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  • 最近看到介绍复合函数连续性的章节,开篇就提出了一个复合函数不连续的例子,如下 f(x)={0x=01x!=0 f(x)=\begin{cases} 0& \text{x=0}\\ 1& \text{x!=0} \end{cases} f(x)={01​x=0x!=0​

    最近看到介绍复合函数连续性的章节,开篇就提出了一个复合函数不连续的例子,如下

    f ( u ) = { 0 u = 0 1 u ≠ 0 f(u)=\begin{cases} 0& u = 0\\ 1& u \neq 0 \end{cases} f(u)={01u=0u=0
    g ( x ) = x sin ⁡ 1 x g(x)=x \sin \frac{1}{x} g(x)=xsinx1
    容易验证
    lim ⁡ u → 0 f ( u ) = 1 \lim_{u \to 0}f(u)=1 u0limf(u)=1以及
    lim ⁡ x → 0 g ( x ) = 0 \lim_{x \to 0}g(x)=0 x0limg(x)=0
    但是复合函数
    f ∘ g ( x ) f \circ g(x) fg(x) x = 0 x=0 x=0处没有极限。
    但是作者要求读者自行给出证明。
    函数 f ( u ) f(u) f(u)不是连续函数,在 x = 0 x=0 x=0处的极限值与函数值不相等,因此 x = 0 x=0 x=0 f ( u ) f(u) f(u)可去间断点;函数 g ( x ) g(x) g(x)的定义域是 ( 0 , + ∞ ) ⋃ ( − ∞ , 0 ) (0,+\infty)\bigcup (-\infty,0) (0,+)(,0),但是这个不影响对它求极限。
    可以使用严格的 ϵ − δ \epsilon - \delta ϵδ语言叙述并证明 g ( x ) → 0 , ( x → 0 ) g(x) \to 0,(x \to 0) g(x)0,(x0)
    对于任意的 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ>0, 存在 δ = ϵ > 0 \delta =\epsilon>0 δ=ϵ>0,当 0 < ∣ x ∣ < δ 0<|x|<\delta 0<x<δ时, ∣ x sin ⁡ 1 x ∣ < ∣ x ∣ < ϵ |x\sin \frac{1}{x}|<|x|<\epsilon xsinx1<x<ϵ, 因此,
    lim ⁡ x → 0 g ( x ) = 0 \lim_{x\to 0}g(x)=0 x0limg(x)=0.
    下面证明复合函数 f ∘ g ( x ) f \circ g(x) fg(x) x = 0 x=0 x=0处的极限不存在。
    首先,注意到 sin ⁡ ( x ) \sin(x) sin(x) x = n π , n ∈ Z x=n\pi,n\in \Z x=nπ,nZ取值为 0 0 0,而在其它点取值都不为 0 0 0,因此可以得到复合函数的分段解析表达式:
    f ∘ g ( u ) = { 0 u = 1 n π , n ∈ N 1 u ≠ 1 n π , n ∈ N f \circ g(u)=\begin{cases} 0& u = \frac{1}{n\pi}, n\in\N\\ 1& u \neq \frac{1}{n\pi}, n\in\N \end{cases} fg(u)={01u=nπ1,nNu=nπ1,nN
    可以根据此表达式,构造两个以0为极限的数列
    x n = 1 n π x_{n}=\frac{1}{n\pi} xn=nπ1
    y n = 1 2 n π + π 2 y_{n}=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}} yn=2nπ+2π1

    lim ⁡ n → ∞ f ∘ g ( x n ) = 0 \lim_{n\to\infty}f\circ g(x_{n})=0 nlimfg(xn)=0,
    lim ⁡ n → ∞ f ∘ g ( y n ) = 1 \lim_{n\to\infty}f\circ g(y_{n})=1 nlimfg(yn)=1
    根据海涅定理,复合函数 f ∘ g ( u ) f\circ g(u) fg(u) u = 0 u=0 u=0处没有极限。

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  • 1.1 复合命题的定义及逻辑结构所谓复合命题是指由命题构造成的命题.如下都是复合命题:(1) 如果李司是犯罪嫌疑人,那么李司有犯罪动机.(2) 或者李司是犯罪嫌疑人,或者李司有犯罪动机.(3) 王武的计算机配置合理并且...

    1.1 复合命题的定义及逻辑结构

    所谓复合命题是指由命题构造成的命题.如下都是复合命题:

    (1) 如果李司是犯罪嫌疑人,那么李司有犯罪动机.

    (2) 或者李司是犯罪嫌疑人,或者李司有犯罪动机.

    (3) 王武的计算机配置合理并且价格低廉.

    (4) 王武的计算机配置合理当且仅当它的价格低廉

    虽然复合命题是由命题构造而成的,但并不是任意命题组合在一起就可构成复命题.如果仅仅把两个命题摆在一起而没有联结词,“李司是犯罪嫌疑人”和“李司有犯罪动机”仍然只是两个命题.

    我们称构成复合命题的命题为支命题.因此,支命题必须通过联结词的组合作用才能构成复合命题.

    从逻辑结构上分析,复合命题有两个基本构成要素:支命题和联结词.

    联结词是逻辑常项,因为联结词有确定的逻辑涵义,有什么样的联结词决定了一个复命题有什么样的逻辑形式.

    支命题被称作逻辑变项,它是以命题为取值范围的变项,我们用p,q,r …表示.显然p,q,r代表任意命题.

