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  • 纯C语言复矩阵SVD分解

    2020-09-24 14:09:31
    纯C语言实现svd算法,求得左右奇异矩阵,奇异值。自定义了复数类型,包含了QR分解,复矩阵之间的运算等函数
  • 实矩阵与复矩阵的LU分解,与教程计算验证无误,运行高效
  • 线性代数 复矩阵

    2020-08-13 22:46:22
    复向量与复矩阵 1.复向量的模长: 设列向量z∈C^n,则|z|=z.<bar>^T·z,记为|z|=z^H·z #<xxx>.bar表示取共轭;^H表示取共轭并转置 2.复向量的内积: 设列向量x,y∈C^n,则<x,y>=x^H·y #当x=y,内积...

    一.复向量与复矩阵
    1.复向量的模长:

    设列向量zCnz∈C^n,则z=zˉTz|z|=\bar z^T·z,记为z=zHz|z|=z^H·z
    注:z.bar表示取z的共轭;^H表示取共轭并转置

    2.复向量的内积:

    设列向量x,yCnx,y∈C^n,则<x,y>=xHy<x,y>=x^H·y
    #当x=y,内积就是x的模长
    特别地,若<x,y>=xHy=0<x,y>=x^H·y=0,则复列向量x,yx,y正交

    3.埃尔米特矩阵(Hermite Matrix):

    如果复矩阵AA满足AH=AA^H=A,则称AA为埃尔米特矩阵
    #(实)对称矩阵是埃尔米特矩阵中元素全为实数时的特殊情况

    性质:
    1.埃尔米特矩阵对角线上的元素一定是实数
    2.特征值均为实数,可以找到1组特征向量两两正交
    3.埃尔米塔矩阵是方阵

    4.酉矩阵(Unitary Matrix):

    若复矩阵QQ满足QHQ=IQ^H·Q=I,则称QQ为酉矩阵
    注:(实)正交矩阵是酉矩阵中元素全为实数时的特殊情况

    性质:
    1.酉矩阵的列向量组为单位正交复向量组
    2.酉矩阵是方阵

    二.傅里叶矩阵
    1.傅里叶矩阵(Fourier Matrix):

    nn阶傅里叶矩阵记为FnF_n
    Fn=[111...11WW2...Wn11W2W4...W2(n1)...............1Wn1W2(n1)...W(n1)2]  =(Wij)n(i,j=1,2...n1,Wn=ei2Πn)F_n=\left[\begin{matrix}1&1&1&...&1\\1&W&W^2&...&W^{n-1}\\1&W^2&W^4&...&W^{2(n-1)}\\...&...&...&...&...\\1&W^{n-1}&W^{2(n-1)}&...&W^{(n-1)^2}\end{matrix}\right]\\\quad\:\:=(W_{ij})_n\,(i,j=1,2...n-1,W_n=e^{i\frac{2Π}{n}})

    性质:
    1.傅里叶矩阵是1种特殊的酉矩阵,故其列向量组正交
    注:Fnn\frac{F_n}{\sqrt{n}}的列向量是单位正交向量组
    2.WkW^k的几何意义见下图
    3.Fn1=FHF_n^{-1}=F^H

    以4阶傅里叶矩阵为例:
    F4=[11111ii2i31i2i4i61i3i6i9]  =[11111i1i11111i1i]F_4=\left[\begin{matrix}1&1&1&1\\1&i&i^2&i^3\\1&i^2&i^4&i^6\\1&i^3&i^6&i^9\end{matrix}\right]\\\quad\:\,=\left[\begin{matrix}1&1&1&1\\1&i&-1&-i\\1&-1&1&-1\\1&-i&-1&i\end{matrix}\right]

    在这里插入图片描述
    2.傅里叶变换(Fourier Transform):

    对1个n维向量进行傅里叶变换相当于左乘FnF_n,进行傅里叶逆变换相当于左乘Fn1F_n^{-1}

    3.快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform):

