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  • 高等数学学习笔记(1)——微分方程解法公式

    万次阅读 多人点赞 2020-11-22 14:28:11
    当然本文是为了求解模型中用得上的微分方程而书写的,并非是为了考研或者本科课程应试,所以不会有例题,只会有对应的解法。同时公式和解法不一定是完全的,后面如果还遇到了到时候再进行补充。 对了宝贝儿们,卑微...

    本文列举了微分方程的公式,当做一个笔记,如果后面有地方用得上就回来翻翻。
    当然本文是为了求解模型中用得上的微分方程而书写的,并非是为了考研或者本科课程应试,所以不会有例题,只会有对应的解法。同时公式和解法不一定是完全的,后面如果还遇到了到时候再进行补充。

    对了宝贝儿们,卑微小李的公众号【野指针小李】已开通,期待与你一起探讨学术哟~摸摸大!

    1 微分方程

    要了解微分方程,得从微分说起,微分的核心是变化率。就比如速度 v = d x d t v=\frac{dx}{dt} v=dtdx,即每一时刻距离的变化;而加速度 a = d v d t a=\frac{dv}{dt} a=dtdv,即每一时刻速度的变化。

    有了这个概念后,我们再来看微分方程,简单来说就是由变化率构成的一个方程。其使用场景为:描述相对变量比绝对量更容易时

    微分方程分为两部分:

    1. 常微分方程(Ordinary Differential Equations, ODE):函数自变量只有一个,如: y ′ ( x ) = p y + q y'(x)=py+q y(x)=py+q
    2. 偏微分方程(Partial Differential Equations, PDE):函数有多个自变量,如: ∂ T ∂ t ( x , y , t ) = ∂ 2 T ∂ x 2 ( x , y , t ) + ∂ 2 T ∂ y 2 ( x , y , t ) \frac{\partial T}{\partial t}(x,y,t)=\frac{\partial^2T}{\partial x^2}(x,y,t)+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}(x,y,t) tT(x,y,t)=x22T(x,y,t)+y22T(x,y,t)

    微分方程也可以分为一阶方程和高阶方程,具体的组成(解法)如下图:
    微分方程

    2 一阶方程

    2.1 一阶线性微分方程

    形如:

    y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y'+p(x)y=q(x) y+p(x)y=q(x)

    若:

    1. q ( x ) = 0 q(x)=0 q(x)=0,则是一阶线性齐次微分方程;
    2. q ( x ) ≠ 0 q(x)≠0 q(x)=0,则是一阶线性非齐次微分方程;

    通解:
    y = e − ∫ p ( x ) d x [ ∫ q ( x ) e ∫ p ( x ) d x d x + c ] y=e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+c] y=ep(x)dx[q(x)ep(x)dxdx+c]

    2.2 变量可分离

    形如:
    ∫ g ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x \int g(y)dy=\int f(x)dx g(y)dy=f(x)dx

    解法:
    d y d x = g ( y ) f ( x ) → G ( y ) = F ( x ) + c \frac{dy}{dx}=\frac{g(y)}{f(x)} \rightarrow G(y)=F(x)+c dxdy=f(x)g(y)G(y)=F(x)+c

    就是将 d y dy dy d x dx dx移到一边,其余的移动到另外一边。

    2.3 齐次方程

    形如:
    d y d x = f ( y x ) \frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x}) dxdy=f(xy)

    解法:

    1. y x = u \frac{y}{x}=u xy=u,则 d y = u d x + x d u dy=udx+xdu dy=udx+xdu
    2. 代入原方程。

    2.4 伯努利方程

    形如:
    y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y n y'+p(x)y=q(x)y^n y+p(x)y=q(x)yn

    解法:

    1. 等式两边同时除 y n y^n yn,得到 y − n y ′ + y 1 − n p ( x ) = q ( x ) y^{-n}y'+y^{1-n}p(x)=q(x) yny+y1np(x)=q(x)
    2. y 1 − n = u y^{1-n}=u y1n=u
    3. 对第二步结果求导得: ( 1 − n ) y − n y ′ = d u d x → y − n y ′ = u ′ 1 − n = 1 1 − n d u d x (1-n)y^{-n}y'=\frac{du}{dx} \rightarrow y^{-n}y'=\frac{u'}{1-n}=\frac{1}{1-n}\frac{du}{dx} (1n)yny=dxduyny=1nu=1n1dxdu;
    4. 将步骤3结果与步骤2结果代入步骤1: 1 1 − n d u d x + u p ( x ) = q ( x ) \frac{1}{1-n} \frac{du}{dx}+up(x)=q(x) 1n1dxdu+up(x)=q(x)
    5. 接着依据步骤4的情况来选择使用什么通解公式求解。

    2.5 全微分方程

    形如:
    P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

    就是说函数 P P P和函数 Q Q Q都是包含了 x x x y y y的。

    解法:

    1. 线积分法: Φ ( x , y ) = ∫ x 0 x P ( x , y ) d x + ∫ y 0 y Q ( x , y ) d y \Phi(x,y)=\int_{x_0}^x P(x,y)dx+\int_{y_0}^y Q(x,y)dy Φ(x,y)=x0xP(x,y)dx+y0yQ(x,y)dy Φ ( x , y ) = ∫ ( x 0 , y 0 ) ( x , y ) P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \Phi(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} P(x,y)dx+Q(x,y)dy Φ(x,y)=(x0,y0)(x,y)P(x,y)dx+Q(x,y)dy
    2. 偏积分法: ∂ Φ ∂ x = P ( x , y ) , ∂ Φ ∂ y = Q ( x , y ) \frac{\partial \Phi}{\partial x}=P(x,y), \frac{\partial \Phi}{\partial y}=Q(x,y) xΦ=P(x,y),yΦ=Q(x,y),第一个等式对 x x x积分得 Φ ( x , y ) = ∫ P ( x , y ) d x + ψ ( y ) \Phi (x,y)=\int P(x,y)dx+\psi (y) Φ(x,y)=P(x,y)dx+ψ(y),代入第二个等式求 ψ ( y ) \psi(y) ψ(y),即可得 Φ ( x , y ) \Phi(x,y) Φ(x,y)
    3. 凑微分法:凑微分得 Φ ( x , y ) \Phi(x,y) Φ(x,y)

    3 高阶方程

    3.1 可降解方程

    3.1.1 y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y''=f(x,y') y=f(x,y)

    解法:

    1. y ′ = P ( x ) y'=P(x) y=P(x),则 y ′ ′ = P ′ ( x ) y''=P'(x) y=P(x)
    2. 代入原方程: P ′ ( x ) = f ( x , P ( x ) ) P'(x)=f(x,P(x)) P(x)=f(x,P(x)),求 P ( x ) P(x) P(x)
    3. P ( x ) P(x) P(x)积分求得通解

    3.1.2 y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y''=f(y,y') y=f(y,y)

    解法:

    1. y ′ = P ( y ) y'=P(y) y=P(y) y ′ ′ = d P d y d y d x = P d P d y y''=\frac{dP}{dy} \frac{dy}{dx}=P\frac{dP}{dy} y=dydPdxdy=PdydP
    2. 代入原方程得: P d P d y = f ( y , P ( y ) ) P\frac{dP}{dy}=f(y,P(y)) PdydP=f(y,P(y))
    3. 求解 P ( y ) P(y) P(y) d y d x \frac{dy}{dx} dxdy
    4. P ( y ) P(y) P(y)积分求得通解

    3.2 高阶常系数微分方程

    定义:
    a n d n y d x n + a n − 1 d n − 1 y d x n − 1 + . . . + a 1 d y d x + a 0 y = f ( x ) a_n \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_1 \frac{dy}{dx}+a_0y=f(x) andxndny+an1dxn1dn1y+...+a1dxdy+a0y=f(x)

