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  • #示例:S为特征向量构成的矩阵,Λ为特征值构成的对角矩阵 S^{-1}·A·S=Λ⇒A~Λ #性质: 1.A~B,B~C⇒A~C 2.A~B⇒AB的特征值相同 Ax=λx⇒A·M·M^{-1}x=λx⇒M^{-1}·A·M·M^{-1}x=λM^{-1}x⇒B·M^{-1}x=λM^{-...

    一.复向量与复矩阵
    1.复向量的模长:

    设列向量zCnz∈C^n,则z=zˉTz|z|=\bar z^T·z,记为z=zHz|z|=z^H·z
    注:z.bar表示取z的共轭;^H表示取共轭并转置

    2.复向量的内积:

    设列向量x,yCnx,y∈C^n,则<x,y>=xHy<x,y>=x^H·y
    #当x=y,内积就是x的模长
    特别地,若<x,y>=xHy=0<x,y>=x^H·y=0,则复列向量x,yx,y正交

    3.埃尔米特矩阵(Hermite Matrix):

    如果复矩阵AA满足AH=AA^H=A,则称AA为埃尔米特矩阵
    #(实)对称矩阵是埃尔米特矩阵中元素全为实数时的特殊情况

    性质:
    1.埃尔米特矩阵对角线上的元素一定是实数
    2.特征值均为实数,可以找到1组特征向量两两正交
    3.埃尔米塔矩阵是方阵

    4.酉矩阵(Unitary Matrix):

    若复矩阵QQ满足QHQ=IQ^H·Q=I,则称QQ为酉矩阵
    注:(实)正交矩阵是酉矩阵中元素全为实数时的特殊情况

    性质:
    1.酉矩阵的列向量组为单位正交复向量组
    2.酉矩阵是方阵

    二.傅里叶矩阵
    1.傅里叶矩阵(Fourier Matrix):

    nn阶傅里叶矩阵记为FnF_n
    Fn=[111...11WW2...Wn11W2W4...W2(n1)...............1Wn1W2(n1)...W(n1)2]  =(Wij)n(i,j=1,2...n1,Wn=ei2Πn)F_n=\left[\begin{matrix}1&1&1&...&1\\1&W&W^2&...&W^{n-1}\\1&W^2&W^4&...&W^{2(n-1)}\\...&...&...&...&...\\1&W^{n-1}&W^{2(n-1)}&...&W^{(n-1)^2}\end{matrix}\right]\\\quad\:\:=(W_{ij})_n\,(i,j=1,2...n-1,W_n=e^{i\frac{2Π}{n}})

    性质:
    1.傅里叶矩阵是1种特殊的酉矩阵,故其列向量组正交
    注:Fnn\frac{F_n}{\sqrt{n}}的列向量是单位正交向量组
    2.WkW^k的几何意义见下图
    3.Fn1=FHF_n^{-1}=F^H

    以4阶傅里叶矩阵为例:
    F4=[11111ii2i31i2i4i61i3i6i9]  =[11111i1i11111i1i]F_4=\left[\begin{matrix}1&1&1&1\\1&i&i^2&i^3\\1&i^2&i^4&i^6\\1&i^3&i^6&i^9\end{matrix}\right]\\\quad\:\,=\left[\begin{matrix}1&1&1&1\\1&i&-1&-i\\1&-1&1&-1\\1&-i&-1&i\end{matrix}\right]

    在这里插入图片描述
    2.傅里叶变换(Fourier Transform):

    对1个n维向量进行傅里叶变换相当于左乘FnF_n,进行傅里叶逆变换相当于左乘Fn1F_n^{-1}

    3.快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform):

    F4n=[I2nD2nI2nD2n][F2nF2n]P2n    =[I2nD2nI2nD2n][InDnInDnInDnInDn][FnFnFnFn][PnPn]P2n=...F_{4n}=\left[\begin{matrix}I_{2n}&D_{2n}\\I_{2n}&-D_{2n}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}F_{2n}\\&F_{2n}\end{matrix}\right]P_{2n}\\\quad\:\:\:\,=\left[\begin{matrix}I_{2n}&D_{2n}\\I_{2n}&-D_{2n}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}I_n&D_n\\I_n&D_n\\&&I_n&D_n\\&&I_n&D_n\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}F_n\\&F_n\\&&F_n\\&&&F_n\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}P_n\\&P_n\end{matrix}\right]P_{2n}\\\qquad=...

    注:①两个修正项分别为:
      1234...P2n=[11...111...1]12...2n2n+12n+2...4n\qquad\quad\:\:\begin{matrix}1&2&3&4&\quad&...&\end{matrix}\\P_{2n}=\left[\begin{matrix}1\\&&1\\&&&&...\\&&&&&&1\\&1\\&&&1\\&&&&&...\\&&&&&&&1\end{matrix}\right]\begin{matrix}1\\2\\...\\2n\\2n+1\\2n+2\\...\\4n\end{matrix}
    D2n=[1WW2...W2n1]D_{2n}=\left[\begin{matrix}1\\&W\\&&W^2\\&&&...\\&&&&W^{2n-1}\end{matrix}\right]
    ②将1个nn阶傅里叶矩阵完全分解后,计算次数将从n2n^2降低到n2log2n\frac{n}{2}log_2n

    三.相似矩阵
    1.相似矩阵(Similar Matrix):

    如果存在可逆矩阵M_n,使B_n=M_n^{-1}·A_n·M_n,则称A_n与B_n相似,记为A_n~B_n
    
    #示例:S为特征向量构成的矩阵,Λ为特征值构成的对角矩阵
    S^{-1}·A·S=Λ⇒A~Λ
    
    #性质:
    1.A~B,B~C⇒A~C
    #在特征值不重复的情况下,特征值相同的矩阵均相似,成为1个类
    2.A~B⇒A与B的特征值相同,特征向量数也相同
      Ax=λx⇒A·M·M^{-1}x=λx⇒M^{-1}·A·M·M^{-1}x=λM^{-1}x⇒B·M^{-1}x=λM^{-1}x⇒Bx'=λx'
      #注意:A与B的特征向量不同,除非A=B
      #逆命题仅在特征值不重复的情况下成立(否则可能无法对角化)
    

    2.若尔当标准型(Jordan Standard Form):