    F4n=[I2nD2nI2nD2n][F2nF2n]P2n    =[I2nD2nI2nD2n][InDnInDnInDnInDn][FnFnFnFn][PnPn]P2n=...F_{4n}=\left[\begin{matrix}I_{2n}&D_{2n}\\I_{2n}&-D_{2n}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}F_{2n}\\&F_{2n}\end{matrix}\right]P_{2n}\\\quad\:\:\:\,=\left[\begin{matrix}I_{2n}&D_{2n}\\I_{2n}&-D_{2n}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}I_n&D_n\\I_n&D_n\\&&I_n&D_n\\&&I_n&D_n\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}F_n\\&F_n\\&&F_n\\&&&F_n\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}P_n\\&P_n\end{matrix}\right]P_{2n}\\\qquad=...

    注:①两个修正项分别为:
      1234...P2n=[11...111...1]12...2n2n+12n+2...4n\qquad\quad\:\:\begin{matrix}1&2&3&4&\quad&...&\end{matrix}\\P_{2n}=\left[\begin{matrix}1\\&&1\\&&&&...\\&&&&&&1\\&1\\&&&1\\&&&&&...\\&&&&&&&1\end{matrix}\right]\begin{matrix}1\\2\\...\\2n\\2n+1\\2n+2\\...\\4n\end{matrix}
    D2n=[1WW2...W2n1]D_{2n}=\left[\begin{matrix}1\\&W\\&&W^2\\&&&...\\&&&&W^{2n-1}\end{matrix}\right]
    ②将1个nn阶傅里叶矩阵完全分解后,计算次数将从n2n^2降低到n2log2n\frac{n}{2}log_2n

    展开全文
  • 矩阵的奇异值理论可以针对复矩阵,本文只讨论实矩阵,如果是复矩阵,只需将下述定理的正交矩阵改成酉矩阵,证明类似一、奇异值分解定理(奇异值分解定理)对于任意一个实矩阵 ,都可以找到两个正交矩阵 , ,使得 。...

    0617bad6276cf1ca22f12a08992946ab.png

    矩阵的奇异值理论可以针对复矩阵,本文只讨论实矩阵,如果是复矩阵,只需将下述定理的正交矩阵改成酉矩阵,证明类似

    一、奇异值分解定理

    (奇异值分解定理)对于任意一个实矩阵

    ,都可以找到两个正交矩阵
    ,使得

    其中

    是对角阵,对角线上的元素均非负且按递减顺序排列,
    ,
    的对角元素
    称为矩阵A的奇异值,
    的列向量称为
    的左奇异向量,
    的列向量称为
    的右奇异向量。

    证明、分以下几步进行

    1、构造矩阵

    由于矩阵

    是半正定矩阵,所以必然存在正交矩阵
    使得
    ,其中

    这样构造的矩阵

    正是定理中所需要的。为了后文证明方便,我们将矩阵
    写成分块矩阵的形式,即
    ,其中
    的列向量是
    的非零特征值对应的特征向量,
    的列向量是
    的零特征值对应的特征向量。由
    具有
    列,将
    的第
    列记为
    ,则:
    ,即

    又由于

    是正交矩阵:

    2、构造矩阵

    个正特征值由大到小记为
    ,它们的算术平均值依次记为
    ,构造矩阵

    从而构造出

    3、构造矩阵

    将矩阵

    的第
    列记为
    ,先构造矩阵
    的前
    列:

    现检验

    的列向量构成
    维空间的标准正交集:

    由基的扩充定理,可将该标准正交集扩充成

    维空间的一个标准正交基,即可以找到矩阵
    ,使得
    维正交矩阵,该矩阵就是定理中所需要寻找的
    。在实际计算
    时,可计算方程
    的基础解析,并将它
    正交化,再单位化。