    我们可从如下两组例子看到二者的区别.

    若以“天在下雨”和“地是湿的”为支命题,我们可构造出如下复合命题:

    如果天在下雨,那么地是湿的.

    天在下雨并且地是湿的.

    天在下雨或者地是湿的.

    天在下雨当且仅当地是湿的.

    尽管这四个命题有完全相同的支命题,但由于联结词不同,它们有完全不同的逻辑形式,由于逻辑形式不同因而它们是四个不同的命题.我们看到,这四个命题的确描述的是不同事件.

    再看如下几个复合命题:

    如果天在下雨,那么地是湿的.

    如果李司是犯罪嫌疑人,那么李司有犯罪动机.

    如果王武的计算机配置合理,那么它的价格低廉.

    尽管这几个命题的支命题完全不同,但它们有相同的联结词,因此它们有相同的逻辑形式.如果分别用p、q表示前后两个支命题,它们都有形式“如果p,那么q”.它们是同一形式的命题因而具有相同的逻辑性质.

    1.2 复合命题的逻辑特征

    一个命题要么是真的,要么是假的,无所谓真假的语句不表达命题.而符合事实的命题是真的它就不可能是假的,是假的就不可能真,因此一个命题不可能既真又假.我们把真假叫做命题的逻辑值,又称作命题的真值(truth-value).

    对简单命题我们是直接以事实为根据来判定其真假.

    复合命题则不同,它是由联结词联结支命题而构成的,从这个意义上讲,复合命题描述的是支命题之间的逻辑关联.支命题之间的逻辑关联就表现为支命题的真假对整个复合命题真假的制约关系.复合命题的真假是由支命题的真假决定的.

    逻辑关联是由联结词决定.联结词不同,支命题之间的逻辑关联就不同,支命题的真假对整个复命题真假的制约情况就不同.把一种形式的复命题其支命题真假对复合命题真假的制约情况列出来,就得到一张表,把它叫做该种形式复合命题的真值表.

    我们用“T”表示真,“F”表示假,假定复合命题的形式为“p或者q”,我们就得到如下真值表:

    p q p或者q

    1、T T T

    2、T F T

    3、F T T

    4、F F F

    每一种形式的命题都有一个相应的真值表.真值表描述了支命题的真假对一个复合命题真假的制约关系,因此,它实际上描述的是这一形式复合命题的逻辑特征.分析一种形式复合命题的逻辑特征就必须要分析它的真值表,通过分析其真值表可以揭示一种形式复合命题的逻辑性质.

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  • 4.4.4 复合线串的例子

    2021-05-08 18:55:38
    4.4.4 复合线串的例子大多数的道路都是由直线连接的。然而,在有些路段上道路可能来了个急转弯。怎样对由直线和圆弧组成的道路进行建模呢?图4-12展示了一个这样的例子。图4-12 由弧和直线连接而成的复合线串线段ABC...

    4.4.4  复合线串的例子

    大多数的道路都是由直线连接的。然而,在有些路段上道路可能来了个急转弯。怎样对由直线和圆弧组成的道路进行建模呢?图4-12展示了一个这样的例子。

    f43dd4284889288aee2957f2e3f8dd04.png

    图4-12  由弧和直线连接而成的复合线串

    线段ABC通过直线连接,CDE通过弧连接。如何表示这个复合线串呢?答案是通过为SDO_ELEM_INFO属性指定一个头三元组和紧随其后的简单元素三元组,来构造一个复合线串。如表4-3所述。

    头三元组:子元素的个数是2,起始偏移是1,因此头三元组应为(1,4,2)。4说明头三元组表示的是一个复合线串,2指定了有两个简单元素。

    线串ABC的三元组:因为这是复合元素的***个简单元素,所以SDO_ORDINATES中的起始偏移为1。element-type被设为2(线串),interpretation为1表示用直线连接。因此该三元组应为(1,2,1)。SDO_ORDINATES数组先存储该元素的6个坐标。

    弧CDE的三元组:这个元素与前面的ABC元素共享顶点C,所以顶点C的坐标不需被重复。因为该元素(CDE)是从顶点C开始的,而C的存储是从起始偏移5开始的,所以CDE的起始偏移被设为5。element-type被设为2(线串),interpretation被设为2表示通过弧连接。因此该三元组应为(5,2,2)。

    由于该几何体仅包含一个二维的线串,所以SDO_GTYPE被设为2002。这个表示在图4-13中用SDO_GEOMETRY元素描述。

    41db2c6d7fd6a8cd4dfe75cbbf27df02.png

    (点击查看大图)图4-13  用SDO_GEOMETRY存储复合线串

    注释:

    复合线串应该是连续的(即应共享一个顶点)。在图4-13中,顶点(Xc,Yc)被***个和第二个元素所共享。还有,一个复合线串(或element-type为4的元素)的子元素只能是线串(即子元素的element-type=2)。

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    Boost.MultiIndex 复合键的例子

    实现功能

    Boost.MultiIndex 复合键的例子

    C++实现代码

    #if !defined(NDEBUG)
    #define BOOST_MULTI_INDEX_ENABLE_INVARIANT_CHECKING
    #define BOOST_MULTI_INDEX_ENABLE_SAFE_MODE
    #endif
    #include <boost/call_traits.hpp>
    #
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