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  • 浅谈矩阵的相似对角化(一)​zhuanlan.zhihu.com在上一篇文章我们证明了任意一个n阶矩阵可以相似对角化的充要条件是这个n阶矩阵有n个线性无关的特征向量,在本篇文章中我们一起讨论实对称矩阵的性质以及二次型的...

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    森屿瑾年:浅谈线性变换和矩阵之间的关系zhuanlan.zhihu.com
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    森屿瑾年:浅谈矩阵的相似对角化(一)zhuanlan.zhihu.com
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    在上一篇文章我们证明了任意一个n阶矩阵可以相似对角化的充要条件是这个n阶矩阵有n个线性无关的特征向量,在本篇文章中我们一起讨论实对称矩阵的性质以及二次型的标准化。

    我们先讨论实对称矩阵的一些特殊的性质:

    ,
    ,
    ,即矩阵
    是实数域
    上的一个n阶实对称矩阵,设复数
    为实对称矩阵
    的特征值,复向量
    为对应的特征向量,

    ,

    由于

    是实对称矩阵,所以
    ,故

    于是有

    综上有

    移向得

    因为

    ,所以
    ,

    所以

    ,即
    ,所以实对称矩阵
    的特征值均为实数。

    所以我们得到性质1:实对称矩阵的特征值均为实数。

    是实对称矩阵
    的两个特征值,
    是对应的特征向量,则有


    于是

    因为

    ,故
    ,即
    正交。

    所以我们得到性质2:实对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的。

    这条性质尤为重要,正是根据这条性质我们才能证明出实对称矩阵最重要的一条性质,即实对称矩阵一定可以用正交矩阵进行正交相似对角化。

    在上一篇文章中,我们知道任意一个n阶矩阵可以相似对角化的充要条件是这个n阶矩阵有n个线性无关的特征向量,在本篇文章,我们的主角是实对称矩阵,那么实对称矩阵怎样才可以相似对角化呢?

    答案是任意一个实对称矩阵都可以相似对角化,即等价于任意一个n阶的实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量,这个结论的证明较为复杂,在这里我们姑且当做结论记住,等笔者学过这部分的内容后再补充在这里。并且实对称矩阵还十分的特殊,不仅任意一个实对称矩阵可以用正交矩阵进行正交相似对角化,证明如下:

    证明:由于实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量,不妨设n阶实对称矩阵

    的n个线性无关的特征向量为
    ,则有

    由于

    线性无关,

    由于同一个特征值

    可以对应无穷多个特征向量,特征值
    对应的线性无关的特征向量为
    ,可以用施密特正交化将其化成标准正交基
    ,在
    中任意两个向量之间均是正交的,并且每个向量的模长均为1,同理可以将特征值
    对应的特征向量
    化成标准正交基
    ,由于
    是实对称矩阵,由性质2知
    也是一组标准正交基,于是我们可以通过反复使用施密特正交化的方法将特征值
    对应的特征向量
    化成一个正交矩阵

    因此有

    即实对称矩阵

    可以用正交矩阵进行相似对角化,因为正交矩阵的逆等于正交矩阵的转置,故有

    正是由于性质2的成立,即实对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的,所以才能够通过施密特正交化构造出正交矩阵,使得实对称矩阵正交相似与对角矩阵。

    因此我们得到性质3:实对称矩阵一定可以相似对角化,并且相似的对角矩阵为该实对称矩阵线性无关的特征向量对应的特征值按顺序排列在对角矩阵的对角线上,并且实对称矩阵还可以通过施密特正交化构造正交矩阵进行正交相似对角化。

    注:实对称可以用正交矩阵进行正交相似对角化,当然也可以用普通的矩阵进行相似对角化,具体问题应当具体分析。

    实对称矩阵的正交相似对角化正是我们将二次型化成标准型的理论基础,下面让我们来引出二次型标准化的相关问题

    所谓二次型,实际上指的是某一数域

    上的n元齐次多项式,任意一个n元二次型
    可以用这样的矩阵与向量的乘积表示,即

    ,
    ,其中

    于是

    ,其中
    是一个实对称矩阵,若是采用这样的形式表达式表示一个二次型,则每一个二次型与一个实对称矩阵是一一对应的。

    对于任意一个二次型,我们认为只含平方项的二次型的形式最为简洁,因此我们希望通过线性换元,使得原来的二次型化为只含有平方项的二次型,令

    , (
    为n阶可逆矩阵)带入原来的二次型的表达式

    ,则

    故二次型做线性替换后仍然是二次型。

    并且满足关系式

    ,称矩阵
    与矩阵
    为合同关系。

    回到刚才的问题,我们希望所做的线性替换

    使得矩阵
    为对角矩阵,这个问题等价于实对称矩阵的正交相似对角化问题,因为任意一个实对称矩阵一定可以进行正交相似对角化,故我们总可以找到这样的矩阵
    ,使得
    为对角矩阵。