    直接验证所找到的

    满足定理条件与结论:由构造过程,显然
    都是正交矩阵,
    也满足定理要求,此时

    倒数第二个等号用到上文

    式,最后一个等号用到上文
    式。证毕

    二、奇异值分解的性质

    下列性质的证明都较为简单,所以只叙述结论,不加证明。

    1、矩阵的秩等于矩阵的非零奇异值的个数(注、矩阵的秩不一定等于非零特征值的个数,例如非零的幂零矩阵的所有特征值都为0,但它的秩不为0)

    2、

    的列向量是
    的特征向量,
    的列向量是
    的特征向量,
    的非零奇异值(即
    的非零对角元是
    的非零特征值,也是
    的非零特征值)

    3、矩阵

    的奇异值分解中,
    的奇异值是唯一的,矩阵
    不是唯一的

    4、不妨设

    ,则矩阵的左右奇异向量有如下关系:

    在按证明过程计算

    时,
    的列向量组可以在
    的特征空间中任取一个标准正交系构成,
    确定后,
    的列向量组不能在
    的特征空间中任取一个标准正交系,因为
    的列向量组有一定的约束关系。可以直接按证明过程由
    构造

    5、矩阵

    个右奇异向量
    的列空间的一个标准正交基,用
    构造
    的线性映射
    ,则
    也是该映射的值域
    的一个标准正交基

    6、矩阵

    个右奇异向量
    构成了线性映射
    的零空间的一个标准正交基

    7、矩阵

    个左奇异向量
    构成了
    的列空间的一个标准正交基,也是线性映射
    的值域
    的一个标准正交基

    8、矩阵

    个左奇异向量
    构成了线性映射
    的零空间的一个标准正交基

    三、奇异值分解的理论与应用

    1、

    维空间到
    维空间的线性映射的算子范数

    定理一、

    方阵,考虑映射

    :
    ,对两个
    空间赋范,范数均定义为
    。计算线性映射的算子范数:
    (参考泛函分析教材)

    并将该范数定义为矩阵

    的算子范数,那么
    ,即矩阵的最大奇异值。

    证明、将

    的特征值从大到小排列如下:
    ,对应特征向量为
    ,由对称矩阵的性质,可将这些向量取为两两正交的单位向量,那么
    构成了
    维空间的一个标准正交基。在该空间中的任意一个单位向量
    可表示为:
    ,其中
    ,代入可得:

    一方面

    另一方面

    ,

    所以

    证毕。

    矩阵的算子范数性质与应用,例如

    (1)、定理一中的这种算子范数具有正交不变性

    (2)、

    的任意一个范数(不需要是定理一的这种范数)是对
    的谱半径
    (特征值的最大模)的上界的一个估计

    (3)、如果

    是实对称矩阵或正交阵,则
    (该范数按定理一中定义)

    (4)、如果两个空间取为相同的空间(两空间的范数定义要一致),但是两空间赋予与定理一不同的范数(定理一采用的范数是

    ),则可得到不同的算子范数,并有如下定理:对任意
    ,任意
    ,至少存在一种
    的算子范数,使得
    ,即矩阵的谱半径是它是算子范数的下确界。

    这些定理在矩阵级数,矩阵微积分,包括一些近似计算中都有重要应用。定理的证明与应用可参考《矩阵分析》、《矩阵论》之类的教材。

    2、矩阵在

    范数下的近似与逼近

    矩阵

    范数定义为:

    (1)、定理二、若

    是正交矩阵,则

    证明、该定理的证明是显然的,只需注意到正交变换是保距变化。

    由上述定理,结合奇异值分解定理可知:

    ,其中
    个正奇异值。

    (2)、矩阵的完全奇异值分解

    称为矩阵A的完全奇异值分解,用三个特殊矩阵
    可以完全复原矩阵
    。注意到矩阵
    的奇异值分解还可以表示为
    ,其中
    的列数,以及
    的阶等于矩阵的秩。在实际应用中,所涉及到的矩阵大多是稀疏的,即矩阵的行列数较多,而秩较小,所以常常用后式进行计算,可以极大地减少算法是时间复杂度。