    如果特征值存在重复,矩阵可能无法对角化,这时特征值相同的矩阵不一定相似,如下:
    所有λ_1=λ_2=4的2阶矩阵可分为:
    ①类1(小):仅包含S1=[0 4;4 0]
      S1=4I⇒M^{-1}·S1·M=4M^{-1}·I·M=4I
    ②类2(大):包含与S2=[4 1;0 4]相似的所有矩阵
      其中最有代表性的是S2,称为约尔当标准型
    
    若尔当标准型是无法对角化的情况下最接近对角矩阵的情况
    不可对角化的矩阵可以通过约尔当标准型被"近似对角化"
    
    #############################################################################
    
    约尔当块(Jordan Block):
      i阶约尔当块J_i=[λ_i 1 0 0...0;0 λ_i 1 0...0;0 0 λ_i 1...0;...;0 0...λ_i 1;0 0...0 λ_i]
      说明:①λ_i为1个i重特征值 ②1个约尔当块只有1个特征向量
      约尔当块可以构建约尔当矩阵(如下图)
    
    约尔当标准型:又称约尔当矩阵(Jordan Matrix)
      约尔当标准型J=[J1 O...O;O J2...O;...;O O...Jd]
      注意:①Jr是指阶约尔当块,这里r与特征值的重数无关,仅是编号
           ②约尔当标准型的特征向量数等于构成该矩阵的约尔当块的数量
           ③每个方阵都相似于某个约尔当标准型,故某个方阵都可通过约尔当矩阵来近似对角化
           ④约尔当块的排列顺序是可变的,不计排列顺序时,1个方阵对应的约尔当标准型是唯一的
           ⑤如果矩阵可对角化,那么相应的若尔当矩阵就是对角阵Λ(此时均为1次约尔当块)
           ⑥对应的约尔当标准型不相同的矩阵不相似,对应的约尔当标准型相同的矩阵相似
    

    在这里插入图片描述
    四.奇异值分解(Singular Value Decomposition;SVD)
    1.概念:

    1.实对称矩阵的SVD:A = Q · Λ · Q^T
    #A为实对称矩阵,Q为特征向量矩阵(此时特征向量组通常取为1个标准正交基),Λ为特征值矩阵
    #特别地,如果A是正定矩阵,特征值均大于0
    
    2.一般矩阵的SVD:A = U · Σ · V^{-1} = U · Σ · V^T
      #A可为任意矩阵,包括非方阵;Σ=[σ1 0 ... 0 ... 0;0 σ2 ... 0 ... 0;...;0 0 ... σr ... 0;...;0 0 ... 0 ... 0];
    #SVD将C(A^T)中的1个正交基转换成C(A)中的1个正交基
    取C(A^T)中的1个标准正交基v1...vr,取C(A)中的1个标准正交基u1...ur,使下述等式成立:
      A · [v1 v2 ... vr] = [u1 u2 ... ur] · [σ1 0 ... 0;0 σ2 ... 0;...;0 0 ... σr]
    记为A · V = U · Σ ⇒ A = U · Σ · V^{-1}
    由于V,U均为正交矩阵,故A = U · Σ · V^T
    #如果再取v(r+1)...vn为N(A)的标准正交基,u(r+1)...um为N(A^T)的标准正交基,则vi⊥vj,ui⊥uj (i≠j)
    #由于A · vi = 0(i=r+1...n),故对应的σi将为0
    

    2.求U和V:

    A = U · Σ · V^T ⇒ A^T · A = V · Σ^T · U^T · U · Σ · V^T ⇒ A^T · A = V · Σ^2 · V^T
      #可知A^T · A为对称矩阵
    即V是A^T · A的特征向量矩阵,Σ^2是A^T · A的特征值矩阵
    
    A = U · Σ · V^T ⇒ A · A^T = U · Σ · V^T · V · Σ · U^T ⇒ A · A^T = U · Σ^2 · U^T
      #可知A^T · A为对称矩阵
    即U是A · A^T的特征向量矩阵,Σ^2是A · A^T的特征值矩阵
    
    #实例:A = [4 4;-3 3],并选定σ1>0,σ2>0 
    A = [4 4;-3 3] ⇒ v1 = [1/sqrt(2);1/sqrt(2)],σ1=sqrt(32),v2 = [1/sqrt(2),-1/sqrt(2)],σ2=sqrt(18) ⇒
    Σ = [sqrt(32) 0;0 sqrt(18)],V^T = [1/sqrt(2) 1/sqrt(2);1/sqrt(2) -1/sqrt(2)]
    A = [4 4;-3 3] ⇒ u1 = [1 0],u2 = [0 -1] ⇒ U = [1 0;0 1]
    综上,A = U · Σ · V^T
    即[4 4;-3 3] = [1 0;0 -1] · [sqrt(32) 0;0 sqrt(18)] · [1/sqrt(2) 1/sqrt(2);1/sqrt(2) -1/sqrt(2)]
    #注意:v1,v2和u1,u2的手系应当相同(因为σ1>0,σ2>0)
    
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  • 正规矩阵满足在用纯量作的乘法运算下封闭、在酉相似之下封闭、在直和运算之下封闭(直和的逆命题也成立,且非对角上的分块矩阵一定为零矩阵)。 上三角矩阵是正规的,当且仅当它是对角的。(对之前上三角是酉矩阵...

    a3b9406f8f85bc1271c9423ad76fef2f.png

    2.5正规矩阵

    2.5.1 正规矩阵:满足

    的矩阵A,正规矩阵下包括酉矩阵、Hermite矩阵、斜Hermite矩阵、实正交矩阵、实对称矩阵、实斜对称矩阵。

    正规矩阵满足在用复纯量作的乘法运算下封闭、在酉相似之下封闭、在直和运算之下封闭(直和的逆命题也成立,且非对角上的分块矩阵一定为零矩阵)。

    上三角矩阵是正规的,当且仅当它是对角的。(对之前上三角是酉矩阵的结论的推广)

    2.5.3 正规矩阵的基本等价命题,默认

    • (1)A是正规矩阵
    • (2)A可以酉对角化(可以化为
      的形式,也称为A的谱分解
    • (3)
      (3、4都可以由2推出来)
    • (4)A有n个标准正交的特征向量(由正规矩阵Schur三角化然后证明是对角矩阵后由相似矩阵酉矩阵推出标准正交)
    • (5)

    2.5.4 定理:两个正规矩阵酉相似的,当且仅当他们有同样的特征值(证明显然)

    2.5.5 定理:设一个非空正规矩阵族,该族是一个交换族当且仅当它是可同时酉对角化的族。

    2.5.6 Hermite矩阵的谱定理(

    ):

