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数值分析复化梯形公式,复化Simpson公式MATLAB程序.doc
2020-10-27 10:18:35PAGE PAGE 1 分别用复化梯形公式复化Simpson公式计算定积分取n=2,4,8,16分别验证结果精确值I=4.006994 复化梯形公式求定积分: function I=tquad(x,y) %复化梯形求积公式其中 %x为向量被积函数自变量的等距结点 %y为... -
数值分析复化梯形公式,复化Simpson公式MATLAB程序.pdf
2020-10-29 09:09:062 分别用复化梯形公式复化 Simpson 公式计算定积分 1+ ex dx 取 n=2,4,8,16 0 分别验证结果精确值I=4.006994 复化梯形公式求定积分: function I=tquad(x,y) %复化梯形求积公式其中 %x 为向量被积函数自变量的等距... -
复化求积方法 | 复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式
2020-06-29 11:19:40从Newton-Cotes的截断误差公式可以看出,当积分区间[a,b][a,b][a,b]较大时,低阶的Newton-Cotes求积公式截断误差都比较大。由于高阶Newton-Cotes求积公式是数值不稳定的,因此通过不断...这种方法称为复化求积方法。 常从Newton-Cotes的截断误差公式可以看出,当积分区间较大时,低阶的Newton-Cotes求积公式截断误差都比较大。由于高阶Newton-Cotes求积公式是数值不稳定的,因此通过不断增加阶数来提高求积公式的精度是不可行的。但是,如果将积分区间分成几个小区间(任意的),在每个小区间上应用Newton-Cotes求积公式,其截断误差必然会减小,然后再把每个小区间上的积分值累加起来,这样却能大大提高整个积分的精度。这种方法称为复化求积方法。
常用的复化求积方法采用等分区间的做法,具体如下:
将区间划分为n等分,步长为,分点为。先用低阶Newton-Cotes求积公式求得每个子区间上的积分值,然后将它们累加起来求和,用作为所求积分的近似值。
1. 复化梯形公式
在区间上采用复化求积方法,具体使用梯形求积公式进行计算,就得到复化梯形求积公式。用表示在子区间上的积分值,表示在区间上的积分值,有:
其中
故
即:
或
截断误差用表示,由于在区间上有连续的二阶导数,故有:
即
2. 复化Simpson公式
在区间上采用复化求积方法,具体使用Simpson求积公式进行计算,就得到复化Simpson公式。用表示在子区间上的积分值,表示在区间上的积分值,有:
式中,为子区间的中点,。
故
截断误差用表示,由于在区间上有连续的四阶导数,故有:
3. 复化Cotes公式
在区间上采用复化求积方法,具体使用Cotes求积公式进行计算,就得到复化Cotes公式为:
截断误差为:
从复化求积的余项公式中可以看出,复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式的余项和步长的关系为。因此,当或时,。 -
复化的梯形公式、Simpson公式与Cotes公式的比较(用Matlab实现)
2016-11-19 19:31:50用Matlab实现复化的梯形公式、Simpson公式与Cotes公式的比较对于函数f(x) = sin(x) ,试用复化梯形公式、复化Simpson公式及复化Cotes公式计算积分,并比较其误差。
首先,在MATLAB输入以下程序定义函数:
function y=f(x) y=sin(x);
1.复化梯形求积公式的代码function Tn=Tn(a,b,n) format long h=(b-a)/n; sum=0; for k=1:n-1 sum=sum+f(a+k.*h); end Tn=(f(a)+2*sum+f(b))*h/2; end
2.复化Simpson公式的代码function Sn = Sn(a,b,n) format long h = (b-a)/n; sum1 = 0; sum2 = 0; for i = 0:n-1 sum1 = sum1 + f(a+(i+1/2).*h); end for j = 1:n-1 sum2 = sum2 + f(a+j.*h); end Sn = h/6*(f(a)+4*sum1+2*sum2+f(b));
3.复化Cotes公式的代码function Cn = Cn(a,b,n) format long h = (b-a)/n; sum1 = 0; sum2 = 0; for i = 0:n-1 sum1 = sum1 + 32*f(a+(i+1/4).*h)+12*f(a+(i+1/2).*h)+32*f(a+(i+3/4).*h); end for j = 1:n-1 sum2 = sum2 + 14*f(a+j.*h); end Cn = h/90*(7*f(a)+sum1+sum2+7*f(b));
