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  • 复杂网络静态指标
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    2017-11-28 09:47:46

    复杂网络概述

    1研究背景

    通信网络、电力网络、生物网络、和社会网络等分别是通信科学、电力科学、生命科学、和社会学等不同学科的研究对象,而复杂网络理论所要研究的则是各种看上去互不相同的复杂网络之间的共性和处理它们的普适方法。对这些极其复杂的交互作用网络的结构和动力学的理解已成为21世纪生命科学的关键性研究课题和挑战之一。

    复杂网络之所以复杂,不仅在于网络规模的巨大,网络结构的复杂,而且网络在时间、空间上都具有动态的复杂性,网络行为也具有复杂性。


    2 定义

    许多真实系统都可以用网络的形式加以描述,一个典型的网络是由许多节点与链接节点之间的边 组成的。节点代表系统中的个体,边则表示节点之间的作用关系。

    如WWW网络可以看成是网页之间通过超链接构成的网络;Internet网络可以看作不同的计算机通过光缆链接构成的网络;科学家合作网络可以看作不同的科学家合作关系构成的网络;基因调控网络可以看作是不同的基因通过调控与被调控关系构成的网络。


    3 研究方面

    复杂网络的研究大致可以描述为三个密切相关但又依次深入的方面:

    1)  大量的真实网络的实证研究,分析真实网络的统计特性

    2)  构建符合真实网络统计性质的网络演化模型,研究网络的形成机制和内在机理

    3)  研究网络上的动力学行为,如网络的鲁棒性和同步能力,网络的拥塞及网络上的传播行为等。

    4 复杂网络相关概念


    4.1社区结构

    定义:整个网络是由若干个“社区”或“组”构成的,每个社区内部的结点间的连接相对非常紧密,各个社区之间的连接相对来说却比较稀疏[1][2]。

    实例:如社会网络中的社区代表根据兴趣和背景而形成的真实的社会团体;引文网络中的社区代表针对同一主题的相关论文;万维网中的社区就是讨论相关主题的若干网站[3];而生物化学网络或者电子电路中的网络社区可以是某一类功能单元[4][5]。

    算法:

    社区结构的算法分为以下两大类:

    1)             是基于图论的算法,比如K-L算法[6]、谱平分法[7][8]、随机游走算法[9]和派系过滤算法[10][11]等;近几年从其他不同的角度又提出了基于电阻网络性质的算法[14]、基于信息论的算法[15]、基于PCA的算法[16]和最大化模块度[17]的算法[18-23]等。

    2)             层次聚类算法,如基于相似度度量的凝聚算法[2]和基于边介数度量的分裂算法[1][12][13]等。最近,Doreian和Mrvar提出了一种利用局部搜索划分符号网络社区结构的算法[24], Bo Yang等提出一种基于代理的启发式划分符号网络社区结构的算法(FEC)[25]。


    4.2拓扑势

    拓扑势的概念初步刻画了节点在拓扑位置上局域影响的作用。

    刻画了在不同拓扑位置上节点产生的局域影响作用,能细分复杂网络中节点的重要性排序;建立了度和介数等衡量参数之外的重要指标,能合理有效地分析静态网络的一些特性[28][29]

    的概念来描述复杂网络节点所具备的主体性和影响的局域性,通过对实际复杂系统时变特性的研究,克服网络统计指标下实际物理意义缺失的问题。随着时间变化,节点的主体性及其局域影响性会根据现实网络变化的特征改变节点属性和影响半径,从而揭示出现实网络的功能和行为方面的。


    4.3节点质量

    节点质量m作为节点对于连接作用的基础,反应了节点的主体性行为力,体现不同节点主体行为力之间的差异


    5复杂网络相关规律

    5.1复杂网络的传播动力学

    临界值理论只考虑了传播的最终稳态,传播动力学研究传播过程中出现的如震荡等动态行为。对传播过程会产生影响的因素包括:时滞,非线性摩擦等阻碍因素。在传播方程中引入这些参数,对于不同的参数的取值,可能出现混沌、稳定、分岔等不同传播过程。


    5.2复杂网络统计力学

    复杂网络的研究[30][31][32]表明,技术系统中的因特网、电力网和交通网等,社会系统中的人际关系网、科学家合作网和引文网等,以及生物系统中的神经网、新陈代谢网和蛋白质相互作用网等,这些看似毫不相干、形态各异的复杂网络却都具有某些相通的拓扑性质甚至都受某些简单规则所驱动自组织形成,而且它们所表现出来的鲁棒性、模块性等与随机网络有着很大差别


    5.3动态网络系统

    个体(agent):网络中很多独立,但是又具有相互作用的基本单元组成。

    个体自身也是一个系统,有自己的状态演化规律,而且它们之间还存在着相互作用。在网络建模方法中,将个体用节点来表示,若两个个体之间存在相互作用,就表示在它们的节点之间连一条线,这样形成网络[33]

    动态网络系统中,节点的状态和拓扑都是动态演化的,节点的状态和网络的拓扑之间可能是相互影响的,并且系统在整体层面上往往会展示出各种各样的集体行为[34][35]这方面研究目前在系统具有什么样的集体动力学行为、如何干预或者控制这样的系统等作出了大量的研究。动态网路的经典模型为Boid模型[36][37]Vicsek模型[38]等,利用动态系统研究的网络演化,可以引入线性和非线性作用等不同作用模式,但是目前在揭示网络拓扑演化规律方面不是很理想。

    动态网络系统研究的另一个思路为引入博弈论思想,将每一个节点抽象为博弈中的经济人,用来理解各种复杂系统中合作和竞争关系的演化以及合作产生的条件[39][40]。基于复杂网络的博弈与合作进化研究会使人们对各种实际复杂网络上的竞争与合作行为有更深的认识,但是同样其模型的适应性和结论的可靠性验证等方面还有大量问题需要解决。


