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  • 关于矩阵运算的各种数值算法,包括实()矩阵求逆,对称正定矩阵与托伯利兹矩阵的求逆,线性方程组的常用解法,矩阵的各种分解方法,特征向量特征值的求解等等。
  • 1、设T是数域K上的线性空间的线性变换,且对K中某一数,存在非零向量,使得    成立,则称为T的特征值,x为T的...4、复数域上n*n矩阵A的n个特征值的几何意义是平面上的n个点 5、特征值的估计   更新中。。。...

    1、设T是数域K上的线性空间V^{n}的线性变换,且对K中某一数\lambda_{0},存在非零向量x\epsilon V^{n},使得

          Tx=\lambda_{0}x

          成立,则称\lambda _{0}为T的特征值,x为T的属于\lambda _{0}的特征向量

    2、特征矩阵\lambda I-A

    3、特征多项式为A的特征矩阵的行列式\det\letf(\lambda I-A)

    4、复数域上n*n矩阵A的n个特征值的几何意义是复平面上的n个点

    5、特征值的估计

     

    更新中。。。

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  • Hermite矩阵求特征值特征向量的问题转化为求解实对称阵的特征值特征向量
  • 0. 我们可以将特征值特征向量类比于信号与系统课程中的特征函数。在那里,系统对特征函数的作用相当于乘以一个()常数。  于是,我们可以将矩阵A想象为一个“系统”,输入到该系统的“信号”x可分解为特征...

    [作者:byeyear,首发于cnblogs.com,转载请注明。联系:east3@163.com]

    0. 我们可以将特征值与特征向量类比于信号与系统课程中的特征函数。在那里,系统对特征函数的作用相当于乘以一个(复)常数。

        于是,我们可以将矩阵A想象为一个“系统”,输入到该系统的“信号”x可分解为特征向量的加权和,

        这样,矩阵A这个“系统”对任意向量x的作用就可分解为A系统对特征向量作用的加权和。

    1. 一个例子:随机矩阵与其稳态向量q满足Aq=q,此时 特征值λ=1,特征向量即稳态向量q。

    2. 由Ax=λx,可以推出(A-λI)x=0。由于特征向量不能为0,该方程必须有非平凡解,因此A-λI不可逆;

        所以det(A-λI)=0。据此可解出所有λ,再跟据λ可解出特征向量。det(A-λI)=0称为特征方程。

    3. 根据齐次线性方程组的特点,一个特征值对应的特征向量有无限多个,且对应于λ的所有特征向量加上零向量可以构成向量空间,称为矩阵A对应于特征值λ的特征空间。

    4. n阶矩阵的特征方程是λ的n阶方程,如果将特征向量限制在R中,那么特征方程未必有解,即不是所有的矩阵都有R域中的特征值;但每一个矩阵一定存在n个复数域中的特征值(k重根按k个特征值计)。

    5. 设λ1,...λr是n阶矩阵的r个相异特征值,v1,...vr是对应的r个特征向量,那么向量集{v1,...vr}线性无关。

    6. 若存在可逆矩阵P使得两个n阶矩阵A,B满足A=PBP-1,则称A,B相似。

    7. 若n阶矩阵A,B相似,那么这两者有相同的特征多项式,从而有相同的特征值(包括相同的代数重数)。但特征向量一般不同!!!

    8. 特征向量的应用举例

        假设我们现在要分析xk+1=Axk,x0已知。如果我们能将x0分解为A的特征向量的线性组合,比如x0=c1v1+c2v2,v1,v2为A的特征向量,

        那么上述递归方程就能有一个简单的解法解出xk

        x1=Ax0

           =A(c1v1+c2v2)

           =c1Av1+c2Av2

           =c1λv1+c2λv2

        x2=Ax1

            =A(c1λv1+c2λv2)

            =c1λAv1+c2λAv2

            =c1λ2v1+c2λ2v2

        ...

