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  • 复合函数求导法则证明

    千次阅读 2020-09-01 11:54:11
    1.提示 从导数的定义出发 2证明 参考:传送门 3.总结 任何公式、定理、法则等都是从它最简单的定义推起

    1.提示

    从导数的定义出发

    2证明

    在这里插入图片描述
    参考:传送门

    3.总结

    任何公式、定理、法则等都是从它最简单的定义推起

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  • §8.4 多元函数求导法则 【定理】若函数及都在点可导; 函数在对应点具有连续偏导数, 则复合函数在点可导,且其导数为  (1) 证明:设获得增量,这时的对应增量为,函数的对应增量为。 据假定,函数在点具有连续偏导数,...

    §8.4  多元函数求导法则

    定理】若函数都在点可导;

    函数在对应点具有连续偏导数,

    则复合函数在点可导,且其导数为

                               (1)

    证明:获得增量,这时的对应增量为,函数的对应增量为

    据假定,函数在点具有连续偏导数,从而有

    这里,当时,

    上式两边除以

    而当时,有 ,从而

     

    所以

    故复合函数  在点可导,其导数可用(1)式计算。

    用同样的方法,可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。

    例如, 设  与 复合而得到

    函数 

    在点可导,

    具有连续偏导数,

    则复合函数 在点可导, 且

                           (2)

    在公式(1)与(2)中的导数称为全导数

    上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。

    例如, 设与 复合而得到

    函数 ,

    若 在点 具有对的偏导数,

    函数在对应点具有连续偏导数,

    在点的两个偏导数存在, 且

                                   (3)

    事实上,求时,看作常量,因此中间变量仍可看作一元函数而应用上述定理。但均是的二元函数,所以应把(1)式中的直导数记号改为偏导数的记号,再将换成,这样便得到了(3)式。

    类似地, 设均在点具有对的偏导数,而函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数

    在点的两个偏导数都存在,且

                        (4)

    例如,若有连续偏导数,而偏导数存在,则复合函数  可看作上述情形中当的特殊情形, 因此

    (4)式变成

    等式两边均出现了,尽管记号一样,但其意义有本质的差别,以第一式加以阐明:

    左边的是将复合函数中的看作常数,而对求偏导数;

    右边的是把函数中的看作常数,而对求偏导数。

    因此,为了避免麻烦, 我们往往将上述两式的形式写为

    由该复合函数变量间的关系链,可对此求(偏)导数法则作如下解释:

    ,可沿第一条线路对求导, 再沿第二条线路对求导, 最后把两个结果相加。

    而沿第一条线路对求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的函数,求导结果自然是 ( 这与一元复合函数求导法则很类似);

    而沿第二条线路对求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的函数,求导结果自然是

    上述变量关系图象一根链子,它将变量间的相互依赖关系形象地展示出来。对某个变量求导,就是沿企及该变量的各条线路分别求导,并把结果相加,这一法则称之为锁链法则

    这一法则可简单地概括为

    【例1】设 , 而 , , 求

    解:  

     

     

    【例2】设,求

    解:  

     

     





    §8.5  隐函数的求导公式

    一、二元方程所确定的隐函数的情形

    由二元方程可确定一个一元的隐函数,将之代入原方程,得到一个恒等式

    对恒等式两边关于变量求导,左边是多元复合函数,它对变量的导数为

    右边的导数自然为,于是有

    解出,得到隐函数的导数 

    由多元复合函数的求导定理可知,当具有一阶连续偏导数,而可导时,才可求出复合函数的导数,若时,才有

    这一求导方法,实际上就是以往的直接求导数

    二、由三元方程所确定的二元隐函数的偏导数

    既然二元方程可以确定一个一元的隐函数,那么三元方程便可确定一个二元的隐函数。下面,我们介绍用直接求导法求此函数的偏导数。

    两边关于变量求偏导,并注意的函数,有

    解出,得到二元隐函数的偏导数 

    类似地,可得到

    ,      

    【例1】设 , 求 

    解: 将方程中的视为的隐函数,对求偏导数有

    再一次对求偏导数,仍然将视为的隐函数有

    也可以用下述方法来求二阶偏导数

    两边关于求偏导数,注意到均为 的函数,有

    三、由两个函数方程所确定的隐函数的导数

    设有函数方程组

    由此联立的方程组可消去一个变量,这样便得到由三个变量所构成的函数方程,而三元函数方程可确定一个二元隐函数 ,将之代入方程组的其中一个,得到另一个三元方程,于是,我们也可将变量表示成的隐函数

