【课程介绍】

介绍MATLAB中的复变函数计算和绘图。

【课程收益】

MATLAB复变函数计算

MATLAB复变函数绘图
第一章：MATLAB复变函数计算
    1. 构造复数和复数矩阵 9:07
    2. 复数运算-复数的实部和虚部、共轭复数 3:39
    3. 复数运算-复数的模和辐角 6:13
    4. 复数运算-复数的乘除法、指数运算和对数运算 6:04
    5. 复数运算-复数的平方根运算、幂运算和三角函数运算 4:55
    6. 求方程的复数根 4:42
    7. 复变函数的导数和积分 5:09

第二章：MATLAB复变函数绘图
    1. 复变函数的图形-二维图形 6:43
    2. 复变函数的图形-三维图形 13:11

视频教程入口

由于一些原因没有参加学校的期末考试，学校的一些课程也没有学完，所以只好在暑假卑微的看复变函数，看了一些下载的网课基本上有点感觉，做个总结，之后的学习中应该也那用到叭。

复变函数目录
一.复数及其运算
1.求复数的虚部和实部
2.求模、辐角和辐角主值
3.复数开方
4.代数式、三角式、指数式相互转换
二.复数形式的方程映射
1.将直角坐标方程化为复数形式方程
2.将复数形式方程转换为直角坐标方程
3.求映射下的象
三.常见的四种函数
1.求复数的三角函数
2.求复数的对数函数
3.求复数的指数函数
4.求复数的幂函数
四.解析调和、求导
1.求导数
2.解析、可导、有极限关系
3.判断可导与解析
4.证明调和函数
5.求共轭调和函数
6.求解析函数
五.积分
1.奇点问题
2.C为线段求积分
3.C为弧求积分

一.复数及其运算
1.求复数的虚部和实部


只要把复数写出来，这种题目就迎刃而解吧。

2.求模、辐角和辐角主值


求模：复数的求模和向量类似，把实部虚部平方和开方就行。

辐角主值：做出复数的图，辐角就是复数图像与实轴正方向的夹角，但其也有范围限制，要求在正负pi之间，是一个固定的值。

辐角：在辐角的基础上加周期，一个周期为2pi。

另外还有一些基础的运算关系：



3.复数开方


复数的开方实际上是复数的幂运算的一种简单形式，有固定的套路，按套路带入相应的模和辐角主值即可。注意的是复数开n次方的就有n个结果，这与其图像对应，复平面上一个复数开n次根的图像就是以此复数的模为半径的一个圆的n分线。

4.代数式、三角式、指数式相互转换


三者之间的转换始终围绕着俩个因素：模和辐角主值，把握住这俩个灵魂，涉及这三者的转换问题就小菜一碟。

在后期的运算中经常需要对复数进行三个形态之间的转换。

二.复数形式的方程映射

前面一章节主要是针对复数本身的运算，这一章提升到了函数的层次，与直角坐标系建立连接，相当于是复变函数新知识和之前所学的函数的呼应吧。主要内容为函数的形式转换和映射。

1.将直角坐标方程化为复数形式方程

主要是直角坐标系下的一般方程和参数方程转换为复数形式。

参数方程：



参数方程的转换很简单，只要将xy原封不动的带入复数形式就行。

一般方程：



一般方程的转换，宗旨是用复数替代x、y，所以解题方法就反向下手，将x、y用复数表示出然后带入原方程就得到了复数形式。利用复数与其共轭复数相加的运算可得出x、y与复数的关系。

