。
 
解析函数
 
复变函数导数
 
复变函数可导的定义：
 
函数$w=f(z)$是在区域B上定义的单值函数，在B上某点z，极限
 $$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{\Delta w}{\Delta z}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}$$
 存在且与$\Delta z\to 0$的方式无关，则称函数$w=f(z)$在z点可导。
 
 
 
复变函数的导数满足实变函数导数中的大多数运算性质，如加法、减法、乘法、除法、求倒、链式法则。
 
 
函数可导的必要条件：Cauchy-Riemann方程/条件
 
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial x}& =\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}& =-\frac{\partial u}{\partial y}\end{array}$$
 
此时：
 $$f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial y}$$
 
函数可导的充要条件: u(x,y),v(x,y)都可微，且满足柯西-黎曼条件。
 
解析函数
 
定义
 
如果f(z)在点$z_0$及其邻域上处处可导，则称f(z)在点$z_0$解析；
 
如果f(z)在区域B上的每一点解析，则称f(z)是区域B上的解析函数。
 
**若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则u,v都是区域B上的调和函数。**即：
 
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0,\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}=0$$
 
 
计算$v=\int dv$的方法：
 
  
曲线积分法：选取特殊路径（比如：矩形的两边）作为积分路径；
凑全微分显式法；
不定积分法：对每个变量逐个积分。
 
 
函数解析的充要条件：u,v在区域B上可微，且满足柯西-黎曼条件。
 
 
 
 
注：
 
 
解析函数的实部或虚部必须是调和函数；
求$v=\int dv$时，可以采用极坐标。
 
 
复变函数积分
 
复变函数积分
 
对$z=x+iy,f=u+iv$，
 $${\int }_{l}f(z)dz={\int }_l(udx-vdy)+i{\int }_l(vdx+udy)$$
 
柯西积分定理
 
单连通区域柯西定理
 
如果函数f(z)在闭单连通区域$\overline{B}$上解析，则沿$\overline{B}$上任何一段光滑闭合曲线$l$（也可以是$\overline{B}$的边界），有：
 $${\oint }_{l}f(z)dz=0$$
 
复连通区域柯西定理
 
如果函数f(z)是闭复连通区域$\overline{B}$中的单值解析函数，则有：
 $${\oint }_{l}f(z)dz+\sum _{i=1}^n{\oint }_{l_i}f(z)dz=0$$
 其中，$l$表示区域外边界线，$l_i$表示区域内边界线，积分均按照边界线的正方向进行。
 
复连通区域柯西定理也可以写作下列形式：（更加常用的形式，在边界里面挖洞之后将外边界积分转化为内边界积分之和）
 $${\oint }_{l}f(z)dz=\sum _{i=1}^n{\oint }_{l_i}f(z)dz$$
 积分均按照逆时针方向。
 
非常有用的一个环路积分(尤其是在留数定理中应用甚广)
 
$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2\pi i}{\oint }_l\frac{dz}{z-\alpha }=\{\begin{array}{rclc}& 0& for& l不包围\alpha \\ & 1& for& l包围\alpha \end{array}\\ & \frac{1}{2\pi i}{\oint }_l(z-\alpha {)}^{n}dz=0,(n\ne -1)\end{array}$$
 
柯西积分公式
 
柯西积分公式
 
$$f(\alpha )=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_l\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta$$
 
$$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_l\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z{)}^{n+1}}d\zeta$$
 
利用柯西积分公式可以将积分转化为某点的函数值。
 
刘维尔定理
 
如果函数f(z)在全平面上解析，并且是有界的，即$|f(z)\le M|$，则函数f(z)一定为常数。
 
幂级数和泰勒级数
 
 
 
有复数项的无穷级数的收敛问题，可以转化为实部和虚部两个实数项级数的收敛问题。
 
 
幂级数
 
对幂级数$\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k(z-z_0{)}^k$，引入记号
 $$R=\underset{k\to \infty }{\lim }|\frac{a_k}{a_{k+1}}|$$
 若$|z-z_0|<R$，则幂级数收敛。
 
幂级数在收敛圆的内部（比半径为R的圆稍小一点的闭区域）收敛，在收敛圆外部发散。
 
幂级数逐项积分和逐项微分都不改变收敛半径。
 
泰勒级数
 
定义：
 
设f(z)在以$z_0$为圆心的圆$C_R$上解析，则对圆内的任意z点，f(z)都可以展成幂级数：
 $$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k(z-z_0{)}^k,$$
 其中，
 $$a_k=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{C_{R_1}}\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z_0{)}^{k+1}}d\zeta =\frac{1}{k!}{f}^{(k)}(z_0)$$
 $C_{R_1}$是$C_R$圆内包含z且与$C_R$同心的圆。
 