    5.4复杂网络的演化

    随着小世界特性[26]无标度特性[27]的发现,吸收了非线性科学和近现代物理学的丰富思想后,网络科学在网络结构、功能和性质等研究上得到了快速发展。但是,网络研究中单纯的统计指标(如度、介数和接进度等)与抽象的建模方法(如拓扑、加权、演化和博弈模型等),均不能很好地刻画实际网络的节点主体性影响局域性

    并且,现实世界中的网络复杂多变,节点本身以及节点之间的关系大都随着时间变化,不应忽略节点的主体性和相互影响建立模型,且实际网络中节点不是静止的、固化的,而是演化的、动态的,具有鲜明的主体性不同的主体行为力体现了节点在网络功能和行为中的所起到的不同作用。进一步说,结点之间本质上是通过边相互产生微妙的影响,这种局域影响性在网络性质和行为方面的刻画上不可或缺。

    当网络的拓扑结构变化时间间隔大于节点质量的变化时间间隔时,认为在短时间间隔内节点的质量相对固定不变。

    针对具体载体而言,图书在线销售网可以发现当前最有影响力的图书、读者社团等。图书在线销售网络中,能发现读者热点的转移、热销类图书的涌现和长盛不衰的名著等知识。

    动态的、变化的主体性的度量是一个和时间t有关的质量函数m(t),进一步考虑拓扑时变和质量时变的刻度可比较的情况,能以较好地体现节点的主体性变化在主体行为力上的表现,对于具有不确定性的主体行为力可以使用云模型进行刻画。

    推广应用:

    对于通信网络的节点主体性来说,若将质量定义为交换局接受到的呼叫量(符合泊松分布)、路由器转发的数据量(具有重尾和幂率等规律,亦可类比于排队模型中不同的顾客到达模型)或者传感器节点的功耗衰减模型等,有望解决结点的动态模型与网络拓扑影响如何结合的问题。

    影响的局域性在势的定义中已经有所反映,因为影响是通过边传播的,是局域的、衰减的,因此拓扑对于节点主体行为力在影响连接的作用过程中也起到了至关重要的作用。通过本模型能够较好地结合起这些在实际网络建模中必须考虑的因素,进而发现出符合实际情况的知识。


    5.5复杂网络节点的主体性演化

    主体性的演化对于网络结构的影响是多方面的,这种影响最终通过节点之间的连接(度的数目邻居节点的选择)形成的拓扑来体现。

    重要研究点:网络抱团特征的变化和骨干网的反演特征

    针对具体载体的背景下,如图书在线网络,则可发现读者群体的兴趣转移、重要图书内容领域转移等;南部妇女活动网可以发现参加者社会活动倾向性的转移;网络流量中可以发现负载较重的网络节点在不同时段中是如何转移的,骨干节点之间的连接强度随着时间是如何转移的;传感器网络的功率优化规划中则可以发现随着节点的功率衰减,网络不同时刻的抱团与骨干节点的最佳选择。

    1)网络抱团特征研究

    现有社团挖掘算法缺点:

    社团挖掘算法完全是按照拓扑结构进行划分的,拓扑结构是对现实世界中的复杂系统利用点和线所进行的最本体的抽象,依照拓扑结构来划分社团的唯一合理物理意义就在于模块度社团内部连接密度大,社团间连接密度小),或者模块度的变形表述加权等)。这种社团挖掘没有充分考虑代表节点主体性的质量m在社团形成过程中重要的局域影响作用

    为网络加入节点质量,利用势的概念来定量刻画节点间相互影响在形成抱团结构时的作用,将可提高社团挖掘的质量和可信度,使得抱团的物理意义更加明确,在网络演化过程中的报团变化特征更加准确。

    具体包括考察给定m(t)的条件下:社团数目的变化(图书所集中热点领域数目的变化);节点vi处于何种位置(或者势值位序),其倾向于保留在社团Ck中抑或相反;社团Ck规模的变化(哪一方会有更多图书支持)。

    选择哪一种物理性质作为节点的质量,与最终需要挖掘的知识强相关。将考察根据已知的节点质量符合某一种特定分布的前提条件,生成节点质量的估计值的方法,进而用此估计值来指导社团的挖掘以及演化模式的发现

    2)骨干网反演特征研究

    演化过程中的偏好依附性和网络骨干节点具有重要联系,各节点偏好依附网络骨干节点抱团,成为同一社区成员,骨干节点形成骨干网。

    骨干网在演化中应该起到决定网络基本统计特征的“种子”作用,挖掘出的骨干网依照某种方式演化(偏好依附方式)能够得到和原来网络非常一致的统计特征,即根据此骨干节点形成的网络能够模拟“反演”出与原来网络具有很大相似统计特性的网络

    边势差(边两端节点的拓扑势差):刻画骨干网演化特征的方法。网络中任意一条边两端节点的势值差,其值的大小反映了此边两端节点重要性差异的程度。

    “边势差最小”原理:某一节点所有边中“边势差最小”的边反映了这条边两个端点在网络中具有最接近的重要性。

    从拓扑势最大的节点开始,通过边势差最小的边逐步向外扩散,直至两个节点间的边 同时为“边势差最小”停止,得到第一个最重要的骨干节点集。再依次寻找 势值较大节点(前提是未在上步中出现的节点)的骨干节点。最终全网络的骨干成员是由这些依次挖掘得到的骨干节点的集合。

