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  • 量子力学中的一项基本假定是代表力学量的算符是Hermite算符,由力学量算符的本征方程解出的全部本征值,就是相应力学量的...本文先从数学上严格证明了Hermite矩阵可以酉相似对角化,然后结合物理实例分析了其物理意义。
  • Note:PCA主成分分析用到实对称阵的相似对角化。1.对角阵概念2.矩阵与对角阵相似的条件3.一般矩阵的相似对角化4.实对称矩阵的相似对角化5.协方差矩阵的相似对角化(end)...

    Note:PCA主成分分析用到实对称阵的相似对角化,用个文章复习一下相关概念和计算过程。

    1.对角矩阵

    如果一个矩阵满足如下条件,则它就是一个对角阵:

    (1)是一个方阵

    (2)只有对角线元素是非零元素

    形状如:


    2.数量矩阵

    如果一个矩阵满足如下条件,则它就是一个数量矩阵:

    (1)是一个方阵

    (2)只有主对角线上元素是非零元素

    (3)主对角线上元素都相等!

    也就是:对角线元素都相等的对角矩阵是数量矩阵。

    可知单位矩阵E是数量矩阵的特殊情况

    3.正对角阵

    只有正对角线上元素为非零值时,称为正对角阵,如下所示:


    4.反对角阵

    只有副对角线上元素为非零值时,称为反对角阵,如下所示:


    5.线性相关、线性无关

    在下面理解矩阵与对角阵相似的过程中,涉及到了线性无关,记录下。

    线性相关:在一组数据中,有一个或者多个量可以被其余量表示

    线性无关:在一组数据中,没有一个量可以被其余量表示

    6.矩阵与对角阵相似的条件

    如果一个矩阵A满足如下条件,则此矩阵就可以说是对角矩阵相似:

    (1)A是一个方阵,因为对角阵是方阵

    (2)矩阵A有n个线性无关的特征向量


    如何用计算方阵A的特征值的方法来判断方阵A 是否与对角阵相似?

    答,步骤如下:

    (1)先求出方阵A的所有特征值

    (2)如果所有特征值互异,则方阵与对角阵相似

    即:如果n阶方阵A有n个互异的特征值,则方阵A与对角阵相似


    7.一般矩阵的相似对角化

    如果方阵A与对角阵相似,则一定存在一个可逆矩阵P,按照下面公式求出方阵A的相似对角矩阵

    求方阵A相似对角阵的步骤:


    8.一般矩阵对角化的练习题

    此例题来自:点我



    9.实对称矩阵的相似对角化

    方法:可以用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵

    10.实对称矩阵的相似对角化的练习题

    此例题来自:点我





    11.协方差矩阵的相似对角化

    因为协方差矩阵是实对称矩阵,所以协方差矩阵的对角阵求解方法 可以按照 实对称矩阵的对角阵求解方法来计算,如上所示。

    (end)

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  • 2 ,对角矩阵 : 定义 : 1 ,主对角线的元素不为 0 2 ,其他元素都为 0 例如 : 3 ,正定矩阵 : 定义 : 1 ,可以让非零实向量乘以他自己的转置 > 0 ,这样的矩阵叫正定矩阵 2 ,理解 : 把它的方向正过来 ...

    1 ,对称矩阵 :

    1. 定于 :
      1 ,如果 :矩阵 A = A 的转置
      2 ,那么 :A 为对称矩阵
    2. 如图 :
      在这里插入图片描述

    2 ,对角矩阵 :

    1. 定义 :
      1 ,主对角线的元素不为 0
      2 ,其他元素都为 0
    2. 例如 :
      在这里插入图片描述

    3 ,正定矩阵 :

    1. 定义 :
      1 ,可以让非零实向量乘以他自己的转置 > 0 ,这样的矩阵叫正定矩阵
      2 ,理解 : 把它的方向正过来
    2. 如图 :
      在这里插入图片描述

    4 ,相似矩阵 :

    1. 定义 :
      在这里插入图片描述

    5 ,对角化 :

    1. 定义 :
      1 ,如果一个矩阵的像是矩阵是一个对角矩阵
      2 ,则称这个过程是对角化
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  • 从本节开始,就不再关注线性方程组的解的结果或者具体的解如何求出。而是开始转而去关注矩阵的一些性质和拓展内容,这一节我将...我们称符合这样关系的的矩阵AD是相似的记作A~D 则A的幂可以通过求矩阵D的幂求得 Am...

