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  • 多元复合函数求导 隐函数求导 多元函数的极值和最值(实际问题的解法) 全微分 全微分和偏微分 近似计算 二重积分 二重积分的含义和性质 二重积分的直角坐标系的计算 二重积分的极坐标系的计算 曲线积分 1. ...

    讲义修订日期:2020年9月25日

    讲义目录:

    空间解析几何基础

    • 解析几何基础
    • 常见曲面方程

    二元函数

    • 二元函数概念
    • 二元函数的极限
    • 二元函数的连续性
    • 偏导数和高阶偏导
    • 多元复合函数求导
    • 隐函数求导
    • 多元函数的极值和最值(实际问题的解法)

    全微分

    • 全微分和偏微分
    • 近似计算

    二重积分

    • 二重积分的含义和性质
    • 二重积分的直角坐标系的计算
    • 二重积分的极坐标系的计算

    曲线积分


    1. 空间解析几何基础

    1.1 解析几何基础

    假设两个点:A=(x0,y0)A=(x_0,y_0)B=(x1,y1)B=(x_1,y_1)

    两个向量a=[x0,y0]a=[x_0,y_0]b=[x1,y1]b=[x_1,y_1]

    我们先看二维的一些学过的公式:

    • 两点距离公式:(y1y0)2+(x1x0)2\sqrt{(y_1-y_0)^2+(x_1-x_0)^2}
    • 两个向量的内积(数量积):(a,b)=x0x1+y0y1=abcosθ(a,b)=x_0x_1+y_0y_1=||a||*||b||*cos\theta
    • 向量的模:a=(a,a)||a||=\sqrt{(a,a)}
    • 向量平行:两个向量的列线性关系:x0/x1=y0/y1x_0/x_1=y_0/y_1
    • 向量垂直:内积为0

    同理的三维的点和三维的向量可以同理:
    假设两个点:A=(x0,y0,z0)A=(x_0,y_0,z_0)B=(x1,y1,z0)B=(x_1,y_1,z_0)

    两个向量a=[x0,y0,z0]a=[x_0,y_0,z_0]b=[x1,y1,z1]b=[x_1,y_1,z_1]

    • 两点距离公式:(y1y0)2+(x1x0)2+(z1z0)2\sqrt{(y_1-y_0)^2+(x_1-x_0)^2+(z_1-z_0)^2}
    • 两个向量的内积(数量积):(a,b)=x0x1+y0y1+z0z1=abcosθ(a,b)=x_0x_1+y_0y_1+z_0z_1=||a||*||b||*cos\theta
    • 向量的模:a=(a,a)||a||=\sqrt{(a,a)}
    • 向量平行:两个向量的列线性关系:x0/x1=y0/y1=z0/z1x_0/x_1=y_0/y_1=z_0/z_1
    • 向量垂直:内积为0

    我们研究二元函数的基础就是建立在一个三维的空间内,在这个空间内,我们能表达出:点线面,我们的二元函数实际上就是一个曲面。

    平面的话:Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0(每个变量都是一次的)

    直线的话,需要两个平面决定一条直线:

    a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2

    两个平面平行的条件,就是上面的非齐次方程无解:r(A)r(Aˉ)r(A)\neq r(\bar{A})

    直线垂直于平面的话,那么该直线垂直于平面任意两条相交的直线

    求平面方程:

    如果要求一个平面方程,过X轴,那么设的平面方程:By+Cz=0By+Cz=0
    如果是平行于X轴:那么设平面方程:By+Cz+D=0By+Cz+D=0


    1.2 常见的曲面方程

    F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0就是曲面方程,当然,平面方程是曲面方程的一种特殊情况而已。

    • xoyxoy 平面:z=0z=0
    • zoyzoy 平面:x=0x=0
    • xozxoz 平面:y=0y=0

    球面方程

    注意不是球体。

    (xx0)2+(y1y0)2+(z0z1)2=R\sqrt{(x-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_0-z_1)^2}=R

    球体方程:x2+y2+z2=Rx^2+y^2+z^2=R

    柱面方程
    x2+y2=R2x^2+y^2=R^2
    在这里插入图片描述


    2. 二元函数

    2.1 二元函数概念

    二元函数:
    z=f(x,y)z=f(x,y)

