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  • 2021-10-04 22:22:15
    • 第1章 复数
    • 第2章 解析函数的微积分
      • 2.1 复变函数的极限和连续性
      • 2.2 复变函数的导数和解析函数
      • 2.3 初等函数
      • 2.4 复变函数的积分
      • 2.5 Cauchy型积分公式
      • 2.6 调和函数
    • 第3章 解析函数的级数理论与留数定理
      • 3.1 复数列的级数与幂级数
      • 3.2 Taylor级数
      • 3.3 Laurent级数
      • 3.4 孤立奇点
      • 3.5 留数定理
      • 3.6 留数定理在计算实积分中的应用
      • 3.7 幅角原理与Rouche定理
    • 第4章 积分变换
      • 4.1 Fourier变换
      • 4.2 Fourier变换的性质
      • 4.3 Fourier逆变换
      • 4.4 Dirac-Delta函数
    • 第5章 共形映照
      • 5.1 导数的几何意义与共形性
      • 5.2 分式线性变换
      • 5.3 初等函数的共形性

    【参考教材】
    周羚君,韩静,狄艳媚. 复变函数与积分变换. 同济大学出版社. 2017年

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    实变函数(高等数学)主要内容:

    • 微积分(一元、二元、多元)
    • 级数理论
    • 常微分方程

    复变函数:

    • 研究对象:自变量为复数的函数
    • 主要任务:研究复变数之间的相互依赖关系,具体地就是复数域上的微积分
    • 主要内容:复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、保形映射、积分变换等。

    一、复数基本知识

    1.1 复数基本概念

    对任意两实数x, y,称 z = x + i y z=x+iy z=x+iy z = x + y i z=x+yi z=x+yi 为复数,其中 i 2 = − 1 i^2=-1 i2=1 i i i 称为虚部

    复数 z z z 的实部 R e ( z ) = x Re(z)=x Re(z)=x,虚部 I m ( z ) = y Im(z)=y Im(z)=y

    复数的模: ∣ z ∣ = x 2 + y 2 ≥ 0 |z|=\sqrt{x^2+y^2}\ge0 z=x2+y2 0

    复数相等: z 1 = z 2    ⟺    x 1 = x 2 , y 1 = y 2 z_1=z_2 \iff x_1=x_2,y_1=y_2 z1=z2x1=x2,y1=y2,其中 z 1 = x 1 + i y 1 , z 2 = x 2 + i y 2 z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2 z1=x1+iy1,z2=x2+iy2

    z = 0    ⟺    R e ( z ) = I m ( z ) = 0 z=0\iff Re(z)=Im(z)=0 z=0Re(z)=Im(z)=0

    一般两个复数不能比较大小。

    共轭复数:若 z = x + i y z=x+iy z=x+iy,称 z ‾ = x − i y \overline{z}=x-iy z=xiy z z z 的共轭复数。

    1.2 复数的几何表示

    1.2.1 用点表示:

    z = x + i y    ⟺    z=x+iy \iff z=x+iy 复平面上的点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)

    复平面上横坐标轴称为实轴,纵坐标轴称为虚轴。

    1.2.2 用向量表示:

    z = x + i y    ⟺    O P → = { x , y } z=x+iy\iff \overrightarrow{OP}=\{x,y\} z=x+iyOP ={x,y}

    此时我们用向量 O P → \overrightarrow{OP} OP 来表示 z = x + i y z=x+iy z=x+iy。复数的模是向量的长度 ∣ z ∣ = ∣ O P → ∣ = x 2 + y 2 |z|=|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{x^2+y^2} z=OP =x2+y2 。而复数的幅角指向量与正实轴之间的夹角 θ = A r g z = ( O P → , x ) \theta=Arg_z=(\overrightarrow{OP},x) θ=Argz=(OP ,x) t a n ( A r g z ) = y x tan(Argz)={y\over x} tan(Argz)=xy),注意当z=0时,幅角无意义,且幅角是无穷多的: A r g z = θ = θ 0 + 2 k π Arg_z=\theta=\theta_0+2k\pi Argz=θ=θ0+2kπ,其中满足 − π < θ 0 < π -\pi<\theta_0<\pi π<θ0<π θ 0 \theta_0 θ0 称为幅角 A r g z Arg_z Argz 的主值,记作: θ 0 = A r g z \theta_0=Arg_z θ0=Argz