    若:

    1. f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0,则为齐次方程;
    2. f ( x ) ≠ 0 f(x)≠0 f(x)=0,则为非齐次方程。

    由于我现在还用不上高阶常系数非齐次微分方程,所以没有看特解的求法,如果以后看了在做补充。

    高阶常系数齐次微分方程解的结构为:
    y = c 1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) + . . . + c n y n ( x ) y=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+...+c_ny_n(x) y=c1y1(x)+c2y2(x)+...+cnyn(x)

    齐次方程的解法为:

    1. 先将非齐转换为齐,即令 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0
    2. 找到特征方程的特征根,假设微分方程为 y ′ ′ + 2 y ′ + y = 0 y''+2y'+y=0 y+2y+y=0,特征方程为 λ 2 + 2 λ + 1 = 0 \lambda^2+2\lambda+1=0 λ2+2λ+1=0,其特征根: λ 1 = λ 2 = − 1 \lambda_1=\lambda_2=-1 λ1=λ2=1,即 λ \lambda λ最高为多少次,那么就有多少个特征根
    3. 通过特征根形式来寻找通解公式。

    现在问题转换为了特征根形式,特征根从大方向上来说一共有3类:

    1. 每个特征根都是单重根;
    2. 有重根;
    3. 有复数根。

    3.2.1 都是单根

    通解为:
    y = c 1 e λ 1 x + c 2 e λ 2 x + . . . + c n e λ n x y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}+...+c_ne^{\lambda_nx} y=c1eλ1x+c2eλ2x+...+cneλnx

    3.2.2 有重根

    通解为:
    y = c 1 e λ x + c 2 x e λ x + . . . + c n x n − 1 e λ x = e λ x ( c 1 + c 2 x + . . . + c n x n − 1 ) y=c_1e^{\lambda x}+c_2xe^{\lambda x}+...+c_nx^{n-1}e^{\lambda x}=e^{\lambda x}(c_1+c_2x+...+c_nx^{n-1}) y=c1eλx+c2xeλx+...+cnxn1eλx=eλx(c1+c2x+...+cnxn1)

    3.2.3 有复数根

    λ = α ± i β \lambda = \alpha \pm i\beta λ=α±iβ,这里虽然复数是成对出现,但是当做是一个根。

    先给出通解形式,再补充点推导过程。

    通解:
    y = c 1 e α x c o s β x + c 2 e α x s i n β x y=c_1e^{\alpha x}cos\beta x+c_2e^{\alpha x}sin\beta x y=c1eαxcosβx+c2eαxsinβx

    推导过程:

    先补充欧拉方程:
    e i x = c o s x + i s i n x e^{ix}=cosx+isinx eix=cosx+isinx

    由欧拉公式进行推导,先推导 λ = α + i β \lambda = \alpha + i\beta λ=α+iβ
    e ( α + i β ) x = e α x + i β x = e α x ( c o s β x + i s i n β x ) = e α x c o s β x + i e α x s i n β x = c 1 e α x c o s β x + c 2 e α x s i n β x \begin{aligned} e^{(\alpha + i\beta)x} &= e^{\alpha x + i \beta x} \\ & = e^{\alpha x}(cos\beta x + isin\beta x) \\ & = e^{\alpha x}cos\beta x + i e^{\alpha x}sin\beta x \\ & = c_1e^{\alpha x}cos\beta x+c_2e^{\alpha x}sin\beta x \end{aligned} e(α+iβ)x=eαx+iβx=eαx(cosβx+isinβx)=eαxcosβx+ieαxsinβx=c1eαxcosβx+c2eαxsinβx

