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  • 复变函数复习

    2021-03-05 10:37:46
    第一章 1.2 复数及其代数运算 复数不能比较大小 角主值的定义 复数的指数形式 求复数方程

    第一章

    1.2 复数及其代数运算

    复数不能比较大小
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    Zb 在这里插入图片描述

    复角主值的定义

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    复数的指数形式

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    求复数方程

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    两平面乘积的几何意义

    两复数的代数之积、

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    两复数代数之比
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    n个复数的积
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    复数n次方根的推导及其几何意义

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    n次幂和n次方根的例题

    将方程化简为指数形式后才能用德摩根公式 和 n次方根公式
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    三角函数的和差角公式与德摩根公式的应用例题

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    第二章 解析函数

    复变函数的导数

    可导与连续

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    求函数可导性:定义法

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    例二:
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    求导法则跟普通函数一样

    复数的微分

    可微与可导等价

    解析函数的概念

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    解析的范围更大

    讨论解析性:

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    函数解析的充要条件

    主要定理

    可导的条件:
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    可微的充分必要条件

    U V 的偏导数都存在且连续

    导数的局部求法

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    典型例题 可导性 可解析

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    典型例题:
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    复变函数的积分

    复变函数积分的概念

    有向曲线

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    柯西古莎基本定理

    一问题的提出

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    例题:
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    方法:判断奇点在不在曲线内

    第四节 原函数与不定积分

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    原函数的定义

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    典型例题

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    分部积分法
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    第六节 高阶导数

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    典型例题

    先判断函数的解析性
    再找几点,有几点说明可以用高阶导公式,如果没有几点说明为解析函数在闭合曲线内积分为零
    在套公式
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    例二:
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    例三:
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    例四:
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    莫雷那定理

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    第七节 调和函数的定义

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    调和函数he解析函数的关系

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    共轭调和函数

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    求共轭调和函数–骗积分法

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    共轭函数的求法———不定积分法

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    例题

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    例四:
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    例六
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    看、

    第四章 复数项级数

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    复数项级数的概念

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    复数项级数奇数和判断手捻

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    必要条件
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    例题:
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    实数项技术的手捻判断:

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    正项级数敛散性判别法

    绝对收敛与条件收敛

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    例题

    数列跟级数不一样
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    留数

    孤立奇点

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    例题:
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    展开全文
  • 复变函数与积分变换 作 者: 王志勇 编 出版时间:2014 内容简介  本书是参照近年全国高校工科数学教学指导委员会工作会议的意见,结合电子类工科实际编写而成的。内容设计简明,叙述通俗易懂,定位应用和能力培养...
  • matlab复变函数指数函数代码 ... #HPC GPU计算的更深入探索: #CUDA和超越 安东尼·德鲁– LUC – COMP 490 2014年秋天 ##目录 ##简介–我们要完成什么? 该项目的目的是探索各种形式的GPU计算的潜在好处。 通过...
  • 复变函数的求导 Author : Benjamin142857 [TOC] 1. 复变函数求导 1.1 函数在某点可导(可微)的充要条件 uuu 在该点连续 vvv 在该点连续 满足Cauchy - Reimann方程 KaTeX parse error: Expected '}', got '\...

    复变函数的求导

    Author : Benjamin142857

    [TOC]

    1. 复变函数求导

    1.1 函数在某点可导(可微)的充要条件

    1. u u u 在该点连续
    2. v v v 在该点连续
    3. 满足Cauchy - Reimann方程
    • KaTeX parse error: Expected '}', got '\part' at position 7: \frac{\̲p̲a̲r̲t̲ ̲u}{\part x} = \…
    • KaTeX parse error: Expected '}', got '\part' at position 7: \frac{\̲p̲a̲r̲t̲ ̲u}{\part y} = -…

    (1.1) f ( z ) = u + i v f(z) = u+iv\tag{1.1} f(z)=u+iv(1.1)

    1.2 函数在某区域内可导(可微)的充要条件

    在该区域内的点均可导(可微)