    通过骨干成员检测可以实现图书推荐,与销售排名相比较,可以在兴趣热点转移、时间转移等方面得到更加深入与切合实际意义的知识。


    6复杂网络建模

    目前复杂网络拓扑建模有两种极端做法:

    1) 试图让模型能够再现实际网络尽可能多的各种拓扑性质

    特点:这类模型通常包含很多假设和参数,使得模型既难以理解又缺少解释或预测能力,而且缺乏拓扑性质到物理背景之间映射的有力解释。

    2) 各种虚拟的概念模型

    特点:这类模型几乎没有考虑实际网络的任何具体特征或物理性质,具有较大理论价值,但难以实际应用。

    关键问题:基于对实际网络的理解,找到上述两个极端之间的合适的平衡。复杂网络建模的研究重点,不在于纯图形学研究,也不是泛指所有网络,而在于通过刻画这些特性来揭示研究载体的实际物理规律

    复杂网络建模必须考虑实际网络表现出的物理性质。在复杂网络的研究中,很多研究载体共同表现出了以下四个显著特性:

    1) 节点主体性。

    每个节点都是具有独立行为的主体,表现出不同的活力和不确定性。主体性是节点自身用以互相连接形成边的能量、质量和信息等状态的刻画;在主体性基础上任意两个互连的节点之间形成了影响,在网络的演化、传播和同步等方面起到了根本的决定作用;

    2) 节点间相互影响的局域性

    节点既影响周围的节点,又被周围节点影响,随距离增大影响减小,不存在集中统一的控制。

    3) 拓扑结构的不均匀性

    网络中的一些节点会呈现一定的抱团特性,度的分布呈现幂律特征等。

    4) 在网络不确定的演化过程中,节点增长表现出了偏好依附性

    不均匀性是实际网络形成的客观现象;在不均匀的度分布基础上的偏好依附进一步解释了网络拓扑形成的过程。


    7复杂网络实验验证

    载体:阐述复杂网络建模的方法的实验验证示例作用。

    通过载体的研究,可用于初步验证节点主体性和影响局域性建模的基本方法。不同载体的选择对于网络科学的研究具有重要意义。

    列举几种不同领域的载体:

    1图书在线销售网络。以网站在线销售的图书为节点,任意两个结点之间只要同时购买的顾客数达到了一定的数量,则在此结点之间连上一条边。


    2)网络科学里大量引用的经典载体,诸如Zachary俱乐部网和南部妇女政治活动网[49]等。

    ZACHARY空手道俱乐部成员关系网络

    【简介】Zachary空手道俱乐部成员关系网络是复杂网络、社会学分析等领域中最常用的一个小型检测网络之一。从1970到1972年,WayneZachary用三年时间观察了美国一所大学空手道俱乐部成员间的社会关系,并构造出了社会关系网(Zachary’skarate club network)。网络中的每个节点分别表示某一个俱乐部成员,节点间的连接表示两个成员经常一起出现在俱乐部活动(如空手道训练、俱乐部聚会等)之外的其他场合,即在俱乐部之外他们可以被称为朋友。调查过程中,该俱乐部因为主管John A.(节点34)与教练Mr.Hi(节点1)之间的争执而分裂成2个各自为核心的小俱乐部,不同颜色与形状的节点代表分裂后的小俱乐部成员。规模:34个节点,78条边

    在基本原理和方法的研究基础上将其进一步推广到通信网络的流量建模与规划无线传感器网络的功率优化等应用问题的解决方案中。


    8复杂网络的控制问题

    利用元标度网络结构的非均匀性,有针对地对网络中的少数关键节点施加反馈控制,就可以将规模庞大的复杂动态网络稳定到平衡点,获得很高的控制效率。


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  • 1 复杂网络分析(二)—社会网络(1)1.1 从社会网络开始 1.2 社会网络的表示 1.3 网络分析的步骤 1.4 复杂系统和网络 1.5 复杂网络的结构 1.6 复杂网络的测量 1.7 网络分化和演化 1.1 从社会网络开始 1.1.1 从你、...

    1  复杂网络分析(二)—社会网络(1)

    目录

    1.1 从社会网络开始

    1.1.1 从你、我、他开始

    1.1.2 认识社会网络

    1.1.3 社会网络的基本构成

    1.1.4 网络数据与传统数据的差异

    1.1.5 怎样理解社会网络

    1.1.6 社会网络分析的发展

    1.1.7 社会网络分析的不同视角

    1.1.8 社会网络的测量与局限

    1.1.9 社会网络中连接的测量

    1.1.10 社会网络中个体的测量

    1.1.11 社会网络中整体的测量

    1.2 社会网络的表示

    1.2.1 社会网络的基本概念

    1.2.2 社会网络的形式化表达

    1.2.3 社会网络的图形表达

    1.2.4 社会网络的矩阵表达

    1.2.5 四种类型的图

    1.2.6 无权无向图

    1.2.7 加权无向图

    1.2.8 无权有向图

    1.2.9 加权有向图

    1.2.10 图的数学表达

    1.2.11 图的计算机表达

    1.2.12二分网络

    1.2.12 何谓方向性

    1.2.13 何谓权重

    1.2.14 多层网络的表达

    1.2.15 网络随时间推移的变化


    1.1 从社会网络开始

    1.1.1 从你、我、他开始

    你、我、他
    是谁——标记、编码
    怎样描述——属性、属性值
    有关系吗?——什么关系,谁和谁,何时存在关系


    1.1.2 认识社会网络


    “社会网络”指的是作为节点的社会行动者(social  actor)及其间的关系的集合。也可以说,一个社会网络是由多个点(社会行动者)和各点之间的连边(行动者之间的关系)组成的集合。用点和线来表达网络,这是社会网络的形式化界定。


