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  • 复变函数-第一章-复数与复变函数

    千次阅读 2017-11-25 11:24:13
    复变函数-第一章-复数与复变函数 复变函数-第一章-复数与复变函数 1 复数与复变函数 1.1 复数 1.2集合表示 1.3 乘幂与方根 1.4 区域 1.5 复变函数及其极限和连续性 1 复数与复变函数 1.1 复数 ...

    1 复数与复变函数

    1.1 复数

    实部 x=Re(z),虚部y=Im(z)。

    z=x+iy,共轭复数 z ˉ = x − i y \bar z=x-iy zˉ=xiy

    1.2集合表示

    z ˉ z = ∣ z ∣ 2 = ∣ z 2 ∣ \bar z z=|z|^2=|z^2| zˉz=z2=z2

    幅角Argz=θ,tg(Argz)= y x \frac{y}{x} xy.

    A r g z = θ 1 + 2 k π Argz=\theta_1+2k\pi Argz=θ1+2kπ

    A r g z 的 主 值 θ 0 : − π < θ 0 ≤ π , 记 为 θ 0 = a r g z Argz的主值\theta_0:-\pi<\theta_0\le\pi,记为\theta_0=argz Argzθ0:π<θ0π,θ0=argz.

    z=0时,幅角不确定。

    三角不等式: ∣ z 1 + z 2 ∣ ≤ ∣ z 1 ∣ + ∣ z 2 ∣ , ∣ z 1 − z 2 ∣ ≥ ∣ ∣ z 1 ∣ − ∣ z 2 ∣ ∣ |z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|,|z_1-z_2|\ge||z_1|-|z_2|| z1+z2z1+z2,z1z2z1z2

    三角表示式: z = r ( c o s θ + i s i n θ ) z=r(cos\theta+isin\theta) z=r(cosθ+isinθ)

    欧拉公式: e i θ = c o s θ + i s i n θ e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta eiθ=cosθ+isinθ

    指数表示式: z = r e i θ z=re^{i\theta} z=reiθ

    复球面:。。。

    1.3 乘幂与方根

    ∣ z 1 z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ∣ z 2 ∣ A r g ( z 1 z 2 ) = A r g z 1 + A r g z 2 A r g ( z 2 ) = A r g ( z 2 z 1 ) + A r g ( z 1 ) ⇒ A r g ( z 2 z 1 ) = A r g ( z 2 ) − A r g ( z 1 ) z n = r n ( c o s n θ + i s i n n θ ) D e M o i v r e 公 式 : ( c o s θ + i s i n θ ) n = c o s n θ + i s i n n θ z = r ( c o s θ + i s i n θ ) ⇒ w = z n = r 1 n ( c o s θ + 2 k π n + i s i n θ + 2 k π n ) |z_1z_2|=|z_1||z_2|\\ Arg(z_1z_2)=Argz_1+Argz_2\\ Arg(z_2)=Arg(\frac{z_2}{z_1})+Arg(z_1)\Rightarrow Arg(\frac{z_2}{z_1})=Arg(z_2)-Arg(z_1)\\ z^n=r^n(cosn\theta+isinn\theta)\\ De Moivre 公式:(cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta\\ z=r(cos\theta+isin\theta)\Rightarrow w =\sqrt[n]{z}=r^{\frac{1}{n}}(cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+isin\frac{\theta+2k\pi}{n}) z1z2=z1z2Arg(z1z2)=Argz1+Argz2Arg(z2)=Arg(z1z2)+Arg(z1)Arg(z1z2)=Arg(z2)Arg(z1)zn=rn(cosnθ+isinnθ)DeMoivre:(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθz=r(cosθ+isinθ)w=nz =rn1(cosnθ+2kπ+isinnθ+2kπ)

    1.4 区域

    G为一平面点集,z0为G中任意一点,如果存在z0的一个邻域,邻域内所有点属于G,那么称z0为G的内点。如果G内每个点都是它的内点,那么称G为开集。

    区域与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作 D ˉ \bar D Dˉ.