    二元函数的邻域:
    U(p0,δ)=(x0,y0)(xx0)2+(yy0)2)<δU(p_0,\delta)={(x_0,y_0)|\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2)}<\delta}

    二元函数的去心邻域:
    Uˉ(p0,δ)=(x0,y0)0<(xx0)2+(yy0)2)<δ\bar{U}(p_0,\delta)={(x_0,y_0)|0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2)}<\delta}

    二元函数的定义域求出来是一个平面f(x,y)=0f(x,y)=0


    2.2 二元函数的极限

    我们先看一元函数的极限:
    limxaf(x)lim_{x\rightarrow a}f(x)
    从两个方向逼近,即可确定极限的存在:

    在这里插入图片描述
    二元函数的极限:
    lim(x,y)(a,b)f(x,y)lim_{(x,y)\rightarrow(a,b)}f(x,y)
    在这里插入图片描述
    和一元的极限最大的不同,在于他需要从各个方向逼近都一致,我们才能说这个极限存在

    所以,会有一种判断极限不存在的题目,我们只需要找到一个方向逼近导致极限不一致即可证明。


    例题:证明下面的极限不存在:
    f(x,y)={xyx2+y20f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}\\0 \end{cases}

    lim(x,y)(0,0)=0lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}=0

    我们只需找到一个方向不是即可:y=xy=x
    x2x2+x2=12\frac{x^2}{x^2+x^2}=\frac{1}{2}

    得证,该极限不存在


    例题:lim(x,y)(0,0)x+yxylim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x+y}{x-y}

    y=0y=0lim=1lim=1x=0x=0lim=1lim=-1

    得证,不存在


    求二元函数的极限

    但是更多的,我们可能是求二元极限:求法和一元的类似。

    需要记住:等价无穷小(趋向于0)的替换


    例题:

    • (1)lim(x,y)(0,5)xsinxylim_{(x,y)\rightarrow (0,5)}\frac{x}{sinxy}
    • (2)lim(x,y)(0,0)xy2x2+y2lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}
    • (3)lim(x,y)(,)x+yx2+y2lim_{(x,y)\rightarrow(\infty,\infty)}\frac{x+y}{x^2+y^2}
    • (4)lim(x,y)(0,0)2xy+4xylim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{2-\sqrt{xy+4}}{xy}
    • (5)lim(x,y)(0,0)(2+x)sin(x2+y2)x2+y2lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{(2+x)sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}
    • (6)lim(x,y)(0,0)x2+y2sin(1x2+y2)lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\sqrt{x^2+y^2}sin(\frac{1}{x^2+y^2})

    (1)limxysinxy1y=15lim\frac{xy}{sinxy}\frac{1}{y}=\frac{1}{5}

    (2)方法1:limy2x2+y2lim\frac{y^2}{x^2+y^2}有界
    有界*0=0

    方法2:夹逼:0xy2x2+y2xy22xy0\leq|\frac{xy^2}{x^2+y^2}|\leq|\frac{xy^2}{2xy}|

    lim=0lim=0

    (3)夹逼:0x+yx2+y2x+y2xy0\leq |\frac{x+y}{x^2+y^2}|\leq \frac{|x|+|y|}{2|x||y|}

    lim=0lim=0

    (4)上下同时乘以(2+xy+4)(2+\sqrt{xy+4})lim=14lim=-\frac{1}{4}

    (5)
    针对三角函数的处理,如果是在分式里面的话,我们就使用等价无穷小进行替换,如果是独立出来的话,我们就用(有界和0的故事处理)

    lim=2lim=2

    (6)sin1x2+y2sin\frac{1}{x^2+y^2} 有界,前面是lim=0lim=0

    lim=0lim=0


    2.3 二元函数的连续性

    一元函数的连续性就是:一笔画

    在代数上表示:limxx0f(x)=f(x0)lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)

    • 该点有定义
    • 有极限
    • 极限等于定义

    那如果从几何上取理解二元函数的连续就是:这是一块没有破洞的布

    需要注意的是,在一元函数里面,连续一定是可导的,但是呢,在二元这里,偏导存在却不一定连续。

    因为偏导的存在,只是代表了在两个方向上的极限一样而已,并不能代表该点的极限存在。


    2.4 偏导数和高阶偏导

    我们先看一元函数的导数定义:

    limΔx0=ΔyΔx=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δxlim_{\Delta x\rightarrow 0}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

    等式存在,我们才叫是导数存在

    为什么我们要叫偏导数呢?