2.将复数形式方程转换为直角坐标方程


解题方法与上一节相反。
3.求映射下的象


相当于对复数的运算。



相当于求映射后的复数的辐角范围，采用其对数形式比较简单，因为对数形式那直接看出辐角的范围变化。



此处映射相当于是连接俩个平面，利用函数关系式，z中的x、y对应着w中的u、v，所以主要是用u、v表示出x、y，这也代表着映射的关系转换。

PS：复数不能比较大小，除非只有实部

三.常见的四种函数
1.求复数的三角函数


求复数的三角函数，把复数看作一个整体，然后套用公式：

即可，注意，此时的三角函数的大小不受限制。

2.求复数的对数函数


在复数的对数中即使要求的复数只有实部，也要按照复数来处理。注意复变函数中的对数书写方式为Ln，其运算也与ln不相同：



复数的对数函数的结果是个周期结果。

值得注意的是Ln的主值与ln相同，都是去掉周期性的Ln


3.求复数的指数函数

主要围绕此公式展开计算：





不要将指数函数和前面的复数的指数形式混淆，下面练习一道题：

此类型题的解法主要是取对数，然后利用对数的运算解题（注意对数函数的周期性）。
4.求复数的幂函数

幂函数中分为三种情况：

指数为分数的情况与前面的复数开方相对应，而且与开方一样，也有多个结果：



当指数为复数时通过取对数Ln的方式来化解，必要时还要利用复数的指数计算：





注意当指数为负数时，结果与指数是正数时互为倒数：



四.解析调和、求导
1.求导数

对复数函数求导主要有俩种类型：

第一种：在u、v中分别对x求导，注意 ：u、v都对x求导，然后相加即可。



第二种：复数以整体的形式出现时就把复数当作实数来处理，而且此时复数的导数运算规则与实数相同，如示：




2.解析、可导、有极限关系

3.判断可导与解析

判断可导与解析主要看如下公式：





练习一道习题：



4.证明调和函数

证明调和函数就俩个条件：



当俩个条件都满足时，此函数为调和函数。


5.求共轭调和函数

共轭调和函数是建立在调和函数的基础上的，俩个函数分别是对应解析函数的实部和虚部。求共轭调和函数公式如下：




6.求解析函数

上面说了，调和函数和共轭调和函数相当于解析函数的实部和虚部，所以求解析函数就是求，调和函数和共轭调和函数。

具体求解析函数方法如下：

以（z，0）坐标带入调和函数和共轭调和函数




五.积分
1.奇点问题

关于奇点问题无非就是有没有奇点？有几个奇点？已知奇点求积分？


第一种：判断奇点，并求出奇点

就是找出z不能取的值，然后判断不能取的值在不在C的范围内即可




第二种：没有奇点时，求积分，都为0




第三种：只有一个奇点，求积分，依靠这俩个公式就可以了：



Z0就是对应奇点的值，到时候带入就行。要注意分母形态的切换




第四种：有多个奇点情况下求积分时，将每个奇点的对应的积分求出来之后相加就行。



2.C为线段求积分

相当于用x把z完全替换，需要注意的是C积分路径是有方向的。



C也可以分段来求



3.C为弧求积分

C为线段时是用x替换z，C为弧段时要用弧度代替z，实际上也就是个消元思想吧，将代表弧段的参数方程求出来，发现里面唯一的变量就是弧度，所以理所应当的就利用弧度替换x、y、z来简化积分。

需要注意的是：这种情况下经常把复数换为指数形式比较简单，因为涉及到了弧度问题。

文章目录
一、复数的几何表示
学习目标
1、复数的模与辐角、辐角主值
1.1、模 
1.2、辐角
1.3、辐角主值
1.4、辐角主值的计算
1.5、辐角的计算
2、复数的表示
2.1、代数表示
2.2、三角表示
2.3、指数表示
二、复数的乘幂与方根
学习目标
1、乘积
2、商
3、幂
4、根
三、映射
学习目标
1、映射的概念
小牛试刀

一、复数的几何表示
学习目标

会求复数的模与辐角、辐角主值.
复数的代数表示、三角表示、指数表示要会相互转换.
已知一个复数方程要会判别它是什么曲线.
已知曲线的实数方程要会写出相应的复数方程.

1、复数的模与辐角、辐角主值
1.1、模 

    在复平面上，复数 $z$ 与从原点指向点 $z=x+iy$ 的平面向量一一对应，因此复数 $z$ 能用向量来表示。向量的长度称为 $z$ 的模或绝对值，记作$|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}$
1.2、辐角
    在 $z\neq0$ 的情况下，以正实轴为初始边，以表示 $z$ 的向量为终边的角的弧度数 $\theta$ 称为 $z$ 的辐角，记作

