这篇文章主要是面向高中水平的读者的，我们以另外一个视角串联高中所学的部分知识。

首先，我们首先考虑这样一个问题，如何表示二维平面（平面直角坐标系）上的点？显然，用实数对就行了，

接下来，我们引入复数，显然，每一个二次方程都可以写作

随后我们考虑其中

例1：求

解：

例2：求

解：复数

例3：求

解：用例2的方法，可得

例4：证明欧拉恒等式：

解：因为

下面，我们用这个指数来研究三角函数的性质，我们有

接下来，看几个例子。

例5：推导

解：

事实上，如果我们忘记了三角函数和的公式，我们只需要像下面这样推导，就可以得到正弦和余弦的两角和公式。

例6：推导

解：

例7：推导

解：

例7：设

解：我们首先将

例8：求

解：原式

以上，我们绕过了三角函数的直接运算，将被积函数化简，下面进行积分

这个例子演示了使用指数代换将复杂的三角函数表达式化简的过程，在碰到复杂的三角函数式子是可以尝试指数代换，用指数的操作代替三角函数的操作。

复数复变函数的Matlab计算与绘图

周铁戈

复数的表示

存在两种表示方法，一种是代数式，一种是指数式，在Matlab中的方式如下：

>> z=1+2i            #代数式，1为实部，2为虚部

z = 1.0000 + 2.0000i    #这是显示的结果

或者

>> z=2*exp(i*pi/6)     #指数式，模为2，辐角为π/6

z = 1.7321 + 1.0000i    # i是虚数单位

>>是Matlab的输入提示符，它的后面输入命令，回车后就可以运行。

复数的乘除法

>> (3+4i)*(2-5i)/2i

ans = -3.5000 -13.0000i

复数开方

>> sqrt(-1)

ans = 0.0000 + 1.0000i    #  sqrt函数只给出一个结果

幂运算

>> i^3

ans = 0.0000 - 1.0000i

指数函数

>> exp(i)

ans =  0.5403 + 0.8415i

自然对数

>> log(-1)

ans = 0.0000 + 3.1416i

复数的常用函数

取实部

>> real(1+2i)

ans = 1

取虚部

>> imag(1+2i)

ans = 2

取共轭

>> conj(1+2i)

ans = 1.0000 - 2.0000i

求模

>> abs(1+2i)

ans = 2.2361

求辐角

>> 180/pi*angle(1+1i)

ans = 45

复数方程求根

>> syms x;  #定义符号变量

>> roots=solve(x^3+8)    #可以求出(-8)^(1/3)的3个结果

>> roots = [        -2]

[ 1-i*3^(1/2)]

[ 1+i*3^(1/2)]

极限的计算

>> syms z;

>> f=sin(z)/z;      #  sinz/z在0的极限

>> limit(f,z,0)

ans = 1

求导

>> syms z;

>> f=sin(z);

>> diff(f,z)

ans = cos(z)

计算留数

函数为f(z) = z/(z^4-1)，结果中R是留数，P是极点

>> B=[1,0];         #分子多项式的系数

>> A=[1,0,0,0,-1];    #分母多项式的系数

>> [R P K]=residue(B,A)  #计算留数的命令

R =

0.2500 + 0.0000i

0.2500 + 0.0000i

-0.2500 - 0.0000i

-0.2500 + 0.0000i

P =

-1.0000 + 0.0000i

1.0000 + 0.0000i

0.0000 + 1.0000i

0.0000 - 1.0000i

K =

[]

计算复变函数的积分

计算f(z)=z的积分，积分路径是从(0, 0)到(3, 4)的线段。

>> syms z t;

>> z=(3+4i)*t;      #积分路径的参数方程

>> int(z*diff(z),t,0,1)

计算是采用参数方程描述积分路径，给出的结果如下：

ans = - 7/2 + 12i

还可以用下面的命令直接计算

>> syms z;

>> int(z,z,0,3+4i)

ans = - 7/2 + 12i

计算f(z)=zcosz从0到i的积分

>> syms z;

>> f=z*cos(z);

>> int(f,z,0,i)

ans = exp(-1) – 1

计算f(z)=z^n沿闭合曲线的积分

>> syms z r t;

>> z=r*exp(i*t);    #参数方程，半径为r中心在原点的圆

>> int(z^(-1)*diff(z,t),t,0,2*pi)   #  z^(-1)的积分

ans =pi*2i

>> int(z^(-2)*diff(z,t),t,0,2*pi)   #  z^(-2)的积分

ans = 0

>> int(z^(3)*diff(z,t),t,0,2*pi)    #  z^(3)的积分

ans = 0

taylor级数展开

>> clear

>> syms z

>> f=1/(1+z)^2;   #被展开的函数

>> F=taylor(f,z,0,'Order',10)

F =- 10*z^9 + 9*z^8 - 8*z^7 + 7*z^6 - 6*z^5 + 5*z^4 - 4*z^3 + 3*z^2 - 2*z + 1

或者

>> taylor(f)

ans = - 6*z^5 + 5*z^4 - 4*z^3 + 3*z^2 - 2*z + 1

Fourier变换与逆变换

>> syms t;

>> fourier(exp(-t^2))     #傅里叶变换

ans =pi^(1/2)*exp(-w^2/4)

>> ifourier(ans)         #傅里叶逆变换

ans =exp(-x^2)

Laplace变换与逆变换

>> syms w t;

>> f=sin(w*t);

>> laplace(f)             #普拉斯变换

ans = w/(s^2 + w^2)

>> ilaplace(ans)          #普拉斯逆变换

ans = sin(t*w)

绘图

f(z) = z的图像，单值函数，见图1。

>> z=cplxgrid(30);

>> cplxmap(z,z)

>> colorbar('vert')

>> title('z’)

图1 f(z)=z的图像，竖直方向的坐标代表z的实部，颜色代表z的虚部

f(z) = z^3的图像，单值函数，见图2。

>> z=cplxgrid(30);

>> cplxmap(z,z.^3)

>> colorbar('vert')

>> title(‘z^3’)

图2 f(z)=z^3的图像，竖直方向的坐标代表z的实部，颜色代表z的虚部

f(z)=z^(1/2)的图像，多值函数，见图3。

>> z=cplxgrid(30);

>> cplxroot(2);

>> colorbar('vert')

图3 f(z)=z^(1/2)的图像

f(z)=Lnz的图像，多值函数，见图4。下面是一段Matlab程序。

z=cplxgrid(30);

w=log(z);

for k=0:3

w=w+2*pi*i;

surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w));

hold on

end

view(-75,30)

图4 f(z)=Lnz的图像，竖直方向的坐标表示虚部，颜色表示实部

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