    从本节开始,就不再关注线性方程组的解的结果或者具体的解如何求出。而是开始转而去关注矩阵的一些性质和拓展内容,这一节我将会介绍矩阵相似的概念。以及这个矩阵的相似的意义。

    先观察以下公式:
    若存在可逆矩阵P,使得一个关于矩阵A的等式如下成立:
    A = ( P D P − 1 ) A=(PDP^{-1}) A=(PDP1)
    我们称符合这样关系的的矩阵A与D是相似的记作A~D
    则A的幂可以通过求矩阵D的幂求得
    A m = ( P D P − 1 ) m = ( P D P − 1 ) ( P D P − 1 ) ( P D P − 1 ) . . . . . ( P D P − 1 ) = ( P D m P ) A^{m}=(PDP^{-1})^{m}=(PDP^{-1})(PDP^{-1})(PDP^{-1}).....(PDP^{-1})=(PD^{m}P) Am=(PDP1)m=(PDP1)(PDP1)(PDP1).....(PDP1)=(PDmP)

    因此,对于矩阵A的幂的求解,就转化为了对一个A的相似矩阵D的求解。若我们能够得出D是一个很简单的矩阵,例如对角矩阵,那么是不是就可以很简单的计算A的幂值呢?答案是肯定的。

    2 相似对角化

    刚刚说到,能够通过等式
    A = ( P D P − 1 ) A=(PDP^{-1}) A=(PDP1)
    找到可逆矩阵P,使得这个等式对于矩阵A和对角矩阵D成立就好了。这样一来,我们的问题就变成了,如何去找到一个这样的可逆矩阵P,使得经过以上等式成立呢,但是在找到这个可逆矩阵之前,我们必须要确定,矩阵A是可以进行对角化的(这个过程可以看成,我们需要找到一条路去对角化A,但是我们必须先确定这条路是存在的)
    下面证明:
    若存在:
    D = ( P − 1 A P ) = > P D = A P = > A ( a 1 , a 2 . . . . . a n ) = ( a 1 , a 2 . . . . . a n ) D = > ( A a 1 , A a 2 . . . . . A a n ) = ( λ 1 a 1 , λ 2 a 2 . . . . . λ n a n )   其 中 λ 是 对 角 矩 阵 对 角 线 上 的 常 数 项 。 D=(P^{-1}AP)\\=>PD=AP\\=>A(a_{1},a_{2}.....a_{n})=(a_{1},a_{2}.....a_{n})D\\=>(Aa_{1},Aa_{2}.....Aa_{n})=(\lambda_{1}a_{1},\lambda_{2}a_{2}.....\lambda_{n}a_{n}) \\ \ \\其中\lambda 是对角矩阵对角线上的常数项。 D=(P1AP)=>PD=AP=>A(a1,a2.....an)=(a1,a2.....an)D=>(Aa1,Aa2.....Aan)=(λ1a1,λ2a2.....λnan) λ线
    这样一来,若要使得上述等式成立,则若能够有n个这样的线性无关的列向量
    ( a 1 , a 2 . . . . . a n ) (a_{1},a_{2}.....a_{n}) (a1,a2.....an)
    使得:
    A a i = λ i a i Aa_{i}=\lambda_{i}a_{i} Aai=λiai
    成立。
    所以我们可以得出结论,若n阶矩阵A能够相似于对角矩阵D的充要条件就是:存在n个线性无关的列向量,以及存在n个数,使得 A a i = λ i a i Aa_{i}=\lambda_{i}a_{i} Aai=λiai
    成立。

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  • 一、相似矩阵 定义: 设A,BA,BA,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵PPP,使: 则称BBB是AAA的相似矩阵,或者说AAA和BBB相似。 1.1 线性变换: 首先从函数说起 1.1.1 线性函数: 函数直观的讲,就是把x轴上的点映射到曲线上...

