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  • 0. 我们可以将特征值特征向量类比于信号与系统课程中的特征函数。在那里,系统对特征函数的作用相当于乘以一个()常数。  于是,我们可以将矩阵A想象为一个“系统”,输入到该系统的“信号”x可分解为特征...

    [作者:byeyear,首发于cnblogs.com,转载请注明。联系:east3@163.com]

    0. 我们可以将特征值与特征向量类比于信号与系统课程中的特征函数。在那里,系统对特征函数的作用相当于乘以一个(复)常数。

        于是,我们可以将矩阵A想象为一个“系统”,输入到该系统的“信号”x可分解为特征向量的加权和,

        这样,矩阵A这个“系统”对任意向量x的作用就可分解为A系统对特征向量作用的加权和。

    1. 一个例子:随机矩阵与其稳态向量q满足Aq=q,此时 特征值λ=1,特征向量即稳态向量q。

    2. 由Ax=λx,可以推出(A-λI)x=0。由于特征向量不能为0,该方程必须有非平凡解,因此A-λI不可逆;

        所以det(A-λI)=0。据此可解出所有λ,再跟据λ可解出特征向量。det(A-λI)=0称为特征方程。

    3. 根据齐次线性方程组的特点,一个特征值对应的特征向量有无限多个,且对应于λ的所有特征向量加上零向量可以构成向量空间,称为矩阵A对应于特征值λ的特征空间。

    4. n阶矩阵的特征方程是λ的n阶方程,如果将特征向量限制在R中,那么特征方程未必有解,即不是所有的矩阵都有R域中的特征值;但每一个矩阵一定存在n个复数域中的特征值(k重根按k个特征值计)。

    5. 设λ1,...λr是n阶矩阵的r个相异特征值,v1,...vr是对应的r个特征向量,那么向量集{v1,...vr}线性无关。

    6. 若存在可逆矩阵P使得两个n阶矩阵A,B满足A=PBP-1,则称A,B相似。

    7. 若n阶矩阵A,B相似,那么这两者有相同的特征多项式,从而有相同的特征值(包括相同的代数重数)。但特征向量一般不同!!!

    8. 特征向量的应用举例

        假设我们现在要分析xk+1=Axk,x0已知。如果我们能将x0分解为A的特征向量的线性组合,比如x0=c1v1+c2v2,v1,v2为A的特征向量,

        那么上述递归方程就能有一个简单的解法解出xk

        x1=Ax0

           =A(c1v1+c2v2)

           =c1Av1+c2Av2

           =c1λv1+c2λv2

        x2=Ax1

            =A(c1λv1+c2λv2)

            =c1λAv1+c2λAv2

            =c1λ2v1+c2λ2v2

        ...

        xk=c1λkv1+c2λkv2

    9. n阶矩阵可对角化的条件是A有n个线性无关的特征向量。

        若A=PDP-1,D为对角阵,那么P的列向量是A的n个线性无关的特征向量,D的主对角线元素是A的对应于P中特征向量的特征值。

        换言之,A可对角化的充分必要条件是有足够多的特征向量形成Rn的基。这样的基称为特征向量基。

    10. 某特征值对应的特征空间的维数小于或等于该特征值的代数重数。

    11. 矩阵A可对角化的充分必要条件是所有不同特征空间的维数和为n,即每个特征值对应特征空间的维数等于该特征值的代数重数。

    12. 若A可对角化,那么所有特征空间的基的向量的集合是Rn的特征向量基。

    13. 若V是n维向量空间,W是m维向量空间,T是V到W的线性变换,B和C分别是V和W的基,那么T相对于基B和C的矩阵为:

          M=[ [T(b1)]c  ...  [T(bn)]c ]

          用M来表示V到W的变换:

          [T(x)]c = M[x]B

          直观的解释:V中的任意一个向量都能表示为基B中各向量的线性组合,因此,只要知道了B中各向量经变换T后在W中的“样子”,就能知道V中任意向量经变换T后在W中的“样子”。

          若W=V,C=B,上式即简化为:

          [T(x)]B = [T]B[x]B

           此时M=[T]B,称为T相对于B的矩阵,或简称为T的B-矩阵。

    14. 设A=PDP-1,D为n阶对角矩阵,若Rn的基由P的列向量组成,那么D是变换x|->Ax的B-矩阵。

          写成表达式就是,若x|->Ax,那么[x]B|->D[x]B,[x]B是x在P的列向量所组成的基下的坐标。

          上面两个变换式x|->Ax和[x]B|->D[x]B描述的是相对于不同基的同一个线性变换。

          这也解释了什么叫做“相似”:两个相似矩阵可用来描述(相对于不同基的)同一个线性变换。

          实际上,上述表述中,D不一定要是对角矩阵。

         设y=Ax,且A可表示成PDP-1,那么:

         y=Ax

         => y=PDP-1x

         => P-1y=P-1PDP-1x

         => P-1y=DP-1x

         => (P-1y)=D(P-1x)

         P-1y和P-1x可分别看作y和x在Rn的基P下的坐标。

         对于差分方程xk+1=Axk,上式就成为:

         P-1xk+1=D(P-1xk)

         用w表示x在P下的坐标,就是:

         wK+1=Dwk

         矩阵A对角化后的最大优点是解耦了向量x的各分量。如果A可对角化,那么在A的特征向量基下,运算Ax将简化为各方向上的缩放(Du)。

     15. 

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    今天复习了一下线性代数,突然发现自己把最简单的东西都给忘了。。赶紧整理一下,其实这两个概念用三句话就能说清:

    特征向量:就是在某个线性变换下方向不变(也可以说具有保角性),其大小不变或乘以某个缩放因子的非零向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。

    特征值:就是上面说的那个缩放因子了,一般都是从特征方程算出来的(叫特征根),是变换的本质

    特征空间:就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间,还包括零向量,但要注意零向量本身不是特征向量。

    谱:其实就是特征值了,谱分解也和上面这三个东西有关。有空我们再细细讨论

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  • hermit矩阵求特征值

    2011-03-07 10:01:23
    该程序求解了hermit矩阵的特征值和特征向量
  • Hermite矩阵求特征值和特征向量的问题转化为求解实对称阵的特征值和特征向量
  • 目录Real and Imaginary Parts of Vectors 向量的实部虚部Eigenvalues and Eigenvectors of a Real Matrix That Acts on Cn\mathbb C^nCn This section shows that if the characteristic equation of a real ...

    本文为《Linear algebra and its applications》的读书笔记

    This section shows that if the characteristic equation of a real matrix AA has some complex roots, then these roots provide critical information about AA. The key is to let AA act on the space Cn\mathbb C^n of nn-tuples of complex numbers.

    The matrix eigenvalue–eigenvector theory already developed for Rn\mathbb R^n applies equally well to Cn\mathbb C^n. So a complex scalar λ\lambda satisfies det(AλI)=0det(A -\lambda I)= 0 if and only if there is a nonzero vector x\boldsymbol x in Cn\mathbb C^n such that Ax=λxA\boldsymbol x =\lambda \boldsymbol x. We call λ\lambda a (complex) eigenvalue and x\boldsymbol x a (complex) eigenvector corresponding to λ\lambda.

    EXAMPLE 2
    Let A=[.5.6.751.1]A =\begin{bmatrix} .5 &-.6\\.75&1.1\end{bmatrix}. Find the eigenvalues of AA, and find a basis for each eigenspace.
    SOLUTION
    The characteristic equation of AA is

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    For the eigenvalue λ=.8.6i\lambda =.8 - .6i , construct

    在这里插入图片描述
    Row reduction of the usual augmented matrix is quite unpleasant by hand because of the complex arithmetic. However, here is a nice observation that really simplifies matters: Since .8.6i.8 - .6i is an eigenvalue, the system

    在这里插入图片描述
    has a nontrivial solution. Therefore, both equations determine the same relationship between x1x_1 and x2x_2, and either equation can be used to express one variable in terms of the other.

