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  • 本程序用于计算二重定积分,采用的是复化梯形公式,是一种常见的数值求积法
  • 2 分别用复化梯形公式复化 Simpson 公式计算定积分 1+ ex dx 取 n=2,4,8,16 0 分别验证结果精确值I=4.006994 复化梯形公式求定积分: function I=tquad(x,y) %复化梯形求积公式其中 %x 为向量被积函数自变量的等距...
  • PAGE PAGE 1 分别用复化梯形公式复化Simpson公式计算定积分取n=2,4,8,16分别验证结果精确值I=4.006994 复化梯形公式求定积分: function I=tquad(x,y) %复化梯形求积公式其中 %x为向量被积函数自变量的等距结点 %y为...
  • 上章围绕曲边梯形的面积问题,引出了定积分的概念,并给出定积分计算方法,刻画了可积条件,从理论上完善了定积分。而马克思再次告诉我们,理论要服务于实践,所以本章讨论定积分的应用!定积分的所有应用问题,都...

    上章围绕曲边梯形的面积问题,引出了定积分的概念,并给出定积分的计算方法,刻画了可积条件,从理论上完善了定积分。而马克思再次告诉我们,理论要服务于实践,所以本章讨论定积分的应用!

    定积分的所有应用问题,都可以归结为四部曲:分割,近似,求和,取极限(注:数学分析上一般说三部曲,大表哥习惯把近似与求和分开)。为了简约实用,我们也常常把定积分的四部曲转换为微元法!

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    由于定积分的定义本身是一个和式的极限,所以上述注1要求所求量,是代数可加的。比如力学问题中,求合力时,把不同方向的力分解到同一方向,才能相加。

    误差可忽略是选择表达式的客观标准,教材在导出平面图形面积、旋转曲面的侧面积、立体体积与曲线弧长的计算公式时,实际上就是在验证误差可忽略这一事实。如果把弧长增量的近似式改取为Δs≈△x,将导致弧长=b-a的荒谬错误,因为此时不难验证△s-△x≠o(△x),即理论上误差太大。

    作为定积分天生的应用,自然是求面积!

    一、 求面积

    1 直角坐标系下关于y=f(x)的曲线所围的平面区域面积

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    2 直角坐标系下的参数曲线所围的平面区域的面积

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    3 极坐标系下的曲线所围成的平面区域面积

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    4 空间旋转曲面的侧面积

    旋转曲面的面积公式的推导,略有难度,原因可能有以下两个方面

    (1)同学们对圆台的侧面积公式不熟悉;

    (2)同学们不理解为什么要用较复杂的,小圆台的侧面积,作为旋转曲面侧面积的微元,而不选用较简单的,圆柱的侧面积作为微元。原因很简单,要保证“误差可忽略”。大表哥给出私房的上述两个问题的具体解答!

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    PS:关于圆台,同学们可以从以下三个方面认识:

    (1) 被平行于锥底的截面截去锥尖儿之后得到;

    (2) 可由直角梯形绕其一条直角边旋转而得到;

    (3) 圆台展开之后是扇环(见上图大表哥手绘);

    二、 求空间立体的体积

    1 已知平行截面面积求体积

    如果你有切土豆片、黄瓜片、或茄子片的经历,那就不难理解1中求体积的原理。如果没有那种经历,赶紧去厨房试试吧!

    只看下图,就足以推出(如果你基础正常)已知平行截面面积求体积的公式了!

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    2 旋转体的体积

    Case1 绕x轴旋转的体积

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    Case2 绕y轴旋转的体积

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    由曲线y=f(x),x=a,x=b及x轴所围成的封闭区域,分别绕x ,y轴所得空间立体的体积,计算时都用到了积分的思想,即分割、近似、求和、取极限这四部曲,但在实际操作过程中,用到的工艺是不同的。

    绕x轴转时,我们可以竖着切,把旋转体切成小钢镚,很薄很薄的那种哦,有多薄呢?薄到不可描述,大抵只有全球最大的橡胶制品实业公司--杜蕾斯才有发言权,大表哥强烈建议,该公司出一款名为“do it--dx”的超薄产品,奉献人类!切成的每个小钢镚的厚度即为dx,即分割之后的每个圆柱的高为dx,而底面积为派f(x)平方,再把所有的小体积加起来,而积分就是高档次的求和,所以不难得到绕x轴旋转的体积。