    1.1.3 社会网络的基本构成


    网络中的“点”可以是任何一个社会单位或者社会实体,例如:个体、公司、学校、城市、国家
    网络中的“连边”可以反映朋友关系、合作关系、距离关系、贸易关系等多种关系


    1.1.4 网络数据与传统数据的差异

    传统的数据结构借由不同属性(横列)比较行动者之间的相似或差异

    网络数据描述行动者之间的关系


    1.1.5 怎样理解社会网络


    在社会科学中,以对社会行动者之间的互动研究为基础的结构性方法被称作社会网络分析(弗里曼,2008)
    这些行动者可能是个体的人,也可能是机器、群体、组织或者国家等
    社会网络分析关注行动者之间的关系,认为这些关系的模式会影响它们的行动  
    因此,揭示不同类别的关系模式,并确定这些模式在何种条件下会出现以及会导致什么样的后果就成为社会网络分析的核心目标之一

                 哪些节点的行为是相似?                    哪个节点最重要,为什么重要?


    1.1.6 社会网络分析的发展


    当代科学界重视结构性与系统性这一大背景的产物
    社会网络分析把社会学家、人类学家、数学家、经济学家、政治学家、心理学家、传播学家、统计学家、生态学家、流行病学家、计算机科学家、商学院里的组织行为学和市场学学者,以及物理学家集合在一起。
    虽然这些人背景各异,但共同拥有一个体现在网络分析方法中的结构性视角。
    多个学科几代研究者不断积累的结果
    关于社会网络分析的起源,有的研究者认为始于20世纪30年代早期莫雷诺(Jacob Moreno)的社会计量学。也有人认为,社会网络分析到20世纪70年代怀特(Harrison White)在哈佛大学招收研究生时才开始。事实上,社会网络分析的相关理论从19世纪末20世纪初的齐美尔(Georg Simmel)就已发端,甚至能够追溯至更早的孔德(Auguste Comte)。
    20世纪30年代,莫雷诺的社会关系计量学和沃纳(William Warner)与梅奥(George Mayo)的人际关系学派
    1934年,莫雷诺出版了《谁将生存?》一书,标志着社会计量学的兴起。
    莫雷诺及其助手统计了研究对象期望和哪位组织成员共同生活和娱乐,并据此得出一套关系型数据,用以分析各成员在群体中的位置和群体中的小集团。
    大约在同时期,哈佛大学的沃纳和梅奥在研究组织行为的过程中,提出了人际关系学派(The Relational School)。
    他们收集了工人之间详细的社会网络数据,比如谁和谁一起玩、谁和谁吵了架等,并用图形的方式展示了工人之间的种种关系。
    20世纪50年代,哥伦比亚学派的传播研究
    拉扎斯菲尔德(Paul Lazarsfeld)、科尔曼(James Coleman)、卡兹(Elihu Katz)和门泽尔(Herbert Menzel)等人采用社会网络的方法来研究社会传播(Social Diffusion),给社会网络研究注入了新的活力。1955年,哥伦比亚学派的代表性作品之一《人际影响》问世,研究者们从生命周期、合群性和社会经济地位三个方面探讨了意见领袖的特征。
    1967年哈佛大学心理学教授斯坦利·米尔格拉姆(Stanley Milgram)通过连锁信实验验证了六度分离理论(Six Degrees of Separation)
    六度分离理论(又称小世界现象)的出现使得人们对于人际关系网络的威力有了新的认识。然而,在这个理论中,没有对人和人之间的关系进行强弱的区分。直到1974年,斯坦福大学社会系的马克·格拉诺维特(Mark Granovetter)提出了弱连接理论,才对这一问题进行了补充。
    格兰诺维特指出:每个人与接触最频繁的亲人、同学、朋友、同事等之间是一种“强连接”(Strong Ties),然而这种稳定的连接在传播范围上非常有限。反而,与一个人的工作和事业关系最密切的社会关系并不是“强连接”,而常常是“弱连接”(Weak Ties),例如一个无意间认识的人或者打开收音机偶然听到的一个人等。“弱连接”虽然不如“强连接”那样稳定,但却有着极快的、低成本和高效能的传播效率。
    20世纪70年代,怀特(Harrison White)在哈佛大学的研究
    怀特将矩阵理论应用与社会网络研究,写出了一些关于网络分组(block modeling)和机会链(chains of opportunny)方面的重要论文。
    在这个过程中,培养了一大批对当代社会网络分析具有重要影响的学生,比如皮尔曼(Peter Bearman)、波纳西(Peter Bonacich)、威尔曼(Barry Wellman)和温士浦(Christopher Winship)等人。
    70年代末,在威尔曼等人的倡导下,社会网络研究国际协会(International Network for Social Network Analysis)成立,加上《社会网络》杂志的创办,标志着社会网络研究开始了系统化和国际化的进程。
    20世纪90年代以来,社会网络研究实现了分析方法的突破和多学科的深入参与
    指数随机网络模型(Exponential Random Graph Models,ERGM)的建立和发展极大推动了社会网络的统计建模。
    Snijders等创建的个体导向随机模型(Stochastic Actor-oriented Models)进一步把随机网络模型推广到分析动态社会网络。
    研究主题从单纯的对社会网络的研究,扩展到对政治网络、经济网络、文学作品中的对话网、蛋白质互动网、疾病传染网、计算机网络等的研究。
    参与的学科从社会学、人类学和统计学扩张到经济学、政治学、传播学、文学、物理学、生物学和医学等学科。
    在这个过程中,除了以社会学为核心的研究继续得到巩固,还形成了以物理学和计算机科学为核心的不同流派。
    1998年,康奈尔大学的邓肯·瓦特(Duncan Watts)和斯蒂文·斯特罗加茨(Steven Strogatz)在《Nature》杂志上发表了一篇名为“小世界网络的集体动力学”(Collective dynamics of the 'Small World' networks)的论文。指出之所以会出现小世界现象,是由于某一类复杂网络的特性。他们注意到复杂网络可以按两个独立的结构特性分类,即集聚系数和节点间的平均路径长度。1999年,Barabási和Albert在《Science》杂志上发表的《随机网络中标度的涌现》一文中证明复杂网络的连接度普遍符合幂律分布。随后,很多研究者,尤其是物理学家开始关注各种复杂网络。
    于此同时,以康奈尔大学的Jon M. Kleinberg教授为代表的计算机科学研究者则主要针对社交网络数据的特点,运用与修改各种数据挖掘算法。提出了针对社交网络数据的基本算法,如著名的HITS和PAGERANK算法。