    光滑: z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) [ x ′ ( t ) ] 2 + [ y ′ ( t ) ] 2 ≠ 0 z(t)=x(t)+iy(t) [x'(t)]^2 +[y'(t)]^2 \ne 0 z(t)=x(t)+iy(t)[x(t)]2+[y(t)]2=0

    一条连续曲线,重合的点称为重点。没重点的曲线称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线。

    单连通域:没洞。

    多连通域:有洞。

    1.5 复变函数及其极限和连续性

    G:定义集合

    G*:函数值集合

    连续: lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = f ( z 0 ) \lim_{z \to z_0}f(z)=f(z_0) limzz0f(z)=f(z0)

    函数连续 ⟺ \Longleftrightarrow 实部和虚部分别连续

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  • 复变函数总结一:复变函数

    千次阅读 多人点赞 2021-03-23 14:13:08
    这个总结文章本来是学完复变函数之后的复习总结,打印应付考试用的,后来假期里面又添加了一些公式、注意点什么的,稍稍完善了一些。 本文主要整理自我的复变函数老师的课件和作业、相关教材和上课笔记,不做商用,...

    这个总结文章本来是学完复变函数之后的复习总结,打印应付考试用的,后来假期里面又添加了一些公式、注意点什么的,稍稍完善了一些。

    本文主要整理自我的复变函数老师的课件和作业、相关教材和上课笔记,不做商用,侵删。

    一方面考虑到当初我学习的时候四处查资料的痛苦,就想服务一下学习复变的孩子们,另一方面也想整理一个合集,方便后面课程学习时查找(比如电磁波),还有就是想要鞭策自己啦,别再咕咕咕了。

    手打公式难免有些小问题,如果有什么错误欢迎大家指正哈,评论或者私信都可以。

    这一篇包含复变函数的主要内容,包括:

    • 复数及其运算,复变函数及其性质
    • 解析函数,导数
    • 柯西积分定理,柯西积分公式
    • 幂级数和泰勒级数
    • 洛朗级数
    • 留数定理

    一、复变函数

    复数和复变函数

    复数及运算

    复数的表示:

    • z = x + i y z=x+iy z=x+iy
    • z = ρ ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) z=\rho (\cos \varphi +i \sin \varphi) z=ρ(cosφ+isinφ)
    • z = ρ e i φ \displaystyle z=\rho e^{i\varphi} z=ρeiφ

    ρ \rho ρ是复数的模, φ = A r g z = a r g z + 2 k π \varphi=Arg z=arg z+2k\pi φ=Argz=argz+2kπ是复数的辐角。

    共轭复数: z ∗ = x − i y = ρ e − i φ \displaystyle z^{*}=x-iy=\rho e^{-i\varphi} z=xiy=ρeiφ

    复数的运算:

    1. 加法
      z 1 + z 2 = ( x 1 + x 2 ) + i ( y 1 + y 2 ) z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2) z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)
      有三角不等式:
      ∣ z 1 + z 2 ∣ ≤ ∣ z 1 ∣ + ∣ z 2 ∣ |z_1+z_2| \leq |z_1| +|z_2| z1+z2z1+z2

    2. 减法
      z 1 − z 2 = ( x 1 − x 2 ) + i ( y 1 − y 2 ) z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2) z1z2=(x1x2)+i(y1y2)
      有三角不等式:
      ∣ z 1 − z 2 ∣ ≥ ∣ z 1 ∣ − ∣ z 2 ∣ |z_1-z_2|\geq|z_1|-|z_2| z1z2z1z2

    3. 乘法
      z 1 z 2 = ( x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1) z1z2=(x1x2y1y2)+i(x1y2+x2y1)

      z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e i ( φ 1 + φ 2 ) z_1z_2=\rho_1 \rho_2 e^{i(\varphi_1+\varphi_2)} z1z2=ρ1ρ2ei(φ1+φ2)

    4. 除法
      z 1 z 2 = x 1 + i y 1 x 2 + i y 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 + i x 2 y 1 − x 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 \frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2} z2z1=x2+iy2x1+iy1=x22+y22x1x2+y1y2+ix22+y22x2y1x1y2

      z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e i ( φ 1 − φ 2 ) \frac{z_1}{z_2}=\frac{\rho_1}{\rho_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)} z2z1=ρ2ρ1ei(φ1φ2)

    5. 乘方
      z n = ρ n e i n φ z^n=\rho^n e^{in\varphi} zn=ρneinφ

    6. 开方
      z n = ρ n e i φ n \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho}e^{i\frac{\varphi}{n}} nz =nρ einφ