    这里 c 2 c_2 c2实际上是包含了 i i i的。

    同理, λ = α − i β \lambda = \alpha - i\beta λ=αiβ如下:
    e ( α − i β ) x = e α x − i β x = e α x ( c o s β x − i s i n β x ) = e α x c o s β x − i e α x s i n β x = c 1 e α x c o s β x + c 2 e α x s i n β x \begin{aligned} e^{(\alpha - i\beta)x} &= e^{\alpha x - i \beta x} \\ & = e^{\alpha x}(cos\beta x - isin\beta x) \\ & = e^{\alpha x}cos\beta x - i e^{\alpha x}sin\beta x \\ & = c_1e^{\alpha x}cos\beta x+c_2e^{\alpha x}sin\beta x \end{aligned} e(αiβ)x=eαxiβx=eαx(cosβxisinβx)=eαxcosβxieαxsinβx=c1eαxcosβx+c2eαxsinβx
    因为 c o s ( − x ) = c o s x , s i n ( − x ) = − s i n x cos{(-x)}=cosx,sin(-x)=-sinx cos(x)=cosx,sin(x)=sinx,所以可以获得上面公式,这里 c 2 c_2 c2是包含了 − i -i i的。

    4 参考

    [1]3Blue1Brown.【官方双语】微分方程概论-第一章[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/BV1tb411G72z,2019-4-24.
    [2]3Blue1Brown.【官方双语】微分方程概论-第二章:什么是偏微分方程?[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/BV1q4411p7NX,2019-5-27.
    [3]math也是柠檬精.半小时内搞定一阶常微分方程(带技巧和例题)[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/BV1qJ411A7QK?from=search&seid=10597070231979640473,2019-9-15.
    [4]math也是柠檬精.半小时搞定高阶线性微分方程[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/BV1qE411h7yp,2019-10-29.
    [5]柠檬草嘉6的店.可降解的高阶微分方程[EB/OL].https://wenku.baidu.com/view/c05bb71cdcccda38376baf1ffc4ffe473368fda4.html,2019-3-8.
    [6]风车飞了的店.全微分方程的解法[EB/OL].https://wenku.baidu.com/view/faefc09dc4da50e2524de518964bcf84b8d52d6c.html,2018-11-16.

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  • 说明1、f(x)很难求出闭式表达式。...4、f(x)的值应为实数,但由于数值计算的误差可能导致结果为复数,所以计算之后对结果取实部。5、因后续还需要对f(x)进行积分,所以用arrayfun将其写成支持向量...

    说明

    1、f(x)很难求出闭式表达式。

    2、使用符号积分计算量很大,而且可能根本就无法计算。

    3、可使用integral函数进行数值积分。与quad系列函数相比,integral的优势是可以计算积分限为无穷大的情况。该函数自2012a引入。

    4、f(x)的值应为实数,但由于数值计算的误差可能导致结果为复数,所以计算之后对结果取实部。

    5、因后续还需要对f(x)进行积分,所以用arrayfun将其写成支持向量输入的形式。

    6、PFA的计算,积分上限为无穷大,但取无穷大的上限容易导致出错(我不确定是否可通过算法设置避免),因而从实际计算需要出发,上限取一个有限值,例如1000。

    结果

    r =

    10.3200

    38c811414f23e8c37c046d5d9391e101.png

    参考代码

    N=25;M=4;

    Fw=@(w)((1-j*w).*(1-j*w/N).*(1+w.^2/N)).^-M;

    fx=@(X)real(arrayfun(@(x)1/(2*pi)*integral(@(w)Fw(w).*exp(-j*w*x),-inf,inf),X))

    ezplot(fx,[-2 12])

    ylabel('f(x)')

    P=@(r)integral(fx,r,1000)-0.01;

    r=fsolve(P,10.3)

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  • 复数开方是复数三角形式有关运算中相对比较复杂的一种运算。...因为这种解法都可以转化为常用解法(公式法、因式分解法)来求解。但是,它对于复数开方运算有着十分积极的指导意义。开平方法,是利用了...