    The second equation leads to

    在这里插入图片描述
    Choose x2=5x_2 = 5 to eliminate the decimals, and obtain x1=24ix_1 = -2 - 4i . A basis for the eigenspace corresponding to λ=.8.6i\lambda =.8 - .6i is

    在这里插入图片描述
    Analogous calculations for λ=.8+.6i\lambda=.8 +.6i produce the eigenvector

    在这里插入图片描述
    Surprisingly, the matrix AA in Example 2 determines a transformation xAx\boldsymbol x \mapsto A\boldsymbol x that is essentially a rotation.

    One way to see how multiplication by the matrix AA affects points is to plot an arbitrary initial point—say, x0=(2,0)\boldsymbol x_0 = (2, 0)—and then to plot successive images of this point under repeated multiplications by AA.

    在这里插入图片描述
    Of course, Figure 1 does not explain why the rotation occurs. The secret to the rotation is hidden in the real and imaginary parts(实部和虚部) of a complex eigenvector.

    Real and Imaginary Parts of Vectors 向量的实部和虚部

    The complex conjugate(共轭) of a complex vector x\boldsymbol x in Cn\mathbb C^n is the vector x\boldsymbol x in Cn\mathbb C^n whose entries are the complex conjugates of the entries in x\boldsymbol x. The real and imaginary parts of a complex vector x\boldsymbol x are the vectors RexRe\boldsymbol x and ImxIm\boldsymbol x in Rn\mathbb R^n formed from the real and imaginary parts of the entries of x\boldsymbol x.

    EXAMPLE 4
    If
    在这里插入图片描述
    , then

    在这里插入图片描述
    If BB is an m×nm \times n matrix with possibly complex entries, then B\overline B denotes the matrix whose entries are the complex conjugates of the entries in BB. Properties of conjugates for complex numbers carry over to(适用于) complex matrix algebra:

    在这里插入图片描述

    Eigenvalues and Eigenvectors of a Real Matrix That Acts on Cn\mathbb C^n

    Let AA be an n×nn \times n matrix whose entries are real. If λ\lambda is an eigenvalue of AA and x\boldsymbol x is a corresponding eigenvector in Cn\mathbb C^n, then

    在这里插入图片描述

    Hence λ\overline \lambda is also an eigenvalue of AA, with x\overline \boldsymbol x a corresponding eigenvector.

    This shows that when AA is real, its complex eigenvalues occur in conjugate pairs(以共轭复数对的形式出现). (Here and elsewhere, we use the term complex eigenvalue to refer to an eigenvalue λ=a+bi\lambda= a + bi , with b0b \neq 0.)

    The next example provides the basic “building block” for all real 2×22 \times 2 matrices with complex eigenvalues.

    EXAMPLE 6
    If C=[abba]C =\begin{bmatrix} a &-b\\b&a\end{bmatrix}, where aa and bb are real and not both zero, then the eigenvalues of CC are λ=a±bi\lambda= a \pm bi . Also, if r=λ=a2+b2r = |\lambda|=\sqrt{ a^2 + b^2}, then

    在这里插入图片描述
    where ϕ\phi is the angle between the positive xx-axis and the ray(射线) from (0,0)(0, 0) through (a,b)(a, b). The angle ϕ\phi is called the argumentargument (幅角) of λ=a+bi\lambda= a + bi .

    在这里插入图片描述

    Thus the transformation xCx\boldsymbol x\mapsto C\boldsymbol x may be viewed as the composition of a rotation through the angle ϕ\phi and a scaling by λ|\lambda| (see Figure 3).

    在这里插入图片描述

    Finally, we are ready to uncover the rotation that is hidden within a real matrix having a complex eigenvalue.