    (3)、矩阵的截断奇异值分解

    在实际应用中所涉及到的矩阵,他的奇异值往往衰减得很快,因此我们可以将

    中的
    中的大量正的但是非常接近
    的奇异值置0,这样得到矩阵
    的一个近似。即只选取矩阵
    的前
    ,同时取
    阶顺序主子式
    ,将
    近似为
    ,若
    ,则
    ,对于数据的无损压缩。如果
    ,则
    ,对应数据的有损压缩。在实际应用中取
    。在应用中可以通过设定阈值的方式来确定
    的取值,例如希望保真在
    以上,则可通过寻找使得

    成立的最小的
    作为截断的
    。当然也可以根据实际问题设定其他的选取方法。这样得到的矩阵的近似表示称为矩阵的
    截断奇异值分解。

    (4)、 矩阵

    范数下的意义下的最优近似

    定理三、设矩阵

    ,
    中所有秩不超过
    的矩阵构成的集合,
    ,则存在秩为
    的矩阵
    ,使得

    定理四、设矩阵

    ,
    有奇异值分解
    中所有秩不超过
    的矩阵构成的集合,
    ,若秩为
    的矩阵
    ,满足
    ,则
    。其中矩阵
    是最小化
    的一个解。

    从这两个定理可以看出,矩阵

    截断奇异值分解是与
    同型的秩不超过
    的矩阵空间中,在
    范数(诱导的距离)意义下的一个最佳逼近元。

    3、矩阵的外积展开

    (1)、如果

    是实对称矩阵,特征值从大到小排列如下:
    ,对应特征向量为
    ,由对称矩阵的性质,可将这些向量取为两两正交的单位向量,那么
    构成了
    维空间的一个标准正交基,可将
    分解为特征向量的外积表示:

    证明、直接验证可知

    ,两边右乘
    ,证毕。

    上述通过特征值,特征向量的对矩阵进行展开的方法,需要该矩阵是实对称矩阵,要求较强,适用范围小。现通过矩阵的奇异值分解,导出一般方阵的外积展开方法

    (2)、对于一个一般矩阵

    ,有如下分解式:

    ,所有符号的意义与上文一致。

    证明:直接对

    展开即可。

    显然对矩阵的

    截断奇异值分解,有

    四、利用奇异值分解做图像压缩

    为了方便,我们采用灰度图像进行展示。原图如下所示

    b8e78b1a057b10b8b272a95d1f6d8548.png

    直接计算该图像矩阵

    的秩,行列数,可得到:
    。虽然它不是低秩矩阵,但是它的较多奇异值都接近0,我们依次取
    ,得到该图像的近似表示图如下所示:

    1cbff99d38024990f647f54f99621ce8.png

    可以看出,虽然原图像的秩为

    ,但是仅用20维就可以达到较高的逼近程度了,说明该图像矩阵的奇异值对图像显示有较大作用的集中体现在最大的前20个奇异值,后面大量奇异值非常接近0,对图像贡献较小,我们可直接将它置零,这样就实现了图像的压缩。图像用不同的格式进行表示,图像矩阵是不同的,但只是相差一个倍数。下面展示图像的前30位的奇异值的相对大小(所有奇异值除以最大的奇异值后,从大到小排列):

    4544232962686306c535409a397f4344.png
    图像前30为奇异值的相对比例
    展开全文
  • 复矩阵的一些特征量的界的新估计,俞龙坤,赵建国,本文通过利用近期关于矩阵特征值模的平方和的上界的研究成果,给出了矩阵秩和行列式上界的一些新估计,并利用矩阵展形的估计得到
  • MIT线性代数1806(27) 复矩阵 傅里叶矩阵变换 欧拉公式数学是上帝描述自然的符号。——黑格尔

    MIT线性代数1806(27) 复矩阵 傅里叶矩阵变换 欧拉公式

    数学是上帝描述自然的符号。——黑格尔


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  • 实矩阵也可能碰到复特征值,因此无可避免地在矩阵运算中碰到复数矩阵当然也有可能包含复数,最重要的复矩阵是傅立叶矩阵,它用于傅立叶变换。一种特殊的傅立叶变换是快速傅立叶变换(fast Fourier transform),简称...