    注:在计算复数的开方时,要注意将辐角 φ \varphi φ写成 a r g z + 2 k π argz+2k\pi argz+2kπ的形式,便于确定最终开方后得到的复数的个数。

    复变函数及性质

    1. 几个常见的初等复变函数:

    e z = e x + i y = e x ( cos ⁡ y + i sin ⁡ y ) sin ⁡ z = 1 2 i ( e i z − e − i z ) , cos ⁡ z = 1 2 ( e i z + e − i z ) s h z = 1 2 ( e z − e − z ) , c h z = 1 2 ( e z + e − z ) ln ⁡ z = ln ⁡ ( ∣ z ∣ e i A r g z ) = ln ⁡ ∣ z ∣ + i A r g z z s = e s ln ⁡ z \begin{aligned} & e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i \sin y)\\ & \sin z=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}), \cos z=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})\\ & sh z=\frac{1}{2}(e^z-e^{-z}), ch z=\frac{1}{2}(e^z+e^{-z})\\ & \ln z=\ln (|z|e^{i Arg z})=\ln |z|+ iArg z\\ & z^s=e^{s \ln z} \end{aligned} ez=ex+iy=ex(cosy+isiny)sinz=2i1(eizeiz),cosz=21(eiz+eiz)shz=21(ezez),chz=21(ez+ez)lnz=ln(zeiArgz)=lnz+iArgzzs=eslnz

    1. 复变函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)可以归结为对应于一对二元实变函数。

    解析函数

    复变函数导数

    1. 复变函数可导的定义:

    函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)是在区域B上定义的单值函数,在B上某点z,极限
    lim ⁡ Δ z → 0 Δ w Δ z = lim ⁡ Δ z → 0 f ( z + Δ z ) − f ( z ) Δ z \lim_{\Delta z \to 0}{\frac{\Delta w}{\Delta z}}=\lim_{\Delta z \to 0}{\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}} Δz0limΔzΔw=Δz0limΔzf(z+Δz)f(z)
    存在且与 Δ z → 0 \Delta z\to 0 Δz0的方式无关,则称函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)在z点可导。

    复变函数的导数满足实变函数导数中的大多数运算性质,如加法、减法、乘法、除法、求倒、链式法则。

    1. 函数可导的必要条件:Cauchy-Riemann方程/条件

    ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ∂ v ∂ x = − ∂ u ∂ y \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x}& =\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}&=-\frac{\partial u}{\partial y} \end{aligned} xuxv=yv=yu

    此时:
    f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ y f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial y} f(z)=xu+iyv

    1. 函数可导的充要条件: u(x,y),v(x,y)都可微,且满足柯西-黎曼条件。

    解析函数

    1. 定义

    如果f(z)在 z 0 z_0 z0及其邻域上处处可导,则称f(z)在点 z 0 z_0 z0解析;

    如果f(z)在区域B上的每一点解析,则称f(z)是区域B上的解析函数。

    1. **若函数f(z)=u+iv在区域B上解析,则u,v都是区域B上的调和函数。**即:

    ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 , ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = 0 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=0, \frac{\partial ^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 v}{\partial y^2}=0 x22u+y22u=0,x22v+y22v=0

    1. 计算 v = ∫ d v \displaystyle v=\int dv v=dv的方法:

      • 曲线积分法:选取特殊路径(比如:矩形的两边)作为积分路径;
      • 凑全微分显式法;
      • 不定积分法:对每个变量逐个积分。
    2. 函数解析的充要条件:u,v在区域B上可微,且满足柯西-黎曼条件。

    注:

    • 解析函数的实部或虚部必须是调和函数;
    • v = ∫ d v \displaystyle v=\int dv v=dv时,可以采用极坐标。

    复变函数积分

    复变函数积分

    z = x + i y , f = u + i v z=x+iy,f=u+iv z=x+iy,f=u+iv
    ∫ l f ( z ) d z = ∫ l ( u d x − v d y ) + i ∫ l ( v d x + u d y ) \int_l f(z) dz=\int _l (udx-vdy)+i\int_l(vdx+udy) lf(z)dz=l(udxvdy)+il(vdx+udy)

