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    复杂网络基本内容
    基于Python+NetworkX的实现

    课程链接:

    复杂网络建模:基于Python+NetworkX的实现_哔哩哔哩_bilibili

    老师讲的非常好,非常的详细。如果需要建议,直接去听老师的课程。这里只是我听课时的笔记。

    #### 课程的主要内容:

    1、图论基础
    2、复杂网络的统计特性
    3、随机网络
    4、小世界网络
    5、无标度网络(重点介绍ba无标度网络)
    6、网络鲁棒性
    7、网络上的传播现象(疾病的网络传播动力学)
    8、网络中的社团结构

    #### 课程的参考资料:

    1、《巴拉巴西网络科学》,本课程强烈推荐
    2、NetworkX的Document

    #### 常用的复杂网络构建工具:

    Pejek、NetworkX、Igraph、Gephi 

    网络定义了各个组件之间的交互;
    网络科学源于图论,但是两者并不等同:在图论中,需要开发抽象的数学工具;,以解析的方式来研究图,此时的研究对象是图;相反,在网络科学中,我们着重用建模的方式给出描述某种网络的特性,研究对象是网络 ;
    网络往往表现出高度的复杂性,表现在网络机构的复杂性,网络节点的复杂性;网络演化过程(动力学)的复杂性。

    #### 网络中一些常见的统计策略(网络的基本静态几何特征):

    - 连接矩阵;
    - 度,平均度,度分布;
    - 最短路径长度; 
    - 集聚系数;(邻居节点之间的连接程度,或者说朋友之间相互认识的程度)。平均集聚系数。全局聚集系数;
    - 网络的连通性;
    - 度度相关性;(描述了度大的节点和度小节点之间的关系,若两者倾向连接则度度正相关,反之负相关),用来区分同配网络和异配网络的一个指标;还有基于pearson相关系数的度-度相关性;
    - 网络的介数。有的节点虽然度很小但是属于两个社团的中间联系人,为了量化这样的节点,定义了一个关键的全局几何量——介数。介数分为节点介数,边介数。反应节点或者边在整个网络中的作用或者影响力;如何量化呢?可以用经过该节点的最短路径条数,比上两个节点间所有的最短路径条数。
    - 网络的核度。一个图的k核,是反复去掉 度值 小于k的节点及其连线后,所剩余的子图,该子图的节点数就是该核的大小。如果一个节点属于k核,不属于k+1核,则此节点的核度为k。节点核度的最大值叫做网络的核度。k核可以用来描述度分布所不能描述的网络特征。
    - 网络密度,指的是一个网络中各个节点之间联络的紧密程度。

    #### 几种常用的中心性指标:

    - 度中心性;分为节点度中心性(一个节点在与之相连的邻居节点中的中心程度),和网络度中心性(一个节点在整个网络的中心程度)。这个指标用来表征整个网络的集中和集权程度。即整个网络围绕一个节点或者一组节点运行的程度。具体如何操作,对度值做归一化处理;
    - 介数中心性,分为节点介数中心性和网络介数中心性;
    - 接近度中心性;
    - 特征向量中心性   -> Pagerank度中心性;

    #### 有向网络和加权网络的静态特征

    - 入度,出度;
    - 入度分布,出度分布;
    - 平均距离和效率;
    - 点权:与这个节点相连所有边的权重之和;
    - 单位权:点权处于该节点的度值,得到单位权;
    - 权重分布差异性:

    #### 网络科学发展的三个时期:

    1、规则网络,欧拉,1736年;
    2、随机网络,两位匈牙利科学家,Erdos,Renyi,1959
    3、复杂网络,Science,Nature上的两篇开山之作。1998,1999年。

    #### 规则网络

    1、孤立节点网络;
    2、全局耦合网络;
    3、星型网络;
    4、一维环;
    5、二维晶格;

    如何生成相应的网络

    #### ER随机网络

    1、众所周知,网络科学的目标是为了建立、再现真实网络特性的模型;

    随机网络的两种生成方式:
    1、G(N,l)模型;
    2、G(N,p)模型;

    ER随机网络的机构特性
    1、期望连边数;
    2、ER网络的平均距离和平均集聚系数;