    设A是Hermite矩阵且有由特征值作为对角元素的矩阵

    ,则:
    • (1)所有特征值为实数
    • (2)A可以酉对角化
    • (3)存在一个酉矩阵U,使得

    2.5.16

    定理:设不一定同型的正规矩阵A、B,又给定X,那么AX=XB当且仅当A
    X*=X*B(利用谱分解证明)

    2.6酉等价与奇异值分解

    酉等价:

    是从n维复向量空间到m维复向量空间的线性变换,又如果
    是它关于V1和V2的给定的标准正交基的表示,那么酉等价
    对应于
    从一组给定的标准正交基到另一组标准正交基的基的改变。

    2.6.1 定理:设A,B是同型方阵,则存在同型的酉矩阵V,W,使得

    ,且
    都是上三角的,如果B是非奇异的,
    的住对角元素就是
    的特征值。(证明先用Schur三角化
    用QR分解BU,计算A是上三角,最后转化结果证明结论)

    在实数域下,
    是实的且是上拟三角的,
    是实的且是上三角的

    2.6.3 奇异值分解 A∈M(n , m) , 令q = min { m , n } ,设rank A = r.

    • (1)存在酉矩阵
      ,以及一个对角矩阵
      其中对角元素按从左上到右下从大到小依次排列,使得
      ,其中如果m=n,那么
      ,如果m>n,那么
      ,如果m<n,那么
    • (2)参数
      AA*按照递减次序排列的非零特征值的正的平方根,它们称为奇异值

    单重的:如果

    是AA*的单重特征值;
    是唯一确定的。

    2.7 CS分解(略)

    2.7.1 CS分解:设p、q、n是给定的整数,1<p≤q<n,且q+p=n,设

    是酉矩阵,其中
    ,则存在酉矩阵
    ,以及
    使得:
    其中C=diag(
    ) 是
    按照非增次序排列的奇异值,S=diag(
    ,...,
    )(证明看不懂)

    "

    "

    书中如是说道。

    能知道啥:

    1. 正规矩阵的基本性质和等价条件(包括谱分解)
    2. Hermite矩阵谱定理
    3. 酉等价和奇异值分解的概念
    展开全文
  • 矩阵论(零):线性代数基础知识整理 为更具一般性,讨论复矩阵和复向量,...相似变换与相似对角化 复数的运算法则、复矩阵的共轭共轭转置 复数的运算法则 复数的四则运算律实数的完全...

    矩阵论专栏:专栏(文章按照顺序排序)

    线性代数是矩阵论的先修课程,本篇博客整理线性代数的基础理论知识,为矩阵论的学习做准备。限于篇幅,梳理的重点将在定理和结论上(只给出部分必要的定义),对最基础的概念(如矩阵及其基本运算等等)不清楚的童鞋可以参考矩阵的基本运算
    本文的讨论在一般的数域FF中进行,FF可以是有理数域、实数域、复数域等。这里不给出数域的严格定义,只要知道数域是复数域的一个对加减乘除运算封闭的子集,且有理数域是最小的数域即可。需要特别指出的是,我们所关心的数域都是复数域的子集,并不是什么抽象的代数数域。由于数域都是复数域的子集,在复数中定义的基本运算以及相应的运算律往往也适用于实数、有理数,例如取共轭,实数和有理数的共轭是其自身。数域的相关理论可参考数域维基


    本篇博客先介绍线性代数中一些基本的概念,然后重点围绕“秩”这一重要概念整理相关结论:


    复数的运算法则、复矩阵的共轭与共轭转置

    • 复数的基本运算法则
      复数的基本运算法则与实数的完全一致,且根据复数的定义z=a+biz=a+bi容易验证,现列举如下:(设a,b,cCa, b, c\in C
      • 加法交换律:a+b=b+aa+b=b+a
      • 加法结合律:a+(b+c)=(a+b)+ca+(b+c)=(a+b)+c
      • 乘法交换律:a×b=b×aa\times b=b\times a
      • 乘法结合律:a×(b×c)=(a×b)×ca\times (b\times c)=(a\times b)\times c
      • 乘法对加法的左分配律:(a+b)×c=a×c+b×c(a+b)\times c=a\times c+b\times c
      • 乘法对加法的右分配律:a×(b+c)=a×b+a×ca\times (b+c)=a\times b+a\times c
    • 复数的共轭、复数的模的运算律(设x,yCx,y\in C
      • x±y=x±y\overline{x\pm{}y}=\overline{x}\pm{}\overline{y}
      • xy=xˉyˉ\overline{xy}=\bar{x}\bar{y}
      • (xy)=xy\overline{(\frac{x}{y})}=\frac{\overline{x}}{\overline{y}}
      • xx=xx=x2x\overline{x}=\overline{x}x=|x|^2
      • xy=xy|xy|=|x||y|
    • 矩阵的共轭
      矩阵的共轭就是将原矩阵的每个元素取共轭,即若A=(aij)m×nA=(a_{ij})_{m\times{n}},则A=(aij)m×n\overline{A}=(\overline{a_{ij}})_{m\times{n}}。实矩阵的共轭是其本身。根据复数共轭的运算率,可得矩阵的共轭具有如下性质:
      • A=A\overline{\overline{A}}=A
      • A+B=A+B\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B}
      • kA=kˉA,kC\overline{kA}=\bar{k}\overline{A},k\in{C}
      • AB=AˉBˉ\overline{AB}=\bar{A}\bar{B}
    • 矩阵的共轭转置
      矩阵的共轭转置即先取共轭再转置或先转置再取共轭,即AH=(AT)=(A)TA^H=\overline{(A^T)}=\Bigl(\overline{A}\Bigr)^T。实矩阵的转置是复矩阵的共轭转置的特例。矩阵的共轭转置具有如下性质:
      • (AH)H=A(A^{H})^H=A
      • (AH)T=(AT)H(A^H)^T=(A^T)^H
      • AH=(A)H\overline{A^H}=(\overline A)^H
      • (A+B)H=AH+BH(A+B)^H=A^H+B^H
      • (kA)H=kAH,kC(kA)^H=\overline{k}A^H,k\in{C}
      • (AB)H=BHAH(AB)^H=B^HA^H
    • Hermite矩阵(共轭对称矩阵)
      若方阵A满足AH=AA^H=A,则称A是Hermite矩阵。实对称矩阵是一种Hermite矩阵。

