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  • 【复变】复变函数

    千次阅读 2020-02-18 17:15:40
    复变函数复数与复变函数复数复变函数导数积分级数留数保形映射解析函数对平面向量场的应用 复数与复变函数 复数 复数的代数运算: 复数四则运算的几何意义: ①两个复数乘积的模等于它们模的乘 积;两个复数乘积...

    前言

    • 复变函数是由一个复数域映射到另一个复数域的关系。判断复变函数是否可导可导:u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在点 ( x, y ) 可微, 并且在该点 满足柯西—黎曼方程。解析函数是复变函数在一个区域内可导。可用定义法计算复变函数在一点的导数 或 利用常见初等函数的导数以及导数的运算法则求导。
    • 柯西定理:已知一复变函数的原函数,可求其积分。柯西定理证明了若一正向封闭区域内(逆时针),若所积函数解析,则其积分为零。
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    • 柯西积分公式:当复变函数在封闭区域内解析,则在该封闭区域内任一点的值由f(z)/z-z0在边界上的积分所决定。
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      如果一个函数在某点解析,那么它的各阶导函数在该点仍解析 。设 f ( z)在简单正向闭曲线 C 及其所围区域 D 内处处解析, z0 为 D 内任一点, 那么:
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      由此,一般解析初等函数可以展开为对应泰勒级数。且部分函数可展开为含负幂次项的洛朗级数。
      根据展开函数的级数在某一点或无穷远点的负幂次项的个数,可将奇点类型分为:可去奇点、极点、本性奇点。同时,根据留数定理可求出对应展开级数的C-1项的系数从而求出某封闭曲线上的积分。留数对一些特殊的定积分的计算。

    复数

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    1. 复数的代数运算:

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    2. 复数四则运算的几何意义:

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    ①两个复数乘积的模等于它们模的乘 积;两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和
    ②两个复数商的模等于它们模的商; 两个复数商的幅角等于被 除数与除数的幅角差
    ③复数的加减:
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    3. 复数的幂乘和方根

    ①幂乘
    在这里插入图片描述②方根(这里 w≠0 , n≥2 )的复数 w 为该方程的 n 次方根在这里插入图片描述

    复变函数

    复数域上初等函数的定义:

    1. 指数函数

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    性质:ez+2kπ=ez,故指数函数ez是一个以2π为周期的周期函数。
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    故ez在复平面上处处可导,解析。

    2. 对数函数

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    性质:w 是 z 的对数函数,记为 w = Ln z .其为多值函数。单值函数为多值函数 Ln z的主值,记作 ln z .
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    3. 幂函数

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    4. 三角函数与反三角函数

    ①正弦与余弦函数
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    由上面的定义,我们可以容易地推出正弦函数和余弦函数的下述性质:(*)在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述②其他三角函数
    ③反三角函数

    5. 双曲函数与反双曲函数

    导数

    1. 复变函数极限

    ①复变函数极限概念:
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    ②复变函数极限判断定理:
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    2. 复变函数的连续性

    ①复变函数连续概念:
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    ②复变函数连续性定理:
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    3. 导数

    ①定义:(可导必连续,连续不一定可导)
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    例1 求zn的导数
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    例2 证明
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    例3 证明f(z)=|z|2的可导性
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    ②导数的运算法则:
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    ③函数可导的充分必要条件:
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    4. 解析函数

    ①定义:(区域内所有点可导)
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    由定义知,函数在区域 D 内解析与在区域 D 内可导是等价的 .但函数在 一点解析与在该点可导是绝对不等价的 .前者比后者条件强的多, 函数在某点 解析意味着函数在该点及其某邻域内处处可导;而函数在某点可导, 在该点邻 域内函数也可能可导,也可能不可导 .
    ②判断定理:
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    由导数的运算法则可知,在某区域上解析的函数经过加、减、乘、除 (分母 不为零)运算得到的函数在该区域上仍解析 .两个及两个以上的解析函数经过 有限次复合运算后得到的函数仍为解析函数 .解析函数的单值反函数仍为解 析函数
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    5. 调和函数

    积分

    1.积分的概念、性质、计算

    将实数域上有关积分的概念、性质推广到复数域上
    1.原函数:
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    2.不定积分:
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    3. 常见公式:在这里插入图片描述
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    4. 定积分:
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    定积分性质:
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    5.计算:
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    2. 柯西定理及其推广

