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  • 复指数函数或序列的绘制
    2021-04-24 21:49:41

    《复指数函数或序列的绘制》由会员分享,可在线阅读,更多相关《复指数函数或序列的绘制(4页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。

    1、1复指数信号(虚指数信号)(1)其中,根据欧拉公式有复指数信号是时间t的复函数。可以用两个实信号来表示复指数信号。模相位角实部虚部附:function fexp(d,w,t1,t2,a)%绘制复指数信号时域波形程序%t1: 绘制波形的起始时间%t2: 绘制波形的终止时间%d: 复指数信号复频率实部%w: 复指数信号复频率虚部%a: 复指数信号幅度t=t1:0.01:t2;f=a*exp(d+i*w)*t);fr=real(f);fi=imag(f);fa=abs(f);fn=angle(f);subplot(2,2,1)plot(t,fr)axis(t1,t2,-(max(fa)+0.5),m。

    2、ax(fa)+0.5),title(实部);subplot(2,2,2)plot(t,fi)axis(t1,t2,-(max(fa)+0.5),max(fa)+0.5),title(虚部);subplot(2,2,3)plot(t,fa)axis(t1,t2,0,max(fa)+1)title(模);subplot(2,2,4)plot(t,fn)axis(t1,t2,-(max(fn)+1),max(fn)+1)title(相角);-此类问题也可以调用绘制复指数信号的波形的fexp函数来实现。例如:对应的MATLAB调用格式为:fexp(-0.5,8,0,5,3)(2)根据欧拉公式有对应的M。

    3、ATLAB调用格式为fexp(0,pi/8,0,40,4)2复指数序列(虚指数序列)一般形式为:下列给出的是MATLAB的fzsxl函数格式。function fzsxl(n1,n2,a,w)%n1:绘制波形的复指数序列的起始时间序号%n2:绘制波形的复指数序列的终止时间序号%w:复指数序列的角频率%a: 复指数序列的底数n=n1:n2;x=(a*exp(i*w).n;Xr=real(x);Xi=imag(x);Xa=abs(x);Xn=angle(x);subplot(2,2,1), stem(n,Xr,filled),title(实部),xlabel(n);subplot(2,2,3), stem(n,Xi,filled),title(虚部);xlabel(n)subplot(2,2,2), stem(n,Xa,filled),title(模);xlabel(n)subplot(2,2,4), stem(n,Xn,filled),title(相角);xlabel(n)-此类问题也可以调用绘制复指数序列的波形的fzsxl函数来实现。例如,调用格式为:fzsxl(0,20,0.9,pi/6。

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    这篇文章主要是面向高中水平的读者的,我们以另外一个视角串联高中所学的部分知识。

    首先,我们首先考虑这样一个问题,如何表示二维平面(平面直角坐标系)上的点?显然,用实数对就行了,

    就表示了全部的点。那么还有别的办法吗?极坐标也可以,
    也就表示了全部的点。

    接下来,我们引入复数,显然,每一个二次方程都可以写作

    的形式,当
    时方程是没有实根的,为了让它有实根我们引入复数,并将实数的运算性质延伸到复数,定义复数单位
    ,满足
    ,我们发现
    ,并且,对于负数
    ,可以有
    ,因而
    是上面的方程的两个根。由此像二维平面一样,我们可以用实数对表示一个复数,即
    ,也可以用类似极坐标的方式

    随后我们考虑其中

    的情形,
    ,显然它表达了复平面上的单位圆。我们用
    表达单位圆上的点,下面我们说明用指数来表达这种定义是合理的,首先
    ,满足指数函数的乘法公式;并且,令
    ,也满足指数函数的导数公式,可见,这种定义方式是合理的。因此,对于任意的不为
    的复数
    ,都可以有
    ,也就是说,我们用模长和角度刻画一个非
    的复数。那么我们就可以用另一种视角来应对复数的乘除运算:设
    ,那么可以得到
    ,同理
    ,即分别将模长相乘除,将角度相加减就得结果,下面看几个例题。

    例1:求

    解:

    对应的模长是
    ,角度是
    对应的模长是
    ,角度是
    。那么,
    对应的模长就是
    ,角度为
    ,因此对应的复数是
    对应的模长就是
    ,角度为
    ,因此对应的复数是

    例2:求

    的复数根。

    解:复数

    的模长为
    ,角度为
    。设
    的模长为
    ,角度为
    。那么
    ,注意
    ,因而
    。这样看起来只有一个根
    ,但是根据代数学基本定理,三次方程应当有三个复数解。问题出在哪呢?事实上,复数
    的角度不应该是
    ,而可以是
    ,那么
    的根是
    ,看似有无数个解,因为三角函数的周期性,这些角度对应的复数只有三个,即
    时对应的值:

