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  • 概率密度和分布函数 联合概率密度 边际概率密度 条件概率密度 复合函数概率密度

    概率密度和分布函数

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    联合概率密度

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    边际概率密度

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    条件概率密度

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    复合函数概率密度

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  • 1.ICA概念2.ICA不处理服从高斯分布的样本集3.概率密度函数4.复合函数概率密度函数5.累积分布函数/分布函数6.联合分布7.行列式8.代数余子式(end)

    要容易理解ICA,就需要先好好理解透彻下面这些概率统计和线性代数的知识点:高斯分布、概率密度函数、累积分布函数、复合函数的概率密度函数、行列式、代数余子式、矩阵微积分等。下面一一简单记录和复习下这些概念,俗话说书读百遍其义自见,这里再多写一遍也不为过。

    1.ICA概念

    Independent Component Correlation Algorithm,ICA,独立成分分析算法,是一种函数。

    X为n维观测信号矢量,S为独立的m维未知源信号矢量,矩阵A被称为混合矩阵。

    ICA的目的就是寻找解混矩阵W(W=A的逆矩阵),然后对X进行线性变换,得到输出向量U = WX = WAS

    主要应用于:表情分类

    ICA详细的计算过程的原理推理,详见后面文章:点我

    2.高斯分布

    2.1名称

    Normal Distribution,正态分布,也称常态分布,又名高斯分布(Gaussian Distribution)。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布。

    2.2正态分布

    若随机变量X服从一个数学期望μ,方差为σ^2的正态分布,则记作N(μ,σ^2)。

    随机变量X的概率密度函数为:μ决定了其位置,标准差σ决定了分布的幅度。

    2.3标准正态分布

    当μ=0,σ=1时的正态分布为标准正态分布。

    2.4正态分布<--->标准正态分布

    为了便于描述和应用,将正态变量X作为数据转换,将一般正态分布转化为标准正态分布:


    X就是一般正态分布,Y就是由X转换来的标准正态分布。

    2.5正态分布几何形态

    正态分布是一个概率分布,其形状神似一个倒扣的钟。

    此图来自百度百科。

    2.6一维正态分布的概率密度函数

    若随机变量X服从一个数学期望μ,方差为σ^2的正态分布,则记作N(μ,σ^2)。则其概率密度函数为:


    X被称为正态随机变量,称正态随机变量X服从的分布称为正态分布,记作,读作X服从,或者X服从正态分布。

    2.7标准正态分布

     时,正态分布就成为标准正态分布,标准正态分布的概率密度函数为:

    3.概率密度函数

    probability density function,概率密度函数,也可以称为密度函数,一般简写为小写的pdf。

    注:概率密度函数 是连续型随机变量的;离散随机变量的,就是概率P(x)。

    概率密度函数是一个描述这个随机变量的输出值,在某个确定的取值点附近的可能性的函数。

    而随机变量的取值落在某个区域之内的概率则为概率密度函数在这个区域上的积分。


    对于一维实随机变量X,设X的累积分布函数CDF是,如果存在可测函数满足:

      

    那么X是一个连续型随机变量,并且  是X的概率密度函数。

    密度函数f(x) 具有下列性质:

      

      

     

    注:连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0;如果概率P{x=a}=0,但{X=a}并不是不可能事件。

    4.复合函数的概率密度函数

    X的概率密度fX(x),若Y = ax,a是某个正实数,求Y的概率密度


    注:如果a是负实数,则给结论的第一个1/a加上绝对值

    注:如果Y和X是向量,A是矩阵的话,结论第一个1/a就变成|A|-1,第二个1/a就变成A-1

    5.累积分布函数/分布函数

    CDF,Cumluative Distribution Function,累积分布函数,又叫分布函数,是概率密度函数的积分,可以完整描述一个实随机变量X的概率分布。

    概率分布:

        随机变量的概率分布,即随机变量的可能取值以及取得对应值的概率。

    pdf和CDF:

        一般用大写的CDF标记累积分布函数,分布函数。一般用小写的pdf标记概率密度函数。

    累积分布函数的概念公式为:

        

    举例一个离散随机变量的累积分布函数/分布函数的几何图形:

    此图来自百度百科

    CDF的性质

    (1)有界性

            

            

    (2)单调性

            

    (3)右连续性

            

    (4)X取值落在区间(a,b]之内的概率:

            

    (5)随机变量X的CDF和pdf的关系:

            

    6.联合分布函数/多维分布函数

    joint distribution function,联合分布函数、也称为多维分布函数,多维随机变量的分布函数。

    设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,有二元函数F(x,y):

        F(x,y) = P{(X<=x) 交 (Y<=y)} => P(X<=x, Y<=y),

    称F(X,Y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数。


    几何意义

    如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标,那么联合分布函数F(X,Y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。


    二维离散随机变量X,Y的联合分布函数

                

    则X,Y的概率分布函数一定满足:

                

    7.行列式求导


    注:

    8.离散随机变量的分布律

        分布律描述了离散随机变量取每个值各占的概率

    (end)

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  • 复合函数概率密度 题目:给定X的概率密度fX(x),若Y = ax,a是某个正实数,求Y的概率密度。 遇到这样的问题时不是直接把y代入f(x)然后求,正确的做法是:    PS1:如果a是负实数,则给结论的第一个1/a加上绝

             本总结是是个人为防止遗忘而作,不得转载和商用。


    标量对矩阵求导


            

             第二个等式的原因是

            

     


    复合函数的概率密度


    题目:给定X的概率密度fX(x),若Y = ax,a是某个正实数,求Y的概率密度。

    遇到这样的问题时不是直接把y代入f(x)然后求,正确的做法是:

            

             PS1:如果a是负实数,则给结论的第一个1/a加上绝对值就好。

             PS2:如果Y和X是向量,A是矩阵的话,结论第一个1/a就变成|A|-1,第二个1/a就变成A-1

     

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  • 不过对于统计学专业来说,或者实际应用来说,接触最多的还是离散型和连续型概率,以及分析其概率密度与分布函数。所以说这里的内容可以算是概率论真正的支撑核心和基石。 无论你做数据分析,还是说人工智能方向,这...

    在前面的文章里,已经带大伙了解了概率论的概率事件类型,以及针对某些事件的发生概率,以及针对全部场景的某事件的发生概率等基本知识。不过对于统计学专业来说,或者实际应用来说,接触最多的还是离散型和连续型概率,以及分析其概率密度与分布函数。所以说这里的内容可以算是概率论真正的支撑核心和基石。
    无论你做数据分析,还是说人工智能方向,这是你应该打好的基础中的基础。

    离散型及连续型概率模型的基本定义

    在研究生阶段,或者说在实际的工作阶段,经常可以看到关于连续和离散的讨论。我这里不想过多的讨论这个问题,只是简单的说一下,离散型,就相对于散数列,而连续型本质上是运动变化的连续描述。所以把数学上经常见到的两种不同类型的数据做到一张图表上,就是下面这个样子。

    在这里插入图片描述
    这是一张连续信号和离散信号的表达方式。对于概率来说,由于不存在 <0< 0 的情况,所以其各自的函数图就表现为:

    在这里插入图片描述
    那么根据概率的一般规律或者说属性,那就是针对定义域上的全部事件概率之和为1。那么对于离散型我们就可以知道,

    F{Xxrightmost}=P1+P2+P3++Pn=1F\left \{ X \leq x_{rightmost} \right \} = P_1 + P_2 + P_3 + \cdots + P_n = 1

    即,把每个点的事件概率连续相加;而连续型,则是对函数图像求积分

    F(x)=abf(x)dx=1F(x) = \int_{a}^{b} f(x) dx = 1

    那么,一般在讨论到概率分布函数,即概率累计函数F(X)F(X) 的时候,我们在上面那个概率分布图画一个向左侧覆盖的框。

    在这里插入图片描述
    框里所覆盖的部分,就是对样本事件概率的加和,即:

    F(X)=xkxPkF(X) = \sum_{x_k \leq x} P_k

    所以,从以上不难得出,如果样本覆盖覆盖范围,F(X<x0)F(X < x_0) ,即F(X)F(X)取值范围不包括概率事件最左侧的样本概率,那么得出的累计概率(即分布函数)为0。

