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  • 2 分别用复化梯形公式复化 Simpson 公式计算定积分 1+ ex dx 取 n=2,4,8,16 0 分别验证结果精确值I=4.006994 复化梯形公式求定积分: function I=tquad(x,y) %复化梯形求积公式其中 %x 为向量被积函数自变量等距...
  • 从Newton-Cotes截断误差公式可以看出,当积分区间[a,b][a,b][a,b]较大时,低阶Newton-Cotes求积公式截断误差都比较大。由于高阶Newton-Cotes求积公式是数值不稳定,因此通过不断...这种方法称为复化求积方法。 常

    从Newton-Cotes的截断误差公式可以看出,当积分区间[a,b][a,b]较大时,低阶的Newton-Cotes求积公式截断误差都比较大。由于高阶Newton-Cotes求积公式是数值不稳定的,因此通过不断增加阶数来提高求积公式的精度是不可行的。但是,如果将积分区间[a,b][a,b]分成几个小区间(任意的),在每个小区间上应用Newton-Cotes求积公式,其截断误差必然会减小,然后再把每个小区间上的积分值累加起来,这样却能大大提高整个积分的精度。这种方法称为复化求积方法。

    常用的复化求积方法采用等分区间的做法,具体如下:

    将区间[a,b][a,b]划分为n等分,步长为H=(ba)nH=\frac{(b-a)}{n},分点为xk=a+kH,k=0,1,2,,nx_k=a+kH,k=0,1,2,\cdots,n。先用低阶Newton-Cotes求积公式求得每个子区间[xk,xk+1][x_k,x_{k+1}]上的积分值IkI_k,然后将它们累加起来求和,用k=0n1Ik\sum_{k=0}^{n-1}I_k作为所求积分I=abf(x)dxI=\int_a^bf(x)dx的近似值。

    1. 复化梯形公式

    在区间[a,b][a,b]上采用复化求积方法,具体使用梯形求积公式进行计算,就得到复化梯形求积公式。用TkT_k表示f(x)f(x)在子区间[xk,xk+1][x_k,x_{k+1}]上的积分值,TnT_n表示f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上的积分值,有:
    Tk=12H[f(xk)+f(xk+1)] T_k=\frac{1}{2}H[f(x_k)+f(x_{k+1})]
    其中
    H=(ba)/n,xk=a+kH(k=0,1,2,,n) H=(b-a)/n, \quad x_k=a+kH \quad(k=0,1,2,\cdots,n)

    Tn=k=0n1Tk=12Hk=0n1[f(xk)+f(xk+1)] T_n=\sum_{k=0}^{n-1}T_k=\frac{1}{2}H\sum_{k=0}^{n-1}[f(x_k)+f(x_{k+1})]
    即:
    Tn=12H[f(xk=0)+f(xk=n)+2k=1n1f(xk)] T_n=\frac{1}{2}H[f(x_{k=0})+f(x_{k=n})+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)]

    Tn=ba2n[f(a)+f(b)+2k=1n1f(xk)] T_n=\frac{b-a}{2n}[f(a)+f(b)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)]
    截断误差用RTR_T表示,由于f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上有连续的二阶导数,故有:
    RT=k=0n1112H3f(2)(ηk)=112H3k=0n1f(2)(ηk)ηk[xk,xk+1] R_T=\sum_{k=0}^{n-1}-\frac{1}{12}H^3f^{(2)}(\eta_k)=-\frac{1}{12}H^3\sum_{k=0}^{n-1}f^{(2)}(\eta_k) \quad \eta_k\in[x_k,x_{k+1}]

    RT=112H3nf(2)(η)=(ba)12H2fn(η)η[a,b] R_T=-\frac{1}{12}H^3·n·f^{(2)}(\eta)=-\frac{(b-a)}{12}H^2f^n(\eta) \quad \eta \in [a,b]

    2. 复化Simpson公式

    在区间[a,b][a,b]上采用复化求积方法,具体使用Simpson求积公式进行计算,就得到复化Simpson公式。用SkS_k表示f(x)f(x)在子区间[xk,xk+1][x_k,x_{k+1}]上的积分值,SnS_n表示f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上的积分值,有:
    Sk=16H[f(xk)+4f(xk+12)+f(xk+1)] S_k=\frac{1}{6}H[f(x_k)+4f(x_{k+\frac{1}{2}})+f(x_{k+1})]
    式中,xk+12x_{k+\frac{1}{2}}为子区间[xk,xk+12][x_k,x_{k+\frac{1}{2}}]的中点,H=(ba)/nH=(b-a)/n
    Sn=k=0n1=16Hk=0n1[f(xk)+4f(xk+12)+f(xk+1)] S_n=\sum_{k=0}^{n-1}=\frac{1}{6}H\sum_{k=0}^{n-1}[f(x_k)+4f(x_{k+\frac{1}{2}})+f(x_{k+1})]