        xk=c1λkv1+c2λkv2

    9. n阶矩阵可对角化的条件是A有n个线性无关的特征向量。

        若A=PDP-1,D为对角阵,那么P的列向量是A的n个线性无关的特征向量,D的主对角线元素是A的对应于P中特征向量的特征值。

        换言之,A可对角化的充分必要条件是有足够多的特征向量形成Rn的基。这样的基称为特征向量基。

    10. 某特征值对应的特征空间的维数小于或等于该特征值的代数重数。

    11. 矩阵A可对角化的充分必要条件是所有不同特征空间的维数和为n,即每个特征值对应特征空间的维数等于该特征值的代数重数。

    12. 若A可对角化,那么所有特征空间的基的向量的集合是Rn的特征向量基。

    13. 若V是n维向量空间,W是m维向量空间,T是V到W的线性变换,B和C分别是V和W的基,那么T相对于基B和C的矩阵为:

          M=[ [T(b1)]c  ...  [T(bn)]c ]

          用M来表示V到W的变换:

          [T(x)]c = M[x]B

          直观的解释:V中的任意一个向量都能表示为基B中各向量的线性组合,因此,只要知道了B中各向量经变换T后在W中的“样子”,就能知道V中任意向量经变换T后在W中的“样子”。

          若W=V,C=B,上式即简化为:

          [T(x)]B = [T]B[x]B

           此时M=[T]B,称为T相对于B的矩阵,或简称为T的B-矩阵。

    14. 设A=PDP-1,D为n阶对角矩阵,若Rn的基由P的列向量组成,那么D是变换x|->Ax的B-矩阵。

          写成表达式就是,若x|->Ax,那么[x]B|->D[x]B,[x]B是x在P的列向量所组成的基下的坐标。

          上面两个变换式x|->Ax和[x]B|->D[x]B描述的是相对于不同基的同一个线性变换。

          这也解释了什么叫做“相似”:两个相似矩阵可用来描述(相对于不同基的)同一个线性变换。

          实际上,上述表述中,D不一定要是对角矩阵。

         设y=Ax,且A可表示成PDP-1,那么:

         y=Ax

         => y=PDP-1x

         => P-1y=P-1PDP-1x

         => P-1y=DP-1x

         => (P-1y)=D(P-1x)

         P-1y和P-1x可分别看作y和x在Rn的基P下的坐标。

         对于差分方程xk+1=Axk,上式就成为:

         P-1xk+1=D(P-1xk)

         用w表示x在P下的坐标,就是:

         wK+1=Dwk

         矩阵A对角化后的最大优点是解耦了向量x的各分量。如果A可对角化,那么在A的特征向量基下,运算Ax将简化为各方向上的缩放(Du)。

     15. 

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  • 1. 共轭复特征值 设AAA是n×nn\times nn×n的实矩阵, Ax‾=Aˉxˉ=Axˉ \overline{Ax}=\bar{A}\bar{x}=A\bar{x} Ax=Aˉxˉ=Axˉ 假设λ\lambdaλ是AAA的特征值,xxx为λ\lambdaλ对应的特征向量,则λˉ\bar{\...

    1. 共轭复特征值

    AAn×nn\times n的实矩阵,
    Ax=Aˉxˉ=Axˉ \overline{Ax}=\bar{A}\bar{x}=A\bar{x}
    假设λ\lambdaAA的特征值,xxλ\lambda对应的特征向量,则λˉ\bar{\lambda}同样是AA的特征值,而xˉ\bar{x}是对应的特征向量,
    Axˉ=Ax=λx=λˉxˉ A\bar{x}=\overline{Ax}=\overline{\lambda x}=\bar{\lambda}\bar{x}

    所以,当AAn×nn\times n的实矩阵,它的复特征值以共轭复数对出现。

    2. rotation-scaling matrix

    假如aa,bb为实数,且不同时为0,则将下面的矩阵称为rotation-scaling matrix
    A=[abba](1) A=\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} \tag{1}
    则有,

