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  • 就函数的n次自身复合函数为线性函数的解的过程进行了较为详细的探讨,由此得到了关于解的一些结果。
  • 复合形法复合形法与第二种单纯形法的相似度极高,请参见工程优化设计与Matlab实现——无约束问题的直接解法(二)中的第二种单纯形法。复合形法的基本思路是在可行域内构造一个具有N个顶点的复合形,找出各顶点中的...

    约束问题的直接解法,像是在无约束问题的直接解法中加入了约束条件的判断。

    随机方向法对应着坐标轮换法,而复合形法对应着单纯形法。

    复合形法

    复合形法与第二种单纯形法的相似度极高,请参见工程优化设计与Matlab实现——无约束问题的直接解法(二)中的第二种单纯形法。

    复合形法的基本思路是在可行域内构造一个具有N个顶点的复合形,找出各顶点中的最坏点(函数值最大的点),再沿某一方向找到函数值下降的点来替换最坏点,得到新的复合形

    有了单纯形法的基础,直接上流程图:

    6952c4e27961429e17caaff08f81af33.png
    复合形法流程图

    举栗子

    利用复合形法求目标函数在约束条件下的极小值点和极小值

    主程序如下:

    clc

    目标函数定义如下:

    function

    复合形法函数定义如下:

    function

    计算结果如下:

    a32f28cf5a56eada19c8be86e5c899e3.png

    271cab5853af40007f1b56f76154d28a.png

    复合形法函数程序说明如下:

    20aa8e23e79f20c99c0377c5c031828d.png
    复合形法函数程序说明
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  • 对于多元函数f(x)f(x)f(x)来说,证明其在某一点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​)处极限不存在的方法就是找到两条不同的趋于(x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​)的路径,使得f(x,y)f(x,y)f(x,y)在这两条路径上趋于不同的值。...

    对于多元函数 f ( x ) f(x) f(x)来说,证明其在某一点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处极限不存在的方法就是找到两条不同的趋于 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的路径,使得 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在这两条路径上趋于不同的值。
    对于二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)来说, ( x , y ) (x,y) (x,y)沿任意路径趋于 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)时二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)趋于同一个值A,则重极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) \lim \limits_{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y) (x,y)(x0,y0)limf(x,y)存在且也等于A.
    这一性质常常用来证明二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)这点的极限不存在,即找到两条趋于 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的路径,使得二元函数 f ( x ) f(x) f(x)在这两条路径上趋于不同的值。然而,在绝大多数的数学分析教科书中,常常只介绍利用相对简单的径向路径来证明一个二元函数在某一点的极限不存在,即当二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)沿着 y = k x y=kx y=kx这些路径趋于 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)时,若极限与径向的斜率 k k k相关,则二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)这点的极限不存在。而这种方法对些相对较为复杂的二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)通常是失效的例如,考虑二元函数 f ( x , y ) = x 2 y 2 x 3 + y 3 f(x, y)=\frac{x^{2} y^{2}}{x^{3}+y^{3}} f(x,y)=x3+y3x2y2 ( x , y ) (x,y) (x,y)趋于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)的极限时,不难发现 ( x , y ) (x,y) (x,y)沿着径向路径 y = k x y=kx y=kx的极限都为0.然而 f ( x , y ) = x 2 y 2 x 3 + y 3 f(x, y)=\frac{x^{2} y^{2}}{x^{3}+y^{3}} f(x,y)=x3+y3x2y2 ( x , y ) (x,y) (x,y)趋于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)是不存在极限的,若考虑路径 y = − x + α 2 x 2 y=-x+\frac{\alpha}{2} x^{2} y=x+2αx2,则
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 y 2 x 3 + y 3 = lim ⁡ y = − x + α 2 x 2 + 2 ( α 2 ) 3 x 3 − α x 2 + x ( α 2 ) 3 x 3 − 3 ( α 2 ) 2 x 2 + 3 α 2 x = 2 3 α \begin{aligned} &\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{3}+y^{3}}=\lim _{y=-x+\frac{\alpha}{2} x^{2}+2} \frac{\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{3} x^{3}-\alpha x^{2}+x}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{3} x^{3}-3\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{2} x^{2}+3 \frac{\alpha}{2} x}\\ &=\frac{2}{3 \alpha} \end{aligned} (x,y)(0,0)limx3+y3x2y2=y=x+2αx2+2lim(2α)3x33(2α)2x2+32αx(2α)3x3αx2+x=3α2

    下面我们老考虑这些极限是怎样计算出来的

    事实上,从解析几何的观点来看, ( x , y ) (x,y) (x,y)沿某一路径趋于 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)可以被理解为 ( x , y ) (x,y) (x,y)在趋于 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的过程中,变量y是一个关于变量x的函数,即 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x),而且这个函数还满足 y 0 = y ( x 0 ) y_{0}=y\left(x_{0}\right) y0=y(x0)。因此, ( x , y ) (x,y) (x,y)沿某一路径趋于 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)时, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的极限可以理解为复合函数 £ f ( x , y ( x ) ) £ f(x, y(x)) £f(x,y(x)) x ⟶ x 0 x \longrightarrow x_{0} xx0时的极限。在这种观点下,我们将利用一元函数的洛必达法则来探索上述这些路径是如何被发现的。

