傅里叶级数展开的定义

将一个周期信号分解为一个直流分量和一系列复指数信号分量之和的过程被称为傅里叶级数展开。
周期信号$f(t)$的傅里叶级数展开式为：$$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{e}^{jk{w}_{0}t}$$
其中：
$w_0:w_0=\frac{2\pi }{T}$，周期$T$确定了$w_0$就确定了

$c_k$:傅里叶系数，$c_0$就是直流分量

傅里叶级数展开的几何意义

傅里叶级数展开的本质就是用一系列角速度为$w=k{w}_0$的旋转向量$c_k{e}^{jk{w}_{0}t}$来合成周期信号。旋转向量在$t=0$时刻对应的向量就是傅里叶系数$c_k$
如下图所示：

傅里叶系数的计算公式

傅里叶系数的计算公式如下：$$c_k=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jk{w}_{0}t}dt(k=0,\pm 1,\pm 2,...)$$
这个公式是怎么得来的呢？

• 将傅里叶级数展开式中$k=m$那一项单独列出来：$$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{e}^{jk{w}_{0}t}=c_m{e}^{jm{w}_{0}t}+\sum _{k=-\infty ,k\ne m}^{\infty }{c}_k{e}^{jk{w}_{0}t}$$
• 两端乘以$e^{-jm{w}_{0}t}$:$$f(t)e^{-jm{w}_{0}t}=c_m{e}^{jm{w}_{0}t}{e}^{-jm{w}_{0}t}+\sum _{k=-\infty ,k\ne m}^{\infty }{c}_k{e}^{jk{w}_{0}t}{e}^{-jm{w}_{0}t}=c_m+\sum _{k=-\infty ,k\ne m}^{\infty }{c}_k{e}^{j(k-m)w_{0}t}$$
• 在基波周期内对两端进行积分：$${\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jm{w}_{0}t}dt={\int }_{-T/2}^{T/2}{c}_{m}dt+{\int }_{-T/2}^{T/2}\sum _{k=-\infty ,k\ne m}^{\infty }{c}_k{e}^{j(k-m)w_{0}t}dt$$
  根据复指数信号的正交性，上式中求和项的积分为0，因此：
  $${\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jm{w}_{0}t}dt={\int }_{-T/2}^{T/2}{c}_{m}dt=c_{m}T$$
• 求出$c_m$:
  $$c_m=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jm{w}_{0}t}dt$$

方波信号的傅里叶系数

方波信号$x(t)$周期为$T$,幅度为1，脉宽为$\tau$,对方波来说，占空比为$1/2$,因此$T=2\tau$

-先求$c_0$
$$c_0=\frac{1}{T}{\int }_{-\tau /2}^{\tau /2}x(t)dt=\frac{1}{T}{\int }_{-\tau /2}^{\tau /2}1dt=0.5$$

• 再来求$c_k$
  $$\begin{gathered} c_k=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-jk{w}_{0}t}dt=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}(\cos k{w}_{0}t-j\sin k{w}_{0}t)dt \\ =\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}\cos k{w}_{0}tdt-j\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}\sin k{w}_{0}tdt \\ =\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}\cos k{w}_{0}tdt \\ =\frac{2}{k{w}_{0}T}{\int }_0^{T/2}\cos k{w}_{0}td(k{w}_{0}t) \\ =\frac{sin(k{w}_0\tau /2)}{k{w}_{0}T/2} \end{gathered}$$
  由：$w_0=2\pi /T$,得：$w_{0}T=2\pi$
  又因为：$T=2\tau$,所以：$w_{0}2\tau =2\pi$，得到：$w_0\tau =\pi$
  得：
  $$c_k=\frac{1}{2}\frac{sin(k\pi /2)}{k\pi /2}=\frac{1}{2}sinc(\frac{k}{2})$$

周期矩形信号的傅里叶级数

在方波信号的傅里叶系数推导过程中，我们用$\tau$表示脉冲的宽度，用$T$表示脉冲的周期，得出傅里叶系数的表达式：
$$c_k=\frac{sin(k{w}_0\tau /2)}{k{w}_{0}T/2}$$
回顾整个推导过程可以发现，这个结果对幅值为1，脉冲为$\tau$,周期为$T$的周期矩形信号也是适用的。
因为：$w_0=2\pi /T$,所以：$w_0=2\pi$
假定占空比为$1/n$,即：$T=n\tau$,所以：$w_{0}n\tau =2\pi$,得到：$w_0\tau =2\pi /n$,代入上面的傅里叶系数表达式，得到：
$$c_k=\frac{1}{n}\frac{sin(k\pi /n)}{k\pi /n}=\frac{1}{n}sinc(\frac{k}{n})$$