    所以很容易求证出以下两条性质:

    • F()=0F(-\infty) = 0
    • F(+)=1F(+\infty) = 1

    什么是概率模型的概率密度与概率分布函数

    我个人不太喜欢从教科书的定义出发去理解概率密度与概率分布函数。既然它们的函数意义与微积分一样,那么不如直接从微积分的定义出发去理解函数的概率密度与概率分布更为方便。

    通常提到概率密度,一般针对连续型的概率。我这里单刀直入,从概率分布函数(概率累加函数)的演算性质,它所对应的就是定积分概念里的求函数面积的过程。因此,从定积分的概念出发,很容易把概率的密度函数,和概率的分布函数统一到定积分里的导函数 f(x)f(x) 与原函数 F(X)F(X)这一概念里。

    当然,对于连续型:

    F(X)=abf(x)dxF(X) = \int_{a}^{b} f(x) dx

    • F(X)F(X) 是定积分里的原函数,也是概率里的分布函数
    • f(x)f(x) 是定积分里的导函数,也是概率里的概率密度函数

    这样,我们把概念统一在一起后,对于理解离散型、连续型概率模型的概率密度与概率分布函数就显然简单太多了,因为我们可以把很多在定积分里,甚至不定积分里适用的工具全都拿到连续概率里,对我们来说无非求“面积/斜率”,显然这里用微积分工具明显更容易理解。

    积分换元法与概率中的换元计算

    直接看公式不是很容易理解,所以我也不是很理解国内的教科书为什么总喜欢跳过重要的基础知识点。这个,是连续型概率的重要知识点。所以我这里补充一些积分换元法的知识点,从而能让你从更为直观的角度理解概率论中连续型概率的换元运算背后的数学逻辑。

    首先从链式法则出发,当一个函数是复合函数 (gf)(x)(g \circ f)(x) 对它的求导,等于:

    F(X)=(gf)(x)=g(f(x))f(x)F(X)' = (g \circ f)'(x) = g'(f(x))f'(x)

    所以针对复合函数的积分,也可以根据导数的链式法则进行扩展,于是有:

    abF(X)dX=αβg(f(t))f(t)dt\int_a^b F(X)' d X = \int_{\alpha}^{\beta} g'(f(t)) f'(t) dt

    只不过需要注意,就是积分项 dXdX 换到了 dtdt,所以导致了积分区域也会跟着一起发生改变。接着,然后我们换一种写法,令F(X)=f(x)F'(X) = f(x), f(t)=φ(t)f(t) = \varphi(t),于是得到了第二类积分换元法,

    abf(x)dx=αβf[φ(t)]φ(t)dt\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t)] \varphi '(t) d t

    这里并不难,难得是对数学符号的理解,你如果反应慢,建议多花点时间看一看,自己手动推导一遍看看。至于关键的 α\alpha β\beta,应该取什么值的问题,这里用到的就是反函数的概念了,即:

    φ(α)=aα=φ1(a)\varphi (\alpha) = a \rightarrow \alpha = \varphi^{-1}(a)
    φ(β)=bβ=φ1(b)\varphi (\beta) = b \rightarrow \beta = \varphi^{-1}(b)

    然后,你再对比一下概率论里提到这部分的章节,是不是就理解了该死的概率换元公式,到底怎么得来的了吧。

    fY(y)=fX(h(y))h(y)f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)|

    除了取绝对,其他简直一模一样。所以,你应该记住这里的概念,之后遇到类似的题目时,这些概念会成为我们解题的重要手段。

    然后,跟其他章节里一样,我们来做点习题吧。

    一些相关例题

    1. 离散型随机变量、分布函数

    盒中有6个球,其中4个白球,2个黑球,从中任取2个球,求:

    • (1)抽到白球数X的分布律
    • (2)随机变量X的分布函数

    解(1)
    所谓分布律,是指每一种样本的概率集合(Distribution),所以先分析白球的样本,X取值范围可以是:0,1,2
    P{X=0}=C40C22C62=115P \left \{ X = 0 \right \} = \frac{C_4^0 C_2^2}{C_6^2} = \frac{1}{15}
    P{X=1}=C41C21C62=815P \left \{ X = 1 \right \} = \frac{C_4^1 C_2^1}{C_6^2} = \frac{8}{15}
    P{X=2}=C42C20C62=615P \left \{ X = 2 \right \} = \frac{C_4^2 C_2^0}{C_6^2} = \frac{6}{15}