    同济版线性代数中对相似矩阵进行了如下的定义:

    A , B A,B A,B都是 n n n阶矩阵,若有可逆矩阵 P P P,使 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P1AP=B,则称 B B B A A A的相似矩阵,或说 A A A B B B相似。

    接下来对相似矩阵进行具体解释

    1 线性变换

    1.1 线性函数

    函数直观地将,就是将 x x x轴上的点映射到曲线上(下面是函数 y = sin ⁡ ( x ) y=\sin(x) y=sin(x)的图像,这就是将 x x x轴上的点映射到了正弦曲线上):

    在这里插入图片描述
    例如 y = x y=x y=x这样将 x x x轴上点映射到直线的函数,我们称为线性函数:

    在这里插入图片描述

    1.2 从线性函数到线性变换

    线性函数其实就是线性变换,为了看起来更像线性变换,这里换一种标记方法:

    之前的 y = x y=x y=x,可以认为是把 ( a , 0 ) (a,0) (a,0)映射到了 ( 0 , a ) (0,a) (0,a)点,这被称为线性变换T,记作:
    在这里插入图片描述
    矩阵的形式如下:
    在这里插入图片描述
    这里将 ( a , 0 ) (a,0) (a,0)替换为平面内所有的点 ( a , b ) (a,b) (a,b),我们就可以对整个平面做变换,该线性变换记作:
    在这里插入图片描述
    写成矩阵的形式:
    在这里插入图片描述
    我们记:
    在这里插入图片描述
    这时可以得到一个更简便的记法(这种形式看起来更像线性方程 y = a x y=ax y=ax):
    在这里插入图片描述
    我们已经假定 y → , x → \overrightarrow{y},\overrightarrow{x} y ,x 指代了平面上所有的点,所以干脆可以更简化为:

    线性变换通过矩阵A来表示

    而y=x不过是这个A的一个特殊情况

    1.4 矩阵A与基

    刚才的结论其实是不完整的,还缺少了一个信息:
    y=x是基于直角坐标系的,通过这个转换:
    在这里插入图片描述
    得到的A也是基于直角坐标系的。
    只是在线性变换中,我们不称之为直角坐标系,而是叫做标准正交基。
    标准正交基是:
    在这里插入图片描述
    它们张成的线性空间如下:

    在这里插入图片描述
    这里,对前面的结论进行一个补充:

    线性变换通过指定基下的矩阵A来表示

    注意这个”指定基“,这说明基不一定固定为正交基,由此引出相似矩阵的概念。

    二、相似矩阵

    2.1 定义:

    A , B A,B A,B都是n阶矩阵,若有n阶可逆矩阵 P P P,使:
    在这里插入图片描述
    则称 B B B A A A的相似矩阵,或者说 A A A B B B相似。

    2.2 解释

    在这里插入图片描述
    那怎么得到不同基下的矩阵呢? 这里看下具体的变换细节。

    2.2.1 细节

    首先看一个图,下面给出关于图的解释:
    在这里插入图片描述

    • 有两个基: V 1 : { i → , j → } V_1:\{\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\} V1:{i ,j } { i ′ → , j ′ → } \{\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}\} {i ,j }
    • V 1 → V 2 V1\to V2 V1V2,可以通过 P − 1 P^{-1} P1转换
    • V 2 → V 1 V2\to V1 V2V1,可以通过 P P P转换

    整个转换的核心如下:

    在这里插入图片描述
    对上面的图进行解释:

    • v ′ → \overrightarrow{v'} v V 2 V_2 V2的点
    • v ′ → \overrightarrow{v'} v 通过 P P P变为 V 1 V_1 V1下的点,即 P v ′ → P\overrightarrow{v'} Pv
    • V 1 V_1 V1下,通过矩阵 A A A完成线性变换,即 A P v ′ → AP\overrightarrow{v'} APv
    • 通过 P − 1 P^{-1} P1变回 V 2 V_2 V2下的点,即 P − 1 A P v ′ → P^{-1}AP\overrightarrow{v'} P1APv