    1.2.3 用三角函数来表示:

    用复数的模与幅角来表示非零复数z:

    由 { x = r c o s θ y = r s i n θ 得 : z = r ( c o s θ + i s i n θ ) 由\begin{cases}x=rcos\theta\\y=rsin\theta\end{cases}\quad得:\quad z=r(cos\theta+isin\theta) {x=rcosθy=rsinθ:z=r(cosθ+isinθ)

    1.2.4 用指数表示

    由欧拉公式(在第二部分介绍了欧拉公式): e i θ = c o s θ + i s i n θ e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta eiθ=cosθ+isinθ 可得非零复数 z z z 的指数表达式:
    z = r e i θ z=re^{i\theta} z=reiθ

    1.2 复数的乘幂与方根

    1.2.1 复数的乘积与熵

    利用复数的三角表示,我们可以更简单的表示复数的乘法与除法:

    定理:

    z 1 , z 2 z_1,z_2 z1,z2是两个非零复数:

    z 1 = ∣ z 1 ∣ ( c o s A r g z 1 + i s i n A r g z 1 ) = ∣ z 1 ∣ e i ( A r g z 1 ) z 2 = ∣ z 2 ∣ ( c o s A r g z 2 + i s i n A r g z 2 ) = ∣ z 2 ∣ e i ( A r g z 2 ) z_1=|z_1|(cosArg_{z_1}+isinArg_{z_1})=|z_1|e^{i(Argz_1)} \\z_2=|z_2|(cosArg_{z_2}+isinArg_{z_2})=|z_2|e^{i(Argz_2)} z1=z1(cosArgz1+isinArgz1)=z1ei(Argz1)z2=z2(cosArgz2+isinArgz2)=z2ei(Argz2)

    则:

    ∣ z 1 z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ∣ z 2 ∣ , A r g ( z 1 z 2 ) = A r g ( z 1 ) + A r g ( z 2 ) ∣ z 1 z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ∣ z 2 ∣ ( z 2 ≠ 0 ) , A r g ( z 1 z 2 ) = A r g ( z 1 ) − A r g ( z 2 ) |z_1z_2|=|z_1||z_2|,\quad Arg(z_1z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2)\\ |{z_1\over z_2}|={|z_1|\over|z_2|}(z_2\ne0),\quad Arg({z_1\over z_2})=Arg(z_1)-Arg(z_2) z1z2=z1z2,Arg(z1z2)=Arg(z1)+Arg(z2)z2z1=z2z1(z2=0),Arg(z2z1)=Arg(z1)Arg(z2)
    (?)

    乘法的几何意义:将复数 z 1 z_1 z1按逆时针方向旋转一个角度Arg( z 2 z_2 z2),再将其伸缩到 ∣ z 2 ∣ |z_2| z2倍。

    1.2.2 复数的乘幂

    n个相同复数 z z z 的乘积 z n z^n zn 称为 z z z n n n 次幂:

    z n = z z . . . z = r n e i n θ = r n ( c o s n θ + i s i n n θ ) z^n=zz...z=r^ne^{in\theta}=r^n(cosn\theta+isinn\theta) zn=zz...z=rneinθ=rn(cosnθ+isinnθ)

    特别地:当 ∣ z ∣ = r = 1 |z|=r=1 z=r=1时, z n = ( cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ ) z^n=(\cos n\theta+i\sin n\theta) zn=(cosnθ+isinnθ),此时有:

    ( c o s θ + i s i n θ ) n = c o s n θ + i s i n n θ (cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

    这个公式称为De Moivre公式。

    z − n = 1 z n z^{-n}={1\over z^n} zn=zn1 ,则:

    z − n = r − n e − i n θ = r − n ( c o s ( − n θ ) + i s i n ( − n θ ) ) z^{-n}=r^{-n}e^{-in\theta}=r^{-n}(cos(-n\theta)+isin(-n\theta)) zn=rneinθ=rn(cos(nθ)+isin(nθ))

