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    复合函数的极限运算法则

    复合函数的连续性


    大背景:复合函数极限的运算法则这一节中,着重介绍的是函数极限的运算,故在这节中考虑的是函数极限的存在,并没有去涉及到后面所讲到的复合函数的连续性。

    复合函数的极限运算法则

    解释

    简单总结:满足以上条件时,复合函数的极限是外函数的极限

    几何示意图

    说明为什么定义中是g(x)u0所举的反例
    例子:
    g(x)=1 (x∈R),f(u)为分段函数:当u≠1时,f(u)=u;当u=1时,f(u)=2,
    取x0=1,则u0=1,【g(x)=u0】=1,lim(u→1)f(u)=1=A,lim(x→1)f(g(x))=f(1)=2,而2≠1,
    即lim(x→1)f(g(x))≠A,即定理6的结论不成立。
    所以,一定要有条件“g(x)≠u0”。

    复合函数的连续性

    之前复合函数极限的计算中,并不考虑外函数在u0处是否有定义,仅仅考虑在u0处是否有极限,而复合函数的连续性则考虑f(u)在u0处连续

    总结:连续的复合函数的极限可以由内函数求极限后代入外函数计算得到

    推论:连续函数的复合函数仍然为复合函数

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  • 实验5:复合函数

    千次阅读 2016-12-18 07:10:24
    实验5:定义任意的复合函数理解:一个策略选择融为另外一个策略选择的一部分。桥接和装饰模式。

    实验5:定义任意的复合函数。

    理解:一个策略选择融为另外一个策略选择的一部分。桥接和装饰模式。


    数学中的函数y = f(x),其中 f 表示从x到y的映射。函数的映射方式无穷无尽,如

    f(x) = x+1
    f(x)= x *x
    f(x) = (x+1)* (x+1) //这是一个函数,不是复合函数

    对映射f的抽象(简化起见,f设为一元函数,参数为int),对参数x进行某种操作并返回一个int,由函数接口F封装,Test与F构成策略模式。函数接口F的实现类定义进行何种具体的操作,为了给不熟悉lambda表达式的读者增加依靠感,可以编写F的独立子类如Y1描述了f(x)= x *x。

    package chap4.compositeFunction;
    @FunctionalInterface
    public interface F {//IntUnaryOperator
       public int f(int x) ; 
    }//Y1: return  x *x;
    
    import static yqj2065.util.Print.*;
    public class Test{ //FContext
        //参数化F
        public static int eval(F y, int x) { //函数y作用于x一次
            return y.f(x);
        }
        public static void test() {
            F y = x -> x + 1;
            int r = eval(y, 2);       pln(r);// r =y.f(2);
            int r2 = eval(x -> x + 1, 2);        pln(r2); //F对象直接作为实参
            int r3 = eval(x -> x*x, y.f(2)); pln(r3);
            int r4 = eval(x -> x*x, eval(x -> x + 1, 2)); pln(r4);        
        }    
    }  
    
    

    当定义了F对象x -> x + 1——即数学函数f(x) = x+1后,可以直接利用y.f(2)求值,也可以调用eval(y, 2)。观察求值函数eval(F, int),可以将一个数学函数的计算结果(一个int值),作为另外一个函数的第2个参数,如语句

    eval(x -> x*x, eval(x -> x + 1, 2))

    求值过程为:2为实参求值f(x) = x+1,以结果3为实参求值f(x) = x*x。

    2.复合函数g(f(x))

    1. 代入法

    定义复合函数h(g(f(x))),最简单的方式是按照从内到外的顺序来进行,首先定义函数f(x)是什么,然后再使用f(x)去定义g(f(x))。这种代入的方式十分自然。例如,

        public static void compsiteTest(){
            F y = x -> x + 1; //函数 y = x+1
            F comp = x -> y.f(x) * y.f(x);// comp =y*y
            int r =comp.f(2); pln(r);
        }

    这段代码中定义了策略F的多个实现y和comp,前面定义的实现即y,参与到后面定义的实现即comp中。在多次使用策略F的时候,comp对象将多个策略选择串接起来。注意:将多个策略选择串接起来并不意味着获得的策略F的对象是展开后的x*x+2x+1,而是y*y(其中y = x+1)。这段代码中程序员手工将多个策略选择串接起来(将两个函数进行复合)。

    2. F的复合方法

    可以在F接口中定义一个默认方法用于函数复合,程序员可以先定义一系列F对象,再按照任意的顺序和次数加以复合。

       public default F com(F y) {

            return (int x) -> this.f(y.f(x));