    柯西积分定理

    1. 单连通区域柯西定理

    如果函数f(z)在闭单连通区域 B ‾ \overline{B} B上解析,则沿 B ‾ \overline{B} B上任何一段光滑闭合曲线 l l l(也可以是 B ‾ \overline{B} B的边界),有:
    ∮ l f ( z ) d z = 0 \oint_l f(z)dz=0 lf(z)dz=0

    1. 复连通区域柯西定理

    如果函数f(z)是闭复连通区域 B ‾ \overline{B} B中的单值解析函数,则有:
    ∮ l f ( z ) d z + ∑ i = 1 n ∮ l i f ( z ) d z = 0 \oint_l{f(z)dz}+\sum_{i=1}^{n}{\oint_{l_i}f(z)dz}=0 lf(z)dz+i=1nlif(z)dz=0
    其中, l l l表示区域外边界线, l i l_i li表示区域内边界线,积分均按照边界线的正方向进行。

    复连通区域柯西定理也可以写作下列形式:(更加常用的形式,在边界里面挖洞之后将外边界积分转化为内边界积分之和
    ∮ l f ( z ) d z = ∑ i = 1 n ∮ l i f ( z ) d z \oint_l f(z)dz=\sum_{i=1}^n \oint_{l_i}{f(z)dz} lf(z)dz=i=1nlif(z)dz
    积分均按照逆时针方向。

    1. 非常有用的一个环路积分(尤其是在留数定理中应用甚广)

    1 2 π i ∮ l d z z − α = { 0 f o r l 不 包 围 α 1 f o r l 包 围 α 1 2 π i ∮ l ( z − α ) n d z = 0 , ( n ≠ − 1 ) \begin{aligned} & \frac{1}{2\pi i}\oint_l{\frac{dz}{z-\alpha}}= \left\{ \begin{array}{rcl} & 0 & for & l不包围\alpha\\ &1 & for & l包围\alpha \end{array} \right .\\ & \frac{1}{2\pi i }\oint_l{(z-\alpha)^ndz}=0, (n \neq -1) \end{aligned} 2πi1lzαdz={01forforlαlα2πi1l(zα)ndz=0,(n=1)

    柯西积分公式

    1. 柯西积分公式

    f ( α ) = 1 2 π i ∮ l f ( ζ ) ζ − z d ζ f(\alpha)=\frac{1}{2\pi i}\oint_l {\frac{f(\zeta)}{\zeta -z}d\zeta} f(α)=2πi1lζzf(ζ)dζ

    f ( n ) ( z ) = n ! 2 π i ∮ l f ( ζ ) ( ζ − z ) n + 1 d ζ f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_l{\frac{f(\zeta)}{(\zeta -z)^{n+1}}d\zeta} f(n)(z)=2πin!l(ζz)n+1f(ζ)dζ

    利用柯西积分公式可以将积分转化为某点的函数值。

    1. 刘维尔定理

    如果函数f(z)在全平面上解析,并且是有界的,即 ∣ f ( z ) ≤ M ∣ |f(z)\leq M| f(z)M,则函数f(z)一定为常数。

    幂级数和泰勒级数

    有复数项的无穷级数的收敛问题,可以转化为实部和虚部两个实数项级数的收敛问题。

    幂级数

    对幂级数 ∑ k = 0 ∞ a k ( z − z 0 ) k \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}{a_k(z-z_0)^k} k=0ak(zz0)k,引入记号
    R = lim ⁡ k → ∞ ∣ a k a k + 1 ∣ R=\lim_{k\to\infty}\vert \frac{a_k}{a_{k+1}} \vert R=klimak+1ak
    ∣ z − z 0 ∣ < R |z-z_0|<R zz0<R,则幂级数收敛。

