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  • 2021-05-08 06:20:18

    课程教育研究 教育研究 一 种快速理解抽象复合函数的作图方式 刘真 宇 (元济高级 中学 浙江 嘉兴 330424) 【摘要1在一般的数学检测及高考试卷的选择、填空题的最后两题有时出现以复合函数为载体的函数题.这样的题 目往往较为 抽象.考验学生的想象能力和分析能力.笔者在学习过程中发现了一种能通过作图建立有形的坐标 系图像快速而准确分析复合函 数的性质的方法.我称之为二次坐标 系法 .与诸位分享。 【关键词】抽象 复合函数 i中图分类号]G633.6 【文献标识码】A 【文章编号]2095-3089(2017)29-0051-01 例 一 :已知 函数 f(x)=3+2x一)【2,函数 g(x)= ,函数 h(x) =fi2一)(2)下列说 法正确的是 ( ) A、g(x)与 h(x)值域相同,增减性不同 B、g(x)与 h(x)值域不 同,增减性相 同 C、g(x)与 h(X)值域和增减性都不同 D、g(x】与 h(x)为相 同的函数 该题主要考查复合函数的值城和单调区间.虽然较简单但 是不 失为一道经典例题 .我 们只需要作二次 坐标 系来定量分析 单调区间即可。由下图分析得.选A. , l ‘y ‘ ‘, / / \l\ { . \一 ~ 7 9 瞳 一\ (2.o) 。 (一oo,一1】 (一1'oJI(0,IJ 0,2J l(2,3Jf(3,佃) y=x 1、 I v=2X2 l下 g( =f(x ) 个 J, 1个 h(x)=,(2一 ) 个 I t l J, 从这道 简单的题可 以初 窥这个方法的魅力 .接 下来我再 来 给出两道较为复杂的例题 例二:函数 :i I1o ( l(x>1、 , 则关于 的方程 +1 【一(x一2)+2 x≤1) X 一 2)=a的实数根 个数可能为? 解 :f(x+l -2)~复合函数 , 则设 内层 函数 为 g(x)=x+l_一2, 外层函数为fix):f l 。岛( 一x)I(x> ) 【一(x一2)A2+2(x≤1) 作二 次坐标 系: ’ 曲唾,t — — — 一 一, 2 . :‘k k⋯h ⋯ · ●_·,-~⋯⋯ O《x~1 ⋯’:一 — : 嘲 \ / }j{ 则在左边的坐标系内作a取特殊值的直线y=a.对应右边 的坐标 系。可得不同a取值时根的数量:a>2时,X有 4解;a=2 时。x有 6解;2>a>l时,x有 8解;a=l时,x有 7解;l>a>0时,x 有 4解:a=O时x有 3解;a<0时,X有 2解。 综上所述 :实数根 可能的个数 为 2、3、4、6、7、8。 例三:已知函数 :J【。(x U) 若函数f(x+ +a)有六个 (x+1)。(x

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    目录

    复合函数的极限运算法则

    复合函数的连续性


    大背景:复合函数极限的运算法则这一节中,着重介绍的是函数极限的运算,故在这节中考虑的是函数极限的存在,并没有去涉及到后面所讲到的复合函数的连续性。

    复合函数的极限运算法则

    解释

    简单总结:满足以上条件时,复合函数的极限是外函数的极限

    几何示意图

    说明为什么定义中是g(x)u0所举的反例
    例子:
    g(x)=1 (x∈R),f(u)为分段函数:当u≠1时,f(u)=u;当u=1时,f(u)=2,
    取x0=1,则u0=1,【g(x)=u0】=1,lim(u→1)f(u)=1=A,lim(x→1)f(g(x))=f(1)=2,而2≠1,
    即lim(x→1)f(g(x))≠A,即定理6的结论不成立。
    所以,一定要有条件“g(x)≠u0”。

    复合函数的连续性

    之前复合函数极限的计算中,并不考虑外函数在u0处是否有定义,仅仅考虑在u0处是否有极限,而复合函数的连续性则考虑f(u)在u0处连续

    总结:连续的复合函数的极限可以由内函数求极限后代入外函数计算得到

    推论:连续函数的复合函数仍然为连续函数

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  • 【数学知识】函数与复合函数编程实现1、函数定义多项式指数函数与对数函数正弦函数2、复合函数 本博客适合高中学生入门编程知识学习,从高中的数学概念转换到其python实现,提高自身对编程的学习兴趣。 import numpy...

