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  • 在二维平面会涉及到两个变量x, y,并且有的时候需要计算两个二维坐标之前的距离,这个时候将二维坐标转化为复数的话那么就可以使用python中的abs...那么得到的就是两点之间的距离(对复数绝对值得到就是复数的模长)...

    在二维平面会涉及到两个变量x, y,并且有的时候需要计算两个二维坐标之间的距离,这个时候将二维坐标转化为复数的话那么就可以使用python中的abs绝对值函数对复数取绝对值来计算两个点之间的距离或者是计算复数的模,当我们将两个复数对应的坐标相减然后对其使用abs绝对值函数那么得到的就是两点之间的距离,对一个复数取绝对值得到的就是复数的模长

    if __name__ == '__main__':
        points = [[1, 0], [0, 1], [2, 1], [1, 2]]
        for i in points:
            print(i)
        # 使用python中的解包将每个点转换为复数表现形式
        points = [complex(*z) for z in points]
        for i in range(len(points)):
            # 计算每个复数的模长
            points[i] = abs(points[i])
        print(points)
    
        # 比如计算(0, 1) (1, 2)两点之间的距离
        point1 = complex(0, 1)
        point2 = complex(1, 2)
        dis = abs(point1 - point2)
        print(dis)

     

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  • 不管是实数绝对值,还是复数绝对值,就是这点在坐标平面上到原点的距离,那么的绝对值就等于这一点在复平面上的位置到原点的距离: 那么橙色这一段就是 的绝对值,这段距离要怎么求?我们可以找到一...

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    复数的绝对值

    复数的极坐标形式的直观解释练习


    复数的绝对值

    已知复数3-4i,我把它在复平面上标出来了:

     实部是3,也就是实轴上标注3,虚部是-4,纵轴向下4,这就是已知复数点 3-4i,我们要求的是\left | 3-4i \right |。不管是实数绝对值,还是复数绝对值,就是这点在坐标平面上到原点的距离,那么3-4i的绝对值就等于3-4i这一点在复平面上的位置到原点的距离:

    那么橙色这一段就是 3-4i的绝对值,这段距离要怎么求?我们可以找到一个直角三角形然后用勾股定理来求,大家看,要建立一个直角三角形的话,这段距离,从0到-4,所以距离是4。

    直角三角形的底边,从0到3,距离就是3,这就是直角:

    这条边是水平的,红色边是垂直的,下面可以用勾股定理来求\left | 3-4i \right |了,这点到原点的距离就是直角三角形的斜边长度,那么借助勾股定理,两直角边的平方:

    3^2+4^2=\left | 3-4i \right |^2=25

    刚已经说过了,绝对值就是求距离,绝对值一定是正值(至少是非负值),所以等式两边开平方,取正平方根,取正平方根的话,25开平方是5:

    \left | 3-4i \right |=5

    或者这么说,这段距离就是5,这个长度是5,好,假设我们没有画图,还有一种直接的计算方法。当然,实虚部还是已知的,我们可以把实虚分别平方,加和,然后开平方。如果大家不想画图看一下,可以直接这么做,实际刚刚我们也是这么算的。

    我们来做一下:实部平方 虚部平方 加和,然后开平方:

    \sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5

    复数的极坐标形式的直观解释练习

    题目要求我们调整橙色复数的模和角度,也就是图中的橙色的点:

    来跟蓝色的复数点-3.5+6.06i重合,也就是这个点,要弄明白这个坐标,我们先标一下坐标轴,纵轴是虚轴,横轴是实轴,蓝色复数,实部为3.5,这个我们已经在复平面上做出来了,虚部是6.06。很明显,题目的作图方式是极坐标的方式,同时告诉我们,可以调整复数的角度,极坐标中复数的角度,我们通常称作辅角,半径叫做模,下面我们来调整一下橙色点的位置。

    大家看,如果增大半径,点就会外延,

    而增大角度的话,比如3/π,

    在增大成π/2:

    直接变成2π/3。这样的复数的角度就对了,只要再增大半径就可以重合了:

     

    好的,重合时半径是7,角度是2π/3,下面来看,这个橙色点的复数是否就等于题目给的复数,橙色的点复数不仅在直角坐标系中,在具有实虚轴的复平面也表示了,下面我们来演算一下,我们来验证一下两个复数是不是相等的。

    那么,这个辅角,在复平面中,这个角,我们一般用\phi代表,\phi=2\pi /3

    这个角度是弧度制的,模,就是指原点到该点的长度,通过这个工具,我们知道这个长度是7,

    下面来验证一下,这个复数确实等于-3.5+6.06i,这个点的位置,模是7,辅角已知,可以用7乘以e的辅角次方表示:

    7e^\frac{2\pi i}{3}

    而根据欧拉公式,欧拉公式是数学史上非常著名非常有用的公式,这就等于:

    7(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})

    确实,这里系统写的复数与我们得到的一致。下面来求cos\frac{2\pi}{3}sin\frac{2\pi}{3}分别等于多少。

    既然要求某个角的正余弦,不可避免我们要想到单位圆,角度是\frac{2\pi}{3},我先画一个单位圆,希望大家不要把直角坐标系和刚我们研究的极坐标系混淆了,这不是极坐标系,因为表示的不是复数,这就是我们之前介绍过的单位圆,这是x轴,y轴:

     2\pi /3也就是120°,有点类似左边极坐标的表示,这个角度2\pi /3

     cos\frac{2\pi}{3}就是单位圆上这点的x坐标,

     sin\frac{2\pi}{3}就是单位圆上这点的y坐标,

    x坐标是什么呢?这个角度120°的话,这个角就是60°。

    所以这是有30-60度角的特殊直角三角形,因为这是单位圆,所以半径就是1,30度角的对边就是斜边的一半,也就是1/2:

     所以这个坐标是-1/2,而60度角的对边就是\frac{\sqrt{3}}{2},所以这个距离是\frac{\sqrt{3}}{2},大家可以在计算器上算一下:

    cos\frac{2\pi}{3}=-1/2

    根据我们找到的条件,那么得出:

    7(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})

    来看这个复数是不是等于题目给的复数:

    7(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})= -3.5+\frac{7\sqrt{3}}{2}i

    实部是相同的,都是-3.5,下面用计算器计算一下\frac{7\sqrt{3}}{2},虚部是不是在6.06左右,经过计算之后,确实等于6.06。得到的复数确实约等于-3.5+6.06i。跟题目给的信息一致的。


    ——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。  

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复数z的绝对值