    总结:ER随机网络具有,度分布近似服从泊松分布、平均距离短、聚集系数小等性质;

    ER随机网络的演化;

    1、当平均度<k>小于1时:亚临界,没有巨大的组件;
    2、<k>= 1时,临界;临界渗流概率,$ p_c = 1/N $
    3、<k> > 1时,超临界;存在一个巨大连通组件;
    4、<k> > lnN时,连通:生成的随机网络几乎是全连通的;


    对ER随机网络的总结:

    #### 小世界网络

    什么是小世界现象:六度分割;小世界现象意味着,随机选择两个节点之间的距离很短。
    1、怎么算短?
    2、如何解释短的现象?
    小世界网络的定义是: $d_max = \frac{lnN}{ln<k>}$

    3、怎么算小?
    小指的是,网络的平均路径长度或网络直径 和网络大小的关系是对数关系。
    即<d>正比于lnN

    小世界网络模型:
    WS小世界网络模型;

    NW小世界网络模型:

    除了上述两种生成小世界网络模型的方法外,还有很多其他种方法,比如加点,加边,去点,去边以及不同形式的交叉,等方法来产生小世界模型。

    小世界网络的结构特性:
    1、与ER随机图模型类似,WS小世界模型也是所有节点的度都近似相等的均匀网络;

    2、目前对于小世界网络模型的平均距离,还有解析表达式,newman和watts利用重整化群的方法给出了一个近似表达式:

    3、小世界网络的集聚系数; 
    有个结论:只要网络足够大,小世界行为在0 < p < 1范围内一定会出现;

    关键结论:一方面,只要几条边的随机重连就足以减少网络的平均距离(有点进化论的味道);另一方面,几条随机重连的边并不足以改变网络的局部集聚特性。

    这类既具有较短的平均距离又具有较高的集聚系数的网络就是典型的小世界网络;


    现实生活中的小世界网络和仿真的网络相比:平均路径长度差不太多,但是集聚系数差了好几个数量级。说明,真实世界中的集聚系数要远远大于随机网络的集聚系数。
     

    真实网络中的集聚系数,显著地偏离随机网络的预测结果:
     

    如何计算度和集聚系数之间的依赖关系?

    对WS小世界网络的总结:
    1、重连并不会改变网络的平均度;
    2、连边的数量也不会发生变化;
    3、度分布,近似泊松分布;
    4、平均距离短;
    5、集聚系数高;

    #### 无标度网络

    无标度性质
    1、什么是无标度呢?实际上是对网络度分布的一个描述;
    2、枢纽节点标志着,真实网络中蕴含着一种比随机性更深层次的组织原则;即无标度性质;
    3、离散和连续的幂率分布形式:


    4、度分布服从幂率分布的网络,被称为无标度网络。
    5、枢纽节点
    6、随机网络和无标度网络的主要区别体现在度分布的尾部,在无标度网络中,大量小度节点和少量拥有很多链接的枢纽节点共存。


    7、网络的大小,是如何影响枢纽的大小呢?
    网络的最大度,
    8、网络越大,其最大枢纽节点的度就越大,在大型无标度网络中,最大度和最小度之间可能相差几个数量级;
    9、有趣的结论:枢纽节点在随机网络中不存在,在无标度网络中却自然出现。高速公路 v.s. 机场


    10、无标度的含义和超小世界性质:无标度这个词具体有什么含义?
    (1)随机网络是有标度的,平均度k就可以作为随机网络的标度。
    (2)无标度网络是没有标度,因为二阶矩就可能无限大。直白的理解就是,你不能通过计算平均值来表达这个群落的基本情况;总之,无标度的含义是,网络中节点的度相差很大,缺少一个内在的标度

     

    11、如何知道一个网络是不是无标度网络?
    (1)看一下度分布;
    (2)测量,度指数;
    (3)看看真实网络中P_k的形状;

    12、枢纽节点会影响小世界性质么?