    例3:求

    的复数根(
    )。

    解:用例2的方法,可得

    例4:证明欧拉恒等式:

    解:因为

    ,带入
    即得。

    下面,我们用这个指数来研究三角函数的性质,我们有

    ,令变量为
    ,考虑到三角函数的奇偶性,有
    ,这样就可以将三角函数用指数表示,即:
    ,事实上,
    互为共轭,
    就是
    的实部,
    就是
    的虚部。

    接下来,看几个例子。

    例5:推导

    的表达式。

    解:

    事实上,如果我们忘记了三角函数和的公式,我们只需要像下面这样推导,就可以得到正弦和余弦的两角和公式。

    ,因而
    。这样做实际上更为简单,之所以给出例5是因为这种处理方法在接下来一些问题中十分有用。

    例6:推导

    倍角的正弦和余弦公式。

    解:

    ,因此,

    例7:推导

    倍角的正弦和余弦公式(
    )。

    解:

    ,因此,

    例7:设

    ,求

    解:我们首先将

    转化成指数形式,
    ,再求它的原函数,得
    。同理,
    ,再求它的原函数,得

    例8:求

    解:原式

    以上,我们绕过了三角函数的直接运算,将被积函数化简,下面进行积分

    这个例子演示了使用指数代换将复杂的三角函数表达式化简的过程,在碰到复杂的三角函数式子是可以尝试指数代换,用指数的操作代替三角函数的操作。

    展开全文
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    复数复变函数的Matlab计算与绘图

    周铁戈

    复数的表示

    存在两种表示方法,一种是代数式,一种是指数式,在Matlab中的方式如下:

    >> z=1+2i            #代数式,1为实部,2为虚部

    z = 1.0000 + 2.0000i    #这是显示的结果

    或者

    >> z=2*exp(i*pi/6)     #指数式,模为2,辐角为π/6

    z = 1.7321 + 1.0000i    # i是虚数单位

    >>是Matlab的输入提示符,它的后面输入命令,回车后就可以运行。

    复数的乘除法

    >> (3+4i)*(2-5i)/2i

    ans = -3.5000 -13.0000i

    复数开方

    >> sqrt(-1)

    ans = 0.0000 + 1.0000i    #  sqrt函数只给出一个结果

    幂运算

    >> i^3

    ans = 0.0000 - 1.0000i

    指数函数

    >> exp(i)

    ans =  0.5403 + 0.8415i

    自然对数

    >> log(-1)

    ans = 0.0000 + 3.1416i

    复数的常用函数

    取实部

    >> real(1+2i)

    ans = 1

    取虚部

    >> imag(1+2i)

    ans = 2

    取共轭

    >> conj(1+2i)

    ans = 1.0000 - 2.0000i

    求模

    >> abs(1+2i)

    ans = 2.2361

    求辐角

    >> 180/pi*angle(1+1i)

    ans = 45

    复数方程求根

    >> syms x;  #定义符号变量

    >> roots=solve(x^3+8)    #可以求出(-8)^(1/3)的3个结果

    >> roots = [        -2]

    [ 1-i*3^(1/2)]

    [ 1+i*3^(1/2)]

    极限的计算

    >> syms z;

    >> f=sin(z)/z;      #  sinz/z在0的极限

    >> limit(f,z,0)

    ans = 1

    求导

    >> syms z;

    >> f=sin(z);

    >> diff(f,z)

    ans = cos(z)

    计算留数

    函数为f(z) = z/(z^4-1),结果中R是留数,P是极点

    >> B=[1,0];         #分子多项式的系数

    >> A=[1,0,0,0,-1];    #分母多项式的系数

    >> [R P K]=residue(B,A)  #计算留数的命令

    R =

    0.2500 + 0.0000i

    0.2500 + 0.0000i

    -0.2500 - 0.0000i

    -0.2500 + 0.0000i

    P =

    -1.0000 + 0.0000i

    1.0000 + 0.0000i

    0.0000 + 1.0000i

    0.0000 - 1.0000i

    K =

    []

    计算复变函数的积分

    计算f(z)=z的积分,积分路径是从(0, 0)到(3, 4)的线段。

    >> syms z t;

    >> z=(3+4i)*t;      #积分路径的参数方程

    >> int(z*diff(z),t,0,1)

    计算是采用参数方程描述积分路径,给出的结果如下:

    ans = - 7/2 + 12i

    还可以用下面的命令直接计算

    >> syms z;