      在MATLAB中貌似没有相关求解周期信号频谱的函数，在查阅了许多资料也没有找到比
较合适可靠的资料，于是自己琢磨了，写了也可以实现**有关正弦线性函数（可直接
用符号变量表达的）**的、和**脉冲周期（可用数字量表现的周期信号）**两类的傅
里叶级数求解！

在进入正题前先来了解下基本的理论知识：
首先是连续信号的傅里叶级数公式
一、有关正弦线性函数（可直接用符号变量表达的）信号
由于时间比较紧，也不做许多解释，核心点就是利用傅里叶级数公式，
其次就是注意符号变量表达式可以利用int积分函数，代码如下：
ps： 亲测可用，对应不同正弦线性函数信号，只需改下原函数即可，注意同时对w0进行更改，其为函数的最小频率，否则会出现错误；

t0=-10:0.01:10;
y0=cos(pi./2*t0);   
subplot(2,1,1);
plot(t0,y0);
xlabel('t');
ylabel('x(t)');%上述为绘制原信号图
grid on;
title('正弦信号');

N=21;    %（奇数）想要频谱左右显示的点数，此处为21个，即左右各10个频率点及k=0的一个点；
N0=(N+1)./2;%确定f=0点对应第几个点，其排序是从最左边开始排起，即第1个为k=-10；
a=ones(1,N);%给a（k）即傅里叶系数先定好对应行向量，方便后续运算；
syms z t y; %定义符号变量，方便积分
y=cos(t);
w0=1     ; %更变原信号时，此处应变为原信号的最小频率；
T=2*pi./w0; %以上为初始定义
for k=1:N;  %开始进行循环求出a（k）
if(k==N0)
z=y;        %因为a（0）的特殊性，故此处拿出单独计算；
a(k)=int(z,t,0,T)./(T);%傅里叶级数公式
else
z=y*exp(-i*(k-N0)*w0*t);%此处注意转换
a(k)=int(z,t,0,T)./(T);
end
end
k=-(N-1)./2:(N-1)./2;
subplot(2,1,2);
stem(k,a);  %绘制频谱图
grid on;
title('正弦信号频谱图');
xlabel('k');
ylabel('|a(k)|');
axis([-10,10,-1,1.5])

二、脉冲周期（可用数字量表现的周期信号），其核心点还是利用傅里叶级数公式，
其次就是下列非符号量函数不能用int函数，改成无穷求和函数trapz，代码如下：
ps：亲测可用，对于其它非符号变量函数，只需写一个周期对应函数即可

>> t=-10:0.01:10;
y=(square(pi./2*(t+0.5),25)+1)./2;
subplot(2,1,1);
plot(t,y);
grid on;
title('周期脉冲');
xlabel('t');
ylabel('x(t)');%上述为绘制原信号图
axis([-10,10,-0.5,1.5]);
N=21;         %想要绘制频谱的数目，一般为奇数因为包括k=0；
T1=0.5;        %高电平脉宽长的一半，方便表达单个周期的信号
T=4;          %周期
w0=2*pi./T;
t=-T1:0.001:T1;  %积分区间，具体可参考trapz函数的注释
a=ones(1,N);    %产生行矩阵存放各系数
y1=1*(t>-0.5)-1*(t>0.5);%一个周期的信号
for k=1:21;           %对a（k）进行求解赋值
z=1*exp(-i*(k-11)*w0*t);%积分对象函数可直接写，注意傅里叶级数的求解公式

a(k)=trapz(t,z)./T;      %积分
end
k=-10:10;
subplot(2,1,2);
stem(k,abs(a));        %绘制频谱图
grid on;
title('周期脉冲频谱图');
xlabel('k');
ylabel('|a(k)|');

附录;冲激串序列的傅里叶级数，其与上述（二）方法一样，只是改了原函数，代码如下：

>> t=-10:0.01:10;
y=1*(mod(t,4)==0);
subplot(2,1,1);
plot(t,y);
grid on;
title('周期脉冲');
xlabel('t');
ylabel('x(t)');%上述为绘制原信号图
axis([-10,10,-0.5,1.5]);

N=21;         %想要绘制频谱的数目，一般为奇数因为包括k=0；
T1=0.5;        %高电平脉宽长的一半，方便表达单个周期的信号
T=4;          %周期
w0=2*pi./T;
t=-T1:0.001:T1;  %积分区间，具体可参考trapz函数的注释
a=ones(1,N);    %产生行矩阵存放各系数
y1=1*(t==0);    %一个周期的信号
for k=1:21;           %对a（k）进行求解赋值
z=1*exp(-i*(k-11)*w0*t*0);%积分对象函数可直接写，注意傅里叶级数的求解公式
a(k)=trapz(t,z)./T;      %积分
end
k=-10:10;
subplot(2,1,2);
stem(k,abs(a));        %绘制频谱图
grid on;
title('周期脉冲频谱图');
xlabel('k');
ylabel('|a(k)|');

有所不足，欢迎讨论