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  • 复变函数

    2019-09-21 12:10:21
    设$E$为一复数集,若对$E$内每一复数$z$,都有唯一确定复数$w$与之对应,则称$E$上确定了一个单值函数。 多值函数 设$w=f(z)$是定义于点集$E$上单值或多值...如将$z$表示成指数形式$z=re^{i\theta}$,函数$w...

    设$E$为一复数集,若对$E$内每一复数$z$,都有唯一确定的复数$w$与之对应,则称$E$上确定了一个单值函数。

    多值函数

    设$w=f(z)$是定义于点集$E$上的单值或多值函数,并令$z=x+iy$,$w=u+iv$,$u,v$皆随$x,y$确定,因而$w=f(z)$又常写成$w=u(x,y)+iv(x,y)$

    如将$z$表示成指数形式$z=re^{i\theta}$,函数$w=f(z)$又可表成$w=P(r,\theta)+iQ(r,\theta)$

    入变换:如对$z$平面上的点集$E$的任一点$z$,有$w$平面上的点集$F$的点$w$,使得$w=f(z)$,则称$w=f(z)$把$E$变(映)入$F$,简记为$f(E)\subseteq F$

    或称$w=f(z)$是$E$到$F$的入变换。

    满变换:如果$f(E)\subseteq F$,且对$F$的任一点$w$,有$E$的点$z$,使得$w=f(z)$,则称$w=f(z)$把$E$变(映)成$F$,(简记为:$f(E)=F$),或称$w=f(z)$是$E$到$F$的满变换。

    若$w=f(z)$是点集$E$到$F$的满变换,且对$F$中的每个点$w$,在$E$中有一个或至少两个点与之对应,则在$F$上确定了一个单值或多值函数,记作$z=f^{-1}(w)$,它就称为函数$w=f(z)$的反函数,或称为变换$w=f(z)$的逆变换,若$z=f^{-1}(w)$也是$F$到$E$的单值变换,则称$w=f(z)$是$E$到$F$的双方单值变换,或一一变换。

     极限,连续性:

    设函数$w=f(z)$于点集$E$上有定义,$z_{0}$为$E$的聚点,如存在一复数$w_{0}$,使得对任给$\varepsilon >0$有$\delta >0$,只要$0<|z-z_{0}|<\delta,z\in E$就有

    $|f(z)-f(z_{0})|<\varepsilon$则称函数$f(z)$沿$E$于$z_{0}$有极限$w_{0}$

    记为:$\underset{z \rightarrow z_{0},z\in E}{lim}f(z)=w_{0}$

    1.极限若存在,必唯一

    2.$f(z),g(z)$沿点集$E$在$z_{0}$处极限存在,则其加减乘除极限仍存在,且等于他们极限的加减乘除。

    定理:设函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$于点集E上有定义,$z_{0}=x_{0}+iy_{0}$为E的聚点,则

    $\underset{z \rightarrow z_{0},z\in E}{lim}f(z)=\eta =a+ib$

    的充要条件是

    $\underset{(x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0}),(x,y)\in E}{lim}u(x,y)=a$

    $\underset{(x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0}),(x,y)\in E}{lim}v(x,y)=b$

    连续性:设函数$w=f(z)$于点集$E$上有定义,$z_{0}$为$E$的聚点,且$z_{0}\in E$,若

    $\underset{z\rightarrow z_{0},z_{0}\in E}{lim}f(z)=f(z_{0})$

    即任给$\varepsilon>0$,有$\delta>0$只要$|z-z_{0}|<\delta,z\in E$,就有

    $|f(z)-f(z_{0})|<\varepsilon$

    则称$f(z)$沿$E$于$z_{0}$连续。

    定理:设函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$于点集$E$上有定义,$z_{0}\in E$,则$f(z)$沿$E$在点$z_{0}=x_{0}+iy_{0}$连续的充分必要条件是:

    二元函数$u(x,y),v(x,y)$沿$E$于点$(x_{0},y_{0})$连续。

    定义:如函数$f(z)$在点集$E$上各点均连续,则称$f(z)$在$E$上连续。

    转载于:https://www.cnblogs.com/liulex/p/11301044.html

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  • 复变函数基础概述

    2019-08-07 20:06:31
    由于一些原因没有参加学校期末考试,也错过了学校卓越班选拔(本来很有把握…)学校一些课程也没有学完,所以只好在暑假卑微复变函数,看了一些下载网课基本上有点感觉,做个总结,之后学习中应该也...