    重要结论:无标度网络中节点间的平均距离比随机网络中节点间的平均距离还要小;

    13、无标度网络,度指数的作用:
    (1)无标度网络和度指数\gamma相关,


    有没有一种可能,把不同脑区神经元构成的网络的度分布对应的gama值,在gama坐标轴上进行体现呢?
    (2)无标度网络的平均距离,超级小;

     

    14、无标度网络的特性概述:
    (1)度分布的两种形式:离散和连续;
    (2)最大枢纽节点的度,要远远大于普通小度节点;
    (3)当gamma介于2和3之间时,度的一阶矩是有限的,但是二阶矩是发散的;
    (5)当gamma大于3时,度的一阶矩和二阶矩都是有限的;[随机网络]
    (6)不同gamma值,对应的网络的平均距离满足此关系;

    BA无标度网络

    15、从icon网站上下载真实数据集

    复杂网络建模:基于Python+NetworkX的实现_哔哩哔哩_bilibili

    16、专门用来弥合幂率分布一个Python库   powerlaw
     

    17、生成符合幂率分布的度序列:
    https://www.bilibili.com/video/BV1WR4y1G7kH?p=42&t=0.7

    18、利用配置模型,生成特定度分布指数的无标度网络:
    https://www.bilibili.com/video/BV1WR4y1G7kH?p=43&t=5.2
    (1)第一步,先生成一个满足幂率分布的度序列;
    (2)利用此度序列,生成期望的无标度网络;
    需要注意的是,
    (1)配置模型包含了很多重连变,自环(但是这些在真实的环境中并不常见);
    (2)配置模型的平均度是不可控的;

    19、使用隐参数模型,生成给定度分布的无标度网络;
    (1)不会产生自环
    (2)不会产生多重连边;


     

    需要注意的是,隐参数模型也存在缺陷:
    (1)只有当N,节点数很大时,生成的无标度网络才比较准确。

    20、度保持的网络随机化
    具体场景是:你手上有一个真实的网络模型,然后你想生成一个具有相同节点数和边数的随机模型,或者每个节点的度值一样,但是连接的方式不一样的随机网络,调用networkX的double_edge_swap();

    在研究过程中,选择一个合适的随机化方法是非常重要的;

    展开全文
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    说明:

    最近没有什么好写的,就把复杂网络的作业写成博客吧!先写环境的安装,SNAP和networkX都会写。(只有windows)看看有没有自己的同学会凑巧看到。嘻嘻…

    SNAP安装

    SNAP据说还是很好用的一个工具,因为我现在还不会用无法给大家作科普。在这里就只写安装过程吧!(用的是python不是c++。)另外 ,我的这个安装过程可能对于大家而言没有什么参考性。因为这次我的运气好没有踩到坑。那我就尽量写的详细点吧。

    1. 使用阿里的镜像网站:http://mirrors.aliyun.com/pypi/simple/
    2. Ctrl+F snap_stanford
      在这里插入图片描述
    3. 点击后有所有的版本,选择你对应的版本下载。
      在这里插入图片描述
    4. 在对应的路径下打开cmd
      在这里插入图片描述
    5. 输入pip install 你下载的.whl文件(如下图)
      在这里插入图片描述
      使用这种安装方式能避开python安装中的很多坑。

    networkx安装

    networkx据说还是很好用的一个工具,因为我现在还不会用无法给大家作科普。在这里就只写安装过程吧!另外 ,我的这个安装过程可能对于大家而言没有什么参考性。因为这次我的运气好没有踩到坑。那我就尽量写的详细点吧!(是的我是直接从上面copy下来的…)

    1. 使用阿里的镜像网站:http://mirrors.aliyun.com/pypi/simple/

    2. Ctrl+F networkx(这个找的比较费劲。)
      在这里插入图片描述

    3. 这个命名我也没有完全看懂 ,就不说了,怕误人子弟。我下载的是这个版本。
      在这里插入图片描述

    4. 在对应的路径下打开cmd
      在这里插入图片描述

    5. 输入pip install 你下载的.whl文件(如下图)
      在这里插入图片描述

      使用这种安装方式能避开python安装中的很多坑。

    小结

    老师给的作业感觉都不难,一边做一边写博客吧!希望能坚持写完。

    展开全文
  • 复杂网络学习笔记

    2014-04-10 21:36:21
    复杂网络学习笔记,课程笔记,简单摘录,适合了解课程主要内容。
  • 复杂网络】自学笔记整理

    万次阅读 多人点赞 2020-06-29 17:15:45
    一、复杂系统与复杂网络 1.研究目的        复杂网络是研究复杂系统的一种角度和方法,它主要关注系统中个体相互关联的作用。(一种拓扑结构) 2.当今应用    &...