常用的泰勒级数展开
 
$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{1-z}=1+z+z^2+\dots ,|z|<1\\ & e^z=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{z^k}{k!}\\ & \sin z=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)!}{z}^{2k+1}\\ & \cos z=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}{z}^{2k}\end{array}$$
 
 
 
注：求某个函数的泰勒展开时，可以考虑用一些基本函数的泰勒展开代入、求导、积分等转化。
 
 
洛朗级数
 
洛朗级数
 
定义：
 
设f(z)在环形区域$R_2<|z-z_0|<R_1$内部单值解析，则对于环域上任何一点z，f(z)可以展开为双边幂级数：
 $$f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k(z-z_0{)}^k$$
 其中，
 $$a_k=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_l\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z_0{)}^{k+1}}d\zeta$$
 这里，$l$是环域内的绕内圆一周的任意闭合曲线。
 
 
 
将一个函数展开为洛朗级数，一般会用到下面的式子：
 $\frac{1}{1-z}=\sum _{k=0}^{\infty }{z}^k,|z|<1$
 
 
孤立奇点的分类和判定
 
 
孤立奇点的定义：f(z)在$z_0$点不解析，但在$z_0$的$0<|z-z_0|<\delta$内解析，即在$z_0$的领域内解析。
 
 
孤立奇点的分类和判定：
 $$\mathrm{Z}=\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)$$
 
 
类型
定义
判定
取舍
可去奇点
展开式中不含有$z-z_0$的负幂项
$\mathrm{Z}=c_0$为常数
不作为奇点看待
极点
展开式中含有有限项$z-z_0$的负幂项
$\mathrm{Z}=\infty$
留数可求且为重点
本性奇点
展开式中含有无限项$z-z_0$的负幂项
$\mathrm{Z}$不存在且不为$\infty$
难以刻画
 
 
零点和极点的关系：$z_0$是f(z)的m级零点$\iff$$z_0$是$\frac{1}{f(z)}$的m级极点。
 
 
留数定理
 
留数的定义
 
$z_0$是$f(z)$的孤立奇点，即存在R使$f(z)$在圆环$0<|z-z_0|<R$内解析，其洛朗展开为：
 $$f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k(z-z_0{)}^k$$
 其中项$(z-z_0{)}^{-1}$的系数
 $$a_{-1}=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z-z_0|=r}f(z)dz,0<r<R$$
 称为f(z)在点$z_0$的留数，记作$Resf(z_0)$
 
留数定理
 
设函数f(z)在回路$l$上所围区域B上除有限个孤立奇点$z_1,z_2,\dots ,z_n$外解析，在闭区域$\overline{B}$上除$z_1,z_2,\dots ,z_n$外连续，则：
 $${\oint }_{l}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}Resf(z_k)$$
 
 
 
留数定理将积分问题转化为留数求解问题。
 
 
 
留数求解
 
  
单极点
 
$$\begin{array}{rl}& Resf(z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }((z-z_0)f(z));\\ & Resf(z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{(z-z_0)P(z)}{Q(z)}=\frac{P(z_0)}{Q^{\prime }(z_0)}，对于f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}且P(z_0)\ne 0,z_0是Q(z)的一阶零点。\\ & Resf(z_0)=\frac{(z+1)P^{(n)}(z_0)}{Q^{(n+1)}(z_0)}，对于f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}且z_0是Q(z)的n+1阶零点，又是P(z)的n阶零点。\end{array}$$
 
  
n阶极点
 
$$Resf(z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{1}{(z-1)!}(\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}((z-z_0{)}^{n}f(z)))$$
 
 
∞的留数
 
 
若∞是f(z)的孤立奇点，即存在$R>0$使得f(z)在圆环$R<|z-z_0|<+\infty$内解析，其洛朗展开为：
 $$f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{z}^k$$
 其中$z^{-1}$项的系数的相反数被称为∞点的留数，即：
 $$Resf(\infty )=-a_{-1}=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z|=r}f(z)dz,r<r<+\infty$$
 可以证明：函数f(z)若在扩充复平面上只有有限个孤立奇点，则f(z)在各点的留数之和等于0。即：
 $$Resf(\infty )+\sum _{k=1}^{n}Resf(z_k)=0$$
 
