复数

数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。
形如z=a+bi的数称为复数（complex number)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i×i=－1（a，b是任意实数）。我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部（real part)记作Rez=a，实数b称为复数z的虚部（imaginary part）记作 Imz=b。
已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数　　当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数
共轭复数
对于复数z=a+bi，称复数z'=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等，虚部（虚部不等于0）互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number）。复数z的共轭复数记作z。表示方法为在字母z上方加一横线即共轭符号。
复数的运算
加法
z1=a1+b1i, z2=a2+b2i
z1+z2 = (a1+b1i)+(a2+b2i) = (a1+a2)+(b1+b2)i
乘法
z1=a1+b1i, z2=a2+b2i
z1*z2=(a1+b1i)*(a2+b2i)
= (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i
除法

z1=a1+b1i, z2=a2+b2i
z1/z2 = [(a1a2 + b1b1) + (a2b1-a1b2)i]/(a2a2 + b2b2)


复数的模
将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣.　　即对于复数z=a+bi，它的模　　∣z∣=√（a^2+b^2)

棣莫佛定理
对于复数z=r(cosθ+isinθ），有z的n次幂
z^n=(r^n)*[cos(nθ）+isin(nθ）]　（其中n是正整数）
开方法则
　若z^n=r(cosθ+isinθ），则
　z=n√r[cos(2kπ+θ）/n+isin(2kπ+θ）/n]（k=0,1,2,3……n-1)



模拟复数及其运算的源码实现


package cn.edu.jxau.image;

/**
 * 用y = a+bi;模拟复数
 * @author luoweifu
 *
 */
class Complex {
	private double a;
	private double b;
	
	public Complex(double a, double b) {
		this.a = a;
		this.b = b;
	}
	
	public double getA() {
		return a;
	}

	public double getB() {
		return b;
	}

	/**
	 * 求一个复数和一个实型数据的和；
	 * @param a 实数
	 * @return 结果（复数）
	 */
	public Complex add(double a) {
		this.a = this.a + a;
		return this;
	}
	/**
	 * 用于求解两复数的和
	 * z1=a1+b1i, z2=a2+b2i
	 * z1+z2 = (a1+a2) + (b1+b2)i
	 * @param c
	 * @return
	 */
	public Complex add(Complex c) {
		a = a + c.getA();
		b = b + c.getB();
		return this;
	}
	/**
	 * 用于求一个复数和一个实型数据的差；
	 * @param x
	 * @return
	 */
	public Complex minus(double x) {
		a = a-x;
		return this;
	}
	/**
	 * 用于求解两复数的差
	 * @param c
	 * @return
	 */
	public Complex minus(Complex c) {
		a = a - c.getA();
		b = b - c.getB();
		return this;
	}
	/**
	 * 用于求一个复数和一个实型数据的积；
	 * @param r
	 * @return
	 */
	public Complex multiply(double r) {
		a = a* r;
		b = b*r;
		return this;
	}
	/**
	 * 复数的乘法
	 * z1=a1+b1i, z2=a2+b2i
	 * z1*z2 = (a1+b1i)*(a2+b2i)= (a1a2-b1b2) + (a1b2+a2b1)i
	 * @param c
	 * @return
	 */
	public Complex multiply(Complex c) {
		double a1 = this.a, b1 = this.b;
		double a2 = c.getA(), b2 = c.getB();
		a = a1*a2 - b1*b2;
		b = a1*b2+a2*b1;
		return this;
	}
	/**
	 * 复数的除法
	 * z1=a1+b1i, z2=a2+b2i
	 * z1/z2 = [(a1a2 + b1b1) + (a2b1-a1b2)i]/(a2a2 + b2b2)
	 * @param c
	 * @return
	 */
	public Complex division(Complex c) {
		double a1 = this.a, b1 = this.b;
		double a2 = c.getA(), b2 = c.getB();
		a = (a1*a2 + b1*b2)/(a2*a2 + b2*b2);
		b = (a2*b1 - a1*b2)/(a2*a2 + b2*b2);
		return this;
	}
	
