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  • 复化Simpson公式

    2018-11-03 21:57:38
    MATLAB实现Simpson复化积分公式,,
  • 2 分别用复化梯形公式复化 Simpson 公式计算定积分 1+ ex dx 取 n=2,4,8,16 0 分别验证结果精确值I=4.006994 复化梯形公式求定积分: function I=tquad(x,y) %复化梯形求积公式其中 %x 为向量被积函数自变量的等距...
  • PAGE PAGE 1 分别用复化梯形公式复化Simpson公式计算定积分取n=2,4,8,16分别验证结果精确值I=4.006994 复化梯形公式求定积分: function I=tquad(x,y) %复化梯形求积公式其中 %x为向量被积函数自变量的等距结点 %y为...
  • 复化simpson公式求积分

    2015-03-12 18:29:31
    计算方法教程 凌永祥 第四章第三题复化simpson公式求积分
  • 编写定步长复化Simpson公式与变步长(自适应)复化Simpson公式的通用程序,并用变步长(自适应)复化Simpson公式计算π的近似值.
  • 1.1 实验3.1:分别用复化梯形公式与复化Simpson公式计算下列积分,并与精确积分值相比较,探讨两类积分公式的精度。 2实验内容 编写相应的M文件实现下列问题: 分别用复化梯形公式与复化Simpson公式计算下列积分,...

    实验3.1

    1 实验目的

    1.1 实验3.1:分别用复化梯形公式与复化Simpson公式计算下列积分,并与精确积分值相比较,探讨两类积分公式的精度。

    2 实验内容

    编写相应的M文件实现下列问题:

    分别用复化梯形公式与复化Simpson公式计算下列积分,并与精确积分值相比较,探讨两类积分公式的精度。

    (1),将区间8等分; 

     (2),将区间4等分;

     (3),将区间6等分;

     3 实验知识点

    3.1 复化梯形公式与复化Simpson公式求积分。

    3.2 求积函数计算定积分

    4 算法思想

    3.1 复化梯形公式

    3.2 复化Simpson公式

    5 实验代码及结果

    (一)实验3.1

    5.1 ,将区间8等分;

     5.1.1复化梯形求积分

    代码

    T_quad.m

    function [In,er]=T_quad(a,b,n)

    h=(b-a)/n;

    x=a:h:b;

    y=x./(x+4.^2);

    c=[1  2*ones(1,n-1),1];

    In=h/2*sum(c.*y);

    I=quad(f,a,b,1e-5)

    er=abs(I-In);

    In,er

    f.m

    function f=f(x)

    f=inline('x./(x+4.^2)')

    %f=inline('sqrt(x)');

    %f=inline('sqrt(4-(sinx).^2)')

    运行结果

    5.1.2复化Simpson公式求积分

    代码

    复合辛普森方法函数如下:

    function s=simpsion(f,a,b,n)

    %复化辛普森公式求积分.

    h=(b-a)/n;  

    x=linspace(a,b,2*n+1);

    y=feval(f,x);

    s=(h/6)*(y(1)+2*sum(y(3:2:2*n-1))+4*sum(y(2:2:2*n))+y(2*n+1));

    end

    运行结果

    5.2 ,将区间4等分

    5.2.1复化梯形公式求积分

    代码

    T_quad.m

    function [In,er]=T_quad(a,b,n)

    h=(b-a)/n;

    x=a:h:b;

    y=sqrt(x);

    c=[1  2*ones(1,n-1),1];

    In=h/2*sum(c.*y);

    I=quad(f,a,b,1e-5)

    er=abs(I-In);

    In,er

    f.m

    function f=f(x)

    %f=inline('x./(x+4.^2)')

    f=inline('sqrt(x)');

    %f=inline('sqrt(4-(sinx).^2)')

    运行结果

    5.2.2复化Simpson公式求积分

    代码

    复合辛普森方法函数如下:

    function s=simpsion(f,a,b,n)

    %复化辛普森公式求积分.

    h=(b-a)/n;  

    x=linspace(a,b,2*n+1);

    y=feval(f,x);

    s=(h/6)*(y(1)+2*sum(y(3:2:2*n-1))+4*sum(y(2:2:2*n))+y(2*n+1));

    end

    运行结果

    5.3 ,将区间6等分

     5.3.1复化梯形公式求积分

    代码

    T_quad.m

    function [In,er]=T_quad(a,b,n)

    h=(b-a)/n;

    x=a:h:b;

    y=sqrt(4-(sin(x)).^2);

    c=[1  2*ones(1,n-1),1];