    首先考虑 f ( x , y ) = x 3 + y 3 x 2 + y f(x, y)=\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y} f(x,y)=x2+yx3+y3,由于此时我们将 y y y看成是一个 x x x的函数,故当 y = − x 2 + g ( x ) y=-x^{2}+g(x) y=x2+g(x) lim ⁡ x → 0 g ( x ) = 0 \lim \limits_{x \rightarrow 0} g(x)=0 x0limg(x)=0时, lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 + y 3 x 2 + y \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y} (x,y)(0,0)limx2+yx3+y3是一个关于变量 x x x 0 0 \frac{0}{0} 00极限,我们知道, 0 0 \frac{0}{0} 00不定式的极限与分子和分母两个因子的阶数有关。我们假设 y = − x 2 + g ( x ) y=-x^{2}+g(x) y=x2+g(x),分子分母同时求导可得:
    lim ⁡ x → 0 3 x 2 + 3 y 2 y 2 x + y ′ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x^{2}+3 y^{2} y}{2 x+y^{\prime}} x0lim2x+y3x2+3y2y
    若进一步,还有 lim ⁡ x → 0 g ′ ( x ) = 0 \lim \limits_{x \rightarrow 0} g^{\prime}(x)=0 x0limg(x)=0,再次进行求导,可得
    lim ⁡ x → 0 6 x + 6 y y ′ + 3 y 2 y ′ ′ 2 + y ′ ′ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6 x+6 y y^{\prime}+3 y^{2} y^{\prime \prime}}{2+y^{\prime \prime}} x0lim2+y6x+6yy+3y2y
    若再一次假设 lim ⁡ x → 0 g ′ ′ ( x ) = 0 \lim \limits_{x \rightarrow 0} g^{\prime \prime}(x)=0 x0limg(x)=0,再次求导得

    lim ⁡ x → 0 6 + 6 ( y ) 2 + 12 y y ′ ′ + 3 y 2 y ′ ′ ′ y ′ ′ ′ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+6(y)^{2}+12 y y^{\prime \prime}+3 y^{2} y^{\prime \prime \prime}}{y^{\prime \prime \prime}} x0limy6+6(y)2+12yy+3y2y
    由于 lim ⁡ x → 0 g ( x ) = lim ⁡ x → 0 g ( x ) = lim ⁡ x → 0 g ′ ′ ( x ) = 0 \lim \limits_{x \rightarrow 0} g(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} g(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} g^{\prime \prime}(x)=0 x0limg(x)=x0limg(x)=x0limg(x)=0,我们对上式进行积分,可得 y = − x 2 + α 6 x 3 y=-x^{2}+\frac{\alpha}{6} x^{3} y=x2+6αx3

    下面几个例题都可以采用上述方法

    例题一:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x − y x + y \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x-y}{x+y} (x,y)(0,0)limx+yxy
    解析:当 ( x , y ) (x,y) (x,y)沿 y = k x y=kx y=kx趋向于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时,有
    lim ⁡ x → 0 y → 0 x − y x + y = lim ⁡ x → 0 y = k x x − y x + y = lim ⁡ x → 0 x − k x x + k x = 1 − k 1 + k \lim _{x \rightarrow 0 \atop y \rightarrow 0} \frac{x-y}{x+y}=\lim _{x \rightarrow 0 \atop y=k x} \frac{x-y}{x+y}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-k x}{x+k x}=\frac{1-k}{1+k} y0x0limx+yxy=y=kxx0limx+yxy=x0limx+kxxkx=1+k1k
    所以极限不存在。

    例题二:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 y 2 x 2 y 2 + ( x − y ) 2 \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}} (x,y)(0,0)limx2y2+(xy)2x2y2

    解析:当 ( x , y ) (x,y) (x,y)沿着 y = x y=x y=x趋向于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时,有
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 y 2 x 2 y 2 + ( x − y ) 2 = lim ⁡ x → 0 x 2 y 2 x 2 y 2 + ( x − y ) 2 = lim ⁡ x → 2 x 2 x 2 x 2 x 2 + ( x − x ) 2 = 1 \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}} &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}} \\ &=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} x^{2}+(x-x)^{2}}=1 \end{aligned} (x,y)(0,0)limx2y2+(xy)2x2y2=x0limx2y2+(xy)2x2y2=x2limx2x2+(xx)2x2x2=1
    ( x , y ) (x,y) (x,y)沿着 y = 0 y=0 y=0趋向于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时,有
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 y 2 x 2 y 2 + ( x − y ) 2 = lim ⁡ x → 0 x 2 y 2 x 2 y 2 + ( x − y ) 2 = lim ⁡ x → 0 x 2 0 2 x 2 0 2 + ( x − 0 ) 2 = 0 \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}} &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} 0^{2}}{x^{2} 0^{2}+(x-0)^{2}}=0 \end{aligned} (x,y)(0,0)limx2y2+(xy)2x2y2=x0limx2y2+(xy)2x2y2=x0limx202+(x0)2x202=0
    因此极限不存在。

    例题三:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 + y 3 x 2 + y \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y} (x,y)(0,0)limx2+yx3+y3

    解析:当 ( x , y ) (x,y) (x,y)沿着 y = k x 3 − x 2 y=k x^{3}-x^{2} y=kx3x2趋向于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时,有
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 + y 3 x 2 + y = lim ⁡ x → 0 x 3 + y 3 x 2 + y = lim ⁡ x = k x 3 − x 2 x 3 + ( k x 3 − x 2 ) 3 x 2 + k x 3 − x 2 = 1 k \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y} &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y} \\ &=\lim _{x=k x^{3}-x^{2}} \frac{x^{3}+\left(k x^{3}-x^{2}\right)^{3}}{x^{2}+k x^{3}-x^{2}} \\ &=\frac{1}{k} \end{aligned} (x,y)(0,0)limx2+yx3+y3=x0limx2+yx3+y3=x=kx3x2limx2+kx3x2x3+(kx3x2)3=k1
    显然其随着k值得变化而变化,所以不是极值。

