讲义修订日期：2020年9月25日

讲义目录：
空间解析几何基础

解析几何基础
常见曲面方程

二元函数

二元函数概念
二元函数的极限
二元函数的连续性
偏导数和高阶偏导
多元复合函数求导
隐函数求导
多元函数的极值和最值（实际问题的解法）

全微分

全微分和偏微分
近似计算

二重积分

二重积分的含义和性质
二重积分的直角坐标系的计算
二重积分的极坐标系的计算

曲线积分

1. 空间解析几何基础
1.1 解析几何基础
假设两个点：$A=(x_0,y_0)$，$B=(x_1,y_1)$
两个向量$a=[x_0,y_0]$，$b=[x_1,y_1]$
我们先看二维的一些学过的公式：

两点距离公式：$\sqrt{(y_1-y_0)^2+(x_1-x_0)^2}$
两个向量的内积（数量积）：$(a,b)=x_0x_1+y_0y_1=||a||*||b||*cos\theta$
向量的模：$||a||=\sqrt{(a,a)}$
向量平行：两个向量的列线性关系：$x_0/x_1=y_0/y_1$
向量垂直：内积为0

同理的三维的点和三维的向量可以同理：

假设两个点：$A=(x_0,y_0,z_0)$，$B=(x_1,y_1,z_0)$
两个向量$a=[x_0,y_0,z_0]$，$b=[x_1,y_1,z_1]$

两点距离公式：$\sqrt{(y_1-y_0)^2+(x_1-x_0)^2+(z_1-z_0)^2}$
两个向量的内积（数量积）：$(a,b)=x_0x_1+y_0y_1+z_0z_1=||a||*||b||*cos\theta$
向量的模：$||a||=\sqrt{(a,a)}$
向量平行：两个向量的列线性关系：$x_0/x_1=y_0/y_1=z_0/z_1$
向量垂直：内积为0

我们研究二元函数的基础就是建立在一个三维的空间内，在这个空间内，我们能表达出：点线面，我们的二元函数实际上就是一个曲面。
平面的话：$Ax+By+Cz+D=0$（每个变量都是一次的）
直线的话，需要两个平面决定一条直线：
$a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2$
两个平面平行的条件，就是上面的非齐次方程无解：$r(A)\neq r(\bar{A})$
直线垂直于平面的话，那么该直线垂直于平面任意两条相交的直线
求平面方程：
如果要求一个平面方程，过X轴，那么设的平面方程：$By+Cz=0$

如果是平行于X轴：那么设平面方程：$By+Cz+D=0$

1.2 常见的曲面方程
$F(x,y,z)=0$就是曲面方程，当然，平面方程是曲面方程的一种特殊情况而已。

$xoy$ 平面：$z=0$
$zoy$ 平面：$x=0$
$xoz$ 平面：$y=0$

球面方程
注意不是球体。
$\sqrt{(x-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_0-z_1)^2}=R$
球体方程：$x^2+y^2+z^2=R$
柱面方程

$x^2+y^2=R^2$



2. 二元函数
2.1 二元函数概念
二元函数：

$z=f(x,y)$
二元函数的邻域：

$U(p_0,\delta)={(x_0,y_0)|\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2)}<\delta}$
二元函数的去心邻域：

$\bar{U}(p_0,\delta)={(x_0,y_0)|0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2)}<\delta}$
二元函数的定义域求出来是一个平面$f(x,y)=0$

2.2 二元函数的极限
我们先看一元函数的极限：

$lim_{x\rightarrow a}f(x)$

从两个方向逼近，即可确定极限的存在：


二元函数的极限：

$lim_{(x,y)\rightarrow(a,b)}f(x,y)$



和一元的极限最大的不同，在于他需要从各个方向逼近都一致，我们才能说这个极限存在。
所以，会有一种判断极限不存在的题目，我们只需要找到一个方向逼近导致极限不一致即可证明。