    In=h/2*sum(c.*y);

    I=quad(f,a,b,1e-5)

    er=abs(I-In);

    In,er

    f.m

    function f=f(x)

    %f=inline('x./(x+4.^2)')

    %f=inline('sqrt(x)');

    f=inline('sqrt(4-(sinx).^2)')

    运行结果

    5.3.2复化Simpson公式求积分

    代码

    function s=simpsion(f,a,b,n)

    %复化辛普森公式求积分.

    h=(b-a)/n;  

    x=linspace(a,b,2*n+1);

    y=feval(f,x);

    s=(h/6)*(y(1)+2*sum(y(3:2:2*n-1))+4*sum(y(2:2:2*n))+y(2*n+1));

    end

    结果

    6 实验结果分析

     由复化梯形公式和复化辛普森公式两种方法求解可以看出,两种方法得到的结果相差不是很大。但在一般情况下,当分开的区间数n相等时,复化辛普森得到的结果比复化梯形公式得到的结果更加准确。若想通过复化梯形公式求解得到复化辛普森求解的精确值,就需要选取更大的n,即划分成更多的区间进行求解。

    实验3.2

    1 实验目的

    已知地球卫星飞行轨迹、部分距离及轨迹周长计算公式等信息,选用适当的求积函数计算定积分,求解卫星轨迹长度。

    2 实验内容

    地球卫星飞行轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是:

     式中,a是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离。令h为近地点距离,H为远地点距离,R=6371(km)为地球半径,则

    我国第一颗人造地球卫星近地点距离h=439(km),远地点距离H=3484km,试求卫星轨道长度。

    3 实验知识点

    在科学研究和工程技术中,经常遇到积分的计算,虽然有些函数的不定积分可以求出其初等函数表示式,但有更多的函数,它们的不定积分不是初等函数,这样就无法利用牛顿莱布尼兹公式求出其定积分,甚至经常遇到只知道函数在一些离散点的值,但函数表达式未知的情况,在上述情况下就必须以数值方法求定积分的近似值。用数值方法求定积分的近似值,通常称为数值积分。

    4 算法思想

    龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上,构造出一种加速计算积分的方法,在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。在等距基点的情况下,用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。

    5 实验代码

    代码:

    R=6371;

    h=439;

    H=3484;

    a=(2*R+H+h)/2;

    c=(H-h)/2;

    syms theta

    f=sqrt(1-(c/a)^2*sin(theta)^2);

    s=a*int(f,theta,0,pi/2);

    s=double(vpa(s))

    6 实验结果

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  • 分别用复化梯形公式复化Simpson 公式计算定积分dx e x ⎰+201,复化梯形公式求定积分:,function I=tquad(x,%复化梯形求积公式,%x 为向量,m=length(y),%积分自变量的结点数应与它的函数值的个数相同 h=(x(n)-x...

    分别用复化梯形公式、复化Simpson 公式计算定积分dx e x ⎰+201,复化梯形公式求定积分:,function I=tquad(x,%复化梯形求积公式,%x 为向量,m=length(y),%积分自变量的结点数应与它的函数值的个数相同 h=(x(n)-x(1))/(n-1),a=[1 2*ones(1,I=h/2*sum(a,复化Simpson 公式求定积分:,function I=squad(x,%复化Simpson 求积公式,%x 为向量,m=length(y),%积分自变量的结点数应与它的函数值的个数相同 if rem(n-1,I=tquad(x,return,end,N=(n-1)/2,h=(x(n)-x(1))/N,a=zeros(1,for k=1:N,a(2*k-1)=a(2*k-1)+1,a(2*k)=a(2*k)+4,a(2*k+1)=a(2*k+1)+1,end,I=h/6*sum(a。

    取n=2,y),其中,被积函数自变量的等距结点,n-2) 1],*y),y),其中,被积函数自变量的等距结点,2)~=0,y),n),*y)。

    4, %y 为向量, %y 为向量。

    8,16分别验证结果(精确值I=4,被积函数在结点处的函数值, n=length(x),被积函数在结点处的函数值, n=length(x)。

    导读:文档《数值分析复化梯形公式,复化Simpson公式MATLAB程序》共1页,当前为第1页,大小为20kb,是专业资料、自然科学、数学相关类别的资料,并提供若干种数值分析复化梯形公式,复化Simpson公式MATLAB程序的文本文档下载,如word文档下载、wps文档下载等。以下便是第1页的正文:

    分别用复化梯形公式、复化Simpson 公式计算定积分dx e x ⎰+201,取n=2,4,8,16分别验证结果(精确值I=4.006994)。

    复化梯形公式求定积分:

    function I=tquad(x,y)

    %复化梯形求积公式,其中,

    %x 为向量,被积函数自变量的等距结点; %y 为向量,被积函数在结点处的函数值; n=length(x);

    m=length(y);

    %积分自变量的结点数应与它的函数值的个数相同 h=(x(n)-x(1))/(n-1);

    a=[1 2*ones(1,n-2) 1];

    I=h/2*sum(a.*y);

    复化Simpson 公式求定积分:

    function I=squad(x,y)

    %复化Simpson 求积公式,其中,

    %x 为向量,被积函数自变量的等距结点; %y 为向量,被积函数在结点处的函数值; n=length(x);

    m=length(y);

    %积分自变量的结点数应与它的函数值的个数相同 if rem(n-1,2)~=0

    I=tquad(x,y);

    return;

    end

    N=(n-1)/2;

    h=(x(n)-x(1))/N;

    a=zeros(1,n);

    for k=1:N

    a(2*k-1)=a(2*k-1)+1;

    a(2*k)=a(2*k)+4;

    a(2*k+1)=a(2*k+1)+1;

    end

    I=h/6*sum(a.*y);

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  • 分别用复化梯形公式复化Simpson 公式计算定积分dx e x ?+201,取n=2,4,8,16分别验证结果(精确值I=)。复化梯形公式求定积分:function I=tquad(x,y)%复化梯形求积公式,其中,%x 为向量,被积函数自变量的等距结点;...

    分别用复化梯形公式、复化Simpson 公式计算定积分dx e x ?+201,取

    n=2,4,8,16分别验证结果(精确值I=)。

    复化梯形公式求定积分:

    function I=tquad(x,y)

    %复化梯形求积公式,其中,

    %x 为向量,被积函数自变量的等距结点; %y 为向量,被积函数在结点处的函数值; n=length(x);

    m=length(y);

    %积分自变量的结点数应与它的函数值的个数相同 h=(x(n)-x(1))/(n-1);

    a=[1 2*ones(1,n-2) 1];

    I=h/2*sum(a.*y);

    复化Simpson 公式求定积分:

    function I=squad(x,y)

    %复化Simpson 求积公式,其中,

    %x 为向量,被积函数自变量的等距结点; %y 为向量,被积函数在结点处的函数值; n=length(x);

    m=length(y);

    %积分自变量的结点数应与它的函数值的个数相同 if rem(n-1,2)~=0

    I=tquad(x,y);

    return;

    end

    N=(n-1)/2;

    h=(x(n)-x(1))/N;

    a=zeros(1,n);

    for k=1:N

    a(2*k-1)=a(2*k-1)+1;

    a(2*k)=a(2*k)+4;

    a(2*k+1)=a(2*k+1)+1;

    end

    I=h/6*sum(a.*y);

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  • 从Newton-Cotes的截断误差公式可以看出,当积分区间[a,b][a,b][a,b]较大时,低阶的Newton-Cotes求积公式截断误差都比较大。由于高阶Newton-Cotes求积公式是数值不稳定的,因此通过不断...这种方法称为复化求积方法。 常

    从Newton-Cotes的截断误差公式可以看出,当积分区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]较大时,低阶的Newton-Cotes求积公式截断误差都比较大。由于高阶Newton-Cotes求积公式是数值不稳定的,因此通过不断增加阶数来提高求积公式的精度是不可行的。但是,如果将积分区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]分成几个小区间(任意的),在每个小区间上应用Newton-Cotes求积公式,其截断误差必然会减小,然后再把每个小区间上的积分值累加起来,这样却能大大提高整个积分的精度。这种方法称为复化求积方法。

    常用的复化求积方法采用等分区间的做法,具体如下:

    将区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]划分为n等分,步长为 H = ( b − a ) n H=\frac{(b-a)}{n} H=n(ba),分点为 x k = a + k H , k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , n x_k=a+kH,k=0,1,2,\cdots,n xk=a+kH,k=0,1,2,,n。先用低阶Newton-Cotes求积公式求得每个子区间 [ x k , x k + 1 ] [x_k,x_{k+1}] [xk,xk+1]上的积分值 I k I_k Ik,然后将它们累加起来求和,用 ∑ k = 0 n − 1 I k \sum_{k=0}^{n-1}I_k k=0n1Ik作为所求积分 I = ∫ a b f ( x ) d x I=\int_a^bf(x)dx I=abf(x)dx的近似值。