    综上,我们可以有:
    在这里插入图片描述
    我们可以认为:
    在这里插入图片描述
    那么B和A互为相似矩阵。

    这里还有一个细节: V 2 → V 1 V_2\to V_1 V2V1的转换矩阵 P P P是什么?
    首先看空间中的一个点,假设为 m m m点:
    在这里插入图片描述
    这时我们知道,不管有没有基,这个点都是客观存在的,然后给出其在 i ′ → , j ′ → \overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'} i ,j 的坐标 v ′ → \overrightarrow{v'} v
    在这里插入图片描述
    为了表示 v ′ → \overrightarrow{v'} v i ′ → , j ′ → \overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'} i ,j 下的坐标,我们写成这样:
    在这里插入图片描述
    如果我们知道了 i ′ → , j ′ → \overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'} i ,j i → , j → \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} i ,j 下的坐标:
    在这里插入图片描述
    那么有:
    v ′ → = a i ′ → + j ′ → = a ( c i → + d j → ) + b ( e i → + f j → ) \overrightarrow{v'}=a\overrightarrow{i'}+\overrightarrow{j'}=a(c\overrightarrow{i}+d\overrightarrow{j})+b(e\overrightarrow{i}+f\overrightarrow{j}) v =ai +j =a(ci +dj )+b(ei +fj )

    此时,实际上m点的坐标,已经变到了 i → , j → \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} i ,j 下的 v → \overrightarrow{v} v
    在这里插入图片描述
    继续推导:
    在这里插入图片描述
    所以P其实就是:
    在这里插入图片描述
    这里的 i ′ → , j ′ → \overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'} i ,j 是在 i → , j → \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} i ,j 下的坐标。

    2.2.2 对角矩阵

    为什么我们需要相似矩阵呢?
    比如A这个矩阵:
    在这里插入图片描述
    可以这样分解:
    在这里插入图片描述
    其中:

    在这里插入图片描述
    B就是对角矩阵,看上去好看很多,相似变换其实就是坐标转换,转换到一个更方便计算的简单坐标系。

    https://www.matongxue.com/madocs/491.html

    2.3 相似的性质:

    1. 反身性: A ∽ A ( I − 1 A I = A ) A\backsim A\quad(I^{-1}AI=A) AA(I1AI=A)
    2. 对称性: A ∽ B ⇒ B ∽ A A\backsim B\rArr B\backsim A ABBA
      ( A ∽ B ⇒ P − 1 A P = B ⇒ A = ( P − 1 ) − 1 B P − 1 ) (A\backsim B\rArr P^{-1}AP=B\rArr A=(P^{-1})^{-1}BP^{-1}) (ABP1AP=BA=(P1)1BP1)
    3. 传递性: A ∽ B , B ∽ C , ⇒ A ∽ C A\backsim B,B\backsim C,\rArr A\backsim C AB,BC,AC
      P 1 − 1 A P 1 = B , P 2 − 1 B P 2 = C P_1^{-1}AP_1=B,P_2^{-1}BP_2=C P11AP1=B,P21BP2=C
      ∴ P 2 − 1 P 1 − 1 A P 2 P 1 = C \therefore P_2^{-1}P_1^{-1}AP_2P_1=C P21P11AP2P1=C
      ∴ ( P 1 P 2 ) − 1 A ( P 1 P 2 ) = C \therefore (P_1P_2)^{-1}A(P_1P_2)=C (P1P2)1A(P1P2)=C
    4. 相似矩阵的秩相同