    幂级数在收敛圆的内部(比半径为R的圆稍小一点的闭区域)收敛,在收敛圆外部发散。

    幂级数逐项积分和逐项微分都不改变收敛半径。

    泰勒级数

    1. 定义

    设f(z)在以 z 0 z_0 z0为圆心的圆 C R C_R CR上解析,则对圆内的任意z点,f(z)都可以展成幂级数:
    f ( z ) = ∑ k = 0 ∞ a k ( z − z 0 ) k , f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(z-z_0)^k, f(z)=k=0ak(zz0)k,
    其中,
    a k = 1 2 π i ∮ C R 1 f ( ζ ) ( ζ − z 0 ) k + 1 d ζ = 1 k ! f ( k ) ( z 0 ) a_k=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R_1}}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{k+1}}d\zeta=\frac{1}{k!}f^{(k)}(z_0) ak=2πi1CR1(ζz0)k+1f(ζ)dζ=k!1f(k)(z0)
    C R 1 C_{R_1} CR1 C R C_R CR圆内包含z且与 C R C_R CR同心的圆。

    1. 常用的泰勒级数展开

    1 1 − z = 1 + z + z 2 + … , ∣ z ∣ < 1 e z = ∑ k = 0 ∞ z k k ! sin ⁡ z = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! z 2 k + 1 cos ⁡ z = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k ) ! z 2 k \begin{aligned} & \frac{1}{1-z}=1+z+z^2+\dots, |z|<1\\ & e^z=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{z^k}{k!}}\\ & \sin z=\sum _{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k+1}}\\ & \cos z=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k}} \end{aligned} 1z1=1+z+z2+,z<1ez=k=0k!zksinz=k=0(2k+1)!(1)kz2k+1cosz=k=0(2k)!(1)kz2k

    注:求某个函数的泰勒展开时,可以考虑用一些基本函数的泰勒展开代入、求导、积分等转化。

    洛朗级数

    洛朗级数

    定义

    设f(z)在环形区域 R 2 < ∣ z − z 0 ∣ < R 1 R_2<|z-z_0|<R_1 R2<zz0<R1内部单值解析,则对于环域上任何一点z,f(z)可以展开为双边幂级数:
    f ( z ) = ∑ k = − ∞ ∞ a k ( z − z 0 ) k f(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{a_k(z-z_0)^k} f(z)=k=ak(zz0)k
    其中,
    a k = 1 2 π i ∮ l f ( ζ ) ( ζ − z 0 ) k + 1 d ζ a_k=\frac{1}{2\pi i}\oint_l{\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{k+1}}d\zeta} ak=2πi1l(ζz0)k+1f(ζ)dζ
    这里, l l l是环域内的绕内圆一周的任意闭合曲线。

    将一个函数展开为洛朗级数,一般会用到下面的式子:
    1 1 − z = ∑ k = 0 ∞ z k , ∣ z ∣ < 1 \displaystyle \frac{1}{1-z}=\sum_{k=0}^{\infty}z^k,|z|<1 1z1=k=0zk,z<1

    孤立奇点的分类和判定

    1. 孤立奇点的定义:f(z)在 z 0 z_0 z0点不解析,但在 z 0 z_0 z0 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ 0<|z-z_0|<\delta 0<zz0<δ内解析,即在 z 0 z_0 z0的领域内解析。

    2. 孤立奇点的分类和判定:
      Z = lim ⁡ z → z 0 f ( z ) \Zeta=\lim_{z\to z_0}f(z) Z=zz0limf(z)

    类型定义判定取舍
    可去奇点展开式中不含有 z − z 0 z-z_0 zz0的负幂项 Z = c 0 \Zeta=c_0 Z=c0为常数不作为奇点看待
    极点展开式中含有有限项 z − z 0 z-z_0 zz0的负幂项 Z = ∞ \Zeta=\infty Z=留数可求且为重点
    本性奇点展开式中含有无限项 z − z 0 z-z_0 zz0的负幂项 Z \Zeta Z不存在且不为 ∞ \infty 难以刻画

    零点和极点的关系: z 0 z_0 z0是f(z)的m级零点 ⇔ \Leftrightarrow z 0 z_0 z0 1 f ( z ) \displaystyle \frac{1}{f(z)} f(z)1的m级极点。

    留数定理

    1. 留数的定义

    z 0 z_0 z0 f ( z ) f(z) f(z)的孤立奇点,即存在R使 f ( z ) f(z) f(z)在圆环 0 < ∣ z − z 0 ∣ < R 0<|z-z_0|<R 0<zz0<R内解析,其洛朗展开为:
    f ( z ) = ∑ k = − ∞ ∞ a k ( z − z 0 ) k f(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{a_k(z-z_0)^k} f(z)=k=ak(zz0)k
    其中项 ( z − z 0 ) − 1 (z-z_0)^{-1} (zz0)1的系数
    a − 1 = 1 2 π i ∮ ∣ z − z 0 ∣ = r f ( z ) d z , 0 < r < R a_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-z_0|=r}f(z)dz,0<r<R a1=2πi1zz0=rf(z)dz,0<r<R
    称为f(z)在点 z 0 z_0 z0的留数,记作 R e s f ( z 0 ) Res f(z_0) Resf(z0)