    一、复杂系统与复杂网络

    1.研究目的
    复杂网络是研究复杂系统的一种角度和方法,它主要关注系统中个体相互关联的作用。(一种拓扑结构
    2.当今应用
    通过分析社交网络之间的关系,确定人们在社会中的社会关系,比如我们用复杂网络分析恐怖分子的多层社会网络,进而得到追踪他们的线索,以此方便警方抓捕。
    3.发展背景
    (1)计算机技术的飞速发展
    (2)网络普适性的发现
    (3)理论研究的发展
    4.关心问题
    (1)如何定量刻画复杂网络?
    (2)网络如何实现发展?
    (3)网络特定结构的后果是什么?
    5.复杂网络的结构及特点
    (1)规则网络
    一般情况下,集聚系数较大,平均最短路径较长。
    (2)随机网络
    当p不小时,集聚系数较小,平均最短路径较短。
    (3)小世界网络
    (4)无标度网络
    一般情况下,分成呈幂律分布。
    6.顶点重要性度量
    (1)度:你有几个朋友 (度是个体指标,分布是整体指标)
    (2)集聚系数:你的朋友之间,他们还是不是朋友
    (3)介数:整个网络中,通过你的最短路径有多少
    (4)接近中心性:你是否位于网络中心
    扩展:
    (5)谷歌PageRank:通过扩散行为,建立了从全局刻画重要性的指标,它是一个迭代过程
    7.顶点度的匹配关系
    (1)同向匹配:高度的顶点与高度的顶点相连接(社会网络)
    (2)反向匹配:高度的顶点与低度的顶点相连接

    二、复杂性思维——北师大教授张江课程

    课时一 什么是复杂性思维

    1.研究复杂系统的目的:用来做计算机模拟。
    2.“时间之箭”和 “因果箭头”
    前者表示任何事物的演化都有一个方向性,后者表示有因必有果,有果必有因。
    3.区块链
    定义:它是一个分布式的存储系统,不需要中心控制者,全部由机器控制管理。
    4.技术奇点
    定义:它表示机器发展到超越人类认知的时间点。
    5.复杂系统
    关键点:
    (1)系统中个体数有一定的数量级(一般10^2以上)
    (2)系统中的个体具有紧密的联系
    6.复杂性科学
    关键点:
    (1)统一性 :统一的观点看待不同学科
    (2)涌现:整体大于部分之和

    课时二 系统科学简史与现代复杂系统科学

    1.小世界现象
    表现:任何地球上的两个人都可以通过最多6个人相互联系起来。
    2.无标度现象
    表现:任何网络都存在不平等的现象(幂律分布)。
    3.PageRank算法
    中心思想:实现按从大到小的顺序得到搜索后网站的排序,常用于搜索引擎中。
    4.产品空间(Product Space)
    具体表现:
    (1)附加价值越高的产品会集中在中心位置,附加价值越低的产品会集中在边缘位置。
    (2)发展迅速的国家,在映射到产品空间的图后,其位置会随时间从边缘逐渐移动到中心位置。
    5.复杂系统中的物理学
    定义:复杂系统中的物理学与广义上的物理学不同,它主要使用到的物理学的研究方法
    6.列维飞行
    定义:列维飞行是从分布角度上讲,大部分情况在小范围内流动,也有一小部分情况会流动到较远位置的一种运动模式。另外,它也是动物和人的普遍游走规律。
    7.系统科学的发展规律:由数据驱动得到一些发现规律。
    8.复杂性科学的核心问题:回答什么是生命。