$Argz=\theta$这时有$tan(Argz)=\frac{y}{x}$    我们知道，任何一个复数 $z\neq0$ 有无穷多个辐角. 如果 $\theta_1$是其中一个，那么$Argz=\theta_1+2k\pi(k为任意整数)$就给出了 $z$ 的全部辐角.
1.3、辐角主值
    在 $z(\neq0)$ 的辐角中，我们把满足 $-\pi<\theta_0\leq\pi$ 的 $\theta_0$ 称为 $Argz$ 的主值，记作$\theta_0=argz$

特别注意：当 $z=0$ 时，$|z|=0$ ，而辐角不确定. 
1.4、辐角主值的计算
    在 $z\neq0$ 的情况下，辐角主值可以这样求：

$argz =\begin{cases} 
arctan \frac{y}{x}  & x>0 \\ 
\ \ \ \ \ \frac{\pi}{2}  & x=0,y>0  \\
\ \ -\frac{\pi}{2}  &x=0,y<0 \\
arctan\frac{y}{x}+\pi  &x<0,y\geq0 \\
arctan\frac{y}{x}-\pi & x<0,y<0
\end{cases}$
1.5、辐角的计算
    $Argz=argz+2k\pi(k为任意整数)$

2、复数的表示
2.1、代数表示
$z=x+iy$
2.2、三角表示
    利用直角坐标与极坐标的关系：$x=rcos\theta,y=rsin\theta$，还可以把 $z$ 表示成下面的形式：$z=r(cos\theta+isin\theta)$称为复数的三角表达式.
2.3、指数表示
    再利用欧拉公式：$e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$，我们又可以得到$z=re^{i\theta}$这种表示形式称为复数的指数表达式.
二、复数的乘幂与方根
学习目标

会用三角形式与指数形式求两个复数乘积与商
理解两个复数乘积的几何意义
会用三角形式与指数形式求复数的幂与方根

1、乘积
    定理：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积；两个复数乘积的辐角等于他们的辐角的和。

    三角形式：设有两个复数：$z_1=r_1(cos\theta_1+isin\theta_1)，z_2=r_2(cos\theta_2+isin\theta_2)$那么$z_1z_2=(cos\theta_1+isin\theta_1)(cos\theta_2+isin\theta_2)$$=r_1r_2[(cos\theta_1cos\theta_2-sin\theta_1sin\theta_2)$$+i(sin\theta_1cos\theta_2+cos\theta_1sin\theta_2)]$$=r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2)+i(sin\theta_1+sin\theta_2)]$于是$|z_1z_2|=|z_1||z_2|$$Arg(z_1z_2)=Argz_1+Argz_2$

    指数形式：如果用指数形式表示复数：$z_1=r_1e^{i\theta_1}，z_2=r_2e^{i\theta_2}$那么可以简明的表示为：$z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta1+\theta_2)}$
2、商
    定理：两个复数的商的模等于它们的模的商；两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差

    按照商的定义，当 $z_1\neq0$ 时，有$z_2=\frac{z_2}{z_1}z_1$由复数乘积的定义，就有$|z_2|=|\frac{z_2}{z_1}||z_1|$$Argz_2=Arg(\frac{z_2}{z_1})+Argz_1$于是$|\frac{z_2}{z_1}|=\frac{|z_2|}{|z_1|}$$Arg(\frac{z_2}{z_1})=Argz_2-Argz_1$

    指数形式：如果用指数形式表示复数：$z_1=r_1e^{i\theta_1}，z_2=r_2e^{i\theta_2}$那么定理可以简明地表示为$\frac{z_2}{z_1}=\frac{r_2}{r_1}e^{i(\theta_2-\theta_1)}$
3、幂
    $n$ 个相同复数 $z$ 的乘积称为 $z$ 的 $n$ 次幂，记作 $z^n$.

对于任何正整数 $n$ ,我们有$z^n=r^n(cosn\theta+isinn\theta)$
4、根
    当 $z$ 的值不等于零时，就有 $n$ 个不同的 $\omega$ 值与它对应. 每一个这样的值称为 $z$ 的 $n$ 次根，都记作 $\sqrt[n]{z}$,即$\omega=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+isin\frac{\theta+2k\pi}{n})$其中$k=0,1,2,···,n-1$
三、映射
学习目标

已知 $z$ 平面上的曲线，求在函数的映射下对应的 $w$ 平面的象


1、映射的概念
    如果用 $z$ 平面上的点表示自变量 $z$ 的值，而用另一个平面——$w$平面——上的点表示函数 $w$ 的值，那么函数 $w=f(z)$ 在几何上就可以看做是把 $z$ 平面上的一个点集 $D$ (定义集合)变到 $w$ 平面上的一个点集 $G$ (函数值集合)的映射. 其中 $w$ 称为 $z$ 的象，而 $z$ 称为 $w$ 的原象.