    复数开方是复数三角形式有关运算中相对比较复杂的一种运算。本文笔者拟就一类比较特殊的复数开方运算浅谈一点自己的管见,不到之处,恳请广大专家和读者批评指正。

    一:温故、探究

    在初中阶段学习解一元二次方程时,介绍了一种开平方法。然而,初中学生在解方程的实际过程中,应用起来却比较少。因为这种解法都可以转化为常用解法(公式法、因式分解法)来求解。但是,它对于复数开方运算有着十分积极的指导意义。开平方法,是利用了求一个非负实数的平方根。更深层次地讲,是利用了非负实数的一个算术平方根与实数1的两个平方根(+1、

    )的积。

    例1. 解方程:

    解:因为9的算术平方根为3,所以x1=3 (3=3*1)

    ( )

    例2. 解方程:  =0

    解:先配方, =0

    得 =9 再利用开平方法得 或

    解得

    二:迁移、创新

    随着学习的深入,进了高中,数域的范围由实数扩大到复数。在复数范围内,存在着类似的解方程问题。首当其冲的是,在实数范围内无解的实系数一元二次方程必有一对共轭的虚数解。

    例3. 在复数范围内解方程: =0

    解:先配方, =0

    得 =

    解得

    小结:复数 的二次方根为 和 。类似于实数范围内,如果定义 为复数 的最简二次方根,则 =1*

    , = * ,其中,1和

    是1的两个平方根。

    于是,在复数范围内解实系数一元二次方程,总可以先将该方程二次项系数化为1,再按二次项和一次项系数进行配方,最后运用类似于开平方法进行求解。但是,对于复系数一元二次方程,配方仍可以类似进行,然而,要求得一个最简二次方根,却相对比较困难。这时,可以将复数的代数形式化为三角形式,再利用三角形式的开方法则进行运算。

    如何定义一个复数的最简n次方根呢?在此,我们借用复数的三角形式,非零复数r(cosθ+isinθ) (r≠0)的n次方根

    是n个复数,它们是 (cos +isin

    ) k=0,1,2,……,n-1

    当θ是[0,2π)内的最小正角时,复数 (cos +isin

    )称为非零复数r(cosθ+isinθ)(r≠0)的最简n次方根。

    三:推广、应用

    1.复数1的两个二次方根分别为:1、-1

    复数1的三个三次方根分别为:1、cos +isin

    、cos +isin

    复数1的四个四次方根分别为:1、i、-1、-i

    一般地,复数1的n个n次方根依次为:

    1、cos

    +isin 、cos +isin 、……cos +isin

    2.非零复数r(cosθ+isinθ) (r≠0,θ∈[0,2π))的最简n次方根为 (cos +isin

    ), 则它的n个n次方根依次为: (cos +isin

    )、

    (cos +isin )* (cos +isin )、

    (cos +isin )*( cos +isin )、

    ……

    (cos +isin )*( cos +isin )

    这就告诉我们,要求一个复数的最简n次方根,首先将已知复数化为三角形式,并使用辐角主值。那么,最简n次方根的模是已知复数模的n次方根,辐角是已知复数辐角主值的n分之一。

    3.适用对象:含有未知数的一次式的n次方与已知复数的n次方相等。这个已知复数可以不是最简n次方根的形式。

    例4. 在复数范围内解方程:(1+x)4=(-1+

    i)4。

    分析:一般地,可以先将-1+

    i化为三角形式,利用棣莫弗定理求出四次方,再利用复数三角形式的开方,求出1+x,进而求得x。

    解:-1+ i =2(-  +  )=2(cos +isin

    )

    (-1+ i)4=[2(cos +isin )]4=16(cos +isin

    )

    = 16(cos +isin )