    1.3 题 - 证 f ( z ) f(z) f(z) 可导性

    • f ( z ) = u + i v f(z) = u+iv f(z)=u+iv 形式

      u 、 v u、v uv 的连续性 : 若为初等函数(基本初等函数及其四则运算组合),在定义域内处处连续

      满足CR方程 : 算出满足满足CR方程时的 x , y x, y x,y 关系,若CR方程恒成立,则复平面上处处可导

    • f ( z ) = z 2 + 2 z + 1 f(z) = z^2+2z+1 f(z)=z2+2z+1 等直接带 z z z 形式

      若为初等解析函数(基本初等解析函数及其四则运算组合),在定义域内处处连续

    1.4 题 - 对 f ( z ) f(z) f(z) 求导问题【#】

    • f ( z ) = u + i v f(z) = u+iv f(z)=u+iv 形式

      待补

    • f ( z ) = z 2 + 2 z + 1 f(z) = z^2+2z+1 f(z)=z2+2z+1 等直接带 z z z 形式

      直接求导,如同实函数 f ( x ) f(x) f(x)

    2. 解析函数

    2.1 函数在某点解析的充要条件

    • 函数在该点可导
    • 函数在该点的某领域内可导

    2.2 函数在某区域解析的充要条件

    • 函数在该区域可导

    2.3 奇点与孤立奇点

    • 奇点:不解析的点
    • 孤立奇点:领域内唯一奇点

    3. 初等解析函数【#】

    五个基本初等解析函数 : 幂指对三角(反)

    • 复指数函数
    • 复对数函数
    • 复幂函数
    • 复三角函数&双曲函数
    • 复反三角函数
    展开全文
  • matlab复变函数指数函数代码HPC GPU计算的更深入探索: CUDA和超越 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 安东尼·德鲁– LUC – COMP 439 2014年秋天 \ \ \ \ \ 目录{.contents-heading-western style =“ page-break-...
  • 【复变】复变函数

    千次阅读 多人点赞 2020-02-18 17:15:40
    复变函数复数与复变函数复数复变函数导数积分级数留数保形映射解析函数对平面向量场的应用 复数与复变函数 复数 复数的代数运算: 复数四则运算的几何意义: ①两个复数乘积的模等于它们模的乘 积;两个复数乘积...

    前言

    • 复变函数是由一个复数域映射到另一个复数域的关系。判断复变函数是否可导可导:u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在点 ( x, y ) 可微, 并且在该点 满足柯西—黎曼方程。解析函数是复变函数在一个区域内可导。可用定义法计算复变函数在一点的导数 或 利用常见初等函数的导数以及导数的运算法则求导。
    • 柯西定理:已知一复变函数的原函数,可求其积分。柯西定理证明了若一正向封闭区域内(逆时针),若所积函数解析,则其积分为零。
      在这里插入图片描述
    • 柯西积分公式:当复变函数在封闭区域内解析,则在该封闭区域内任一点的值由f(z)/z-z0在边界上的积分所决定。
      在这里插入图片描述
      如果一个函数在某点解析,那么它的各阶导函数在该点仍解析 。设 f ( z)在简单正向闭曲线 C 及其所围区域 D 内处处解析, z0 为 D 内任一点, 那么:
      在这里插入图片描述
      由此,一般解析初等函数可以展开为对应泰勒级数。且部分函数可展开为含负幂次项的洛朗级数。
      根据展开函数的级数在某一点或无穷远点的负幂次项的个数,可将奇点类型分为:可去奇点、极点、本性奇点。同时,根据留数定理可求出对应展开级数的C-1项的系数从而求出某封闭曲线上的积分。留数对一些特殊的定积分的计算。

    复数

    在这里插入图片描述

    1. 复数的代数运算:

    在这里插入图片描述

    2. 复数四则运算的几何意义:

    在这里插入图片描述
    ①两个复数乘积的模等于它们模的乘 积;两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和
    ②两个复数商的模等于它们模的商; 两个复数商的幅角等于被 除数与除数的幅角差
    ③复数的加减:
    在这里插入图片描述

