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  • matlab 复合梯形求积公式,.M文件,可直接运行出结果。
  • 复合梯形求积公式

    2011-12-02 19:58:41
    数值积分—复合梯形求积公式 对于复合梯形的积分可以利用本程序进行运算
  • 基于复合梯形公式和复合辛普森求积公式计算积分在python中的实现.txt
  • 梯形求积公式复合梯形求积公式 Matlab 实现

    万次阅读 多人点赞 2017-11-04 18:22:52
    梯形求积公式复合梯形求积公式 Matlab 实现梯形求积公式 仅使用区间两点x1,f(x1),x2,f(x2)x_1,f(x_1),x_2,f(x_2) 组成的梯形面积S代替∫x2x1f(x)dx \int_{x_1}^{x_2} f(x)dx 的近似方法 ∫x2x1f(x)dx≈S=...

    梯形求积公式 和 复合梯形求积公式 Matlab 实现

    梯形求积公式

    仅使用区间两点 x1,f(x1),x2,f(x2)
    组成的梯形面积S代替 x2x1f(x)dx 的近似方法
    求积

    x2x1f(x)dxS=x2x12×(f(x2)f(x1))

    复合梯形求积公式

    将求积区间[a,b]分为n个区间,每个区间步长为h( h=ban )在每个区间求梯形积分
    复合梯形求积
    Si为第i个梯形的面积

    x2x1f(x)dxi=0nSi=h2(f(a)+k=1n1f(xk)+f(b))

    说明

    上述公式是我用mathjax写的,如有错误请联系我修正
    敬请指正
    概述省略了部分推导过程,请查阅详细推导资料

    Matlab 实现代码

    梯形求积公式

    将该函数存为m文件

    function res = Trapezium(f,a,b)
        format long;
        if b < a
            c = b;
            b = a;
            a = c;
        end
        res = (b-a)*(f(a)+f(b))/2;

    调用下面语句测试函数

    f = inline('sin(x)','x')
    Trapezium(f,0,pi/2)

    复合梯形求积公式

    将该函数存为m文件

    function res = ComTrapezium(f,n,a,b)
        format long;
        if b < a
            c = b;
            b = a;
            a = c;
        end
        h = (b-a)/n;
        d = f(a);
        for i = a+h:h:b-h 
            d = d + (2 * f(i));
        end
        d = d + f(b);
        res = (d * h / 2);

    调用下面语句测试函数

    f = inline('sin(x)','x')
    ComTrapezium(f,4,0,pi/2)
    展开全文
  • 公式可以理解为将曲线划分为若干个梯形,数量越多,结果越精确。 这个程序实现有点太过于基础,这里就不一一叙述,直接上代码。不过要改变积分函数的话就调用函数改为新的函数即可。 void func(int n)//调用...

    该公式可以理解为将曲线划分为若干个梯形,数量越多,结果越精确。

    \int f(x)dx=\frac{h}{2}\sum_{i=1}^{n-1} (f(x_{i})+f(x_{i+1}))

    这个程序实现有点太过于基础,这里就不一一叙述,直接上代码。不过要改变积分函数的话就调用函数改为新的函数即可。

    void func(int n)//调用求f(xi)的函数
    {
        for (int i = 0; i <= n; i++)
        {
            f[i] = 8 + x[i] * x[i] * x[i];
        }
    }

    附上实现程序(Visual Studio 2019)

    #include <iostream> 
    #include <iomanip>//保留小数
    
    double x[100];//定义节点的x坐标
    double f[100];//定义节点的函数值f
    double h;//定义步长
    void func(int n);//调用求f(xi)的函数
    double i_f;//定义复合梯形求解结果
    double func_i_f(int n);//调用复合梯形求积函数
    
    int main()
    {
        using namespace std;
        int n;
        cout << "输入等分数" << endl;
        cin >> n;
        cout << "输入x的上限值" << endl;
        cin >> x[n];
        cout << "输入x的下限值" << endl;
        cin >> x[0];//赋值模块
        h = (x[n] - x[0]) / n;//求步长h
        for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
        {
            x[i] = x[0] + i * h;
        }//求每个节点x坐标值
        func(n);
        func_i_f(n);
        cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(5);//输出结果保留5位小数
        cout << "f(x)=8 + x^3在x区间上的积分值为:" ;
        cout << i_f << endl;
        return 0;
    }
    
    void func(int n)//调用求f(xi)的函数
    {
        for (int i = 0; i <= n; i++)
        {
            f[i] = 8 + x[i] * x[i] * x[i];
        }
    }
    
    double func_i_f(int n)//调用复合梯形求积函数
    {
        i_f = 0;
        for (int i = 0; i <= n - 1; i++)
        {
            i_f += (f[i] + f[i + 1]) * h / 2;
        }
        return i_f;
    }
    