    绕y轴转时,如果还竖着切,则很难计算出每一片的体积(因为此时的薄片可能是不规则的图形)。我们转换一种思路,考虑如何才能切出容易计算的薄片的体积。如果你吃过果丹皮或者蛋卷(这两种零食较有年代感),想象下,把绕y轴旋转的旋转体一层一层一层地扒拉开(和剥洋葱一样),现在考虑扒拉出的那一薄层,把它拆开之后,是不是一个长方体呢?而长方体的体积是容易计算的,其长即为2派x,宽dx,高f(x),再把所有的小长方体体积加起来即得绕y轴旋转体的体积。

    旋转体的两个公式不必强记,同学们需要理解它们的推导过程,熟悉之后,大脑只需十秒,两个公式就跃然纸上。

    三、 平面曲线的弧长和曲率

    1 平面曲线的弧长

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    定理10.1的证明略有难度,建议同学们认真看两遍,捋清证明的思路,搞懂每一步的具体含义。

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    2 曲率

    曲率也称弯曲程度,即单位角度弧长的变化率。同学们了解即可。

    四 定积分在物理中的应用

    关于力学问题,做功问题等都是定积分常常要解决的问题,但是,对于考研数学分析,同学们不必深究!个别的985院校会涉及物理应用问题,绝大多数院校更注重考察定积分在数学上的应用!

    本章同学们需要在理解(尤其要理解微元法)的基础上记忆,并利用公式去计算面积、体积、弧长等几何问题。

    PS:作为数学专业,在用微元法时,同学们一定要注意大表哥给出的关于“误差可忽略”的这个客观标准(公共数学一般不用验证),否则可能会犯本质的错误。数学发展的历史上,曾对曲面面积的定义,就出现过偏差,一些数学家们尝试用曲面的一系列内接三角形面积之和的极限,去定义曲面的面积,后来发现这种定义是不正确的,而要利用曲面的一系列外切多边形面积之和的极限来定义)。产生原来那种错误的原因,是因为采用了微元法时,没有达到“误差可忽略”的标准!

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    大表哥考研数学:数学分析第九章《定积分》备考指南zhuanlan.zhihu.com
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    大表哥考研数学:数学分析第八章《不定积分》备考指南zhuanlan.zhihu.com
    大表哥考研数学:数学分析第七章《实数完备性》备考指南zhuanlan.zhihu.com
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    大表哥考研数学:数学分析第六章《微分中值定理及其应用》备考指南zhuanlan.zhihu.com
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  • 一、为什么要数值积分传统的数值积分利用了Newton-Leibniz公式(牛顿-莱布尼茨公式),连续函数 在 上的定积分 其中 是 的原函数。对于大多数问题,牛顿-莱布尼茨公式不能使用,可能有这样几个原因。 找不到精确的原...

    ad39d57dab2f5416d12942465a1809d1.png

    前言

    插值方法时一种重要的函数逼近方法,它在数值微积分和常微分方程数值解中有重要应用。

    一、为什么要数值积分

    传统的数值积分利用了Newton-Leibniz公式(牛顿-莱布尼茨公式),连续函数

    上的定积分

    其中

    的原函数。对于大多数问题,牛顿-莱布尼茨公式不能使用,可能有这样几个原因。
    1. 找不到精确的原函数
    2. 没有解析表达式,用表格方式给出
    3. 大多数的无穷积分
    4. 虽然找到原函数,但是过于复杂,难以求解

    上面这种情况,我们只能通过数值积分公式进行近似计算。

    是定义在
    上的可积函数,考虑带权积分

    其中权函数

    上非负可积,且至多有有限个零点。

    所谓的数值求积就是用

    近似

    ,上述公式称为
    数值求积公式。其中
    被称为求积常数,
    被称为求积节点。

    二、数值积分

    上文介绍了为什么要有数值积分,那么我们接下来讨论如何求解数值积分。

    1. 数值积分产生背景

    根据第一积分中值定理,

    其几何意义为:

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    第一积分定理

    2. 采用不同的近似值来代替

    就对应着不同的数值求积公式,主要有下面三种

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    3. 插值型求积公式

    当权函数

    的情形,
    ,根据之前插值函数的定义,我们知道
    ,此时我们在[a,b]上取n+1个互异点
    作为插值结点,进而我们得到下面的式子

    ,对左式两端求积分得到如下的式子

    46bca7cc105bd3d291a12da1d8903787.png

    其中

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    根据取值点的个数,有三种不同的求积公式,分别是两个端点,端点+中值点,端点+三个中间点,分别对应着梯形求积公式,Simpson求积公式,Cotes公式。

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    n+1点Newton-cotes公式求积系数的特点是,等距节点的Lagrange插值基函数满足单位分解性,