    于是,1+x=2(cos +isin

    ) k=0,1,2,3

    所以,x=2(cos +isin

    )-1 k=0,1,2,3

    因此,x1=2(cos +isin )-1=-1+ +i

    x2=2(cos +isin )-1=-2+ i

    x3=2(cos +isin )-1=-1- -i

    x4=2(cos +isin )-1=- i

    这种解法思路比较清晰,但运算过于复杂,一不小心,就容易发生计算上的错误。在这个计算过程中,是先乘方,再开方,并且都是四次。若采用上述方法,不但可以简化计算,而且可以大大提高计算的正确率。

    解法二:由题设可知, +

    i是复数(1+x)4的一个四次方根,当然,不一定是最简四次方根。因此,必有

    1+x=-1+

    i 1+x=(-1+ i)i =- -i

    1+x=-1*(-1+ i)=1-

    i 1+x=-i(-1+ i)= +i

    所以,x1=-2+

    i x2=-1- -i x3=- i x4=-1+ +i

    但是,下面这个例题中,复数的辐角不是特殊角。如果乘方后再运用棣莫弗定理进行开方,运算起来就比较复杂,然而运用复数1的6次方根就可以很巧妙地解出来。

    例5. 在复数范围内解方程:x6=(3-4i)6

    解:复数1的6个6次方根依次为:1、cos +isin 、cos +isin 、cos +isin 、cos +isin

    、cos +isin 。于是,

    x1=(3-4i)*1=3-4i 、

    x2=(3-4i)*(cos +isin )

    =(3-4i)*( + i)=( +2 )+(

    -2)i

    x3=(3-4i)*(cos +isin )

    =(3-4i) *(- + i)=(- +2 )+( +2)i

    x4=(3-4i)*(cos +isin )

    =(3-4i)*(-1)=-3+4i

    x5=(3-4i)*(cos +isin )

    =(3-4i) *(- - i)=(- -2 )+(-

    +2)i

    x6=(3-4i)*(cos +isin )

    =(3-4i) *( - i)=( -2 )-(

    +2)i

    例6.写出复数32的所有5次方根。

    解:因为复数32的最简5次方根为:2;复数1的5个5次方根依次为:1、cos +isin 、cos +isin 、cos

    +isin 、cos +isin 。

    所以复数32的所有5次方根依次为:

    2、2(cos +isin )、2(cos +isin )、2(cos +isin )、2(cos +isin )。

    例6. 写出复数32i的所有5次方根。

    解:因为复数32i有一个5次方根为:2i;复数1的5个5次方根依次为:1、cos +isin 、cos +isin 、cos

    +isin 、cos +isin 。

    所以复数32i的所有5次方根依次为:

    2i

    2i(cos +isin )=2(cos +isin

    )

    2i(cos +isin )=2(cos +isin )

    2i(cos +isin )=2(cos +isin

    )

    2i(cos +isin )=2(cos +isin )

    =2(cos

    +isin )

    正如前面所述,并不一定要找到复数的最简n次方根,只要确定它的一个n次方根就可以了。当然,对于那些不便于配方的高次方程,就只好通过复数三角形式的开方运算来进行了。

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  • Matlab 中常微分方程数值解法讲解作者:dynamic时间:2008.12.10版权:All Rights Reserved By★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★Matlab Sky 联盟...

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    Matlab 中常微分方程数值解法讲解

    作者:dynamic

    时间:2008.12.10

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    1.ODE 解算器简介3

    2.微分方程转换5

    3.刚性/非刚性问题8

    4. 隐式微分方程(IDE) 10

    5.微分代数方程(DAE) 15

    6.延迟微分方程(DDE) 18

    7.边值问题(BVP) 20

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    1.ODE 解算器简介

    先来认识下常微分方程(ODE)初值问题解算器(solver)

    [T,Y,TE, YE,IE] = odesolver(odefun,tspan,y0,options)

    sxint = deval(sol,xint)

    解算器(odesolver)

    解算器 问题类型 精确度 说明

    非 刚 性

    ode45 中等 4-5 阶龙格库塔,对以所有问题的首先解算器

    (nonstiff)