    【数学知识】函数与复合函数编程实现

    本博客适合高中学生入门编程知识学习,从高中的数学概念转换到其python实现,提高自身对编程的学习兴趣。

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    %matplotlib inline
    # 在jupyter notebook显示图片
    

    1、函数定义

    我们可以将函数(functions)想象成一台机器f ,每当我们向机器提供输入x,这台机器便会产生输出y。

    这台机器所能接受的所有输入x的集合称为定义域(domain),其所有可能输出y的集合称为值域(range)。函数的定义域和值域有着非常重要的意义,如果我们知道一个函数的定义域,便不会将不合适的输入丢给函数;知道函数的值域,便能判断一个值是否可能是这个函数所输出的。

    多项式

    # 多项式
    # 初中:一元一次函数 y = k*x+b
    def f1(x):
        y = 2*x+3  # k=2, b=3
        return y
    
    
    x = 100
    print(f1(100))
    
    203
    

    三次多项式:

    f ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 9 f(x)=x^3-5x^2+9 f(x)=x35x2+9

    # 三次多项式
    def f3(x):
        return x**3 - 5*x**2 + 9  # *:乘号 **:求次方
    
    # 画图
    x = np.linspace(-100, 100, num = 1000)
    y = f3(x)
    plt.plot(x,y)
    

    结果如下:
    在这里插入图片描述

    # 5次多项式
    def f5(x):
        return 5*x**5+4*x**3+x**3 - 5*x**2 + 9  # *:乘号 **:求次方
    
    y = f5(x)
    plt.plot(x,y)
    

    在这里插入图片描述

    指数函数与对数函数

    两个常用的常数:

    欧拉常数e
    e = 2.718281828459045 e = 2.718281828459045 e=2.718281828459045
    圆周率pi
    π = 3.141592653589793 \pi = 3.141592653589793 π=3.141592653589793

    # 欧拉常数e
    print(np.e)  # e=2.71828
    # pi
    print(np.pi)  # pi=3.1415926
    
    # 指数函数
    def exp(x):
        y = np.e**x  # np.e 就是欧拉常数
        return y  # y>0
    
    y = exp(x)
    plt.plot(x,y)
    

    结果如下:
    在这里插入图片描述

    print(exp(0))
    
    1.0
    
    print(exp(-10000))
    
    0.0
    

    e x e^x ex的本质:
    e x = x 0 / 0 ! + x 1 / 1 ! + x 2 / 2 ! + x 3 / 3 ! + . . . + x n / n ! e^x={x^0}/{0!}+{x^1}/{1!}+{x^2}/{2!}+{x^3}/{3!}+...+{x^n}/{n!} ex=x0/0!+x1/1!+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!

    对数函数是指数函数的反函数
    如果 y = e x y=e^x y=ex
    那么 x = l n ( y ) x=ln(y) x=ln(y), y>0

    x = np.linspace(0.0001,100,1000,endpoint = False)
    y1 = np.log2(x)  # 以2为底
    y2 = np.log(x)   # 以e为底
    y3 = np.log10(x)  # 以10为底
    plt.plot(x,y1,'red',x,y2,'yellow',x,y3,'blue')
    

    在这里插入图片描述

    正弦函数

    正弦函数:
    y = s i n ( x ) y = sin(x) y=sin(x)
    以及它的变形
    y = A s i n ( ω x + θ ) y = Asin({\omega}x+\theta) y=Asin(ωx+θ)

    x = np.linspace(-10, 10, num = 1000)
    y = np.sin(x)
    plt.plot(x,y)
    

