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  • 我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)数称为复数,其中a称为实部,b称为虚部,i称为虚数单位。当z的虚部等于零时,常称z为实数;当z的虚部不等于零时,实部等于零时,常称z为纯虚数。复数域是实数域代数闭包,即任何复...

    我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数,其中a称为实部,b称为虚部,i称为虚数单位。当z的虚部等于零时,常称z为实数;当z的虚部不等于零时,实部等于零时,常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包,即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受

    02bd1010b4ec0af2f64deb1a26696498.png

    数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行(比如对负数开偶数次方),为了使方程有解,我们将数集再次扩充。

    在实数域上定义二元有序对z=(a,b),并规定有序对之间有运算"+"、"×" (记z1=(a,b),z2=(c,d)):

    z1 + z2=(a+c,b+d)

    z1 × z2=(ac-bd,bc+ad)

    容易验证,这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域,并且对任何复数z,我们有

    z=(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)

    令f是从实数域到复数域的映射,f(a)=(a,0),则这个映射保持了实数域上的加法和乘法,因此实数域可以嵌入复数域中,可以视为复数域的子域。

    记(0,1)=i,则根据我们定义的运算,(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi,i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1,这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。

    形如

    b30e2e16-2460-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg

     的数称为复数(complex number),其中规定i为虚数单位,且

    b40e2e16-2460-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg

     (a,b是任意实数)

    我们将复数

    b30e2e16-2460-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg

     中的实数a称为复数z的实部(real part)记作Rez=a

    实数b称为复数z的虚部(imaginary part)记作 Imz=b.

    当a=0且b≠0时,z=bi,我们就将其称为纯虚数

    复数的集合用C表示,实数的集合用R表示,显然,RC的真子集。

    复数集是无序集,不能建立大小顺序。

    ebd07e2d99ec15965045ca5d2505cc76.png

    复数的模

    将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模,记作∣z∣.

    即对于复数

    b30e2e16-2460-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg

     ,它的模

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  • 复数基本概念

    2021-02-23 11:08:08
    实数x与y分别称为复数z的实部和虚部,记作 x=Rez,y=Imz x=Re z,y=Im z x=Rez,y=Imz 虚部为零的复数就可以看作实数,虚部不为零的复数称为虚数 x+iy和x−iy称为互为共轭复数 x+iy和x-iy称为互为共轭复数 x+iy和x−iy...

    复数域

    z=x+iyz=x+yi,i2=1 z=x+iy或者z=x+yi,i^2=-1

    实数x与y分别称为复数z的实部和虚部,记作
    x=Rez,y=Imz x=Re z,y=Im z
    虚部为零的复数就可以看作实数,虚部不为零的复数称为虚数
    x+iyxiy x+iy和x-iy称为互为共轭复数
    复数运算
    z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2y1y2)+i(x1y2+x2y1)z1z2=x1+iy1x2+iy2=(x1+iy1)(x2iy2)(x2+iy2)(x2iy2)=(x1x2+y1y2)+i(x2y1x1y2)x22+y22,z20 z_1\pm z_2=(x_1\pm x_2)+i(y_1\pm y_2)\\ z_1 z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)\\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=\frac{(x_1x_2+y_1y_2) + i(x_2y_1-x_1y_2)}{x^{2}_{2}+y^{2}_{2}},z_2\neq0

    复平面

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    复数的模与辐角

    r=z=x2+y20 r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\geqslant0

    tanθ=yx,zArgumentθ=Argz \tan\theta=\frac{y}{x}, 称为复数z的辐角(Argument),记作\theta= Arg z

    我们知道,任一非零复数z有无穷多个辐角,今以arg z表示其中的一个特定值,并称合条件
    π<arg zπ -\pi <arg\ z \le\pi
    的一个为Arg z的主值,或称之为z的主辐角。
    θ=Arg z=arg z+2kπ,k=0,±1,±2, \theta=Arg\ z=arg \ z + 2k\pi,k=0,\pm1,\pm2,\cdots
    当z=0时,辐角无意义。

    单位复数

    z=r(cosθ+isinθ) z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

    当r=1时,有
    z=cosθ+isinθ z=\cos\theta+i\sin\theta
    称为单位复数。
    eiθ=cosθ+isinθ () e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \ (欧拉公式)

    eiθ1eiθ2=ei(θ1+θ2)eiθ1eiθ2=ei(θ1θ2) e^{i\theta_{1}}e^{i\theta_{2}}=e^{i(\theta_1+\theta_2)}\\ \frac{e^{i\theta_{1}}}{e^{i\theta_{2}}}=e^{i(\theta_1-\theta_2)}