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    3.柯西积分公式

    定理:在这里插入图片描述推导前提:
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    4. 解析函数的导数

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    级数

    1.收敛序列和收敛级数

    ①收敛序列:在这里插入图片描述
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    ②收敛数项级数:
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    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    ③函数项级数:
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    2. 幂级数

    定义:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    幂级数的收敛半径:在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    幂级数的和函数的性质:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在高等数学中,我们将一个具有 n + 1 阶导数的函数展为泰勒级数或麦 克劳林级数 .在下一节我们将解析函数 ( 具有任意阶导数 ) 展为泰勒级数或麦 克劳林级数,也就是解析函数展为幂级数 .

    3.泰勒级数

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
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    例1
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    4.洛朗级数

    有些函数虽然不能表示为泰勒级数, 但是却能用含有负指数幂 的级数在某个圆环内表示,这种含有负指数幂的级数就是下面要讨论的罗朗 级数
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    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    留数

    1.解析函数的孤立奇点

    在这里插入图片描述
    1.可去奇点、极点、本性奇点

    • 可去奇点、极点、本性奇点
      分别对应罗郎展开式中无负次幂,只有有限个负次幂和无限个负次幂。

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    2.零点定义
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    3.解析函数在无穷远点的性质
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    2.留数的一般理论

    1.留数的定义
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    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    2.极点处留数的求法(既求拆开的对应c-1的系数)
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    3.留数对定积分的计算

    在高等数学以及实际问题中,常常需要求出一些定积分或广义积分的值, 而这些积分中被积函数的原函数,不能用初等函数表示出来, 或即使可以求出 原函数,计算也往往比较复杂 .利用留数定理, 要计算某些类型的定积分或广 义积分, 只须计算某些解析函数在孤立奇点的留数, 从而把问题大大简化, 下 面通过具体例子,说明如何利用留数计算几种特殊类型的积分 .

    1.含sinx,cosx的有理分式积分
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    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    2.
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    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述3.在这里插入图片描述在这里插入图片描述
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    保形映射

    解析函数对平面向量场的应用

    展开全文
  • 主要内容:复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、保形映射、积分变换等。 一、复数基本知识 1.1 复数基本概念 对任意两实数x, y,称z=x+iyz=x+iyz=x+iy或z=x+yiz=x+yiz=x+yi为复数,其中i2=−1i^...

    实变函数(高等数学)主要内容:

    • 微积分(一元、二元、多元)
    • 级数理论
    • 常微分方程

    复变函数:

    • 研究对象:自变量为复数的函数
    • 主要任务:研究复变数之间的相互依赖关系,具体地就是复数域上的微积分
    • 主要内容:复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、保形映射、积分变换等。

    一、复数基本知识

    1.1 复数基本概念

    对任意两实数x, y,称z=x+iyz=x+iyz=x+yiz=x+yi为复数,其中i2=1i^2=-1,i称为虚部

    复数z的实部Re(z)=x,虚部Im(z)=y

    复数的模:z=x2+y20|z|=\sqrt{x^2+y^2}\ge0

    复数相等:z1=z2    x1=x2,y1=y2z_1=z_2 \iff x_1=x_2,y_1=y_2,其中z1=x1+iy1,z2=x2+iy2z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2

    z=0    Re(z)=Im(z)=0z=0\iff Re(z)=Im(z)=0

    一般两个复数不能比较大小。

    1.2 共轭复数

    z=x+iyz=x+iy,称z=xiy\overline{z}=x-iy为z的共轭复数。

    1.3 几何表示

    1.3.1 可以用点来表示:

    z=x+iy    z=x+iy \iff复平面上的点P(x,y)P(x,y)
    复平面上横坐标轴称为实轴,纵坐标轴称为虚轴。

    1.3.2 可以用向量来表示:

    z=x+iy    P(x,y)    OP={x,y}z=x+iy\iff P(x,y)\iff \overrightarrow{OP}=\{x,y\}
    可以用向量OP\overrightarrow{OP}来表示z=x+iyz=x+iy
    复数的模:向量的长度z=OP=x2+y2|z|=|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{x^2+y^2}
    复数的幅角:向量与正实轴之间的夹角θ=Argz=(OP,x)\theta=Arg_z=(\overrightarrow{OP},x)
    tan(Argz)=yxtan(Argz)={y\over x}
    当z=0时,幅角无意义
    幅角是无穷多的:Argz=θ=θ0+2kπArg_z=\theta=\theta_0+2k\pi
    满足π<θ0<π-\pi<\theta_0<\piθ0\theta_0称为幅角ArgzArg_z的主值,记作:θ0=Argz\theta_0=Arg_z