    1.1.7 社会网络分析的不同视角


    社会网络分析按照研究群体的不同可分为两种基本的类型:自我中心网络( Ego-centered Networks)分析和整体网络 (Whole Networks)分析。
    自我中心网络是从个体的角度来界定社会网络,以特定行动者为研究中心,主要考虑与该行动者相关的联系,以此来研究个体行为如何受到其人际网络关系的影响。
    而整体网络关注的焦点则是网络整体中角色关系的综合结构或群体中不同角色的关系结构。
    这两种类型的分析因其侧重点不同,主要使用的测量指标也不尽相同,但并非毫无联系。


    1.1.8 社会网络的测量与局限


    社会网络中的测量指标主要包括三种类型:对连接的测量、对个体的测量和对网络整体的测量
    这些指标都是静态量,可以通过计算它们在不同时间的值,反映网络的变化趋势
    社会网络分析直接反映的是社会现实,对于形成这些现实事件和过程的机制和原理缺乏解释


    1.1.9 社会网络中连接的测量

    1.1.10 社会网络中个体的测量

    1.1.11 社会网络中整体的测量

    1.2 社会网络的表示


    1.2.1 社会网络的基本概念


    网络Net
    网络是指由个人或组织所构成的社会结构。它由一些具体的关系类型,如:友情,亲属,伴侣,信息交换关系…所联系起来。

    节点node/point/vertexes (joint)
    节点或结点是网络中的基本单位的概括。它可以是代表:个人、社会团体或者集体行动者。
    连边connection/link/edge/line (tie)
    连边或边指联系行动者之间的关系,我们在考察网络时,不仅要知道网络之间的点是有联系的,而且要知道这些点之间是如何联系的。这就是连边的类型,如感情、金钱、信息等。任何可以将行动者结合在一起的力量和资源流动都可以做为连边。
    在社会学意义上解释复杂的纽带时,通常将它分为三种:物质的、符号的、情感的。


    1.2.2 社会网络的形式化表达

     

    1.2.3 社会网络的图形表达

    1.2.4 社会网络的矩阵表达

    1.2.5 四种类型的图

    1.2.6 无权无向图

    1.2.7 加权无向图

     

    1.2.8 无权有向图

    1.2.9 加权有向图

    1.2.10 图的数学表达


    一个图由节点和连边组成,记为G(V, L)。其中V={V1,V2,V3,…, VN}是节点的集合,L={l1, l2,l3,…,lK}是连边的集合。Li必须与V中的节点相关联,即Li的两个端点都在集合V中。
    N是网络中节点的总数,K是网络中连边的总数。
    当一个网络中任何两个节点之间都有连边时,这个网络是一个完全图(complete graph),K=N(N-1)/2。
    网络中一个特定的节点表示为Vi,一条连接Vi和Vj的连边表示为lij。当Vi和Vj之间有一条边时,它们被称为邻居或相邻点。
    由两两相邻的节点及其相关联的连边所构成的点-边序列被称为链。若链中的节点均不相同,则称为初等链。
    当一个图的任意两点之间至少有一条初等链时,这个图时一个连通图(connected graph)。
    连通图的另一个解释:
    在一个无向图G 中,若从节点i到节点j有路径相连(当然从j到i也一定有路径),则称i和j是连通的。如果 G 是有向图,那么连接i和j的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的,那么图被称作连通图。如果此图是有向图,则称为强连通图(注意:需要双向都有路径)。


    1.2.11 图的计算机表达


    邻接矩阵

    关联矩阵

    距离矩阵

    数值越大,距离越大吗?

    1.2.12二分网络


    二分网络有两种不同类型的节点,且只有不同类型节点之间有连边。二分网络可以简单表示为G(X, Y, E),X, Y分别表示两类节点,E表示两类节点之间的连边。

    二分网络也可以用邻接矩阵表示。在邻接矩阵中,若节点间存在连边则为1,否则为0。设X型、Y型节点数分别为m和n,由于同类型节点之间没有连边,因此二分网络的邻接矩阵可以表示为:

    思考:二分网络可以描绘怎样的社会现象?
    好莱坞电影演员网络就是二分网络的一个重要例子:其中一个节点集合对应着电影(记为U),另一个节点集合对应着演员(记为V)。如果某个演员出演了某部电影,则二者之间有一个链接。该二分网络的一个映射网络是演员网络——出演过同一部电影的两个演员之间彼此相连。另一个映射网络是电影网络——至少有一个演员相同的两部电影彼此相连。
    人员-任务

     

    1.2.12 何谓方向性


    有些连边是单向的,代表着资源或者信息流动的方向,这种关系具有不对称性。例:老师与同学之间是传输知识与接受知识的关系。有些连边是双向的,即是互惠性的。例:生意场上的合作伙伴。
    思考:计算机网络中的两个节点之间的连边是有向的还是无向的?