    EXAMPLE 7
    Let A=[.5.6.751.1]A =\begin{bmatrix} .5 &-.6\\.75&1.1\end{bmatrix}, λ=.8.6i\lambda=.8-.6i, and v1=[24i5]\boldsymbol v_1 =\begin{bmatrix} -2-4i\\5\end{bmatrix}, as in Example 2. Also, let PP be the 2×22 \times 2 real matrix

    在这里插入图片描述
    and let

    在这里插入图片描述
    By Example 6, CC is a pure rotation because λ2=(.8)2+(.6)2=1|\lambda|^2=(.8)^2+(.6)^2=1. From C=P1APC = P^{-1}AP, we obtain

    在这里插入图片描述
    Here is the rotation “inside” AA! The matrix PP provides a change of variable, say, x=Pu\boldsymbol x = P\boldsymbol u. The action of AA amounts to a change of variable from x\boldsymbol x to u\boldsymbol u, followed by a rotation, and then a return to the original variable. See Figure 4.

    在这里插入图片描述

    The rotation produces an ellipse, as in Figure 1, instead of a circle, because the coordinate system determined by the columns of PP is not rectangular and does not have equal unit lengths on the two axes.

    在这里插入图片描述
    PROOF
    The proof uses the fact that if the entries in AA are real, then A(Rex)=Re(Ax)A(Re\boldsymbol x)= Re(A\boldsymbol x) and A(Imx)=Im(Ax)A(Im\boldsymbol x)= Im(A\boldsymbol x)([Hint]: Write x=Rex+i(Imx)\boldsymbol x = Re \boldsymbol x + i(Im \boldsymbol x),), and if x\boldsymbol x is an eigenvector for a complex eigenvalue, then RexRe\boldsymbol x and ImxIm\boldsymbol x are linearly independent in R2\mathbb R^2.

    The phenomenon displayed in Example 7 persists in higher dimensions. For instance, if AA is a 3×33 \times 3 matrix with a complex eigenvalue, then there is a plane in R3\mathbb R^3 on which AA acts as a rotation (possibly combined with scaling). Every vector in that plane is rotated into another point on the same plane. We say that the plane is invariant under AA.

    EXAMPLE 8
    The matrix A=[.8.60.6.80001.07]A =\begin{bmatrix} .8 &-.6&0\\.6&.8&0\\0&0&1.07\end{bmatrix} has eigenvalues .8±.6i.8 \pm .6i and 1.07. Any vector w0\boldsymbol w_0 in the x1x2x_1x_2-plane (with third coordinate 0) is rotated by AA into another point in the plane. Any vector x0\boldsymbol x_0 not in the plane has its x3x_3-coordinate multiplied by 1.07.

    在这里插入图片描述

    Supplementary exercises

    Chapter 7 will focus on matrices AA with the property that AT=AA^T = A. We will show that every eigenvalue of such a matrix is necessarily real.

    Let AA be an n×nn \times n real matrix with the property that AT=AA^T = A, let x\boldsymbol x be any vector in Cn\mathbb C^n, and let q=xTAx\boldsymbol q = \overline\boldsymbol x^TA\boldsymbol x. The equalities below show that q\boldsymbol q is a real number by verifying that q=q\overline \boldsymbol q =\boldsymbol q.

    在这里插入图片描述
    Show that if Ax=λxA\boldsymbol x =\lambda \boldsymbol x for some nonzero vector x\boldsymbol x in Cn\mathbb C^n, then, in fact, λ\lambda is real and the real part of x\boldsymbol x is an eigenvector of AA.
    PROOF
    xTAx=λxTx\overline\boldsymbol x^TA\boldsymbol x=\lambda \overline\boldsymbol x^T\boldsymbol x

    Thus λxTx\lambda\overline\boldsymbol x^T\boldsymbol x is a real number. Since xTx\overline\boldsymbol x^T\boldsymbol x is clearly a real number, λ\lambda is real.