    例题四:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x ln ⁡ ( 1 + x y ) x + y \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \frac{\ln (1+x y)}{x+y} (x,y)(0,0)limxx+yln(1+xy)
    解析:当 ( x , y ) (x,y) (x,y)沿着 y = x α − x y=x^{\alpha}-x y=xαx趋向于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时,
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x ln ⁡ ( 1 + x y ) x + y = lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 y x + y = lim ⁡ x → 0 y = x α − x x 2 y x + y = lim ⁡ x → 0 x α + 2 − x 3 x α = lim ⁡ x → 0 ( x 2 − x 3 − α ) = { − 1 , α = 3 0 , α < 3 0 , α > 3 \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \frac{\ln (1+x y)}{x+y} &=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{x+y} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0 \atop y=x^{\alpha}-x} \frac{x^{2} y}{x+y}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{\alpha+2}-x^{3}}{x^{\alpha}} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{2}-x^{3-\alpha}\right)=\left\{\begin{array}{ll} -1, & \alpha=3 \\ 0, & \alpha<3 \\ 0, & \alpha>3 \end{array}\right. \end{aligned} (x,y)(0,0)limxx+yln(1+xy)=(x,y)(0,0)limx+yx2y=y=xαxx0limx+yx2y=x0limxαxα+2x3=x0lim(x2x3α)=1,0,0,α=3α<3α>3
    故极限不存在。

    例题五:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y x + y \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x+y} (x,y)(0,0)limx+yxy

    解析:当 ( x , y ) (x,y) (x,y)沿着 y = x 2 − x y=x^{2}-x y=x2x趋向于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时,有
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y x + y = lim ⁡ x → 0 y = x 2 − x x y x + y = lim ⁡ x → 0 x ( x 2 − x ) x + x 2 − x = lim ⁡ x → 0 ( x − 1 ) = − 1 \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x+y} &=\lim _{x \rightarrow 0 \atop y=x^{2}-x} \frac{x y}{x+y} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left(x^{2}-x\right)}{x+x^{2}-x} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0}(x-1)=-1 \end{aligned} (x,y)(0,0)limx+yxy=y=x2xx0limx+yxy=x0limx+x2xx(x2x)=x0lim(x1)=1
    ( x , y ) (x,y) (x,y)沿着 y = x y=x y=x趋向于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时,有
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y x + y = lim ⁡ x → 0 y = x x y x + y = lim ⁡ x → 0 x 2 2 x = 0 \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x+y}=\lim _{x \rightarrow 0 \atop y=x} \frac{x y}{x+y}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{2 x}=0 (x,y)(0,0)limx+yxy=y=xx0limx+yxy=x0lim2xx2=0
    故极限不存在。

    例题六:求证 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^y (x,y)(0,0)limxy不存在
    证明:当 ( x , y ) (x,y) (x,y)沿着 y = k ln ⁡ x y=\frac{k}{\ln x} y=lnxk趋向于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时,有
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y = e k \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^y=e^k (x,y)(0,0)limxy=ek
    所以极限不存在

    例题七:求证 lim ⁡ ( x , y ) → ( 1 , 1 3 ) tan ⁡ 3 π y 12 y − 4 − arctan ⁡ x 1 − x 4 \lim \limits_{(x, y) \rightarrow\left(1, \frac{1}{3}\right)} \frac{\frac{\tan 3 \pi y}{12 y-4}-\arctan x}{1-x^{4}} (x,y)(1,31)lim1x412y4tan3πyarctanx不存在
    证明:
    因为
    tan ⁡ 3 π y 12 y − 4 = π 4 + π 3 12 ( 3 y − 1 ) 2 + O ( ( 3 y − 1 ) 4 ) \frac{\tan 3 \pi y}{12 y-4}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi^{3}}{12}(3 y-1)^{2}+O\left((3 y-1)^{4}\right) 12y4tan3πy=4π+12π3(3y1)2+O((3y1)4)
    x = 3 y x=3y x=3y,则
    tan ⁡ 3 π y 12 y − 4 − arctan ⁡ x = 1 − x 2 + o ( 1 − x ) lim ⁡ ( x , y ) → ( 1 , 1 3 ) tan ⁡ 3 π y 12 y − 4 − arctan ⁡ x 1 − x 4 = lim ⁡ x → 1 1 − x 2 + o ( 1 − x ) 1 − x 4 = 1 8 \begin{array}{l} \frac{\tan 3 \pi y}{12 y-4}-\arctan x=\frac{1-x}{2}+o(1-x) \\ \lim _{(x, y) \rightarrow\left(1, \frac{1}{3}\right)} \frac{\frac{\tan 3 \pi y}{12 y-4}-\arctan x}{1-x^{4}}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{1-x}{2}+o(1-x)}{1-x^{4}}=\frac{1}{8} \end{array} 12y4tan3πyarctanx=21x+o(1x)lim(x,y)(1,31)1x412y4tan3πyarctanx=limx11x421x+o(1x)=81
    3 y − 1 = 1 − x 3 3 y-1=\sqrt[3]{1-x} 3y1=31x
    则有
    KaTeX parse error: Expected group after '_' at position 239: …{1-x^{4}}=\lim _̲\limits{x \righ…
    故极限不存在。

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  • 复合期权中,作为标的的期权含有交易对手违约的风险,对于含信用风险的复合期权,借助公司价值模型中的补偿率,同时采用重Poisson随机过程来确定违约的发生.其中重Poisson随机过程的强度函数遵从均值回复过程且与...
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  • 函数

    2018-12-05 15:02:08
    函数有界函数无界函数   函数是微积分研究的对象。 有界函数 定义:设y=f(x),x∈Dy=f(x),x\in Dy=f(x),x∈D,∃\exist∃常数N≤MN\leq MN≤M,∀x∈D\forall x \in D∀x∈D,都有N≤f(x)≤MN\leq f(x) \leq MN≤f...