    1.2.13 何谓权重


    连边具有强度之分,这是指网络中位置间流动的资源的层次。一种定性的划分方法是:直接关系的强度大于间接关系,重要的关系大于次要的关系(如贩毒合作网)。一种定量的划分方法是:两个节点之间的联系频度或流量。
    思考:计算机网络中的两个节点之间的连边是无权的还是加权的?


    1.2.14 多层网络的表达


    媒体层面的引用网络

    国家层面的引用网络


    洲际层面的引用网络

    【思考】媒体引用网络的节点(尺寸)大小代表什么?

     

    1.2.15 网络随时间推移的变化

    展开全文
  • 基于复杂网络理论,建立客运专线网络模型,并计算该复杂网络模型的静态统计特征,包括度分布、聚类系数和平均路径长度,得出客运专线网络是典型的无标度复杂网络。分别在随机性攻击和选择性攻击两种模式下,从网络的...
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    复杂网络基本内容
    基于Python+NetworkX的实现

    课程链接:

    复杂网络建模:基于Python+NetworkX的实现_哔哩哔哩_bilibili

    老师讲的非常好,非常的详细。如果需要建议,直接去听老师的课程。这里只是我听课时的笔记。

    #### 课程的主要内容:

    1、图论基础
    2、复杂网络的统计特性
    3、随机网络
    4、小世界网络
    5、无标度网络(重点介绍ba无标度网络)
    6、网络鲁棒性
    7、网络上的传播现象(疾病的网络传播动力学)
    8、网络中的社团结构

    #### 课程的参考资料:

    1、《巴拉巴西网络科学》,本课程强烈推荐
    2、NetworkX的Document

    #### 常用的复杂网络构建工具:

    Pejek、NetworkX、Igraph、Gephi 

    网络定义了各个组件之间的交互;
    网络科学源于图论,但是两者并不等同:在图论中,需要开发抽象的数学工具;,以解析的方式来研究图,此时的研究对象是图;相反,在网络科学中,我们着重用建模的方式给出描述某种网络的特性,研究对象是网络 ;
    网络往往表现出高度的复杂性,表现在网络机构的复杂性,网络节点的复杂性;网络演化过程(动力学)的复杂性。

    #### 网络中一些常见的统计策略(网络的基本静态几何特征):

    - 连接矩阵;
    - 度,平均度,度分布;
    - 最短路径长度; 
    - 集聚系数;(邻居节点之间的连接程度,或者说朋友之间相互认识的程度)。平均集聚系数。全局聚集系数;
    - 网络的连通性;
    - 度度相关性;(描述了度大的节点和度小节点之间的关系,若两者倾向连接则度度正相关,反之负相关),用来区分同配网络和异配网络的一个指标;还有基于pearson相关系数的度-度相关性;
    - 网络的介数。有的节点虽然度很小但是属于两个社团的中间联系人,为了量化这样的节点,定义了一个关键的全局几何量——介数。介数分为节点介数,边介数。反应节点或者边在整个网络中的作用或者影响力;如何量化呢?可以用经过该节点的最短路径条数,比上两个节点间所有的最短路径条数。
    - 网络的核度。一个图的k核,是反复去掉 度值 小于k的节点及其连线后,所剩余的子图,该子图的节点数就是该核的大小。如果一个节点属于k核,不属于k+1核,则此节点的核度为k。节点核度的最大值叫做网络的核度。k核可以用来描述度分布所不能描述的网络特征。
    - 网络密度,指的是一个网络中各个节点之间联络的紧密程度。

    #### 几种常用的中心性指标:

    - 度中心性;分为节点度中心性(一个节点在与之相连的邻居节点中的中心程度),和网络度中心性(一个节点在整个网络的中心程度)。这个指标用来表征整个网络的集中和集权程度。即整个网络围绕一个节点或者一组节点运行的程度。具体如何操作,对度值做归一化处理;
    - 介数中心性,分为节点介数中心性和网络介数中心性;
    - 接近度中心性;
    - 特征向量中心性   -> Pagerank度中心性;

    #### 有向网络和加权网络的静态特征

    - 入度,出度;
    - 入度分布,出度分布;
    - 平均距离和效率;
    - 点权:与这个节点相连所有边的权重之和;
    - 单位权:点权处于该节点的度值,得到单位权;
    - 权重分布差异性:

    #### 网络科学发展的三个时期:

    1、规则网络,欧拉,1736年;
    2、随机网络,两位匈牙利科学家,Erdos,Renyi,1959
    3、复杂网络,Science,Nature上的两篇开山之作。1998,1999年。

    #### 规则网络

    1、孤立节点网络;
    2、全局耦合网络;
    3、星型网络;
    4、一维环;
    5、二维晶格;

    如何生成相应的网络

    #### ER随机网络

    1、众所周知,网络科学的目标是为了建立、再现真实网络特性的模型;

    随机网络的两种生成方式:
    1、G(N,l)模型;
    2、G(N,p)模型;

    ER随机网络的机构特性
    1、期望连边数;
    2、ER网络的平均距离和平均集聚系数;

    总结:ER随机网络具有,度分布近似服从泊松分布、平均距离短、聚集系数小等性质;

    ER随机网络的演化;

    1、当平均度<k>小于1时:亚临界,没有巨大的组件;
    2、<k>= 1时,临界;临界渗流概率,$ p_c = 1/N $
    3、<k> > 1时,超临界;存在一个巨大连通组件;
    4、<k> > lnN时,连通:生成的随机网络几乎是全连通的;


