约束问题的直接解法，像是在无约束问题的直接解法中加入了约束条件的判断。
 
随机方向法对应着坐标轮换法，而复合形法对应着单纯形法。
 
复合形法
 
复合形法与第二种单纯形法的相似度极高，请参见工程优化设计与Matlab实现——无约束问题的直接解法（二）中的第二种单纯形法。
 
复合形法的基本思路是在可行域内构造一个具有N个顶点的复合形，找出各顶点中的最坏点（函数值最大的点），再沿某一方向找到函数值下降的点来替换最坏点，得到新的复合形
 
有了单纯形法的基础，直接上流程图：
 

 

  
 
 
 
举栗子
 
利用复合形法求目标函数在约束条件下的极小值点和极小值
 

 

  
 
 

 

  
 
 
主程序如下：
 

  
clc
 
 
目标函数定义如下：
 

  
function
 
 
复合形法函数定义如下：
 

  
function
 
 
计算结果如下：
 

 

  
 
 

 

  
 
 
复合形法函数程序说明如下：
 

 

  
 
 

对于多元函数$f(x)$来说，证明其在某一点$(x_0,y_0)$处极限不存在的方法就是找到两条不同的趋于$(x_0,y_0)$的路径，使得$f(x,y)$在这两条路径上趋于不同的值。
 对于二元函数$f(x,y)$来说,$(x,y)$沿任意路径趋于$(x_0,y_0)$时二元函数$f(x,y)$趋于同一个值A，则重极限$\underset{(x,y)\to \left(x_0,y_0\right)}{\lim }f(x,y)$存在且也等于A.
 这一性质常常用来证明二元函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$这点的极限不存在，即找到两条趋于$(x_0,y_0)$的路径，使得二元函数$f(x)$在这两条路径上趋于不同的值。然而，在绝大多数的数学分析教科书中，常常只介绍利用相对简单的径向路径来证明一个二元函数在某一点的极限不存在，即当二元函数$f(x,y)$沿着$y=kx$这些路径趋于$(x_0,y_0)$时，若极限与径向的斜率$k$相关，则二元函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$这点的极限不存在。而这种方法对些相对较为复杂的二元函数$f(x,y)$通常是失效的例如，考虑二元函数$f(x,y)=\frac{x^2{y}^2}{x^3+y^3}$在$(x,y)$趋于$(0,0)$的极限时，不难发现$(x,y)$沿着径向路径$y=kx$的极限都为0.然而$f(x,y)=\frac{x^2{y}^2}{x^3+y^3}$在$(x,y)$趋于$(0,0)$是不存在极限的，若考虑路径$y=-x+\frac{\alpha }{2}{x}^2$,则
 $$\begin{array}{rl}& \underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^2{y}^2}{x^3+y^3}=\underset{y=-x+\frac{\alpha }{2}{x}^2+2}{\lim }\frac{{\left(\frac{\alpha }{2}\right)}^3{x}^3-\alpha x^2+x}{{\left(\frac{\alpha }{2}\right)}^3{x}^3-3{\left(\frac{\alpha }{2}\right)}^2{x}^2+3\frac{\alpha }{2}x}\\ & =\frac{2}{3\alpha }\end{array}$$
 
下面我们老考虑这些极限是怎样计算出来的
 
事实上，从解析几何的观点来看，$(x,y)$沿某一路径趋于$(x_0,y_0)$可以被理解为$(x,y)$在趋于$(x_0,y_0)$的过程中，变量y是一个关于变量x的函数，即$y=y(x)$，而且这个函数还满足$y_0=y\left(x_0\right)$。因此，$(x,y)$沿某一路径趋于$(x_0,y_0)$时,$f(x,y)$的极限可以理解为复合函数$\pounds f(x,y(x))$在$x⟶x_0$时的极限。在这种观点下，我们将利用一元函数的洛必达法则来探索上述这些路径是如何被发现的。
 
首先考虑$f(x,y)=\frac{x^3+y^3}{x^2+y}$，由于此时我们将$y$看成是一个$x$的函数，故当$y=-x^2+g(x)$且$\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=0$时，$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^3+y^3}{x^2+y}$是一个关于变量$x$的$\frac{0}{0}$极限，我们知道，$\frac{0}{0}$不定式的极限与分子和分母两个因子的阶数有关。我们假设$y=-x^2+g(x)$，分子分母同时求导可得：
 $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x^2+3y^{2}y}{2x+y^{\prime }}$$
 若进一步，还有$\underset{x\to 0}{\lim }{g}^{\prime }(x)=0$，再次进行求导，可得
 $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{6x+6y{y}^{\prime }+3y^2{y}^{\prime \prime }}{2+y^{\prime \prime }}$$
 若再一次假设$\underset{x\to 0}{\lim }{g}^{\prime \prime }(x)=0$，再次求导得
 