    看一道例题来理解这几种求积公式。

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    三、插值型公式评价标准

    一共有两种评价准则,一种是代数精度,一种是求积余项。

    1. 代数精度

    如果某个数值求积公式对比较多的函数能够准确成立,即

    ,那么这个公式的使用价值就较大,可以说这个公式的精度较高,为衡量数值求积公式的精度,引进代数精度的概念。

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    数值求积公式具有m次代数精度的充要条件是它对

    都能准确成立,但对
    不能准确成立。

    以梯形求积公式举个例子

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    这是第一种评价准则。

    2. 求积余项

    学习多项式插值知识的时候,我们了解过插值余项的表达形式

    ,针对三种求积公式,分别对应着不同的求积余项,简单来说求积余项越小,求积精度越高。代数精度是“粗”粒度的误差估计,求积余项是“细”粒度的误差估计。

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    我们总结一下Newton-Cotes公式代数精度

    当n为偶数时,n+1点的Newton-Cotes公式的代数精度为n+1

    当n为奇数时,n+1点的Newton-Cotes公示的代数精度为n

    n+1点Newton-Cotes公式至少具有n次代数精度。

    我们来看一道例题,理解一下代数精度。

    6b3e2bd7b6867439e9ca226a45b5907a.png

    【分析】n≥2,说明代数精度至少为3,那么

    都成立,对应上面四个式子分别都能精确插值,分别对应着
    ,接着求解即可。

    四、复化求积公式

    我们先讨论一下Newton-Cotes公式的稳定性。

    则,
    ,而
    ,根据之前学习多项式Lagrange插值时我们所了解到的高次Runge现象,我们知道,随着n的增大
    也会不断增大,显然Newton-Cotes公式高次是无法收敛的,拟合效果不好。

    实际求解中我们根据解决插值问题Runge现象的相同思路来解决这个问题,就是采取分段积分的方式来解决。我们称之为复化求积

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    每个分段内分别采用梯形、Simpson、Cotes求积公式可以得到对应的复化求积公式。这里不给出推导过程,直接给出结果。

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    复化梯形求积公式

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    复化Simpson求积公式

    0b87943bd5a843234fdb32b754180201.png
    复化Cotes求积公式

    各自对应的求积余项为

    43b20cddce3374272e4829ed13d686fc.png
    复化梯形公式余项

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    复化Simpson求积余项

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    复化Cotes求积余项

    我们通过一道例题来应用一下复化求积公式。

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    复化求积公式例题

    总结

    至此为止,基于插值公式的数值积分的内容介绍完毕,接下来一讲将会介绍Gauss求积公式。谢谢大家,读到此处,万分感谢。

    展开全文
  • 第五章、数值积分5.1Newton-Cotes公式目标:定积分 难点: 原函数不好求思路: ,其中 是插值多项式5.1.1梯形求积公式使用 两个点的插值多项式. 用梯形面积近似积分5.1.2抛物线形求积公式(Simpson公式)使用 三个点的...

    第五章、数值积分

    5.1Newton-Cotes公式

    目标:定积分

    难点

    原函数不好求

    思路

    ,其中
    是插值多项式

    5.1.1梯形求积公式

    使用

    两个点的插值多项式.

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    用梯形面积近似积分

    5.1.2抛物线形求积公式(Simpson公式)

    使用

    三个点的插值多项式.

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    用二次抛物线的积分近似

    5.1.3Newton-Cotes公式

    等分为
    个区间,使用
    个点.

    其分点为

    插值多项式为

    用插值多项式代替被积函数得到

    这里的

    ,它是拉格朗日插值的基函数在区间
    上的积分,作变量替换
    ,这个积分等于

    这里

    不依赖函数
    和区间
    ,可以
    事先计算出来。称这些数为Newton-Cotes系数.

    定理 对于给定

    Newton-Cotes系数之和为1.

    证明

    其中第三个等号将求和与积分交换后,注意到所有基函数之和恒等于1,因为所有基函数之和是1多项式的插值,且插值多项式是唯一的。

    定理

    时,Newton-Cotes公式是
    数值稳定

    证明

    时,Newton-Cotes系数
    都是正数,如果我们计算
    的函数值是有一个最大误差
    ,那么利用Newton-Cotes公式计算积分,其误差为

    我们可以通过控制

    从而控制积分的误差限,因此这一方法是
    数值稳定的。

    后,因为Newton-Cotes系数有正有负,所以
    ,误差难以控制.

    5.2梯形公式和抛物线公式的误差估计

    5.2.1 m次代数精度定义

    定义 对于求积公式

    如果对于任意不超过

    次的多项式严格成立,且对于某个
    次多项式不严格成立,那么称这个
    求积公式具有m次代数精度.