    对ER随机网络的总结:

    #### 小世界网络

    什么是小世界现象:六度分割;小世界现象意味着,随机选择两个节点之间的距离很短。
    1、怎么算短?
    2、如何解释短的现象?
    小世界网络的定义是: $d_max = \frac{lnN}{ln<k>}$

    3、怎么算小?
    小指的是,网络的平均路径长度或网络直径 和网络大小的关系是对数关系。
    即<d>正比于lnN

    小世界网络模型:
    WS小世界网络模型;

    NW小世界网络模型:

    除了上述两种生成小世界网络模型的方法外,还有很多其他种方法,比如加点,加边,去点,去边以及不同形式的交叉,等方法来产生小世界模型。

    小世界网络的结构特性:
    1、与ER随机图模型类似,WS小世界模型也是所有节点的度都近似相等的均匀网络;

    2、目前对于小世界网络模型的平均距离,还有解析表达式,newman和watts利用重整化群的方法给出了一个近似表达式:

    3、小世界网络的集聚系数; 
    有个结论:只要网络足够大,小世界行为在0 < p < 1范围内一定会出现;

    关键结论:一方面,只要几条边的随机重连就足以减少网络的平均距离(有点进化论的味道);另一方面,几条随机重连的边并不足以改变网络的局部集聚特性。

    这类既具有较短的平均距离又具有较高的集聚系数的网络就是典型的小世界网络;


    现实生活中的小世界网络和仿真的网络相比:平均路径长度差不太多,但是集聚系数差了好几个数量级。说明,真实世界中的集聚系数要远远大于随机网络的集聚系数。
     

    真实网络中的集聚系数,显著地偏离随机网络的预测结果:
     

    如何计算度和集聚系数之间的依赖关系?

    对WS小世界网络的总结:
    1、重连并不会改变网络的平均度;
    2、连边的数量也不会发生变化;
    3、度分布,近似泊松分布;
    4、平均距离短;
    5、集聚系数高;

    #### 无标度网络

    无标度性质
    1、什么是无标度呢?实际上是对网络度分布的一个描述;
    2、枢纽节点标志着,真实网络中蕴含着一种比随机性更深层次的组织原则;即无标度性质;
    3、离散和连续的幂率分布形式:


    4、度分布服从幂率分布的网络,被称为无标度网络。
    5、枢纽节点
    6、随机网络和无标度网络的主要区别体现在度分布的尾部,在无标度网络中,大量小度节点和少量拥有很多链接的枢纽节点共存。


    7、网络的大小,是如何影响枢纽的大小呢?
    网络的最大度,
    8、网络越大,其最大枢纽节点的度就越大,在大型无标度网络中,最大度和最小度之间可能相差几个数量级;
    9、有趣的结论:枢纽节点在随机网络中不存在,在无标度网络中却自然出现。高速公路 v.s. 机场


    10、无标度的含义和超小世界性质:无标度这个词具体有什么含义?
    (1)随机网络是有标度的,平均度k就可以作为随机网络的标度。
    (2)无标度网络是没有标度,因为二阶矩就可能无限大。直白的理解就是,你不能通过计算平均值来表达这个群落的基本情况;总之,无标度的含义是,网络中节点的度相差很大,缺少一个内在的标度

     

    11、如何知道一个网络是不是无标度网络?
    (1)看一下度分布;
    (2)测量,度指数;
    (3)看看真实网络中P_k的形状;

    12、枢纽节点会影响小世界性质么?


    重要结论:无标度网络中节点间的平均距离比随机网络中节点间的平均距离还要小;

    13、无标度网络,度指数的作用:
    (1)无标度网络和度指数\gamma相关,


    有没有一种可能,把不同脑区神经元构成的网络的度分布对应的gama值,在gama坐标轴上进行体现呢?
    (2)无标度网络的平均距离,超级小;

     

    14、无标度网络的特性概述:
    (1)度分布的两种形式:离散和连续;
    (2)最大枢纽节点的度,要远远大于普通小度节点;
    (3)当gamma介于2和3之间时,度的一阶矩是有限的,但是二阶矩是发散的;
    (5)当gamma大于3时,度的一阶矩和二阶矩都是有限的;[随机网络]
    (6)不同gamma值,对应的网络的平均距离满足此关系;

    BA无标度网络

    15、从icon网站上下载真实数据集

    复杂网络建模:基于Python+NetworkX的实现_哔哩哔哩_bilibili

    16、专门用来弥合幂率分布一个Python库   powerlaw
     

    17、生成符合幂率分布的度序列:
    https://www.bilibili.com/video/BV1WR4y1G7kH?p=42&t=0.7

    18、利用配置模型,生成特定度分布指数的无标度网络:
    https://www.bilibili.com/video/BV1WR4y1G7kH?p=43&t=5.2
    (1)第一步,先生成一个满足幂率分布的度序列;
    (2)利用此度序列,生成期望的无标度网络;
    需要注意的是,
    (1)配置模型包含了很多重连变,自环(但是这些在真实的环境中并不常见);
    (2)配置模型的平均度是不可控的;

    19、使用隐参数模型,生成给定度分布的无标度网络;
    (1)不会产生自环
    (2)不会产生多重连边;


     

    需要注意的是,隐参数模型也存在缺陷:
    (1)只有当N,节点数很大时,生成的无标度网络才比较准确。

    20、度保持的网络随机化
    具体场景是:你手上有一个真实的网络模型,然后你想生成一个具有相同节点数和边数的随机模型,或者每个节点的度值一样,但是连接的方式不一样的随机网络,调用networkX的double_edge_swap();

    在研究过程中,选择一个合适的随机化方法是非常重要的;