    课时三 蜂群思维与涌现

    1.自然界中复杂系统:蜂群、蚁群、鸟群、鱼群
    ①针对蜂群如何确定最短路径这个问题
    (1)生物学角度:蚁群根据信息素浓度大小确定最短路径
    (2)计算机角度:可以通过计算机模拟方式确定最短路径
    ②鸟群的飞行规则(没有随机数,但有随机性)
    (1)靠近 (2)对齐 (3)避免碰撞
    2.群集系统的特点
    (1)由许多单元组织而成
    (2)每个个体按照简单的规则行事
    (3)个体之间具有一定的自治性
    (4)单元之间相互连接
    (5)没有强制的中心控制
    3.如何运用群集思维
    (1)建立隐喻
    (2)保证交互
    (3)激活个体
    (4)减少干预

    课时四 涌现与关于“马姨”的讨论

    1.涌现与斑图
    涌现:人的心理和外在的事物发生的某种共振沟通。
    斑图(Pattern):由系统的时空构型形成的整体模式。
    2.涌现的分类
    (1)强涌现:“我”的存在。
    (2)弱涌现:自然界普遍现象的存在。
    3.涌现与因果倒置


    注:强涌现发生时,因果箭头开始发生颠倒。

    课时五 群体模拟与Netlogo

    1.计算机模拟:虚拟世界中的空间(数据)与时间(算法、程序)的互动。
    2.Netlogo:用来的模拟复杂系统的软件
    (1)模拟小球运动
    初始化设置:每次点击setup会出现50个随机小球

    to setup
       clear-all
       create-turtles 50[
           setxy random-xcor random-ycor
       ]
       set-default-shape turtles "circle"
    end
    

    让小球运动起来

    to go
       ask turtles[
           forward 1
       ]
    end
    

    让小球像虫子一样运动

    to go
       ask turtles[
           if random-float 1 < 0.5[
               set heading random 360
           ]
           forward 1
       ]
    end
    

    (2)模拟生命游戏
    新的对象:Patch
    对象属性:patches-own[]
    ask patches:对所有的patch对象循环
    ask turtles:对所有的turtle对象循环
    补:patch对象与turtle对象的不同:前者不需要创建,后者需要创建。
    (3)基本思想

    在这里插入图片描述

    课时六 元胞自动机

    1.元胞自动机组成
    空间:格点
    时间:CPU时钟
    物理:规则
    注:生命游戏(Game of Life)是一个二维的元胞自动机。
    2.冯诺依曼贡献
    (1)创建了冯诺依曼结构
    (2)创立了博弈论
    (3)量子计算的奠基人
    3.二维元胞自动机的邻域
    (1)冯诺依曼型领域:上下左右4个邻居
    (2)摩尔性邻域:8个邻居
    4.火灾模型
    特点:遍历所有格点
    neighbors:冯诺依曼邻居
    numbers:摩尔型邻居
    density(森林密度):density越大,火灾传播速度越快。
    在这里插入图片描述

    5.沙堆模型
    特点:二维的元胞自动机;属于冯诺依曼邻居;有五种状态
    自组织临界
    (1)崩塌会产生级联效应
    (2)崩塌的时空呈现幂律分布
    (3)系统自发组织进入临界态

    课时七 元胞自动机扩展

    1.投票模型
    特点:随机元胞自动机
    结果:最后只有一种观点
    2.其他元胞自动机
    (1)四角格 (2)三角格 (3)六角格
    3.一维元胞自动机(最基础)
    特点:每个格子的左右两侧半径为r内的方格为其邻居
    基础元胞自动机:r=1,状态为2
    可能的规则数:2^8=256
    4.一维元胞自动机的运行
    按照时间先后顺序上下排列,得到一张二维图
    在这里插入图片描述
    5.一维元胞自动机的应用:奏乐
    6.混沌边缘
    λ:用来衡量元胞自动机运行后的混沌状态
    扩展:
    如何得到复杂——让系统运行在混沌的边缘

    三、网络科学导论

    第一章 引论

    1.复杂网络相关应用

    随着信息技术的飞速发展,当今社会越来越多的现象会涉及到复杂网络相关应用。
    举例:社交网络、搜索引擎

    2.Internet的拓扑结构

    原因:为预测和提高Internet的性能,特此引入Internet的拓扑结构
    具体形式:(1)IP层次 (2)路由器层次 (3)自治系统层次
    表现:随时间的推移,IPv4中的IP地址和AS数量逐渐增加