    偏增量:因为某一个变量产生的变化而导致的结果变化

    其他的变量我们暂时把他看成常数。

    研究偏导数就是需要研究zz是由于因为什么原因而导致的变化。

    所以呢,当我们求某一个变量的偏导的时候,就需要把其他的变量看成常数。

    fx(x0,y0)=f(x0,y0)xf'_x(x_0,y_0)=\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}


    二阶偏导
    求导之后再求导

    x(zx)=2zx\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial ^2z}{\partial x}

    假如该函数是连续的,才有:Zxy=ZyxZ''_{xy}=Z''_{yx}

    判断题会把“连续”漏掉的来迷惑你的,记得必须有。


    例题:更多元的求偏导同理:
    u=xyzu=x^{y^z}

    ux=xR\frac{\partial u}{\partial x}=x^R


    梯度
    求函数z=x2xy+y2z=x^2-xy+y^2在点(1,2)(1,2)处的梯度

    先把偏导求出来:
    fx=2xyf'_x=2x-y
    fy=x+2yf'_y=-x+2y

    代入得0和3
    那么梯度:grad=0i+3j=3jgrad=0i+3j=3j


    2.5 多元复合函数求导

    很简单,我们有一个秘诀,先把关系图画出来:
    在这里插入图片描述
    假如,我们需要找:zx\frac{\partial z}{\partial x}

    有两条路:
    在这里插入图片描述
    所以,我们这样写:

    zx=zuux+zvvx\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}

    有一些特别的是,像这样你需要写:dzdx\frac{dz}{dx}
    在这里插入图片描述
    需要注意的是何时求偏导,何时求导


    例题:

    z=u2v+3uv4z=u^2v+3uv^4
    u=etv=sintu=e^t,v=sint

    先画图:
    在这里插入图片描述


    2.6 隐函数求导

    这里,我们先看一元隐函数的求导,我们之前利用的是两边同时对 xx 求导,然后把 yy 看成是 xx 的复合函数,现在,我们可以利用偏导的方法处理。

    一元的隐函数:F(x,y)=0F(x,y)=0

    先把 F(x,y)=zF(x,y)=z 看成一个二元函数

    dydx=FxFy\frac{dy}{dx}=-\frac{F'x}{F'y}

    注意公式是交错对应的,而且还有负号


    例题:xy2lny=axy^2-lny=a

    Z=xy2lnyaZ=xy^2-lny-a
    dydx=y22xy1y\frac{dy}{dx}=-\frac{y^2}{2xy-\frac{1}{y}}

    当然,我们也可以用我们之前学过的办法:
    两边同时对x求导:

    x(y2)+xy2(lny)=0x(y^2)'+x'y^2-(lny)'=0
    2xyy+y2yy=02xyy'+y^2-\frac{y'}{y}=0


    如果我们处理二元隐函数,方法是一样的
    F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0

    zx=FxFz\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F'_x}{F'_z}

    处理的时候也需要注意:相反对应,有负号

    我们先把他看成三元函数:
    G=F(x,y,z)G=F(x,y,z)


    2.7 多元函数的极值和最值(实际问题的解法)

    我们之前也讲过一元函数的极值和最值的问题了,这里和求导息息相关。

    我们看多元函数的极值和最值,极值是在邻域内,可能不唯一,最值在整个区域内,一定是唯一的。

    最值唯一,但是最值点是不唯一的。一般我们说点,就是描述自变量。

    但是偏导存在极值却不一定存在哦!