    结果输出

    后话

    关于《数值分析》与C++联动小项目就到这里结束了!接下来的一个小小工作就把高斯迭代那一篇的程序推向n阶。

    展开全文
  • 但是对于周期函数,特别是解析函数,以及 上迅速衰减的函数,复合梯形公式具有几何收敛阶。实轴上的积分 我们首先考虑定义在实轴 上的函数 的积分如果 是光滑,并且衰减的,那么使用复合梯形公式积分将有几何阶的...

    本文展示复合梯形求积公式的数值积分效果。 对于闭区间上的一般函数,利用复合梯形求积公式具有二阶精度。 但是对于周期函数,特别是解析函数,以及

    上迅速衰减的函数,复合梯形公式具有几何收敛阶。

    实轴上的积分

    我们首先考虑定义在实轴

    上的函数
    的积分

    如果

    是光滑,并且衰减的,那么使用复合梯形公式积分将有几何阶的收敛性。

    具体来说,数值积分公式为

    引理: Suppose

    is analytic in the strip
    for some
    . Suppose further that
    uniformly as
    in the strip, and for some
    , it satisfies

    for all

    . Then, for any
    ,
    exists and satisfies

    见《The Exponentially Convergent Trapezoidal Rule》。

    我们首先来测试一下求积公式对“不那么光滑”函数的积分效果

    例子一

    考虑有限区间上的函数

    积分的精确值为

    积分节点为等距节点

    步长为

    。 复合梯形积分公式为(因为函数在端点处值相同(周期))

    Matlab程序

    %% 复合梯形公式求积函数
    %  4-x^2, x in [-2,2]
    
    clear all
    close all
    p_set = 2.^(4:10);
    w = @(z) 4-z.^2;
    ErrInt = zeros(size(p_set));
    % 精确值
    ExactInt = integral(w,-2,2);
    
    figure; set(gcf,'unit','centimeters','position',[10,10,24,12]);
    for ii = 1:length(p_set)
        p = p_set(ii);
        xk = linspace(-2,2,p+1);
        xk = xk(2:end);
        ErrInt(ii) = abs(4*mean(w(xk))-ExactInt);
    end
    loglog(p_set,ErrInt,'-.o','LineWidth',1.5);
    hold on;
    legend('2阶')
    

    f43404ca553f67dc2fca2b887ae96c8c.png

    横坐标是节点个数

    ,在loglog图像下,数值积分误差随着节点增加而二阶收敛。

    例子二

    我们选择

    复合梯形公式的收敛为

    dab1eb3fc8946ccd4dd0376d979f55b6.png
    • 左侧的图中,数值积分误差随着节点增加几何收敛。此时节点数目较少。
    • 右侧图中,数值积分误差随着节点增加
      阶收敛。此时节点数目较多。

    虽然上面例子中的函数都是给定区间上的周期函数,但它们周期化之后并不是解析函数。另一个角度则是,积分收敛或与它们的傅里叶系数的衰减有关。

    例子三

    被积函数选择为

    其中

    是参数。精确的积分值为

    考虑

    的参数情形。

    之前对于这类无穷区间上的积分,我们采用的是先截断到固定区间上的做法。 此处,我们将数值积分的参数设置为步长

    以及节点数
    。 那么之前固定区间就等价于

    下面是复合梯形公式的误差结果关于

    的收敛,左右分别是不同的截断
    的选取方法。

    056e9b78415bb9e8b941e3a532373042.png

    有以下两点观察:

