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  • 二阶导数怎么求?

    千次阅读 2020-12-23 16:52:42
    32313133353236313431303231363533e4b893e5b19e31333431353433二阶导数就是一阶导数的导数,一阶导数可以判断函数的增,减性,二阶导数可以判断函数增、减性的快慢。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数...

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    x'=1/y',x"=(-y"*x')/(y')^2=-y"/(y')^3。32313133353236313431303231363533e4b893e5b19e31333431353433

    二阶导数就是一阶导数的导数,一阶导数可以判断函数的增,减性,二阶导数可以判断函数增、减性的快慢。

    结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0,而二阶导数大于0时,为极小值点。当一阶导数等于0,而二阶导数小于0时,为极大值点;当一阶导数和二阶导数都等于0时,为驻点。

    由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下:

    1、求导的线性:对函数的线性组合求导,等于先对其中每个部分求导后再取线性组合(即①式)。

    2、两个函数的乘积的导函数:一导乘二+一乘二导(即②式)。

    3、两个函数的商的导函数也是一个分式:(子导乘母-子乘母导)除以母平方(即③式)。

    4、如果有复合函数,则用链式法则求导。

    扩展资料

    二阶导的用法:

    判断的单调性则需判断的正负,假设的正负无法判断,则把或者中不能判断正负的部分(通常为分子部分)设为新函数,如果通过对进行求导继而求最值,若或则可判断出的正负继而判断的单调性,流程如下图所示:

    但是如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零,或一阶导数最大值大于等于零的时候,则单纯的二阶导数将失灵,此时采用的是零点尝试法,即确定一阶导数的零点的大致位置。

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  • 函数的和、差、积、商的求导法则u=u(x),v=v(x)(u+v)'=u'+v'(u-v)'=u'-v'(Cu)'=Cu'(...

    函数的和、差、积、商的求导法则

    u=u(x),v=v(x)

    (u+v)'=u'+v'

    (u-v)'=u'-v'

    (Cu)'=Cu'

    (uv)'=u'v+uv'

    (u/v)'=(u'v-uv')/v^2

    复合函数求导法则

    y=f(u),u=φ(v)

    复合函数y=f[φ(v)]的导数为

    dy/dx=dy/du*du/dx=f'(u)*φ'(v)

    (u-v+z)'=u'-v'+z',且(Cu)'=Cu'

    exam1:

    y =2*x*^3 -5*x^2+3*x-7

    y'=6*x^2-10x+3+0

    exam2:

    f(x)=x^3+4cosx-sin(π/2)

    f'(x)=(x^3)‘+(4cosx)‘-(sin(π/2))‘=3x^2-4sinx-0

    f'(π/2)=f'(x)|x=(π/2)=3x^2-4sinx=3*(π/2)^2-4sin(π/2)=3/4π^2-4

    exam3:

    y=√x*lnx

    y'=(√x)'*lnx+√x*(lnx)'=1/(2*√x)*lnx+√x*1/x=1/(√x)*(1/2*lnx+1)

    exam4:

    y=e^x(sinx+cosx)

    y'=(e^x)'(sinx+cosx)+e^x(sinx+cosx)'=e^x(sinx+cosx)+e^x(cosx-sinx)=2e^xcosx

    高阶导数

    y=f(x)

    y'=f'(x)

    y''=(y')'=d^2y/dx^2=d/dx(dy/dx)

    导数的应用:函数单调性

    通过函数的导数的值,可以判断出函数的单调性、驻点以及极值点:

    若导数大于0,则单调递增;

    若导数小于0,则单调递减;

    导数等于零d的点为函数驻点

    曲线的凹凸性,设函数f(x) 在区间I 上有二阶导数

    (1) 在 I 内 f''(x)>0则 f(x)在 I 内图形是凹的 ;

    (2) 在 I 内 f''(x)<0则 f(x)在 I 内图形是凸的 .

    #!/usr/bin/env python
    # -*- coding: UTF-8 -*-
    #                     _ooOoo_
    #                   o8888888o
    #                    88" . "88
    #                 ( | -  _  - | )
    #                     O\ = /O
    #                 ____/`---'\____
    #                  .' \\| |// `.
    #                 / \\|||:|||// \
    #               / _|||||-:- |||||- \
    #                | | \\\ - /// | |
    #              | \_| ''\---/'' | _/ |
    #               \ .-\__ `-` ___/-. /
    #            ___`. .' /--.--\ `. . __
    #         ."" '< `.___\_<|>_/___.' >'"".
    #       | | : `- \`.;`\  _ /`;.`/ - ` : | |
    #          \ \ `-. \_ __\ /__ _/ .-` / /
    #      ==`-.____`-.___\_____/___.-`____.-'==
    #                     `=---='
    '''
    @Project :pythonalgorithms 
    @File :Nderivatives.py
    @Author :不胜人生一场醉@Date :2021/8/3 1:17 
    '''
    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    import math
    import sympy
    
    if __name__ == '__main__':
        nderivativeplot()
    