    行列式的性质

    设F为一数域,给定正整数nn,在FF上可以构造出唯一的映射Fn×nFF^{n\times n}\rightarrow F满足行列式第一公理和行列式第二公理。行列式的具体表达式可以使用置换或逆序数写出,本文略去,具体可参考博客以及知乎
    A,BFn×nA,B\in F^{n\times n}kFk\in F为常数,根据置换或逆序数的性质可得行列式的如下性质:

    • det(AT)=det(A)det(A^T)=det(A)
    • det(AH)=det(A)det(A^H)=\overline{det(A)}
    • det(kA)=kndet(A)det(kA)=k^ndet(A)
    • 行列式的某一行(列)乘非零常数kFk\in F,则行列式的值变为原来的kk
    • 互换行列式的两行(或两列),则行列式的值取负
    • 行列式的某一行(列)加上另一行(列)的常数倍,行列式的值不变
    • det(AB)=det(A)det(B)det(AB)=det(A)det(B)
      证:见分块矩阵的初等变换。
    • 若A是共轭对称矩阵,则det(A)Rdet(A)\in R
      证:因为det(A)=det(AH)=det(A)det(A)=det(A^H)=\overline{det(A)},所以det(A)det(A)的虚部为零,det(A)Rdet(A)\in R

    AFm×m,BFn×nA\in F^{m\times m},B\in F^{n\times n},则:

    • 若A是对角矩阵或上(下)三角矩阵,则A的行列式是A的主对角元之积
    • 拉普拉斯展开式一:AOB=AOB=AB\begin{vmatrix} A&*\\O&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&O\\*&B\end{vmatrix}=|A||B|
    • 拉普拉斯展开式二:OAB=ABO=(1)mnAB\begin{vmatrix}O&A\\B&*\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}*&A\\B&O\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|

    方阵的迹及其性质

    • 定义
      方阵A的迹tr(A)tr(A)定义为A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n\times n}的主对角元之和,即tr(A)=i=1naiitr(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}
    • 性质
      • 设A、B均为n阶方阵,则tr(A±B)=tr(A)±tr(B)tr(A\pm{B)}=tr(A)\pm{}tr(B)
      • tr(cA)=ctr(A),cFtr(cA)=ctr(A),c\in{F}
      • tr(AT)=tr(A),tr(Aˉ)=tr(AH)=tr(A)tr(A^T)=tr(A),tr(\bar{A})=tr(A^H)=\overline{tr(A)}
        推论:tr(ATB)=tr(BTA)=i,jAijBijtr(A^TB)=tr(B^TA)=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij},其中A、B均为m×nm\times{n}矩阵
      • 设A为m×nm\times{n}矩阵,B为n×mn\times{m}矩阵,则tr(AB)=tr(BA)=i,jAijBjitr(AB)=tr(BA)=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ji}
      • 设A、B、C均为m×nm\times{n}矩阵,则tr((AB)TC)=tr(AT(BC))=i,jAijBijCijtr((A\odot{B})^TC)=tr(A^T(B\odot{C}))=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}C_{ij}式中\odot{}是逐元素乘法(Hadarmard积)
      • 设A、B、C均为m×nm\times{n}矩阵,BB的所有元素均非零,则tr((AB)TC)=tr(AT(CB))=ijAijCijBijtr((A\oslash B)^TC)=tr(A^T(C\oslash B))=\sum_{ij}\frac{A_{ij}C_{ij}}{B_{ij}}式中\oslash是逐元素除法

    逆矩阵

    • 定义
      AFn×nA\in F^{n\times n},若存在BFn×nB\in F^{n\times n}使得AB=BA=IAB=BA=I其中II是单位矩阵,则称A是可逆的,B是A的逆矩阵,记为B=A1B=A^{-1}
    • 定理:任意方阵的逆矩阵若存在则唯一
    • 伴随矩阵
      • n阶(n2)(n\geqslant{2})方阵A的伴随矩阵AA^*定义为:以AjiA_{ji}为(i,j)元素的n阶方阵,其中AijA_{ij}AA的(i,j)元素aija_{ij}的代数余子式
      • 对任意n阶(n2)(n\geqslant{2})方阵A,根据拉普拉斯展开式,有AA=AA=det(A)IAA^*=A^*A=det(A)I成立
    • 伴随矩阵的性质(设A,BFn×n,n2A,B\in F^{n\times n},n\geqslant 2
      • (kA)=kn1A,kF(kA)^*=k^{n-1}A^*,k\in{F}
      • A=An1|A^*|=|A|^{n-1}
      • (A)=An2A(A^*)^*=|A|^{n-2}A
      • (A)T=(AT)(A^*)^T=(A^T)^*
      • (A)H=(AH)(A^*)^H=(A^H)^*
      • (AB)=BA(AB)^*=B^*A^*
    • 方阵可逆的充要条件
      • (行列式判定)n阶方阵A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n\times{n}}可逆的充要条件是det(A)0det(A)\neq0,A的逆矩阵为A1={Adet(A)n2(a111)1×1n=1A^{-1}=\begin{cases}\frac{A^*}{det(A)}&n\geqslant{2}\\(a_{11}^{-1})_{1\times{1}}&n=1\end{cases}
      • n阶方阵A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n\times{n}}可逆的充要条件是存在BB使得AB=IAB=I
        证:
        必要性:若AA可逆,显然取B=A1B=A^{-1}就有AB=IAB=I
        充分性:若存在BB使得AB=IAB=I,则由det(AB)=det(A)det(B)=det(I)=1det(AB)=det(A)det(B)=det(I)=1det(A)0det(A)\neq 0(否则的话就有det(AB)=0det(AB)=0det(AB)=1det(AB)=1矛盾),故由行列式判定知AA可逆。(此时若用A1A^{-1}左乘AB=IAB=I,就得到B=A1B=A^{-1},即这里的BB只能是A1A^{-1}
        【注1】该结论可以看做是逆矩阵的定义的弱化。本来逆矩阵要求AB=IAB=IBA=IBA=I,但该结论说明只要AB=IAB=I就够了(同理可知如果满足BA=IBA=I也可推出AA可逆且B=A1B=A^{-1})。
        【注2】该结论的一个等价结论是“已知同阶方阵A,BA,B,若AB=IAB=I,则BA=IBA=I”。
    • 逆矩阵的性质
      A,BFn×nA,B\in F^{n\times n}
      • (A1)1=A(A^{-1})^{-1}=A
      • (AT)1=(A1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T
      • (AH)1=(A1)H(A^H)^{-1}=(A^{-1})^H
      • (kA)1=1kA1,0kF(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1},0\neq k\in F
      • (An)1=(A1)n(A^n)^{-1}=(A^{-1})^n
      • (A)1=(A1)=AA(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{A}{|A|}n2n\geqslant 2
      • (AB)1=B1A1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
    • 特殊矩阵的逆矩阵
      • 若对角矩阵Σ=[λ1λn]\Sigma=\begin{bmatrix}\lambda_1&\quad\\\quad&\ddots&\quad\\\quad&\quad&\lambda_n\end{bmatrix}可逆,则其逆矩阵为Σ1=[λ11λn1]\Sigma^{-1}=\begin{bmatrix}\lambda_1^{-1}&\quad\\\quad&\ddots&\quad\\\quad&\quad&\lambda_n^{-1}\end{bmatrix}
      • 若上三角方阵可逆,则其逆矩阵为上三角方阵
      • 若下三角方阵可逆,则其逆矩阵为下三角方阵