例题：证明下面的极限不存在：

$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}\\0 \end{cases}$
$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}=0$

我们只需找到一个方向不是即可：$y=x$

$\frac{x^2}{x^2+x^2}=\frac{1}{2}$
得证，该极限不存在

例题：$lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x+y}{x-y}$

当 $y=0$，$lim=1$，$x=0$ ，$lim=-1$
得证，不存在

求二元函数的极限
但是更多的，我们可能是求二元极限：求法和一元的类似。
需要记住：等价无穷小（趋向于0）的替换

例题：

（1）$lim_{(x,y)\rightarrow (0,5)}\frac{x}{sinxy}$
（2）$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}$
（3）$lim_{(x,y)\rightarrow(\infty,\infty)}\frac{x+y}{x^2+y^2}$
（4）$lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{2-\sqrt{xy+4}}{xy}$
（5）$lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{(2+x)sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$
（6）$lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\sqrt{x^2+y^2}sin(\frac{1}{x^2+y^2})$


（1）$lim\frac{xy}{sinxy}\frac{1}{y}=\frac{1}{5}$
（2）方法1：$lim\frac{y^2}{x^2+y^2}$有界

有界*0=0
方法2：夹逼：$0\leq|\frac{xy^2}{x^2+y^2}|\leq|\frac{xy^2}{2xy}|$
$lim=0$
（3）夹逼：$0\leq |\frac{x+y}{x^2+y^2}|\leq \frac{|x|+|y|}{2|x||y|}$
$lim=0$
（4）上下同时乘以$(2+\sqrt{xy+4})$，$lim=-\frac{1}{4}$
（5）

针对三角函数的处理，如果是在分式里面的话，我们就使用等价无穷小进行替换，如果是独立出来的话，我们就用（有界和0的故事处理）
$lim=2$
（6）$sin\frac{1}{x^2+y^2}$ 有界，前面是$lim=0$
$lim=0$

2.3 二元函数的连续性
一元函数的连续性就是：一笔画
在代数上表示：$lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$

该点有定义
有极限
极限等于定义

那如果从几何上取理解二元函数的连续就是：这是一块没有破洞的布
需要注意的是，在一元函数里面，连续一定是可导的，但是呢，在二元这里，偏导存在却不一定连续。
因为偏导的存在，只是代表了在两个方向上的极限一样而已，并不能代表该点的极限存在。

2.4 偏导数和高阶偏导
我们先看一元函数的导数定义：
$lim_{\Delta x\rightarrow 0}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
等式存在，我们才叫是导数存在
为什么我们要叫偏导数呢？
偏增量：因为某一个变量产生的变化而导致的结果变化
其他的变量我们暂时把他看成常数。
研究偏导数就是需要研究$z$是由于因为什么原因而导致的变化。
所以呢，当我们求某一个变量的偏导的时候，就需要把其他的变量看成常数。
$f'_x(x_0,y_0)=\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}$

二阶偏导

求导之后再求导
$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial ^2z}{\partial x}$
假如该函数是连续的，才有：$Z''_{xy}=Z''_{yx}$
判断题会把“连续”漏掉的来迷惑你的，记得必须有。

例题：更多元的求偏导同理：

$u=x^{y^z}$
$\frac{\partial u}{\partial x}=x^R$

梯度

求函数$z=x^2-xy+y^2$在点$(1,2)$处的梯度
先把偏导求出来：

$f'_x=2x-y$

$f'_y=-x+2y$
代入得0和3

那么梯度：$grad=0i+3j=3j$

2.5 多元复合函数求导
很简单，我们有一个秘诀，先把关系图画出来：



假如，我们需要找：$\frac{\partial z}{\partial x}$
有两条路：



所以，我们这样写：
$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$
有一些特别的是，像这样你需要写：$\frac{dz}{dx}$