      函数是微积分研究的对象。

    有界函数

    定义:设 y = f ( x ) , x ∈ D y=f(x),x\in D y=f(x),xD, ∃ \exist 常数 N ≤ M N\leq M NM, ∀ x ∈ D \forall x \in D xD,都有 N ≤ f ( x ) ≤ M N\leq f(x) \leq M Nf(x)M,称 f ( x ) f(x) f(x) D D D上的有界函数, N N N称为 f ( x ) f(x) f(x)的一个下界, M M M称为 f ( x ) f(x) f(x)的一个上界。

       ∃ \exist 常数 N N N,都有 N ≤ f ( x ) N\leq f(x) Nf(x),称 f ( x ) f(x) f(x)为有下界函数。
       ∃ \exist 常数 M M M,都有 f ( x ) ≥ M f(x)\geq M f(x)M,称 f ( x ) f(x) f(x)为有上界函数。

    几何意义:

    有界函数的另一定义,该种定义比较常用
    定义: ∃ \exist 常数 M , ∀ x ∈ D M,\forall x\in D M,xD,都有 ∣ f ( x ) ∣ ≤ M ⇔ − M ≤ f ( x ) ≤ M \vert f(x)\vert \leq M \Leftrightarrow -M\leq f(x)\leq M f(x)MMf(x)M,称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) D D D上有界。

    例:证明 f ( x ) = s i n 80 x − 6 c o s 60 x f(x)=sin^{80}x-6cos^{60}x f(x)=sin80x6cos60x有界。
    证:由 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 R R R, ∀ x ∈ R \forall x\in R xR
    ∣ f ( x ) ∣ = ∣ s i n 80 x − 6 c o s 60 x ∣ ≤ ∣ s i n 80 x ∣ + 6 ∣ c o s 60 x ∣ ≤ 1 + 6 = 7 \begin{aligned} \vert f(x)\vert&amp;=\vert sin^{80}x - 6cos^{60}x\vert \\ &amp;\leq\vert sin^{80}x\vert + 6\vert cos^{60}x\vert \\ &amp;\leq1 + 6=7 \end{aligned} f(x)=sin80x6cos60xsin80x+6cos60x1+6=7
    f ( x ) f(x) f(x)有界。

    例:证明 f ( x ) = x 1 + x 2 s i n x f(x)=\cfrac{x}{1+x^{2}}sinx f(x)=1+x2xsinx有界。
    证:定义域是 R R R
    a 2 + b 2 ≥ 2 a b a^2+b^2\geq 2ab a2+b22ab
    ∀ x ∈ R , ∣ f ( x ) ∣ = ∣ x ∣ 1 + ∣ x ∣ 2 ⋅ ∣ s i n x ∣ ≤ 1 2 ( 1 + ∣ x ∣ 2 ) 1 + ∣ x ∣ 2 = 1 2 \begin{aligned} \forall x\in R,\vert f(x)\vert&amp;=\frac{\vert x\vert}{1+\vert x\vert^2}\cdot \vert sinx\vert \\ &amp;\leq \frac{\frac{1}{2}(1+\vert x\vert^2)}{1+\vert x\vert^2}=\frac{1}{2} \end{aligned} xR,f(x)=1+x2xsinx1+x221(1+x2)=21

    无界函数

    定义: ∀ M &gt; 0 , ∃ x m ∈ D \forall M&gt;0,\exist x_m\in D M>0,xmD,有 ∣ f ( x m ) ∣ &gt; M \vert f(x_m)\vert&gt;M f(xm)>M,称 f ( x ) f(x) f(x) D D D上的无界函数。


    例:证明 f ( x ) = 1 x f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x}} f(x)=x 1 ( 0 , 1 ] (0,1] (0,1]上是无界函数。
    分析法:要证 B B B成立,只要 A A A成立,指的是 A ⇒ B A\Rightarrow B AB,即 A A A成立是 B B B成立的充分条件
    证: ∀ M &gt; 0 \forall M&gt;0 M>0,若要 ∣ f ( x ) ∣ &gt; M \vert f(x)\vert &gt; M f(x)>M成立 ⇔ ∣ 1 x ∣ &gt; M ⇔ 1 x &gt; M &ThinSpace;&ThinSpace;&ThinSpace;&ThinSpace;&ThinSpace; ⇔ 1 x &gt; M 2 ⇔ 0 &lt; x &lt; 1 M 2 \Leftrightarrow\vert\cfrac{1}{\sqrt{x}}\vert &gt; M\Leftrightarrow \cfrac{1}{\sqrt{x}}&gt;M\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,\,\,\, \Leftrightarrow\cfrac{1}{x}&gt;M^2\Leftrightarrow 0&lt;x&lt;\cfrac{1}{M^2} x 1>Mx 1>Mx1>M20<x<M21 0 &lt; x ≤ 1 0&lt;x\leq1 0<x1
    x = 1 1 + M 2 ∈ ( 0 , 1 ] , 0 &lt; x &lt; 1 M 2 x=\cfrac{1}{1+M^2} \in (0,1],0 &lt; x &lt; \cfrac{1}{M^2} x=1+M21(0,1],0<x<M21,有 ∣ f ( x ) ∣ &gt; M \vert f(x) \vert &gt; M f(x)>M,知 f ( x ) f(x) f(x) ( 0 , 1 ] (0,1] (0,1]上无界。

      由分析法的要求,只要求上式的右边能推到左边即可,当然如果是互推更好了。

    复合函数

    定义:设 y = f ( u ) , u ∈ D ( f ) , u = φ ( x ) , u ∈ R ( φ ) y=f(u),u\in D(f),u=\varphi(x),u\in R(\varphi) y=f(u),uD(f),u=φ(x),uR(φ),且 D ( f ) ⋂ R ( φ ) ̸ = ∅ D(f)\bigcap R(\varphi)\not= \varnothing D(f)R(φ)̸=,则称 y = f ( φ ( x ) ) y=f(\varphi(x)) y=f(φ(x)) x x x的复合函数, x x x称为自变量, y y y称为因变量, u u u称为中间变量。 f ( u ) f(u) f(u)称为外层函数或简称外函数, φ ( x ) \varphi(x) φ(x)称为内层函数或简称内函数。