    1.2.3 复数的方根

    z = r e i θ z=re^{i\theta} z=reiθ 为已知复数,n为正整数,则称满足方程 w n = z w^n=z wn=z 的所有 w w w 值为 z z z 的n次方根,记为 w = z n w=\sqrt[n]{z} w=nz

    w = ρ e i φ w=\rho e^{i\varphi} w=ρeiφ,则 ρ n e i n φ = r e i θ \rho^ne^{in\varphi}=re^{i\theta} ρneinφ=reiθ,此时可得:

    ρ = r n ,   φ = θ + 2 k π n ,   k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ \rho=\sqrt[n]{r},\ \varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n},\ k=0,\pm1,\pm2,\cdots ρ=nr , φ=nθ+2kπ, k=0,±1,±2,
    w = r n e i θ + 2 k π n = r 1 n ( cos ⁡ θ + 2 k π n + i sin ⁡ θ + 2 k π n ) w=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin \frac{\theta+2k\pi}{n}) w=nr einθ+2kπ=rn1(cosnθ+2kπ+isinnθ+2kπ)

    k = 0 , 1 , 2 , … , n − 1 k=0,1,2,\dots,n-1 k=0,1,2,,n1时,得到n个相异的根:

    w 0 = r 1 n ( cos ⁡ θ n + i sin ⁡ θ n ) w 1 = r 1 n ( cos ⁡ θ + 2 π n + i sin ⁡ θ + 2 π n ) w 2 = r 1 n ( cos ⁡ θ + 4 π n + i sin ⁡ θ + 4 π n ) ⋮ w n − 1 = r 1 n ( cos ⁡ θ + 2 ( n − 1 ) π n + i sin ⁡ θ + 2 ( n − 1 ) π n ) w_0=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta}{n}+i\sin \frac{\theta}{n})\\ w_1=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta+2\pi}{n}+i\sin \frac{\theta+2\pi}{n})\\ w_2=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta+4\pi}{n}+i\sin \frac{\theta+4\pi}{n})\\ \vdots\\ w_{n-1}=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta+2(n-1)\pi}{n}+i\sin \frac{\theta+2(n-1)\pi}{n}) w0=rn1(cosnθ+isinnθ)w1=rn1(cosnθ+2π+isinnθ+2π)w2=rn1(cosnθ+4π+isinnθ+4π)wn1=rn1(cosnθ+2(n1)π+isinnθ+2(n1)π)

    而k取其他整数时,这些根又会重复出现。(?)

    https://wenku.baidu.com/view/95266a772e60ddccda38376baf1ffc4ffe47e29a.html

    二、欧拉公式:

    i = − 1 i=\sqrt{-1} i=1 ,欧拉公式为:

    e i x = c o s x + i s i n x e^{ix}=cosx+isinx eix=cosx+isinx

    欧拉公式的推导用到了泰勒展开,至于 e i x e^{ix} eix为什么可以泰勒展开需要证明,这里忽略(?):

    e i x = 1 + i x + ( i x ) 2 2 ! + ( i x ) 3 3 + ( i x ) 4 4 ! + ( i x ) 5 5 ! + ( i x ) 6 6 ! + . . . = 1 + i x − x 2 2 ! − i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! − x 6 6 !    = ( 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + . . . ) + i ( x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − . . . )    = c o s x + i s i n x     e^{ix}=1+ix+{(ix)^2\over 2!}+{(ix)^3\over 3}+{(ix)^4\over 4!}+{(ix)^5\over 5!}+{(ix)^6\over 6!}+...\\ =1+ix-{x^2\over2!}-{ix^3\over3!}+{x^4\over4!}+{ix^5\over5!}-{x^6\over6!}\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \\ =(1-{x^2\over2!}+{x^4\over4!}-{x^6\over6!}+...)+i(x-{x^3\over3!}+{x^5\over5!}-...)\ \ \\ =cosx+isinx\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \ eix=1+ix+2!(ix)2+3(ix)3+4!(ix)4+5!(ix)5+6!(ix)6+...=1+ix2!x23!ix3+4!x4+5!ix56!x6  =(12!x2+4!x46!x6+...)+i(x3!x3+5!x5...)  =cosx+isinx   