    1. 复化梯形公式

    在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上采用复化求积方法,具体使用梯形求积公式进行计算,就得到复化梯形求积公式。用 T k T_k Tk表示 f ( x ) f(x) f(x)在子区间 [ x k , x k + 1 ] [x_k,x_{k+1}] [xk,xk+1]上的积分值, T n T_n Tn表示 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的积分值,有:
    T k = 1 2 H [ f ( x k ) + f ( x k + 1 ) ] T_k=\frac{1}{2}H[f(x_k)+f(x_{k+1})] Tk=21H[f(xk)+f(xk+1)]
    其中
    H = ( b − a ) / n , x k = a + k H ( k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , n ) H=(b-a)/n, \quad x_k=a+kH \quad(k=0,1,2,\cdots,n) H=(ba)/n,xk=a+kH(k=0,1,2,,n)

    T n = ∑ k = 0 n − 1 T k = 1 2 H ∑ k = 0 n − 1 [ f ( x k ) + f ( x k + 1 ) ] T_n=\sum_{k=0}^{n-1}T_k=\frac{1}{2}H\sum_{k=0}^{n-1}[f(x_k)+f(x_{k+1})] Tn=k=0n1Tk=21Hk=0n1[f(xk)+f(xk+1)]
    即:
    T n = 1 2 H [ f ( x k = 0 ) + f ( x k = n ) + 2 ∑ k = 1 n − 1 f ( x k ) ] T_n=\frac{1}{2}H[f(x_{k=0})+f(x_{k=n})+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)] Tn=21H[f(xk=0)+f(xk=n)+2k=1n1f(xk)]

    T n = b − a 2 n [ f ( a ) + f ( b ) + 2 ∑ k = 1 n − 1 f ( x k ) ] T_n=\frac{b-a}{2n}[f(a)+f(b)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)] Tn=2nba[f(a)+f(b)+2k=1n1f(xk)]
    截断误差用 R T R_T RT表示,由于 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有连续的二阶导数,故有:
    R T = ∑ k = 0 n − 1 − 1 12 H 3 f ( 2 ) ( η k ) = − 1 12 H 3 ∑ k = 0 n − 1 f ( 2 ) ( η k ) η k ∈ [ x k , x k + 1 ] R_T=\sum_{k=0}^{n-1}-\frac{1}{12}H^3f^{(2)}(\eta_k)=-\frac{1}{12}H^3\sum_{k=0}^{n-1}f^{(2)}(\eta_k) \quad \eta_k\in[x_k,x_{k+1}] RT=k=0n1121H3f(2)(ηk)=121H3k=0n1f(2)(ηk)ηk[xk,xk+1]

    R T = − 1 12 H 3 ⋅ n ⋅ f ( 2 ) ( η ) = − ( b − a ) 12 H 2 f n ( η ) η ∈ [ a , b ] R_T=-\frac{1}{12}H^3·n·f^{(2)}(\eta)=-\frac{(b-a)}{12}H^2f^n(\eta) \quad \eta \in [a,b] RT=121H3nf(2)(η)=12(ba)H2fn(η)η[a,b]

    2. 复化Simpson公式

    在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上采用复化求积方法,具体使用Simpson求积公式进行计算,就得到复化Simpson公式。用 S k S_k Sk表示 f ( x ) f(x) f(x)在子区间 [ x k , x k + 1 ] [x_k,x_{k+1}] [xk,xk+1]上的积分值, S n S_n Sn表示 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的积分值,有:
    S k = 1 6 H [ f ( x k ) + 4 f ( x k + 1 2 ) + f ( x k + 1 ) ] S_k=\frac{1}{6}H[f(x_k)+4f(x_{k+\frac{1}{2}})+f(x_{k+1})] Sk=61H[f(xk)+4f(xk+21)+f(xk+1)]
    式中, x k + 1 2 x_{k+\frac{1}{2}} xk+21为子区间 [ x k , x k + 1 2 ] [x_k,x_{k+\frac{1}{2}}] [xk,xk+21]的中点, H = ( b − a ) / n H=(b-a)/n H=(ba)/n
    S n = ∑ k = 0 n − 1 = 1 6 H ∑ k = 0 n − 1 [ f ( x k ) + 4 f ( x k + 1 2 ) + f ( x k + 1 ) ] S_n=\sum_{k=0}^{n-1}=\frac{1}{6}H\sum_{k=0}^{n-1}[f(x_k)+4f(x_{k+\frac{1}{2}})+f(x_{k+1})] Sn=k=0n1=61Hk=0n1[f(xk)+4f(xk+21)+f(xk+1)]