    >> int(z,z,0,3+4i)

    ans = - 7/2 + 12i

    计算f(z)=zcosz从0到i的积分

    >> syms z;

    >> f=z*cos(z);

    >> int(f,z,0,i)

    ans = exp(-1) – 1

    计算f(z)=z^n沿闭合曲线的积分

    >> syms z r t;

    >> z=r*exp(i*t);    #参数方程,半径为r中心在原点的圆

    >> int(z^(-1)*diff(z,t),t,0,2*pi)   #  z^(-1)的积分

    ans =pi*2i

    >> int(z^(-2)*diff(z,t),t,0,2*pi)   #  z^(-2)的积分

    ans = 0

    >> int(z^(3)*diff(z,t),t,0,2*pi)    #  z^(3)的积分

    ans = 0

    taylor级数展开

    >> clear

    >> syms z

    >> f=1/(1+z)^2;   #被展开的函数

    >> F=taylor(f,z,0,'Order',10)

    F =- 10*z^9 + 9*z^8 - 8*z^7 + 7*z^6 - 6*z^5 + 5*z^4 - 4*z^3 + 3*z^2 - 2*z + 1

    或者

    >> taylor(f)

    ans = - 6*z^5 + 5*z^4 - 4*z^3 + 3*z^2 - 2*z + 1

    Fourier变换与逆变换

    >> syms t;

    >> fourier(exp(-t^2))     #傅里叶变换

    ans =pi^(1/2)*exp(-w^2/4)

    >> ifourier(ans)         #傅里叶逆变换

    ans =exp(-x^2)

    Laplace变换与逆变换

    >> syms w t;

    >> f=sin(w*t);

    >> laplace(f)             #普拉斯变换

    ans = w/(s^2 + w^2)

    >> ilaplace(ans)          #普拉斯逆变换

    ans = sin(t*w)

    绘图

    f(z) = z的图像,单值函数,见图1。

    >> z=cplxgrid(30);

    >> cplxmap(z,z)

    >> colorbar('vert')

    >> title('z’)

    8afe4e5c72739cf66a41f78bd7e04b30.png

    图1 f(z)=z的图像,竖直方向的坐标代表z的实部,颜色代表z的虚部

    f(z) = z^3的图像,单值函数,见图2。

    >> z=cplxgrid(30);

    >> cplxmap(z,z.^3)

    >> colorbar('vert')

    >> title(‘z^3’)

    f84d1665980165605beb6283aa991539.png

    图2 f(z)=z^3的图像,竖直方向的坐标代表z的实部,颜色代表z的虚部

    f(z)=z^(1/2)的图像,多值函数,见图3。

    >> z=cplxgrid(30);

    >> cplxroot(2);

    >> colorbar('vert')

    af4b8d67ba07fb9dc9fbf1fc71964f3f.png

    图3 f(z)=z^(1/2)的图像

    f(z)=Lnz的图像,多值函数,见图4。下面是一段Matlab程序。

    z=cplxgrid(30);

    w=log(z);

    for k=0:3

    w=w+2*pi*i;

    surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w));

    hold on

    end

    view(-75,30)

    7b1fe5a245966d3163008cad680d6000.png

    图4 f(z)=Lnz的图像,竖直方向的坐标表示虚部,颜色表示实部

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    介绍MATLAB中的函数计算和绘图。 【课程收益】 MATLAB函数计算 MATLAB函数绘图 第一章:MATLAB函数计算 1. 构造复数和复数矩阵 9:07 2. 复数运算-复数的实部和虚部、共轭复数 3:39 3. ...
  • 初等函数

    2020-09-27 21:20:27
    指数函数 性质 对数函数 性质 幂函数 性质 三角函数 性质 反三角函数 性质 双曲函数 性质 反双曲函数 性质
  • 实验三、复指数序列的绘图

    千次阅读 2020-11-10 16:21:09
    充分熟悉复指数函数exp的使用; 熟悉复指数函数的实部、虚部、振幅、相位的计算; 能够画出复指数函数实部、虚部、振幅、相位的图形。 二、实验步骤 用help查找exp函数的使用情况; 编辑并生成函数exp.m(单位脉冲...
  • 函数的积分

    万次阅读 多人点赞 2018-11-22 22:39:58
    文章目录一、函数积分的概念学习目标二、柯西-古萨(C-G)基本定理学习目标三、复数闭路定理学习目标四、原函数与不定积分学习目标五、柯西积分公式学习目标六、解析函数的高阶导数学习目标七、解析函数与调和函数...

空空如也

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复指数函数的模

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