	@Override
	public String toString() {
		if(b>=0) {
			return a + "+" + b + "i";
		} else {
			return a + "" + b + "i";
		}		
	}
	/**
	 * 求复数的模
	 * @return
	 */
	public double model() {
		return Math.sqrt(a*a + b*b);
	}
	/**
	 * 复数的n次幂
	 * @param n
	 * @return
	 */
	public Complex pow(int n) {
		double r = model();
		double o = Math.atan2(b, a);
		a = Math.pow(r, n)*Math.cos(n*o);
		b = Math.pow(r, n)*Math.sin(n*o);
		return this;
	}
	/*
	public double sqrt(int n) {
		double r = model();
		double o = Math.atan2(b, a);		
		//Math.
		return 0;
	}
	*/
	/*public static void main(String[] args) {
		Complex c1 = new Complex(5, 3);
		Complex c2 = new Complex(1, 2);
		
		c1.add(4);
		System.out.println("复数(5+3i)与实数4的和为："+c1);
		
		c1.add(c2);
		System.out.println("复数(5+3i)与复数（1+2i）的和为："+c1);
		
		c1.minus(4);
		System.out.println("复数(5+3i)与实数4的差为："+c1);	
		
		c1.minus(c2);	
		System.out.println("复数(5+3i)与复数（1+2i）的差为："+c1);
		
		c1.multiply(7);
		System.out.println("复数(5+3i)与实数7的积为："+c1);		
		
		c1.multiply(c2);
		System.out.println("复数(5+3i)与复数（1+2i）的积为："+c1);
		
		c1.division(c2);
		System.out.println("复数(5+3i)与复数（1+2i）的商为："+c1);
		//System.out.println(Math.pow(81, 0.25));
	}*/
	
}



复数的几何表示法
　①几何形式　　
复数z=a+bi 被复平面上的点 z（a，b ）唯一确定。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。　
　②向量形式。复数z=a+bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。这种形式使复数四则运算得到恰当的几何解释。　
　③三角形式。复数z=a+bi化为三角形式　
　z=r（cosθ+isinθ）　　式中r= √（a^2+b^2），是复数的模（即绝对值）　
　θ 是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作arg(z)　　这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
　　④指数形式。将复数的三角形式z=r( cosθ+isinθ）中的cosθ+isinθ换为 exp(iθ），复数就表为指数形式z=rexp(iθ）

//复对数运算
public class fushu2 {
static void cLog(double a,double b,double[] e,double[]f){
double temp;
temp=Math.log(Math.sqrt(a*a+b*b));
e[0]=temp;
f[0]=Math.atan2(b,a);
}
//复指数运算e的(a+bi)次幂
public static void mi(double a,double b,double[] e,double[]f){
double temp;
temp = (double)Math.exp(a);
e[0]=temp*(double)Math.cos(b);
f[0]=temp*(double)Math.sin(a);
}
//复正弦运算
public static void sin(double a,double b,double[] e,double[]f){
double q,p;
p=Math.exp(b);
q=1/p;
e[0]=Math.sin(a)*(q+p)/2.0;
f[0]=Math.cos(a)*(p-q)/2.0;
}

public static void main(String[] args) {
double a,b;
double[] e={0},f={0};
a=2.0;b=3.0;
cLog(a,b,e,f);
System.out.println(e[0]+"+"+f[0]);
mi(a,b,e,f);
System.out.println(e[0]+"+"+f[0]);
sin(a,b,e,f);
System.out.println(e[0]+"+"+f[0]); }
}