    结果如下:
    在这里插入图片描述

    余弦函数:
    y = c o s ( x ) = s i n ( x + π / 2 ) y = cos(x)=sin(x+{\pi}/2) y=cos(x)=sin(x+π/2)
    以及它的变形
    y = A c o s ( ω x + θ ) y = Acos({\omega}x+\theta) y=Acos(ωx+θ)

    y1 = np.sin(x)   # sin(x)
    y2 = np.cos(x)  # cos(x)
    plt.plot(x,y1,'red',x,y2,'blue')
    

    下图中红色为sin(x),蓝色为cos(x):
    在这里插入图片描述

    2、复合函数

    函数 f ( x ) f(x) f(x) g ( x ) g(x) g(x)的复合 f g ( x ) fg(x) fg(x):,可以理解为首先将输入 x x x给函数 g ( x ) g(x) g(x)获得输出y1后将其进而输入给函数 f ( x ) f(x) f(x),最终获得结果 y y y。例如:

    f ( x ) = 1 / x f(x) = 1/x f(x)=1/x

    g ( x ) = e − x + 1 g(x) = e^{-x}+1 g(x)=ex+1

    f g ( x ) = f ( g ( x ) ) = 1 / ( 1 + e − x ) fg(x) = f(g(x)) = 1/(1+e^{-x}) fg(x)=f(g(x))=1/(1+ex)
    这个复合函数实际上是 s i g m o i d ( x ) sigmoid(x) sigmoid(x)
    链式法则是微积分中的求导法则,用于求一个复合函数的导数
    采用复合函数表示十分复杂的函数,有利于我们进行求导运算!
    同时,在编程过程中,采用复合函数,将一个复杂的问题分解为若干个阶段的函数,有利于编程调试,容易发现逻辑错误!

    def f(x):
        y = 1/x
        return y
    
    def g(x):
        y = np.exp(-x)+1
        return y
    
    # 这是一个复合函数
    def sigmoid(x):
        return f(g(x))
    
    x = 1
    print(sigmoid(x))
    
    0.7310585786300049
    
    x = np.linspace(-10, 10, num = 10000)
    y = sigmoid(x)
    plt.plot(x,y)
    

    在这里插入图片描述

    另一个常用的复合函数 s o f t p l u s ( x ) softplus(x) softplus(x)

    f ( x ) = l o g ( x ) f(x) = log(x) f(x)=log(x)

    g ( x ) = 1 + e x g(x) = 1+e^x g(x)=1+ex

    f g ( x ) = f ( g ( x ) ) = l o g ( 1 + e x ) fg(x) = f(g(x)) = log(1+e^x) fg(x)=f(g(x))=log(1+ex)

    def f(x):
        y = np.log(x)
        return y
    
    def g(x):
        y = np.exp(x)+1
        return y
    
    # 这是一个复合函数
    def softplus(x):
        return f(g(x))
    
    x = 1
    print(softplus(x))
    
    1.3132616875182228
    
    x = np.linspace(-10, 10, num = 10000)
    y = softplus(x)
    plt.plot(x,y)
    

    在这里插入图片描述
    【作者简介】陈艺荣,男,目前在华南理工大学电子与信息学院广东省人体数据科学工程技术研究中心攻读博士,担任IEEE Access、IEEE Photonics Journal的审稿人。两次获得美国大学生数学建模竞赛(MCM)一等奖,获得2017年全国大学生数学建模竞赛(广东赛区)一等奖、2018年广东省大学生电子设计竞赛一等奖等科技竞赛奖项,主持一项2017-2019年国家级大学生创新训练项目获得优秀结题,参与两项广东大学生科技创新培育专项资金、一项2018-2019年国家级大学生创新训练项目获得良好结题,发表SCI论文4篇,授权实用新型专利8项,受理发明专利13项。
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  • compose函数指的是,将需要嵌套执行的函数平铺。而嵌套执行指的是,一个函数的返回值将作为另一个函数的参数。 而compose函数的作用是,实现函数编程中的Pointfree,使我们专注于转换而不是数据。 let add = x =...