    1.3.3 可以用三角来表示:

    用复数的模与幅角来表示非零复数z
    {x=rcosθy=rsinθ\begin{cases}x=rcos\theta\\y=rsin\theta\end{cases}得:
    z=r(cosθ+isinθ)z=r(cos\theta+isin\theta)

    1.3.4 用指数表示

    由欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=cos\theta+isin\theta可得非零复数z的指数表达式:
    z=reiθz=re^{i\theta}

    1.2 复数的乘幂与方根

    1.2.1 复数的乘积与熵

    利用复数的三角表示,我们可以更简单的表示复数的乘法与除法:
    定理:设z1,z2z_1,z_2是两个非零复数:
    z1=z1(cosArgz1+isinArgz1)=z1ei(Argz1)z_1=|z_1|(cosArg_{z_1}+isinArg_{z_1})=|z_1|e^{i(Argz_1)}
    z2=z2(cosArgz2+isinArgz2)=z2ei(Argz2)z_2=|z_2|(cosArg_{z_2}+isinArg_{z_2})=|z_2|e^{i(Argz_2)}

    则:
    z1z2=z1z2,Arg(z1z2)=Arg(z1)+Arg(z2)|z_1z_2|=|z_1||z_2|,Arg(z_1z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2)
    z1z2=z1z2(z20),Arg(z1z2)=Arg(z1)Arg(z2)|{z_1\over z_2}|={|z_1|\over|z_2|}(z_2\ne0),Arg({z_1\over z_2)}=Arg(z_1)-Arg(z_2)

    乘法的几何意义:将复数z1z_1按逆时针方向旋转一个角度Arg(z_2),再将其伸缩到|z_2|倍。

    1.2.2 复数的乘幂

    n个相同复数z的乘积称为z的n次幂:znz^n
    zn=zz...z=rneinθ=rn(cosnθ+isinnθ)z^n=zz...z=r^ne^{in\theta}=r^n(cosn\theta+isinn\theta)
    特别地:当z=r=1|z|=r=1时,zn=(cosnθ+isinnθ)z^n=(cosn\theta+isinn\theta),此时有:
    (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta
    这个公式称为De Moivre公式

    zn=1znz^{-n}={1\over z^n},则:
    zn=rn(cos(nθ)+isin(nθ))=rneinθz^{-n}=r^{-n}(cos(-n\theta)+isin(-n\theta))=r^{-n}e^{-in\theta}

    1.2.3 复数的方根

    z=reiθz=re^{i\theta}为已知复数,n为正整数,则称满足方程wn=zw^n=z的所有w值为z的n次方根,记为w=znw=\sqrt[n]{z}
    在这里插入图片描述
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    https://wenku.baidu.com/view/95266a772e60ddccda38376baf1ffc4ffe47e29a.html

    二、欧拉公式:

    i=1i=\sqrt{-1},欧拉公式为:
    eix=cosx+isinxe^{ix}=cosx+isinx

    欧拉公式的推导用到了泰勒展开,至于eixe^{ix}为什么可以泰勒展开需要证明,这里忽略:

    eix=1+ix+(ix)22!+(ix)33+(ix)44!+(ix)55!+(ix)66!+...e^{ix}=1+ix+{(ix)^2\over 2!}+{(ix)^3\over 3}+{(ix)^4\over 4!}+{(ix)^5\over 5!}+{(ix)^6\over 6!}+...
    =1+ixx22!ix33!+x44!+ix55!x66!\quad=1+ix-{x^2\over2!}-{ix^3\over3!}+{x^4\over4!}+{ix^5\over5!}-{x^6\over6!}
    =(1x22!+x44!x66!+...)+i(xx33!+x55!...)\quad=(1-{x^2\over2!}+{x^4\over4!}-{x^6\over6!}+...)+i(x-{x^3\over3!}+{x^5\over5!}-...)
    =cosx+isinx\quad=cosx+isinx