需要注意的是何时求偏导，何时求导

例题：
$z=u^2v+3uv^4$

$u=e^t，v=sint$

先画图：



2.6 隐函数求导
这里，我们先看一元隐函数的求导，我们之前利用的是两边同时对 $x$ 求导，然后把 $y$ 看成是 $x$ 的复合函数，现在，我们可以利用偏导的方法处理。
一元的隐函数：$F(x,y)=0$
先把 $F(x,y)=z$ 看成一个二元函数
$\frac{dy}{dx}=-\frac{F'x}{F'y}$
注意公式是交错对应的，而且还有负号

例题：$xy^2-lny=a$

$Z=xy^2-lny-a$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{y^2}{2xy-\frac{1}{y}}$
当然，我们也可以用我们之前学过的办法：

两边同时对x求导：
$x(y^2)'+x'y^2-(lny)'=0$

$2xyy'+y^2-\frac{y'}{y}=0$

如果我们处理二元隐函数，方法是一样的

$F(x,y,z)=0$
$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F'_x}{F'_z}$
处理的时候也需要注意：相反对应，有负号
我们先把他看成三元函数：

$G=F(x,y,z)$

2.7 多元函数的极值和最值（实际问题的解法）
我们之前也讲过一元函数的极值和最值的问题了，这里和求导息息相关。
我们看多元函数的极值和最值，极值是在邻域内，可能不唯一，最值在整个区域内，一定是唯一的。
最值唯一，但是最值点是不唯一的。一般我们说点，就是描述自变量。
但是偏导存在极值却不一定存在哦！
偏导不存在的时候，极值也可能存在，比如这个：


极值存在的充分条件（曲面极值的判断方法）：

$Z=f(x,y)$

$A=f''_{xx}$
$B=f''_{xy}$
$C=f''_{yy}$

极值的情况：

$B^2-AC=0$ 无法判断
$B^2-AC>0$ 没有极值
$B^2-AC<0$ 存在极值（混合二阶偏导的斜率很小，那就是可能是顶/底点了）

当第三种情况的时候我们进一步判断：

$A<0$ 极大点
$A>0$ 极小点


例题：问函数$f(x,y)=x^2+5y^2-6x+10y+6$的极值点

问是不是极值点，我们判断一下$B^2-AC$即可

$f'_x=2x-6$

$f'_y=10y+10$
驻点：$(3,-1)$
$A=f''_{xx}=2$

$B=f''_{xy}=0$

$C=f''_{yy}=10$
$B^2<AC$
所以存在极值

二元函数的最值和一元函数的最值考法不同，一元的话，问最值的话我们可能还需要考虑端点的比较，但是，在二元的时候，端点是边界点，所以我们一般不考虑了。
所以在二元函数这里的考题，问极值就是问最值，一般会联系一个实际问题来进行考察。

例题：

已知体积是8的有盖长方体，问用料最省，怎么设计长宽高？

$xyz=8$
因为是有盖子的

$f=2(xy+yz+xz)$

$f(x,y)=2(xy+\frac{8}{x}+\frac{8}{y})$
$f'_x=2y-\frac{16}{x^2}$

$f'_y=2x-\frac{16}{y^2}$
驻点：$(2,2)$

条件极值和条件最值
这里才是重点菜！！因为对于一个曲面来说，区域实在太大了，我们需要固定住一部分的范围来研究最值和极值。

例题：求 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 的极值，条件是 $x+y=1$
如果我们在几何表示出来的话：


我们的方法是 拉格朗日常数法。
我们管 $z=f(x,y)$ 叫做目标函数，管$g(x,y)=0$是约束函数
第一步：构造一个函数如下：

$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$
然后解方程：

$L'_x=0$，$L'_y=0$，$L'_{\lambda}=0$

例题：怎样用料最省，体积是8

目标函数：$M=f(x,y,z)$

约束函数：$xyz-8=0$
$L(x,y,z,\lambda)=2(xy+yz+xz)+\lambda(xyz-8)$
$L'_x=0，L'_y=0，L'_z=0，L'_\lambda=0$