    Sn=k=0n1=16H[f(a)+4k=0n1f(xk+12)+2k=1n1f(xk)+f(b)] S_n=\sum_{k=0}^{n-1}=\frac{1}{6}H[f(a)+4\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}})+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_{k})+f(b)]
    截断误差用RsR_s表示,由于f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上有连续的四阶导数,故有:
    RS=k=0n112880H5f(4)(ηk)=12880H5k=0n1f(4)(ηk)ηk[xk,xk+1] R_S=\sum_{k=0}^{n-1}-\frac{1}{2880}H^5f^{(4)}(\eta_k)=-\frac{1}{2880}H^5\sum_{k=0}^{n-1}f^{(4)}(\eta_k) \quad \eta_k \in [x_k,x_{k+1}]

    3. 复化Cotes公式

    在区间[a,b][a,b]上采用复化求积方法,具体使用Cotes求积公式进行计算,就得到复化Cotes公式为:
    Cn=190H[7f(a)+32k=0n1f(xk+14)+12k=0n1f(xk+12)+32k=0n1f(xk+34)+14k=1n1f(xk)+7f(b)] C_n=\frac{1}{90}H[7f(a)+32\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{4}})+12\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}})+32\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{3}{4}})+14\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+7f(b)]
    截断误差为:
    Rc=2(ba)945(H4)6f(6)(η)η[a,b] R_c=-\frac{2(b-a)}{945}(\frac{H}{4})^6f^{(6)}(\eta) \quad \eta\in[a,b]
    从复化求积的余项公式中可以看出,复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式的余项和步长的关系为RT=O(h2),Rs=O(h4),Rc=O(h6)R_T=O(h^2),R_s=O(h^4),R_c=O(h^6)。因此,当H0H\to 0nn\to \infty时,Tn,Sn,CnIT_n,S_n,C_n\to I

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  • 用Matlab实现复化的梯形公式、Simpson公式与Cotes公式的比较

    对于函数f(x) = sin(x) ,试用复化梯形公式、复化Simpson公式及复化Cotes公式计算积分,并比较其误差。

    首先,在MATLAB输入以下程序定义函数:

    function y=f(x) 
    y=sin(x);

    1.复化梯形求积公式的代码

    function Tn=Tn(a,b,n)
        format long
        h=(b-a)/n;
        sum=0;
        for k=1:n-1
            sum=sum+f(a+k.*h);
        end
        Tn=(f(a)+2*sum+f(b))*h/2;
      end


    2.复化Simpson公式的代码

    function Sn = Sn(a,b,n)
        format long
        h = (b-a)/n;
        sum1 = 0;
        sum2 = 0;
        for i = 0:n-1
            sum1 = sum1 + f(a+(i+1/2).*h);
        end
        for j = 1:n-1
            sum2 = sum2 + f(a+j.*h);
        end
        Sn = h/6*(f(a)+4*sum1+2*sum2+f(b));


    3.复化Cotes公式的代码

    function Cn = Cn(a,b,n)
        format long
        h = (b-a)/n;
        sum1 = 0;
        sum2 = 0;
        for i = 0:n-1
            sum1 = sum1 + 32*f(a+(i+1/4).*h)+12*f(a+(i+1/2).*h)+32*f(a+(i+3/4).*h);
        end
        for j = 1:n-1
            sum2 = sum2 + 14*f(a+j.*h);
        end
    Cn = h/90*(7*f(a)+sum1+sum2+7*f(b));


    4.不同区间和分割次数下的精确值和近似值的比较代码

    y=[-0.150920964949986,0.106044306328975,-1.260000791649389,1.122733727670800,0.185427920752058,0.955618503172607];
    Tn=[-0.144707438957434 ,0.103357516942886,-0.809037206720437,1.074587530720150,0.176653381231435 ,0.874739367319743];
    Sn=[-0.150933735388946,0.106047691917755 ,-1.267931587831384,1.122836754412495,0.185448626084829 ,0.956086587141625];
    Cn=[ -0.150920958200157,0.106044290463326,-1.259953005777527,1.122733636186552,0.185427890841067,0.955744078179222];
    plot(y,'-k*');
    hold on;
    plot(Tn,'-g.');
    hold on;
    plot(Sn,'-bo');
    hold on;
    plot(Cn,'-r+');
    legend('精确值','Tn','Sn','Cn');


