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  • 复化梯形公式算法
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    2020-12-24 18:02:34

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    取n=2,y),其中,被积函数自变量的等距结点,n-2) 1],*y),y),其中,被积函数自变量的等距结点,2)~=0,y),n),*y)。

    4, %y 为向量, %y 为向量。

    8,16分别验证结果(精确值I=4,被积函数在结点处的函数值, n=length(x),被积函数在结点处的函数值, n=length(x)。

    导读:文档《数值分析复化梯形公式,复化Simpson公式MATLAB程序》共1页,当前为第1页,大小为20kb,是专业资料、自然科学、数学相关类别的资料,并提供若干种数值分析复化梯形公式,复化Simpson公式MATLAB程序的文本文档下载,如word文档下载、wps文档下载等。以下便是第1页的正文:

    分别用复化梯形公式、复化Simpson 公式计算定积分dx e x ⎰+201,取n=2,4,8,16分别验证结果(精确值I=4.006994)。

    复化梯形公式求定积分:

    function I=tquad(x,y)

    %复化梯形求积公式,其中,

    %x 为向量,被积函数自变量的等距结点; %y 为向量,被积函数在结点处的函数值; n=length(x);

    m=length(y);

    %积分自变量的结点数应与它的函数值的个数相同 h=(x(n)-x(1))/(n-1);

    a=[1 2*ones(1,n-2) 1];

    I=h/2*sum(a.*y);

    复化Simpson 公式求定积分:

    function I=squad(x,y)

    %复化Simpson 求积公式,其中,

    %x 为向量,被积函数自变量的等距结点; %y 为向量,被积函数在结点处的函数值; n=length(x);

    m=length(y);

    %积分自变量的结点数应与它的函数值的个数相同 if rem(n-1,2)~=0

    I=tquad(x,y);

    return;

    end

    N=(n-1)/2;

    h=(x(n)-x(1))/N;

    a=zeros(1,n);

    for k=1:N

    a(2*k-1)=a(2*k-1)+1;

    a(2*k)=a(2*k)+4;

    a(2*k+1)=a(2*k+1)+1;

    end

    I=h/6*sum(a.*y);

    展开全文
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    实验3.1

    1 实验目的

    1.1 实验3.1:分别用复化梯形公式与复化Simpson公式计算下列积分,并与精确积分值相比较,探讨两类积分公式的精度。

    2 实验内容

    编写相应的M文件实现下列问题:

    分别用复化梯形公式与复化Simpson公式计算下列积分,并与精确积分值相比较,探讨两类积分公式的精度。

    (1),将区间8等分; 

     (2),将区间4等分;

     (3),将区间6等分;

     3 实验知识点

    3.1 复化梯形公式与复化Simpson公式求积分。

    3.2 求积函数计算定积分

    4 算法思想

    3.1 复化梯形公式

    3.2 复化Simpson公式

    5 实验代码及结果

    (一)实验3.1

    5.1 ,将区间8等分;

     5.1.1复化梯形求积分

    代码

    T_quad.m

    function [In,er]=T_quad(a,b,n)

    h=(b-a)/n;

    x=a:h:b;

    y=x./(x+4.^2);

    c=[1  2*ones(1,n-1),1];

    In=h/2*sum(c.*y);

    I=quad(f,a,b,1e-5)

    er=abs(I-In);

    In,er

    f.m

    function f=f(x)

    f=inline('x./(x+4.^2)')

    %f=inline('sqrt(x)');

    %f=inline('sqrt(4-(sinx).^2)')

    运行结果

    5.1.2复化Simpson公式求积分

    代码

    复合辛普森方法函数如下:

    function s=simpsion(f,a,b,n)

    %复化辛普森公式求积分.

    h=(b-a)/n;  

    x=linspace(a,b,2*n+1);

    y=feval(f,x);

    s=(h/6)*(y(1)+2*sum(y(3:2:2*n-1))+4*sum(y(2:2:2*n))+y(2*n+1));

    end

    运行结果

    5.2 ,将区间4等分

    5.2.1复化梯形公式求积分

    代码

    T_quad.m

    function [In,er]=T_quad(a,b,n)

    h=(b-a)/n;

    x=a:h:b;

    y=sqrt(x);

    c=[1  2*ones(1,n-1),1];

    In=h/2*sum(c.*y);

    I=quad(f,a,b,1e-5)

    er=abs(I-In);

    In,er

    f.m

    function f=f(x)

    %f=inline('x./(x+4.^2)')

    f=inline('sqrt(x)');

    %f=inline('sqrt(4-(sinx).^2)')

    运行结果

    5.2.2复化Simpson公式求积分

    代码

    复合辛普森方法函数如下:

    function s=simpsion(f,a,b,n)

    %复化辛普森公式求积分.