    1. 留数定理

    设函数f(z)在回路 l l l上所围区域B上除有限个孤立奇点 z 1 , z 2 , … , z n z_1,z_2,\dots,z_n z1,z2,,zn外解析,在闭区域 B ‾ \overline{B} B上除 z 1 , z 2 , … , z n z_1,z_2,\dots,z_n z1,z2,,zn外连续,则:
    ∮ l f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n R e s f ( z k ) \oint_l f(z)dz=2\pi i \sum_{k=1}^{n}Res f(z_k) lf(z)dz=2πik=1nResf(zk)

    留数定理将积分问题转化为留数求解问题。

    1. 留数求解

      • 单极点

      R e s f ( z 0 ) = lim ⁡ z → z 0 ( ( z − z 0 ) f ( z ) ) ; R e s f ( z 0 ) = lim ⁡ z → z 0 ( z − z 0 ) P ( z ) Q ( z ) = P ( z 0 ) Q ′ ( z 0 ) , 对 于 f ( z ) = P ( z ) Q ( z ) 且 P ( z 0 ) ≠ 0 , z 0 是 Q ( z ) 的 一 阶 零 点 。 R e s f ( z 0 ) = ( z + 1 ) P ( n ) ( z 0 ) Q ( n + 1 ) ( z 0 ) , 对 于 f ( z ) = P ( z ) Q ( z ) 且 z 0 是 Q ( z ) 的 n + 1 阶 零 点 , 又 是 P ( z ) 的 n 阶 零 点 。 \begin{aligned} & Res f(z_0)=\lim_{z\to z_0}((z-z_0)f(z));\\ & Res f(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{(z-z_0)P(z)}{Q(z)}=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)},对于f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}且P(z_0)\neq 0,z_0是Q(z)的一阶零点。\\ & Res f(z_0)=\frac{(z+1)P^{(n)}(z_0)}{Q^{(n+1)}(z_0)},对于f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}且z_0是Q(z)的n+1阶零点,又是P(z)的n阶零点。 \end{aligned} Resf(z0)=zz0lim((zz0)f(z));Resf(z0)=zz0limQ(z)(zz0)P(z)=Q(z0)P(z0)f(z)=Q(z)P(z)P(z0)=0,z0Q(z)Resf(z0)=Q(n+1)(z0)(z+1)P(n)(z0)f(z)=Q(z)P(z)z0Q(z)n+1P(z)n

      • n阶极点

      R e s f ( z 0 ) = lim ⁡ z → z 0 1 ( z − 1 ) ! ( d n − 1 d z n − 1 ( ( z − z 0 ) n f ( z ) ) ) Res f(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{1}{(z-1)!}(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}((z-z_0)^nf(z))) Resf(z0)=zz0lim(z1)!1(dzn1dn1((zz0)nf(z)))

    2. ∞的留数

    若∞是f(z)的孤立奇点,即存在 R > 0 R>0 R>0使得f(z)在圆环 R < ∣ z − z 0 ∣ < + ∞ R<|z-z_0|<+\infty R<zz0<+内解析,其洛朗展开为:
    f ( z ) = ∑ k = − ∞ ∞ a k z k f(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_kz^k f(z)=k=akzk
    其中 z − 1 z^{-1} z1项的系数的相反数被称为∞点的留数,即:
    R e s f ( ∞ ) = − a − 1 = 1 2 π i ∮ ∣ z ∣ = r f ( z ) d z , r < r < + ∞ Res f(\infty)=-a_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=r}f(z)dz, r<r<+\infty Resf()=a1=2πi1z=rf(z)dz,r<r<+
    可以证明:函数f(z)若在扩充复平面上只有有限个孤立奇点,则f(z)在各点的留数之和等于0。即:
    R e s f ( ∞ ) + ∑ k = 1 n R e s f ( z k ) = 0 Res f(\infty)+\sum_{k=1}^{n}Res f(z_k)=0 Resf()+k=1nResf(zk)=0