      如果对 D ( f ) D(f) D(f) R ( φ ) R(\varphi) R(φ)不加以限制的话,有可能会产生没有意义的结果,如
    y = u , u = − ( 1 + x 2 ) ⇒ 不 加 限 制 y = − ( 1 + x 2 ) y=\sqrt{u},u=-(1+x^2)\xRightarrow{不加限制}y=\sqrt{-(1+x^2)} y=u ,u=(1+x2) y=(1+x2)
    上式定义域为空集,没有任何的意义。

      如果 y = f ( φ ( x ) ) y=f(\varphi(x)) y=f(φ(x))的定义域是空集,则不能复合,反之则能复合。

    例: y = 2 x , y = x 2 y=2^x,y=x^2 y=2x,y=x2
    a y = 2 x y=2^x y=2x是外函数, y = x 2 y=x^2 y=x2是内函数,则复合函数为
    y = 2 x 2 y=2^{x^2} y=2x2
    b y = 2 x y=2^x y=2x是内函数, y = x 2 y=x^2 y=x2是外函数,则复合函数为
    y = ( 2 x ) 2 = 4 x y=(2^x)^2=4^x y=(2x)2=4x

    例:求
    y = 1 1 1 − x − 1 y=\frac{1}{\cfrac{1}{1-x}-1} y=1x111
    的定义域。
    错误解法:
    y = 1 1 − ( 1 − x ) 1 − x = 1 − x x ⇒ 定 义 域 为 { x : x ∈ R , x ̸ = 0 } y=\frac{1}{\cfrac{1-(1-x)}{1-x}}=\frac{1-x}{x}\Rightarrow定义域为\{x:x\in R,x\not= 0\} y=1x1(1x)1=x1x{x:xR,x̸=0}
    正确解法:
    1 − x ̸ = 0 且 1 1 − x − 1 ̸ = 0 ⇒ x ̸ = 1 且 x ̸ = 0 ⇒ 定 义 域 为 { x : x ∈ R , x ̸ = 0 , x ̸ = 1 } \begin{aligned} &amp;1-x\not= 0且\frac{1}{1-x}-1\not=0\\ &amp;\Rightarrow x\not=1且x\not=0\\ &amp;\Rightarrow定义域为\{x:x\in R,x\not= 0,x\not=1\} \end{aligned} 1x̸=01x11̸=0x̸=1x̸=0{x:xR,x̸=0,x̸=1}

    反函数

    定义:设 y = f ( x ) , x ∈ D . ∀ x 1 , x 2 ∈ D y=f(x),x\in D.\forall x_1,x_2\in D y=f(x),xD.x1,x2D x 1 ̸ = x 2 x_1 \not= x_2 x1̸=x2都有 f ( x 1 ) ̸ = f ( x 2 ) . f(x_1)\not= f(x_2). f(x1)̸=f(x2).称为 y = f ( x ) , x ∈ D y=f(x),x\in D y=f(x),xD为一一对应。反之 ∀ y ∈ R ( f ) \forall y\in R(f) yR(f),存在唯一的 x ∈ D x\in D xD(且 f ( x ) = y f(x)=y f(x)=y)与之对应。得到一个定义在 R ( f ) R(f) R(f)上的函数,记作 x = f − 1 ( y ) , x=f^{-1}(y), x=f1(y),称为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的反函数。

      反函数的定义域就是函数的值域,这为求函数的值域提供了方法。同理,反函数的值域就是函数的定义域。

      函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)与反函数 x = f − 1 ( y ) x=f^{-1}(y) x=f1(y)的图像是一样的,习惯上,自变量用 x x x表示,因变量用 y y y表示,则反函数改写为 y = f − 1 ( x ) y=f^{-1}(x) y=f1(x), y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) y = f − 1 ( x ) y=f^{-1}(x) y=f1(x)是关于 y = x y=x y=x对称的。

      若 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的反函数为 x = φ ( y ) x=\varphi(y) x=φ(y),则 f ( φ ( y ) ) = y f(\varphi(y))=y f(φ(y))=y, φ ( f ( x ) ) = x \varphi(f(x))=x φ(f(x))=x

    单调函数

    定义:设 y = f ( x ) , x ∈ D , ∀ x 1 , x 2 ∈ D , y=f(x),x\in D,\forall x_1,x_2\in D, y=f(x),xD,x1,x2D, x 1 &lt; x 2 x_1 &lt; x_2 x1<x2都有 f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) ( f ( x 1 ≥ f ( x 2 ) ) ) f(x_1)\leq f(x_2)(f(x_1 \geq f(x_2))) f(x1)f(x2)(f(x1f(x2))),称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) D D D上的递增函数(递减函数)。递增,递减函数统称为单调函数。

      若 ∀ x 1 , x 2 ∈ D , \forall x_1,x_2\in D, x1,x2D, x 1 &lt; x 2 , x_1 &lt; x_2, x1<x2,都有 f ( x 1 ) &lt; f ( x 2 ) ( f ( x 1 ) &gt; f ( x 2 ) ) , f(x_1) &lt; f(x_2)(f(x_1)&gt;f(x_2)), f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)), y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) D D D上的严格单调递增(递减)函数。

      定理:若 y = f ( x ) , x ∈ D y=f(x),x\in D y=f(x),xD是严格单调函数,则必有反函数,且反函数也是严格单调,严格递增函数的反函数也是严格单调递增。但是有反函数其原函数不一定严格单调。