    欧拉公式的一个变形:

    e i x = c o s x + i s i n x e^{ix}=cosx+isinx eix=cosx+isinx

    e − i x = c o s x − i s i n x e^{-ix}=cosx-isinx eix=cosxisinx

    相加相减可以得到:

    s i n x = ( e i x − e − i x ) / 2 i sinx={(e^{ix}-e^{-ix})/2i} sinx=(eixeix)/2i

    c o s x = ( e i x + e − i x ) / 2 cosx={(e^{ix}+e^{-ix})/2} cosx=(eix+eix)/2

    三、复变函数的导数

    3.1 导数的定义

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3.2 求导公式与法则(实函数中求导法则的推广)

    1. 常数的导数 c ′ = ( a + i b ) ′ = 0 c'=(a+ib)'=0 c=(a+ib)=0
    2. ( z n ) ′ = n z n − 1 (z^n)'=nz^{n-1} (zn)=nzn1(n是自然数)
    3. 设函数 f ( z ) , g ( z ) f(z),g(z) f(z),g(z)均可导,则:
      [ f ( z ) ± g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) ± g ′ ( z ) [f(z)\pm g(z)]'=f'(z)\pm g'(z) [f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)
      [ f ( z ) g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) g ( z ) + f ( z ) g ′ ( z ) [f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z) [f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)
      [ f ( z ) g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) g ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) g 2 ( z ) ( g ( z ) ≠ 0 ) [{f(z)\over g(z)}]'={f'(z)g(z)-f(z)g'(z)\over g^2(z)}\quad(g(z)\ne0) [g(z)f(z)]=g2(z)f(z)g(z)f(z)g(z)(g(z)=0)
    4. 复合函数的导数: f [ g ( z ) ] ′ = f ′ ( g ( z ) ) g ′ ( z ) f[g(z)]'=f'(g(z))g'(z) f[g(z)]=f(g(z))g(z)
    5. 反函数的导数: f ′ ( z ) = 1 ϕ ′ ( w ) f'(z)={1\over \phi'(w)} f(z)=ϕ(w)1,其中: w = f ( z ) w=f(z) w=f(z),与 z = ϕ ( w ) z=\phi(w) z=ϕ(w)互为单值的反函数,且 ϕ ′ ( w ) ≠ 0 \phi'(w)\ne0 ϕ(w)=0

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    注意:

    1. 复变函数在一点处可导,要比实函数在一点处可导要求高得多,也复杂得多,这是因为 △ z → 0 \triangle z\to0 z0是在平面区域上以任意方式趋于零的缘故。
    2. 在高等数学中要举出一个处处连续,但处处不可导的例题是狠苦难的,但在复变函数中,却轻而易举

    3.3 可导与连续

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    四、解析函数

    4.1 定义

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    4.2 定理

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    4.3 解析函数的充要条件

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    https://wenku.baidu.com/view/532c39681eb91a37f1115c77.html
    复变函数基本初等函数

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  • 解析函数1.1. 对区域 DDD 的「解析函数」是什么意思?例1例2 1. 解析函数 1.1. 对区域 DDD 的「解析函数」是什么意思? 设 f(z)f(z)f(z) 在区域 DDD 有定义,当 zo∈Dz_o \in Dzo​∈D 时,若存在一个 zoz_ozo​ ...

    1. 解析函数

    1.1. 对区域 D D D 的「解析函数」是什么意思?

    f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 有定义,当 z o ∈ D z_o \in D zoD 时,若存在一个 z o z_o zo 的一个邻域,使得 f ( z ) f(z) f(z) 在邻域内处处可导,则 z o z_o zo f ( z ) f(z) f(z) 的解析点。当 D D D 上每一个点都解析时,则称 f ( z ) f(z) f(z) D D D 的解析函数。

    可以看到,解析和可导具有一定的等价性,但他们的意义不同,解析是指某一邻域可导,而可导只是某一点可导1

    所以从上述定义出发,我们可以得到「函数解析」的充要条件:

    对于 f ( z ) = u ( x , y ) + j y ( x , y ) f(z) = u(x, y) + j y(x, y) f(z)=u(x,y)+jy(x,y) 在区域 D D D 内解析的充要条件为: u ( x , y ) u(x, y) u(x,y) v ( x , y ) v(x, y) v(x,y) 在区域 D D D 内可微;在 D D D 内满足等式 C-R方程。

    所以,我们可以通过CR方程,得到下面方程
    f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + j ∂ v ∂ x = ∂ v ∂ y − j ∂ u ∂ y f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + j \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - j \frac{\partial u}{\partial y} f(z)=xu+jxv=yvjyu