    复数的指数形式
    z=reiθ z=re^{i\theta}
    也就是说,任一非零复数z总可以表成
    z=zei arg z z=|z|e^{i \ arg\ z}

    复数乘法与旋转

    z1z2=r1eiθ1r2eiθ2=r1r2ei(θ1+θ2)z1z2=r1eiθ1r2eiθ2=r1r2ei(θ1θ2) z_1z_2=r_1e^{i\theta_1}r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2e^{i(\theta_1 +\theta_2)}\\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}

    z1z2=z1z2,z1z2=z1z2,z20 \therefore |z_1z_2|=|z_1||z_2|,|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|},z_2 \neq 0

    所以两个复数相乘相当于模相乘,辐角相加,相除就是模相除,辐角相减

    在这里插入图片描述

    特别的我们拿i乘以一个复数
    iz=i(x+iy)=y+ix iz=i(x+iy)=-y+ix

    在这里插入图片描述

    复数的乘幂与方根

    zn=(reiθ)n=rneinθ=rn(cosnθ+isinnθ),z0zn=znArg zn=nArg z z^{n}=(re^{i\theta})^{n}=r^{n}e^{in\theta}=r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta),z \neq0\\ \therefore |z^{n}|=|z|^{n}\\ Arg\ z^{n}=nArg\ z
    r=1,就是棣莫弗公式
    (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ (\cos\theta + i\sin \theta)^{n}=\cos n\theta + i\sin n\theta

    wnzwwn=z,z0,n2, 复数w的n次方就是复数z,求出复数w\\ w^{n}=z,z \neq0,n \geqslant2,整数

    zn,z=reiθ,w=ρeiφ,ρneinφ=reiθρn=r,nφ=θ+2kπ 令记其根的总体为\sqrt[n]{z},设z=re^{i\theta},w=\rho e^{i\varphi},则\\ \rho^{n}e^{in\varphi}=re^{i\theta}\\ \therefore \rho^{n}=r,n\varphi=\theta+2k\pi

    ρ=rn=znφ=θ+2kπn \therefore \rho =\sqrt[n]{r} =\sqrt[n]{|z|} \\ \varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}

    所以z的n次方根为
    wk=ρeiφ=rneiθ+2kπn=ei2kπnrneiθn,k=0,±1,±2, w_k=\rho e^{i\varphi}=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}=e^{i\frac{2k\pi}{n}}\cdot\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta}{n}},k=0,\pm1,\pm2,\cdots
    把上面的式子改为
    wk=ei2kπnw0w0=rneiθn w_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}\cdot w_0\\ w_0=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta}{n}}

    wkw02πn,22πn,32πn, w_k就是在复平面内由w_0依次绕原点旋转 \frac{2\pi}{n},2\cdot\frac{2\pi}{n},3\cdot\frac{2\pi}{n},\cdots

    在这里插入图片描述

    复数乘法与矩阵

    p=a+biq=rcosθ+irsinθpq=arcosθbrsinθ+(arsinθ+brcosθ)i=a+bi[ab]=[cosθsinθsinθcosθ][arbr] 假设复数 p = a+bi,乘上复数q=r\cos \theta +i r\sin\theta\\ pq=ar\cos\theta-br\sin\theta+(ar\sin\theta + br\cos\theta)i=a^{'}+b^{'}i\\ 用矩阵表示\\ \left[ \begin{matrix} a^{'}\\ b^{'} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\\ \end{matrix} \right]\cdot\left[ \begin{matrix} ar\\ br \end{matrix} \right]

    a,bθ,r 这不就是二维空间中点(a,b)绕原点逆时针旋转\theta角吗,模长也扩大了r倍

    https://www.youtube.com/watch?v=lKIBFLQZZUk

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  • 文章目录复数的概念及运算定义 ...其中x和y分别称为复数z的实部和虚部,分别记作: x=Re z y=Im z 两个复数相等是指它们的实部与虚部分别相等。 如果 Imz=0Im z= 0Imz=0,那么称z为一个实数; 如果Imz≠ 0...

