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    分式复习教学反思教学反思是指教师以自己的教学活动过程为思考对象,对自己所做出的某种教学行为、决策以及由此所产生的结果进行审视和分析的活动。下面是关于分式复习教学反思的相关内容,一起来看看吧!分式复习教学反思1学生...

    函数交叉综合问题考试题型中考是九年义务教育的终端显示与成果展示,中考是一次选拔性考试,其竞争较为激烈。为了更有效地帮助学生梳理学过的知识,提高复习质量和效率,在中考中取得理想的成绩,下文为大家准备了中考数学复习...

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  • 导数的运算(2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.• 常见基本初等函数的导数公式:• 常用的导数运算法则:...

    考纲原文

    1.导数概念及其几何意义

    (1)了解导数概念的实际背景.

    (2)理解导数的几何意义.

    2.导数的运算

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    (2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.

    • 常见基本初等函数的导数公式:

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    • 常用的导数运算法则:

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    知识点讲解

    一、导数的概念

    1.平均变化率

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    2.瞬时速度

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    3.瞬时变化率

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    4.导数的概念

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    5.导函数的概念

    如果函数y=f(x)在开区间(ab)内的每一点都是可导的,则称f(x)在区间(ab)内可导.这样,对开区间(ab)内的每一个值x,都对应一个确定的导数f'(x),于是在区间(ab)内f'(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数(简称导数),记为f'(x)或y',即

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    二、导数的几何意义

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    三、导数的计算

    1.基本初等函数的导数公式

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    2.导数的运算法则

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    3.复合函数的导数

    复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f (u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′,即yx的导数等于yu的导数与ux的导数的乘积.

    考向分析

    考向一 导数的计算

    1.导数计算的原则和方法

    (1)原则:先化简解析式,使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商,再求导.

    (2)方法:

    ①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;

    ②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;

    ③对数形式:先化为和、差的形式,再求导;

    ④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;

    ⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.

    2.求复合函数的导数的关键环节和方法步骤

    (1)关键环节:

    ①中间变量的选择应是基本函数结构;

    ②正确分析出复合过程;

    ③一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;

    ④善于把一部分表达式作为一个整体;

    ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.

    (2)方法步骤:

    ①分解复合函数为基本初等函数,适当选择中间变量;

    ②求每一层基本初等函数的导数;

    ③每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.

    考向二 导数的几何意义

    求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法

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    (5)①在点P处的切线即是以P为切点的切线,P一定在曲线上.

    ②过点P的切线即切线过点PP不一定是切点.因此在求过点P的切线方程时,应首先检验点P是否在已知曲线上.

    【规律总结】

    求切线方程的步骤:

    (1)利用导数公式求导数.

    (2)求斜率.

    (3)写出切线方程.

    注意导数为0和导数不存在的情形.

    【名师点睛】

    熟记基本初等函数的求导公式,导数的四则运算法则是正确求导数的基础.

    (1)运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数y=f(x)开区间(a,b)内的导数的基本步骤:

    ①分析函数y=f(x)的结构和特征;

    ②选择恰当的求导公式和运算法则求导;

    ③整理得结果.

    (2)对较复杂的函数求导数时,先化简再求导.如对数函数的真数是根式或分式时,可用对数的性质将真数转化为有理式或整式求解更为方便;对于三角函数,往往需要利用三角恒等变换公式,将函数式进行化简,使函数的种类减少,次数降低,结构尽量简单,从而便于求导.

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  • 导数的定义和几何意义导数:左导数:右导数:如果函数的左...求导综合题复合函数求导计算准则:「例」若严格单调连续函数在点处可导,且则其反函数在对应点处也可导,且.若又设存在二阶导数,则即 .隐函数求导由方程所确定...

    导数的定义和几何意义

    导数:左导数:右导数:如果函数的左导数和右导数都存在则此函数的导数才存在.函数在某一点的导数指的是函数图像在这一点的切线斜率.

    典型例题

    讨论函数处的连续性与可导性.

    「解析」

    处连续,又

    左右导数不相等,所以在处不可导.

    求导综合题

    • 复合函数求导
    计算准则:

    「例」若严格单调连续函数在点处可导,且则其反函数在对应点处也可导,且.若又设存在二阶导数,则

    .