例题：

已知点$(x_0,y_0,z_0)$，求到平面$Ax+By+Cz+D=0$，最短的距离

$d=\sqrt{(x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2}$
约束函数：$Ax+By+Cz+D=0$

构造出来，导数等于0 ，解出来即可

3. 全微分
3.1 全微分和偏微分
之前我们说过偏导数，是因为在某个方向的截面上发生的改变所导致的偏增量。
假如两个变量同时变化所导致的变化就是全增量
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$
我们依旧采取近似的思想，


$\Delta x\Delta y$足够小的话，我们可以省略不计。
对于微分来说，$\Delta x$ 和 $\Delta y$ 才是自变量。
$dz=f'_x\Delta x+f'_y\Delta y$
$dz$ （近似值）约等于$\Delta z$（精确值）
假如 $z=f(x,y)$ 有连续的偏导，就可微。



一元函数的关系：


偏微分
$f'_xdx$和$f'_ydy$就是偏微分

求全微分
例题：$u=x^2+sin\frac{y}{2}+e^{xyz}$

$du=(2x+yze^{xyz})dx+(\frac{1}{2}cos\frac{y}{2}+xze^{xyz})dy+(xye^{xyz})dz$
如果求在某点（0，0，0）的全微分，那么代入即可。

3.2 近似计算
这个和一元的差不多：$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\approx f'_xdx+f'_ydy=dz$

例如计算：$1.04^{2.02}$

$(1+0.04)^{2+0.02}$
$f(x,y)=x^y$
$f'_x=yx^{y-1}$，$f'_y=x^ylnx$
代入：$x=1，\Delta x=0.04$，$y=2，\Delta y=0.02$
$=1.08$

近似计算的厚度问题：

问原料和体积，没有盖子，但是有厚度
$V=SH=\pi r^2h$

$\Delta V=V'_r\Delta r+V'_h\Delta h$

4. 二重积分
4.1 二重积分的含义和性质
我们需要用体积来引出二重积分的概念，首先，我们知道二元函数在空间的表现是一个曲面。
那么二重积分的定义：

$lim_{d\rightarrow0}\sum f(x_i,y_i)\Delta s_i$
$d$是两点最远的距离，为什么我们不用面积最小呢？你想，当我们横着分的时候就不均匀了。
我们分块的方式有两种，一种是以直角坐标的分法，一种是以极坐标的分法。



二重积分的性质

$\int\int_Dkf(x,y)d\delta=k\int\int_Df(x,y)d\delta$
$\int\int_D(f(x,y)\pm g(x,y))d\delta=\int\int_Df(x,y)d\delta\pm\int\int_Dg(x,y)d\delta$
$\int\int_Df(x,y)d\delta=\int\int_{D_1}f(x,y)d\delta\pm\int\int_{D_2}f(x,y)d\delta$
$f(x,y)\leq g(x,y)，\int\int_Df\leq\int\int_D g$
$|\int\int_Df(x,y)d\delta|\leq\int\int_D|f(x,y)|d\delta$