复数及其运算
A)复数的表示
(1).x=a+bi,其中a称为实部，b称为虚部
(2)或写成复指数的形式：x=re^(iθ)其中r称为复数的模，又记为 |x| ；θ称为复数的幅度，又记为Arg(x)
。且满足r=√(a^2+b^2)  ,tanθ=b/a
第一种方式适合处理复数的代数运算，第二种方式适合处理复数旋转等涉及幅角改变的问题
复数的构造：
(1)直接构造法
将复数看做完整的表达式输入
例：
x1=-1+i%实部虚部形式
x2=sqrt(2)*exp(i*(3*pi/4))%复指数形式
(2)符号函数构造法
将复数看做函数形式，将实部和虚部看做自变量，用syms来构造，用subs对符号函数中的自变量赋值
例:
syms a b real%声明a
b为实数型
x3=a+b*i%实部虚部形式复数的符号表达
subs(x3,{a,b},{-1,1})%代入具体值
syms r ct real;%声明r
ct为实数型
x4=r*exp(ct*i);%复指数形式复数的符号表达
subs(x4,{r,ct},{sqrt(2),3*pi/4})%代入具体值
以上例子中复数均为 -1+1i
复数矩阵的构造：
(1)由复数元素构造
例：
a1=[sqrt(2)*exp((pi/4)*i) 1+2i 1+3i;sqrt(2)*exp((-pi/4)*i) 1-2i
1-3i]
(2)由实矩阵构造
例:
a2re=[1 1 1;1 1
1];%实部实矩阵
a2im=[1 2 3;-1 -2
-3];%虚部实矩阵
a2=a2re+a2im*i%由实矩阵构造
以上两例中的复数矩阵均为
1.0000 + 1.0000i
1.0000 + 2.0000i
1.0000 + 3.0000i
1.0000 - 1.0000i
1.0000 -
2.0000i  1.0000 - 3.0000i
B)复数的绘图
(1)直角坐标图
plot函数
(2)极坐标图
Polar函数
调用格式：polar(theta,rho)其中theta为极坐标极值,rho为极坐标矢径
例：做出y=t+i*rsin(t)
的坐标图
t=0:0.01:2*pi;
y=t+i*t.*sin(t);
%直角坐标表示
r=abs(y);
delta=angle(y);%极坐标表示
subplot(2,1,1)
plot(y)%绘制直角坐标图
title('直角坐标图');
subplot(2,1,2)
polar(delta,r)%绘制极坐标图
title('极坐标图')
C)复数的操作函数
常用矩阵分解函数
转自博客：

			

				复数运算
			
	
	

		
复数是形如 a ＋ b i的数。式中a，b 为 实数，i是一个满足i^2 ＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。
在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。复数有多种表示形式，常用形式 z ＝ a ＋ b i叫做代数式。此外有下列形式。
①几何形式。复数 z ＝ a ＋ b i 用直角坐标平面上点 Z （ a ， b ）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
②向量形式。复数 z ＝ a ＋ b i用一个以原点 O 为起点，点 Z （ a ， b ）为终点的向量 O Z 表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。
③三角形式。复数 z＝ a ＋ b i化为三角形式
z ＝｜ z ｜（cos θ ＋isin θ ） 式中｜ z ｜= ，叫做复数的模（或绝对值）； θ 是以 x 轴为始边；向量 O Z 为终边的角，叫做复数的辐角。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
④指数形式。将复数的三角形式 z ＝｜ z ｜(cos θ ＋isin θ ）中的cos θ ＋isin θ 换为 e i q ，复数就表为指数形式
z ＝｜ z ｜ e i q ， 复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行。
复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元 n 次复系数方程总有 n 个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序。
 
 
 
向左转|向右转

 
扩展资料：
根据定义，若 
向左转|向右转
 (a，b∈R），则 
向左转|向右转
 =a－bi（a,b∈R）。共轭复数所对应的点关于实轴对称。两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。
 
在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称，而这一点正是"共轭"一词的来源----两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做"轭"。如果用z表示x+yi，那么在z字上面加个"一"就表示x-yi，或相反。
1 加法法则
复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。
即 
向左转|向右转

 
2 乘法法则
复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2= -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。
即 
向左转|向右转

 
3 除法法则
复数除法定义：满足 
向左转|向右转
 的复数 
向左转|向右转
 叫复数a+bi除以复数c+di的商。
 
运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算，
即 
向左转|向右转

 
4 开方法则
若zn=r(cosθ+isinθ），则
向左转|向右转
 （k=0，1，2，3…n-1）
 
我们把数学分析中基本的实变初等函数推广到复变初等函数，使得定义的各种复变初等函数，当z变为实变数x(y=0）时与相应的实变初等函数相同。
注意根据这些定义，在z为任意复变数时，
①．哪些相应的实变初等函数的性质被保留下来
②．哪些相应的实变初等函数的性质不再成立
③．出现了哪些相应的实变初等函数所没有的新的性质。
复数运算法则有：加减法、乘除法。两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律。此外，复数作为幂和对数的底数、指数、真数时，其运算规则可由欧拉公式e^iθ=cos θ+i sin θ（弧度制）推导而得。
加法法则
复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，
则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，
即对任意复数z1，z2，z3，有： z1+z2=z2+z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。
减法法则
复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，
则它们的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。












	
	
	

		posted on 2019-01-24 18:48 dajie6 阅读(...) 评论(...)  编辑 收藏
	


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