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    本文针对数学建模美赛中的复杂网络题,做了一些总结,具体涉及一些该题的注意事项。

    注意事项

    1. 定义点和边的意义
    2. 制定连接规则,删除孤立节点(代表影响很小的点),可以限制网络的大小,减小运算量,同时也可以克服PageRank的不足点
    3. 网络根据有向/无向,有环/无环,有/无标度,可以根据其性质,制定不同的算法,简化传统的算法
    4. 常用度量的指标:度,中心性,聚类系数,密度,中介性Degree, Centrality, Clustering coefficient,  Density,  Betweenness一定要将各种指标联系实际,分析每种情况的特性
    5. 结合现实考虑,即使简化了也要表明出来
    6. 除了重要性,还应该考虑节点的权威性(如时间)等现实因素
    7. 考虑节点的时间因素,现实中的一切都是因果的,比如引用模型中,只能引用比自己先发表的论文,而且此时满足偏序关系
    8. 注意关系的自反性、对称性、传递性
    9. 关系网络:相容关系、等价关系、偏序关系;对分析出来的关系做说明,即使没有什么用也可以说明,来体现对该网络性质的研究
    10. 对网络关系性质的分析也是一个重点,网络的性质和建立网络的规则有关,规则又是由实际的问题情况决定
    11. 网络的稳定性探究也是很重要的一点,可以分析参数对排序或者其他结果的影响,还可以考虑节点缺失对网络造成的影响
    12. 拥有关系和引用关系类似
    13. 对于性质类似的网络,对不同问题采用不同的量化方法,制定规则量化为适合模型的值,使得模型可以推广
    14. 对于一道题搭了几个网络,可以将这几个网络的性质进行对比分析,最好还能说出各自的用途
    15. 扩散可以用到矢量分析与场论的知识,用梯度、散度、旋度来分析
    16. 传染病模型也经常用在网络题里面
    17. 1959年,汉森首次提出了交通可达性的概念,这被定义为接受道路网络中节点之间相互作用的机会。
    18. 可以自己定义算法,把边的权重转换到点上,这样就可以使用修正的PageRank算法求解点的重要性

    使得初始时点的权重为1,但是每条边的传递权重不同,而其邻接边的权重相加仍然为1(参考2014C--25318

     

    编程和图表

    1. 对于外行难懂的复杂网络图,最好给出图的解释,各种东西代表什么
    2. 对自己定义的网络规则最好用图来展示一下
    3. 复杂网络考虑计算复杂度,特别是在有改进的情况下说明复杂度的改善
    4. 网络有很重要的一点就是测试其稳定性

    数据预处理

    1. 复杂网络的题也常常涉及大数据,对于空白数据的处理很重要,对于空缺太多的数据直接删掉
    2. 接着对剩余数据处理;或者通过聚类,被聚类到一起的点,空缺数值可以用该类中数值完整的值的均值和方差来生成;最常用的就是插值,不过没有什么亮点
    3. C/D题,数据支撑和合理性很重要
    4. 归一化、标准化、中心化特别重要,记得说明各自的意义

    ​​​​​​​过程

    1. 一开始建立各项指标,用数据对属性进行描述,为数据预处理提供依据。同时这些指标的分类不同,可能作用于底层网络或者顶层网络,可能是节点指标也可能是边的指标(可以给边加权,可以给点加权注意两种网络的适用算法不同)
    2. 接着设置算法,选择算法;结合实际的问题,分析其是否有什么不合理的地方,对于不合理的地方想一想改进的措施
    3. 必要时考虑一下计算复杂度,考虑是否改善,对复杂度改善后可以使用原算法来验证正确性;考虑是否有可以用来类比的模型
    4. 建立好静态的网络结构之后,接下来就是要确定规则(类似于仿真规则),使网络变成动态模型
    5. 网络的改善就是不停对规则进行更改
    6. 注意模型建立好之后先验证合理性,再应用​​​​​​​

    一般情况都用双层网络,既不会过于简单,也不会计算量太大

    相关性很强(同一地区、同一背景等)的各集团作为高一层的节点,底层的网络由各个单独的节点构成

    采用双层网络模型有两种思路:

    1、先手动根据节点的某种/某些相似性把一些满足相似性的节点规定为一个集团,各个集团作为上层网络的节点

    2、直接所有节点一视同仁,然后用节点划分的方法,对网络进行分割,分割后每个集团作为底层网络,然后更改边的类型,集团内保持不变,集团间建立新的连接方式

    灵敏性/稳健性分析

    1. 研究网络是否是无标度性。(有些结论已经有了,比如社交网络就是无标度,先了解背景,如果没有研究文献再自己计算)其实复杂网络的无标度特性与网络的鲁棒性分析具有密切的关系。无标度网络中幂律分布特性的存在极大地提高了高度数节点存在的可能性,因此,无标度网络同时显现出针对随机故障的鲁棒性和针对蓄意攻击的脆弱性。这种鲁棒且脆弱性对网络容错和抗攻击能力有很大影响。研究表明,无标度网络具有很强的容错性,但是对基于节点度值的选择性攻击而言,其抗攻击能力相当差,高度数节点的存在极大地削弱了网络的鲁棒性,一个恶意攻击者只需选择攻击网络很少的一部分高度数节点,就能使网络迅速瘫痪。
    2. 删除重要节点,看对网络的影响
    3. 改变指标值/删除指标,分析影响
    4. 用斜率来度量影响是一种非常常见的方法,和灵敏度分析中分析参数的影响类似,特别是有解析式的时候
    5. 网络一般分析结果都是
      从节点的变化分析
      从边的参数变化分析
      从这个网络的演变(传播过程)分析
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