    例: y = 1 x , 其 反 函 数 x = 1 y y=\cfrac{1}{x},其反函数x=\cfrac{1}{y} y=x1,x=y1不是单调递增。

    基本初等函数

    三角函数中:
    余切 c o t x = 1 t a n x cotx = \cfrac{1}{tanx} cotx=tanx1
    正割 s e c x = 1 c o s x secx = \cfrac{1}{cosx} secx=cosx1
    余割 c s c x = 1 s i n x cscx = \cfrac{1}{sinx} cscx=sinx1
    重要公式:
    1 + t a n 2 x = s e c 2 x 1+tan^2x=sec^2x 1+tan2x=sec2x
    1 + c o t 2 x = c s c 2 x 1+cot^2x = csc^2x 1+cot2x=csc2x

       y = s i n x , x ∈ R y=sinx,x\in R y=sinx,xR不是一一对应,它没有反函数,但是设 y = s i n x , x ∈ [ − π 2 , π 2 ] y=sinx,x\in [-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}] y=sinx,x[2π,2π]是严格单调,因此有反函数,记作 x = a r c s i n y , y ∈ [ − 1 , 1 ] x=arcsiny,y\in [-1,1] x=arcsiny,y[1,1],习惯上记作 y = a r c s i n x , x ∈ [ − 1 , 1 ] y=arcsinx,x\in [-1,1] y=arcsinx,x[1,1],值域为 [ − π 2 , π 2 ] [-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}] [2π,2π]

    同理:
    反余弦, y = a r c c o s x , x ∈ [ − 1 , 1 ] , y ∈ [ 0 , π ] y=arccosx,x\in[-1,1],y\in [0,\pi] y=arccosx,x[1,1],y[0,π]
    反正切, y = a r c t a n x , x ∈ ( − ∞ , ∞ ) , y ∈ ( − π 2 , π 2 ) y=arctanx,x\in(-\infty,\infty),y\in(-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}) y=arctanx,x(,),y(2π,2π)
    反余切, y = a r c c o t x , x ∈ ( − ∞ , ∞ ) , y ∈ ( 0 , π ) y=arccotx,x\in(-\infty,\infty),y\in(0,\pi) y=arccotx,x(,),y(0,π)

    六种函数:
    1.常数函数: y = C , x ∈ R y=C,x\in R y=C,xR
    2.指数函数: y = a x ( a &gt; 0 , a ̸ = 0 ) , x ∈ R y=a^x(a&gt;0,a\not= 0),x\in R y=ax(a>0,a̸=0),xR
    3.对数函数: y = l o g a x ( a &gt; 0 , a ̸ = 1 ) , x ∈ ( 0 , + ∞ ) y=log_ax(a&gt;0,a\not= 1),x\in (0,+\infty) y=logax(a>0,a̸=1),x(0,+)
    4.幂函数: y = x a ( a ̸ = 0 ) y=x^a(a\not= 0) y=xa(a̸=0)
    5.六种三角函数
    6.四个反三角函数
    以上六种称为基本初等函数

    初等函数

      由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算所得到的函数称为初等函数。由基本初等函数经过有限次四则运算,称为简单函数。

      不是初等函数的函数,称为非初等函数,一般来说,分段函数是非初等函数。

    例: f ( x ) = { x 2 , x &lt; 0 l n ( 1 + x ) , x ≥ 0 → f(x)=\begin{cases}x^2,&amp;x&lt;0\\ ln(1+x),&amp;x\geq 0 \end{cases} \rightarrow f(x)={x2,ln(1+x),x<0x0非初等函数

    例: f ( x ) = { − x , x ≤ 0 x , x &gt; 0 = ∣ x ∣ = x 2 f(x)=\begin{cases} -x, &amp;x\leq 0 \\ x,&amp;x&gt;0 \end{cases}=\vert x\vert =\sqrt{x^2} f(x)={x,x,x0x>0=x=x2
    y = u , u = x 2 y=\sqrt{u},u=x^2 y=u ,u=x2复合得到的函数是初等函数。

    例: y = e s i n x + x 2 + 1 1 + x 2 + 3 x 2 y=\cfrac{e^{\sqrt{sinx}}+x^2+1}{\sqrt{1+x^2}+3x^2} y=1+x2 +3x2esinx +x2+1
    y = s i n x , y = x , y = e x , y = x 2 , y = 1 , y = 3 y=sinx,y=\sqrt{x},y=e^x,y=x^2,y=1,y=3 y=sinx,y=x ,y=ex,y=x2,y=1,y=3 6 6 6次四则运算, 3 3 3次复合运算得到的,知是一个初等函数。

      学会如果一个函数是复合函数,把它拆成几个基本初等函数或简单函数的复合。

    例: y = l n a r c t a n s i n 1 + x 2 y=lnarctansin\sqrt{1+x^2} y=lnarctansin1+x2
    是由 y = l n u u = a r c t a n v v = s i n w w = l l = 1 + x 2 y=lnu \quad u=arctanv \quad v=sinw \quad w=\sqrt{l} \quad l=1+x^2 y=lnuu=arctanvv=sinww=l l=1+x2复合得到的。

    重要的函数

    1.初等函数
    s g n x = { − 1 , x &lt; 0 0 , x = 0 1 , x &gt; 0 sgn x=\begin{cases} -1, &amp;x&lt;0 \\ 0, &amp;x=0 \\ 1, &amp;x&gt;0 \end{cases} sgnx=1,0,1,x<0x=0x>0

    2.取整函数
    ∀ x ∈ R , [ x ] \forall x\in R,[x] xR,[x]表示不超过 x x x的最大整数,称为取整函数
    y = [ x ] , x ∈ R y=[x],x\in R y=[x],xR

    例: [ 3.5 ] = 3 , [ 3 ] = 3 , [ − 3.5 ] = − 4 , [ 2 ] = 1 [3.5]=3,[3]=3,[-3.5]=-4,[\sqrt{2}]=1 [3.5]=3,[3]=3,[3.5]=4,[2 ]=1