    由于一些原因没有参加学校的期末考试,学校的一些课程也没有学完,所以只好在暑假卑微的看复变函数,看了一些下载的网课基本上有点感觉,做个总结,之后的学习中应该也那用到叭。

    一.复数及其运算

    1.求复数的虚部和实部

    在这里插入图片描述

    只要把复数写出来,这种题目就迎刃而解吧。

    2.求模、辐角和辐角主值

    在这里插入图片描述

    求模:复数的求模和向量类似,把实部虚部平方和开方就行。
    辐角主值:做出复数的图,辐角就是复数图像与实轴正方向的夹角,但其也有范围限制,要求在正负pi之间,是一个固定的值。
    辐角:在辐角的基础上加周期,一个周期为2pi
    另外还有一些基础的运算关系:
    在这里插入图片描述

    3.复数开方

    在这里插入图片描述

    复数的开方实际上是复数的幂运算的一种简单形式,有固定的套路,按套路带入相应的模和辐角主值即可。注意的是复数开n次方的就有n个结果,这与其图像对应,复平面上一个复数开n次根的图像就是以此复数的模为半径的一个圆的n分线。

    4.代数式、三角式、指数式相互转换

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    三者之间的转换始终围绕着俩个因素:模和辐角主值,把握住这俩个灵魂,涉及这三者的转换问题就小菜一碟。
    在后期的运算中经常需要对复数进行三个形态之间的转换。

    二.复数形式的方程映射

    前面一章节主要是针对复数本身的运算,这一章提升到了函数的层次,与直角坐标系建立连接,相当于是复变函数新知识和之前所学的函数的呼应吧。主要内容为函数的形式转换和映射。

    1.将直角坐标方程化为复数形式方程

    主要是直角坐标系下的一般方程和参数方程转换为复数形式。
    参数方程:

    在这里插入图片描述

    参数方程的转换很简单,只要将xy原封不动的带入复数形式就行。
    一般方程:

    在这里插入图片描述

    一般方程的转换,宗旨是用复数替代x、y,所以解题方法就反向下手,将x、y用复数表示出然后带入原方程就得到了复数形式。利用复数与其共轭复数相加的运算可得出x、y与复数的关系。

    2.将复数形式方程转换为直角坐标方程

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    解题方法与上一节相反。

    3.求映射下的象

    在这里插入图片描述

    相当于对复数的运算。

    在这里插入图片描述

    相当于求映射后的复数的辐角范围,采用其对数形式比较简单,因为对数形式那直接看出辐角的范围变化。

    在这里插入图片描述

    此处映射相当于是连接俩个平面,利用函数关系式,z中的x、y对应着w中的u、v,所以主要是用u、v表示出x、y,这也代表着映射的关系转换
    PS:复数不能比较大小,除非只有实部

    三.常见的四种函数

    1.求复数的三角函数

    在这里插入图片描述

    求复数的三角函数,把复数看作一个整体,然后套用公式:在这里插入图片描述
    即可,注意,此时的三角函数的大小不受限制

    2.求复数的对数函数

    在这里插入图片描述

    在复数的对数中即使要求的复数只有实部,也要按照复数来处理。注意复变函数中的对数书写方式为Ln,其运算也与ln不相同:
    在这里插入图片描述
    复数的对数函数的结果是个周期结果
    值得注意的是Ln的主值与ln相同,都是去掉周期性的Ln

    在这里插入图片描述

    3.求复数的指数函数

    主要围绕此公式展开计算:
    在这里插入图片描述

    不要将指数函数和前面的复数的指数形式混淆,下面练习一道题:

    在这里插入图片描述此类型题的解法主要是取对数,然后利用对数的运算解题(注意对数函数的周期性)

    4.求复数的幂函数

    幂函数中分为三种情况:
    指数为分数的情况与前面的复数开方相对应,而且与开方一样,也有多个结果

    在这里插入图片描述

    当指数为复数时通过取对数Ln的方式来化解,必要时还要利用复数的指数计算
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    注意当指数为负数时,结果与指数是正数时互为倒数
    在这里插入图片描述

    四.解析调和、求导

    1.求导数

    对复数函数求导主要有俩种类型:
    第一种:在u、v中分别对x求导,注意 :u、v都对x求导,然后相加即可。

    在这里插入图片描述

    第二种:复数以整体的形式出现时就把复数当作实数来处理,而且此时复数的导数运算规则与实数相同,如示:
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    2.解析、可导、有极限关系

    在这里插入图片描述

    3.判断可导与解析

    判断可导与解析主要看如下公式:
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    练习一道习题:
    在这里插入图片描述

    4.证明调和函数

    证明调和函数就俩个条件:
    在这里插入图片描述
    当俩个条件都满足时,此函数为调和函数。

    在这里插入图片描述

    5.求共轭调和函数

    共轭调和函数是建立在调和函数的基础上的,俩个函数分别是对应解析函数的实部和虚部。求共轭调和函数公式如下:
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    6.求解析函数

    上面说了,调和函数和共轭调和函数相当于解析函数的实部和虚部,所以求解析函数就是求,调和函数和共轭调和函数。
    具体求解析函数方法如下:
    以(z,0)坐标带入调和函数和共轭调和函数
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    五.积分

    1.奇点问题

    关于奇点问题无非就是有没有奇点?有几个奇点?已知奇点求积分?