    # f(x)=x^3+3x^2-24x-20
    # f'(x)=3x^2+6x-24
    # f''(x)=6x+6
    def nderivativeplot():
        plt.figure(figsize=(5, 8))
        ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴
        plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文
        plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号
        x = np.linspace(-10,10, 200)
        y = np.power(x,3)+3*np.power(x,2)-24*x-20
        yd = 3*np.power(x,2)+6*x-24
        ydd=6*x+6
        label = '函数f(x)=x^3+3x^2-24x-20的曲线'
        plt.plot(x, y, label=label)
        label = "导数f'(x)=3x^2+6x-24的曲线"
        plt.plot(x, yd, label=label)
        label = "导数f''(x)=6x+6的曲线"
        plt.plot(x, ydd, label=label)
    
    
        # 设置图片的右边框和上边框为不显示
        ax.spines['right'].set_color('none')
        ax.spines['top'].set_color('none')
    
        # 挪动x,y轴的位置,也就是图片下边框和左边框的位置
        # data表示通过值来设置x轴的位置,将x轴绑定在y=0的位置
        ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
        # axes表示以百分比的形式设置轴的位置,即将y轴绑定在x轴50%的位置
        # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))
        ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
        plt.title("函数、一阶导数、二阶导数")
        plt.legend(loc='upper right')
        plt.show()
    

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  • 导数--复合函数导数练习题

    千次阅读 2020-12-20 10:50:24
    导数--复合函数导数练习题 第 1页(共 8页) 函数求导 1. 简单函数的定义求导的方法(一差、二比、三取极限) (1)求函数的增量 ; ) ( ) ( 0 0 x f x x f y      (2)求平均变化率 。 x x f x x f x y   ...

    导数--复合函数的导数练习题

    第 1页(共 8页) 函数求导 1. 简单函数的定义求导的方法(一差、二比、三取极限) (1)求函数的增量 ; ) ( ) ( 0 0 x f x x f y      (2)求平均变化率 。 x x f x x f x y        ) ( ) ( 0 0 (3)取极限求导数  ) ( 0 x f x x f x x f x       ) ( ) ( lim 0 0 0 2.导数与导函数的关系:特殊与一般的关系。函数在某一点 的导数就是 ) ( 0 x f 导函数 ,当 时的函数值。 ) (x f 0 x x  3.常用的导数公式及求导法则: (1)公式 ① , (C 是常数) ② 0  C x x cos ) (sin  ③ ④ x x sin ) (cos   1 ) (   n n nx x ⑤ ⑥ a a a x x ln ) (  x x e e  ) ( ⑦ ⑧ a x x a ln 1 ) (log  x x 1 ) (ln  ⑨ ⑩( x x 2 cos 1 ) (tan  x x 2 sin 1 ) cot   (2)法则: , )] ( [ )] ( [ )] ( ) ( [ x g x f x g x f    ) ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( [ x f x g x g x f x g x f  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ] ) ( ) ( [ 2 x g x f x g x g x f x g x f   例: (1) (2)   3 2 4 y x x   sin x y x  (3) (4) 3cos 4sin y x x     2 2 3 y x   (5)   ln 2 y x   第 2页(共 8页) 复合函数的导数 如果函数 在点 x 处可导,函数 f (u)在点 u= 处可导,则复合函数 ) (x  ) (x  y= f (u)=f [ ]在点 x 处也可导,并且 ) (x (f [ ])ˊ= ) (x    ) (x f   ) (x   或记作 = • x y  u y  x u  熟记链式法则 若 y= f (u),u= y= f [ ],则 ) (x   ) (x  = x y  ) ( ) ( x u f    若 y= f (u),u= ,v= y= f [ ],则 ) (v  ) (x   )) ( ( x  = x y  ) ( ) ( ) ( x v u f      (2)复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而 成的,且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在 求导时要由外到内,逐层求导。 例1函数 的导数. 4 ) 3 1 ( 1 x y   解: . 4 ) 3 1 ( 1 x y   4 ) 3 1 (    x 设 , ,则 4   u y x u 3 1   x u x u y y   x u x u ) 3 1 ( ) ( 4    . ) 3 ( 4 5      u 5 5 ) 3 1 ( 12 12      x u 5 ) 3 1 ( 12 x   第 3页(共 8页) 例2求 的导数. 5 1 x x y   解: , 5 1 1         x x y 5 4 1 1 5 1                  x x x x y 2 5 4 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 5 1 x x x x x               . 2 5 4 ) 1 ( 1 1 5 1 x x x            5 6 5 4 ) 1 ( 5 1     x x 例 3 求下列函数的导数x y 2 3   解:(1) x y 2 3   令 u=3 -2x,则有y= ,u=3 -2x u 由复合函数求导法则 x u x u y y     有 y′= =   x u x u ) 2 3 (    x u 2 3 1 ) 2 ( 2 1      在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后,可以不再写出中间变量 u,于是前面可以直接写出如下结果: yˊ= x x x 2 3 1 ) 2 3 ( 2 3 2 1        在运用复合函数求导法则很熟练之后,可以更简练地写出求导过程: yˊ= x x 2 3 1 ) 2 ( 2 3 2 1       第 4页(共 8页) 例 4求下列函数的导数 (1)y= cos x (2)y=ln (x+ ) x 2 1  2 1 x  解:(1)y= cos x x 2 1  由于 y= cos x 是两个函数 与 cos x 的乘积,而其中 x 2 1  x 2 1  又是复合函数,所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则,而在求 x 2 1  导数时再用复合函数求导法则,于是 x 2 1  yˊ=( )ˊcos x - sin x x 2 1  x 2 1 = - sin x= - sin x x x cos 2 1 2 ) 2 (   x 2 1  x x 2 1 cos   x 2 1  (2)y=ln (x+ ) 2 1 x  由于 y=ln (x+ )是 u= x+ 与 y=ln u复合而成,所以对此函数 2 1 x  2 1 x  求导时,应先用复合函数求导法则,在求 时用函数和的求导法则,而求( x u  )′的导数时再用一次复合函数的求导法则,所以 2 1 x  yˊ= • [1+( )ˊ]= • 2 1 1 x x   2 1 x  2 1 1 x x             2 1 2 2 1 x x= • = 2 1 1 x x   2 2 1 1 x x x    2 1 1 x  例 5 设 求 . ) 1 ln(    x x y y  解 利用复合函数求导法求导,得 ) 1 ( 1 1 ] ) 1 [ln( 2 2 2            x x x x x x y ] ) 1 ( 1 [ 1 1 2 2       x x x