    1. A可以写成下面的旋转+缩放形式,
      A=[abba]=[r00r][arbrbrar]=[r00r][cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)](2) \begin{aligned} A&=\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} r &0 \\ 0 &r \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{a}{r} & \frac{-b}{r}\\ \frac{b}{r}& \frac{a}{r} \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} r &0 \\ 0 &r \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta)& -\sin(\theta)\\ \sin(\theta)& \cos(\theta) \end{bmatrix} \\ \end{aligned} \tag{2}
      其中,r=det(A)=a2+b2r=\sqrt{\det(A)}=\sqrt{a^2+b^2},则AA先旋转θ\theta,再倍乘rr

    AA的特征值为λ=a±ib\lambda=a\pm ib

    3. 矩阵的复特征值

    首先我们假定下面的记号,
    Re(a+bi)=aIm(a+bi)=bRe(x+yiz+wi)=(xz)Im(x+yiz+wi)=(yw)(3) \begin{aligned} Re(a + bi) = a \\ Im(a + bi) = b \\ \operatorname{Re}\left(\begin{array}{l} x+y i \\ z+w i \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} x \\ z \end{array}\right) \\ \operatorname{Im}\left(\begin{array}{l} x+y i \\ z+w i \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} y \\ w \end{array}\right) \end{aligned} \tag{3}

    这里首先讨论的矩阵是2×22\times2的实矩阵,且矩阵有复特征值λ\lambda,而与特征值相对应的特征向量为vv这时候有个很漂亮的结论A=CBC1A=CBC^{-1},其中
    C=(Re(v)Im(v)) and B=(Re(λ)Im(λ)Im(λ)Re(λ))(4)C=\left(\begin{array}{cc} | & | \\ \operatorname{Re}(v) & \operatorname{Im}(v) \\ | & | \end{array}\right) \quad \text { and } \quad B=\left(\begin{array}{cc} \operatorname{Re}(\lambda) & \operatorname{Im}(\lambda) \\ -\operatorname{Im}(\lambda) & \operatorname{Re}(\lambda) \end{array}\right)\tag{4}
    其中BB矩阵为rotation-scaling matrix。

    为了证明矩阵AA的分解公式成立,我们首先证明CC是可逆的,即Re(v)\operatorname{Re}(v)Im(v)\operatorname{Im}(v)是线性无关的。用反证法,假设Re(v)\operatorname{Re}(v)Im(v)\operatorname{Im}(v)是线性相关的,则存在x,yx,y,使得,xRe(v)+yIm(v)=0x\operatorname{Re}(v)+y\operatorname{Im}(v)=0,则
    (y+ix)v=(y+ix)(Re(v)+iIm(v))=yRe(v)xIm(v)+(xRe(v)+yIm(v))i=yRe(v)xIm(v)(5) \begin{aligned} (y+i x) v &=(y+i x)(\operatorname{Re}(v)+i \operatorname{Im}(v)) \\ &=y \operatorname{Re}(v)-x \operatorname{Im}(v)+(x \operatorname{Re}(v)+y \operatorname{Im}(v)) i \\ &=y \operatorname{Re}(v)-x \operatorname{Im}(v) \end{aligned}\tag{5}
    (y+ix)v(y+i x) v依然是属于特征值λ\lambda的特征向量,而从式(5)可以得到(y+ix)v(y+i x) v是个实向量,而对于一个实矩阵的实特征向量对应的特征值一定是实的,但是和λ\lambda是复特征根矛盾,因此可证Re(v)\operatorname{Re}(v)Im(v)\operatorname{Im}(v)是线性无关的。