    基于Bogacki-Shampine 2-3 阶Runge-Kutta 公式,有时对轻度的刚度方程,它

    ode23 非刚性 低

    可以比ode45 有更好的效果,在相 的精度是,要比ode45 更小的步长

    变阶次Adams-Bashforth-Moutlon 算法,此算法使用前几次节点上的值来计算

    ode113 非刚性 低到高 当前节点处的解,因此在相 jingdu 下,比ode45 和ode23 更快些,适用用

    于高阶或者需要大量计算的问题,但不适合不连续的系统

    刚性系统的变阶次多步解法,此算法使用最新的数值差分公式,如果使用

    ode15s 刚性(stiff) 低到中

    ode45 计算比

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  • 1. 引言 2. 准备知识 3. 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程 3.1 常系数齐次线性微分方程的解 3.2 Euler方程 4. 非齐次线性微分方程(比较系数法) ...在文献[1]的4.2节,详细介绍了常系数线性微分方程解法,对...
  • 此处参考教材为李荣华的《微分方程数值解法》 使用工具:Matlab 1. 算法 [^8)最后一行应为k4,上面为笔误] 2. 算法 I.需要求解的函数 function f=f1D(t,u,ft) % ft为方程编号,u1D为精确解函数u(t),注意与f1D对应...
  • 非线性方程方程组的数值解法1. 引言2. 二分法3. 不动点迭代法3.1 不动点和不动点迭代法3.2 全局收敛性3.3 局部收敛性4. Newton迭代法4.1 Newton迭代法思路4.2 收敛性与收敛阶 1. 引言 对于n次多项式方程,必定有n...
  • 设置完环境变量后,可以直接编译运行该程序,求解任意阶线性复方程组,先采用LU分解法分解矩阵,后使用GETRS库函数计算,得到解
  • 一维薛定鄂Schrodinger方程解法Crank-Nicholson 法 复数三对角矩阵追赶法
  • 常见的常微分方程的一般解法

    万次阅读 多人点赞 2020-04-30 13:41:50
    本文归纳常见的常微分方程的一般解法。 常微分方程,我们一般可以将其归纳为如下n类: 可分离变量的微分方程(一阶) 一阶其次(非齐次)线性微分方程(一阶) 伯努利方程(一阶) 二阶常系数微分方程(二阶) 高阶...
  • 特征方程为 ,这是一对共轭复根:对复数 , 。根为 , 通解为 ,即 , 令 , ,由于 ,那么肯定有 ,可以化为 根据上面的结果,也可轻松知道周期为 求解一般情况,微分方程 能量守恒视角看待问题 这个方程求解比较...
  • 所谓数值解法,就是设法将常微分方程离散化,建立差分方程,给出解在一些离散点上的近似值.问题 7.1 一阶常微分方程初值问题的一般形式{y′=f(x,y),a⩽x⩽by(a)=α\begin{equation} \left \{ \begin{aligned} & y'=f(x,...
  • 关于高阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法,国内的《常微分方程》教材大多采用待定...文章除了介绍高阶方程的待定系数法外,还介绍了常数变易法、拉普拉斯变换法、微分算子法,分析了各种解法的优缺点及适合的方程类型.
  • 【给一个特解,然后利用这个特解来求,这个特解可以用两个解相加的方式带进去,也可以利用特解方程式本身做转化,转化成关于y,x的微分方程式来求解。还有一种方式是用变数转换,把式子转化成二阶线性方程式来求解。...
  • 微分方程_00_复系数微分方程解法及其相图 01 使用“实变量复函数”可以对方程求解(参见数学分析新讲,张筑生,北大出版社),解是两个“实变量复函数”.举例:求解复系数二阶齐次常微分方程y''-3iy'-2y=0利用特征方程t...
  • 一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根包含3种情况(这里仅讨论a!=0的情况) #include<stdio.h> #include<math.h>void ax(int a,int b,int c); //δ>0void bx(int a,int b,int c); //δ=0void cx(int a,int b,...
  • 雷锋网 AI 科技评论按,本文作者成指导,字节跳动算法工程师,本文首发于知乎,雷...先看看其惊人的融合结果(非论文配图,本人实验结果):这篇文章的实现,无关目前算法领域大火的神经网络,而是基于泊松方程推导得...
  • c/c++复数追赶法解三对角矩阵方程解法 自动翻译的: Catch-up method to solve complex tridiagonal matrix equation solution
  • 利用素理想和环的零因子技巧,讨论泛...而对于双曲复系数代数方程f(x) = (an+ bnj) x n+ (an- 1+ bn- 1j) x n- 1+…+(a1+ b1j) x+ (a0+ b0j)= 0(这里虚单位j满足j2- 1= 0),我们将方程转换成方程组,给出了方程的具体解法,
  • bi-quadratics equation双二次方程解法 Bezout’s method解决x2^2 (ai x1^2 + bi x1 + di) + x2 (ei x1^2 + fi x1 + gi) + (hi x1^2 + ii x1 + ji) = 0, i=1,2 matlab基本语法:1.多项式的计算相当于建立数组分别...
  • MATLAB解方程组中 solve 和 fsolve 的细节比较