    偏导不存在的时候,极值也可能存在,比如这个:
    在这里插入图片描述

    极值存在的充分条件(曲面极值的判断方法)
    Z=f(x,y)Z=f(x,y)

    • A=fxxA=f''_{xx}
    • B=fxyB=f''_{xy}
    • C=fyyC=f''_{yy}

    极值的情况:

    • B2AC=0B^2-AC=0 无法判断
    • B2AC>0B^2-AC>0 没有极值
    • B2AC<0B^2-AC<0 存在极值(混合二阶偏导的斜率很小,那就是可能是顶/底点了)

    当第三种情况的时候我们进一步判断:

    • A<0A<0 极大点
    • A>0A>0 极小点

    例题:问函数f(x,y)=x2+5y26x+10y+6f(x,y)=x^2+5y^2-6x+10y+6的极值点

    问是不是极值点,我们判断一下B2ACB^2-AC即可
    fx=2x6f'_x=2x-6
    fy=10y+10f'_y=10y+10

    驻点:(3,1)(3,-1)

    A=fxx=2A=f''_{xx}=2
    B=fxy=0B=f''_{xy}=0
    C=fyy=10C=f''_{yy}=10

    B2<ACB^2<AC

    所以存在极值


    二元函数的最值和一元函数的最值考法不同,一元的话,问最值的话我们可能还需要考虑端点的比较,但是,在二元的时候,端点是边界点,所以我们一般不考虑了。

    所以在二元函数这里的考题,问极值就是问最值,一般会联系一个实际问题来进行考察。


    例题:
    已知体积是8的有盖长方体,问用料最省,怎么设计长宽高?

    xyz=8xyz=8

    因为是有盖子的
    f=2(xy+yz+xz)f=2(xy+yz+xz)
    f(x,y)=2(xy+8x+8y)f(x,y)=2(xy+\frac{8}{x}+\frac{8}{y})

    fx=2y16x2f'_x=2y-\frac{16}{x^2}
    fy=2x16y2f'_y=2x-\frac{16}{y^2}

    驻点:(2,2)(2,2)


    条件极值和条件最值

    这里才是重点菜!!因为对于一个曲面来说,区域实在太大了,我们需要固定住一部分的范围来研究最值和极值。


    例题:求 z=1x2y2z=\sqrt{1-x^2-y^2} 的极值,条件是 x+y=1x+y=1

    如果我们在几何表示出来的话:
    在这里插入图片描述

    我们的方法是 拉格朗日常数法

    我们管 z=f(x,y)z=f(x,y) 叫做目标函数,管g(x,y)=0g(x,y)=0是约束函数

    第一步:构造一个函数如下:
    L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)

    然后解方程:
    Lx=0L'_x=0Ly=0L'_y=0Lλ=0L'_{\lambda}=0


    例题:怎样用料最省,体积是8

    目标函数:M=f(x,y,z)M=f(x,y,z)
    约束函数:xyz8=0xyz-8=0

    L(x,y,z,λ)=2(xy+yz+xz)+λ(xyz8)L(x,y,z,\lambda)=2(xy+yz+xz)+\lambda(xyz-8)

    Lx=0Ly=0Lz=0Lλ=0L'_x=0,L'_y=0,L'_z=0,L'_\lambda=0


    例题:
    已知点(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0),求到平面Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0,最短的距离

    d=(x0x)2+(y0y)2+(z0z)2d=\sqrt{(x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2}

    约束函数:Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0
    构造出来,导数等于0 ,解出来即可


    3. 全微分

    3.1 全微分和偏微分

    之前我们说过偏导数,是因为在某个方向的截面上发生的改变所导致的偏增量。

    假如两个变量同时变化所导致的变化就是全增量

    Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y)\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)

    我们依旧采取近似的思想,

    在这里插入图片描述
    ΔxΔy\Delta x\Delta y足够小的话,我们可以省略不计。

    对于微分来说,Δx\Delta xΔy\Delta y 才是自变量。

    dz=fxΔx+fyΔydz=f'_x\Delta x+f'_y\Delta y

    dzdz (近似值)约等于Δz\Delta z(精确值)

    假如 z=f(x,y)z=f(x,y)连续的偏导,就可微。
    在这里插入图片描述
    一元函数的关系:

    在这里插入图片描述


    偏微分

    fxdxf'_xdxfydyf'_ydy就是偏微分


    求全微分

    例题:u=x2+siny2+exyzu=x^2+sin\frac{y}{2}+e^{xyz}

    du=(2x+yzexyz)dx+(12cosy2+xzexyz)dy+(xyexyz)dzdu=(2x+yze^{xyz})dx+(\frac{1}{2}cos\frac{y}{2}+xze^{xyz})dy+(xye^{xyz})dz

    如果求在某点(0,0,0)的全微分,那么代入即可。


    3.2 近似计算

    这个和一元的差不多:f(x+Δx,y+Δy)f(x,y)fxdx+fydy=dzf(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\approx f'_xdx+f'_ydy=dz


    例如计算:1.042.021.04^{2.02}

    (1+0.04)2+0.02(1+0.04)^{2+0.02}

    f(x,y)=xyf(x,y)=x^y

    fx=yxy1f'_x=yx^{y-1}fy=xylnxf'_y=x^ylnx

    代入:x=1Δx=0.04x=1,\Delta x=0.04y=2Δy=0.02y=2,\Delta y=0.02

    =1.08=1.08


    近似计算的厚度问题:

    在这里插入图片描述

    问原料和体积,没有盖子,但是有厚度

    V=SH=πr2hV=SH=\pi r^2h
    ΔV=VrΔr+VhΔh\Delta V=V'_r\Delta r+V'_h\Delta h


    4. 二重积分

    4.1 二重积分的含义和性质

    我们需要用体积来引出二重积分的概念,首先,我们知道二元函数在空间的表现是一个曲面。

    那么二重积分的定义:
    limd0f(xi,yi)Δsilim_{d\rightarrow0}\sum f(x_i,y_i)\Delta s_i

    dd是两点最远的距离,为什么我们不用面积最小呢?你想,当我们横着分的时候就不均匀了。

    我们分块的方式有两种,一种是以直角坐标的分法,一种是以极坐标的分法。
    在这里插入图片描述


    二重积分的性质

    • Dkf(x,y)dδ=kDf(x,y)dδ\int\int_Dkf(x,y)d\delta=k\int\int_Df(x,y)d\delta
    • D(f(x,y)±g(x,y))dδ=Df(x,y)dδ±Dg(x,y)dδ\int\int_D(f(x,y)\pm g(x,y))d\delta=\int\int_Df(x,y)d\delta\pm\int\int_Dg(x,y)d\delta
    • Df(x,y)dδ=D1f(x,y)dδ±D2f(x,y)dδ\int\int_Df(x,y)d\delta=\int\int_{D_1}f(x,y)d\delta\pm\int\int_{D_2}f(x,y)d\delta
    • f(x,y)g(x,y)DfDgf(x,y)\leq g(x,y),\int\int_Df\leq\int\int_D g
    • Df(x,y)dδDf(x,y)dδ|\int\int_Df(x,y)d\delta|\leq\int\int_D|f(x,y)|d\delta

    4.2 二重积分的直角坐标系的计算

    还记得之前在讲重积分的求土豆体积的例子吗:
    V=abA(x)dxV=\int^b_a A(x)dx

    A(x)A(x)是横截面函数表达式,也就是说我们只需要对横截面进行积分就能求出体积。

    在这里插入图片描述
    所以,得出我们求二重积分的方法:
    ab[A(x)B(x)f(x,y)dy]dx\int_a^b[\int_{A(x)}^{B(x)}f(x,y)dy]dx

    当然,我们可以写成这样:

    在这里插入图片描述

    同理,我们可以写成这样:
    在这里插入图片描述

    至于使用哪一种取决于题目的具体需要。


    例题:

    在这里插入图片描述

    我们在处理dydy的时候,把x看成常数


    例题:y=xy=xy2=4xy^2=4x,我们需要先把图画出来

    在这里插入图片描述


    积分次序的交换

    处理的时候,我们一定要把图画出来


    例题:
    1e0lnxf(x,y)dy\int_1^e\int^{lnx}_0f(x,y)dy

    先把图画出来:
    在这里插入图片描述


    例题:交换次序:
    0edy12f(x,y)dx+ee2dylny2f(x,y)dx\int_0^edy\int_1^2f(x,y)dx+\int_e^{e^2}dy\int_{lny}^2f(x,y)dx