    欧拉公式的一个变形:
    eix=cosx+isinxe^{ix}=cosx+isinx

    eix=cosxisinxe^{-ix}=cosx-isinx

    相加相减可以得到:

    sinx=eixeix2isinx={e^{ix}-e{-ix}\over 2i}

    cosx=eix+eix2cosx={e^{ix}+e^{-ix}\over2}

    三、复变函数的导数

    3.1 导数的定义

    在这里插入图片描述
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    3.2 求导公式与法则(实函数中求导法则的推广)

    1. 常数的导数c=(a+ib)=0c'=(a+ib)'=0
    2. (zn)=nzn1(z^n)'=nz^{n-1}(n是自然数)
    3. 设函数f(z),g(z)f(z),g(z)均可导,则:
      [f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)[f(z)\pm g(z)]'=f'(z)\pm g'(z)
      [f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)[f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)
      [f(z)g(z)]=f(z)g(z)f(z)g(z)g2(z)(g(z)0)[{f(z)\over g(z)}]'={f'(z)g(z)-f(z)g'(z)\over g^2(z)}\quad(g(z)\ne0)
    4. 复合函数的导数:f[g(z)]=f(g(z))g(z)f[g(z)]'=f'(g(z))g'(z)
    5. 反函数的导数:f(z)=1ϕ(w)f'(z)={1\over \phi'(w)},其中:w=f(z)w=f(z),与z=ϕ(w)z=\phi(w)互为单值的反函数,且ϕ(w)0\phi'(w)\ne0

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    注意:

    1. 复变函数在一点处可导,要比实函数在一点处可导要求高得多,也复杂得多,这是因为z0\triangle z\to0是在平面区域上以任意方式趋于零的缘故。
    2. 在高等数学中要举出一个处处连续,但处处不可导的例题是狠苦难的,但在复变函数中,却轻而易举

    3.3 可导与连续

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    四、解析函数

    4.1 定义

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    4.2 定理

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    4.3 解析函数的充要条件

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    复变函数基本初等函数

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  • 复变函数笔记

    2019-01-23 23:39:00
    复变函数小结 by婉约在风里 对于复变函数,其重点便在于解析函数这一块,...提到导数,一定会有人有疑问,既然,实变函数的导数代表的切线斜率,代表函数值的变化速度,那么复变函数的导数又有什么意义呢?其...

    复变函数小结

    by婉约在风里

    对于复变函数,其重点便在于解析函数这一块,整个复变函数可以说是围绕着解析函数来进行论述的,解析函数的定义——在某一点邻域所有点可导的函数,称之为解析函数。与此同时,柯西黎曼方程,便顺势而生,这也是一个判断复变函数是否解析的很好的等价条件。提到导数,一定会有人有疑问,既然,实变函数的导数代表的切线斜率,代表函数值的变化速度,那么复变函数的导数又有什么意义呢?其实,这里的几何意义很明显,导数的模的平方就是将复区域(定义域)映射为复区域(值域)的面积之比。这么一想,和实变函数的导数好像没什么两样呀,其实很还是有的,毕竟是区域,和区间还是有差别的,这里不单单会涉及到值,还会涉及到方向,也就是辐角,因此在这方面,会涉及保角映射。这和几何上面欧氏空间的保角映射和保长映射其实并无两样。

    之后便是研究解析函数的核心工具——幂级数。和实函数一样,解析函数也有自己的幂级数展开,而且,解析函数有着和实函数不一样的性质,复变函数如果在某个区域是解析的,那么他的级数展开收敛圆一定可以延拓到区域边界。这样神奇的性质还是要归功于柯西定理的应用,而柯西定理就像一把钥匙,打开了解析函数性质研究的大门,使之诸多性质被发掘出来。同样,反函数的问题,一样存在于复平面,复平面的特殊性质,使之与实函数的反函数相差很大,i的存在,使得反函数的存在多种多样,于是导出了多值函数,其根源就在于辐角的变化,如果将定义域的辐角限制到,0到$\pi$,便会使得很多多值函数变为单值函数。