    然后绘制样本概率表

    X 0 1 2
    P 1/15 8/15 6/15

    解(2)
    根据上题中的样本概率表,我们可以得出概率累加函数(或者说分布函数)

    即:

    F(X)={0x<01/150x<19/151x<212xF(X) = \left\{\begin{matrix} 0 & x < 0 \\ 1/15 & 0 \leq x < 1 \\ 9/15 & 1 \leq x < 2 \\ 1 & 2 \leq x \end{matrix}\right.

    这里的x并非取值范围。而是x处于坐标轴上什么位置,向左\sum的计算。即:

    在这里插入图片描述

    2. 离散型随机变量函数的分布

    设随机变量X的分布律如下:

    X -1 0 1 2
    P 0.4 0.3 0.2 0.1
    • (1)U=X1U = X - 1 的分布律
    • (2)W=X2W = X^2 的分布律

    解:

    首先计算新分布函数的分布律,根据题目给出的公式,我们有:

    P 0.4 0.3 0.2 0.1
    X -1 0 1 2
    U -2 -1 0 1
    W 1 0 1 4

    所以,我们可以根据上表,分别做出(1)和(2)的分布律

    解(1)

    U -2 -1 0 1
    P 0.4 0.3 0.2 0.1

    解(2)

    W 1 0 1 4
    P 0.4 0.3 0.2 0.1

    这里要稍微调整一下,于是有了:

    W 0 1 4
    P 0.3 0.6 0.1

    3. 连续型的概率密度、分布函数

    设连续型随机变量X的概率密度函数为 f(x)={a+x20x<10elsef(x) = \left\{\begin{matrix} a + x^2 & 0 \leq x < 1 \\ 0 & else \end{matrix}\right.
    (1). 常数 a
    (2). P{X>=0.5}P \left \{ X >= 0.5 \right \}
    (3). 分布函数F(X)

    解(1)

    从概率密度函数的定义出发,我们有:

    f(x)dx=1elsef(x)dx+01(a+x2)dx=1\int f(x) dx = 1 \rightarrow \int_{else} f(x) dx + \int_0^1 (a+ x^2) dx = 1

    根据密度函数f(x)给出的条件,可以知道上式可以简化为:

    01(a+x2)dx=1\int_0^1 (a+ x^2) dx = 1

    然后根据导积分的运算规则,获得原函数为:

    01(a+x2)dx=(ax+13x3)01=1\int_0^1 (a+ x^2) dx = \left. (ax + \frac{1}{3} x^3) \right |_0^1 = 1

    代入上限和下限后,可以得到

    a+13=1a=23a+ \frac{1}{3} = 1 \rightarrow a = \frac{2}{3}

    解(2)
    由于上面已经得到了 a=2/3,所以可以得到概率密度函数为:

    f(x)={23+x20x<10elsef(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{2}{3} + x^2 & 0 \leq x < 1 \\ 0 & else \end{matrix}\right.

    P{X>=0.5}P \left \{ X >= 0.5 \right \} 即求解对于连续型概率,样本大于等于0.5后出现的事件概率,即对概率密度函数求积的过程。于是有:

    P{X>=0.5}=0.5+f(x)dx=0.51f(x)dx+1f(x)dxP \left \{ X >= 0.5 \right \} = \int_{0.5}^{+\infty} f(x) dx = \int_{0.5}^{1} f(x) dx + \int_1^{\infty} f(x) dx

    根据题干给出的条件,可以知道 1f(x)dx=0\int_1^{\infty} f(x) dx = 0,所以问题简化为:

    P{X>=0.5}=0.51f(x)dx=0.51[23+x2]dxP \left \{ X >= 0.5 \right \} = \int_{0.5}^{1} f(x) dx =\int_{0.5}^{1} [\frac{2}{3} + x^2]dx

    然后根据导积分的运算规则,获得:

    P{X>=0.5}=(23x+13x3)0.51=58P \left \{ X >= 0.5 \right \} = \left. (\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} x^3) \right |_{0.5}^{1} = \frac{5}{8}

    解(3)

    我们根据以上各题,可以轻易的得到分布函数F(X)为

    F(X)={0x<023x+13x30x<111xF(X) = \left\{\begin{matrix} 0 & x < 0 \\ \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} x^3 & 0 \leq x < 1 \\ 1 & 1 \leq x \end{matrix}\right.