       }

     

    3. 更高级的函数接口G

    在F的基础上,可以定义更高级的函数接口G。F定义了函数映射int→int,而G定义了函数的复合映射F→F。

    package chap4.compositeFunction;
    @FunctionalInterface public interface F{ //  IntUnaryOperator 
        public  int f(int x);
        public default F com(F y) {
            return (int x) -> this.f(y.f(x));
       }
       F identity = x->x;
    }
    package chap4.compositeFunction;
    @FunctionalInterface public interface G {
       public F com(F y); 
    }
    
    class Z1 implements G{
        @Override  public F com(F y){
            return (x) -> y.f(x) * y.f(x);
        }
    }
    

    G的抽象方法和F的默认方法com(F )的区别是:F的默认方法表示将本对象的运算方式用于参数对象,得到一个复合的F对象;而G的抽象方法,用于创建数学表示g(f(x))中的g对象,表示G的实现类将给出某种运算方式,并用于参数对象。

    可以定义一系列F对象,使用F的默认方法com(F )按照任意的顺序加以复合;也可以定义一系列G对象,使用G对象的复合规则com(F ) 按照任意的顺序加以复合。

    通常,G的实现类不会被编写成独立的类,而是使用lambda表达式创建G的实现类对象。

            G z = y -> {

                return (x) -> y.f(x) * y.f(x);//z = y * y

            };//或者

            G z = y -> x -> y.f(x) * y.f(x);

    外层的λ表达式,定义了对于任意的函数y的复合方式y*y,其返回值为内层的λ表达式,即(x) -> y.f(x) * y.f(x)。

    复合函数的最后一步,都需要一个F对象如作为落脚点。可以在接口F中预定义一个命名常量如恒等函数F.identity作为固定的F。

    //例程 4 12 Test中的各种测试
        public static void fTest(){
            F y = x -> x + 1; //函数 y = x+1
            F comp = x -> y.f(x) * y.f(x);//comp =y*y
            int r =comp.f(2); pln(r);//9
    
            F z = x -> x * x;        
            F composeF = y.com(z);//y +1,y=x * x
            pln(composeF.f(2));//2*2+1
            composeF = z.com(y); // x * x
            pln(composeF.f(2));//2*2+1  
    
        } 
        public static void gTest(){
            G z = new Z1();//z = y*y
            F f = x -> x + 1;
            F comp = z.com(f);
            int r =comp.f(2);pln(r);
    
            G h = y -> x -> y.f(x) * y.f(x) + 2 * y.f(x);//
            G g = y -> x -> y.f(x) * y.f(x);
            G w = y -> x -> y.f(x)+1;
            comp = h.com(g.com(z.com(F.identity)));
            comp = z.com(g.com(h.com(F.identity)));
            pln(comp.f(2));
        }
    

    理解其计算过程,非常重要的一点是,λ表达式只是一个引用,正如创建一个String对象"hello"并不会执行"hello"..startsWith("h")一样,λ表达式的函数体并不会执行。

    为了观察执行过程,建议在代码中增加打印语句:

     

            G z = y -> {
                pln("z:" + y);
                return (x) -> {
                    pln("in z: x=" + x);
                    int i = y.f(x);
                    pln("in z: i=" + i);
                    return i * i;
                };
            };

     

    另外,可以使用通用函数接口替代F、G。

    //import java.util.function.*;
    
       public static void main(String[] a) {
    //        G z = y -> x -> y.f(x) * y.f(x);
            Function<IntUnaryOperator,IntUnaryOperator> g3 = y ->  x -> y.applyAsInt(x) * y.applyAsInt(x);
            IntUnaryOperator op =x -> x + 1;
    //        F y = x -> x + 1;
            pln(g3.apply(op).applyAsInt(2));
    
        }

    或者:

        public static void main(String[] a) {
            Function<Integer, Integer> f = x -> x + 1;
            Function<Integer, Integer> g = x -> x * x;
            pln(g.compose(f).apply(2));
    
        }

     

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  • 011 复合函数的极限运算法则

    千次阅读 2017-09-23 17:46:39
    011 复合函数的极限运算法则

    011 复合函数的极限运算法则


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  • 复合函数、λ表达式以及高阶函数

    千次阅读 2009-07-26 06:30:00
    本文主要描述复合函数、λ表达式、高阶函数的一些基本概念以及它们之间的一些关系。示例代码将以Python作为主要编成语言。 首先简单地谈谈什么是函数。对于基本的面向过程以及函数式编程语言而言,可以直接用集合论...