    S n = ∑ k = 0 n − 1 = 1 6 H [ f ( a ) + 4 ∑ k = 0 n − 1 f ( x k + 1 2 ) + 2 ∑ k = 1 n − 1 f ( x k ) + f ( b ) ] S_n=\sum_{k=0}^{n-1}=\frac{1}{6}H[f(a)+4\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}})+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_{k})+f(b)] Sn=k=0n1=61H[f(a)+4k=0n1f(xk+21)+2k=1n1f(xk)+f(b)]
    截断误差用 R s R_s Rs表示,由于 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有连续的四阶导数,故有:
    R S = ∑ k = 0 n − 1 − 1 2880 H 5 f ( 4 ) ( η k ) = − 1 2880 H 5 ∑ k = 0 n − 1 f ( 4 ) ( η k ) η k ∈ [ x k , x k + 1 ] R_S=\sum_{k=0}^{n-1}-\frac{1}{2880}H^5f^{(4)}(\eta_k)=-\frac{1}{2880}H^5\sum_{k=0}^{n-1}f^{(4)}(\eta_k) \quad \eta_k \in [x_k,x_{k+1}] RS=k=0n128801H5f(4)(ηk)=28801H5k=0n1f(4)(ηk)ηk[xk,xk+1]

    3. 复化Cotes公式

    在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上采用复化求积方法,具体使用Cotes求积公式进行计算,就得到复化Cotes公式为:
    C n = 1 90 H [ 7 f ( a ) + 32 ∑ k = 0 n − 1 f ( x k + 1 4 ) + 12 ∑ k = 0 n − 1 f ( x k + 1 2 ) + 32 ∑ k = 0 n − 1 f ( x k + 3 4 ) + 14 ∑ k = 1 n − 1 f ( x k ) + 7 f ( b ) ] C_n=\frac{1}{90}H[7f(a)+32\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{4}})+12\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}})+32\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{3}{4}})+14\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+7f(b)] Cn=901H[7f(a)+32k=0n1f(xk+41)+12k=0n1f(xk+21)+32k=0n1f(xk+43)+14k=1n1f(xk)+7f(b)]
    截断误差为:
    R c = − 2 ( b − a ) 945 ( H 4 ) 6 f ( 6 ) ( η ) η ∈ [ a , b ] R_c=-\frac{2(b-a)}{945}(\frac{H}{4})^6f^{(6)}(\eta) \quad \eta\in[a,b] Rc=9452(ba)(4H)6f(6)(η)η[a,b]
    从复化求积的余项公式中可以看出,复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式的余项和步长的关系为 R T = O ( h 2 ) , R s = O ( h 4 ) , R c = O ( h 6 ) R_T=O(h^2),R_s=O(h^4),R_c=O(h^6) RT=O(h2),Rs=O(h4),Rc=O(h6)。因此,当 H → 0 H\to 0 H0 n → ∞ n\to \infty n时, T n , S n , C n → I T_n,S_n,C_n\to I Tn,Sn,CnI

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  • matlab复化simpson公式计算积分程序,用函数调用的方法实现的。
  • 复化simpson公式计算定积分,matlab程序实现,需要输入积分函数、上下限和所分步数,希望能对大家的学习有帮助。
  • 包含代码和文档 采用复化梯形公式复化辛普森公式求积分,并与精确值进行比较得下表。 采用复化梯形公式复化辛普森公式求积分,并与精确值进行比较得下表。
  • 实验目的或要求1、利用复化梯形公式、复化simpson公式计算积分2、比较计算误差与实际误差实验原理(算法流程图或者含注释的源代码)取n=2,3,…,10分别利用复化梯形公式、复化simpson公式计算积分120Ixdx,并与真值...
  • matlab中利用复化梯形公式和复化simpson公式实现积分运算,对于数值计算类课程很有帮助。
  • MATLAB 复化梯形公式、复化Simpson公式

    千次阅读 2021-05-20 10:53:18
    f.m文件: function f = f(x) f = (x^2)*sin(x); end 复化梯形公式 Tn.m文件: function Tn=Tn(n) % n代表区间数 a = -2; % 区间下界 b = 2; % 区间下界 h=(b-a)/n; sum=0;...复化Simpson公式 ..
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  • Simpson复化求积公式

    2015-03-14 10:59:46
    Simpson复化求积公式,c++语言编程,方便快捷
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复化的simpson公式