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  • 很明显用D就可以解决,但是还要让麦酱认出r和t是复合函数,所以要带上自变量,对于t来说自变量是s,自然写成t[s],而r是复合函数,直接套着写就行了~ D[r[t[s]],{s,#}]&/@Range@4 代码就写完了,但是输出不...

    来自于群友的问题again

    如图:
    在这里插入图片描述
    很明显用D就可以解决,但是还要让麦酱认出rt是复合函数,所以要带上自变量,对于t来说自变量是s,自然写成t[s],而r是复合函数,直接套着写就行了~

    D[r[t[s]],{s,#}]&/@Range@4
    

    在这里插入图片描述
    代码就写完了,但是输出不符合阅读习惯,看着很头疼啊,比较一下,还是t[s]的问题,写成t就舒服多了
    在这里插入图片描述
    已经可以读了嗯,但是不要忘了麦酱的排版能力,只需稍加修改,把导数改成麦酱里的另一种形式

    D[r[t[s]], {s, #}] & /@ Range@4 /. t[s] -> t /. 
       Derivative[n_][y_][x_] -> Dt[y, {x, n}] // 
      Column // TraditionalForm
    

    在这里插入图片描述
    现在看起来是不是舒服多了,最后,再把原式加上,但是注意有个等号哦,为了防止麦酱做出奇怪的事情,需要Inactive一下【划重点

    最终代码

    Inactive[Set][Dt[r, {s, #}], D[r[t[s]], {s, #}]] & /@ Range@4 /. 
        t[s] -> t /. Derivative[n_][y_][x_] -> Dt[y, {x, n}] // 
      Column // TraditionalForm
    

    【不要问为啥不用Equal而要用Set

    可能有人要问了,为什么要费这么大功夫搞格式呢,有什么用【PS:没费功夫啊就加了俩替换规则
    在这里插入图片描述
    现在,选中输出部分,右键复制为MathML,然后去word里面粘贴

    duang~【我发誓这张图除了粘贴啥都没干
    我发誓这张图除了粘贴啥都没干
    再稍微加一下特技(提示:&Ctrl+H
    在这里插入图片描述

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  • 基础公式 高阶导数的莱布尼茨公式: ,初等数学中与之相对应的二项式定理: .上述结论证明都是很简单的, 用n次基本求导公式即可。 同理有 。在复数域 内求导在求三角函数或指数函数及两者复合函数时很方便, 以下进阶...

    基础公式

    1. 高阶导数的莱布尼茨公式:
      ,初等数学中与之相对应的二项式定理:
      .

    上述结论证明都是很简单的, 用n次基本求导公式即可。

    同理有

    在复数域

    内求导在求三角函数或指数函数及两者复合函数时很方便, 以下进阶公式的推导中会运用这个方法。

    进阶公式

    下面来推导一下上述公式:

    考虑到

    取实部和虚部便可得到公式3和4, 令a=b=1便是公式1和2.

    这就是公式5。公式6, 7, 9, 10的推导与公式5类似。

    其中

    是调和数,
    .

    在计算过程中还得到了一个副产物:

    感兴趣可以试着证明一下。

    展开全文
  • 常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=...

    .常用导数公式

    1.y=c(c为常数) y'=0

    2.y=x^n y'=nx^(n-1)

    3.y=a^x y'=a^xlna

    y=e^x y'=e^x

    4.y=logax y'=logae/x

    y=lnx y'=1/x

    5.y=sinx y'=cosx

    6.y=cosx y'=-sinx

    7.y=tanx y'=1/cos^2x

    8.y=cotx y'=-1/sin^2x

    9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2

    10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2

    11.y=arctanx y'=1/1+x^2

    12.y=arccotx y'=-1/1+x^2

    在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到:

    1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』

    2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2

    3.y=f(x)的反函数是x=g(y),则有y'=1/x'

    证:1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0.用导数的定义做也是一样的:y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0.

