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  • 复合函数求导公式证明
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    2020-12-20 10:50:23

    宜城教育资源网www.ychedu.com复合函数求导公式大全_复合函数求导法则_复合函数求导经典例题_复合函数求导导学案复合函数求导导学案定义编辑设函数Y=f(u)的定义域为D,函数u=φ(x)的值域为Z,如果D∩Z,则y通过u构成x的函数,称为x的复合函数,记作Y=f[φ(x)]。x为自变量,y为因变量,而u称为中间变量。如等都是复合函数。而就不是复合函数,因为任何x都不能使y有意义。由此可见,不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数。复合函数通俗地说就是函数套函数,是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数,有时可能有两个以上,如y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x),则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数,u、v都是中间变量。[2]定义域编辑若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B}综合考虑各部分的x的取值范围,取他们的交集。求函数的定义域主要应考虑以下几点:⑴当为整式或奇次根式时,R的值域;⑵当为偶次根式时,被开方数不小于0(即≥0);⑶当为分式时,分母不为0;当分母是偶次根式时,被开方数大于0;⑷当为指数式时,对零指数幂或负整数指数幂,底不为0(如,中)。⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合,即求各部分定义域集合的交集。⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。⑺由实际问题建立的函数,除了要考虑使解析式有意义外,还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数,求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论,并要注意函数的定义域为非空集合。⑼对数函数的真数必须大于零,底数大于零且不等于1。⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。[3]周期性编辑设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).单调(增减)性编辑决定因素依y=f(u),μ=φ(x)的单调性来决定。即"增+增=增;减+减=增;增+减=减;减+增=减",可以简化为"同增异减"。基本步骤判断复合函数的单调性的步骤如下:⑴求复合函数的定义域;⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);⑶判断每个常见函数的单调性;⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;⑸求出复合函数的单调性。例题例如:讨论函数y=的单调性。解:函数定义域为R;令u=x2-4x+3,y=0.8u;指数函数y=0.8u在(-∞,+∞)上是减函数;u=x2-4x+3在(-∞,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数;∴函数y=在(-∞,2]上是增函数,在[2,+∞)上是减函数。复合函数求导编辑规则复合函数求导的前提:复合函数本身及所含函数都可导。法则1:设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x);法则2:设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);复合函数的导数应用举例1、求:函数f(x)=(3x+2)3+3的导数。解:设u=g(x)=3x+2;f(u)=u3+3;f'(u)=3u2=3(3x+2)2;g'(x)=3;f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)2*3=9(3x+2)2;2、求f(x)=的导数。解:设u=g(x)=x-4,a=p(u)=u2+25f(a)=;f'(a)==;p'(u)=2u=2(x-4);g'(x)=1;f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)==.复合函数求导法则链式法则(英文chainrule)是微积分中的求导法则,用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数,是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x,g(x)=3x+3,g(f(x))就是一个复合函数,并且g′(f(x))=3链式法则(chainrule)若h(a)=f(g(x))则h'(a)=f'(g(x))g'(x)链式法则用文字描述,就是"由两个函数凑起来的复合函数,其导数等于里函数代入外函数的值之导数,乘以里边函数的导数。"证明证法一:先证明个引理f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内,存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)证明:设f(x)在x0可导,令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域);H(x)=f'(x0),x=x0因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)所以H(x)在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)反之,设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)所以f(x)在点x0可导,且f'(x0)=H(x0)引理证毕。设u=φ(x)在点u0可导,y=f(u)在点u0=φ(x0)可导,则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)证明:由f(u)在u0可导,由引理必要性,存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)又由u=φ(x)在x0可导,同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)于是就有,f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)因为φ,G在x0连续,H在u0=φ(x0)连续,因此H(φ(x))G(x)在x0连续,再由引理的充分性可知F(x)在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)证法二:y=f(u)在点u可导,u=g(x)在点x可导,则复合函数y=f(g(x))在点x0可导,且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)证明:因为y=f(u)在u可导,则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)当Δu≠0,用Δu乘等式两边得,Δy=f'(u)Δu+αΔu但当Δu=0时,Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边,且求Δx->0的极限,得dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时,有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0则lim(Δx->0)α=0最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx) 宜城教育资源网www.ychedu.com

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    【长篇符咒预警~慎点!回答本题,纯粹是因为这题勾起了我由来已久欲一吐为快之槽……请原谅我的无聊。。。】

    陶哲轩的《分析》一书中,居然把这个证明留成了一道课后习题……还要求用他书中的体系(最“老土”的牛顿逼近法)去证……真是要多特么蛋疼有多特么蛋疼。。。简直丧病啊!