    • 隐函数求导
    由方程所确定的隐函数,就称是自变量的隐函数,其导数的求解方法一般有如下几种:

    (1)两边对求导,因为的函数,所以求导时的函数要用到复合函数求导法则;

    (2)利用全微分的不变性,在方程两边求微分,然后解出.

    (3)利用换元法将隐函数转变为参数方程.

    • 含参量函数的导数
    设函数由参数方程

    所确定,则

    对于极坐标表示的函数求导数,我们一般先将其化为用参数方程表示的方程再求导,如:若曲线由方程给出,则有

    典型例题

    1.设可导,,欲使处可导则必须有(B).(A)(B)(C)(D)

    「解析」由导数的定义,有

    因为,,所以要使上式右端极限存在,必须,故选B.

    2.设函数 处连续,且 ,则(C).(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在

    「解析」由函数 处连续,且,令,则当 时,.

    故应选C.

    3.求函数的导数.

    「分析」对于开方复杂的函数,我们可以通过取对数或者变量代换的方法解决.

    「解析」两边取对数得

    两边分别对求导可得

    于是有

    4.已知函数具有二阶导数,且=1,函数由方程所确定.设.

    「解析」两边对求导得,故,当时有

    • 高阶导计算
    高阶导数的常见方法与技巧有:

    (1)莱布尼茨公式;

    (2)用常用的已知高阶导的公式,运算法则求导;

    (3)求出前几阶导数,用递推求得高阶导数;

    (4)泰勒展开后求导.

    典型例题

    1.设,则.

    「分析」此题使用了常见函数(三角函数)的高阶导公式,不要忽略每次求导会带来的系数变化以及牢记公式就可以快速写出答案.若没有记住公式,用递推也可以写出答案.

    「解析」

    2.设函数,则.

    「分析」此题先处理式子,使之变成常见式子的高阶求导,再用常用高阶求导公式得到答案.

    「解析」

    3.已知,求

    「分析」当处理乘积的高阶求导时,首先想到莱布尼茨公式.在此题中是一个低阶幂函数和指数函数的求导,可以预见使用莱布尼茨公式可以将结果化为一个三项式,因为项在求导两次后就会消失.当乘积的其中一项只有有限阶导数时就首先考虑莱布尼茨公式.

    「解析」

    「注意」如果题目难度高时可能会有多个乘积的求导,在此时使用莱布尼茨公式时就更加要合理选择地将函数分两组, 让能有限次求导完毕的函数单独,这样就可以将答案控制在比较少的项数.

    4.设.

    「分析」本题难度较大,属于没有见过比较难以解出的题目. 不像上几题,既没有乘积的形式也没有常见的式子,常规的做法难以找到入手点.这里详细给出用递推公式求解此题的办法.

    「解析」因为

    所以

    观察到后式是一个乘积求导的形式,所以考虑对后式求导可以得到不同阶导数之间的关系. 因此利用莱布尼茨公式得

    即可得

    即由递推公式

    「另解」在第一步求一阶导后,式子变成,此时考虑到,因此视为的形式,对其泰勒展开到次为止,再对其求阶导数即可.

    - END -

    资料来源:北洋数学研究社·学研部

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    高数学习笔记

    第二章 导数与微分

    本章难点

    1、复合函数的求导法则;
    2、隐函数求导法则及隐函数二阶导数;
    3、参数式函数求导法则及参数式函数二阶导数。

    本章内容

    一、导数的概念

    (一)函数在一点处的导数定义

    导数1

    (二)导函数

    导数2

    (三)函数在一点的左导数与右导数

    导数3

    (四)函数在一点处可导的充分必要条件

    导数4

    (五)函数可导性与连续性的关系

    导数5

    二、求导方法

    (一)基本导数公式

    基本公式1
    基本公式2

    (二)求导法则

    1、四则运算法则

    求导法则1

    2、复合函数的求导法则

    复合函数求导法则1

    3、隐函数的求导法则

    隐函数的求导法则

    4、有参数方程确定的函数的求导法则

    有参数方程的求导法则

    5、对数求导法则

    对数求导法则

    三、高阶导数

    常见函数的n阶导数

    n阶导数

    四、微分

    (一)可微与可导之间的关系

    可微与可导
    未完待续。。。

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复合函数二阶导数