    性质:
    [ x ] ≤ x &lt; [ x ] + 1 [x]\leq x &lt;[x]+1 [x]x<[x]+1 x − 1 &lt; [ x ] ≤ x x-1 &lt; [x] \leq x x1<[x]x

    3.狄利克雷函数(Dirichlet)
    D ( x ) = { 1 , x 为 有 理 数 0 , x 为 无 理 数 D(x)= \begin{cases} 1,x为有理数 \\ 0,x为无理数 \end{cases} D(x)={1,x0,x
    是非初等函数。

    4.幂指函数
    y = x x , x &gt; 0 = e l n x x = e x l n x \begin{aligned} y&amp;=x^x,x&gt;0\\ &amp;=e^{lnx^x}=e^{xlnx} \end{aligned} y=xx,x>0=elnxx=exlnx
    是由 y = e u u = x l n x y=e^u\quad u=xlnx y=euu=xlnx复合的,所以是初等函数。

    注:若 A &gt; 0 , A = a l o g a A ( a &gt; 0 , a ̸ = 1 ) A&gt;0,A=a^{log_aA}(a&gt;0,a\not= 1) A>0,A=alogaA(a>0,a̸=1),特别地, a = e , A = e l n A a=e,A=e^{lnA} a=e,A=elnA

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    原题目

    题目地址:2. 两数相加

    给你两个 非空 的链表,表示两个非负的整数。它们每位数字都是按照 逆序 的方式存储的,并且每个节点只能存储 一位 数字。

    请你将两个数相加,并以相同形式返回一个表示和的链表。

    你可以假设除了数字 0 之外,这两个数都不会以 0 开头。

    输入:l1 = [2,4,3], l2 = [5,6,4]
    输出:[7,0,8]
    解释:342 + 465 = 807.
    
    输入:l1 = [0], l2 = [0]
    输出:[0]
    

    提示:

    • 每个链表中的节点数在范围 [1, 100]
    • 0 <= Node.val <= 9
    • 题目数据保证列表表示的数字不含前导零

    考查知识点

    1、局部对象生存周期

    2、数值计算存在约束区间

    3、逐位运算

    自己的第一遍解法

    直观想法就是:

    1、将链表映射为数字getNumber()

    2、两数字之和再映射为链表toList()

    代码如下:

    //没有考虑数据过大,类型存放不下
    class Solution_01 {
    private:
        long int getNumber(ListNode* head)//将逆序数字链表转为数字
        {
            ListNode* curNode = head;
            //将链表节点入栈-逆序变正序
            stack<ListNode*> s;
            while (curNode) {
                s.push(curNode);
                curNode = curNode->next;
            }
            long int num = 0;
            while (!s.empty()) {
                num = num * 10 + s.top()->val;
                s.pop();
            }
            return num;
        }
    
        ListNode* toList(long int num)//将数字转化为逆序链表
        {
            //num==0
            if (num == 0) {
                ListNode* head = new ListNode(num);
                return head;
            }
    
            //num>0  将数字各位取出
            vector<int> v;
            while (num) {
                v.push_back(num % 10);
                num /= 10;
            }
            //将数字各位存入链表节点
            ListNode* cur = new ListNode(v[0]);
            ListNode* head = cur;
            for (int i=1; i<v.size(); ++i) {
                ListNode* next = new ListNode(v[i]);
                cur->next = next;
                cur = cur->next;
            }
            return head;
        }
    
    public:
        ListNode* addTwoNumbers(ListNode* l1, ListNode* l2) {
            if (!l1 || !l2) return nullptr;
    
            long int n1 = getNumber(l1);
            long int n2 = getNumber(l2);
            long int nSum = n1 + n2;
            ListNode* res = toList(nSum);
    
            return res;
        }
    };
    

    以上的代码我在本地跑通,但是力扣没有通过,因为我是直接计算了两个数字的加和,没有考虑这两个数的数量级(两个数的量级直接影响变量需要的类型如int、long int等

    在上面代码中还有一点需要注意:在新建链表节点(toList()函数中)的过程中,要使用动态创建(返回指针)代替直接创建,这是因为直接创建的局部变量在当前块结束是会被释放,直接返回局部变量的内存地址是无效的

    好的解法

    这道题隐含着逐位运算的痕迹,逐位运算只需要考虑当前位,当前位的大小是有限的,无非就是多一个进位

    以下代码参考:力扣题解-陈乐乐

    //逐位运算
    class Solution {
    public:
        ListNode* addTwoNumbers(ListNode* l1, ListNode* l2) {
            ListNode* dummyHead = new ListNode(-1);//虚拟头结点
            ListNode* p0 = dummyHead;//移动结果指针
            ListNode* p1 = l1;//移动l1指针
            ListNode* p2 = l2;
    
            bool flag = false;//进位标志
            while (p1 || p2) {
                int sum = 0;
                if (p1) {
                    sum += p1->val;
                    p1 = p1->next;
                }
                if (p2) {
                    sum += p2->val;
                    p2 = p2->next;
                }
                sum += (flag);//处理 前一位 向 当前位 进位
                if (sum >= 10) {//处理 当前位 向 下一位 进位
                    sum -= 10;
                    flag = true;
                }
                else
                    flag = false;
                ListNode* cur = new ListNode(sum);
                p0->next = cur;
                p0 = p0->next;
            }
    
            if (flag) {
                ListNode* last = new ListNode(1);
                p0->next = last;
            }
            return dummyHead->next;
        }
    };
    

    注:

    • 链表问题使用虚拟头结点避免对首节点的单独考虑
    • 函数返回值如果是某种复合体(链表节点、树节点、指针),一定要保证内存有效性,即在函数内部创建复合体时,一定要用动态创建
    展开全文
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  • 函数的迭代