    3.WWW

    表现:万维网地位的提高以及发展,与搜索引擎的迅速发展密不可分,而搜索引擎属于复杂网络的一个应用领域,因此可见,研究复杂网络有所重要。

    4.金融网络和经济网络

    背景:经济全球化的大势,给世界上各个国家带来诸多机遇和挑战。提高国际地位的关键,在于成为相对应网络中的关键节点
    表现:在产品空间(Product Space) 相关知识中,我们可以了解到附加价值越高的产品会集中在中心位置,附加价值越低的产品会集中在边缘位置,类比于全球的金融网络和经济网络,我们会发现位于网络中心位置的往往是传播能力强的发达国家。

    在这里插入图片描述

    5.社会网络

    背景:六度分离理论的提出
    发展:为探究六度分离理论的正确性,科学家们进行了Internet上的小世界实验,进而提出了弱连带和强连带的概念。
    弱连带与强连带的示意图

    6.网络科学的研究目的与研究内容

    研究目的:网络科学所要研究的是各种复杂网络之间的共性和处理他们的普适方法
    研究内容:网络科学着眼于复杂网络的定量与定性特征的科学理解。
    (1)发现 (2)建模 (3)分析 (4)设计
    在这里插入图片描述
    网络系统的复杂性主要体现在:
    (1)结构复杂性
    (2)节点复杂性
    (3)结构与节点之间的相互影响
    (4)网络之间的相互影响(不同领域网络之间相互作用)

    第二章 网络与图

    1.图的引入

    图:用抽象的点和线表示各种实际网络。
    图的拓扑性质:主要与网络中结点个数哪些节点有边直接相连相关。
    好处:研究抽象的图,我们可以通过比较不同网络拓扑性质的异同点来建立网络拓扑性质的有效算法。

    2.图的类型

    (1)加权有向图 (加权和有向指的是
    (2)加权无向图
    (3)无权有向图
    (4)无权无向图

    3.简单图

    类型:没有重边和闭环的无权无向图
    假设边数为M,顶点数为N,则无向图中边数与顶点数的关系为:

    极端情形:
    (1)空图 (2)完全图
    假设边数为M,顶点数为N,则有向图中边数与顶点数的关系为:
    在这里插入图片描述

    4.图的计算机表示

    (1)邻接矩阵(稠密图)
    (2)邻接表(稀疏图)
    (3)三元组(加权有向图)

    5.共引与文献耦合

    共同点:都属于有向网络到无向网络的对偶方法
    (1)共引:有向网络中节点i和j的共引数(Cij)定义为同时有出边指向节点i和节点j的节点数
    在这里插入图片描述特殊情况:Cii表示节点i的入度
    转换到无向网络:基于共引矩阵,一个有向网络对应的无向网络定义为:如果Cij>0,那么节点i和j之间就有一个边。
    (2)文献耦合:有向网络中节点i和j的文献耦合(Cij)定义为两个节点同时指向其他节点的数量
    在这里插入图片描述
    结论:共引程度反映的是两篇文章同时被多少篇其他文章引用;文献耦合程度反映的是两篇文章引用了多少篇相同的参考文献。

    6.路径与连通性

    简单路径:各个顶点都互不相同的路径是简单的。
    判断网络是否连通
    (1)当且仅当I+A+A2+…+AN-1是正矩阵,即所有元素都是正的。
    (2)当且仅当邻接矩阵是不可约的。

    7.Menger定理(门杰定理)

    点形式:所需去除的顶点的最少数目等于连接两个顶点的独立的简单路径的最大数目。->点割集
    边形式:所需去除的边的最少数目等于连接两个顶点不相交的简单路径的最大数目。 ->边割集

    8.最小生成树

    Prim算法:适合计算边稠密的网络的最小生成树。
    Kruskal算法:适合计算边稀疏的网络的最小生成树。

    9.二分图

    定义:图中的每条边的两个节点分别属于顶点集的两个子集中。
    在这里插入图片描述
    二分图的匹配:设G=(X,E,Y)为二分图,F为边集E的一个子集。如果F中任意两条边都没有公共端点,就称F为图G的一个匹配。