    复数的概念及运算

    定义

    z=x+iyz=x + i y

    z=x2+y2|z|=\sqrt{x^2+y^2}

    其中 xxyy 是实数,ii是虚单位 ( i2=1i^2=-1 ), 称为复数

    其中 xxyy 分别称为复数 zz 的实部和虚部,分别记作:

    • x=Rezx=Re z
    • y=Imzy=Im z

    两个复数相等是指它们的实部与虚部分别相等

    如果 Imz=0Im z= 0,那么称zz为一个实数;
    如果Imz 0Im z\neq\ 0,那么称zz为一个虚数;
    如果Imz 0Im z\neq\ 0,而Rez=0Re z=0,那么称zz为一个纯虚数

    四则运算

    已知:
    z1z_1=x1x_1+iy1iy_1
    z2z_2=x2x_2+iy2iy_2

    和差:z1 z1z_1\mp\ z_1= (x1 x2) i(y1 y2)(x_1\mp\ x_2)\mp\ i(y_1\mp\ y_2)
    复数的加减是向量的加减

    积:z1z2z_1z_2=(x1x2y1y2)+i(x1y2+x2y1)(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)

    商:z1z2\frac{z_1}{z_2}=x1x2+y1y2x22+y22+ix2y1x1y2x22+y22\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x^2_2+y^2_2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x^2_2+y^2_2}

    共轭复数

    定义

    z=x+iyz=x+iy , 称 z=xiyz\overline{z}=x-iy为z的共轭复数

    性质

    (z1 z2)=(z1 z2)(\overline{z_1\mp\ z_2})=(\overline{z_1}\mp\ \overline{z_2})

    (z1z2)=z1(\overline{z_1z_2})=\overline{z_1} z2\overline{z_2}

    (z1z2)=z1z2\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}

    z\overline{z} 的共轭复数是 zz

    zz=Re(z)2+Im(z)2=x2+y2z\overline{z}=Re (z)^2+Im(z)^2=x^2+y^2 可以推出1z=zz2\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}

    z+z=2Re(z)z+\overline{z}=2Re(z)

    zz=2iIm(z)z-\overline{z}=2iIm(z)

    复数的表示方法

    (1)点的表示

    z=x+iyz=x+iy 与复平面上的点 (x,y)(x,y)一一对应
    做题要先画复平面
    在这里插入图片描述

    (2)向量表示法

    z=x+iyOP=(x,y)z=x+iy可以用\vec{OP}=(x,y)表示

    向量的长度为复数z=x+iyz=x+iy模或绝对值

    正实轴为始边(计算argz要记得他的起点是x轴正半轴) 以 OP\vec{OP} 为终边的角的弧度数 称为复数 z=x+iyz=x+iy辐角

    • 辐角一般表示:θ=Argz\theta=Arg z
    • 主辐角:θ=argz\theta=arg z
      θπ<θπ0θ<2πθ其中\theta满足 -\pi<\theta\le\pi 或者0\le\theta<2\pi 的θ

    注意

    • z=0,z=0,辐角不确定
    • z 0,tan=(Arg)z \neq\ 0,tan=(Arg)
    • 辐角无穷多:Argz=θ=θ0+2kπkZ,θ0ArgzArg z=θ=θ_0+2kπ, k∈Z,\theta_0为辐角Argz的主值
    • z1z2z1z2|z_1-z_2|表示z_1和z_2之间的距离

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
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    (3)三角表示

    z=x+iy=x2+y2(xx2+y2+iyx2+y2)z=x+iy=\sqrt{x^2+y^2}(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+i\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})

    {x=rcosθy=rsinθ\begin{cases} x=rcos\theta\\ y=rsin\theta \end{cases}

    可得 z=r(cosθ+isinθ)z=r(cos\theta+isin\theta)

    (4)指数表示法

    由欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=cos\theta+isin\theta

    可得z=reiθz=re^{i\theta}
    在这里插入图片描述

    复球面

    定义

    球面上的点,(除去北极 N 外)与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.

    我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作 \infty .
    因而球面上的北极 N 就是复数无穷大 \infty 的几何表示.

    球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    扩充复平面

    定义

    包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面

    不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面

    对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大
    z=+|z|=+\infty

    关于 \infty 的四则运算

    加法:α+=+α=,(α ,)\alpha+\infty=\infty+\alpha=\infty,(\alpha \neq\ \infty,因为\infty有两个方向)

    减法:α=α=,(α ,)\alpha-\infty=\infty-\alpha=\infty,(\alpha \neq\ \infty,因为\infty有两个方向)

    乘法:α=α=,(α 0)\alpha\cdot\infty=\infty\cdot\alpha=\infty,(\alpha \neq\ 0)

    除法:α=0,α=,(α )α0=(α 0)\frac{\alpha}{\infty}=0,\frac{\infty}{\alpha}=\infty,(\alpha \neq\ \infty)\frac{\alpha}{0}=\infty(\alpha \neq\ 0)