    Since the real part of x\boldsymbol x equals x+x2\frac{\boldsymbol x+\overline\boldsymbol x}{2} and Ax=λxA\overline\boldsymbol x=\lambda\overline\boldsymbol x,
    Ax+x2=12(Ax+Ax)=12(λx+λx)=λx+x2A\frac{\boldsymbol x+\overline\boldsymbol x}{2}=\frac{1}{2}(A\boldsymbol x+A\overline\boldsymbol x)=\frac{1}{2}(\lambda\boldsymbol x+\lambda\overline\boldsymbol x)=\lambda\frac{\boldsymbol x+\overline\boldsymbol x}{2}

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    第26讲 复矩阵;快速傅里叶变换

    Complex matrices; fast Fourier transform

    网易公开课open.163.com
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    实矩阵也可能有复特征值,因此无法避免在矩阵运算中碰到复数,本讲学习处理复数矩阵和复向量。

    最重要的复矩阵是傅里叶矩阵,它用于傅里叶变换。而对于大数据处理快速傅里叶变换(FFT)显得更为重要,它将矩阵乘法的运算次数从

    次降至
    次。
    • 复向量 Complex vectors

    对于给定的复向量z=

    ,其元素中有复数,因此
    无法给出向量的长度。例如:
    。则定义
    为向量长度。因此向量
    的长度就是
    。记
    。H来自于“Hermite”。

    与之相似,内积的定义也变为

    • 复矩阵 Complex matrices

    上一讲中讲到了对于复矩阵A,若有

    则复矩阵
    A的特征值为实数。这种复矩阵被称为埃尔米特矩阵(Hermitian matrixes)。又译作“厄米特矩阵”或者“厄米矩阵”。转置共轭记作

    例如矩阵

    为埃尔米特矩阵。它具有实数特征值和正交的特征向量。由性质可知埃尔米特矩阵对角线均为实数。

    此处向量标准正交的意思是

    。用n个标准正交的复向量作为列向量可以构造一个矩阵
    Q,则有
    。这个复空间的正交矩阵称为酉矩阵(unitary matrix)。
    • 傅里叶变换Fourier transform

    傅里叶级数是将周期函数或者信号变换为不同频率的三角函数的和函数。

    在电子工程或者计算机科学中,矩阵的行和列从第0行和第0列开始计数,最后到第n-1行和第n-1列。我们在讨论傅里叶矩阵的时候遵从这种习惯。

    ,傅里叶矩阵为对称矩阵
    。矩阵中的
    。矩阵的列向量正交。的方次分布在复平面的单位元上,只是幅角不同。当n=4时,

    从矩阵可以得到一个四点(离散的)傅里叶变换,它的逆矩阵就是反傅里叶变换。逆矩阵很容易计算,因为傅里叶矩阵列向量正交。实际上这个矩阵可以分解成一系列稀疏矩阵,并且它们的逆矩阵都很容易得到。

    计算可知列向量的模不是1,矩阵除以2之后,向量标准正交:

    。它的逆矩阵就是共轭转置。
    • 快速傅里叶变换 Fast Fourier transform

    对于64阶傅里叶矩阵

    中的
    与32阶傅里叶矩阵
    的元素
    相比,幅角是其一半,
    。可以从分块矩阵运算找到两者的联系:

    其中P是置换矩阵,而D为对角矩阵:

    P的效果是使得所乘的向量x序数为奇数的分量如x1,x3,x5等提到前面,而偶数分量x2,x4等放到后面。

    计算64阶傅里叶变换(傅里叶矩阵乘以向量)的计算量是64x64,而等式右侧的计算量是2x32x32(两个32阶)再加上一些修正项,修正项主要来自于与对角矩阵D的乘法,大约为32次。继续对F32进行分解,计算的运算量再一次下降变为2 (2x16x16+16)+32。分解到最后,仅剩修正项的运算,

    次。对于n阶矩阵,即将
    次计算降至
    次。例如对于1024阶矩阵,运算量从1024x1024降至5x1024。
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  • MATLAB矩阵运算(3)

    2012-01-14 21:16:00
    格式 [AA,BB,Q,Z,V] = qz(A,B) %A、B为方阵,产生上三角阵AABB,正交矩阵Q、Z或其列变换形式,V为特征向量阵。且满足:Q*A*Z= AA Q*B*Z = BB。 [AA,BB,Q,Z,V] = qz(A,B,flag) %产生由flag决定的分解结果,flag...

空空如也

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复特征向量和复特征值