    本文主要描述复合函数、λ表达式、高阶函数的一些基本概念以及它们之间的一些关系。示例代码将以Python作为主要编成语言。

     

    首先简单地谈谈什么是函数。对于基本的面向过程以及函数式编程语言而言,可以直接用集合论中的函数概念加以描述。如果是面向对象的话,但使用朴素集合论中的函数概念去描述还显得不够,基本上要用到范畴(Category)论中的态射(Morphism)进行描述。而对于函数式编成语言而言,通过集合论的函数概念进行描述就显得更为适宜。

     

    首先简单地介绍一下什么是函数。函数首先是一种关系。为了方便描述,后面将主要针对二元关系进行讲解,即可理解为一个输入,一个输出。

    函数定义:设A和B是两个任意集合,f是从A到B的二元关系。若f具有性质:

    (1)f的定义域Dom f = A,

    (2)如果有(a1, b1), (a1, b2)属于f,那么b = b2, (注:a1属于集合A,b1、b2属于集合B)

    则称关系f是从A到B的函数,记为f:A->B。

     

    根据函数基本定义,我们下面可以举两个基本函数的例子:

     

    在上述代码中,sum和mul都是函数。sum: Z->Z, mul: Z->Z,其中,Z为整数集。也就是参数x为整数,而返回值亦是整数。

     

    有了函数的一个基本定义,那么后面我们可以容易地引入复合函数这一概念:

    设g: A->B, f: B->C,定义复合函数f○g为:f○g={(a, c)| a属于A, c属于C,且存在b属于B,使b=g(a),c=f(b)},称f○g是从A到C的复合函数,记为f○g: A->C。对a属于A,有(f○g)(a) = f(g(a))。

     

    根据定义描述,我们下面将举一个复合函数的例子。

    上述代码中,compFunc在表现形式上可看作为:mul○sum。尽管mul和sum的输入和输出都是整数,不过为了方便描述,我们假定sum: A->B,mul: C->D,由于这里集合B是集合C的子集(各位可以思考一下如果假定集合C是集合B的子集是否可以),所以关系compFunc仍可构成函数关系。compFunc: A->D。

    首先,A通过sum函数映射到B,然后B通过mul函数再映射到D,所以compFunc可表现为:mul(sum(a)),a为集合A的一个元素。

     

    OK,有了基础概念之后我们就可以看看lambda表达式了。在函数式编成语言中,λ实际上就是指一个函数。不过它的一个特点就是,对于一个lambda而言,它所对应的是一个函数集中的某一个元素。我们看看下面一个简单的例子:

    上述代码中,lambdaFunc的函数关系可被表达为:lambdaFunc: A->F,A是整数集,F是一个函数集。集合F的元素这里可记为:{λ1, λ2, ...}。其中,元素的下标为labmdaFunc的输入。

    由于对于lambdaFunc中的lambda而言,这个lambda受到lambdaFunc输入参数n的制约。因此对于不同的输入n就会映射到F集中不同的lambda元素。而对于某一个函数lambdaε(ε为下标),lambdaε: B->C。lambda的输入参数x属于集合B,而其返回值则属于集合C。因此对于整个表达式lambdaFunc(10)(20)而言,就是(10属于A)通过lambdaFunc映射到(lambda(10)属于F);再由(20属于B)通过lambda(10)最后映射到(30属于C)。因此val的值就是30。

    如果将lambdaFunc(10)抽象掉的话,即

      

    那么aFunc实际上就可以视为一个复合函数:

    这里,我们可以将lam(10)中的“10”视为:B->B这样的形式。

     

    下面将描述高阶函数。

    在《程序设计语言——实践之路》第二版汉化版中的第545页中讲述了高阶函数的概念:如果一个函数以函数作为实在参数,或者返回函数作为值,那么它就是一个高阶函数(high-order function),也称为函数形式。

    下面的例子描述了一个比较简单的高阶函数:

      

    我们来看一下HighOrderFunction:

    HighOrderFunction: Ο->F,其中Ο表示空集,F为函数集lambda(f, g)。我们这里看到lambda(f, g)有两个输入参数,为了方便描述,我们将(f, g)作为一个关系对而看成一个输入源。设R为一个函数关系对集,(f, g)为其中一个元素,那么有lambda(f, g): R->G。设G为一个函数集,lambda(x)是其中一个元素。lambda(x): A->C。

    我们可以看到高阶函数实际上隐藏了两个或两个以上的lambda。

     

    下面给出完整的示例:

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