留数定理在积分问题中的应用
 
 
类型一
 $$I={\int }_0^{2\pi }R(\cos x,\sin x)dx$$
 被积函数是三角函数的有理式，积分区间是$[0,2\pi ]$。
 
方法是变量替换：
 $$\begin{array}{rl}& z=e^{ix}\\ \therefore & \cos x=\frac{1}{2}(z+z^{-1}),\sin x=\frac{1}{2i}(z-z^{-1}),dx=\frac{1}{iz}dz\end{array}$$
 注意不要用共轭复数$z^{\ast }$，注意积分空间是在单位圆内从而确定在单位圆内的极点个数
 
 
类型二
 $$I={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx$$
 积分空间为$(-\infty ,\infty )$，复变函数f(z)在实轴上没有奇点，在上半平面除了有限个奇点外都是解析的；当z在上半平面及实轴上$\to \infty$时，zf(z)一致的$\to \infty$。
 
       
        
         
          
           I
          
          
           =
          
          
           
            ∫
           
           
            
             −
            
            
             ∞
            
           
           
            ∞
           
          
          
           f
          
          
           (
          
          
           x
          
          
           )
          
          
           d
          
          
           x
          
          
           =
          
          
           2
          
          
           π
          
          
           i
          
          
           
            ∑
           
           
            
             
              z
             
             
              0
             
            
            
             ∈
            
            
             {
            
            
             上
            
            
             半
            
            
             平
            
            
             面
            
            
             内
            
            
             奇
            
            
             点
            
            
             全
            
            
             体
            
            
             }
            
           
          
          
           R
          
          
           e
          
          
           s
          
          
           f
          
          
           (
          
          
           
            z
           
           
            0
           
          
          
           )
          
         
         
           I=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=2\pi i\sum_{z_0\in\{上半平面内奇点全体\}}Res f(z_0) 
         
        
       I=∫−∞∞​f(x)dx=2πiz0​∈{上半平面内奇点全体}∑​Resf(z0​)
 
 
类型三
 $$\begin{array}{rl}& I_1={\int }_0^{\infty }f(x)\cos mxdx\\ & I_2={\int }_0^{\infty }g(x)\sin mxdx\end{array}$$
 积分区间$[0,+\infty )$，偶函数f(x)和奇函数g(x)在实轴上没有奇点，在上半平面除了有限个奇点外都是解析的；当z在上半平面及实轴上$\to \infty$时，f(z)和g(z)一致的$\to \infty$。
 
当m>0时：
 
       
        
         
          
           
            
             
            
           
           
            
             
              
              
               
                I
               
               
                1
               
              
              
               =
              
              
               
                ∫
               
               
                0
               
               
                ∞
               
              
              
               f
              
              
               (
              
              
               x
              
              
               )
              
              
               cos
              
              
               ⁡
              
              
               m
              
              
               x
              
              
               d
              
              
               x
              
              
               =
              
              
               
                1
               
               
                2
               
              
              
               
                ∫
               
               
                
                 −
                
                
                 ∞
                
               
               
                ∞
               
              
              
               f
              
              
               (
              
              
               x
              
              
               )
              
              
               
                e
               
               
                
                 i
                
                
                 m
                
                
                 x
                
               
              
              
               d
              
              
               x
              
              
               =
              
              
               π
              
              
               i
              
              
               
                ∑
               
               
                
                 
                  z
                 
                 
                  0
                 
                
                
                 ∈
                
                
                 {
                
                
                 上
                
                
                 半
                
                
                 平
                
                
                 面
                
                
                 内
                
                
                 全
                
                
                 体
                
                
                 奇
                
                
                 点
                
                
                 }
                
               
              
              
               R
              
              
               e
              
              
               s
              
              
               (
              
              
               f
              
              
               (
              
              
               
                z
               
               
                0
               
              
              
               )
              
              
               
                e
               
               
                
                 i
                
                
                 m
                
                
                 
                  z
                 
                 
                  0
                 
                
               
              
              
               )
              
             
            
           
          
          
           
            
             
            
           
           
            
             
              
              
               
                I
               
               
                2
               
              
              
               =
              
              
               
                ∫
               
               
                0
               
               
                ∞
               
              
              
               g
              
              
               (
              
              
               x
              
              
               )
              
              
               sin
              
              
               ⁡
              
              
               m
              
              
               x
              
              
               d
              
              
               x
              
              
               =
              
              
               
                1
               
               
                
                 2
                
                
                 i
                
               
              
              
               
                ∫
               
               
                
                 −
                
                
                 ∞
                
               
               
                ∞
               
              
              
               g
              
              
               (
              
              
               x
              
              
               )
              
              
               
                e
               
               
                
                 i
                
                
                 m
                
                
                 x
                
               
              
              
               d
              
              
               x
              
              
               =
              
              
               π
              
              
               
                ∑
               
               
                