4.不同区间和分割次数下的精确值和近似值的比较代码y=[-0.150920964949986,0.106044306328975,-1.260000791649389,1.122733727670800,0.185427920752058,0.955618503172607]; Tn=[-0.144707438957434 ,0.103357516942886,-0.809037206720437,1.074587530720150,0.176653381231435 ,0.874739367319743]; Sn=[-0.150933735388946,0.106047691917755 ,-1.267931587831384,1.122836754412495,0.185448626084829 ,0.956086587141625]; Cn=[ -0.150920958200157,0.106044290463326,-1.259953005777527,1.122733636186552,0.185427890841067,0.955744078179222]; plot(y,'-k*'); hold on; plot(Tn,'-g.'); hold on; plot(Sn,'-bo'); hold on; plot(Cn,'-r+'); legend('精确值','Tn','Sn','Cn');
5.图像6.结果分析
1 误差分析
在上面的数值计算中,复化Cotes公式计算所得的误差最小,其次是复化Simpson公式,误差最大的是复化梯形公式。
2 精确值比较
它们的精度有很大的差别:与精确值比较,复化梯形公式的结果只有一位有效数字,复化Simpson公式的结果有四位有效数字,而复化Cotes公式的结果却有七位有效数字。
由此可知,复化Cotes公式的代数精度最高,复化Simpson其次,复化梯形公式的代数精度最低。
3 收敛性分析
4 稳定性分析
可知三个求积公式的求积系数都为正,所以复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式均是稳定的。 -
二重积分的复化simpson公式c_7.3 复化求积法
2021-01-27 04:58:49由误差余项公式可知区间过大,误差亦大;为避免可选取适当多的节点,即选取相对高阶的Newton-cotes公式,但由稳定性分析又知:当阶数过大时,...例如:复化Simpson公式的推导:复化Simpson公式误差分析:其中有个加...由误差余项公式可知区间过大,误差亦大;为避免可选取适当多的节点,即选取相对高阶的Newton-cotes公式,但由稳定性分析又知:当阶数过大时,会出现不稳定的Runge现象。
复化求积法:将积分区间进行适当分段,在各分段子区间上采用低阶的Newton-Cotes求积公式,对各个小区间上的积分值进行一个近似,最后再累加起来。
例如:复化Simpson公式的推导:
复化Simpson公式误差分析:
其中有个加一项减一项
区间逐次二分法
由复化求积公式的截断误差可知,加密节点可以提高求积公式的精度,但困难在于:使用公式之前需给出合适的步长,h过大,满足不了精度;h过小,计算量过大,因而实用的方法是采用区间逐次二分法,反复利用求积公式计算,直至二分前后两次积分值的差满足精度为止。
比如:对区间进行n等分,每个区间上先采用梯形公式,即复化梯形公式,若不能满足精度,则将每个小区间二等分,再分别采用梯形公式,不过端点处的值不用再算了,新算的只有新小区间上的二等分点处值,这样便可使计算量节约一半。
龙贝格算法(自动调整等分数)
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梯形法计算积分值python_利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分
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验
目
的
或
要
求
1
、利用复化梯形公式、复化
simpson
公式计算积分
2
、比较计算误差与实际误差
实
验
原
理
(
算
法
流
程
图
或
者
含
注
释
的
源
代
码
)
取
n=2,3,
…
,10
分别利用复化梯形公式、复化
simpson
公式计算积分
1
2
0
I
x
dx
,
并与真值进行比较,
并画出计算误差与实际误差之间的曲线。
利用复化梯形公式的程序代码如下:
function f=fx(x)
f=x.^2;
%首先建立被积函数,以便于计算真实值。
a=0;
%积分下线
b=1;
%积分上线
T=[];
%用来装不同
n
值所计算出的结果
for n=2:10;
h=(b-a)/n;
%步长
x=zeros(1,n+1);
%给节点定初值
for i=1:n+1
x(i)=a+(i-1)*h;
%给节点赋值
end
y=x.^2;
%给相应节点处的函数值赋值
t=0;
for i=1:n
t=t+h/2*(y(i)+y(i+1));
%利用复化梯形公式求值
end
T=[T,t];
%把不同
n
值所计算出的结果装入
T
中
end
R=ones(1,9)*(-(b-a)/12*h.^ 2*2);
%积分余项(计算误差)
true=quad(@fx,0,1);
%积分的真实值
A=T-true;
%计算的值与真实值之差(实际误差)
x=linspace(0,1,9);
plot(x,A,'r',x,R,'*')
%将计算误差与实际误差用图像画出来
注:由于被积函数是
x.^2
,它的二阶倒数为
2
,所以积分余项为:
(-(b-a)/12*h.^ 2*2)
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