    1. 留数定理在积分问题中的应用
    • 类型一
      I = ∫ 0 2 π R ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ) d x I=\int_0^{2\pi}R(\cos x,\sin x)dx I=02πR(cosx,sinx)dx
      被积函数是三角函数的有理式,积分区间是 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π]

      方法是变量替换
      z = e i x ∴ cos ⁡ x = 1 2 ( z + z − 1 ) , sin ⁡ x = 1 2 i ( z − z − 1 ) , d x = 1 i z d z \begin{aligned} & z=e^{ix}\\ \therefore & \cos x=\frac{1}{2}(z+z^{-1}),\sin x=\frac{1}{2i}(z-z^{-1}),dx=\frac{1}{iz}dz \end{aligned} z=eixcosx=21(z+z1),sinx=2i1(zz1),dx=iz1dz
      注意不要用共轭复数 z ∗ z^* z,注意积分空间是在单位圆内从而确定在单位圆内的极点个数

    • 类型二
      I = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x I=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx I=f(x)dx
      积分空间为 ( − ∞ , ∞ ) (-\infty, \infty) (,)复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外都是解析的;当z在上半平面及实轴上 → ∞ \to \infty 时,zf(z)一致的 → ∞ \to \infty
      I = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 2 π i ∑ z 0 ∈ { 上 半 平 面 内 奇 点 全 体 } R e s f ( z 0 ) I=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=2\pi i\sum_{z_0\in\{上半平面内奇点全体\}}Res f(z_0) I=f(x)dx=2πiz0{}Resf(z0)

    • 类型三
      I 1 = ∫ 0 ∞ f ( x ) cos ⁡ m x d x I 2 = ∫ 0 ∞ g ( x ) sin ⁡ m x d x \begin{aligned} & I_1=\int_0^{\infty}f(x)\cos mx dx\\ & I_2=\int_0^{\infty}g(x)\sin mx dx \end{aligned} I1=0f(x)cosmxdxI2=0g(x)sinmxdx
      积分区间 [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [0,+)偶函数f(x)和奇函数g(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外都是解析的;当z在上半平面及实轴上 → ∞ \to \infty 时,f(z)和g(z)一致的 → ∞ \to \infty

      当m>0时:
      I 1 = ∫ 0 ∞ f ( x ) cos ⁡ m x d x = 1 2 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e i m x d x = π i ∑ z 0 ∈ { 上 半 平 面 内 全 体 奇 点 } R e s ( f ( z 0 ) e i m z 0 ) I 2 = ∫ 0 ∞ g ( x ) sin ⁡ m x d x = 1 2 i ∫ − ∞ ∞ g ( x ) e i m x d x = π ∑ z 0 ∈ { 上 半 平 面 内 全 体 奇 点 } R e s ( g ( z 0 ) e i m z 0 ) \begin{aligned} & I_1=\int_0^{\infty}f(x)\cos mx dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{imx}dx=\pi i\sum_{z_0\in\{上半平面内全体奇点\}}Res (f(z_0)e^{imz_0})\\ & I_2=\int_0^{\infty}g(x)\sin mx dx=\frac{1}{2i}\int_{-\infty}^{\infty}g(x)e^{imx}dx=\pi \sum_{z_0\in\{上半平面内全体奇点\}}Res(g(z_0)e^{imz_0}) \end{aligned} I1=0f(x)cosmxdx=21f(x)eimxdx=πiz0{}Res(f(z0)eimz0)I2=0g(x)sinmxdx=2i1g(x)eimxdx=πz0{}Res(g(z0)eimz0)
      当m<0时:
      I 1 = ∫ 0 ∞ f ( x ) cos ⁡ m x d x = − π i ∑ z 0 ∈ { 下 半 平 面 内 全 体 奇 点 } R e s ( f ( z 0 ) e i m z 0 ) I 2 = ∫ 0 ∞ g ( x ) sin ⁡ m x d x = − π ∑ z 0 ∈ { 下 半 平 面 内 全 体 奇 点 } R e s ( g ( z 0 ) e i m z 0 ) \begin{aligned} & I_1=\int_0^{\infty}f(x)\cos mx dx=-\pi i\sum_{z_0\in\{下半平面内全体奇点\}}Res (f(z_0)e^{imz_0})\\ & I_2=\int_0^{\infty}g(x)\sin mx dx=-\pi \sum_{z_0\in\{下半平面内全体奇点\}}Res(g(z_0)e^{imz_0}) \end{aligned} I1=0f(x)cosmxdx=πiz0{}Res(f(z0)eimz0)I2=0g(x)sinmxdx=πz0{}Res(g(z0)eimz0)