    综上讨论,由方程组

    可确定两个二元的隐函数,将之代入上述方程组得到恒等式

    对此恒等式两边关于变量求导,有

    解此关于的方程组,求出 与 

    类似地, 可求出与 

    【例2】设,求

    解: 对方程两边关于求导, 注意到的隐函数, 有

    ,     

    下面解此关于的方程组

    将第一式乘以,第二式乘以,再将两式相加得

    将第一式乘以,第二式乘以,再将两式相减得

    同理,将所给方程对求导有

    解此方程组得

    当然,这里自然要求条件   是成立的。





    §8.6  微分法在几何上的应用

    一、空间曲线的切线与法平面

    1、曲线由参数方程给出的情形

    设空间曲线的参数方程为

                                (1)

    假定(1)式中的三个函数均可导。

    考虑上对应于的一点及对应于的邻近一点,其割线的方程为

    对等式同除以

    时,,曲线在点处的切线方程为

                                 (2)

    这里自然假定了  不能都为零。

    切线的方向向量称为曲线的切向量,向量

    就是曲线在点处的一个切向量。

    过点与切线垂直的平面称为曲线在点处的法平面,它是过点,以为法向量的平面,此法平面方程为

             (3)

    2、曲线由特殊参数方程给出的情形

      此方程可看作  

    处可导,则,曲线在点处的切线方程为

                                     (4)

    曲线在点处的法平面方程为

                  (5)

    3、曲线由一般方程给出的情形

    是曲线上的一点,此函数方程组可确定的隐函数,即曲线可用(隐式)方程  来表示。

    由第2部分的讨论,现在的关键是求

    看作的隐函数,方程两边分别对求导数,可得

         ð    

     

    ð  

    ð   

    ð     ð  

    类似地,有

    曲线在点处的切向量本来为,但也可取向量

    即  

    曲线的切线方程为

                             (6)

    曲线的法平面方程为

       (7)

    当然,上述推导需要一些条件,具有一阶连续偏导数,且

    中至少有一个不为零。

    【例1】求曲线

    在点处的切线方程与法平面方程。

    解: 

     

     

    曲线的切线方程为   

    曲线的法平面方程为  

    二、曲面的切平面与法线

    1、曲面方程由给出的情形

    设曲面由方程

                                            (9)

    给出,上的一点,假设函数偏导数在该点连续且不同时为零

    上,过点任意引一条曲线,设它的参数方程为

    对应于参数,且不全为零。

    则曲线在点的切线方程为

    下证事实:

    上过点且具有切线的任何曲线 ,它们在点处的切线均位于同一平面。

    因为曲线在曲面上,故有

    据假设有  ,即

         (10)

    引入向量

    (10)式表明:

    因为是过点且在上的任意一条曲线,它们在点的切线均垂直于同一非零向量,所以,上过点的一切曲线在点的切线都位于同一个平面上。

    这个平面称为曲面在点切平面,其切平面方程为

           (11)

    过点而垂直于切平面(11)的直线称为曲面在该点的法线,其法线方程为:

                    (12)

    曲面在一点的切平面之法向量称为曲面在该点的法向量,因此,向量

    便是曲面在点处的一个法向量。

    2、曲面方程由给出的情形

    若曲面由方程

    给出,令 

    则  

    当偏导数在点连续时,曲面在点的切平面方程为

                                (14)

    曲面的法向量有两个

    对于第一式,法向量的方向余弦为

    ,法向量与轴正向的夹角应为锐角,故此法向量的指向是朝上的。自然地,另一个法向量的指向是朝下的

    (13)式具有鲜明的几何意义

    方程的右端恰好是函数在点处的全微分;

    方程的左端是切平面上点的竖坐标的增量。

    特别地,当  时

    曲面在点处的切平面为,此切平面平行于坐标面,即曲面在点处具有水平的切平面

    【例2】求球面在点处的切平面及法线方程。

    解: 

    切平面方程为

    法线方程为

    因为点在法线上,可见法线通过球心。




    from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/

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    内容提要:

    1、导数的四则运算法则

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          有时可以用自己的语言来描述它,帮助记忆,例如乘积的求导法则,可以表述为“前导乘后不导+前不导乘后导”

    2、反函数的求导法则

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        这个法则主要是用于推导反三角函数的几个求导公式,有点抽象,可以把它简单地理解为:函数求导等于它的反函数的导数的倒数。

    3、常用的求导公式

          根据上述两个法则,又可以推出好几个求导公式了。我们把所学的求导公式归纳一下,常用的一共有16个公式,一定要记住,后面的运算都会用到。

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    世上无难事,只要背公式

    4、复合函数求导

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         简单来讲,复合函数求导的秘诀是:先分层,逐层求导再相乘。

        关键在于分层。关于复合函数的分层,我在第2课已经讲过了,不太会分层的同学可以看回我第2个视频。

        最初做题时,可以将中间变量写出来,分层求导。熟练以后,层次结构就在你的大脑里了,可以不用写出中间变量,一步到位,直接求导,希望大家能达到这样的境界。

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空空如也

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