                 
                  z
                 
                 
                  0
                 
                
                
                 ∈
                
                
                 {
                
                
                 上
                
                
                 半
                
                
                 平
                
                
                 面
                
                
                 内
                
                
                 全
                
                
                 体
                
                
                 奇
                
                
                 点
                
                
                 }
                
               
              
              
               R
              
              
               e
              
              
               s
              
              
               (
              
              
               g
              
              
               (
              
              
               
                z
               
               
                0
               
              
              
               )
              
              
               
                e
               
               
                
                 i
                
                
                 m
                
                
                 
                  z
                 
                 
                  0
                 
                
               
              
              
               )
              
             
            
           
          
         
         
           \begin{aligned} & I_1=\int_0^{\infty}f(x)\cos mx dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{imx}dx=\pi i\sum_{z_0\in\{上半平面内全体奇点\}}Res (f(z_0)e^{imz_0})\\ & I_2=\int_0^{\infty}g(x)\sin mx dx=\frac{1}{2i}\int_{-\infty}^{\infty}g(x)e^{imx}dx=\pi \sum_{z_0\in\{上半平面内全体奇点\}}Res(g(z_0)e^{imz_0}) \end{aligned} 
         
        
       ​I1​=∫0∞​f(x)cosmxdx=21​∫−∞∞​f(x)eimxdx=πiz0​∈{上半平面内全体奇点}∑​Res(f(z0​)eimz0​)I2​=∫0∞​g(x)sinmxdx=2i1​∫−∞∞​g(x)eimxdx=πz0​∈{上半平面内全体奇点}∑​Res(g(z0​)eimz0​)​
 当m<0时：
 
       
        
         
          
           
            
             
            
           
           
            
             
              
              
               
                I
               
               
                1
               
              
              
               =
              
              
               
                ∫
               
               
                0
               
               
                ∞
               
              
              
               f
              
              
               (
              
              
               x
              
              
               )
              
              
               cos
              
              
               ⁡
              
              
               m
              
              
               x
              
              
               d
              
              
               x
              
              
               =
              
              
               −
              
              
               π
              
              
               i
              
              
               
                ∑
               
               
                
                 
                  z
                 
                 
                  0
                 
                
                
                 ∈
                
                
                 {
                
                
                 下
                
                
                 半
                
                
                 平
                
                
                 面
                
                
                 内
                
                
                 全
                
                
                 体
                
                
                 奇
                
                
                 点
                
                
                 }
                
               
              
              
               R
              
              
               e
              
              
               s
              
              
               (
              
              
               f
              
              
               (
              
              
               
                z
               
               
                0
               
              
              
               )
              
              
               
                e
               
               
                
                 i
                
                
                 m
                
                
                 
                  z
                 
                 
                  0
                 
                
               
              
              
               )
              
             
            
           
          
          
           
            
             
            
           
           
            
             
              
              
               
                I
               
               
                2
               
              
              
               =
              
              
               
                ∫
               
               
                0
               
               
                ∞
               
              
              
               g
              
              
               (
              
              
               x
              
              
               )
              
              
               sin
              
              
               ⁡
              
              
               m
              
              
               x
              
              
               d
              
              
               x
              
              
               =
              
              
               −
              
              
               π
              
              
               
                ∑
               
               
                
                 
                  z
                 
                 
                  0
                 
                
                
                 ∈
                
                
                 {
                
                
                 下
                
                
                 半
                
                
                 平
                
                
                 面
                
                
                 内
                
                
                 全
                
                
                 体
                
                
                 奇
                
                
                 点
                
                
                 }
                
               
              
              
               R
              
              
               e
              
              
               s
              
              
               (
              
              
               g
              
              
               (
              
              
               
                z
               
               
                0
               
              
              
               )
              
              
               
                e
               
               
                
                 i
                
                
                 m
                
                
                 
                  z
                 
                 
                  0
                 
                
               
              
              
               )
              
             
            
           
          
         
         
           \begin{aligned} & I_1=\int_0^{\infty}f(x)\cos mx dx=-\pi i\sum_{z_0\in\{下半平面内全体奇点\}}Res (f(z_0)e^{imz_0})\\ & I_2=\int_0^{\infty}g(x)\sin mx dx=-\pi \sum_{z_0\in\{下半平面内全体奇点\}}Res(g(z_0)e^{imz_0}) \end{aligned} 
         
        
       ​I1​=∫0∞​f(x)cosmxdx=−πiz0​∈{下半平面内全体奇点}∑​Res(f(z0​)eimz0​)I2​=∫0∞​g(x)sinmxdx=−πz0​∈{下半平面内全体奇点}∑​Res(g(z0​)eimz0​)​
 
