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2021-04-24 21:49:41
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1、1复指数信号(虚指数信号)(1)其中,根据欧拉公式有复指数信号是时间t的复函数。可以用两个实信号来表示复指数信号。模相位角实部虚部附:function fexp(d,w,t1,t2,a)%绘制复指数信号时域波形程序%t1: 绘制波形的起始时间%t2: 绘制波形的终止时间%d: 复指数信号复频率实部%w: 复指数信号复频率虚部%a: 复指数信号幅度t=t1:0.01:t2;f=a*exp(d+i*w)*t);fr=real(f);fi=imag(f);fa=abs(f);fn=angle(f);subplot(2,2,1)plot(t,fr)axis(t1,t2,-(max(fa)+0.5),m。
2、ax(fa)+0.5),title(实部);subplot(2,2,2)plot(t,fi)axis(t1,t2,-(max(fa)+0.5),max(fa)+0.5),title(虚部);subplot(2,2,3)plot(t,fa)axis(t1,t2,0,max(fa)+1)title(模);subplot(2,2,4)plot(t,fn)axis(t1,t2,-(max(fn)+1),max(fn)+1)title(相角);-此类问题也可以调用绘制复指数信号的波形的fexp函数来实现。例如:对应的MATLAB调用格式为:fexp(-0.5,8,0,5,3)(2)根据欧拉公式有对应的M。
3、ATLAB调用格式为fexp(0,pi/8,0,40,4)2复指数序列(虚指数序列)一般形式为:下列给出的是MATLAB的fzsxl函数格式。function fzsxl(n1,n2,a,w)%n1:绘制波形的复指数序列的起始时间序号%n2:绘制波形的复指数序列的终止时间序号%w:复指数序列的角频率%a: 复指数序列的底数n=n1:n2;x=(a*exp(i*w).n;Xr=real(x);Xi=imag(x);Xa=abs(x);Xn=angle(x);subplot(2,2,1), stem(n,Xr,filled),title(实部),xlabel(n);subplot(2,2,3), stem(n,Xi,filled),title(虚部);xlabel(n)subplot(2,2,2), stem(n,Xa,filled),title(模);xlabel(n)subplot(2,2,4), stem(n,Xn,filled),title(相角);xlabel(n)-此类问题也可以调用绘制复指数序列的波形的fzsxl函数来实现。例如,调用格式为:fzsxl(0,20,0.9,pi/6。
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首先,我们首先考虑这样一个问题,如何表示二维平面(平面直角坐标系)上的点?显然,用实数对就行了,
就表示了全部的点。那么还有别的办法吗?极坐标也可以,
也就表示了全部的点。
接下来,我们引入复数,显然,每一个二次方程都可以写作
的形式,当
时方程是没有实根的,为了让它有实根我们引入复数,并将实数的运算性质延伸到复数,定义复数单位
,满足
,我们发现
,并且,对于负数
,可以有
,因而
与
是上面的方程的两个根。由此像二维平面一样,我们可以用实数对表示一个复数,即
,也可以用类似极坐标的方式
。
随后我们考虑其中
的情形,
,显然它表达了复平面上的单位圆。我们用
表达单位圆上的点,下面我们说明用指数来表达这种定义是合理的,首先
,满足指数函数的乘法公式;并且,令
,
,也满足指数函数的导数公式,可见,这种定义方式是合理的。因此,对于任意的不为
的复数
,都可以有
,也就是说,我们用模长和角度刻画一个非
的复数。那么我们就可以用另一种视角来应对复数的乘除运算:设
,
,那么可以得到
,同理
,即分别将模长相乘除,将角度相加减就得结果,下面看几个例题。
例1:求
和
。
解:
对应的模长是
,角度是
;
对应的模长是
,角度是
。那么,
对应的模长就是
,角度为
,因此对应的复数是
。
对应的模长就是
,角度为
,因此对应的复数是
。
例2:求
的复数根。
解:复数
的模长为
,角度为
。设
的模长为
,角度为
。那么
,注意
,因而
;
。这样看起来只有一个根
,但是根据代数学基本定理,三次方程应当有三个复数解。问题出在哪呢?事实上,复数
的角度不应该是
,而可以是
,那么
的根是
,看似有无数个解,因为三角函数的周期性,这些角度对应的复数只有三个,即
时对应的值:
。
例3:求
的复数根(
且
)。
解:用例2的方法,可得
。
例4:证明欧拉恒等式:
。
解:因为
,带入
即得。
下面,我们用这个指数来研究三角函数的性质,我们有
,令变量为
,考虑到三角函数的奇偶性,有
,这样就可以将三角函数用指数表示,即:
,
,事实上,
与
互为共轭,
就是
的实部,
就是
的虚部。
接下来,看几个例子。
例5:推导
与
的表达式。
解:
事实上,如果我们忘记了三角函数和的公式,我们只需要像下面这样推导,就可以得到正弦和余弦的两角和公式。
,
,因而
,
。这样做实际上更为简单,之所以给出例5是因为这种处理方法在接下来一些问题中十分有用。
例6:推导
倍角的正弦和余弦公式。
解:
,因此,
,
。
例7:推导
倍角的正弦和余弦公式(
且
)。
解:
,因此,
,
。
例7:设
,
,求
,
。
解:我们首先将
转化成指数形式,
,再求它的原函数,得
。同理,
,再求它的原函数,得
。
例8:求
解:原式
以上,我们绕过了三角函数的直接运算,将被积函数化简,下面进行积分
这个例子演示了使用指数代换将复杂的三角函数表达式化简的过程,在碰到复杂的三角函数式子是可以尝试指数代换,用指数的操作代替三角函数的操作。
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周铁戈
复数的表示
存在两种表示方法,一种是代数式,一种是指数式,在Matlab中的方式如下:
>> z=1+2i #代数式,1为实部,2为虚部
z = 1.0000 + 2.0000i #这是显示的结果
或者
>> z=2*exp(i*pi/6) #指数式,模为2,辐角为π/6
z = 1.7321 + 1.0000i # i是虚数单位
>>是Matlab的输入提示符,它的后面输入命令,回车后就可以运行。
复数的乘除法
>> (3+4i)*(2-5i)/2i
ans = -3.5000 -13.0000i
复数开方
>> sqrt(-1)
ans = 0.0000 + 1.0000i # sqrt函数只给出一个结果
幂运算
>> i^3
ans = 0.0000 - 1.0000i
指数函数
>> exp(i)
ans = 0.5403 + 0.8415i
自然对数
>> log(-1)
ans = 0.0000 + 3.1416i
复数的常用函数
取实部
>> real(1+2i)
ans = 1
取虚部
>> imag(1+2i)
ans = 2
取共轭
>> conj(1+2i)
ans = 1.0000 - 2.0000i
求模
>> abs(1+2i)
ans = 2.2361
求辐角
>> 180/pi*angle(1+1i)
ans = 45
复数方程求根
>> syms x; #定义符号变量
>> roots=solve(x^3+8) #可以求出(-8)^(1/3)的3个结果
>> roots = [ -2]
[ 1-i*3^(1/2)]
[ 1+i*3^(1/2)]
极限的计算
>> syms z;
>> f=sin(z)/z; # sinz/z在0的极限
>> limit(f,z,0)
ans = 1
求导
>> syms z;
>> f=sin(z);
>> diff(f,z)
ans = cos(z)
计算留数
函数为f(z) = z/(z^4-1),结果中R是留数,P是极点
>> B=[1,0]; #分子多项式的系数
>> A=[1,0,0,0,-1]; #分母多项式的系数
>> [R P K]=residue(B,A) #计算留数的命令
R =
0.2500 + 0.0000i
0.2500 + 0.0000i
-0.2500 - 0.0000i
-0.2500 + 0.0000i
P =
-1.0000 + 0.0000i
1.0000 + 0.0000i
0.0000 + 1.0000i
0.0000 - 1.0000i
K =
[]
计算复变函数的积分
计算f(z)=z的积分,积分路径是从(0, 0)到(3, 4)的线段。
>> syms z t;
>> z=(3+4i)*t; #积分路径的参数方程
>> int(z*diff(z),t,0,1)
计算是采用参数方程描述积分路径,给出的结果如下:
ans = - 7/2 + 12i
还可以用下面的命令直接计算
>> syms z;
>> int(z,z,0,3+4i)
ans = - 7/2 + 12i
计算f(z)=zcosz从0到i的积分
>> syms z;
>> f=z*cos(z);
>> int(f,z,0,i)
ans = exp(-1) – 1
计算f(z)=z^n沿闭合曲线的积分
>> syms z r t;
>> z=r*exp(i*t); #参数方程,半径为r中心在原点的圆
>> int(z^(-1)*diff(z,t),t,0,2*pi) # z^(-1)的积分
ans =pi*2i
>> int(z^(-2)*diff(z,t),t,0,2*pi) # z^(-2)的积分
ans = 0
>> int(z^(3)*diff(z,t),t,0,2*pi) # z^(3)的积分
ans = 0
taylor级数展开
>> clear
>> syms z
>> f=1/(1+z)^2; #被展开的函数
>> F=taylor(f,z,0,'Order',10)
F =- 10*z^9 + 9*z^8 - 8*z^7 + 7*z^6 - 6*z^5 + 5*z^4 - 4*z^3 + 3*z^2 - 2*z + 1
或者
>> taylor(f)
ans = - 6*z^5 + 5*z^4 - 4*z^3 + 3*z^2 - 2*z + 1
Fourier变换与逆变换
>> syms t;
>> fourier(exp(-t^2)) #傅里叶变换
ans =pi^(1/2)*exp(-w^2/4)
>> ifourier(ans) #傅里叶逆变换
ans =exp(-x^2)
Laplace变换与逆变换
>> syms w t;
>> f=sin(w*t);
>> laplace(f) #普拉斯变换
ans = w/(s^2 + w^2)
>> ilaplace(ans) #普拉斯逆变换
ans = sin(t*w)
绘图
f(z) = z的图像,单值函数,见图1。
>> z=cplxgrid(30);
>> cplxmap(z,z)
>> colorbar('vert')
>> title('z’)
图1 f(z)=z的图像,竖直方向的坐标代表z的实部,颜色代表z的虚部
f(z) = z^3的图像,单值函数,见图2。
>> z=cplxgrid(30);
>> cplxmap(z,z.^3)
>> colorbar('vert')
>> title(‘z^3’)
图2 f(z)=z^3的图像,竖直方向的坐标代表z的实部,颜色代表z的虚部
f(z)=z^(1/2)的图像,多值函数,见图3。
>> z=cplxgrid(30);
>> cplxroot(2);
>> colorbar('vert')
图3 f(z)=z^(1/2)的图像
f(z)=Lnz的图像,多值函数,见图4。下面是一段Matlab程序。
z=cplxgrid(30);
w=log(z);
for k=0:3
w=w+2*pi*i;
surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w));
hold on
end
view(-75,30)
图4 f(z)=Lnz的图像,竖直方向的坐标表示虚部,颜色表示实部
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