    对于任意一个二次型

    ,我们给出将其化成标准型的一般方法:

    (1)写出二次型对应的实对称矩阵

    ;

    (2)求出二次型矩阵

    的特征值
    ;

    (3)将这些特征值反带回特征多项式

    ,求出二次型矩阵
    的n个线性无关的特征向量
    ;

    (4)将同一特征值对应的线性无关的特征向量进行施密特正交标准化,于是得到n个两两相互正交的单位向量

    ,将这n个两两正交的单位向量按照原来的顺序拼成一个正交矩阵
    ,于是有

    由于

    是正交矩阵,所以

    即我们要寻找的矩阵

    即为正交矩阵

    知,
    ,便可写出所做的线性变换。

    注:将二次型化成标准型之后的平方项的系数就是对角矩阵的对角线上的元素,也就是矩阵

    的特征值。

    在下篇文章中将继续介绍关于二次型理论部分的一些内容

    未完待续...

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  • 当Ak基本收敛到为上三角矩阵时,迭代完成,此时主对角元素就是特征值。 特别地:当A是对称阵的时候,Ak是对角阵Λ,Q=Qk-1Qk-2…Q1就是其正交特征向量矩,有QTAQ=Ak=Λ,即A正交对角化与Ak。 如何理解?我们看下图...

    一 QR原理

    理论依据:任意一个非奇异矩阵(满秩的方阵)A都可以分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积,且当R对角元符号确定时,分解是唯一的。QR分解是一种迭代方法,迭代格式如下: 在这里插入图片描述
    当Ak基本收敛到为上三角矩阵时,迭代完成,此时主对角元素就是特征值。

    特别地:当A是对称阵的时候,Ak是对角阵Λ,Q=Qk-1Qk-2…Q1就是其正交特征向量矩,有QTAQ=Ak=Λ,即A正交对角化与Ak。

    如何理解?我们看下图公式:
    在这里插入图片描述

    所以,QR迭代过程从数学的角度来想其实就是不断正交化的过程。

    二 QR算法步骤

    1.Householder变换进行QR分解

    反射矩阵:任取单位向量w,反射矩阵H=E-2WWT ,显然HHT =E,H是正交阵

    定理:任取两个模长相等的的向量x,y,一定存在一个反射矩阵H,使得Hx=y,
    此时w=(x-y)/(|x-y|)(向量的差除以向量差的模)

    应用:现在我们取矩阵的一列为x,m=|x|,y=m*[1,0,0,…0]T 根据上面的定理求出H,使得Hx=y,是不是通过正交变化就把那一列化成了[m,0,0,0]T ,这样就达到了将下三角元素全化为0的效果。看下图,举个例子来说明QR分解过程:
    在这里插入图片描述
    看懂上述过程就知道,Householder变换是利用了反射定理,经过n-1轮正交变换,将下三角元素全部化为0,从而得到上三角矩阵R,将所有H矩阵左乘运算再转置得到正交矩阵Q,即A=QR

    我们看看QR分解的代码:

    #QR分解
    def qrSplit(A):
        n=A.shape[0]#A的维度
        Q=[[]]
        R=A
        for i in range(0,n-1):
            B=R
            if i!=0:
                #删除一行一列,得n-1阶子阵
                B=B[i:,i:]
            #取第一列向量
            x=B[:,0]
            #向量摸长
            m=np.linalg.norm(x)
            #生成一个模长为m,其余项为0的向量y
            y=[0 for j in range(0,n-i)]
            y[0]=m
            #计算householder反射矩阵
            #w = (x-y)/||x-y||
            w=x-y
            w=w/np.linalg.norm(w)
            #H=E-2*WT*W
            H=np.eye(n-i)-2*np.dot(w.reshape(n-i,1),w.reshape(1,n-i))#H是个正交矩阵
            #第一次计算不需对正交正H升维
            if i==0: 
                #第一次迭代
                Q=H
                R=np.dot(H,R)
            else:
                #因为降了维度,所以要拼接单位矩阵
                D=np.c_[np.eye(i),np.zeros((i,n-i))]
                H=np.c_[np.zeros((n-i,i)),H]
                H=np.r_[D,H]
                #迭代计算正交矩阵Q和上三角R
                Q=np.dot(H,Q)
                R=np.dot(H,R)
        Q=Q.T
        return [Q,R]
    

    我们测试一下QR分解后是否能还原:

    A=np.array([1,2,3,4,2,1,2,3,3,2,1,2,4,3,2,1])
    A=A.reshape(4,4)
    print('A原来的样子')
    print(A)
    qr = qrSplit(A)
    print('打印Q,R')
    print(qr[0])
    print(qr[1])
    print('打印Q*R')
    print(np.dot(qr[0],qr[1]))
    

    在这里插入图片描述
    很明显,R下三角元素都非常小,可以认为是0.