    第三章 网络基本拓扑性质

    1.网络稠密性与稀疏性

    网络的密度ρ在这里插入图片描述
    注:M表示网络中的实际边数,分母表示具有N个节点的网络中可能存在的最大边数。
    网络稠密:当N趋于无穷时,ρ为非零常数,表示网络是稠密的;
    网络稀疏:当N趋于无穷时,ρ为0,表示网络是稀疏的。

    2.平均路径长度与直径

    节点i与j之间的距离:连接这两个节点的最短路径上的边的数目。
    在无向无权图中:
    平均路径长度:任意两个节点之间的距离的平均值。
    注意:一个含有N个节点和M条边的网络的平均路径长度可以用时间量级为O(MN)的广度优先搜索算法来确定。
    直径:网络中任意两个节点之间的距离最大值称为网络的直径。

    3.聚类系数(Clustering Coefficient)

    (1)无向无权图情形
    定义:表示一个节点的邻居之间有边的个数与所有邻居之间都有边个数的比值。
    在这里插入图片描述
    注:其中Ei表示节点的邻居实际存在边的个数,若一个节点有0个或1个邻居节点,那么聚类系数Ci=0。
    三元组定义:
    在这里插入图片描述
    一个网络的聚类系数:网络中所有节点聚类系数的平均值。
    (2)有向有权图情形
    在这里插入图片描述

    4.度分布与幂律分布

    度分布定义:指网络中一个随机选择的节点度为k的概率。
    均匀网络:正态分布、泊松分布
    长尾分布:幂律分布
    幂律分布公式:
    在这里插入图片描述
    其中γ为幂指数,一般取2-3.
    :幂律网络和无标度网络不能说它们是等价的,一般只有幂指数较小的幂律网络才能说是无标度网络。

    第四章 度相关性与社团结构

    1.度相关性

    定义:又称为网络的二阶度分布特性。
    平均度:K = 2M/N
    度分布:P(k) = n(k) / N,其中n(k)表示度为k的节点个数,即如果随机选择一个节点i,那么节点的度为k的概率为P(k)。

    2.联合概率分布

    定义:联合概率P(j,k)定义为网络中随机选取的一条边的两个端点的度分别为j和k的概率,即为网络中度为j的节点和度为k的节点之间存在的边数占网络总边数的比例。
    公式
    在这里插入图片描述
    性质
    (1)对称性 (2)归一化 (3)余度分布

    第五章 节点重要性与相似性

    1.无向网络节点重要性指标

    (1)度中心性(Degree Centrality,DC)
    定义:一个节点的度越大,意味着该节点在网络中越重要。
    公式:度中心值(DC)
    在这里插入图片描述
    (2)介数中心性(Betweenness Centrality,BC)
    定义:表示经过该边或该点的最短路径的数量。
    公式:边介数/点介数(BC)
    在这里插入图片描述
    (3)接近中心性(Closeness Centrality,CC)
    定义:若一个点到其他所有点的平均距离为d,则接近中心性为1/d(d的倒数)。
    公式:接近数(CC)
    在这里插入图片描述
    (4)k壳与k核
    k壳分解:按度数递增k从0开始,依次去除掉图中度为k的节点,最后剩下的节点即为最重要的节点。
    优点:k壳分解相比度中心性的优点在于,可以排除一些度很大但并不是最重要的节点。
    在这里插入图片描述
    (5)特征向量中心性(Eigenvector centrality,EC)
    基本思想:一个节点的重要性既取决于其邻居节点的数量,也取决于其邻居节点的重要性
    公式:特征向量中心性
    在这里插入图片描述

    2.HITS算法

    基本思想:每个网页的重要性有两个刻画指标——权威性枢纽性。其中一个网页的权威值由指向这个网页的所有页面的枢纽值确定,而一个网页的枢纽值由该网页指向的所有页面的权威值决定。
    枢纽值 ——> 权威值
    快速理解:举一个例子,一篇具有创新性的文章被很多人引用,那么这篇文章可以说具有权威性;一篇综述概况总结很多高权威的论点,那么这篇综述可以说具有枢纽性。