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  • MATLAB初学之怎么利用中值差分法求一阶导数 ** 我们最近在学习MATLAB,由于是选修课,所以老师不会讲一些很高深的知识。今天先给大家分享如何利用中值差分法求一阶导数,以后一些基础的内容我将再补充。 ##原理: #...

    **

    MATLAB初学之怎么利用中值差分法求一阶二阶导数

    **

    我们最近在学习MATLAB。在MATLAB中怎么求导数?
    MATLAB中有专门求导的函数
    针对f(x)类的函数:
    diff(f,x) :求f关于x的导数
    diff(diff(f,x),x):求f二阶导数
    针对f(x,y)类的函数求偏导:
    diff(f,x) :求f关于x的偏导数
    diff(diff(f,x),y):求f关于x的偏导数再对y进行二阶偏导
    但是以上方法求导不够精确,diff是基于向前欧拉差分或者向后欧拉差分实现的,在求导的方法中,中心差分法是精度比较高的。今天先大家分享如何利用中值差分法求一阶二阶导数。

    ##原理:
    中值差分法原理
    ##程序源代码,以方程f=cos(x).*exp(-x.^2/2)为例:
    clear all
    clc
    h=0.1;
    x=-4:h:4;
    f=cos(x).*exp(-x.^2/2);
    for j=2:(length(x)-1)
    %(从第二点开始,因为第一个点求不出来)
    df(j)=(f(j+1)-f(j-1))/2/h;
    end
    plot(x(2:(length(x)-1)),df(2:(length(x)-1)))
    %(df从第二点开始,因为第一个点系统自动为零)

    最后就画出了一阶导数图像:
    在这里插入图片描述
    ##那怎么求二阶导数呢

    ###原理
    在这里插入图片描述

    ###代码
    clear all
    clc
    h=0.1;
    x=-4:h:4;
    f=cos(x).exp(-x.^2/2);
    for j=2:(length(x)-1) %(从第二点开始,因为第一个点求不出来)
    dff(j)=(f(j+1)+f(j-1)-2
    f(j))/2/h^2; %(求二阶导)
    end
    plot(x(2:(length(x)-1)),dff(2:(length(x)-1)))

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  • Pytorch:autograd 自动求导

    千次阅读 2020-07-16 14:23:12
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空空如也

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复合函数二阶导数

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