    2.QR迭代

    上一步完成了QR分解,QR迭代就非常简单了,看代码:

    
    #QR迭代求特征值特征向量
    def  qrEgis(A):
        # QR迭代(尽量让它多迭代几次,以至于AK收敛为上三角)
        qr = []
        n = A.shape[0]  # A的维度
        Q = np.eye(n)
        for i in range(0, 100):
            # A=QR
            qr = qrSplit(A)
            # 将Q右边边累成
            Q = np.dot(Q,qr[0])
            # A1=RQ
            A = np.dot(qr[1], qr[0])
    
        AK = np.dot(qr[0], qr[1])
        #把e取出来
        e=[]
        for i in range(0,n):
            e.append(AK[i][i])
        #对特征值按升序排序,特征向量与其对应
        for i in range(0,n-1):
            min=e[i]
            for j in range(i+1,n):
                if e[j]<min:
                    min=e[j]
                    #交换特征值
                    tmp=e[i]
                    e[i]=e[j]
                    e[j]=tmp
                    #交换特征向量
                    r=np.copy(Q[:,i])
                    Q[:,i]=Q[:,j]
                    Q[:,j]=r;
        return [e,Q]
    

    我们输入一个对称阵,同时去求出它的特征值与特征向量,测试一下。
    并且与numpy自带的求解特征值、特征向量的做个对比,看代码:

    A=np.array([1,2,3,4,2,1,2,3,3,2,1,2,4,3,2,1])
    A=A.reshape(4,4)
    egis =qrEgis(A)
    print('自己写的QR分解')
    print(egis[0]);
    print('......')
    print(egis[1]);
    print('numpy自带的分解器')
    e,u=np.linalg.eigh(A);
    print(e)
    print('.....')
    print(u)
    

    在这里插入图片描述
    可以看出自己写的QR分解法和numpy自带的分解器求出的特征值是一样的。
    特征向量在数值上一样,符号不一样并没有关系,因为X和-X都是A的特征向量。

    注意:如果A不是对称阵,QR法只能求出全部特征值,不能同时求出特征向量。
    但是,已知特征值求特征向量可以采用反幂法。
    关于反幂法,学过数值分析的知道,其实也是一个迭代过程。

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  • 特征值是矩阵很重要的性质,当阶数过高的时候, 计算特征值就很困难,所以需要估计. 范数的内容参见 矩阵分析(1). 定理1: 设A的特征值为 λ1,λ2,.. λn. 则 |λi| ≤ ||A||, 其中矩阵范数为行范数和列范数. 且|λ...

    一. 特征值估计

    特征值是矩阵很重要的性质,当阶数过高的时候, 计算特征值就很困难,所以需要估计.

    范数的内容参见 矩阵分析(1).

    定理1: 设A的特征值为 λ1,λ2,.. λn. 则 |λi| ≤ ||A||, 其中矩阵范数为行范数和列范数. 且|λi|² ≤ ||A||, 其中矩阵范数为谱范数.

    定义盖尔圆盘(Gerschgorin): 方阵A = (aij),  令δi = A中第i行元素绝对值之和 - |aii|. 也就是δi 为 第i行除了对角元之外元素的绝对值之和.则盖尔圆Gi 为以aii为圆心,以δi为半径的圆盘.

    A有n个盖尔圆.


    定理2:  A的n个盖尔圆 G1, G2, .. Gn, 有以下特性: 

    1) A的任一特征值 λ ∈∪(i=1, n)Gi. 

    2) 孤立的盖尔圆内有且只有一个特征值, 联通的盖尔圆内,几个盖尔圆联通就有几个特征值.

    由盖尔圆的特性,可以总结出如下推论:

    1. 若原点不在A的盖尔圆内,则A非奇异.

    2. 若A对角占优, 即 |aii| > δi,(包括行对角占优和列对角占优), 则A非奇异.

    3. 若A的n个盖尔圆两两不相交,则A有n个互异的特征值,从而A是单纯矩阵.