    为了更好理解这个概念,我们先从函数 f ( z ) f(z) f(z) 对于某一点可导开始说起

    例1

    函数 f ( z ) = x y + j y f(z) = xy + j y f(z)=xy+jy 仅在 z = z= z=_______ 处可导,且该点的导数值为_________。

    解:对于问题一来说,我们可以从解析函数的充要条件出发,得到

    { ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x → { y = 1 x = 0 \left \{ \begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{ \partial u}{\partial y } = -\frac{ \partial v}{ \partial x } \end{matrix} \right. \rightarrow \left \{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = 0 \end{matrix} \right. {xu=yvyu=xv{y=1x=0

    得到 z = j z = j z=j,而该点的导数值即

    f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + j ∂ v ∂ x = y + j 0 ∣ z = j → f ′ ( z ) = 1 f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + j \frac{\partial v}{\partial x} = y + j 0 \left |_{z=j} \right . \rightarrow f'(z) = 1 f(z)=xu+jxv=y+j0z=jf(z)=1

    从上述例题中可以知道,当函数在点 ( 0 , 1 ) (0, 1) (0,1) 时,可以求导,并且导数等于 1。现在我们再来看看另外一个例子。

    例2

    设函数 f ( z ) = m y 3 + n x 2 y + j ( x 3 + k x y 2 ) f(z) = m y^3 + n x^2 y + j (x^3 + k xy^2) f(z)=my3+nx2y+j(x3+kxy2) z z z 平面上解析,求 m m m n n n k k k 的值。

    解:由于函数 f ( z ) f(z) f(z) 在平面 z z z 解析,也就是说它可导。所以我们可以代入 C- R方程,得到:

    { ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x → { 2 n x y = 2 k x y 3 m y 2 + n x 2 = − 3 x 2 − k y 2 → { m = 1 n = − 3 k = − 3 \left \{ \begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} \end{matrix} \right. \to \left \{ \begin{matrix} 2nxy = 2kxy \\ 3my^2 + n x^2 = -3x^2 - k y^2 \end{matrix} \right. \to \left \{ \begin{matrix} m = 1 \\ n = -3 \\ k = -3 \\ \end{matrix} \right . {xu=yvyu=xv{2nxy=2kxy3my2+nx2=3x2ky2m=1n=3k=3


    1. 复变函数与解析函数,https://zhuanlan.zhihu.com/p/133249193 ↩︎

    展开全文
  • 讨论了复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质,并给出了简单的...利用这些性质可以快速准确地判定某些复变函数的孤立奇点的类型,这对研究某些复变函数在其孤立奇点处的去心邻域内的性质、复积分的计算等是很有意义的。
  • 如题,求画图说明复变函数在某点连续的几何意义
  • 复变函数与积分变换》复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、 解析函数的级数表示、留数及其应用、共形映射 柯西,级数,留数

    2021-1-3

    第一章 复数与复变函数

    代数基本定理:

    任何多项式在复数域里必有根,而且 n 次多项式恰好有 n 个根

    §1.1 复数

    一、复数及其运算

    定义:

    (1) 设 x 和 y 是任意两个实数, z = x + i y z=x+iy z=x+iy ( 或者 z = x + y i z=x+yi z=x+yi ) 的数称为复数。其中 i i i 称为虚数单位,即 i = − 1 i = \sqrt{-1} i=1

    (2) x 和 y 分别称为复数 z 的实部虚部,并分别表示为: x = R e ( z ) x = Re(z) x=Re(z) , y = I m ( z ) y = Im(z) y=Im(z)

    (3) 当 x = 0 时,z = 0 + iy = iy 称为纯虚数
    当 y = 0 时,z = x + i0 = x 就是实数。因此,实数可以看作是复数的特殊情形。

    复数的基本概念

    相等

    z 1 = x 1 + i y 1 z_1 = x_1 + i y_1 z1=x1+iy1 z 2 = x 2 + i y 2 z_2 = x_2 + i y_2 z2=x2+iy2 是两个复数

    如果 x 1 = x 2 x_1 = x_2 x1=x2 y 1 = y 2 y_1 = y_2 y1=y2 相等, 则称 z 1 z_1 z1 z 2 z_2 z2 相等
    它们之间只有相等与不相等的关系。

    特别地, z = x + i y = 0 z = x + i y = 0 z=x+iy=0 当且仅当 x = y = 0 x = y = 0 x=y=0.