    3.PageRank算法

    基本思想:WWW上一个页面的重要性取决于指向它的其他页面的数量和质量,根据网页PR值的大小确定页面的重要程度。
    计算公式:
    在这里插入图片描述
    ​其中,Bu是所有链接到网页u的网页集合,网页v是属于集合Bu的一个网页,L(v)则是网页v的对外链接数(即出度).
    步骤
    (1)给每个网页一个PR值。
    (2)通过(投票)算法不断迭代,直至达到平稳分布为止。
    补充:网络中PR值的总和为1。

    4.链路预测

    (1)链路预测
    定义:它是指如何通过已知的各种信息预测给定网络中尚不存在连边的两个节点之间产生连接的可能性。
    基本假设:如果两个节点的相似性越大,那么两个节点之间有链接的可能性越大。
    应用:朋友推荐
    (2)衡量指标

    • AUC:测试集中的边的分数值比随机选择的一个不存在的边的分数值高的概率。
      在这里插入图片描述
    • Precision:只考虑排在前L位的边是否预测准确,即前L个预测边中预测准确的比例。
      在这里插入图片描述

    5.节点相似性指标

    (1)基于局部信息的相似性指标
    典型代表:共同邻居(CN)
    (2)基于全局信息的相似性指标
    典型代表:局部路径指标(LP)——在共同邻居的基础上,考虑了三阶邻居的影响。
    (3)基于随机游走的相似性指标

    第六章 随机网络模型

    1.全局耦合网络

    定义:如果一个网络中的任意两个节点之间都有边直接相连,那么就称该网络为一个全局耦合网络。
    局限性:大型实际网络都是稀疏的,边数目最多有O(n)。
    聚类系数:1

    2.最近邻耦合网络

    定义:如果在一个网络中,每一个节点只和它周围的邻居节点相连,那么就称该网络为最近邻耦合网络。
    特征:网络的拓扑结构是由节点之间的相对位置决定的,随着节点位置的变化网络拓扑结构可能发生切换。
    特点:聚类系数较高,但平均路径长度较大。

    3.星形耦合网络

    定义:它有一个中心点,其余的N-1个点都只与这个中心点连接,而它们彼此之间不连接。
    聚类系数:0

    4.ER随机图模型

    (1)具有固定边数的ER随机图模型 G(N,M)
    定义:N个节点的图中,在任意两个节点之间添加M条边,其中选择的是两个不同的没有边连接的节点对。
    (2)具有固定连边概率的ER随机图模型 G(N,p)
    定义:把N个节点中任意两个不同的节点之间有一条边的概率固定为p,生成随机数r(0-1之间),若r<p,则在两个节点之间添加边。
    特点:具有较小的平均路径长度,但没有高聚类特性。

    第七章 小世界网络模型

    1.WS小世界模型

    构建方法:在规则网络中添加一些随机性(随机重连),通过调节重连概率p实现WS小世界模型的构建。
    在这里插入图片描述
    区分WS小世界网络模型与ER随机图模型:
    节点的度不同:在WS小世界模型中,每个节点的度至少为K/2,而ER随机图模型任意节点的度没有限制。
    在这里插入图片描述
    分析结论:当重连概率p较小时,网络的聚类系数较高和平均路径长度较小。

    2.NW小世界模型

    构建方法:通过用“随机化加边”代替“随机化重连”得到的模型,相当于在最近耦合网络中叠加一个一定边数的随机图,当p较小且N很大时,可近似等价于WS小世界网络模型。
    在这里插入图片描述

    第八章 无标度网络模型

    1.鲁棒性

    定义:对于给定的网络,如果在移走少量节点后网络中的绝大部分节点是连通的,那么就称该网络的连通性对节点故障具有鲁棒性。

    2.随机网络和无标度网络鲁棒性的比较

    (1)无标度网络
    无标度网络对随机节点故障具有较高的鲁棒性
    无标度网络对蓄意攻击具有高度的脆弱性
    原因: 无标度网络的网络度分布具有极端非均匀性,即绝大多数节点的度较小,只有一小部分节点的度较大。
    (2)随机网络
    随机网络对随机节点故障具有高度的脆弱性

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