    2019-04-28 16:03:00
    前言 典例剖析 例1已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数,当\(x<0\)时,\(f(x)=(x+1)e^x\),则对任意...【法1】:利用复合函数的图像解决问题;首先利用函数的奇偶性求出函数\(f(x)\)的解析式; 题目给定了\...
  • 首先给出了一元模糊值函数微分的概念,研究了模糊值复合函数的求导法测,然后在此基础上,进一步给出了二元模糊值函数的偏导数概念,并研究了它们的一些性质定理 ;最后给出模糊波动方程的一种 解法
  • 1.3 一元复合函数链式求导 1.4 多元复合函数链式求偏导 1.5 多元复合函数线性相加函数的链式求偏导 第2章 用最小二乘法的损失函数进行曲线拟合 2.0 前置条件 2.1 步骤1: 构建样本 2.2 步骤2:构建拟合函数 2.3 ...
  • 机器学习:核函数的一个小题目

    千次阅读 2016-03-27 11:50:30
    解法2:核函数映射。使得二维空间线性不可分的情况变为三维或四维空间线性可分的。 ---------------------------------------------------------------------- (1)首先介绍核函数。 核函数指所谓径向基函数...
  • MATLAB函数速查手册

    千次阅读 多人点赞 2018-03-25 09:06:26
    《MATLAB函数速查手册》较全面地介绍了MATLAB的函数,主要包括MATLAB操作基础、矩阵及其基本运算、与数值计算相关的基本函数、符号运算的函数、概率统计函数、绘图与图形处理函数、MATLAB程序设计相关函数、Simulink...
  • §1.10 连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的四则运算性质 由函数在一点连续的定义,不难发现,函数连续的问题仍是一个函数的极限问题,而函数极限的四则运算法则业已证明,因此,我们只要稍加改动,...
  • S-function提供了扩展Simulink模块库的有力工具,它采用一种特定的调用语法,使函数和Simulink解法器进行交互。 S-function最广泛的用途是定制用户自己的Simulink模块。它的形式十分通用,能够支持连续系统、离散...
  • 对这块的内容挺生!再看看! 原函数概念?...由于初等函数在定义域上连续,所以初等函数在其定义域上一定有原函数。 注意: 原函数不唯一,要记住在F(x)+C来表示原函数。 不定积分的概念? 19:30 ...
  • C++第8周项目1分段函数求值

    千次阅读 2013-10-21 06:17:10
    课程首页在:http://blog.csdn.net/sxhelijian/article/details/11890759【项目1:分段函数求值】编程序,计算下面函数的值并输出参考解答://解法1 #include using namespace std; int main( ) { int x, y; cin>>x;...
  • 高数——隐函数与参数方程求导

    千次阅读 2019-10-18 11:19:16
    函数 如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指:在某一变化过程中,两个变量x、y,对于某一范围内的x的每一个值,y都有确定的值和它对应,y就是x的函数。这种关系一般...
  • 06——函数

    2018-08-03 19:54:30
    函数与模块化编程 一、函数的概念: 1、我们为什么要使用函数: 在之前的学习过程中,我们已经可以编写一些中小型的程序了,不过对于一些大型程序而言还是力不从心。因为程序的功能比较多,规模比较大,如果把...
  • 返回:贺老师课程教学链接 项目要求【项目:两段函数求值】编程序,计算下面函数的值并输出(x取整型即可)[参考解答]解法1:#include int main ( ) { int x, y; scanf("%d", &x); if (x>=1) y=x-1; else y=...
  • 使用的是Linux kernel中list_head,顺便说一句,如果你想使用复合模式组织你的对象,那么Linux kernel中的kobject结构是个不错的选择,如果时间允许,我准备用一下,想象一下Linux是如何组织缤纷复杂的总线和外部...
  • 当我们创建函数抽象时,函数如何实现的细节被隐藏了,而且特定的操作序列本身可以被任何具有相同行为的函数替换。换句话说,我们可以构造抽象来使函数的使用方式和函数的实现细节分离。与之相似,数据抽象是
  • C语言函数小结

    2018-11-22 21:20:49
    函数的”数据类型”指出该函数通过return返回值的类型,除了常用的各种数据类型如int、float、char等外,还有一种特殊类型即void,void型函数无返回值。 函数的形参表由一个或多个形参组成,多个形参彼此之间用逗号隔...
  • 讨论中,我们主要以二元函数为主,因为从一元函数到二元函数会产生许多新问题,而从二元函数到二元以上的函数则可以类推。 建议同学们在学习中,注意将二元函数的概念与结论与一元函数的相应的概念与结论加以比较,...
  • 爬山法求解八皇后问题的全部解法

    千次阅读 2020-02-07 17:55:29
    爬山法求解八皇后问题的全部解法程序的概要设计思想初始状态冲突函数寻找邻居状态寻找全部解集程序主要函数的作用运行结果截图Python源代码 程序的概要设计思想 爬山算法是一种局部贪婪算法,每次更新一次状态,都对...
  • 多元复合函数求导 隐函数求导 多元函数的极值和最值(实际问题的解法) 全微分 全微分和偏微分 近似计算 二重积分 二重积分的含义和性质 二重积分的直角坐标系的计算 二重积分的极坐标系的计算 曲线积分 1. ...
  • simulink之S函数

    千次阅读 多人点赞 2018-08-11 08:40:47
    s函数是system Function的简称,用它来写自己的simulink模块。(够简单吧,^_^,详细的概念介绍大伙看帮助吧)可以用matlab、C、C++、Fortran、Ada等语言来写,这儿我只介绍怎样用matlab语言来写吧(主要是它比较...
  • 提示:总结于LeetCode书籍《Java常见问题的简单解法》,全书其实就是用Stream去通过函数式编程,更加简洁,快速,高效的解决实际问题。 文章目录Java常见问题的简单解法第二章 Java.util.function 包一、Consumer...

空空如也

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复合函数解法