    万次阅读 多人点赞 2018-09-29 10:29:14
    MATLAB作为科研工作者的忠实伙伴,解各种复杂方程的性能与其他工具相比,自然不逞多让。本期盘点MATLAB中solve和fsolve两个函数在解方程中的优劣。
  • 在中学就接触过的近似解法,但中学显然强调公式解大于这类数值方法,其依据如下:对于 [a,b]⊆R[a,b]\subseteq R[a,b]⊆R 上的连续函数 f(x)f(x)f(x),如果 f(a)⋅f(b)(a)·f(b)(a)⋅f(b),则方程 f(x)=0f(x)=0f(x)...
  • 几种非线性方程求解算法的程序 实现及比较 学生*米米 指导教师*米* 历史背景 代数方程的求根问题是一个古老的数学问 理论上,次代数方程复数域内一定有n个根 (考虑重数)早在16世纪就找到了三次四次方程 的求根公式,...
  • 线性方程组的直接解法 引言 方程组有解的基本条件 当∣A∣≠0|A|\neq{0}∣A∣​=0的时候方程组有唯一的解 线性方程组两种基本解法 直接法:针对低阶稠密矩阵,或者高阶稀疏矩阵 迭代法:针对高阶稠密矩阵 高斯...
  • 原标题:学界 | 从泊松方程解法,聊到泊松图像融合“经典图像融合算法解读。”AI 科技评论按,本文作者成指导,字节跳动算法工程师,本文首发于知乎(https://zhuanlan.zhihu.com/p/68349210),AI 科技评论获其授权...
  • 关于竖式解法请参考如下视频: 链接:https://pan.baidu.com/s/1VynxkqseUBt9Abi9k4K-CA 提取码:6666 代码 代码部分不多比比,很多变量都是直接使用中文拼音写的,不存在看不懂的问题.如果看不懂,请仔细查看上面...
  • 复数域内的微分解法

    千次阅读 2011-07-12 12:31:01
    复数域内的微分解法 先考虑一个简单的微分形式y'=e^x*cos x , 这种形式如果考虑分离变量法,需要采用两次局部积分法最后才能获得结果;但如果在复数域 内解答将会很简单,并且我们将验证采用数值解法的结果...
  • 第一章 线性方程解法 代数学起源于解方程(代数方程) 一元一次、一元二次、一元三次、一元四次都有求根公式(通过系数进行有限次加、减、乘、除、乘方、开方得到解),一元五次以上方程就不再有求根公式了...
  • 一元N次方程数值解

    2021-12-09 17:10:42
    一元N次方程数值解 aberth newton-拉弗逊

空空如也

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复数方程解法