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  • 复合函数解法
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    2020-12-20 10:50:24

    【2017年整理】多元函数求导经典例题

    多元函数习题课;一 学习要求;(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要和充分条件,了解全微分形式不变性;;偏导数的应用;二、主要内容;全微分的应用;1.区域;(3)n维空间;2.多元函数概念;3.多元函数的极限;说明:;5.多元函数的连续性;6.闭区域上连续函数的性质;7.偏导数概念;;;8.高阶偏导数;9.偏导数在经济上的应用:交叉弹性;即;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;10.全微分概念;多元函数连续、可导、可微的关系;11.全微分的应用;12.复合函数求导法则;;13.全微分形式不变性;隐函数的求导公式;;15.多元函数的极值;多元函数取得极值的条件;;;条件极值:对自变量有附加条件的极值.;三、典型例题;解;解;解 (1);解;解:;解:;思考与练习;解法2 令;解法3 令;2 函数的连续性、可导、可微等;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;矛盾;练习:教材P221 T13;多元函数连续、可导、可微的关系;解:;解:;解:;例9;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;强调:;解;例11;例12. 设;例13;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;5 二重积分对称问题;测 验 题 ;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;测验题答案;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

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    复合函数其主要有以下几个题型:题型一已 知 函 数 y =f( x)的 解 析 式,求 函 数 y =f[ g( x)]的解析式解法:将函数 y = f( x)中的全部 x都用 g( x)来代换,即可得到复合函数 y = f[ g( x)]的解析式 ....

    复合函数其主要有以下几个题型:

    题型一

    已 知 函 数 y =f( x)的 解 析 式,求 函 数 y =f[ g( x)]的解析式

    解法:将函数 y = f( x)中的全部 x都用 g( x)来代换,即可得到复合函数 y = f[ g( x)]的解析式 .

    例 1 若 f(x)= 3x+ 1,g(x)= x2,则 f{f[g(x)]}= .

    f{f[ g( x)]}= f[3g( x)+ 1] = 3[3g( x)+ 1]+ 1

    =9g( x)+ 4 = 9x2+ 4.

    题型二

    已 知 函 数 y =f[ g( x)]的解析式,求函数 y =f( x)的解析式 .

    解法:令 t = g( x),由此解出 x = h( t),求出以 t为自变量的函数 y = f( t)的解析式 .因为y = f( t)和 y = f( x)为同一函数,所以将函数 y = f( t)中的全部 t都换成 x,即可得到函数 y =f( x)的解析式 .

    例 2 若 f(3x + 1)= 6x +4,则 f( x)= .

    令 t = 3x + 1,则 x =(t- 1)/3 ,∴ f( t)= 6 × (t- 1)/3 + 4 =2t+ 2.

    ∴ f( x)= 2x + 2.

    题型三

    已 知 函 数 y =f[ g( x)]的解析式,求函数 y =f[ h( x)]的解析式 .

    解法:利用题型二,由函数 y = f[ g( x)]的解析式,可求出函数 y = f( x)的解析式,再利用题型一,由函数 y = f( x)的解析式,可求出函数 y = f[ h( x)]的解析式 .

    例 3 若 f(2x - 1)= 4x2 + 1,则 f( x + 1)=

    令 t = 2x - 1,则 x =(t+ 1)/2,

    ∴ f( t)= 4 ×[(t+ 1)/2]2 + 1=( t+ 1) 2+ 1,

    ∴ f( x)=( x + 1)2 + 1,

    ∴ f(x + 1)=[(x + 1)+ 1]2 + 1 = x2 + 4x + 5.

    题型四

    利用待定系数法求函数的解析式 .

    例 4 若 f( x)为一次函数,f(2x+ 3)+ f(- x)=x+ 2,则 f( x)= .

    令 f(x)= ax+ b,

    则 f(2x+ 3)= a(2x+ 3)+ b= 2ax + 3a + b,f(- x)= - ax + b.

    由f(2x+3)+ f(- x)= 3x+ 2知,(2ax+3a+ b)+(- ax+b)= 3x + 2,

    即 ax + 3a + 2b = 3x + 2.显然,a = 3,解得 3a + 2b = 2 ,b = -7/2.

    ∴ f( x)= 3x -7/2.

    题型五

    利用解方程组求函数的解析式 .

    例 5 若f(x)+2f(-x)=x2-x,求f(x)解析式

    f(-x)+2f(x)=x2+x (1)

    f( x)+2f(-x)=x2-x (2)

    2*(1)式-(2)式整理得:3f(x)=x2+3x 所以f(x)=(x2+3x)/3

    追问:

    要的不是复制,这些我都看过,麻烦你仔细看一下

    作业帮用户

    2017-10-25

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    6c0a0adef10d1043fa4f41a7897345ed.png

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  • 原标题:大学高等数学:第二章第四讲几类复合函数求导法,真该学习下上节课我们讲到了导数的四则运算法则及复合函数的微分法则,里面基本初等函数导数表(微分表),一定要理解并掌握,只有理解并掌握基本初等函数的...