    此后,我们得到了解析函数的定义,以及研究解析函数的工具,我们便可以对其开始研究啦。我们说到幂级数,便会想到幂级数的系数从何而来,这里我们用到了柯西积分公式,并简单的交换了级数和积分的顺序,便得到了幂级数展开式,而系数也很容易和导数联系起来,至此我们也变得到了解析函数求其n阶导数的公式。从而,我们得到了,柯西不等式, 零点孤立原理等等实用的定理。此时,我们需要着重介绍一下一个分析定理在复变函数的应用,也就是开映射定理,因为开映射定理的存在,使复函数不能在开区间映射为闭区间,也就是不能在内点处得到函数的最大模,这就是最大模原理,解析函数在区域的最大值只能在边界取到,后面的施瓦茨引理等等都是对最大模原理的应用,可以说最大模原理也是复变函数的重点定理,利用这个定理,可以解决很多实际问题,再次不做赘述。

    后面,便要学习洛朗级数,也是针对解析函数的非解析奇点部分的级数展开,这样子,我们便有了去了解亚纯函数的工具了。利用洛朗级数的展开特征,我们可以将奇点分为,可去奇点,极点,以及本性奇点。

    这时候,常用的解析方法都介绍完毕了,我们要开始将这些应用实际利用我们的问题中去了,其中最为大家所熟悉的方法,便是留数定理的应用。留数定理,本质上是将函数洛朗级数展开后,对每一项进行积分,由于只有次数为-1时,含奇点的单连通区域积分才不为零,我们便可以利用一些特殊方法计算奇点处洛朗展开式的-1次项的系数,进而计算复变积分,与此同时,对于实积分,我们可以将其延拓至复平面,然后进行分析计算,这就是复变函数在实变函数上面的积分的应用,此后还有辐角原理,也算是留数的一个应用,其几何意义也相当明显,在此略过。之后的调和函数,严格意义上,也算是复变方法在实变函数的应用了。

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanyuezaifengli/p/10312107.html

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  • 复变函数逼近论

    2008-06-20 18:37:59
    复变函数理论上建立的对逼近意义的进一步理解
  • 高等教育出版社 zhong'yu'quan一...了解复变函数的定义,掌握复变函数的极限与连续性。 (三)复变函数 1.复变函数的概念;2.复变函数的极限与连续性. (四) 复球面与无穷远点 1.复球面;2.扩充复平面上的几个概念。
  • 复变函数是微积分在复数域的推广与发展,其内容、结构和方法...本文主要探讨MATLAB在复变函数中的应用,利用MATLAB将复变函数运行结果以可视、动态化的形式呈现出来,给学生在视觉上直观的结果,便于理解问题的本质及意义.
  • 复变函数->概述

    2020-11-27 11:09:37
    绪论复变函数历史简介复变函数特征举例初等函数的特征函数可导性的特征幂级数表示的特征复变函数的几何特征 复变函数历史简介 高等数学主要研究函数 一元函数是实数集到实数集的映射 复变函数就是复数集到复数集的...

    复变函数历史简介

    高等数学主要研究函数
    一元函数是实数集到实数集的映射
    复变函数就是复数集到复数集的映射
    从整数到有理数到实数到复数

    数系的扩充与方程求解密切相关
    解方程 x2=2,x^{2}=2, 发现无理数 ;
    解方程 x2=1,x^{2}=-1, 在实数范围内无解 !

    代数方程及确定其根的分布是古典代数学研究的核心问题
    16世纪意大利数学家给出了三次方程与四次方程的根式解
    费罗 ( Ferro ) 考虑缺项三次方程 x3+px=qx^{3}+p x=q
    费罗 ( Ferro )) 考虑缺项三次方程 x3+px=qx^{3}+p x=q
    x=q2+q24+p3273q2+q24+p3273 x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}-\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}

    p,q取一些特殊值就会要开负数根

    该求根公式就涉及到负数开平方!

    Girolamo Cardano《Ars Magna》 ( 卡尔达诺, 大衍术 )(1545) 复数出生的证明
    卡尔达诺推广到一般三次方程:
    x3+a1x2+a2x+a3=0 x^{3}+a_{1} x^{2}+a_{2} x+a_{3}=0
    x=y13a1,x=y-\frac{1}{3} a_{1}, 便有
    y3+(a213a12)y=227a13+13a2a1a3 y^{3}+\left(a_{2}-\frac{1}{3} a_{1}^{2}\right)y =-\frac{2}{27} a_{1}^{3}+\frac{1}{3} a_{2} a_{1}-a_{3}