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{6+6(y{)}^2+12y{y}^{\prime \prime }+3y^2{y}^{\prime \prime \prime }}{y^{\prime \prime \prime }}$$
 由于$\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=\underset{x\to 0}{\lim }{g}^{\prime \prime }(x)=0$，我们对上式进行积分，可得$y=-x^2+\frac{\alpha }{6}{x}^3$
 
下面几个例题都可以采用上述方法
 
例题一：求极限$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x-y}{x+y}$
 解析：当$(x,y)$沿$y=kx$趋向于$(0,0)$时，有
 $$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to 0}{y\to 0}}{\lim }\frac{x-y}{x+y}=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to 0}{y=kx}}{\lim }\frac{x-y}{x+y}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-kx}{x+kx}=\frac{1-k}{1+k}$$
 所以极限不存在。
 
例题二：求极限$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^2{y}^2}{x^2{y}^2+(x-y{)}^2}$
 
解析：当$(x,y)$沿着$y=x$趋向于$(0,0)$时，有
 $$\begin{array}{rl}\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^2{y}^2}{x^2{y}^2+(x-y{)}^2}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2{y}^2}{x^2{y}^2+(x-y{)}^2}\\ & =\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2{x}^2}{x^2{x}^2+(x-x{)}^2}=1\end{array}$$
 当$(x,y)$沿着$y=0$趋向于$(0,0)$时，有
 $$\begin{array}{rl}\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^2{y}^2}{x^2{y}^2+(x-y{)}^2}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2{y}^2}{x^2{y}^2+(x-y{)}^2}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2{0}^2}{x^2{0}^2+(x-0{)}^2}=0\end{array}$$
 因此极限不存在。
 
例题三：求极限$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^3+y^3}{x^2+y}$$
 
解析：当$(x,y)$沿着$y=k{x}^3-x^2$趋向于$(0,0)$时，有
 $$\begin{array}{rl}\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^3+y^3}{x^2+y}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^3+y^3}{x^2+y}\\ & =\underset{x=k{x}^3-x^2}{\lim }\frac{x^3+{\left(k{x}^3-x^2\right)}^3}{x^2+k{x}^3-x^2}\\ & =\frac{1}{k}\end{array}$$
 显然其随着k值得变化而变化，所以不是极值。
 
例题四：求极限$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }x\frac{\ln (1+xy)}{x+y}$
 解析：当$(x,y)$沿着$y=x^{\alpha }-x$趋向于$(0,0)$时，
 $$\begin{array}{rl}\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }x\frac{\ln (1+xy)}{x+y}& =\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^{2}y}{x+y}\\ & =\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to 0}{y=x^{\alpha }-x}}{\lim }\frac{x^{2}y}{x+y}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^{\alpha +2}-x^3}{x^{\alpha }}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\left(x^2-x^{3-\alpha }\right)=\{\begin{array}{ll}-1,& \alpha =3\\ 0,& \alpha <3\\ 0,& \alpha >3\end{array}\end{array}$$
 故极限不存在。
 
例题五：求极限$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{x+y}$
 
解析：当$(x,y)$沿着$y=x^2-x$趋向于$(0,0)$时，有
 $$\begin{array}{rl}\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{x+y}& =\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to 0}{y=x^2-x}}{\lim }\frac{xy}{x+y}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\left(x^2-x\right)}{x+x^2-x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }(x-1)=-1\end{array}$$
 当$(x,y)$沿着$y=x$趋向于$(0,0)$时，有
 $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{x+y}=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to 0}{y=x}}{\lim }\frac{xy}{x+y}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{2x}=0$$
 故极限不存在。
 
例题六：求证$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }{x}^y$不存在
 证明：当$(x,y)$沿着$y=\frac{k}{\ln x}$趋向于$(0,0)$时，有
 $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }{x}^y=e^k$$
 所以极限不存在
 