    需要记住的是 F(X) 与 f(x) 是导数和原函数的关系。

    4. 连续型随机变量函数的分布

    设随机变量X的概率密度为 f(x)={x/80<x<40elsef(x) =\left\{\begin{matrix} x/8 & 0 < x < 4 \\ 0 & else \end{matrix}\right. 求Y = 2X + 8的概率密度。

    f(x) 是关于X的概率密度函数,所以要先得到关于X的分布函数,再更新Y的分布函数,然后对Y求导可以得到Y的密度函数,于是遵从这个思想,我们可以做如下解题过程。

    (1):先从X的密度函数出发,得到关于X的分布函数

    Fx(X)={x2160<x<40elseF_x(X) =\left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{16} & 0 < x < 4 \\ 0 & else \end{matrix}\right.

    (2):从关于Y的分布函数出发,得到关于X的分布函数替代式: X = (Y - 8) / 2 然后带入到上面的公式去:

    Fy(Y)={(Y82)2/160<(Y82)/16<40elseF_y(Y) = \left\{\begin{matrix} (\frac{Y- 8}{2})^2 / 16 & 0 < (\frac{Y- 8}{2}) / 16 < 4 \\ 0 & else \end{matrix}\right.

    (3):对上式化简一下:

    Fy(Y)={(Y82)2/168<Y<160elseF_y(Y) = \left\{\begin{matrix} (\frac{Y- 8}{2})^2 / 16 & 8 < Y < 16 \\ 0 & else \end{matrix}\right.

    (4):对上式求导后,可以得到关于Y的概率密度函数。另外,由于Fy(Y)F_y(Y)是复合函数,所以使用链式法则:

    [(Y82)2/16]=216(Y82)12=Y832[(\frac{Y- 8}{2})^2 / 16]' = \frac{2}{16} (\frac{Y- 8}{2}) \frac{1}{2} = \frac{Y-8}{32}

    于是,

    fy(Y)={Y8328<Y<160elsef_y(Y) = \left\{\begin{matrix} \frac{Y-8}{32} & 8 < Y < 16 \\ 0 & else \end{matrix}\right.

    这里你可以尝试使用一下公式法进行替代,不过我个人比较推荐从定义入手,毕竟这样不容易错。

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    千次阅读 2018-07-28 10:38:58
    ndims(A)返回A的维数 size(A)返回A各个维的最大元素个数 length(A)返回max(size(A)) [m,n]=size(A)如果A是二维数组,返回行数和列数 nnz(A)返回A中非0元素的...MATLAB的取整函数:fix(x), floor(x) :,ceil(x) , ro...
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  • 03 凸函数

    2020-01-29 22:51:28
    03 凸函数 目录 3.1 凸函数的定义、性质(凸函数的判定)、示例 3.2 保凸运算 3.4 拟凸函数 3.5 对数凸函数 3.3 共轭函数 3.6 关于广义不等式的凸性 3.1 凸函数的定义、性质和例子 (一)凸函数的定义&扩展值...
  • 此外注意和逻辑回归之间的联系(习题6.9) 6.7 径向基函数和核 P212 基函数尽管没有局部性,例如truncated-power bases和sigmoidal basis,但是复合函数 f(x)f(x)f(x)仍然可以显示出局部性,通过特定的系数值来消除...
  • 这一节主要学习凸函数的定义以及性质。了解保凸运算,以及上镜图与下水平集等。这些基础知识看似零乱,然而却是后面的基础。特别是,在实际应用中如果我们能把一个问题转化为凸优化问题,是非常好的一步。而能够这样...

空空如也

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复合函数的概率密度