    3. 复数的幂乘和方根

    ①幂乘
    在这里插入图片描述②方根(这里 w≠0 , n≥2 )的复数 w 为该方程的 n 次方根在这里插入图片描述

    复变函数

    复数域上初等函数的定义:

    1. 指数函数

    在这里插入图片描述
    性质:ez+2kπ=ez,故指数函数ez是一个以2π为周期的周期函数。
    在这里插入图片描述
    故ez在复平面上处处可导,解析。

    2. 对数函数

    在这里插入图片描述
    性质:w 是 z 的对数函数,记为 w = Ln z .其为多值函数。单值函数为多值函数 Ln z的主值,记作 ln z .
    在这里插入图片描述

    3. 幂函数

    在这里插入图片描述

    4. 三角函数与反三角函数

    ①正弦与余弦函数
    在这里插入图片描述
    由上面的定义,我们可以容易地推出正弦函数和余弦函数的下述性质:(*)在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述②其他三角函数
    ③反三角函数

    5. 双曲函数与反双曲函数

    导数

    1. 复变函数极限

    ①复变函数极限概念:
    在这里插入图片描述
    ②复变函数极限判断定理:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2. 复变函数的连续性

    ①复变函数连续概念:
    在这里插入图片描述
    ②复变函数连续性定理:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3. 导数

    ①定义:(可导必连续,连续不一定可导)
    在这里插入图片描述
    例1 求zn的导数
    在这里插入图片描述
    例2 证明
    在这里插入图片描述
    例3 证明f(z)=|z|2的可导性
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    ②导数的运算法则:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    ③函数可导的充分必要条件:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    4. 解析函数

    ①定义:(区域内所有点可导)
    在这里插入图片描述
    由定义知,函数在区域 D 内解析与在区域 D 内可导是等价的 .但函数在 一点解析与在该点可导是绝对不等价的 .前者比后者条件强的多, 函数在某点 解析意味着函数在该点及其某邻域内处处可导;而函数在某点可导, 在该点邻 域内函数也可能可导,也可能不可导 .
    ②判断定理:
    在这里插入图片描述
    由导数的运算法则可知,在某区域上解析的函数经过加、减、乘、除 (分母 不为零)运算得到的函数在该区域上仍解析 .两个及两个以上的解析函数经过 有限次复合运算后得到的函数仍为解析函数 .解析函数的单值反函数仍为解 析函数
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    5. 调和函数

    积分

    1.积分的概念、性质、计算

    将实数域上有关积分的概念、性质推广到复数域上
    1.原函数:
    在这里插入图片描述
    2.不定积分:
    在这里插入图片描述
    3. 常见公式:在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    4. 定积分:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    定积分性质:
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    5.计算:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2. 柯西定理及其推广

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3.柯西积分公式

    定理:在这里插入图片描述推导前提:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    4. 解析函数的导数

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    级数

    1.收敛序列和收敛级数

    ①收敛序列:在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    ②收敛数项级数:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    ③函数项级数:
    在这里插入图片描述

    2. 幂级数

    定义:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    幂级数的收敛半径:在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    幂级数的和函数的性质:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在高等数学中,我们将一个具有 n + 1 阶导数的函数展为泰勒级数或麦 克劳林级数 .在下一节我们将解析函数 ( 具有任意阶导数 ) 展为泰勒级数或麦 克劳林级数,也就是解析函数展为幂级数 .