    ba575128180f65e930dea8b9ce0ef1d0.png

    实矩阵也可能碰到复特征值,因此无可避免地在矩阵运算中碰到复数矩阵当然也有可能包含复数,最重要的复矩阵是傅立叶矩阵,它用于傅立叶变换。一种特殊的傅立叶变换是快速傅立叶变换(fast Fourier transform),简称FFT,在计算机中很常用,特别是涉及到大数据时,FFT将把傅立叶变换中的n阶方正阵乘法的运算次数从

    降低到
    ,这是一个巨大的进步。

    本文相关前置知识

    复数和复平面、复平面上的旋转

    傅立叶矩阵中w的形式是什么
    正交向量和正交矩阵 (格拉姆-施密特正交化)
    对称矩阵的特征值

    1 复向量

    先给出一个复向量,即向量的分量中至少有一个是复数:

    a508eec6a2f7a10713ba0b6b365b07c3.png

    虽然这个向量在表达上和普通的实向量没什么区别,但这个向量不再属于实空间

    ,而是属于复空间
    ,即
    维复空间。

    1.1 模长

    关于复向量的第一个问题是模长怎么计算?

    由于向量中有复数分量,再用过

    的方式是无法计算出模长的,比如下面的

    46b4f512881d1b34031c9a27f4388070.png

    但很明显,

    在复平面上的模长不是0:

    0e967f2d17d460269f3b69f17057d9e6.png

    我们知道一个复数的模长的平方等于这个复数与它的共轭复数的乘积,因此可以通过下面的方式计算复向量的模长:

    e1faadf837a0968199999b76eaa2da40.png

    通常用

    (H来自Hermite)表示共轭向量的转置:

    216005f52129af7ab84cc1db0d0af927.png

    1.2 点积

    与模长类似,如果有两个复向量pq,它们的点积也不能简单地定义成

    ,而是

    ca83cca8252be7abd38ec7a4c557955d.png

    复平面上有两个向量

    ,二者的点积是:

    e62e8c79cf8f721914dd2d19e46a4c04.png

    二者的点积是0,因此可以判断两个复向量互相垂直:

    568086e39fb59edfe57d139e4c5252c4.png

    2 复矩阵

    我们曾讲过,对于一个矩阵A来说,如果

    ,那么
    A是对称矩阵,实际上这个结论仅对实矩阵有效,对复矩阵可不管用。

    2.1 厄米特矩阵

    如果一个复矩阵是对称矩阵,那么:

    f404e9435f23d141d9f3ca8074824b70.png

    通常写作另一种方式:

    458279d5877f1b59077a589afa73d5ef.png

    这种对称复矩阵称为厄米特矩阵(或埃米特矩阵,Hermitian matrix),比如下面这个:

    1fe70476d72072d2d3f07652f9c2c291.png

    2.2 酉矩阵

    上一章讲到,一个复对称矩阵的特征值仍然是实数,且可以找到互相垂直的特征向量,其对角元素都是实数。 假设有一个由n个标准正交向量组成的复矩阵

    ,这里的正交意味:

    be0c09c42c2d962c9bfa1d6602d1584a.png

    这个复空间的正交矩阵Q称为酉矩阵(unitary matrix)。

    3 傅立叶矩阵和傅立叶快速变化

    傅立叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分,比如正弦波、方波、锯齿波等,傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。

    在电子工程或计算机中,n×n矩阵的行和列都是从0开始的,到n-1结束,由于傅立叶变换经常用在计算机上,所以我们在讨论傅立叶矩阵的时候遵从这种下标规则。

    3.1 傅立叶矩阵

    形如

    的复矩阵是傅立叶矩阵:

    685f519c65cb5cad222236c93c2fbd23.png

    矩阵中的每个元素都不为0,是个全矩阵。w是个特殊的值:

    89da3113f02bd6e04da6ebc420958cf4.png

    在计算w的乘方的时候,我们需要考虑用极坐标表示复平面。在极坐标下,w表示模长为1的向量从(1,0)开始,绕原点逆时针旋转了

    ,如此一来,我们就可以知道n等于任意值时w的位置,并且也同样知道w的乘方的位置。对于w来说,
    的模长仍然等于1,只是旋转的角度有所不同。比如n=6时,

    ef81debd1ccf0739dac734b9b0973c1b.png

    同理,n=4时,

    ,正好落在
    虚轴上,
    。我们写出4阶傅立叶矩阵
    v:

    499f84ce0bdee7fa671d816e7b32c91f.png

    傅立叶矩阵可以得到一个四点(离散的)傅立叶变换,它的逆矩阵可以得到傅立叶逆变换。此外,傅立叶矩阵的列向量是正交的,所以很容易求得逆矩阵。实际上傅立叶矩阵可以分解成一系列稀疏矩阵,这些矩阵有大量的0元素,所以相应的乘法和求逆都很简单。

    的列向量正交,这意味着任意两个列向量的点积为0,但如果你还是用过去的点积计算方法就会发现它并不是0(当然有时候会凑巧等于0),比如第2列和第4列:

    3d669b855891411933079c03923785d1.png

    上一章介绍过,复向量的点积不是这么算的,正确算法应该是取共轭的转置:

    4f4210a7550961570a99aeeb338fd65b.png

    的列向量的模长是2,为了使矩阵更完美,可以把它除以2,于是矩阵的各列就变成了标准正交向量:

    248926801438892876b5953b98e36b64.png

    对于标准正交的实矩阵来说,矩阵的逆等于矩阵的转置,傅立叶矩阵可化简为标准正交的复矩阵,具有同样的性质,

    的逆矩阵就是它共轭的转置:

    f63bfcd410211c16c9def201f818d831.png

    由于

    的逆矩阵就是
    共轭的转置,所以
    的逆矩阵和
    具有同样的性质。

    3.2 快速傅立叶变换

    什么是快速傅立叶变换呢?举个例子,

    之间存在着某种奇妙的联系,
    也一样,我们可以把这种联系描述出来。

    为例,
    是一个64阶方阵,
    ;同理对于
    来说,

    52547d739738fb240d7ecf37b9af002d.png

    的模长相等,
    的幅角是
    的2倍:

    014a73e86a17ca6f7a75c12916107b17.png

    既然如此,

    也应该存在某种联系。实际上
    与由两个
    和两个零矩阵构成的方阵有关:

    f86c6f13cc31ed4e03ec745c17f0106a.png

    这种分解称为快速傅立叶变换。其中P是一个

    的置换矩阵,D是由w的幂构成的对角矩阵:

    d370410025ace4ebfb899d405aa4070d.png

    P的效果是使得所乘行向量x中序号为奇数的分量

    提到前面,偶数序号的分量
    放到后面。例如:

    da2f9ffb4c9655f2cdcaf355d4a35157.png

    可以看到,快速傅立叶变换实际上使用的是分治算法。计算64阶傅立叶变换的计算量是

    ,而经过一次变换后,计算量变成了
    (2个32阶的傅立叶矩阵)再加上一些修正项,而修正项主要来自于和对角矩阵D的乘法,共32次。继续对
    进行分解……知道矩阵尺度为1。对于n阶矩阵,可将
    次计算降至(n/2) log2n。
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    千次阅读 2016-12-01 13:48:12
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  • matlab 复矩阵滤波

    2015-07-28 08:35:45
    SAR图像的矩阵是复数,matlab的自带的滤波器不能直接使用,所以自己编写改一下就可以了
  •  矩阵当然也有可能包含复数,最重要的复矩阵是傅立叶矩阵,它用于傅立叶变换。一种特殊的傅立叶变换是快速傅立叶变换(fast Fourier transform),简称FFT,在计算机中很常用,特别是涉及到大数...
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    2011-03-07 10:01:23
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空空如也

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