    • 误差在
      达到
      左右剧烈减小
    • 没有明显区别

    第一点可以通过分析

    的Fourier变换的带宽来解释。

    是个Gauss函数,带宽为

    Fourier变换

    依旧是Gauss函数,带宽为

    如果复合梯形公式的步长

    满足
    , 即
    , 则无穷项的复合梯形公式几乎是精确的。

    因此,在这种情况下,有限截断的复合梯形公式的误差主要来自于截断项。 但是被积函数

    的带宽
    非常小,因此截断的误差几乎没有影响。

    最后,在右侧的图像中,从右往左看,倒数第二个点没有画出来,这是因为在Matlab中计算得到的误差为

    的原因。

    围道积分的应用

    给定函数

    延拓到复平面,它有两个单极点

    我们希望已知极点,求出它们对应的系数(留数)。

    在Matlab中,我们可以通过符号计算函数 limit 来执行这个操作。通过帮助文件可得

    limit(F,x,a) takes the limit of the symbolic expression F as x -> a.
    

    具体举例如下:

    syms x
    w = 1/(x^2-x-2);
    coef1 = limit(w*(x-2),x,2);
    disp(coef1)
    

    借助于复合梯形公式,我们也可以利用围道积分来计算

    复合梯形公式得到的近似为

    Matlab测试程序

    p_set = 4:10;
    w = @(z) 1./((z-2).*(z+1));
    ErrInt = zeros(size(p_set));
    r_set = [1,0.5,0.25];
    
    figure; set(gcf,'unit','centimeters','position',[10,10,24,12]);
    for jj = 1:length(r_set)
        r = r_set(jj);
        for ii = 1:length(p_set)
            p = p_set(ii);
            k = 1:p;
            ErrInt(ii) = abs(real(mean(r*w(2+r*exp(2*pi*1i*k/p)).*exp(2*pi*1i*k/p)))-1/3);
        end
        semilogy(p_set,ErrInt,'LineWidth',1.5);
        hold on;
    end
    legend('r=1','r=0.5','r=0.25')
    

    8cc1159914aca94a2aea2885bbfeb9b3.png

    分别测试了三种半径对应的围道,其中

    情况下,
    个采样点(意味着数值积分中是10次乘法和加法)的精度达到了

    相比来说,符号运算 limit 函数不需要我们费心。但是如果计算资源受限,围道积分是一种选择。

    展开全文
  • 【C语言基础】利用复合梯形求积公式计算定积分 一、复合梯形求积公式 这是数值分析中一种求解定积分的近似方法。适用于被积函数的原函数不能用初等函数表示的情况。 基本思路 将被积函数 f(x)与x轴围成的区域分成n...

    【C语言基础】利用复合梯形求积公式计算定积分

    一、复合梯形求积公式

    这是数值分析中一种求解定积分的近似方法。适用于被积函数的原函数不能用初等函数表示的情况。

    基本思路

    将被积函数 f(x)与x轴围成的区域分成n个梯形,把n个梯形面积求和得到积分的近似值。若精度不满足需要,则可以将每个区间再等分一次,得到2n+1个等分区间,然后再求和,直到精度满足需要。

    公式

    ∫ a b f ( x ) d x ≈ h 2 [ f ( a ) + f ( b ) + 2 ∑ i = 1 n − 1 f ( x i ) ] \int\limits_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{2}[f(a)+f(b)+2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)] abf(x)dx2h[f(a)+f(b)+2i=1n1f(xi)]
    其中:

    n 为等分区间数
    h=(b-a)/2 (积分步长)

    C语言实现算法

    以下面积分为例:

    ∫ 0 1 1 + e − x s i n 4 x d x \int\limits_0^11+e^-xsin4xdx 011+exsin4xdx

    首先写出计算被积函数值的函数
    double f(double x)
    {
        return 1 + exp(-x)*sin(4x);
    }
    
    然后写出求积分近似解的表达式
    double caculate(double a,double b)
    {
        double y1,y2,h;
        int n=1,i;
        h = a-b;
        y1 = h*(f(a)+f(b))/2;
        do
        {
           y2 = y1;
           n = n*2;
           h = (a-b)/n;
           y1 = f(a)+f(b);
           for(i=1;i<n:i++)
                 y1 = y1 + f(a + i*h);
            y1 = h*y1/2;
        }while(fabs(y2-y1)>1.0e-5));
        return y2;
    }
    
    其中frab()是用来计算绝对值的函数
    展开全文
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