    Newton-cotes公式显然具有

    次代数精度,因为对于任意不超过
    次的多项式
    ,它的插值多项式与它恒等,但当
    为偶数的时候,其代数精度为
    .

    定理 如果

    ,那么Newton-cotes公式具有
    次代数精度.

    证明

    ,其
    阶导数为常数
    .

    利用插值多项式的误差估计式计算得到

    利用

    ,且作变换
    进一步计算得到

    验证

    为奇函数,所以上面积分为0,所以当
    为偶数时,对于
    次多项式,Newton-cotes公式严格成立,所以具有
    次代数精度.

    下面计算误差估计式的本质是利用插值多项式的误差+积分中值定理.

    5.2.2梯形公式误差估计

    定理 梯形公式的误差为

    证明 首先利用插值多项式误差估计式

    是关于
    的函数,它是连续的,并且
    非正,利用积分中值定理得到

    5.2.3抛物线求积公式(辛普森公式)的误差估计

    定理 抛物线求积公式(辛普森公式)的误差估计式为

    证明 属于

    为偶数的情形,其代数精度为3,需要构造一个3次的插值多项式.

    巧妙)下面构造3次多项式满足

    利用插值误差有

    进而类似使用积分中值定理得到结果.

    5.3复化梯形公式及误差

    5.3.1复化梯形公式

    思路:将大区间分成许多小区间(n个),每个小区间上用梯形公式,再把所有区间结果求和.

    5.3.2复化抛物线公式

    思路:将大区间分成许多小区间(由于抛物线公式用到区间中点,需要分成2n个),每两个小区间上用抛物线求积公式,再把所有结果求和.

    5.3.3复化梯形公式误差

    定理 复化梯形公式的误差估计式为

    其中

    .

    证明 每个小区间上用梯形公式的误差估计式

    连续,存在
    ,
    ,代入即得.

    5.3.4复化抛物线公式误差

    定理 复化抛物线公式的误差估计式为

    其中

    .

    证明 类似复化梯形公式误差.

    5.4逐次分半法

    5.4.1梯形公式的逐次分半法

    思想:将区间等分为越来越多的小区间,用复化梯形公式对所有小区间求积.

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    找规律

    每次分半过后,已经有的前面分点不需要重新计算,分段前后的递推关系为

    利用复化梯形公式有误差估计

    于是

    进而

    这说明积分真值和

    差可以用
    近似度量,因此当
    比较小的时候,就认为积分误差已经比较小了,所以它可以作为
    循环停止条件

    5.4.2抛物线公式的逐次分半法

    公式为

    其中

    是原分点函数值之和,
    是新分点函数值之和.

    类似地有

    右端可以作为循环停止条件.

    5.5加速收敛技巧与Romberg积分

    思想:给定一组序列,通过简单运算得到新的序列,使得新的序列有更好的精度.

    用正

    边形周长代替圆的周长,得到圆周率的近似结果为

    通过已知序列值的简单线性组合得到更接近的结果

    事实上这个方法原理为

    将其泰勒展开得到

    那么

    对比发现,序列

    的误差主项为
    ,而序列
    的误差主项为
    .
    展开全文
  • (1)用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式计算积分,自己设置不同精度要求,对结果进行比较分析。 (2)用Romberg积分法计算积分,自己设置不同精度要求,对结果进行比较分析。 (3)记f(x)=sin x/x,在...

    复化公式求解定积分

    用熟悉的计算机语言编程上机完成
    (1)用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式计算积分,自己设置不同精度要求,对结果进行比较分析。
    (2)用Romberg积分法计算积分,自己设置不同精度要求,对结果进行比较分析。
    (3)记f(x)=sin x/x,在上面的计算中f(x)只取4位有效数字或7位有效数字,计算结果又有什么不同。
    (4)上面计算精度可达8-20位有效数字吗?若可以,请说明实现过程,并举例。

    理论基础
    在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    我们通过编写好的matlab源程序,直接调用函数可得复化公式所得结果。通过改变区间等分数n的值来得到不同精度的结果,再把多个结果汇总制作表格和散点图进行分析比较

    function y=f(x) 
    y=sin(x)/(x);
    if x==0;
        y=1;
    else
        y=sin(x)/(x);
    end
    
    %1.复化梯形求积公式的代码
    function Tn=Tn(a,b,n)
       format  long
        h=(b-a)/n;
        sum=0;
        for k=1:n-1
            sum=sum+f(a+k.*h);
        end
        Tn=(f(a)+2*sum+f(b))*h/2;
      End
    