    • 类型四
      I = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x I=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx I=f(x)dx
      函数f(z)在实轴上有单极点 z = α z=\alpha z=α,除此之外,函数f(z)满足类型二或者类型三。
      ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 2 π i ∑ z 0 ∈ { 上 半 平 面 内 全 体 奇 点 } R e s f ( z 0 ) + π i ∑ α ∈ { 实 轴 上 的 全 体 奇 点 } R e s f ( α ) \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=2\pi i\sum_{z_0\in\{上半平面内全体奇点\}}Res f(z_0)+\pi i \sum_{\alpha \in \{实轴上的全体奇点\}}Res f(\alpha) f(x)dx=2πiz0{}Resf(z0)+πiα{}Resf(α)
      α只能是单极点,当为二阶及以上极点时,积分为∞,当为本性奇点时,积分不存在。

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    3 复变函数的积分

    3.1 概念

    闭曲线积分 Cf(z)dz=Cf(z)dz ∮ C f ( z ) d z = − ∮ C − f ( z ) d z

    Cf(z)dz=Cudxvdy+iCvdx+udy ∮ C f ( z ) d z = ∫ C u d x − v d y + i ∫ C v d x + u d y

    Cf(z)dz=βαf[z(t)]z(t)dt ∮ C f ( z ) d z = ∫ α β f [ z ( t ) ] z ′ ( t ) d t

    |zz0|=rdz(zz0)n+1={2πi,0,n=0n0 ∮ | z − z 0 | = r d z ( z − z 0 ) n + 1 = { 2 π i , n = 0 0 , n ≠ 0

    估值不等式:曲线C长度为L,函数f(z)在C上满足|f(z)| M,则

    |Cf(z)dz|C|f(z)|dsML | ∫ C f ( z ) d z | ≤ ∫ C | f ( z ) | d s ≤ M L

    3.2 柯西-古萨基本定理

    积分与路线无关。

    柯西-古萨基本定理:如果f(z)在单连通域B内处处解析,那么f(z)在B内的任何一条封闭曲线C的积分为0。

    Cf(z)dz=0 ∮ C f ( z ) d z = 0

    3.3 复合闭路定理

    闭路变形原理:区域内一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,只要变形过程中不经过不解析的点。

    复合闭路定理:C为多连通域D内的一条简单闭曲线, C1,C2... C 1 , C 2 . . . 为C内部的简单闭曲线,塔门互不包含互不相交,以它们为边界的区域全含于D,如果f(z)在D内解析,则

    Cf(z)dz=k=1nCkf(z)dz ∮ C f ( z ) d z = ∑ k = 1 n ∮ C k f ( z ) d z

    3.4 原函数与不定积分

    如果函数在单连通区域内处处解析,那么积分与路线无关。

    如果f(z)在单连通域B内处处解析,那么函数F(z)必为B内的解析函数。

    3.5 柯西积分公式

    f(z0)=12πiCf(z)zz0dz f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − z 0 d z

    如果C是圆周 z=z0+Reiθ z = z 0 + R e i θ ,那么

    f(z0)=12π2π0f(z0+Reiθ)dθ f ( z 0 ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( z 0 + R e i θ ) d θ

    即,一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。

    逆定理:魔勒拉

    3.6 解析函数的高阶导数

    f(n)(z0)=n!2πiCf(z)(zz0)n+1dz f ( n ) ( z 0 ) = n ! 2 π i ∮ C f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z

    3.7 调和函数

    如果二元实变函数 φ(x,y) φ ( x , y ) 在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程

    2φx2+2φy2=0 ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 = 0

    那么称 φ(x,y) φ ( x , y ) 为D内的调和函数。

    D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。

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