    3.泰勒级数

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    例1
    在这里插入图片描述

    4.洛朗级数

    有些函数虽然不能表示为泰勒级数, 但是却能用含有负指数幂 的级数在某个圆环内表示,这种含有负指数幂的级数就是下面要讨论的罗朗 级数
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    留数

    1.解析函数的孤立奇点

    在这里插入图片描述
    1.可去奇点、极点、本性奇点

    • 可去奇点、极点、本性奇点
      分别对应罗郎展开式中无负次幂,只有有限个负次幂和无限个负次幂。

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    2.零点定义
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
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    3.解析函数在无穷远点的性质
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2.留数的一般理论

    1.留数的定义
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    2.极点处留数的求法(既求拆开的对应c-1的系数)
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3.留数对定积分的计算

    在高等数学以及实际问题中,常常需要求出一些定积分或广义积分的值, 而这些积分中被积函数的原函数,不能用初等函数表示出来, 或即使可以求出 原函数,计算也往往比较复杂 .利用留数定理, 要计算某些类型的定积分或广 义积分, 只须计算某些解析函数在孤立奇点的留数, 从而把问题大大简化, 下 面通过具体例子,说明如何利用留数计算几种特殊类型的积分 .

    1.含sinx,cosx的有理分式积分
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    2.
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述3.在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
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    保形映射

    解析函数对平面向量场的应用

    展开全文
  • 复变函数 作 者: 纪友清,曹阳,侯秉喆,张敏 编 出版时间:2015 丛编项: 普通高等教育“十二五”规划教材 内容简介 《复变函数》的授课对象包括基础数学、应用数学、计算数学、概率统计专业以及唐班等本科二年级...
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  • 复变函数基础概述

    千次阅读 多人点赞 2019-08-07 20:06:31
    由于一些原因没有参加学校的期末考试,也错过了学校的卓越班选拔(本来很有把握的…)学校的一些课程也没有学完,所以只好在暑假卑微的看复变函数,看了一些下载的网课基本上有点感觉,做个总结,之后的学习中应该也...

    由于一些原因没有参加学校的期末考试,学校的一些课程也没有学完,所以只好在暑假卑微的看复变函数,看了一些下载的网课基本上有点感觉,做个总结,之后的学习中应该也那用到叭。

    一.复数及其运算

    1.求复数的虚部和实部

    在这里插入图片描述

    只要把复数写出来,这种题目就迎刃而解吧。

    2.求模、辐角和辐角主值

    在这里插入图片描述

    求模:复数的求模和向量类似,把实部虚部平方和开方就行。
    辐角主值:做出复数的图,辐角就是复数图像与实轴正方向的夹角,但其也有范围限制,要求在正负pi之间,是一个固定的值。
    辐角:在辐角的基础上加周期,一个周期为2pi
    另外还有一些基础的运算关系:
    在这里插入图片描述

    3.复数开方

    在这里插入图片描述

    复数的开方实际上是复数的幂运算的一种简单形式,有固定的套路,按套路带入相应的模和辐角主值即可。注意的是复数开n次方的就有n个结果,这与其图像对应,复平面上一个复数开n次根的图像就是以此复数的模为半径的一个圆的n分线。

    4.代数式、三角式、指数式相互转换

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    三者之间的转换始终围绕着俩个因素:模和辐角主值,把握住这俩个灵魂,涉及这三者的转换问题就小菜一碟。
    在后期的运算中经常需要对复数进行三个形态之间的转换。

    二.复数形式的方程映射

    前面一章节主要是针对复数本身的运算,这一章提升到了函数的层次,与直角坐标系建立连接,相当于是复变函数新知识和之前所学的函数的呼应吧。主要内容为函数的形式转换和映射。

    1.将直角坐标方程化为复数形式方程

    主要是直角坐标系下的一般方程和参数方程转换为复数形式。
    参数方程:

    在这里插入图片描述

    参数方程的转换很简单,只要将xy原封不动的带入复数形式就行。
    一般方程:

    在这里插入图片描述

    一般方程的转换,宗旨是用复数替代x、y,所以解题方法就反向下手,将x、y用复数表示出然后带入原方程就得到了复数形式。利用复数与其共轭复数相加的运算可得出x、y与复数的关系。