    三、对角矩阵

    3.1 矩阵可对角化

    如果矩阵 A A A能与对角矩阵相似,则称 A A A可对角化
    例子:
    A = [ 1 1 2 2 ] , P = [ 1 − 1 2 1 ] A=\begin{bmatrix}1&1\\2&2\end{bmatrix},P=\begin{bmatrix}1&-1\\2&1\end{bmatrix} A=[1212],P=[1211] ,则有:
    P − 1 A P = [ 3 0 0 0 ] P^{-1}AP=\begin{bmatrix}3&0\\0&0\end{bmatrix} P1AP=[3000]
    即: A ∽ [ 3 0 0 0 ] A\backsim\begin{bmatrix}3&0\\0&0\end{bmatrix} A[3000]
    从而 A A A可对角化

    3.2 可对角化的条件

    3.2.1 定理1:n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量

    证明:
    必要性:
    如果A可对角化,则存在可逆矩阵P,使得:
    A = [ λ 1 0 0 … 0 0 λ 2 0 … 0 ⋮ … … ⋱ ⋮ 0 0 0 … λ n ] A=\begin{bmatrix}\lambda_1&0&0&\dots&0\\0&\lambda_2&0&\dots&0\\\vdots&\dots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\dots&\lambda_n\end{bmatrix} A=λ1000λ2000000λn

    将P按列分块得到 P = [ X 1 , X 2 , . . . , X n ] P=[X_1,X_2,...,X_n] P=[X1,X2,...,Xn],从而有:

    A P = A [ X 1 , X 2 , . . . , X n ] = P [ λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ … ⋱ ⋮ 0 0 … λ n ] = [ X 1 , X 2 , . . . , X n ] [ λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ … ⋱ ⋮ 0 0 … λ n ] AP=A[X_1,X_2,...,X_n]=P\begin{bmatrix}\lambda_1&0&\dots&0\\0&\lambda_2&\dots&0\\\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&\lambda_n\end{bmatrix}=[X_1,X_2,...,X_n]\begin{bmatrix}\lambda_1&0&\dots&0\\0&\lambda_2&\dots&0\\\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&\lambda_n\end{bmatrix} AP=A[X1,X2,...,Xn]=Pλ1000λ2000λn=[X1,X2,...,Xn]λ1000λ2000λn
    因此有:
    A X i = λ i X i ( i = 1 , 2 , . . . , n ) AX_i=\lambda_iX_i\quad(i=1,2,...,n) AXi=λiXi(i=1,2,...,n),所以 X i X_i Xi是A的属于特征值 λ i \lambda_i λi的特征向量,又由P可逆,知 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn线性无关,故A有n个线性无关的特征向量。

    3.2.2 定理2:矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的
    3.2.3 推论1:若n阶矩阵有n个互不相同的特征值 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n λ1,λ2,...,λn,则A可对角化,且:

    在这里插入图片描述

    3.2.4 定理三

    在这里插入图片描述

    https://wenku.baidu.com/view/58dcd9d376eeaeaad1f33024.html

    3.3 对角矩阵的性质

    3.3.1 对角矩阵的秩等于其对角线上非零元素的个数。

    四、可逆矩阵

    4.1 定义

    设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使得:
    A B = B A = I AB=BA=I AB=BA=I
    则称A为可逆矩阵,B为A的逆矩阵,记为 A − 1 = B A^{-1}=B A1=B

    单位矩阵I:
    I − 1 = I I^{-1}=I I1=I
    ( k I ) − 1 = 1 k I , ( k ≠ 0 ) (kI)^{-1}={1\over k}I,(k\ne0) (kI)1=k1I,(k=0)

    对角矩阵:

    D= [ d 1 0 … 0 0 d 2 … 0 ⋮ … ⋱ ⋮ 0 0 … d n ] , ( d 1 , d 2 , . . . d n ≠ 0 ) ; D − 1 = [ 1 d 1 0 … 0 0 1 d 2 … 0 ⋮ … ⋱ ⋮ 0 0 … 1 d n ] \begin{bmatrix}d_1&0&\dots&0\\0&d_2&\dots&0\\\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&d_n\end{bmatrix},(d_1,d_2,...d_n\ne0);\quad D^{-1}=\begin{bmatrix}{1\over d_1}&0&\dots&0\\0&{1\over d_2}&\dots&0\\\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&{1\over d_n}\end{bmatrix} d1000d2000dn,(d1,d2,...dn=0);D1=d11000d21000dn1