    5.图像


    6.结果分析

    1 误差分析
    在上面的数值计算中,复化Cotes公式计算所得的误差最小,其次是复化Simpson公式,误差最大的是复化梯形公式。

    2 精确值比较
    它们的精度有很大的差别:与精确值比较,复化梯形公式的结果只有一位有效数字,复化Simpson公式的结果有四位有效数字,而复化Cotes公式的结果却有七位有效数字。
    由此可知,复化Cotes公式的代数精度最高,复化Simpson其次,复化梯形公式的代数精度最低。

    3 收敛性分析


    4 稳定性分析



    可知三个求积公式的求积系数都为正,所以复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式均是稳定的。










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  • 由误差余项公式可知区间过大,误差亦大;为避免可选取适当多节点,即选取相对高阶Newton-cotes公式,但由稳定性分析又知:当阶数过大时,...例如:复化Simpson公式的推导:复化Simpson公式误差分析:其中有个加...

    由误差余项公式可知区间过大,误差亦大;为避免可选取适当多的节点,即选取相对高阶的Newton-cotes公式,但由稳定性分析又知:当阶数过大时,会出现不稳定的Runge现象。

    复化求积法:将积分区间进行适当分段,在各分段子区间上采用低阶的Newton-Cotes求积公式,对各个小区间上的积分值进行一个近似,最后再累加起来。

    例如:复化Simpson公式的推导:

    33d8b307fcb011c2a4472901111612d4.png

    复化Simpson公式误差分析:

    8be4dad125368165fc85ae9b954fb9c6.png

    df3b48bcc467c56c0c7ae8bf72b95f4f.png

    dc1dc5350e949f3171f25b41117ccd47.png

    其中有个加一项减一项

    equation?tex=I_%7B2n%7D%28f%29

    区间逐次二分法

    由复化求积公式的截断误差可知,加密节点可以提高求积公式的精度,但困难在于:使用公式之前需给出合适的步长,h过大,满足不了精度;h过小,计算量过大,因而实用的方法是采用区间逐次二分法,反复利用求积公式计算,直至二分前后两次积分值的差满足精度为止。

    比如:对区间进行n等分,每个区间上先采用梯形公式,即复化梯形公式,若不能满足精度,则将每个小区间二等分,再分别采用梯形公式,不过端点处的值不用再算了,新算的只有新小区间上的二等分点处值,这样便可使计算量节约一半。

    龙贝格算法(自动调整等分数)

    f7c4e8c98df5bf7b6641e92886f44fa9.png

    d0f6536b8d318bd492346dd7837a27ab.png

    9ff9e08a02af9091686a872902e1ed07.png
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  • 实验目的或要求1、利用复化梯形公式、复化simpson公式计算积分2、比较计算误差与实际误差实验原理(算法流程图或者含注释源代码)取n=2,3,…,10分别利用复化梯形公式、复化simpson公式计算积分120Ixdx,并与真值...

    1

    、利用复化梯形公式、复化

    simpson

    公式计算积分

    2

    、比较计算误差与实际误差

    (

    )

    n=2,3,

    ,10

    分别利用复化梯形公式、复化

    simpson

    公式计算积分

    1

    2

    0

    I

    x

    dx

    并与真值进行比较,

    并画出计算误差与实际误差之间的曲线。

    利用复化梯形公式的程序代码如下:

    function f=fx(x)

    f=x.^2;

    %首先建立被积函数,以便于计算真实值。

    a=0;

    %积分下线

    b=1;

    %积分上线

    T=[];

    %用来装不同

    n

    值所计算出的结果

    for n=2:10;

    h=(b-a)/n;

    %步长

    x=zeros(1,n+1);

    %给节点定初值

    for i=1:n+1

    x(i)=a+(i-1)*h;

    %给节点赋值

    end

    y=x.^2;

    %给相应节点处的函数值赋值

    t=0;

    for i=1:n

    t=t+h/2*(y(i)+y(i+1));

    %利用复化梯形公式求值

    end

    T=[T,t];

    %把不同

    n

    值所计算出的结果装入

    T

    end

    R=ones(1,9)*(-(b-a)/12*h.^ 2*2);

    %积分余项(计算误差)

    true=quad(@fx,0,1);

    %积分的真实值

    A=T-true;

    %计算的值与真实值之差(实际误差)

    x=linspace(0,1,9);

    plot(x,A,'r',x,R,'*')

    %将计算误差与实际误差用图像画出来

    注:由于被积函数是

    x.^2

    ,它的二阶倒数为

    2

    ,所以积分余项为:

    (-(b-a)/12*h.^ 2*2)

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复化的simpson公式