例题七：求证$\underset{(x,y)\to \left(1,\frac{1}{3}\right)}{\lim }\frac{\frac{\tan 3\pi y}{12y-4}-\arctan x}{1-x^4}$不存在
 证明：
 因为
 $$\frac{\tan 3\pi y}{12y-4}=\frac{\pi }{4}+\frac{{\pi }^3}{12}(3y-1{)}^2+O\left((3y-1{)}^4\right)$$
 取$x=3y$,则
 $$\begin{array}{l}\frac{\tan 3\pi y}{12y-4}-\arctan x=\frac{1-x}{2}+o(1-x)\\ {\lim }_{(x,y)\to \left(1,\frac{1}{3}\right)}\frac{\frac{\tan 3\pi y}{12y-4}-\arctan x}{1-x^4}={\lim }_{x\to 1}\frac{\frac{1-x}{2}+o(1-x)}{1-x^4}=\frac{1}{8}\end{array}$$
 取$3y-1=\sqrt[3]{1-x}$
 则有
 KaTeX parse error: Expected group after '_' at position 239: …{1-x^{4}}=\lim _̲\limits{x \righ…
 故极限不存在。

 
函数
 
有界函数
无界函数
复合函数
反函数
单调函数
基本初等函数
初等函数
重要的函数

 
  函数是微积分研究的对象。
 
有界函数
 
定义：设$y=f(x),x\in D$,$\exists$常数$N\le M$,$\forall x\in D$,都有$N\le f(x)\le M$,称$f(x)$是$D$上的有界函数，$N$称为$f(x)$的一个下界，$M$称为$f(x)$的一个上界。
 
  $\exists$常数$N$,都有$N\le f(x)$,称$f(x)$为有下界函数。
   $\exists$常数$M$,都有$f(x)\ge M$,称$f(x)$为有上界函数。
 
几何意义:
 
 
  
 
有界函数的另一定义，该种定义比较常用
 定义：$\exists$常数$M,\forall x\in D$,都有$|f(x)|\le M\iff -M\le f(x)\le M$,称$y=f(x)$在$D$上有界。
 
 
例：证明$f(x)=si{n}^{80}x-6co{s}^{60}x$有界。
 证：由$f(x)$的定义域为$R$,$\forall x\in R$
 $$\begin{array}{rl}|f(x)|& =|si{n}^{80}x-6co{s}^{60}x|\\ & \le |si{n}^{80}x|+6|co{s}^{60}x|\\ & \le 1+6=7\end{array}$$
 则$f(x)$有界。
 
 
例：证明$f(x)=\frac{x}{1+x^2}sinx$有界。
 证：定义域是$R$
 $$a^2+b^2\ge 2ab$$
 $$\begin{array}{rl}\forall x\in R,|f(x)|& =\frac{|x|}{1+|x{|}^2}\cdot |sinx|\\ & \le \frac{\frac{1}{2}(1+|x{|}^2)}{1+|x{|}^2}=\frac{1}{2}\end{array}$$
 
 
无界函数
 
定义：$\forall M>0,\exists x_m\in D$,有$|f(x_m)|>M$,称$f(x)$是$D$上的无界函数。
 

 
例：证明$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$在$(0,1]$上是无界函数。
 分析法：要证$B$成立，只要$A$成立，指的是$A\Rightarrow B$,即$A$成立是$B$成立的充分条件
 证：$\forall M>0$,若要$|f(x)|>M$成立$$\begin{gathered} \iff |\frac{1}{\sqrt{x}}|>M\iff \frac{1}{\sqrt{x}}>M \\ \iff \frac{1}{x}>M^2\iff 0<x<\frac{1}{M^2} \end{gathered}$$且$0<x\le 1$
 取$x=\frac{1}{1+M^2}\in (0,1],0<x<\frac{1}{M^2}$,有$|f(x)|>M$,知$f(x)$在$(0,1]$上无界。
 
  由分析法的要求，只要求上式的右边能推到左边即可，当然如果是互推更好了。
 
 
复合函数
 
定义：设$y=f(u),u\in D(f),u=\phi (x),u\in R(\phi )$,且$D(f)\bigcap R(\phi )̸=\varnothing$,则称$y=f(\phi (x))$为$x$的复合函数，$x$称为自变量，$y$称为因变量，$u$称为中间变量。$f(u)$称为外层函数或简称外函数，$\phi (x)$称为内层函数或简称内函数。
 
  如果对$D(f)$和$R(\phi )$不加以限制的话，有可能会产生没有意义的结果，如
 $$y=\sqrt{u},u=-(1+x^2)\stackrel{不加限制}{\Rightarrow }y=\sqrt{-(1+x^2)}$$
 上式定义域为空集，没有任何的意义。
 