    关于逆矩阵的一个常用公式

    • 定理:设ACm×m,UCm×p,BCp×q,VCq×mA\in C^{m\times m},U\in C^{m\times p},B\in C^{p\times q},V\in C^{q\times m}。若AA可逆,则A+UBVA+UBV可逆的充要条件为Ip+BVA1UI_p+BVA^{-1}U可逆,且(A+UBV)1=A1A1U(Ip+BVA1U)1BVA1(A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I_p+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1}
      证明:(该定理的证明需要用到特征值的相关结论,若这块不熟悉可先跳过,特征值相关可参考矩阵论(零):线性代数基础知识整理(5)——特征值与相似
      AA可逆以及A+UBV=A(Im+A1UBV)A+UBV=A(I_m+A^{-1}UBV)知,A+UBVA+UBV可逆的充要条件为Im+A1UBVI_m+A^{-1}UBV可逆。令M=A1U,N=BVM=A^{-1}U,N=BV,由MNMNNMNM有相同的非零特征值可知,Im+MNI_m+MN可逆    \iff1-1不是MNMN的特征值    \iff1-1不是NMNM的特征值    \iffIp+NMI_p+NM可逆。这就证明了A+UBVA+UBV可逆的充要条件为Ip+BVA1UI_p+BVA^{-1}U可逆。利用逆矩阵的定义容易验证公式(A+UBV)1=A1A1U(I+BVA1U)1BVA1(A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1}的正确性。证毕。

    该定理的如下推论较常见:

    • 推论1(Woodbury恒等式):设ACm×m,UCm×n,BCn×n,VCn×mA\in C^{m\times m},U\in C^{m\times n},B\in C^{n\times n},V\in C^{n\times m}。若A,BA,B可逆,则A+UBVA+UBV可逆的充要条件为B1+VA1UB^{-1}+VA^{-1}U可逆,且(A+UBV)1=A1A1U(B1+VA1U)1VA1(A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(B^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}
      证:显然该定理是上面的定理当BB取可逆方阵时的特殊情形。由于BB可逆且In+BVA1U=B(B1+VA1U)I_n+BVA^{-1}U=B(B^{-1}+VA^{-1}U),故A+UBVA+UBV可逆的充要条件为B1+VA1UB^{-1}+VA^{-1}U可逆。(A+UBV)1=A1A1U(Ip+BVA1U)1(B1)1VA1=A1A1U(B1+VA1U)1VA1(A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I_p+BVA^{-1}U)^{-1}(B^{-1})^{-1}VA^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(B^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}
    • 推论2(Sherman-Morrison定理):设ACn×nA\in C^{n\times n}可逆,u,vCn,bCu,v\in C^n,b\in C,则A+buvTA+buv^T可逆的充要条件为1+bvTA1u01+bv^TA^{-1}u\neq 0,且(A+buvT)1=A1bA1uvTA11+bvTA1u(A+buv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{bA^{-1}uv^TA^{-1}}{1+bv^TA^{-1}u}
      证:显然该定理是上面的定理当BB1×11\times 1矩阵(即标量)时的特殊情形。证明略。
    • 推论3:设ACn×nA\in C^{n\times n}可逆,u,vCnu,v\in C^n,则A+uvTA+uv^T可逆的充要条件为1+vTA1u01+v^TA^{-1}u\neq 0,且(A+uvT)1=A1A1uvTA11+vTA1u(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1+v^TA^{-1}u}
      证明:该定理是推论2当bb取1时的特殊情形。证明略。

    【注】上述诸结论是在复数域下给出的,然而,可以看出既然在复数域下证明了这些结论,那么其他数域下结论也成立。上述推论2和推论3由于结论更弱,有更简便的证法,感兴趣的读者可自行研究。下面提供推论2的一个简单证法作为参考。

    • 推论2的简单证法
      证:
      充分性:若1+bvTA1u01+bv^TA^{-1}u\neq 0,验证(A+buvT)(A1bA1uvTA11+bvTA1u)=I(A+buv^T)(A^{-1}-\frac{bA^{-1}uv^TA^{-1}}{1+bv^TA^{-1}u})=I即可。
      必要性:注意由A+buvT=(I+buvTA1)AA+buv^T=(I+buv^TA^{-1})A可推出I+buvTA1I+buv^TA^{-1}可逆。假设1+bvTA1u=01+bv^TA^{-1}u=0,则(I+buvTA1)u=u+buvTA1u=uu=0(I+buv^TA^{-1})u=u+buv^TA^{-1}u=u-u=0。注意1+bvTA1u=01+bv^TA^{-1}u=0确保u0u\neq 0。这说明齐次线性方程组(I+buvTA1)x=0(I+buv^TA^{-1})x=0有非零解,这与I+buvTA1I+buv^TA^{-1}可逆是矛盾的。因此假设不成立,得证。

    初等变换与矩阵的秩

    行最简形和列最简形

    • 矩阵A称为行最简形,若A的所有非零行都在零行的上面,A的每个非零行的首非零元是1,其列号随行号严格单调递增,且其所在列的其他元素均为零。
    • 矩阵A称为列最简形,若A的所有非零列都在零列的左面,A的每个非零列的首非零元是1,其行号随列号严格单调递增,且其所在行的其他元素均为零。

    初等变换

    初等行(列)变换有三种:

    • 行(列)互换变换:互换矩阵的第i行(列)和第j行(列),iji\neq j
    • 行(列)倍乘变换:用非零常数kFk\in F乘矩阵的某一行(列)的每个元素
    • 行(列)倍加变换:将矩阵的第i行(列)的k倍(kF)(k\in{F})加到第j行(列),iji\neq j

