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  • 2021-02-05 09:51:27

    一、实验目的及题目

    1. 实验目的:

    (1) 学习用复化辛普森公式及龙贝格方法求解积分并掌握这种方法。

    (2)了解这些辛普森公式及龙贝格方法的概念,参考课本写出用复化辛普森算法以及龙贝格方法计算目标题目的程序,在matlab 中实现,并用matlab 内置的函数计算出结果,并提出存在的问题。

    2. 题目:

    利用复化辛普森公式和龙贝格方法计算下列积分: (1)dx e x ?-5

    .002

    (2)dx x x ?20

    2sin )2sin(cos π

    二、实验用仪器设备、器材或软件环境 计算机、matlab 软件。

    三、实验原理、程序框图、程序代码 1.实验原理:

    根据微积分学基本定理,若被积函数f(x)在区间[a,b]上连续,只要能找到f(x)的一个原函数F(x),便可利用牛顿-莱布尼茨公式求得积分值。但会经常遇到如下问题:找不到用初等函数,找到了原函数,但因表达式过于复杂而不便计算等等。此时则不能用牛顿-莱布尼茨公式,因此有必要研究如下公式。 1)复化求积公式及原理

    由于高阶插值的不稳定性,为了提高计算积分的精度,可把积分区间分为若干个

    小区间,将()I f 写成这些小区间上的积分之和,然后对每一个小区间上的积分应用到辛普森公式,或柯特斯公式,并把每个小区间上的结果累加,所得到的求积公式就称为复化求积公式。

    辛普森公式的数值积分公式为:

    ?

    +++-≈

    b

    a

    b f b a f a f a b dx x f )]()2

    (

    4)([6

    )(

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    梯形公式与辛普森公式

    在这里插入图片描述

    梯形公式与辛普森公式的余项

    在这里插入图片描述

    复化求积公式

    在这里插入图片描述

    复化梯形公式与其余项

    在这里插入图片描述

    复化辛普森公式与其余项

    在这里插入图片描述

    Python实现四种公式.

    题目.

    Python编写梯形公式、辛普森公式、复化梯形公式、复化辛普森公式
    并利用其分别求解sqrt(x) * log(x) 与 sin(x)/x 在(0,1)上的积分。

    具体代码实现:

    import math
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    #待求解数值积分sqrt(x) * log(x)
    def f1(x):
        if (float(np.fabs(x))<1e-15) :
            return 0
        y=np.sqrt(x) * np.log(x)
        return y
    #待求解数值积分sin(x)/x
    def f2(x):
        if (float(np.fabs(x)) < 1e-15):
            return 1
        y=np.sin(x)/x
        return y
    #梯形公式 f为待求解积分 a为积分下限 b为积分上限
    def TX(f,a,b):
        TX = 0.5 * (b - a) * (f(a) + f(b))
        print("梯形公式计算结果为:TX = ", TX)
    #辛普森公式 f为待求解积分 a为积分下限 b为积分上限
    def XPS(f,a,b):
        XPS = (b-a)*(f(a)+4*f((a+b)/2)+f(b))/6.0
        print("辛普森公式计算结果为:XPS = ", XPS)
    #复化梯形公式 f为待求解积分 a为积分下限 b为积分上限 n为区间等分数
    def FHTx(f,a,b,n):
        ti=0.0
        h=(b-a)/n
        ti=f(a)+f(b)
        for k in range(1,int(n)):
            xk=a+k*h
            ti = ti + 2 * f(xk)
        FHTx = ti*h/2
        print("复化梯形公式计算结果为:FHTx = ", FHTx)
    #复化辛普森公式 f为待求解积分 a为积分下限 b为积分上限 n为区间等分数
    def FHXPs(f,a,b,n):
        si=0.0
        h = (b - a) / (2 * n)
        si=f(a)+f(b)
        for k in range(1,int(n)):
            xk = a + k * 2 * h
            si = si + 2 * f(xk)
        for k in range(int(n)):
            xk = a + (k * 2 + 1) * h
            si = si + 4 * f(xk)
        FHXPs = si*h/3
        print("复化辛普森公式计算结果为:FHXPs = ", FHXPs)
    
    def main():
        a = input("a = ")  # 积分下限
        b = input("b = ")  # 积分上限
        a = float(a)  # 强制转换为float类型
        b = float(b)
        n = input("n = ") #将区间分成为n等份
        n = float(n)
        #TX(f2,a,b) #调用梯形公式求解
        #XPS(f2,a,b) #调用辛普森公式求解
        #FHTx(f2,a,b,n) #调用复化梯形公式求解
        FHXPs(f2,a,b,n) #调用复化辛普森公式求解
    
    
    if __name__ == '__main__':
        main()
    
    展开全文
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    【计算方法数值分析】复化梯形公式、复化辛普森公式和龙贝格数值积分