    此外,我们假设复特征值λ=a+bi\lambda=a+bi,同时对应的特征向量为v=(x+yiz+wi)v=\begin{pmatrix} x+yi \\ z+wi \end{pmatrix},则有,
    Av=λv=(a+bi)(x+yiz+wi)=((axby)+(ay+bx)i(azbw)+(aw+bz)i)=(axbyazbw)+i(ay+bxaw+bz)(6) \begin{aligned} A v=\lambda v &=(a+b i)\left(\begin{array}{c} x+y i \\ z+w i \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c} (a x-b y)+(a y+b x) i \\ (a z-b w)+(a w+b z) i \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c} a x-b y \\ a z-b w \end{array}\right)+i\left(\begin{array}{c} a y+b x \\ a w+b z \end{array}\right) \end{aligned}\tag{6}
    同时,
    A((xz)+i(yw))=A(xz)+iA(yw)=ARe(v)+iAIm(v)(7) A\left(\left(\begin{array}{l} x \\ z \end{array}\right)+i\left(\begin{array}{l} y \\ w \end{array}\right)\right)=A\left(\begin{array}{l} x \\ z \end{array}\right)+i A\left(\begin{array}{l} y \\ w \end{array}\right)=A \operatorname{Re}(v)+i A \operatorname{Im}(v)\tag{7}

    比较式(6)和(7),可以得到,
    ARe(v)=(axbyazbw)AIm(v)=(ay+bxaw+bz)(8)\operatorname{ARe}(v)=\left(\begin{array}{l} a x-b y \\ a z-b w \end{array}\right) \quad \operatorname{AIm}(v)=\left(\begin{array}{l} a y+b x \\ a w+b z \end{array}\right)\tag{8}

    接下来我们计算CBC1Re(v)C B C^{-1} \operatorname{Re}(v),和CBC1Im(v)C B C^{-1} \operatorname{Im}(v),由(4)式可以马上得到Ce1=Re(v)Ce_1=\operatorname{Re}(v),Ce2=Im(v)Ce_2=\operatorname{Im}(v)(自然基取对应的列),则有

    CBC1Re(v)=CBe1=C(ab)=aRe(v)bIm(v)=a(xz)b(yw)=(axbyazbw)=ARe(v)CBC1Im(v)=CBe2=C(ba)=bRe(v)+aIm(v)=b(xz)+a(yw)=(ay+bxaw+bz)=AIm(v)(9) \begin{aligned} C B C^{-1} \operatorname{Re}(v) &=C B e_{1}=C\left(\begin{array}{c} a \\ -b \end{array}\right)=a \operatorname{Re}(v)-b \operatorname{Im}(v) \\ &=a\left(\begin{array}{l} x \\ z \end{array}\right)-b\left(\begin{array}{l} y \\ w \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} a x-b y \\ a z-b w \end{array}\right)=A \operatorname{Re}(v) \\ C B C^{-1} \operatorname{Im}(v) &=C B e_{2}=C\left(\begin{array}{l} b \\ a \end{array}\right)=b \operatorname{Re}(v)+a \operatorname{Im}(v) \\ &=b\left(\begin{array}{l} x \\ z \end{array}\right)+a\left(\begin{array}{l} y \\ w \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a y+b x \\ a w+b z \end{array}\right)=A \operatorname{Im}(v) \end{aligned}\tag{9}
    因为Re(v)\operatorname{Re}(v)Im(v)\operatorname{Im}(v)的线性无关的,可以组成R2\mathbb{R}^2的基,对于任意的向量www=cRe(v)+dIm(v)w=c\operatorname{Re}(v)+d\operatorname{Im}(v),则有,
    Aw=A(cRe(v)+dIm(v))=cARe(v)+dAIm(v)=cCBC1Re(v)+dCBC1Im(v)=CBC1(cRe(v)+dIm(v))=CBC1w(10) \begin{aligned} A w &=A(\operatorname{cRe}(v)+d \operatorname{Im}(v)) \\ &=\operatorname{cARe}(v)+d A \operatorname{Im}(v) \\ &=c C B C^{-1} \operatorname{Re}(v)+d C B C^{-1} \operatorname{Im}(v) \\ &=C B C^{-1}(c \operatorname{Re}(v)+d \operatorname{Im}(v)) \\ &=C B C^{-1} w \end{aligned}\tag{10}