4.2 二重积分的直角坐标系的计算
还记得之前在讲重积分的求土豆体积的例子吗：

$V=\int^b_a A(x)dx$
$A(x)$是横截面函数表达式，也就是说我们只需要对横截面进行积分就能求出体积。


所以，得出我们求二重积分的方法：

$\int_a^b[\int_{A(x)}^{B(x)}f(x,y)dy]dx$
当然，我们可以写成这样：

同理，我们可以写成这样：


至于使用哪一种取决于题目的具体需要。

例题：

我们在处理$dy$的时候，把x看成常数

例题：$y=x$，$y^2=4x$，我们需要先把图画出来



积分次序的交换
处理的时候，我们一定要把图画出来

例题：

$\int_1^e\int^{lnx}_0f(x,y)dy$

先把图画出来：



例题：交换次序：

$\int_0^edy\int_1^2f(x,y)dx+\int_e^{e^2}dy\int_{lny}^2f(x,y)dx$

一样需要先把图画出来：


如何正确的选择X型还是Y型，会在一定程度上影响计算量和计算方式：



4.3 二重积分的极坐标系的计算
极坐标的基础

我们表达一个点，需要把（0，0）看成是极点，需要一个角度和长度，就能描述坐标系内所有的点了。

常见的极坐标表示图形：


涉及到圆的就直接写，如果是我们常见的初等函数，我们采用下面的转化法：

$x=\rho cos\theta$
$y=\rho sin\theta$

我们在把一个直角坐标系下的积分转化为极坐标的时候需要注意：
$d\delta=rdrd\theta$
这个 $r$ 千万不要漏掉了！！！
而且，做极坐标的二重积分的时候，$\theta$ 必须在前面。

什么时候用极坐标，就是出现了 $x^2$，$y^2$之类的特征，或者是 $\frac{x}{y}$ 和 $\frac{y}{x}$
例题：

$\int\int_De^{-x^2-y^2}d\delta$

$x^2+y^2\leq a^2$

先画出积分区域：


$\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^ae^{-r^2}rdr$

$\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^a\frac{1}{2}e^{-r^2}dr^2$

例题：$\int\int_D   arctan   \frac{y}{x}  d\delta$

积分区域如下：



$arctan \frac{y}{x} d\delta=arctan \frac{\rho cos \theta}{\rho  sin \theta}=\theta rd\theta dr$

5. 曲线积分和曲面积分
5.1 第一类曲线积分
所谓的曲线积分，我们实际上是对微积分应用上的拓展，使得他能解决更多的实际问题。
第一类曲线积分求的是密度函数在一段曲线上的质量。
$\int_L f(x,y) ds$

$ds$ 就是我们把一段曲线分成小块之后的曲线元素

求第一类曲线积分公式：

曲线 $L=\begin{cases}x(t)\\y(t)\end{cases}$ ，($T_0\leq t \leq T_1$)我们需要把写成参数方程的形式。
$\int_L f(x,y) ds=\int_{T_0}^{T_1}f(x(t),y(t))\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} dt$

例题：

已知曲线积分：$\int_L \sqrt{y} ds$

$L：y=x^2$，问在点$O(0,0)$到点$B(1,1)$的曲线积分

首先，这个曲线积分的形式是第一类曲线积分，所以我们计算的公式是：
$L:\begin{cases}x=t\\y=t^2\end{cases}$
$0 \leq t \leq 1$
$\int_L f(x,y) ds=\int_{0}^{1}t\sqrt{1+4t^2} dt=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1)$

例题：已知曲线积分：$\int_L y^2 ds$，积分区域 $L$ 如下：



这个时候，我们描述需要用极坐标直接写成参数。
$-\alpha \leq \theta \leq \alpha$

$\begin{cases}x=Rcos\theta\\y=Rsin\theta\end{cases}$
代入处理即可。



5.2 第二类曲线积分
第一类曲线积分求的是曲线的质量，所以我们的点到点是没有方向的，导致了写积分上下限的时候，只需要大的在上即可。
但是，第二类的曲线积分，是点到点的在变力函数做的功。
第二类曲线积分的形式：
$\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy$
第二类曲线积分有两个部分，分别是$\Delta x$和$\Delta y$，但是很多时候求一个部分即可的。
假如，点到点轨迹分段的话，我们求曲线积分也要分开来求。
公式：

$\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{T_0}^{T_1} P(x(t),y(t)) x'(t) + Q(x(t),y(t)) y'(t)dt$

例题：

已知曲线积分：$\int_Lxy dx$，$L$ 如下：



首先，看$dx$，我们就知道这是第二类曲线积分了，我们有两种方法，第一种就是就是直接算。
$A\rightarrow O\rightarrow B$
$y=\pm\sqrt{x}$
$\int_{AO}xydx+\int_{OB}xydx=\int_1^0x(-\sqrt{x})dx+\int_0^1x(\sqrt{x})dx=2\int_0^1x^{\frac{3}{2}}dx=\frac{4}{5}$
第二种方法：

