来自于群友的问题again
 
如图：
 
 很明显用D就可以解决，但是还要让麦酱认出r和t是复合函数，所以要带上自变量，对于t来说自变量是s，自然写成t[s]，而r是复合函数，直接套着写就行了~
 
D[r[t[s]],{s,#}]&/@Range@4
 

 代码就写完了，但是输出不符合阅读习惯，看着很头疼啊，比较一下，还是t[s]的问题，写成t就舒服多了
 
 已经可以读了嗯，但是不要忘了麦酱的排版能力，只需稍加修改，把导数改成麦酱里的另一种形式
 
D[r[t[s]], {s, #}] & /@ Range@4 /. t[s] -> t /. 
   Derivative[n_][y_][x_] -> Dt[y, {x, n}] // 
  Column // TraditionalForm
 

 现在看起来是不是舒服多了，最后，再把原式加上，但是注意有个等号哦，为了防止麦酱做出奇怪的事情，需要Inactive一下【划重点
 
最终代码
 
Inactive[Set][Dt[r, {s, #}], D[r[t[s]], {s, #}]] & /@ Range@4 /. 
    t[s] -> t /. Derivative[n_][y_][x_] -> Dt[y, {x, n}] // 
  Column // TraditionalForm
 
【不要问为啥不用Equal而要用Set
 
可能有人要问了，为什么要费这么大功夫搞格式呢，有什么用【PS：没费功夫啊就加了俩替换规则
 
 现在，选中输出部分，右键复制为MathML，然后去word里面粘贴
 
duang~【我发誓这张图除了粘贴啥都没干
 
 再稍微加一下特技（提示：&、Ctrl+H）
 

 
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
 
复合函数如何求导
 
f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)，
 
从而(公式)：f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)
 
呵呵，我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂，那就举个例子吧,耐心看哦！
 
f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u)
 
所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u，得f'[g(x)]=2cos(2x).
 
以此类推y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)
 
y'={sin(3-x)]'=-cos(x)
 
一开始会做不好，老是要对照公式和例子，
 
但只要多练练，并且熟记公式，最重要的是记住一两个例子，多练习就会了。
 
复合函数求导法则
 
证法一：先证明个引理
 
f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)
 
证明：设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0
 
因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)
 
所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
 
反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
 
因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)
 
所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0)
 
引理证毕。
 
设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
 
证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)
 
又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)
 
于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)
 
因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且
 
F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
 
证法二：y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
 
证明：因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)
 
当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'(u)Δu+αΔu
 
但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。
 
又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx->0的极限，得
 
dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx
 
又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0
 
则lim(Δx->0)α=0
 
最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

 
复合函数如何求导？大学符合函数求导公式有哪些？下文有途网小编给大家整理了复合函数的求导公式及法则，供参考！
 
复合函数求导公式
 

 

 

 
复合函数求导法则
 
证法一：先证明个引理
 
f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)
 
证明：设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0
 
因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)
 
所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
 
反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
 
因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)
 
所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0)
 
引理证毕。
 
设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
 
证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)
 
又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)
 
于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)
 
因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且
 
F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
 
证法二：y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
 
证明：因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)
 
当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'(u)Δu+αΔu
 
但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。
 
又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx->0的极限，得
 
dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx
 
又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0
 
则lim(Δx->0)α=0
 
最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

 
复合函数求导公式有哪些2018-08-01 17:24:23文/丁雪竹
 
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什么，小编整理了相关信息，希望会对大家有所帮助！
 

 
复合函数如何求导
 
规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；
 
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；
 
拓展：
 
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为： y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)。
 
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
 
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为 T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).
 
4、单调(增减)性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增；减+减=增； 增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
 
复合函数求导法则
 
Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
 
例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,
 
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)
 
=(3x^2)/Ln(x^3)]
 
例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3
 
由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3
 
复合函数性质是什么
 
复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：
 
(1)单调性规律
 
如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么
 
若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．
 
(2)奇偶性规律
 
若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．