    在这里插入图片描述
    1、 复化梯形公式
    在这里插入图片描述

    %复化梯形公式
    function t=agui_trapz(fname,d2fname,a,b,e)
    %fname为被积函数,d2fname为函数fname的二阶导数,a,b分别为下界和上届,e为精度
    y=abs(feval(d2fname,a:1e-5:b));
    m=max(y);
    h=abs(sqrt(12*e(b-a)./m));
    n=ceil((b-a)/h)
    h=(b-a)/n;
    fa=feval(fname,a);
    fb=feval(fname,b);
    f=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h);
    t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f));
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2、复化辛普森公式
    在这里插入图片描述

    %复化辛普森公式
    function s=agui_simpson(fname,d4fname,a,b,e)
    %fname为被积函数,d4fname为函数fname的四阶导数,a,b分别为下界和上届,e为精度
    y=abs(feval(d4fname,a:1e-5:b));
    m=max(y);
    h=abs((2800*e(b-a)./m).^(0.25));
    n=ceil((b-a)/h)
    h=(b-a)/n;
    fa=feval(fname,a);
    fb=feval(fname,b);
    s=fa-fb;
    x=a;
    for i=1:n;
        x=x+h/2;s=s+4*feval(fname,x);
        x=x+h/2;s=s+2*feval(fname,x);
    end
    s=s*h/6;
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3、龙贝格数值积分法
    在这里插入图片描述

    %龙贝格数值积分法
    function r=agui_rbg(fname,a,b)
    %fname为被积函数,a,b分别为下界和上界
    e=1e-6;
    i=1;j=1;h=b-a;
    T(i,1)=h/2*(feval(fname,a)+feval(fname,b));
    T(i+1,1)=T(i,1)/2+sum(feval(fname,a+h/2:h:b-h/2+0.001*h))*h/2;
    T(i+1,j+1)=4^j*T(i+1,j)/(4^j-1)-T(i,j)/(4^j-1);
    while abs(T(i+1,i+1)-T(i,i))>e
        i=i+1;
        h=h/2;
        T(i+1,1)=T(i,1)/2+sum(feval(fname,a+h/2:h:b-h/2+0.001*h))*h/2;
        for j=1:i
            T(i+1,j+1)=4^j*T(i+1,j)/(4^j-1)-T(i,j)/(4^j-1);
        end 
    end
    T
    r=T(i+1,j+1);
    end
    

    在这里插入图片描述
    结果分析
    在这里插入图片描述
    1.由表格比较可得出,无论是复化梯形公式、复化辛普森公式还是龙贝格积分公式,都有着较高的精度,相较之下,龙贝格积分公式精度最高。
    2.数值求积的误差除了与被积函数有关之外,还与积分区间的长度(b-a)有关,积分区间越小,则求积公式的截断误差也越小。而在对积分区间作同样的分割的条件下,复合辛普生求积公式比复合梯形公式的计算精度高。
    3.在计算速度方面,从表中可看出,复化梯形公式的等分数要比其它两个大得多,且从计算结果上可看出复化辛普生公式也比复化梯形公式的收敛速度快得多。
    4.从计算公式复杂性而言,龙贝格数值积分公式的计算量最少。

    展开全文
  • 复化梯形公式和复化辛普森公式的精度比较.doc
  • 1.复化梯形公式1.1代码:#include#include#includeusing namespace std;double f(double x){return sqrt(1-x*x);}//定义和修改函数f(x)double q(double a,double b,int n)//复化梯形公式{double h,x[n-2];double w=0...

    1.复化梯形公式1.1代码:

    #include

    #include

    #include

    using namespace std;

    double f(double x){

    return sqrt(1-x*x);}//定义和修改函数f(x)

    double q(double a,double b,int n)//复化梯形公式

    {double h,x[n-2];

    double w=0;

    h=(b-a)/n*1.0;

    for(int i=0;i<=n-2;i++)

    {x[i]=a+(i+1)*h;

    w+=f(x[i]);

    }return h*(f(a)+2*w+f(b))/2;

    }

    int main()//主函数

    {while(1)

    {double a,b;

    int n;

    cout<

    cin>>a>>b>>n;

    cout<

    cout<

    }}

    1.2运行效果:

    2.复化辛普森公式积分2.2代码:

    #include

    #include

    #include

    using namespace std;

    double f(double x){

    return sqrt(1-x*x);}//自定义积分函数

    double s(double a,double b,int n)//复化辛普森公式

    { double h,x[n];

    double w=0,v=0;

    h=(b-a)/n*1.0;

    for(int i=1;i<=n/2;i++)

    {x[2*i-1]=a+(2*i-1)*h;

    w+=f(x[2*i-1]);}

    for(int i=1;i<=n/2-1;i++)

    {x[2*i]=a+2*i*h;

    v+=f(x[2*i]);}

    return h*(f(a)+4*w+2*v+f(b))/3.0;

    }

    int main()

    {while(1)

    {double a,b;

    int n;

    cout<

    cin>>a>>b>>n;

    cout<

    cout<

    }}

    2.2运行效果:​

    展开全文
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