    4.2 定理

    4.2.1 定理1:设A可逆,则它的逆是唯一的

    证明:
    设有B和C满足:AB=BA=I,AC=CA=I
    则:B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C

    4.2.2 定理2:设A为n阶矩阵,则下列命题等价:
    1. A是可逆的
    2. AX=0只有零解
      1 → 2 : 设 A 是 可 逆 的 , 且 X 是 A X = 0 的 解 , 则 : 1\to2:设A是可逆的,且X是AX=0的解,则: 12AXAX=0
      X = I X = ( A − 1 A ) X = A − 1 ( A X ) = A − 1 0 = 0 X=IX=(A^{-1}A)X=A^{-1}(AX)=A^{-1}0=0 X=IX=(A1A)X=A1(AX)=A10=0
      所以,AX=0只有零解
    3. A与I行等价
      2 → 3 : A 经 过 初 等 行 变 换 到 B ( 行 阶 梯 矩 阵 ) 2\to3:A经过初等行变换到B(行阶梯矩阵) 23AB
      B X = 0 只 有 零 解 , B 的 对 角 元 均 非 零 , 否 则 B 的 最 后 一 行 的 元 全 为 零 , 则 B X = 0 有 非 零 解 ( 矛 盾 ) BX=0只有零解,B的对角元均非零,否则B的最后一行的元全为零,则BX=0有非零解(矛盾) BX=0BBBX=0
      则 , B 经 初 等 行 变 换 后 得 到 的 行 最 简 化 矩 阵 = I 则,B经初等行变换后得到的行最简化矩阵=I B=I
    4. A可表为有限个初等矩阵的乘积
      3 → 4 : 由 3 , 可 得 A 可 经 初 等 行 变 换 得 到 I , 所 以 存 在 初 等 矩 阵 E 1 , E 2 , . . . E k , 使 得 E k , . . . E 1 A = I 3\to4:由3,可得A可经初等行变换得到I,所以存在初等矩阵E_1,E_2,...E_k,使得E_k,...E_1A=I 343AIE1,E2,...Ek使Ek,...E1A=I
      A = E 1 − 1 . . . . E k − 1 I = E 1 − 1 . . . E k − 1 A=E_1^{-1}....E_k^{-1}I=E_1^{-1}...E_k^{-1} A=E11....Ek1I=E11...Ek1
    4.2.3 推论:设A为n阶矩阵,则AX=b有唯一解的充要条件是A可逆

    证明:
    充分性:
    A X = b 有 唯 一 解 : X = A − 1 b AX=b有唯一解:X=A^{-1}b AX=bX=A1b
    必要性:
    设 A X = b 有 唯 一 解 X , 但 A 不 可 逆 设AX=b有唯一解X,但A不可逆 AX=bXA
    A 不 可 逆 ⇒ A X = 0 有 非 零 解 Z A不可逆\rArr AX=0有非零解Z AAX=0Z
    令 Y = X + Z 令Y=X+Z Y=X+Z
    A Y = A ( X + Z ) = A X + A Z = b + 0 = b AY=A(X+Z)=AX+AZ=b+0=b AY=A(X+Z)=AX+AZ=b+0=b
    则 Y 为 A X = b 的 解 , 矛 盾 则Y为AX=b的解,矛盾 YAX=b
    所以可得A可逆

    4.3 性质

    设A,B皆为n阶可逆矩阵,数 λ ≠ 0 \lambda\ne0 λ=0,则:

    1. A − 1 A^{-1} A1可逆,且 ( A − 1 ) − 1 = A (A^{-1})^{-1}=A (A1)1=A
    2. λ A \lambda A λA可逆,且 ( λ A ) − 1 = 1 λ A − 1 (\lambda A)^{-1}={1\over\lambda}A^{-1} (λA)1=λ1A1
    3. A B AB AB可逆,且 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)1=B1A1
      ( A B ) ( B − 1 A − 1 ) = A ( B B − 1 ) A − 1 = A A − 1 = I (AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AA^{-1}=I (AB)(B1A1)=A(BB1)A1=AA1=I
    4. A T A^T AT可逆,且 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T (AT)1=(A1)T
      A T ( A − 1 ) T = ( A − 1 A ) T = I A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=I AT(A1)T=(A1A)T=I
    5. 逆矩阵行列式和原矩阵行列式的关系
      在这里插入图片描述

    https://wenku.baidu.com/view/84eda27b27284b73f24250ce.html?sxts=1591611918853

    五、过渡矩阵

    过渡矩阵是基与基之间的一个可逆线性变换,在一个空间V下可能存在不同的基。假设有两组基分别为A,B。由基A到基B可以表示为B=AP,过渡矩阵 P = A − 1 B P=A^{-1}B P=A1B,它表示的是基与基之间的关系。

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  • 如果一个方阵有n个线性无关的特征向量,那么就可以对角化,去相似,去拟合 在这里插入图片描述 ...B的对角矩阵,就是对角元素时特征值: 等式两边同时乘以P的逆,就是上图那个式子: 例子: ...
  • 矩阵对角化的计算

    2018-10-12 21:19:05
    每个方阵都对应一个线性变换,矩阵对角化的本质是找线性变化的特征值和特征向量。线性变换可以代表一种操作(如坐标系的转动)或者代表一个力学量(如量子力学中的动量、角动量等),运用非常广泛。
  • 程序矩阵对角化是重要的数学方法,但因其计算过程繁琐, 人们往往望之生畏,尤其是多个矩阵同时对角化问题,因此 本文设计出判断及计算两个矩阵能否同时相似对角化的 Mat lab程序,用此能够方便地解决两个矩阵...
  • 文章目录相似矩阵矩阵对角化对称矩阵对角化对称A对角化的步骤 相似矩阵 设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使 P−1AP=B,P^{-1}AP=B,P−1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵AB相似,对A进行运算P−1APP^{-1...
  • 在讨论今天的主题之前,我们先给出三类矩阵的定义,分别是相似矩阵、可逆矩阵、对角矩阵相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。...
  • 相似矩阵矩阵相似对角

    万次阅读 多人点赞 2016-10-19 19:12:47
    特殊的,如果A∼Λ,Λ是对角矩阵A \sim \Lambda, \Lambda 是对角矩阵, 则称A可以相似对角化。Λ\Lambda是相似标准形。矩阵可相似对角化的充要条件 n阶矩阵A可对角化 ⟺\Longleftrightarrow A有n个线性无关的特征向
  • 相似矩阵相似对角

    千次阅读 2018-05-24 19:34:48
    对称矩阵对角化(方阵) 对称矩阵的一些性质: 1:对称矩阵的特征值为实数 2:设λ1λ1\lambda_1和λ2λ2\lambda_2是对称矩阵AAA的两个特征值,p1p1\mathbf{p}_1,p2p2\mathbf{p}_2是对应的特征向量,若λ1≠λ2...
  • 矩阵相似与对角

    千次阅读 2017-10-21 23:02:00
    介绍相似矩阵对角化以及一大堆性质. 相似矩阵的定义 从基变换一节中,我们了解到每一个可逆矩阵都是一个可变换基的矩阵,每一个可变换基的矩阵也都是可逆的. 设 \(\mathscr{B}\) 是向量空间 \(V\) 的一组基,\...
  • 线性代数 矩阵相似对角化的理解

    千次阅读 2021-03-24 22:44:23
    线性代数 矩阵相似对角化的理解 矩阵相似对角化,是一种基变换,或者说是坐标系变换,本质上是将线性变换在原坐标系(标准坐标系)中的表示变换为在新的坐标系下的表示,而这个新的坐标系刚好是由线性变换的一组...
  • 实对称矩阵相似对角