    %2.复化Simpson公式的代码
    function Sn = Sn(a,b,n)
        format long
        h = (b-a)/n;
        sum1 = 0;
        sum2 = 0;
        for i = 0:n-1
            sum1 = sum1 + f(a+(i+1/2).*h);
        end
        for j = 1:n-1
            sum2 = sum2 + f(a+j.*h);
        end
        Sn = h/6*(f(a)+4*sum1+2*sum2+f(b));
    
    %3.复化Cotes公式的代码
    function Cn = Cn(a,b,n)
        format long
        h = (b-a)/n;
        sum1 = 0;
        sum2 = 0;
        for i = 0:n-1
            sum1 = sum1 + 32*f(a+(i+1/4).*h)+12*f(a+(i+1/2).*h)+32*f(a+(i+3/4).*h);
        end
        for j = 1:n-1
            sum2 = sum2 + 14*f(a+j.*h);
        end
    Cn = h/90*(7*f(a)+sum1+sum2+7*f(b));
    

    在这里插入图片描述

    %%% Romberg积分法
    clear
    %%%积分区间
    b=1;
    a=0;
    %%%精度要求
    R=1e-7;%R=1e-7;
    %%%应用梯形公式准备初值
    T(1,1)=(b-a)*(f(b)+f(a))/2;
    T(1,2)=T(1,1)/2+(b-a)/2*f((b+a)/2);
    T(2,1)=(4*T(1,2)-T(1,1))/(4-1);
    j=2;
    m=2;
    h=1;
    %%%主程序体%%% 
    while(abs(T(m,1)-T(m-1,1))>R);%%%精度控制
        j=j+1;
        s=0;
        for p=1:2^(j-2);
           s=s+f(a+(2*p-1)*h/(2^(j-1)));
        end
        T(1,j)=T(1,j-1)/2+h*s/(2^(j-1)); %%%梯形公式应用
        for m=2:j; 
          k=(j-m+1);
          T(m,k)=((4^(m-1))*T(m-1,k+1)-T(m-1,k))/(4^(m-1)-1);
        end
    end
    %%%给出 Romberg积分法的函数表
    I=T(m,1)
    

    此外,我们通过调用vpa()函数实现了控制输出了8-20位有效数字。
    在这里插入图片描述
    (1)误差分析
    由上表知,复化Cotes公式计算所得的误差最小,其次是复化辛普森公式,误差最大的是复化梯形公式。
    (2)精确值比较
    在达到相同精度的前提下,所需的等分数比较:复化梯形公式>复化Simpson公式>复化Cotes公式。在相同等分数的前提下,计算结果的精度比较:复化梯形公式<复化Simpson公式<复化Cotes公式。
    (3)收敛性分析
    三种复化求积公式的收敛速度比较:复化梯形公式<复化Simpson公式<复化Cotes公式
    Remberg 0.946145882 0.946083004 0.94608307 0.94608307 0.94608307

    (4)Romberg积分法 结果分析:当要求的计算精度不高时,复化梯形算法与Romberg算法计算时间相差不太大,但是Romberg算法是要快于复化梯形算法的;当要求的计算精度更高的时候,Romberg算法是明显快于复化梯形算法。Romberg积分法在达到相同精度的前提下大大节省了计算量,并且使用的节点更少。
    (5)f(x)取8位有效数字得到的计算结果与f(x)取20位有效数字得到的计算结果.可以调用vpa()函数实现

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  • 1、利用复化梯形公式计算定积分2、计算Ackerman函数3、编写计算x的y次幂的递归函数getpower(int x,int y),并在主程序中实现输入输出4、编写计算学生年龄的递归函数5、编写递归函数实现Ackman函数 姓名: 刘健斌 ...
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    2019-05-23 00:01:00
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    2019-05-19 13:56:00
    1、利用复化梯形公式计算定积分2、计算Ackerman函数3、编写计算x的y次幂的递归函数getpower(int x,int y),并在主程序中实现输入输出4、编写计算学生年龄的递归函数5、编写递归函数实现Ackman函数 姓名:方缙  ...
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  • 函数的宏定义(2)

    2019-05-19 23:33:00
    1、利用复化梯形公式计算定积分 2、计算Ackerman函数 3、编写计算x的y次幂的递归函数getpower(int x,int y),并在主程序中实现输入输出 4、编写计算学生年龄的递归函数 5、编写递归函数实现Ackman函数 姓名:...
  • 1、利用复化梯形公式计算定积分 2、计算Ackerman函数 3、编写计算x的y次幂的递归函数getpower(int x,int y),并在主程序中实现输入输出 4、编写计算学生年龄的递归函数 5、编写递归函数实现Ackman函数 ...
  • 第六章实验报告(2)

    2019-05-19 10:29:00
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复化梯形公式计算定积分