  如果$y=f(\phi (x))$的定义域是空集，则不能复合，反之则能复合。
 
 
例：$y=2^x,y=x^2$
 a若$y=2^x$是外函数，$y=x^2$是内函数，则复合函数为
 $$y=2^{x^2}$$
 b若$y=2^x$是内函数，$y=x^2$是外函数，则复合函数为
 $$y=(2^x{)}^2=4^x$$
 
 
例:求
 $$y=\frac{1}{\frac{1}{1-x}-1}$$
 的定义域。
 错误解法:
 
      
       
        
         
          y
         
         
          =
         
         
          
           1
          
          
           
            
             1
            
            
             −
            
            
             (
            
            
             1
            
            
             −
            
            
             x
            
            
             )
            
           
           
            
             1
            
            
             −
            
            
             x
            
           
          
         
         
          =
         
         
          
           
            1
           
           
            −
           
           
            x
           
          
          
           x
          
         
         
          ⇒
         
         
          定
         
         
          义
         
         
          域
         
         
          为
         
         
          {
         
         
          x
         
         
          :
         
         
          x
         
         
          ∈
         
         
          R
         
         
          ,
         
         
          x
         
         
          
           ̸
          
         
         
          =
         
         
          0
         
         
          }
         
        
        
         y=\frac{1}{\cfrac{1-(1-x)}{1-x}}=\frac{1-x}{x}\Rightarrow定义域为\{x:x\in R,x\not= 0\}
        
       
      y=1−x1−(1−x)​1​=x1−x​⇒定义域为{x:x∈R,x̸​=0}
 正确解法:
 
      
       
        
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
             
              1
             
             
              −
             
             
              x
             
             
              
               ̸
              
             
             
              =
             
             
              0
             
             
              且
             
             
              
               1
              
              
               
                1
               
               
                −
               
               
                x
               
              
             
             
              −
             
             
              1
             
             
              
               ̸
              
             
             
              =
             
             
              0
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
             
              ⇒
             
             
              x
             
             
              
               ̸
              
             
             
              =
             
             
              1
             
             
              且
             
             
              x
             
             
              
               ̸
              
             
             
              =
             
             
              0
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
             
              ⇒
             
             
              定
             
             
              义
             
             
              域
             
             
              为
             
             
              {
             
             
              x
             
             
              :
             
             
              x
             
             
              ∈
             
             
              R
             
             
              ,
             
             
              x
             
             
              
               ̸
              
             
             
              =
             
             
              0
             
             
              ,
             
             
              x
             
             
              
               ̸
              
             
             
              =
             
             
              1
             
             
              }
             
            
           
          
         
        
        
          \begin{aligned} &amp;1-x\not= 0且\frac{1}{1-x}-1\not=0\\ &amp;\Rightarrow x\not=1且x\not=0\\ &amp;\Rightarrow定义域为\{x:x\in R,x\not= 0,x\not=1\} \end{aligned} 
        
       
      ​1−x̸​=0且1−x1​−1̸​=0⇒x̸​=1且x̸​=0⇒定义域为{x:x∈R,x̸​=0,x̸​=1}​
 
 
反函数
 
定义:设$y=f(x),x\in D.\forall x_1,x_2\in D$且$x_1̸=x_2$都有$f(x_1)̸=f(x_2).$称为$y=f(x),x\in D$为一一对应。反之$\forall y\in R(f)$,存在唯一的$x\in D$(且$f(x)=y$)与之对应。得到一个定义在$R(f)$上的函数，记作$x=f^{-1}(y),$称为$y=f(x)$的反函数。
 
  反函数的定义域就是函数的值域，这为求函数的值域提供了方法。同理，反函数的值域就是函数的定义域。
 
  函数$y=f(x)$与反函数$x=f^{-1}(y)$的图像是一样的，习惯上，自变量用$x$表示，因变量用$y$表示，则反函数改写为$y=f^{-1}(x)$,$y=f(x)$与$y=f^{-1}(x)$是关于$y=x$对称的。
 
  若$y=f(x)$的反函数为$x=\phi (y)$,则$f(\phi (y))=y$,$\phi (f(x))=x$。
 
 
单调函数
 
定义:设$y=f(x),x\in D,\forall x_1,x_2\in D,$且$x_1<x_2$都有$f(x_1)\le f(x_2)(f(x_1\ge f(x_2)))$,称$y=f(x)$是$D$上的递增函数(递减函数)。递增，递减函数统称为单调函数。
 