我们转换成 $x=y^2$

$\int_{-1}^1 y^2y2ydy=\frac{4}{5}$

例题：已知曲线积分：$\int_L2xydx+x^2dy$ ，$A(1,0)$

$y=x^2$，$O(0,0)\rightarrow B(1,1)$
$x=y^2$，$O(0,0)\rightarrow B(1,1)$
$O\rightarrow A \rightarrow B$


先把图画出来：

考研数学
极限与连续
求极限的方法
间断点的分类
渐近线
一元函数微分学
导数定义
导数的四则运算法则 反函数求导 复合函数求导
隐函数求导 参数方程求导 对数求导法则
微分
中值定理 闭区间连续函数性质
单调性 极值 最值 凹凸 拐点
一元函数积分学
不定积分
反常积分
定积分应用
微分方程
一阶微分方程的解法
可降阶的微分方程
二阶线性微分方程的解法
多元函数的极限 多元函数的偏导数 全微分
多元复合函数求导法则 隐函数求导公式
多元函数极值及其求法
二重积分
利用直角坐标计算二重积分
利用极坐标计算二重积分
无穷级数
常数项级数的审敛法
幂级数
函数展开成幂级数
曲线曲面积分
三重积分计算
曲线积分计算 格林公式
曲面积分 高斯公式

极限与连续
求极限的方法
间断点的分类
渐近线
一元函数微分学
导数定义
导数的四则运算法则 反函数求导 复合函数求导
隐函数求导 参数方程求导 对数求导法则
微分
中值定理 闭区间连续函数性质
单调性 极值 最值 凹凸 拐点
一元函数积分学
不定积分
反常积分
定积分应用
微分方程
一阶微分方程的解法
可降阶的微分方程
二阶线性微分方程的解法
多元函数的极限 多元函数的偏导数 全微分
多元复合函数求导法则 隐函数求导公式
多元函数极值及其求法
二重积分
利用直角坐标计算二重积分
利用极坐标计算二重积分
无穷级数
常数项级数的审敛法
幂级数
函数展开成幂级数
曲线曲面积分
三重积分计算
曲线积分计算 格林公式
曲面积分 高斯公式

本篇内容为四则和复合的求导法则和证明
第二部分 求导法则（四则、复合、反函数求导）
四则求导法则



加减法，以加法为例



乘法



除法


复合求导法则




反函数求导法则

y=f(x)要严格单调才有反函数

反函数解法：y=f(x)→x=f(y)，调换x,y，这是中学的解法，高等数学中将y=f(x)解成x=f(y)的形式，不做x,y的调换,也就是说，x还是原来的x，y还是原来的y




总结
本篇内容为求导法则（四则、复合、反函数）的证明，为下一篇总结常用的求导公式做铺垫，在下一届中，在求导公式推导中练习本篇的理论。
预：常用求导公式总结及推导

高数学完一年多了，最近在学信号与系统中的傅里叶变换，才发现高数当中的部分忘了很多，果然是温故而知新啊！

这是当时老师给我们划的期末考试重点，就当是复习提纲了吧！

复合函数求二阶偏导（链式法则）

	隐函数求偏导（直接对方程两边求导）
	
条件极值、最值（拉格朗日乘数法）
	
二重积分直角坐标（变换顺序）、极坐标
	
三重积分求解法
	
平面二线型
	
一型面：曲面型构建的质量
	
二型面
	
求幂级数的收敛域、和函数
	
幂级数展开
	
傅里叶变换
常考的小知识点：

方向导数、梯度
	
曲线的切线、法平面
	
曲面的切平面、法线
	
求全微分
	
极值的必要条件
	
积分区域的对称性
	
一型线计算
	
级数收敛必要条件
	
任意项级数的绝对收敛、条件收敛
	
傅里叶级数的收敛性