    一样需要先把图画出来:

    在这里插入图片描述


    如何正确的选择X型还是Y型,会在一定程度上影响计算量和计算方式:
    在这里插入图片描述


    4.3 二重积分的极坐标系的计算

    极坐标的基础
    我们表达一个点,需要把(0,0)看成是极点,需要一个角度和长度,就能描述坐标系内所有的点了。

    在这里插入图片描述

    常见的极坐标表示图形:

    在这里插入图片描述
    涉及到圆的就直接写,如果是我们常见的初等函数,我们采用下面的转化法:

    • x=ρcosθx=\rho cos\theta
    • y=ρsinθy=\rho sin\theta

    我们在把一个直角坐标系下的积分转化为极坐标的时候需要注意:

    dδ=rdrdθd\delta=rdrd\theta

    这个 rr 千万不要漏掉了!!!

    而且,做极坐标的二重积分的时候,θ\theta 必须在前面。


    什么时候用极坐标,就是出现了 x2x^2y2y^2之类的特征,或者是 xy\frac{x}{y}yx\frac{y}{x}

    例题:
    Dex2y2dδ\int\int_De^{-x^2-y^2}d\delta
    x2+y2a2x^2+y^2\leq a^2

    先画出积分区域:
    在这里插入图片描述

    02πdθ0aer2rdr\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^ae^{-r^2}rdr
    02πdθ0a12er2dr2\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^a\frac{1}{2}e^{-r^2}dr^2


    例题:Darctanyxdδ\int\int_D arctan \frac{y}{x} d\delta
    积分区域如下:
    在这里插入图片描述

    arctanyxdδ=arctanρcosθρsinθ=θrdθdrarctan \frac{y}{x} d\delta=arctan \frac{\rho cos \theta}{\rho sin \theta}=\theta rd\theta dr


    5. 曲线积分和曲面积分

    5.1 第一类曲线积分

    所谓的曲线积分,我们实际上是对微积分应用上的拓展,使得他能解决更多的实际问题。

    第一类曲线积分求的是密度函数在一段曲线上的质量。

    Lf(x,y)ds\int_L f(x,y) ds
    dsds 就是我们把一段曲线分成小块之后的曲线元素

    在这里插入图片描述

    求第一类曲线积分公式:
    曲线 L={x(t)y(t)L=\begin{cases}x(t)\\y(t)\end{cases} ,(T0tT1T_0\leq t \leq T_1)我们需要把写成参数方程的形式。

    Lf(x,y)ds=T0T1f(x(t),y(t))(x(t))2+(y(t))2dt\int_L f(x,y) ds=\int_{T_0}^{T_1}f(x(t),y(t))\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} dt


    例题:
    已知曲线积分:Lyds\int_L \sqrt{y} ds
    Ly=x2L:y=x^2,问在点O(0,0)O(0,0)到点B(1,1)B(1,1)的曲线积分

    首先,这个曲线积分的形式是第一类曲线积分,所以我们计算的公式是:

    L:{x=ty=t2L:\begin{cases}x=t\\y=t^2\end{cases}

    0t10 \leq t \leq 1

    Lf(x,y)ds=01t1+4t2dt=112(551)\int_L f(x,y) ds=\int_{0}^{1}t\sqrt{1+4t^2} dt=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1)


    例题:已知曲线积分:Ly2ds\int_L y^2 ds,积分区域 LL 如下:
    在这里插入图片描述

    这个时候,我们描述需要用极坐标直接写成参数。

    αθα-\alpha \leq \theta \leq \alpha
    {x=Rcosθy=Rsinθ\begin{cases}x=Rcos\theta\\y=Rsin\theta\end{cases}