  若$\forall x_1,x_2\in D,$且$x_1<x_2,$都有$f(x_1)<f(x_2)(f(x_1)>f(x_2)),$称$y=f(x)$是$D$上的严格单调递增(递减)函数。
 
  定理:若$y=f(x),x\in D$是严格单调函数，则必有反函数，且反函数也是严格单调，严格递增函数的反函数也是严格单调递增。但是有反函数其原函数不一定严格单调。
 
例:$y=\frac{1}{x},其反函数x=\frac{1}{y}$不是单调递增。
 
 
基本初等函数
 
三角函数中:
 余切 $cotx=\frac{1}{tanx}$
 正割 $secx=\frac{1}{cosx}$
 余割 $cscx=\frac{1}{sinx}$
 重要公式:
 $$1+ta{n}^{2}x=se{c}^{2}x$$
 $$1+co{t}^{2}x=cs{c}^{2}x$$
 
  $y=sinx,x\in R$不是一一对应，它没有反函数，但是设$y=sinx,x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$是严格单调，因此有反函数，记作$x=arcsiny,y\in [-1,1]$,习惯上记作$y=arcsinx,x\in [-1,1]$,值域为$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$。
 
同理:
 反余弦,$y=arccosx,x\in [-1,1],y\in [0,\pi ]$
 反正切,$y=arctanx,x\in (-\infty ,\infty ),y\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$
 反余切,$y=arccotx,x\in (-\infty ,\infty ),y\in (0,\pi )$
 
 
六种函数:
 1.常数函数:$y=C,x\in R$
 2.指数函数:$y=a^x(a>0,a̸=0),x\in R$
 3.对数函数:$y=lo{g}_{a}x(a>0,a̸=1),x\in (0,+\infty )$
 4.幂函数:$y=x^a(a̸=0)$
 5.六种三角函数
 6.四个反三角函数
 以上六种称为基本初等函数
 
 
初等函数
 
  由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算所得到的函数称为初等函数。由基本初等函数经过有限次四则运算，称为简单函数。
 
  不是初等函数的函数，称为非初等函数，一般来说，分段函数是非初等函数。
 
 
例:$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x<0\\ ln(1+x),& x\ge 0\end{array}\to$非初等函数
 
 
例:$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x,& x\le 0\\ x,& x>0\end{array}=|x|=\sqrt{x^2}$$
 由$y=\sqrt{u},u=x^2$复合得到的函数是初等函数。
 
 
例:$$y=\frac{e^{\sqrt{sinx}}+x^2+1}{\sqrt{1+x^2}+3x^2}$$
 由$y=sinx,y=\sqrt{x},y=e^x,y=x^2,y=1,y=3$经$6$次四则运算，$3$次复合运算得到的，知是一个初等函数。
 
  学会如果一个函数是复合函数，把它拆成几个基本初等函数或简单函数的复合。
 
例:$$y=lnarctansin\sqrt{1+x^2}$$
 是由$y=lnuu=arctanvv=sinww=\sqrt{l}l=1+x^2$复合得到的。
 
 
重要的函数
 
1.初等函数
 $$sgnx=\{\begin{array}{ll}-1,& x<0\\ 0,& x=0\\ 1,& x>0\end{array}$$
 
 
2.取整函数
 $\forall x\in R,[x]$表示不超过$x$的最大整数，称为取整函数
 $$y=[x],x\in R$$
 
 
例:$[3.5]=3,[3]=3,[-3.5]=-4,[\sqrt{2}]=1$
 
性质:
 $$[x]\le x<[x]+1$$$$x-1<[x]\le x$$
 
 
3.狄利克雷函数(Dirichlet)
 $$D(x)=\{\begin{array}{l}1,x为有理数\\ 0,x为无理数\end{array}$$
 是非初等函数。
 
 
4.幂指函数
 $$\begin{array}{rl}y& =x^x,x>0\\ & =e^{ln{x}^x}=e^{xlnx}\end{array}$$
 是由$y=e^{u}u=xlnx$复合的，所以是初等函数。
 
 
注:若$A>0,A=a^{lo{g}_{a}A}(a>0,a̸=1)$,特别地，$a=e,A=e^{lnA}$

 
文章目录
 
全部刷题与学习记录
原题目
考查知识点
自己的第一遍解法
好的解法
 

 
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原题目
 
题目地址：2. 两数相加
 
给你两个 非空 的链表，表示两个非负的整数。它们每位数字都是按照 逆序 的方式存储的，并且每个节点只能存储 一位 数字。
 
请你将两个数相加，并以相同形式返回一个表示和的链表。
 
你可以假设除了数字 0 之外，这两个数都不会以 0 开头。
 
输入：l1 = [2,4,3], l2 = [5,6,4]
输出：[7,0,8]
解释：342 + 465 = 807.
 