 
类型四
 $$I={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx$$
 函数f(z)在实轴上有单极点$z=\alpha$，除此之外，函数f(z)满足类型二或者类型三。
 
       
        
         
          
           
            ∫
           
           
            
             −
            
            
             ∞
            
           
           
            ∞
           
          
          
           f
          
          
           (
          
          
           x
          
          
           )
          
          
           d
          
          
           x
          
          
           =
          
          
           2
          
          
           π
          
          
           i
          
          
           
            ∑
           
           
            
             
              z
             
             
              0
             
            
            
             ∈
            
            
             {
            
            
             上
            
            
             半
            
            
             平
            
            
             面
            
            
             内
            
            
             全
            
            
             体
            
            
             奇
            
            
             点
            
            
             }
            
           
          
          
           R
          
          
           e
          
          
           s
          
          
           f
          
          
           (
          
          
           
            z
           
           
            0
           
          
          
           )
          
          
           +
          
          
           π
          
          
           i
          
          
           
            ∑
           
           
            
             α
            
            
             ∈
            
            
             {
            
            
             实
            
            
             轴
            
            
             上
            
            
             的
            
            
             全
            
            
             体
            
            
             奇
            
            
             点
            
            
             }
            
           
          
          
           R
          
          
           e
          
          
           s
          
          
           f
          
          
           (
          
          
           α
          
          
           )
          
         
         
           \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=2\pi i\sum_{z_0\in\{上半平面内全体奇点\}}Res f(z_0)+\pi i \sum_{\alpha \in \{实轴上的全体奇点\}}Res f(\alpha) 
         
        
       ∫−∞∞​f(x)dx=2πiz0​∈{上半平面内全体奇点}∑​Resf(z0​)+πiα∈{实轴上的全体奇点}∑​Resf(α)
 α只能是单极点，当为二阶及以上极点时，积分为∞，当为本性奇点时，积分不存在。
 

 
 
3 复变函数的积分
   
3.1 概念
3.2 柯西-古萨基本定理
3.3 复合闭路定理
3.4 原函数与不定积分
3.5 柯西积分公式
3.6 解析函数的高阶导数
3.7 调和函数
 
 
 
 
3 复变函数的积分
 
3.1 概念
 
闭曲线积分$\oint\limits_{C}f(z)dz=-\oint\limits_{C^-}f(z)dz$
 
$\oint\limits_{C}f(z)dz=\int\limits_{C}udx-vdy+i\int\limits_{C}vdx+udy$
 
$\oint\limits_{C}f(z)dz=\int_\alpha^\beta f[z(t)]z'(t)dt$ 
 
 $$\oint\limits_{|z-z_0|=r}\frac{dz}{(z-z_0)^{n+1}}=\begin{cases}2\pi i, & n=0\\ 0, & n\ne0  \end{cases}$$  

 估值不等式：曲线C长度为L，函数f(z)在C上满足|f(z)|

$\le$M,则
 
$|\int\limits_{C}f(z)dz|\le \int\limits_{C}|f(z)|ds\le ML$
 
3.2 柯西-古萨基本定理
 
积分与路线无关。
 
柯西-古萨基本定理：如果f(z)在单连通域B内处处解析，那么f(z)在B内的任何一条封闭曲线C的积分为0。
 
$\oint\limits_{C}f(z)dz=0$
 
3.3 复合闭路定理
 
闭路变形原理：区域内一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要变形过程中不经过不解析的点。
 
复合闭路定理：C为多连通域D内的一条简单闭曲线，$C_1,C_2...$ 为C内部的简单闭曲线，塔门互不包含互不相交，以它们为边界的区域全含于D，如果f(z)在D内解析，则
 
$\oint\limits_{C}f(z)dz=\sum\limits_{k=1}^n\oint_{C_k}f(z)dz$
 
3.4 原函数与不定积分
 
如果函数在单连通区域内处处解析，那么积分与路线无关。
 
如果f(z)在单连通域B内处处解析，那么函数F(z)必为B内的解析函数。
 
3.5 柯西积分公式
 

 $$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz$$ 
 
如果C是圆周$z=z_0+Re^{i\theta}$,那么 
 
 $$f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\theta})d\theta$$  

 即，一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。
 
逆定理：魔勒拉
 
3.6 解析函数的高阶导数
 

 $$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$ 
 
3.7 调和函数
 
如果二元实变函数$\varphi(x,y)$在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程 
 
 $$\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}=0$$  

 那么称

$\varphi(x,y)$为D内的调和函数。
 
D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。