    记 $z=x+iy，w=u+iv$ ，则 $u=u(x,y), v=v(x,y)$.


小牛试刀
$Test1$：函数 $w=\frac{1}{z}$ 把下列 $z$ 平面上的曲线映射成 $w$ 平面上怎样的曲线 $?$

  $1、 x^2+y^2=4$

    原式$\Longrightarrow$$(|z|=2)$$\Longrightarrow$$(|\frac{1}{w}|=2)$$\Longrightarrow$$(|w|=\frac{1}{2})$$\Longrightarrow$$(u^2+v^2=\frac{1}{4})$


  $2、 x=y$

    $(w=\frac{1}{z})$$\Longrightarrow$$(w=\frac{1}{x+iy})$$\Longrightarrow$$(w=\frac{x-iy}{x^2+y^2})$$\Longrightarrow$$(u=\frac{x}{x^2+y^2}，v=\frac{-y}{x^2+y^2})$$\Longrightarrow$$(u=\frac{1}{2x}，v=\frac{-1}{2x})$$\Longrightarrow$$(v=-u)$


  $3、 x=1$

    $(u=\frac{x}{x^2+y^2}，v=\frac{-y}{x^2+y^2})$$\Longrightarrow$$(u=\frac{1}{1+y^2}， v=\frac{-y}{1+y^2})$$\Longrightarrow$$(\frac{u}{v}=\frac{1}{-y})$$\Longrightarrow$$(y=\frac{-v}{u})$$\Longrightarrow$$(u=\frac{1}{1+(\frac{v}{u})^2})$$\Longrightarrow$$[(u-\frac{1}{2})^2+v^2=\frac{1}{4}]$


  $4、 (x-1)^2+y^2=1$

    原式$\Longrightarrow$$(|z-1|=1)$$\Longrightarrow$$(|\frac{1}{w}-1|=1)$$\Longrightarrow$$(|\frac{1-w}{w}|=1)$$\Longrightarrow$$(|1-w|=|w|)$$\Longrightarrow$$[(1-u)^2+v^2=u^2+v^2]$$\Longrightarrow$$(u=\frac{1}{2})$



$Test2$：已知映射 $w=z^3$ ，求：

  $1）$ 点 $z_1=i，z_2=1+i，z_3=\sqrt{3}+i$ 在 $w$ 平面上的象；

  $2）$ 区域 $0<argz<\frac{\pi}{3}$ 在 $w$ 平面上的象.

$解$：

  $1）$ $w_1={z_1}^3=-i$

      $w_2={z_2}^3=-2+2i$

      $w_3={z_3}^3=8i$

  $2）$ 根据复数的乘积定理：复数乘积的辐角等于两辐角之和

      所以 $0<w<\pi$

一，复数的除法：

       复数变实数，需要用到共轭性质：，，

二，计算：

       分子分母同乘以分母的共轭复数：

三，复数的极坐标形式：


	
r：模        ：幅角


四，欧拉公式：


	
输入的是实数，输出的是复数，它的一般形式是，这种函数叫实变量复（数）值函数
五，指数函数的性质：

指数函数的运算法则（指数率）：，或者；
	
的求导法则：，或者
	
当时：，或者
	
这个定义符合无穷级数
六，两个复数相乘：

用极坐标算，只需将模r相乘，幅角相加：
	
用直角坐标算会很麻烦：
七，求积分：

直接算可以用分部积分法，但很麻烦
	
因为是的实数部分，所以可以将替换，原方程变为，积分完成后再去掉虚数部分即可
	

	
将转换成三角函数：
	
去掉虚数部分得：
八，计算：

在实数范围内，计算结果只有：1或±1
	
在复数范围内，计算结果有n个：单位圆上的n个等分点（，，……，）
	
证明：因为是单位圆，模相乘r=1；因为是等分点，幅角相加，
	
几何图见视频40:00~45:00