    原标题:大学高等数学:第二章第四讲几类复合函数求导法,真该学习下

    上节课我们讲到了导数的四则运算法则及复合函数的微分法则,里面基本初等函数导数表(微分表),一定要理解并掌握,只有理解并掌握基本初等函数的导数,才能更加更好的学习复合函数的求导。

    说到复合函数的求导我们高中数学其实也学过,并且一些基本的知识点也已经很好的掌握了,但是大学高等数学中复合函数的求导如果只是采用高中数学学习的复合函数的有关知识来解题是远远不够的,接下来我们进去我们今天要学习的内容。

    由复合函数求导法则导出的几类函数的微分法

    (一)幂指数函数f(x)^g(x)的求导数(微分)法设y=(1+x^2)^arctanxx,求y‘

    解法(1)将函数化为y=e^arctanxln(1+x^2),然后对x求导得

    y’=[arctanxln(1+x^2)]‘(1+x^2)^arctanx

    =(1+x^2)^arctanx[ln(1+x^2)/(1+x^2)+2xarctanx/(1+x^2)]

    解法(2)在等式两边取对数有lny=arctanx*ln(1+x^2),两边对x求导得

    y'/y=ln(1+x^2)/(1+x^2)+2xarctanx/(1+x^2)

    所以 y’=(1+x^2)^(arctanx-1)[ln(1+x^2)+2xarctanx]

    (二)反函数求导法定理:设y=f(x)在区间D1内可导且f‘(x)≠0,值域为区间D2,则y=f(x)的反函数x=φ(y)在D2可导且

    φ’(y)=1/f‘(x)

    若已知反函数存在且可导,则反函数的导数可由复合函数法则求出:

    设y=f(x)的反函数x=φ(y),则

    d(y)/dy=df(x)/dy=f’(x)*dx/dy→1=f‘(x)dx/dy

    因此 dx/dy=1/f’(x)=1/y‘

    若又设f(x)在区间D1二阶可导,可再用复合函数求导法则求二阶导数,即

    2d4402b93a8fd81f7eddfdb6a7284384.png

    (三)由参数方程确定的函数的求导法

    1fc73eb7ebe7fa5701cf72eabd9a6bd3.png

    fcbdc65661a7886c89585d4d4f9aa297.png这里面求d^2y/dx^2时一定要注意自变量到底是t,还是x,这是易错点也是经常考的点,因为小编是14年底考研的,对于参数方程的考察可以这么说,每年必考,送分题不拿白不拿。

    (四)变限积分的求导法

    cda68d68aa848368944b58d6a6e24d82.png(五)隐函数微分法原理:设有二元方程F(x,y)=0(如x^2+y^2=1,x-y+1/2siny=0),若在区间I上存在函数y=y(x)满足F(x,y(x))=0,则称这个函数y=y(x)为方程F(x,y)=0在区间I上确定的隐函数。若它可导,则由F(x,y(x))=0及复合函数求导法则可求得y’或dy所满足的方程,再解出y‘或dy即可。将y’的表达式或y‘满足的方程再对x求导,由复合函数求导法可求得y“

    c794a33a89c46cf42f338da9d9faa225.png其实说白了对于隐函数的求导,只要会提取要求的公因式,计算细心的,一般问题不大。

    注意:求隐函数的导数时,求解过程中若能用方程将结果化简时应尽量化简,特别是当题目要求再计算隐函数的二阶导数时,化简往往会给后面的计算带来方便。在对于复合函数的隐函数求导中

    [f'(x+y)]'≠f"(x+y),而应是[f'(x+y)]'=f"(x+y)*(1+y')

    今天的复合函数求导法则的几类函数微分法到这里就讲解完了,如果有不明白或者不太清楚的可以在下方评论区留言,小编看到会第一时间回复大家,感谢大家的关注,多多替小编关注下,下节我们讲分段函数的求导法。返回搜狐,查看更多

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    约束问题的直接解法,像是在无约束问题的直接解法中加入了约束条件的判断。

    随机方向法对应着坐标轮换法,而复合形法对应着单纯形法。

    复合形法

    复合形法与第二种单纯形法的相似度极高,请参见工程优化设计与Matlab实现——无约束问题的直接解法(二)中的第二种单纯形法。

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    有了单纯形法的基础,直接上流程图:

    6952c4e27961429e17caaff08f81af33.png
    复合形法流程图

    举栗子

    利用复合形法求目标函数在约束条件下的极小值点和极小值

    主程序如下:

    clc

    目标函数定义如下:

    function

    复合形法函数定义如下:

    function

    计算结果如下:

    a32f28cf5a56eada19c8be86e5c899e3.png

    271cab5853af40007f1b56f76154d28a.png

    复合形法函数程序说明如下:

    20aa8e23e79f20c99c0377c5c031828d.png
    复合形法函数程序说明
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