    定理10.1.15(复合函数的求导——链式法则):设

    ,

    的极限点,并设

    的极限点。设

    是在

    处可微的函数且

    是在

    处可微的函数;则两者的复合

    处可微,且

    证明(所需命题序号引自陶哲轩书,可直接查看,故不一一赘述):依命题10.1.7(牛顿逼近)以及命题10.1.10(可微性蕴含连续性),可立即得出以下三个条件(1、3用10.1.7;2用10.1.10):

    2.

    ;而由此可推出——

    3.

    先对1式后半部用三角不等式的变形:

    ,代入

    ,即有

    (此处还用到

    )。

    再对1式后半部使用

    (令

    ),得到

    。将同样方法应用至3式后半部,得——

    稍作整理,得:

    —— ①

    —— ②

    —— ③

    现取

    ,则当

    时,①、②、③式同时成立。将①式右边取代③中的

    ,得 ——

    ——④

    以下分两种情况进行讨论——

    一、

    :此时用

    乘②,序关系不变(仅当

    时需将

    换为

    以保持严谨),有:

    ——⑤

    。以⑤的左端取代④式左端

    一项,以⑤的右端取代④式右端

    一项,这样并不改变④之原有的序关系,得到——

    整理(重新合并同类项,并使用

    ),得

    ——(A)。

    二、

    :此时用

    乘②,序关系反号(向),有:

    ——⑥

    。以⑥的左端取代④式左端

    一项,以⑥的右端取代④式右端

    一项,这样并不改变④之原有的序关系,得到——

    整理(重新合并同类项,并使用

    ,考虑到

    ,则

    ,下式不等号右端有意义),得

    ——(B)。

    考虑到

    ,可以将(A)、(B)两式合二为一:

    ——(※)。

    现给定

    ,令

    。这样一来,一方面当

    时,

    ,而

    使得

    ;另一方面,当

    时,

    ,而

    使得

    。因此,

    。根据1、3两式,存在着

    使之针对此处给定的

    依以上估计所构造出的

    成立;而对于

    ,依2式知必然存在

    使之成立。那么,令

    ,依(※)则有——

    依命题10.1.7,定理得证。

    这证明从最基本的导数、微分的极限定义出发,用各种繁琐庞杂的不等式估计式直接正面硬刚,绝对能特么体现出特仑苏在这本书前言中所强调的“冗繁然而构造性”、“‘严格地’、‘手工地’做分析”的精神实质——“暴力”的硬分析(俗称“干脏活儿”、“硬㨃/怼”)。。。

    然而公式敲完之后,只觉天旋地转,喉头发痒咸腥,一口老血喷在屏幕上~

    顺便说一句,以下“证明”——

    是众所周知的伪证,因为分母

    时仍然可以为零。然而,很多人误认为

    的连续性可以保证

    使得

    ,但——

    这是错误的!

    然后很多人又会误以为只有常数函数

    才会导致这样的bug出现,然而——

    这也是妄念!

    考虑以下函数,这是关于可微性的经典反例——

    ,立即打脸。

    所以说,纵使这个伪证中存在的bug本质上是个“佯谬”,但也得认真对待——弄得不好,纸老虎也是会咬人的。

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    复合函数求导公式有哪些2018-08-01 17:24:23文/丁雪竹

    有很多的同学是非常的想知道,复合函数求导公式是什么,小编整理了相关信息,希望会对大家有所帮助!

    576362f68bc4f5c3fe20fe1793e46f70.png

    复合函数如何求导

    规则:1、设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x);

    2、设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);

    拓展:

    1、设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为Dx,值域为Mx,如果 Mx∩Du≠Ø,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系,这种函数称为复合函数(composite function),记为: y=f[g(x)],其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量(即函数)。

    2、定义域:若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围,取他们的交集。

    3、周期性:设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为 T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).

    4、单调(增减)性的决定因素:依y=f(u),μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增;减+减=增; 增+减=减;减+增=减”,可以简化为“同增异减”。

    复合函数求导法则

    Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′

    例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,

    y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)

    =(3x^2)/Ln(x^3)]

    例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3

    由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3

    复合函数性质是什么

    复合函数的性质由构成它的函数性质所决定,具备如下规律:

    (1)单调性规律

    如果函数u=g(x)在区间[m,n]上是单调函数,且函数y=f(u)在区间[g(m),g(n)] (或[g(n),g(m)])上也是单调函数,那么

    若u=g(x),y=f(u)增减性相同,则复合函数y=f[g(x)]为增函数;若u=g(x),y= f(u)增减性不同,则y=f[g(x)]为减函数.

    (2)奇偶性规律

    若函数g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,则u=g(x),y=f(u)都是奇函数y=f[g(x)]是奇函数;u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y= f[g(x)]是偶函数.

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    1.提示

    从导数的定义出发

    2证明

    在这里插入图片描述
    参考:传送门

    3.总结

    任何公式、定理、法则等都是从它最简单的定义推起

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