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  • 本文实例讲述了Python复数属性和方法运算操作。分享给大家供大家参考,具体如下: #coding=utf8 ''''' 复数是由一个实数和一个虚数组合...复数对象拥有数据属性,分别为该复数的实部和虚部复数还拥有conjugate方法
  • 复数是由一个实数和一个虚数组合...复数对象拥有数据属性,分别为该复数的实部和虚部复数还拥有conjugate方法,调用它可以返回该复数的共轭复数对象。 复数属性:real(复数的实部)、imag(复数的虚部)、conjugate()
  • 那么R表示复数的实部, 是复数的虚部实部的复数的子集。一个复数的共轭表示为 ,其定义为: 为什么要引入复数我们上小学时候,只要知道有理数就够了,可后来才知道原来还有负数这东西,怎么办?引入整数域吧...

    de10e36be52085a121a8a3beff30c099.png

    如果当前没有工具解决这个问题,那就创造一个工具。

    什么是复数

    复数C的定义如下:

    其中,

    是实数,
    是一个等于-1的平方根的虚数,即
    。那么R表示复数的实部,
    是复数的虚部。实部是
    的复数的子集。一个复数的共轭表示为
    ,其定义为:

    为什么要引入复数

    我们上小学的时候,只要知道有理数

    就够了,可后来才知道原来还有负数这东西,怎么办?引入整数域
    吧。可有人又发现了
    无法用整数的加减乘除得到,我们再打个补丁,引入实数域
    。那么既然补丁就是用来解决不可处理的无效问题的,那就把
    也打打补丁呗。于是复数域
    就出现了。先理解
    =i,并且我们有复数平面。

    6b7718689e14c3b5d423a162fe899e7b.png

    如何理解复数

    要更好的理解复数,必须引入三角函数。

    7df59aa7ae21746f249a22fb2296871e.png
    复平面

    复数从几何的角度也可以看做是平面(称为复平面)上的一个点,其横坐标是实轴(R的值),其纵坐标是虚轴(I的值)。也就是说复数

    是复平面直角坐标系中的一个点(R, I)。
    引入三角函数,就有了模和角度的概念

    理解了复平面对实数轴的补充后,我们要了解复数的两个概念模和幅角

    1399dcb58f41bd32270199594b64300b.png

    复数的进阶

    想都不用想,当然是欧拉公式!

    欧拉大神可真是高产,都说欧拉公式是上帝公式。呵呵,那是你们理科生,我们计算机的工科生只认识图灵。

    对于
    ,有
    ----维基百科

    额,为什么?看图说话:

    be46ed84db41ca94a8746211750e1507.png

    复数域中的A点是

    可以理解,但为啥是
    呢?那是你没看过e是怎么来的。

    (怎么感觉扯远了?)e是一个最美的自然常数,他是有固定值的约等于2.71828, 听说就是当年雅各布·伯努利计算银行复利的时候发现的

    ,即当银行不断缩短付利息的时间,我们获得的复利是趋向于一个固定值2.71828,欧拉说,这个东西好啊,你就叫欧拉常数吧,我给你定义一个函数

    于是(不能再讲泰勒公式了)

    代入
    可得:

    完美!

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  • python 复数

    千次阅读 2012-08-30 11:22:12
    python中复数的相关概念: 1.虚数不能单独存在,它们总是一个值为 0.0 实数部分一起来构成一个复数。 2.复数由实数部分虚数部分构成 3.表示虚数语法: real+imgj 4.实数部分虚数部分都是浮点数 5...
  • 复数复数这个概念我们应该是在高中时候接触到复数由两部分组成实部+虚部,如2+3j等,Python中虚部使用j表示。在之前介绍运算符文章中,我有将常用一些运算符都给列出来,感兴趣朋友可以前...
  • Python 语言中有关复数的概念:1、虚数不能单独存在,它们总是一个值为 0.0 的实数部分一起构成一个复数2、复数由实数部分虚数部分构成3、表示复数的语法:real+imagej4、实数部分虚数部分都是浮点数5、虚数.....
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  • 复变函数与积分变换第一章:...复数:z=x+iy (x,y是任意实数,称为实部和虚部) Re z = x, Im z = y. 实数:z=x 纯虚数:z=iy 相等:当且仅当x1=x2且y1=y2 共轭复数:z‾\overline{z}z=x-iy 复数的四则运算 加法:z

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复数实部和虚部的概念