    2.将复数形式方程转换为直角坐标方程

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    解题方法与上一节相反。

    3.求映射下的象

    在这里插入图片描述

    相当于对复数的运算。

    在这里插入图片描述

    相当于求映射后的复数的辐角范围,采用其对数形式比较简单,因为对数形式那直接看出辐角的范围变化。

    在这里插入图片描述

    此处映射相当于是连接俩个平面,利用函数关系式,z中的x、y对应着w中的u、v,所以主要是用u、v表示出x、y,这也代表着映射的关系转换
    PS:复数不能比较大小,除非只有实部

    三.常见的四种函数

    1.求复数的三角函数

    在这里插入图片描述

    求复数的三角函数,把复数看作一个整体,然后套用公式:在这里插入图片描述
    即可,注意,此时的三角函数的大小不受限制

    2.求复数的对数函数

    在这里插入图片描述

    在复数的对数中即使要求的复数只有实部,也要按照复数来处理。注意复变函数中的对数书写方式为Ln,其运算也与ln不相同:
    在这里插入图片描述
    复数的对数函数的结果是个周期结果
    值得注意的是Ln的主值与ln相同,都是去掉周期性的Ln

    在这里插入图片描述

    3.求复数的指数函数

    主要围绕此公式展开计算:
    在这里插入图片描述

    不要将指数函数和前面的复数的指数形式混淆,下面练习一道题:

    在这里插入图片描述此类型题的解法主要是取对数,然后利用对数的运算解题(注意对数函数的周期性)

    4.求复数的幂函数

    幂函数中分为三种情况:
    指数为分数的情况与前面的复数开方相对应,而且与开方一样,也有多个结果

    在这里插入图片描述

    当指数为复数时通过取对数Ln的方式来化解,必要时还要利用复数的指数计算
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    注意当指数为负数时,结果与指数是正数时互为倒数
    在这里插入图片描述

    四.解析调和、求导

    1.求导数

    对复数函数求导主要有俩种类型:
    第一种:在u、v中分别对x求导,注意 :u、v都对x求导,然后相加即可。

    在这里插入图片描述

    第二种:复数以整体的形式出现时就把复数当作实数来处理,而且此时复数的导数运算规则与实数相同,如示:
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    2.解析、可导、有极限关系

    在这里插入图片描述

    3.判断可导与解析

    判断可导与解析主要看如下公式:
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    练习一道习题:
    在这里插入图片描述

    4.证明调和函数

    证明调和函数就俩个条件:
    在这里插入图片描述
    当俩个条件都满足时,此函数为调和函数。

    在这里插入图片描述

    5.求共轭调和函数

    共轭调和函数是建立在调和函数的基础上的,俩个函数分别是对应解析函数的实部和虚部。求共轭调和函数公式如下:
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    6.求解析函数

    上面说了,调和函数和共轭调和函数相当于解析函数的实部和虚部,所以求解析函数就是求,调和函数和共轭调和函数。
    具体求解析函数方法如下:
    以(z,0)坐标带入调和函数和共轭调和函数
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    五.积分

    1.奇点问题

    关于奇点问题无非就是有没有奇点?有几个奇点?已知奇点求积分?

    第一种:判断奇点,并求出奇点
    就是找出z不能取的值,然后判断不能取的值在不在C的范围内即可
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    第二种:没有奇点时,求积分,都为0
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    第三种:只有一个奇点,求积分,依靠这俩个公式就可以了:
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    Z0就是对应奇点的值,到时候带入就行。要注意分母形态的切换
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    第四种:有多个奇点情况下求积分时,将每个奇点的对应的积分求出来之后相加就行。
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    2.C为线段求积分

    相当于用x把z完全替换,需要注意的是C积分路径是有方向的

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    C也可以分段来求
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    3.C为弧求积分

    C为线段时是用x替换z,C为弧段时要用弧度代替z,实际上也就是个消元思想吧,将代表弧段的参数方程求出来,发现里面唯一的变量就是弧度,所以理所应当的就利用弧度替换x、y、z来简化积分。
    需要注意的是:这种情况下经常把复数换为指数形式比较简单,因为涉及到了弧度问题。
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空空如也

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复变函数的指数形式