    初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

    初等矩阵

    • 定义:对单位矩阵只作1次初等行(列)变换得到的矩阵称为初等矩阵,初等矩阵也有三种,对应分别为互换初等矩阵、倍乘初等矩阵、倍加初等矩阵
      【注】初等矩阵都是可逆的
    • 定理:设AFm×nA\in F^{m\times{n}},对A施行1次初等行变换,其结果等同于给A的左边乘上一个相应的m阶初等矩阵(对单位矩阵施行1次相同的初等行变换得到的矩阵);对A施行1次初等列变换,其结果等同于给A的右边乘上一个相应的n阶初等矩阵(对单位矩阵施行1次相同的初等列变换得到的矩阵)
    • 定理:(可逆矩阵与初等矩阵的关系)方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可以写成若干初等矩阵的积
    • 定理:任意矩阵A可通过有限次初等行变换化为唯一的一个行最简形,称为A的行最简形;也可通过有限次初等列变换化为唯一的一个列最简形,称为A的列最简形;即存在可逆矩阵P、Q使得PA是A的行最简形,AQ是A的列最简形

    行等价与列等价

    • 定义:若矩阵A可经过若干次初等行(列)变换得到矩阵B,则称A与B行(列)等价
    • 定义:若矩阵A可经过若干次初等变换得到矩阵B,则称A与B等价
    • 定理:A与B行等价的充要条件为存在可逆矩阵P使得PA=BPA=B;A与B列等价的充要条件为存在可逆矩阵Q使得A=BQA=BQ;A与B等价的充要条件为存在可逆矩阵P和Q使得PAQ=BPAQ=B
      证:由可逆矩阵的充要条件是其可被写成若干初等矩阵的积即证。

    矩阵的秩及其性质

    • 定义:矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为A的秩,记为r(A)或rank(A);当A没有非零子式(即A=OA=O)时,定义r(A)=0r(A)=0
    • 定理:r(AH)=r(AT)=r(A)r(A^H)=r(A^T)=r(A)
    • 定义:设AFm×nA\in F^{m\times n},若r(A)=nr(A)=n,则称A是列满秩矩阵;若r(A)=mr(A)=m,则称A是行满秩矩阵;若r(A)=m=nr(A)=m=n,则称A是满秩方阵,显然满秩方阵就是可逆矩阵
    • 定理:初等行(列)变换不改变矩阵的秩
    • 定理:r(PA)=r(AQ)=r(A)r(PA)=r(AQ)=r(A),其中P、Q是可逆矩阵
      证:可逆矩阵可写成若干初等矩阵的积,故PAPA相当于对AA做若干次初等行变换,AQAQ相当于对AA做若干次初等列变换,又因为初等变换不改变矩阵的秩,故结论成立。
    • 定义:设AFm×n,r(A)=rA\in F^{m\times{n}},r(A)=r,A的秩标准形(又称等价标准形、相抵标准形)定义为[IrOOO]\begin{bmatrix}I_r&O\\O&O\end{bmatrix}
    • 定理:(等价标准形定理/相抵标准形定理/秩标准形定理)任意秩为r的矩阵A可经有限次初等变换化为A的秩标准形;即存在可逆矩阵P、Q使得PAQ=[IrOOO]PAQ=\begin{bmatrix}I_r&O\\O&O\end{bmatrix}
    • 定理:列满秩矩阵可经有限次初等行变换化为它的秩标准形,行满秩矩阵可经有限次初等列变换化为它的秩标准形
    • 定理:同型矩阵AABB等价的充要条件为r(A)=r(B)=rr(A)=r(B)=r
      【注】所谓同型矩阵就是指两个矩阵的大小(或规格)一样,即若AAm×nm\times n的,则BB也是m×nm\times n的。
      证:
      充分性显然。
      必要性:由秩标准形定理,存在可逆矩阵P1,Q1,P2,Q2P_1,Q_1,P_2,Q_2使得P1AQ1=P2BQ2=[IrOOO]P_1AQ_1=P_2BQ_2=\begin{bmatrix}I_r&O\\O&O\end{bmatrix},故(P21P1)A(Q1Q21)=B(P_2^{-1}P_1)A(Q_1Q_2^{-1})=B,即A与B等价。
    • 可逆方阵A求逆的方法:对[IA]\begin{bmatrix}I&A\end{bmatrix}进行初等行变换把A化成单位矩阵,则单位矩阵II就被自然地化成了A1A^{-1}
      分析:设[IA]\begin{bmatrix}I&A\end{bmatrix}经上述变换得到的结果为[BI]\begin{bmatrix}B&I\end{bmatrix}。存在可逆矩阵P使得P[IA]=[BI]P\begin{bmatrix}I&A\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B&I\end{bmatrix},即P=BP=BPA=IPA=I,故B=P=A1B=P=A^{-1},即原本的单位矩阵II自然地化成了A1A^{-1}
    • 定理:r(BA)=r(AC)=r(A)r(BA)=r(AC)=r(A),其中B是列满秩矩阵,C是行满秩矩阵
      证:
      由B列满秩,C行满秩知,存在可逆矩阵P,Q使得PB=[IO],CQ=[IO]PB=\begin{bmatrix}I\\O\end{bmatrix},CQ=\begin{bmatrix}I&O\end{bmatrix},故r(BA)=r(P1[IO]A)=r([AO])=r(A)r(BA)=r(P^{-1}\begin{bmatrix}I\\O\end{bmatrix}A)=r(\begin{bmatrix}A\\O\end{bmatrix})=r(A)r(AC)=r(A[IO]Q1)=r([AO])=r(A)r(AC)=r(A\begin{bmatrix}I&O\end{bmatrix}Q^{-1})=r(\begin{bmatrix}A&O\end{bmatrix})=r(A)

    分块矩阵的初等变换

    分块矩阵是研究矩阵必不可少的工具,要想深入学习线性代数和矩阵论,一方面要学好线性空间与线性算子,另一方面要学好分块矩阵。一些较为深入的结论,有时从线性空间角度看更直观,有时从分块矩阵的角度看更直观。分块矩阵的基本运算请参考线性代数(四)-矩阵分块法
    分块矩阵的初等变换,又称广义初等变换,可以用来解决一些较为深入的秩的定理,还在相似、合同理论中有重要的应用。
    所谓分块矩阵的初等变换,实际上是对分块矩阵进行多次初等变换,使结果整体上来看相当于变换的是矩阵的子块。下面看一个例子:

    • 定理:设AFm×nA\in F^{m\times n}按行分块为A=[BC]A=\begin{bmatrix}B\\C\end{bmatrix},其中BFm1×n,CFm2×n,m1+m2=mB\in F^{m_1\times n},C\in F^{m_2\times n},m_1+m_2=m,矩阵DFm2×m1D\in F^{m_2\times m_1}。则可对AA进行若干次初等行变换(具体地,行倍加变换),使其变为[BC+DB]\begin{bmatrix}B\\C+DB\end{bmatrix}
      证:
      注意到C+DBC+DB的第i行为ci+diB=ci+j=1m1dijbjc_i+d_iB=c_i+\sum_{j=1}^{m_1}d_{ij}b_j,其中ci,dic_i,d_i分别是C,DC,D的第i行,bjb_jBB的第j行。于是只要依次将BB的第1行的di1d_{i1}倍、第2行的di2d_{i2}倍、……、第m1m_1行的dim1d_{im_1}倍加到CC的第i行,就将CC的第i行变成了C+DBC+DB的第i行。对i=1,2,...,m2i=1,2,...,m_2依次实施上述的一系列行倍加变换,就将AA变成了[BC+DB]\begin{bmatrix}B\\C+DB\end{bmatrix}

    上面这个例子中,通过多次的初等行倍加变换,将AA的子块CC变成了C+DBC+DB,即加上了AA的另一个子块BBDD倍(注意DD是乘在左边的),而这个“倍数”DD是没有限制的,这个DD无论怎么取,都能够找到上述一系列初等行倍加变换以完成子块CC的整体变换。这种“神奇”的技巧在理论分析时很有用,尤其是当你可以用这个技巧把矩阵的某个子块变成零矩阵时,能大大降低计算的难度。通过初等变换把一个矩阵的某个子块变成零矩阵的技术被称作分块消元法,俗称矩阵打洞术。(听说数学家华罗庚和他的学生就十分擅长这类技巧)

    我们已经知道对矩阵实施一次初等行变换与在其左边乘相应的初等矩阵的效果是等同的,如果进行一系列初等行变换,那么就相当于在左边乘一个可逆矩阵,那么上述例子中对应的可逆矩阵是什么呢?

    实际上,设对某矩阵AA进行共kk次初等行变换,得到矩阵GG,变换对应的初等矩阵分别为P1,P2,...,PkP_1,P_2,...,P_k,则PkPk1...P1A=GP_kP_{k-1}...P_1A=G,即对应在AA的左边乘了个可逆矩阵P=PkPk1...P1P=P_kP_{k-1}...P_1。而PkPk1...P1=PkPk1...P1IP_kP_{k-1}...P_1=P_kP_{k-1}...P_1I,所以可逆矩阵PP实际上就是对单位矩阵也实施同样的kk次初等行变换的结果。
    据此,上述例子中对应的可逆矩阵就应是[Em1ODEm2]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\D&E_{m_2}\end{bmatrix}(可以这样想:对[BC]\begin{bmatrix}B\\C\end{bmatrix}实施一系列初等行变换后得到的是[BC+DB]\begin{bmatrix}B\\C+DB\end{bmatrix},效果就是给CC加上了BBDD倍,那么对单位矩阵[Em1OOEm2]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\O&E_{m_2}\end{bmatrix}实施相同的初等行变换后,效果应该是相同的,即给[OEm2]\begin{bmatrix}O&E_{m_2}\end{bmatrix}加上[Em1O]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\end{bmatrix}DD倍,于是得到[Em1ODEm2]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\D&E_{m_2}\end{bmatrix})。验证一下,根据行列式的拉普拉斯展开式,[Em1ODEm2]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\D&E_{m_2}\end{bmatrix}确实是一个可逆矩阵,根据分块矩阵乘法,[Em1ODEm2][BC]=[BC+DB]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\D&E_{m_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B\\C\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B\\C+DB\end{bmatrix}确实成立。

    前面说过三种初等行(列)变换对应三种初等矩阵,类比一下,对分块矩阵实施三种分块行初等变换就对应于在原矩阵的左边乘三种分块初等矩阵,类似地,对分块矩阵实施三种分块列初等变换就对应于在原矩阵的右边乘三种分块初等矩阵

    三种分块初等矩阵是指(为简单起见,以下只给出了四分块的情形):
    分块倍加阵[Em1OCEm2]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\C&E_{m_2}\end{bmatrix}[Em1COEm2]\begin{bmatrix}E_{m_1}&C\\O&E_{m_2}\end{bmatrix}
    分块倍乘阵[COOE]\begin{bmatrix}C&O\\O&E\end{bmatrix}[EOOC]\begin{bmatrix}E&O\\O&C\end{bmatrix},其中CC可逆;
    分块互换阵[OEm2Em1O]\begin{bmatrix}O&E_{m_2}&\\E_{m_1}&O\end{bmatrix}
    【注】分块初等矩阵并不是初等矩阵,初等矩阵是单位矩阵进行一次初等变换得到的,而分块初等矩阵需要单位矩阵经过多次初等变换才能得到

    分块行初等变换:

    • 分块行倍加变换:[Em1OCEm2][Am1×nBm2×n]=[AB+CA]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\C&E_{m_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_{m_1\times n}\\B_{m_2\times n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A\\B+CA\end{bmatrix}
      (相当于给BB加上了AACC倍,注意“倍数”CC乘在了AA的左边)
    • 分块行倍乘变换:[COOE][AB]=[CAB]\begin{bmatrix}C&O\\O&E\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}CA\\B\end{bmatrix},其中CC可逆的
      (相当于给AA乘上了CC倍,注意“倍数”CC乘在了AA的左边)
    • 分块行互换变换:[OEm2Em1O][Am1×nBm2×n]=[BA]\begin{bmatrix}O&E_{m_2}&\\E_{m_1}&O\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_{m_1\times n}\\B_{m_2\times n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B\\A\end{bmatrix}
      (相当于把子块AABB交换了一下)

    分块列初等变换:

    • 分块列倍加变换:[An×m1Bn×m2][Em1OCEm2]=[A+BCB]\begin{bmatrix}A_{n\times m_1}&B_{n\times m_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\C&E_{m_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A+BC&B\end{bmatrix}
      (相当于给AA加上了BBCC倍,注意“倍数”CC乘在了BB的右边)
    • 分块列倍乘变换:[An×m1Bn×m2][COOEm2]=[ACB]\begin{bmatrix}A_{n\times m_1}&B_{n\times m_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}C&O\\O&E_{m_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}AC&B\end{bmatrix},其中CC可逆的
      (相当于给AA乘上了CC倍,注意“倍数”CC乘在了AA的右边)
    • 分块列互换变换:[An×m1Bn×m2][OEm2Em1O]=[BA]\begin{bmatrix}A_{n\times m_1}&B_{n\times m_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}O&E_{m_2}&\\E_{m_1}&O\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B&A\end{bmatrix}
      (相当于把子块AABB交换了一下)

    正如上面的定理指出的,一次分块倍加变换可通过多次一般的倍加变换完成。一次分块互换变换也可通过多次一般的互换变换完成。但是一次分块倍乘变换不一定可由多次一般的倍乘变换完成,而是在同一个子块内灵活地运用三种初等变换,关于这一点读者可自行研究。因为分块初等变换实际上不过是执行了多次一般的初等变换而已,所以分块初等变换均不改变矩阵的秩。此外,分块倍加变换不改变矩阵的行列式的值。

    矩阵打洞技巧

    这里列举几个常常碰到的矩阵打洞的情形,具体的用法请参考后文以及后面的博客。(以分块行初等变换为例)

    • [BAB]\begin{bmatrix}B\\AB\end{bmatrix}:给子块ABAB加上子块BBA-A倍,就能把ABAB消掉。[EOAE][BAB]=[BO]\begin{bmatrix}E&O\\-A&E\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B\\AB\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B\\O\end{bmatrix}
    • [AB]\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}:如果AA可逆,则无论BB是什么都能消掉BB[EOBA1E][AB]=[AO]\begin{bmatrix}E&O\\-BA^{-1}&E\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A\\O\end{bmatrix}

    暂时这两个,想到不一样的再补充~~

    方阵乘积的行列式公式
    • 定理:设A,BFn×nA,B\in F^{n\times n},则det(AB)=det(A)det(B)det(AB)=det(A)det(B)
      证:
      对分块矩阵做如下初等变换:[ABOOIn]行倍加[ABAOIn]列倍加[OABIn]\begin{bmatrix}AB&O\\O&I_n\end{bmatrix}\overset{\text{行倍加}}{\rightarrow}\begin{bmatrix}AB&A\\O&I_n\end{bmatrix}\overset{\text{列倍加}}{\rightarrow}\begin{bmatrix}O&A\\-B&I_n\end{bmatrix}因为倍加变换不改变行列式的值,所以应用拉普拉斯公式就有det(AB)=det[ABOOIn]=det[OABIn]=(1)n2det(A)det(B)=det(A)det(B)det(AB)=det\begin{bmatrix}AB&O\\O&I_n\end{bmatrix}=det\begin{bmatrix}O&A\\-B&I_n\end{bmatrix}\\=(-1)^{n^2}det(A)det(-B)=det(A)det(B)
    分块矩阵的逆

    分块初等矩阵的逆:

    • [Em1OCEm2]1=[Em1OCEm2]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\C&E_{m_2}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\-C&E_{m_2}\end{bmatrix}
    • [COOEm2]1=[C1OOEm2]\begin{bmatrix}C&O\\O&E_{m_2}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}C^{-1}&O\\O&E_{m_2}\end{bmatrix},其中CC可逆
    • [OEm2Em1O]1=[OEm1Em2O]\begin{bmatrix}O&E_{m_2}&\\E_{m_1}&O\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}O&E_{m_1}&\\E_{m_2}&O\end{bmatrix}

    分块矩阵的逆的一般公式由以下结论导出:

    • 定理:设AFm×mA\in F^{m\times m}可逆,DFn×nD\in F^{n\times n},则[ABCD]\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}可逆的充要条件为M=DCA1BM=D-CA^{-1}B可逆,且[ABCD]1=[A1+A1DM1CA1A1DM1M1CA1M1]\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}DM^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}DM^{-1}\\-M^{-1}CA^{-1}&M^{-1}\end{bmatrix}
      证:
      [ABCD]行倍加[ABODCA1B]列倍加[AOODCA1B]\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\overset{\text{行倍加}}{\rightarrow}\begin{bmatrix}A&B\\O&D-CA^{-1}B\end{bmatrix}\overset{\text{列倍加}}{\rightarrow}\begin{bmatrix}A&O\\O&D-CA^{-1}B\end{bmatrix}由倍加变换不改变行列式的值,得det[ABCD]=det[AOODCA1B]=det(A)det(M)det\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=det\begin{bmatrix}A&O\\O&D-CA^{-1}B\end{bmatrix}=det(A)det(M)det[ABCD]0det\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\neq 0的充要条件为det(M)0det(M)\neq 0,得证。
      将上述初等变换用分块初等矩阵写出就是[EmOCA1En][ABCD][EmA1BOEn]=[AOOM]\begin{bmatrix}E_{m}&O\\-CA^{-1}&E_{n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_{m}&-A^{-1}B\\O&E_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&O\\O&M\end{bmatrix}于是[ABCD]1=([EmOCA1En]1[AOOM][EmA1BOEn]1)1=[EmA1BOEn][A1OOM1][EmOCA1En]=[A1+A1BM1CA1A1BM1M1CA1M1]\begin{aligned}\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}^{-1}&=\left(\begin{bmatrix}E_{m}&O\\-CA^{-1}&E_{n}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}A&O\\O&M\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_{m}&-A^{-1}B\\O&E_{n}\end{bmatrix}^{-1}\right)^{-1}\\&=\begin{bmatrix}E_{m}&-A^{-1}B\\O&E_{n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A^{-1}&O\\O&M^{-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_{m}&O\\-CA^{-1}&E_{n}\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}BM^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BM^{-1}\\-M^{-1}CA^{-1}&M^{-1}\end{bmatrix}\end{aligned}可以使用逆矩阵的定义验证一下上式是否正确。

    同理可得

    • 定理:设DFn×nD\in F^{n\times n}可逆,AFm×mA\in F^{m\times m},则[ABCD]\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}可逆的充要条件为M=ABD1CM=A-BD^{-1}C可逆,且[ABCD]1=[M1M1BD1D1CM1D1+D1CM1BD1]\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}M^{-1}&-M^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}CM^{-1}&D^{-1}+D^{-1}CM^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}