    h=(b-a)/n;  

    x=linspace(a,b,2*n+1);

    y=feval(f,x);

    s=(h/6)*(y(1)+2*sum(y(3:2:2*n-1))+4*sum(y(2:2:2*n))+y(2*n+1));

    end

    运行结果

    5.3 ,将区间6等分

     5.3.1复化梯形公式求积分

    代码

    T_quad.m

    function [In,er]=T_quad(a,b,n)

    h=(b-a)/n;

    x=a:h:b;

    y=sqrt(4-(sin(x)).^2);

    c=[1  2*ones(1,n-1),1];

    In=h/2*sum(c.*y);

    I=quad(f,a,b,1e-5)

    er=abs(I-In);

    In,er

    f.m

    function f=f(x)

    %f=inline('x./(x+4.^2)')

    %f=inline('sqrt(x)');

    f=inline('sqrt(4-(sinx).^2)')

    运行结果

    5.3.2复化Simpson公式求积分

    代码

    function s=simpsion(f,a,b,n)

    %复化辛普森公式求积分.

    h=(b-a)/n;  

    x=linspace(a,b,2*n+1);

    y=feval(f,x);

    s=(h/6)*(y(1)+2*sum(y(3:2:2*n-1))+4*sum(y(2:2:2*n))+y(2*n+1));

    end

    结果

    6 实验结果分析

     由复化梯形公式和复化辛普森公式两种方法求解可以看出,两种方法得到的结果相差不是很大。但在一般情况下,当分开的区间数n相等时,复化辛普森得到的结果比复化梯形公式得到的结果更加准确。若想通过复化梯形公式求解得到复化辛普森求解的精确值,就需要选取更大的n,即划分成更多的区间进行求解。

    实验3.2

    1 实验目的

    已知地球卫星飞行轨迹、部分距离及轨迹周长计算公式等信息,选用适当的求积函数计算定积分,求解卫星轨迹长度。

    2 实验内容

    地球卫星飞行轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是:

     式中,a是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离。令h为近地点距离,H为远地点距离,R=6371(km)为地球半径,则

    我国第一颗人造地球卫星近地点距离h=439(km),远地点距离H=3484km,试求卫星轨道长度。

    3 实验知识点

    在科学研究和工程技术中,经常遇到积分的计算,虽然有些函数的不定积分可以求出其初等函数表示式,但有更多的函数,它们的不定积分不是初等函数,这样就无法利用牛顿莱布尼兹公式求出其定积分,甚至经常遇到只知道函数在一些离散点的值,但函数表达式未知的情况,在上述情况下就必须以数值方法求定积分的近似值。用数值方法求定积分的近似值,通常称为数值积分。

    4 算法思想

    龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上,构造出一种加速计算积分的方法,在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。在等距基点的情况下,用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。

    5 实验代码

    代码:

    R=6371;

    h=439;

    H=3484;

    a=(2*R+H+h)/2;

    c=(H-h)/2;

    syms theta

    f=sqrt(1-(c/a)^2*sin(theta)^2);

    s=a*int(f,theta,0,pi/2);

    s=double(vpa(s))

    6 实验结果

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  • C++实现复化梯形公式求积分算法

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    取 n=10,利用复化梯形公式计算积分: 3. 程序代码 # include # include using namespace std ; double X [ 1000 ] ; //保存生成的节点横坐标 double Y [ 1000 ] ; //保存生成的节点纵...

    1. 算法原理简介

    步1 将积分区间2n等分;
    步2 调用复化梯形公式:
    在这里插入图片描述

    2. 应用实例

    取 n=10,利用复化梯形公式计算积分:
    在这里插入图片描述

    3. 程序代码

    #include <iostream>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    
    double X[1000];//保存生成的节点横坐标
    double Y[1000];//保存生成的节点纵坐标
    
    //定义一个数学函数
    double fun(double x)
    {	
        return 4 / (1 + x * x);
    }
    
    //分割区间
    void Devide(double a, double b, int N)
    {	
        double x;	
        double dx= (b - a) / (N);	
        for (int i = 0; i <= N; i++)	
        {		
            x = a + i * dx;		
            X[i] = x;		
            Y[i] = fun(x);	
        }
    }
    
    //复化梯形求积
    double GetIntegralValue(double a, double b, int N)
    {	
        double sum = 0;	
        double value;	
        //求2*f(xk)的总和,1<= k <= n-1	
        for (int i = 1; i <= N - 1; i++)	
        {		
            sum += 2 * Y[i];
        }	
        value = 0.5 * ((b - a) / N) * (Y[0] + sum + Y[N]);	
        return value;
    }
    
    int main()
    {	//产生的节点数	
        double a = 0;	
        double b = 1;	
        int N=10;	
        cout << "被积函数 f = 4 / (1 + x * x)" << endl;	
        cout << "区间等分数为 10" << endl;	
        cout << "积分区间为(0,1)" << endl;	
        Devide(a, b, N);	
        cout << "积分值为:" << GetIntegralValue(a, b, N) << endl;	
        return 0;
    }

    4. 运行结果

    在这里插入图片描述

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