一个信号离散序列为，函数为之间的内积为：

公式1：

其中，表示复共轭，这种内积公式转换称之为典范内积

公式2：

举个例子说明：

,

所以，上述展开的典范内积计算结果是共轭的。

公式1和公式2的定义携带了相同的矢量内积信息，在矢量内积的意义上2个定义公式是等价的，

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随机向量内积的概率分布分析过程：

1. 计算向量所张成空间的体积；
2. 给定一个特殊向量，确定与此特殊向量的内积大于给定值的向量所构成的空间；
3. 计算此特定空间与整个空间的面积之比。

The surface area of a t-dimensional complex hypersphere of radius is given by
$$A_t\left(r\right)=\frac{2{\pi }^t{r}^{2t-1}}{\left(t-1\right)!}$$
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Proof: （见2，附录）
The volume of a t-dimensional complex hypersphere of radius is given by
$$V_t\left(r\right)=\frac{{\pi }^t{r}^{2t}}{t!}$$
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Let $A_t\left(r,r_0\right)$ denote the area of the spherical cap formed by the intersection of the subspace $\left|h_1\right|>r_0$ (the first complex element of vector $\mathbf{h}$), and the t-dimensional complex hypersphere given by $\Vert \mathbf{h}\Vert =r$, $\mathbf{h}=(h_1,\cdots ,h_t)$. The volume of the spherical cap is
$$V_t\left(r,r_0\right)=\frac{{\pi }^t{\left(r^2-r_0^2\right)}^t}{t!}$$
and the area is
$$A_t\left(r,r_0\right)=\frac{2{\pi }^{t}r{\left(r^2-r_0^2\right)}^{t-1}}{\left(t-1\right)!}$$
​该球面表示向量 $\mathbf{h}=(h_1,h_2，\cdots ,h_t)$ 的端点，其中 $\left|h_1\right|>r_0$，$\Vert \mathbf{h}\Vert =r$。任意单位向量的端点在整个球面上。
假设给定一个向量为 $\mathbf{h}=(1,0，\cdots ,0)$，以上的 spherical cap 球面所表示的面积与整个球面面积之比即为两向量内积大于 $\gamma =r_0/r$的概率。对于球形对称的分布，向量 $\mathbf{h}=(1,0，\cdots ,0)$ 与其它所有的单位向量出现的概率相等，所以上述的向量内积可以表示任意的两个单位向量的内积大于 $\gamma =r_0，0\le r_0\le 1$的概率。

参考：

1. D. J. Love, R. W. Heath, Jr., and T. Strohmer, ``Grassmannian beamforming for multiple-input multiple-output wireless systems,’’ $\text{IEEE Trans. Inf. Theory}$, vol. 49, no. 10, pp. 2735–2747, Oct. 2003.

2. K. K. Mukkavilli, A. Sabharwal, E. Erkip, and B. Aazhang, ``On beamforming with finite rate feedback in multiple-antenna systems,’’ $\text{IEEE Trans. Inform. Theory}$, vol. 49, pp. 2562–2579, Oct. 2003.

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