    注:复数与实数不同,两个复数(虚部不为零)不能比较大小,它们之间只有相等与不相等的关系。

    四则运算

    加法: z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + i ( y 1 + y 2 ) z_1 + z_2 = x_1 + x_2 + i( y_1 + y_2 ) z1+z2=x1+x2+i(y1+y2);

    减法: z 1 − z 2 = x 1 − x 2 + i ( y 1 − y 2 ) z_1 − z_2 = x_1 − x_2 + i( y_1 − y_2 ) z1z2=x1x2+i(y1y2)

    乘法: z 1 ⋅ z 2 = ( x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) z_1· z_2 = (x_1 x_2 − y_1 y_2 ) + i(x_1 y_2 + x_2 y_1 ) z1z2=(x1x2y1y2)+i(x1y2+x2y1);

    除法 :如果存在复数 z z z,使得 z 1 = z 2 ⋅ z z_1 = z_2 ·z z1=z2z,则 z = z 1 z 2 z=\frac{z_1}{z_2} z=z2z1

    加法、乘法满足交换律与结合律,乘法对加法满足分配律.由此可知,在实数域里由这些规律推得的恒等式在复数里仍然有效.另外,还可以验证:复数集关于四则运算是封闭的,其代数结构是域。

    交换律、结合律、分配率

    二、共轭复数

    定义

    z = x + i y z = x + i y z=x+iy 是一个复数,
    z = x − i y z = x - i y z=xiy z z z 的共轭复数,记作 z ‾ \overline{z} z

    x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x2+y2 (算术根)为复数 z z z 的模,记作 ∣ z ∣ |z| z = x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x2+y2
    在这里插入图片描述

    性质

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    §1.2 复数的几种表示

    复平面

    用建立了笛卡儿直角坐标系的平面来表示复数的平面称为复平面.复平面赋予了复数以直观的几何意义,复数的数对表示式也可以看作是直角坐标系中的坐标.它建立了“数”与“点”之间的一一对应关系.此时,x 轴称为实轴,y 轴称为虚轴

    把复数 1 + 2 i 1+ 2i 1+2i 称为点 1 + 2 i 1+ 2i 1+2i ,把点 4 + i 4+ i 4+i 称为复数 4 + i 4+ i 4+i
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    在复平面上,从原点到点 z = x + i y z = x + i y z=x+iy 所引的向量与该复数 z 也构成一一对应关系(复数零对应零向量)。
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    引进复平面后,复数 z 与点 z 以及向量 z 视为同一个概念。

    一、复数的模与辐角

    x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x2+y2 (算术根)为复数 z z z 的模,记作 ∣ z ∣ |z| z = x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x2+y2

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    (1) 辐角是多值的,相互之间可相差 2kπ ,其中 k 为整数。

    (2) 辐角的符号约定为:逆时针取正号,顺时针取负号。

    复数 0 的模为 0,辐角无意义。

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    主辐角

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    Arg z = arg z + 2kπ , k = 0, ± 1, ± 2,……

    相互转换关系

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    三减二加,一四不变

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    二、复数的三角表示和指数表示

    三角表示式

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    指数表示式

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    利用指数表示进行复数的乘除法运算

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    简单复数的指数表示形式

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    三、复数的乘幂与方根

    复数的乘幂

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    利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则
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    棣莫弗(De Moivre)公式

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    复数的方根

    定义:

    复数求方根是复数乘幂的逆运算

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    复数的 n 次方根一般是多值

    利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则

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    方根公式

    方根公式
    在复平面上, 这 n 个根均匀地分布在一个以原点为中心、以 r n \sqrt[n]{r} nr 为半径的圆周上。其中一个根的辐角是 ( θ / n ) (θ/n) (θ/n).

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    几个关系

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    知识拓展——欧拉公式

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    §1.3 平面点集的一般概念

    【复变函数与积分变换】【平面点集的一般概念】

    §1.4 无穷大与复球面

    【复变函数与积分变换】【平面点集的一般概念】

    §1.5 复变函数

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空空如也

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