    4. 若实方阵A有k个孤立的盖尔圆,则A至少有k个相异的实特征值. 事实上,A的n个盖尔圆的圆心都在实轴上,每个孤立的盖尔圆只有一个特征值,而实方阵若有复特征值,则必然成对出现.

    由于孤立的盖尔圆有好的属性,所以可以采用如下方法放缩盖尔圆:

    1)  对A^T使用盖尔圆定理. (一般没什么用)

    2) 选取适当正数 d1,d2,...dn , 令D = diag{ d1, d2, ... dn} , B = D A D^-1 , 则B的盖尔圆心不变, A与B相似,有相同特征值, di的选取办法是: 

    若di<1, 其余为1, 则A的第i个盖尔圆缩小,其余放大; 

    若di>1, 其余为1, 则A的第i个盖尔圆放大,其余缩小.


    二. 矩阵级数:

    在数学分析中, 是以序列极限理论为基础来讨论级数的.矩阵中的级数也很类似.

    矩阵A 收敛于A0的定义是, A中每一个元素都收敛于A0中对应的元素.

    定义1: 设{Ak}, m x n阶矩阵 Ak ∈ C, 称Σ(k=1,∞) Ak 为矩阵级数. 令Sn = Σ(k=1,n) Ak , 若{Sk} 收敛且有极限S, 则该级数Σ(k=1,∞) Ak 收敛并有和S.

    -绝对收敛的概念也类似, 每一个元的元素都绝对收敛则A绝对收敛.


    矩阵的幂级数: 形如Σ(m=0, ∞) cm A^m 的矩阵级数称为A的幂级数.(m为下标和次数).

    定理: 设复变量幂级数 Σ(m=0, ∞) cm z^m 的收敛半径为R, 方阵A的谱半径为 ρ(A), 则:

    当 ρ(A) < R时, 矩阵幂级数绝对收敛;

    当 ρ(A) > R时, 矩阵幂级数法矢.

    推论: Σ(m=0, ∞) A^m 收敛 等价于 ρ(A)  < 1 ,此时其和为 (I - A)^-1.






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    软件测试----等价类划分法和边界值分析法
    1、测试用例
    ​ 测什么?怎么测?

    2、测试方法
    2.1等价类划分法
    ​ 属于黑盒测试,它将不能穷举的测试过程进行分类,从而保证完整性和代表性;

    ​ 思考步骤:

    ​ 1、确定有效等价类和无效等价类

    ​ 2、有效等价类划分(题目条件,还要注意边界值(极值),中间再随意找个值)

    ​ 3、无效等价类划分(跟有效等价类相反,其它特殊情况(中文、英文、特殊符号、空格、空))

    ​ 注意:两个框要一个正确,一个错误,这样才能准确的判断;一定要根据需求来判断预期结果;

    ​ 等价类细节

    ​ 1、考虑输入长度

    ​ 2、考虑输入类型

    ​ 3、组成规则

    ​ 4、是否为空

    ​ 5、是否区分大小写

    ​ 6、是否重复

    ​ 7、是否去除空格

    ​ 案例:
    等价类划分法.png

    2.2边界值分析法
    ​ 我们在测试过程中,一定要小心边界值(极值),因为在程序 中这些边界值最容易出现问题;

    ​ 具体测试用例书写思路:找到边界值和它两端的值,分别进行测试。

    ​ 总结:边界值思路应该是选到边界和刚超过的值,来进行测试,也要根据实际情况来选择;边界值和等价类是相辅相成的关系,配合使用的。

    ​ 案例:
    边界值分析法笔记.png

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  • 本博客主要介绍在SLAM问题中常常出现的一些线性代数相关的知识,重点是如何采用矩阵分解的方法,...包括:1、三角分解(LU分解)2、QR分解3、特征值分解4、奇异值分解(SVD分解)5、LDLT分解6、LLT分解(Cholesky分解)
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  • 分析--复分析

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  • 复分析及其在数值数学中的应用 出版时间:2012年版 内容简介  《复分析及其在数值数学中的应用》主要介绍复分析的主要内容及其应用。全书共分15章和一个附录,主要包括函数的微分学与积分学,幂级数理论及Laurent...
  • 通过测定不同地点的6种不同变质...初步分析了煤岩的幅频特性,为试图利用煤岩电性频率域响应特征差异来反映不同变质程度构造煤及与其他岩矿石的导电机理及结构模型,进而为用电勘探物质组成与结构提供理论与实验基础。

空空如也

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复特征值分析法