    第一种:判断奇点,并求出奇点
    就是找出z不能取的值,然后判断不能取的值在不在C的范围内即可
    在这里插入图片描述

    第二种:没有奇点时,求积分,都为0
    在这里插入图片描述

    第三种:只有一个奇点,求积分,依靠这俩个公式就可以了:
    在这里插入图片描述
    Z0就是对应奇点的值,到时候带入就行。要注意分母形态的切换
    在这里插入图片描述

    第四种:有多个奇点情况下求积分时,将每个奇点的对应的积分求出来之后相加就行。
    在这里插入图片描述

    2.C为线段求积分

    相当于用x把z完全替换,需要注意的是C积分路径是有方向的

    在这里插入图片描述

    C也可以分段来求
    在这里插入图片描述

    3.C为弧求积分

    C为线段时是用x替换z,C为弧段时要用弧度代替z,实际上也就是个消元思想吧,将代表弧段的参数方程求出来,发现里面唯一的变量就是弧度,所以理所应当的就利用弧度替换x、y、z来简化积分。
    需要注意的是:这种情况下经常把复数换为指数形式比较简单,因为涉及到了弧度问题。
    在这里插入图片描述

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  • 本书内容包括复变函数与解析函数、复变函数的积分、级数与留数、傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换与小波变换。每章习题配有基础和提高两种题型,编有相关科学家介绍,便于读者自学。本书可作为高等院校相关专业的...
  • 复变函数题库

    千次阅读 2016-11-08 20:05:00
    这门课实质内容不多,题目量...指数形式习题1,解方程: (1+z)5=(1−z)5 (1+z)^5 = (1-z)^5 解: 把右边除到左边来: (1+z1−z)5=1=ei(2kπ) (\dfrac{1+z}{1-z})^5 = 1 = e^{i(2k\pi)} 指数除法有: 1+z1−z=ei25

    这门课实质的内容不多,题目量大。唉,还是要多练习,多做题啊!我干脆就用两篇博文来处理这门课,一篇总结内容,一篇记录习题。

    指数形式

    习题1,解方程:

    (1+z)5=(1z)5

    解:
    把右边除到左边来:

    (1+z1z)5=1=ei(2kπ)

    指数除法有:

    1+z1z=ei25kπ

    把左边的式子分解,得到

    1+21z=ei25kπ

    从而解出 z.


    写成 z=x+iy形式

    习题2. 已知 f(z)=x[1+1x2+y2]+iy[11x2+y2], 把它写成 z=x+iy形式。
    解.

    先把类似的项放在一起:

    1. x+iy
    2. 两个分母有 x2+y2 的项

    得到:

    f(z)=x+iy+xiyx2+y2

    统一形式会用到共轭:

    {x+iy=zxiy=z¯

    而又有:

    |z|2=x2+y2

    于是得到结果:

    f(z)=z+z¯|z|2

    已知调和函数 uf(z)

    例题1. 一个调和函数 u(x,y)=x2y2+xy, 求一解析函数 f(z)=u+iv 使得 f(0)=0.

    答:

    这类题目要借助于C-R条件,因为题目告诉我们是“解析函数”,那些偏导的性质是很好用的。

    我们先对 f(z) 求导:

    f(z)=fx(z)=ux+ivx

    ux 很容易求出来是 2x+y, vx 的求法借助了C-R条件:

    uy=vx

    于是 vx=uy,也是很容易求得是 2yx, 于是我们得到:

    f(z)=(2x+y)+i(2yx)

    我们要做的是把 x,y 统一成 z 的形式,因为 z=x+iy, 所以我们向这个方向去凑,把 x,iy 凑在一起:

    f(z)=2(x+iy)i(x+iy)=2ziz

    然后我们做个积分….求出:

    f(z)=z2iz22

    这里有些不严谨,但是题目要我们找到一个满足条件的 f(z) 那我只要找到即可,过程可以草率一点。


    已知 u(x,y)v(x,y)

    f(z)=u(x,y)+v(x,y), 求一个函数的方法最基本的是从微分上求积分,所以我先介绍全微分后积分的方法:

    dv(x,y)=vxdx+vydy

    这是 v(x,y) 的全微分,然后:

    v(x,y)=(x,y)(0,0)dv(x,y)

    也就是

    v(x,y)=(x,y)(0,0)vxdx+vydy

    可以利用C-R条件把 vx 变成关于 u 的偏导形式,同样把 vy 变成关于 u 的偏导形式,然后这里求积分可以任选路径,你选择一个直角转弯即可求出答案。

    有的时候不需要这么复杂,我们有:

    f(z)=ux+i(uy)

    这里用到了复变函数的求导法则和C-R条件,我们得到 f(z) 以后对齐求一个不定积分即可。


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  • 通过下面对比可以发现,用复指数表示复数在几何上更直观点。 复数运算 1.加法运算 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数, 则它们和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。 几何上满足平行四边形法则。 2.乘法运算 设...

    证明欧拉公式

    在这里插入图片描述
    如果这么看自变量:θ=ωt\theta= \omega t 那么就可以发现欧拉公式的几何意义。
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    复数的表示形式

    在这里插入图片描述
    通过下面对比可以发现,用复指数表示复数在几何上更直观。
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    复数的运算

    1.加法运算

    设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,
    则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
    几何上满足平行四边形法则。
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    2.乘法运算

    设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,
    那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
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  • 复数三角形式与指数形式

    千次阅读 2019-10-22 16:46:46
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  • 第六讲 复数和复指数

    万次阅读 2018-10-12 09:48:14
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空空如也

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复变函数的指数形式