    因此A=CBC1A=C B C^{-1}
    对于AA的带有rotation-scaling matrix的分解,我们可以这么理解,AA中含有旋转和比例变换,矩阵CC提供了变量代换,如x=Cux=CuAA的作用相当于先将xx代换为uu,然后在CC所形成的基下利用BB矩阵进行旋转和缩放,旋转产生一个椭圆,然后将uu再变量代换回xx。注意,旋转是在CC所形成的基下,即顺着Re(v)\operatorname{Re}(v)Im(v)\operatorname{Im}(v)所形成的基旋转

    对于n×nn\times n矩阵,都有类似上述2×22\times 2矩阵的分解形式,下面以3×33\times 3为列,如果矩阵AA有一个实的特征值λ2\lambda_{2},一个复特征值λ1\lambda_{1},则λ1\overline{\lambda_{1}}为另外一个复特征值,λ2\lambda_{2}对应的实特征向量为v2v_2λ1\lambda_{1}对应的复特征向量为v1v_1,将AA分解为A=CBC1A=C B C^{-1},
    C=(Re(v1)Im(v1)v2)B=(Re(λ1)Im(λ1)0Im(λ1)Re(λ1)000λ2)(11) C=\left(\begin{array}{ccc} | & | & | \\ \operatorname{Re}\left(v_{1}\right) & \operatorname{Im}\left(v_{1}\right) & v_{2} \\ | & | & | \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ccc} \operatorname{Re}\left(\lambda_{1}\right) & \operatorname{Im}\left(\lambda_{1}\right) & 0 \\ -\operatorname{Im}\left(\lambda_{1}\right) & \operatorname{Re}\left(\lambda_{1}\right) & 0 \\ \hline 0 & 0 & \lambda_{2} \end{array}\right)\tag{11}
    对于上述矩阵AA,在R3\mathbb{R}^{3}中存在某个平面AA对平面的作用是旋转和缩放,该平面在AA的作用下是不变的。
    举一个例子,例如,
    A=[0.80.600.60.80001.07] A=\begin{bmatrix} 0.8 & -0.6 & 0 \\ 0.6 & 0.8 & 0 \\ 0 & 0 & 1.07 \end{bmatrix}
    上述矩阵AA与式(11)中的矩阵形式相同,如下图所示,对于x1x2x_1x_2平面(第三坐标为0)的任一向量w0w_0AA旋转到该平面的另外一个位置上,不在该平面的任一向量x0x_0的第三坐标乘1.07。下图显示了w0=(2,0,0)w_0=(2,0,0)x0=(2,0,1)x_0=(2,0,1)AA作用的迭代结果,w0w_0x1x2x_1x_2平面旋转,而x0x_0乘1.07后在旋转的同时也在盘旋上升

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  • hermit矩阵求特征值

    2011-03-07 10:01:23
    该程序求解了hermit矩阵的特征值特征向量
  • 机器学习教程「美团」算法工程师带你入门机器学习 已经开始更新了,欢迎大家订阅~ 任何关于算法、编程、AI行业知识或博客内容问题,可以随时扫码关注公众号「图灵猫」,加入”学习小组“,沙雕博...今天...

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    今天复习了一下线性代数,突然发现自己把最简单的东西都给忘了。。赶紧整理一下,其实这两个概念用三句话就能说清:

    特征向量:就是在某个线性变换下方向不变(也可以说具有保角性),其大小不变或乘以某个缩放因子的非零向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。

    特征值:就是上面说的那个缩放因子了,一般都是从特征方程算出来的(叫特征根),是变换的本质

    特征空间:就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间,还包括零向量,但要注意零向量本身不是特征向量。

    谱:其实就是特征值了,谱分解也和上面这三个东西有关。有空我们再细细讨论

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