    compose函数指的是,将需要嵌套执行的函数平铺。而嵌套执行指的是,一个函数的返回值将作为另一个函数的参数。

    而compose函数的作用是,实现函数编程中的Pointfree,使我们专注于转换而不是数据

     

    let add = x => x + 10;
    let multiply = y => y*10;
    
    let compose = function(){
    	let args = [].slice.call(arguments);
    	return function (x){
    		return args.reduceRight(function(res,cb){
    			return cb(res);
    		},x)
    	}
    }
    
    let calculate = compose(multiply,add);
    calculate(10);//值为200

    那么这里我们需要先掌握的基础有。

    一:[].slice.call(arguments)原理解析

    1.slice 用来将 array-like 对象转换为 true array。

    2.call()方法

    function func(name, price) {
      this.name = name;
      this.price = price;
    }
    var food = {name:"apple",price:10};
    func.call(food,"orange",15);
    console.log(food); // {name: "orange", price: 15}
    // 调用call方法传入的参数比原方法多一个参数,简单来说,call方法的作用就是:用call方法的第一个参数代替func方法内部的this,其他参数为原func方法的参数。

    我们写一个具体的例子来帮助理解:

    var args = []; 
    var obj = {0:"www",1:"jianshu",2:"com",length:3};
    for (var i = 0; i < obj.length; i++) { 
        args.push(obj[i]);
    }
    console.log(args);  //["www","jianshu","com"]
    //等价于以下的写法
    console.log([].slice.call(obj));  //["www","jianshu","com"]

    二:reduceRight原理解析

    reduceRight和reduce其实就是一个是降序,一个是升序。即一个是从数组最后一个开始从前,一个是从数组第一位开始从后。

    我们直接拿reduce来说:

    array1.reduce(callbackfn,[initialValue])
    
    //array1 必需。一个数组对象。
    
    //callbackfn 必需。一个接受最多四个参数的函数。对于数组中的每个元素,reduce 方法都会调用 callbackfn 函数一次。
    
    //initialValue 可选。如果指定 initialValue,则它将用作初始值来启动累积。第一次调用 callbackfn 函数会将此值作为参数而非数组值提供
    
    //返回值为最后一次调用回调函数callbackfn获得的累计结果

    而回调函数callback

    function callbackfn(previousValue, currentValue, currentIndex, array1)
    
    //previousValue 通过上一次调用回调函数获得的值。如果向 reduce 方法提供 initialValue,则在首次调用函数时,previousValue 为 initialValue。
    
    //currentValue 当前数组元素的值。
    
    //currentIndex 当前数组元素的数字索引。
    
    //array1 包含该元素的数组对象。

    第一次调用回调函数

    在第一次调用回调函数时,作为参数提供的值取决于 reduce 方法是否具有 initialValue 参数。

    如果 reduce 方法提供 initialValue:

    previousValue 参数为 initialValue。

    currentValue 参数是数组中的第一个元素的值。

    如果未提供 initialValue:

    previousValue 参数是数组中的第一个元素的值。

    currentValue 参数是数组中的第二个元素的值。

     

    上述reduceRight理解部分来自于CSDN博主「Simon_ITer」的原创文章
    原文链接:https://blog.csdn.net/simoniter/article/details/52013660

     

    我们再次结合我们的compose函数

    let add = x => x + 10;
    let multiply = y => y*10;
    
    let compose = function(){
    	let args = [].slice.call(arguments);
    	//arguments是function没有定义却实际传入的参数[ps:add和multiply方法]
    	//上述代码将arguments转换为数组使用
    	console.log(args);//[y => y*10,x => x + 10]
    	return function (x){
    		//x为传入的参数10
    		return args.reduceRight(function(res,cb){
    			// res为上一次调用回调函数获得的值,初始化为下面的x,即首次传入的10
    			// cb当前数组元素的值,即函数add或multiply
    			return cb(res);
    		},x)
    		//这里的x作为reduceRight首次调用时的初始值调用,供res使用
    	}
    }
    
    let calculate = compose(multiply,add);
    calculate(10);

    最终的值200便是我们所要得出的值。

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空空如也

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复合函数的理解