输入：l1 = [0], l2 = [0]
输出：[0]
 
提示：
 
每个链表中的节点数在范围 [1, 100] 内
0 <= Node.val <= 9
题目数据保证列表表示的数字不含前导零
 
考查知识点
 
1、局部对象生存周期
 
2、数值计算存在约束区间
 
3、逐位运算
 
自己的第一遍解法
 
直观想法就是：
 
1、将链表映射为数字getNumber()
 
2、两数字之和再映射为链表toList()
 
代码如下：
 
//没有考虑数据过大，类型存放不下
class Solution_01 {
private:
    long int getNumber(ListNode* head)//将逆序数字链表转为数字
    {
        ListNode* curNode = head;
        //将链表节点入栈-逆序变正序
        stack<ListNode*> s;
        while (curNode) {
            s.push(curNode);
            curNode = curNode->next;
        }
        long int num = 0;
        while (!s.empty()) {
            num = num * 10 + s.top()->val;
            s.pop();
        }
        return num;
    }

    ListNode* toList(long int num)//将数字转化为逆序链表
    {
        //num==0
        if (num == 0) {
            ListNode* head = new ListNode(num);
            return head;
        }

        //num>0  将数字各位取出
        vector<int> v;
        while (num) {
            v.push_back(num % 10);
            num /= 10;
        }
        //将数字各位存入链表节点
        ListNode* cur = new ListNode(v[0]);
        ListNode* head = cur;
        for (int i=1; i<v.size(); ++i) {
            ListNode* next = new ListNode(v[i]);
            cur->next = next;
            cur = cur->next;
        }
        return head;
    }

public:
    ListNode* addTwoNumbers(ListNode* l1, ListNode* l2) {
        if (!l1 || !l2) return nullptr;

        long int n1 = getNumber(l1);
        long int n2 = getNumber(l2);
        long int nSum = n1 + n2;
        ListNode* res = toList(nSum);

        return res;
    }
};
 
以上的代码我在本地跑通，但是力扣没有通过，因为我是直接计算了两个数字的加和，没有考虑这两个数的数量级（两个数的量级直接影响变量需要的类型如int、long int等）
 
在上面代码中还有一点需要注意：在新建链表节点（toList()函数中)的过程中，要使用动态创建（返回指针）代替直接创建，这是因为直接创建的局部变量在当前块结束是会被释放，直接返回局部变量的内存地址是无效的
 
好的解法
 
这道题隐含着逐位运算的痕迹，逐位运算只需要考虑当前位，当前位的大小是有限的，无非就是多一个进位
 
以下代码参考：力扣题解-陈乐乐
 
//逐位运算
class Solution {
public:
    ListNode* addTwoNumbers(ListNode* l1, ListNode* l2) {
        ListNode* dummyHead = new ListNode(-1);//虚拟头结点
        ListNode* p0 = dummyHead;//移动结果指针
        ListNode* p1 = l1;//移动l1指针
        ListNode* p2 = l2;

        bool flag = false;//进位标志
        while (p1 || p2) {
            int sum = 0;
            if (p1) {
                sum += p1->val;
                p1 = p1->next;
            }
            if (p2) {
                sum += p2->val;
                p2 = p2->next;
            }
            sum += (flag);//处理 前一位 向 当前位 进位
            if (sum >= 10) {//处理 当前位 向 下一位 进位
                sum -= 10;
                flag = true;
            }
            else
                flag = false;
            ListNode* cur = new ListNode(sum);
            p0->next = cur;
            p0 = p0->next;
        }

        if (flag) {
            ListNode* last = new ListNode(1);
            p0->next = last;
        }
        return dummyHead->next;
    }
};
 
注：
 
链表问题使用虚拟头结点避免对首节点的单独考虑
函数返回值如果是某种复合体（链表节点、树节点、指针），一定要保证内存有效性，即在函数内部创建复合体时，一定要用动态创建