    2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况.在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明.

    3.y=a^x,

    ⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)

    ⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x

    如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道:⊿x=loga(1+β).

    所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

    显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.

    把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna.

    可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x.

    4.y=logax

    ⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x

    ⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x

    因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有

    lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x.

    可以知道,当a=e时有y=lnx y'=1/x.

    这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了.因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

    所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1).

    5.y=sinx

    ⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)

    ⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)

    所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx

    6.类似地,可以导出y=cosx y'=-sinx.

    7.y=tanx=sinx/cosx

    y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

    8.y=cotx=cosx/sinx

    y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

    9.y=arcsinx

    x=siny

    x'=cosy

    y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

    10.y=arccosx

    x=cosy

    x'=-siny

    y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

    11.y=arctanx

    x=tany

    x'=1/cos^2y

    y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

    12.y=arccotx

    x=coty

    x'=-1/sin^2y

    y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

    另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与

    4.y=u土v,y'=u'土v'

    5.y=uv,y=u'v+uv'

    均能较快捷地求得结果.

    作业帮用户

    2017-10-18

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  • 例如用ε-δ语言证明函数极限这类高等数学课程不要求掌握的内容,我们不作过多介绍。本系列文章适合作为大一新生初学高等数学时的课堂同步辅导,也可作为高等数学期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。文...

    系列简介:这个系列文章讲解高等数学的基础内容,注重学习方法的培养,对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释。在内容上,以国内的经典教材”同济版高等数学“为蓝本,并对具体内容作了适当取舍与拓展。例如用ε-δ语言证明函数极限这类高等数学课程不要求掌握的内容,我们不作过多介绍。本系列文章适合作为大一新生初学高等数学时的课堂同步辅导,也可作为高等数学期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。文章中的例题大多为扎实基础的常规性题目和帮助加深理解的概念辨析题,并适当选取了一些考研数学试题。所选题目难度各异,对于一些难度较大或对理解所学知识有帮助的“经典好题”,我们会详细讲解。阅读更多“高等数学入门”系列文章,欢迎关注数学若只如初见

    ffbc4da0ea3df7ab7568041f6bda352f.png

    abea423faf92981ed8872bbf727a7c23.png

    本节我们介绍反函数的求导法则,由于中学阶段对反函数及反三角函数的要求不高,本节我们先复习一些这方面的基础知识,再介绍反函数的求导法则,并利用其推导四个常用反三角函数的导数公式。(由于公式较多,故正文采用图片形式给出。)

    一、反函数基础知识概述。

    4ccb432599dd9b54ac55cb42ed73a0bd.png

    二、反函数的求导法则(了解即可)。

    f51f9f8a44bd82a4cbcf9b2a211d350b.png

    关于反函数连续性的基础知识介绍见下文:

    高等数学入门——连续函数运算的基本定理及其应用

    指数函数和对数函数的求导公式推导见下文,请读者对比这两种推导y=lnx导数公式的方法:

    高等数学入门——基本导数公式的推导

    三、反三角函数基础知识复习(特别注意它们的定义域和值域)。

    4ea3e1a113f4818bec267b2a7a817141.png

    关于基本初等函数的知识简介见下文:

    高等数学入门——初等函数的连续性

    四、以上四种反三角函数函数的图像。

    f476b87593068fce6fe9960f1533c630.png

    五、对反三角函数的一些补充说明(注意只能在三角函数的单调区间上定义其反函数)。

    222b8f8e7e0c5b6b3b6e0f18e0a53ca7.png

    六、利用反函数求导法则推导反正弦函数和反正切函数的导数公式。

    ded41a5fc50713ee4a6bd2657f9d1a4c.png

    七、反三角函数的求导公式总结。

    eed7685d98e0a2ed9bffa5b1fbc4cbc8.png

    上一篇:高等数学入门——判断含绝对值的函数可导性的方法和典型例题

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复合函数高阶导数公式