    千次阅读 2020-05-18 10:11:28
    每个元素都为实数的对角矩阵称为实对称矩阵,实对称矩阵必定相似于一个对角矩阵(对角线以外的元素全为0的矩阵),即存在可逆矩阵P,使得,且存在正交矩阵Q,使得 实对称矩阵化为对角矩阵的步骤: 1.找出全部特征...
  • 对角矩阵 对角矩阵只在对角线上含有非0元素,其它位置都为0。我门用diag(v)diag(v)diag(v)表示一个对角元素由向量vvv组成的对角方阵。对角矩阵的乘法计算效率很高。我们已经见过一种特殊的对角矩阵:单位矩阵。 不是...
  • 矩阵相似(5.4) 1.相似矩阵 (1)概念: (2)性质: 性质1:如果B1=P−1A1P,B2=P−1A2PB_1=P^{-1}A_1P,B_2=P^{-1}A_2PB1​=P−1A1​P,B2​=P−1A2​P,那么B1+B2=P−1(A1+A2)PB1B2=P−1(A1A2)PB1m=P−1A1mPB_1+B_2=P^{-...
  • 矩阵相似对角不能对角化的解释 矩阵相似对角化的进一步理解,几何加本质 对一般矩阵的研究转化为幂零矩阵的研究, 把矩阵当作变换,研究 特征方向不够多是因为映射的幂零性造成的 若当块幂零把一个空间...
  • 证明: ...取n阶矩阵A与对角矩阵相似,则存在非奇异矩阵使 等式两边同时左乘P可得 即 所以 因此,P的列向量就是其特征值λi对应的特征向量,由于P非奇异,线性无关。          ...
  • 转载于:https://www.cnblogs.com/invisible2/p/10728044.html
  • 实对称矩阵相似对角化Matlab程序,用到的朋友可以下载看看。
  • #示例:S为特征向量构成的矩阵,Λ为特征值构成的对角矩阵 S^{-1}·A·S=Λ⇒A~Λ #性质: 1.A~B,B~C⇒A~C 2.A~B⇒AB的特征值相同 Ax=λx⇒A·M·M^{-1}x=λx⇒M^{-1}·A·M·M^{-1}x=λM^{-1}x⇒B·M^{-1}x=λM^{-...
  • 欢迎扫描二维码关注微信公众号 深度学习数学   [每天获取免费的大数据、AI等相关的学习资源、经典和最新的深度学习相关的论文研读,算法和其他互联网技能的学习,概率论、线性代数等高等数学知识的回顾] ...
  • 如果一个方阵 相似对角矩阵,也就是说存在一个可逆矩阵 使得 是对角矩阵,则就被称为可以相似对角化的。下面,我们就通过矩阵的相似对角化:来简单从数学角度解释下面几个问题:为什么要进行矩阵的相似对角化?...
  • 在讨论今天的主题之前,我们先给出三类矩阵的定义,分别是相似矩阵、可逆矩阵、对角矩阵相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。...
  • 【通俗理解线性代数】 -- 矩阵相似对角

    千次阅读 多人点赞 2017-03-30 10:27:11
    本微信图文从变换的角度解释了相似矩阵对角化。
  • 实对称矩阵一定可以相似对角

    千次阅读 2021-09-12 21:46:56
    对于任意的nnn阶实对称矩阵AAA,存在正交矩阵QQQ,使得 Q−1AQ=QTAQ=diag(λ1,…,λn)Q^{-1}AQ=Q^T AQ=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)Q−1AQ=QTAQ=diag(λ1​,…,λn​) 其中λ1,…,λn\lambda_1,\dots,\lambda_n...
  • 假设两个实对称矩阵A和B,如果存在一个可逆的矩阵X, XAX'=B,已知A和B,知道怎么用matlab求X?本例中数据如下:A=[0.287402 0 00 0.483209 00 0 0.000025];B=[0.287402 -0.028039 -0.0000727-0.028039 0.483209 0....
  • matlab 怎么编程 输出n*n矩阵对角线元素?使用diag命令例如>>a=magic(5)a=17241815235714164613202210121921311182529>>aa=diag(a)aa=17513219c语言 求N*N矩阵中主对角线和次对角线的元素之和#defineN...

空空如也

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复矩阵与对角矩阵相似