    一个简单的代换就使得缺项式和一般式相互转换

    缺项形式 y3+py=qy^{3}+p y=q

    复数被认为是不可能的(impossible)或者是虚构的(imaginary)
    莱布尼兹 “取负数的平方根,就会产生不可能的数或虚数,虽然这个数的性质很奇妙,但它有用,不可忽视.”
    在十八世纪末,C.Wessel[挪威] , J.R.Argand[瑞士]以及Gauss相继独
    立认识到可以给出复数简单明了的几何解释
    高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法
    1811年的某天,Gauss给Wessel写了封信,说 “我们应当给虚数以 实数一样的地位…”

    复数的出现 → 复数的意义 → 理论的形成
    19{Cauchy(Weierstrass)Riemann复变函数基本理论(19世纪)\left\{ \begin{aligned} 级数理论(Cauchy) \\ 级数理论 ( Weierstrass ) \\ 映照理论( Riemann ) \end{aligned} \right.
    一个大学生如果不熟悉复数,那么代数、三角、积分学和常微分方程与偏微分方程 理论的大部分内容都无法学懂."(G.Polya[美] (1887-1985))

    复变函数特征举例

    初等函数的特征

    在这里插入图片描述

    函数可导性的特征

    实函数导数 f(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx(x,ΔxR)f^{\prime}(x)=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}(x, \Delta x \in \mathbb{R})
    复函数导数 f(z)=limΔz0f(z+Δz)f(z)Δz(z,ΔzC)f^{\prime}(z)=\lim\limits _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}(z, \Delta z \in \mathbb{C})
    实函数 f(x)={x2sin1x,x0, 在 x=0 处可导. 0,x=0f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \text { 在 } x=0 \text { 处可导. } \\ 0, \quad x=0\end{array}\right.
    复函数 f(z)={z2sin1z,z0, 在 z=0 处可导吗 ?0,z=0f(z)=\left\{\begin{array}{c}z^{2} \sin \frac{1}{z}, z \neq 0, \text { 在 } z=0 \text { 处可导吗 } ? \\ 0, \quad z=0\end{array}\right.

    sin1z\sin \frac{1}{z}原本在实数集是有界的,但是在复数里便无界了。

    幂级数表示的特征

    f(x)=11+x2=n=0(1)nx2n,x<1,xRf(x)=\frac{1}{1+x^{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{2 n},|x|<1, x \in \mathbb{R}

    本来可以任意次求导,但是表示成幂级数就有了开区间限制,实数范围无法表示
    x变成z,就变成了一个开圆盘,作为一个圆,半径为1,若扩大到±i,则z是没有意义的点

    f(z)=11+z2=n=0(1)nz2n,z<1,zCf(\mathrm{z})=\frac{1}{1+z^{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} z^{2 n},|z|<1, z \in \mathbb{C}
    f(x)=tanx=k=0nf(k)(0)k!xk+Rn(x)=k=0f(k)(0)k!xkf(x)=\tan x=\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}+R_{n}(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}
    Rn(x)=f(n+1)(θx)(n+1)!xn+10,x<π2,xRR_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1) !} x^{n+1} \rightarrow 0, \quad|x|<\frac{\pi}{2}, x \in \mathbb{R}
    f(z)=tanz=k=0f(k)(0)k!zk,z<π2,zCf(z)=\tan z=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} z^{k},|z|<\frac{\pi}{2}, z \in \mathbb{C}

    复变函数的几何特征

    f(x)={e1x2,x00,x=0f(x)=\left\{\begin{array}{c}e^{-\frac{1}{x^{2}}}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.在R上任意次可导 , 且 f(n)(0)=0,n=0,1,f^{(n)}(0)=0, n=0,1, \cdots

    k=0f(k)(0)k!xk=0=f(x)(x=0)\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}=0=f(x)(x=0)

    考虑圆周|z| =r(r=0.5,0.2,0.1)=r(r=0.5,0.2,0.1)w=e1z2(zC,z0)w=e^{-\frac{1}{z^{2}}}(z \in \mathbb{C}, z \neq 0) 下的像 :
    在这里插入图片描述

    0.5,0.2,0.1,随着r逐渐减小,对应像曲线越来越复杂。
    在这里插入图片描述
    如果函数是解析的就可以用多项式去逼近
    高阶导数公式,一个区间解析的函数可以任意次求导
    代数基本定理:n次方程在复平面一定有n个根
    圆盘→泰勒
    圆环→洛朗
    实积分计算可以不必找出原函数,解决了一些难以求解原函数的积分问题
    幅角定理体现函数在某个区间有多少零点

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空空如也

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