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  • 复数向量内积
    2021-12-08 22:30:18

    例:

    (1,i,i)x(i,i,1)

    复数向量的内积公式是前一个向量各分量与后一个向量中元素的共轭对应相乘然后相加.
    即(x,y,z)*(a,b,c)=x(a共轭)+y(b共轭)+z(c共轭)
    这样定义才能保证自己与自己的内积结果为正数.
    上式结果为1*(-i)+i*(-i)+i*1=1

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  • 复向量内积与共轭

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    其中,表示共轭,这种内积公式转换称之为典范内积 公式2: 举个例子说明: , 所以,上述展开的典范内积计算结果是共轭的。 公式1和公式2的定义携带了相同的矢量内积信息,在矢量内积的意义上2个定义...

    一个信号离散序列为\boldsymbol{s}=[s_{1},...,s_{n}]^{T},函数为\boldsymbol{h}=[h_{1},...,h_{n}]^{T}之间的内积为:

    公式1:

    \langle \boldsymbol{s}, \boldsymbol{h} \rangle= \boldsymbol{s}^{H}\boldsymbol{h}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{*}h_{i}

    其中,x^{*}表示复共轭,这种内积公式转换称之为典范内积

    公式2:

    \langle \boldsymbol{s}, \boldsymbol{h} \rangle= \boldsymbol{s}^{T}\boldsymbol{h}^{*}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}h_{i}^{*}

    举个例子说明:

    \boldsymbol{s}=[ 2+j,3+j],\boldsymbol{h}=[1+2j,2+j]

    \langle \boldsymbol{s}, \boldsymbol{h} \rangle= \boldsymbol{s}^{H}\boldsymbol{h}=[2-j,3-j][1+2j,2+j]^{T}=11+4j

    \langle \boldsymbol{s}, \boldsymbol{h} \rangle= \boldsymbol{s}^{T}\boldsymbol{h}^{*}=[2+j,3+j][1-2j,2-j]^{T}=11-4j

    所以,上述展开的典范内积计算结果是共轭的。

    公式1和公式2的定义携带了相同的矢量内积信息,在矢量内积的意义上2个定义公式是等价的,

    \left | \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{*}h_{i} \right |=\left | \sum_{i=1}^{n}x_{i}h_{i}^{*} \right |

    \arg\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{*}h_{i} \right )=-\arg\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{i}h_{i}^{*} \right )

    \cos\left ( \arg\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{*}h_{i} \right ) \right )=\cos\left ( -\arg\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{i}h_{i}^{*} \right ) \right )

    \boldsymbol{s}.\boldsymbol{h} =\Re\left (\langle \boldsymbol{s}, \boldsymbol{h} \rangle \right )

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  • 随机向量内积的概率分布分析过程


    随机向量内积的概率分布分析过程:

    1. 计算向量所张成空间的体积;
    2. 给定一个特殊向量,确定与此特殊向量的内积大于给定值的向量所构成的空间;
    3. 计算此特定空间与整个空间的面积之比。

    The surface area of a t-dimensional complex hypersphere of radius is given by
    A t ( r ) = 2 π t r 2 t − 1 ( t − 1 ) ! A_t\left( r \right) = \frac{2\pi ^t r^{ {2t - 1} }}{\left( {t - 1} \right)! } At(r)=(t1)!2πtr2t1

    Proof: (见2,附录)
    The volume of a t-dimensional complex hypersphere of radius is given by
    V t ( r ) = π t r 2 t t ! V_t\left( r \right) = \frac{\pi ^t r^{ {2t} }}{ {t}! } Vt(r)=t!πtr2t

    Let A t ( r , r 0 ) A_t\left( r , r_0\right) At(r,r0) denote the area of the spherical cap formed by the intersection of the subspace ∣ h 1 ∣ > r 0 \left | h_1 \right |> r_0 h1>r0 (the first complex element of vector h \mathbf h h), and the t-dimensional complex hypersphere given by ∥ h ∥ = r \left \| \mathbf{h} \right \| =r h=r, h = ( h 1 , ⋯   , h t ) \mathbf h =(h_1,\cdots, h_t) h=(h1,,ht). The volume of the spherical cap is
    V t ( r , r 0 ) = π t ( r 2 − r 0 2 ) t t ! V_t\left( r,r_0 \right) = \frac{\pi ^t\left ( r^2-r_0^2 \right )^t}{ t ! } Vt(r,r0)=t!πt(r2r02)t
    and the area is
    A t ( r , r 0 ) = 2 π t r ( r 2 − r 0 2 ) t − 1 ( t − 1 ) ! A_t\left( r,r_0 \right) = \frac{2\pi ^t r\left ( r^2-r_0^2 \right )^{t-1}}{ \left ( t-1 \right ) ! } At(r,r0)=(t1)!2πtr(r2r02)t1
    ​该球面表示向量 h = ( h 1 , h 2 , ⋯   , h t ) \mathbf h =(h_1, h_2,\cdots, h_t) h=(h1,h2,ht) 的端点,其中 ∣ h 1 ∣ > r 0 \left | h_1 \right |> r_0 h1>r0 ∥ h ∥ = r \left \| \mathbf{h} \right \| =r h=r。任意单位向量的端点在整个球面上。
    假设给定一个向量为 h = ( 1 , 0 , ⋯   , 0 ) \mathbf h =(1, 0,\cdots, 0) h=(1,0,0),以上的 spherical cap 球面所表示的面积与整个球面面积之比即为两向量内积大于 γ = r 0 / r \gamma =r_0/r γ=r0/r的概率。对于球形对称的分布,向量 h = ( 1 , 0 , ⋯   , 0 ) \mathbf h =(1, 0,\cdots, 0) h=(1,0,0) 与其它所有的单位向量出现的概率相等,所以上述的向量内积可以表示任意的两个单位向量的内积大于 γ = r 0 , 0 ≤ r 0 ≤ 1 \gamma =r_0,0\le r_0\le 1 γ=r00r01的概率。

    参考:

    1. D. J. Love, R. W. Heath, Jr., and T. Strohmer, ``Grassmannian beamforming for multiple-input multiple-output wireless systems,’’ IEEE   Trans.   Inf.   Theory \textit{IEEE Trans. Inf. Theory} IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 49, no. 10, pp. 2735–2747, Oct. 2003.

    2. K. K. Mukkavilli, A. Sabharwal, E. Erkip, and B. Aazhang, ``On beamforming with finite rate feedback in multiple-antenna systems,’’ IEEE   Trans.   Inform.   Theory \textit{IEEE Trans. Inform. Theory} IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 49, pp. 2562–2579, Oct. 2003.

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    向量内积 一般指点积;
    在数学中,数量积(dot product; scalar product,也称为点积)是接受在实数R上的两个 向量并返回一个实数值 标量二元运算。它是 欧几里得空间的标准 内积[1]  
    两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为:
    a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。
    使用 矩阵乘法并把(纵列)向量当作n×1  矩阵,点积还可以写为:
    a·b=a^T*b,这里的a^T指示 矩阵a的 转置

    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:




    推导过程如下,首先看一下向量组成:





    定义向量:




    根据三角形余弦定理有:




    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:




    即:



    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:




    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:


         a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间

         a·b=0    正交,相互垂直  

         a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间 



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空空如也

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