    代入处理即可。
    在这里插入图片描述


    5.2 第二类曲线积分

    第一类曲线积分求的是曲线的质量,所以我们的点到点是没有方向的,导致了写积分上下限的时候,只需要大的在上即可。

    但是,第二类的曲线积分,是点到点的在变力函数做的功。

    第二类曲线积分的形式:

    LP(x,y)dx+Q(x,y)dy\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy

    第二类曲线积分有两个部分,分别是Δx\Delta xΔy\Delta y,但是很多时候求一个部分即可的。

    假如,点到点轨迹分段的话,我们求曲线积分也要分开来求。

    公式:
    LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=T0T1P(x(t),y(t))x(t)+Q(x(t),y(t))y(t)dt\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{T_0}^{T_1} P(x(t),y(t)) x'(t) + Q(x(t),y(t)) y'(t)dt


    例题:
    已知曲线积分:Lxydx\int_Lxy dxLL 如下:
    在这里插入图片描述

    首先,看dxdx,我们就知道这是第二类曲线积分了,我们有两种方法,第一种就是就是直接算。

    AOBA\rightarrow O\rightarrow B

    y=±xy=\pm\sqrt{x}

    AOxydx+OBxydx=10x(x)dx+01x(x)dx=201x32dx=45\int_{AO}xydx+\int_{OB}xydx=\int_1^0x(-\sqrt{x})dx+\int_0^1x(\sqrt{x})dx=2\int_0^1x^{\frac{3}{2}}dx=\frac{4}{5}

    第二种方法:
    我们转换成 x=y2x=y^2
    11y2y2ydy=45\int_{-1}^1 y^2y2ydy=\frac{4}{5}


    例题:已知曲线积分:L2xydx+x2dy\int_L2xydx+x^2dyA(1,0)A(1,0)

    • y=x2y=x^2O(0,0)B(1,1)O(0,0)\rightarrow B(1,1)
    • x=y2x=y^2O(0,0)B(1,1)O(0,0)\rightarrow B(1,1)
    • OABO\rightarrow A \rightarrow B

    先把图画出来:

    在这里插入图片描述
    求三个:

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    二重积分

    利用直角坐标计算二重积分

    利用极坐标计算二重积分

    无穷级数

    常数项级数的审敛法

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    曲线曲面积分

    三重积分计算

    曲线积分计算 格林公式

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  • 2.2 求导法则

    2020-09-03 10:15:43
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    本篇内容为四则和复合的求导法则和证明

    第二部分 求导法则(四则、复合、反函数求导)

    四则求导法则
    在这里插入图片描述
    加减法,以加法为例
    在这里插入图片描述
    乘法
    在这里插入图片描述
    除法
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    复合求导法则
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    反函数求导法则
    y=f(x)要严格单调才有反函数
    反函数解法:y=f(x)→x=f(y),调换x,y,这是中学的解法,高等数学中将y=f(x)解成x=f(y)的形式,不做x,y的调换,也就是说,x还是原来的x,y还是原来的y
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    总结

    本篇内容为求导法则(四则、复合、反函数)的证明,为下一篇总结常用的求导公式做铺垫,在下一届中,在求导公式推导中练习本篇的理论。

    预:常用求导公式总结及推导

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    高数学完一年多了,最近在学信号与系统中的傅里叶变换,才发现高数当中的部分忘了很多,果然是温故而知新啊!

    这是当时老师给我们划的期末考试重点,就当是复习提纲了吧!

    1. 复合函数求二阶偏导(链式法则)
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    2. 条件极值、最值(拉格朗日乘数法)
    3. 二重积分直角坐标(变换顺序)、极坐标
    4. 三重积分求解法
    5. 平面二线型
    6. 一型面:曲面型构建的质量
    7. 二型面
    8. 求幂级数的收敛域、和函数
    9. 幂级数展开
    10. 傅里叶变换

    常考的小知识点:

    1. 方向导数、梯度
    2. 曲线的切线、法平面
    3. 曲面的切平面、法线
    4. 求全微分
    5. 极值的必要条件
    6. 积分区域的对称性
    7. 一型线计算
    8. 级数收敛必要条件
    9. 任意项级数的绝对收敛、条件收敛
    10. 傅里叶级数的收敛性
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复合函数解法