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  • 一、理解 快速两个多项式相乘。朴素做法就是暴力枚举两个多项式每一项【】。FFT,先用点值(后面解释)把多项式表示出来(DFT过程)【】,再计算点值相乘【】,然后再把点值...DFT就是巧妙利用复数,将n个系

    一、理解

    快速求两个多项式相乘。朴素做法就是暴力枚举两个多项式的每一项【O(n^{2})】。FFT,先用点值法(后面解释)把多项式表示出来(DFT过程)【O(nlogn)】,再计算点值相乘【O(n)】,然后再把点值法还原成系数法(后面解释)表示(IDFT过程)【O(nlogn)】。

    点值法:涉及线代,简单理解就是把多项式看为函数f(x)=a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{n}x^{n}。中学知识告诉我们,n个未知数(这里的未知数是每一项的系数)至少要有n个方程才能有唯一解。(线代可以证明,有兴趣自己查。)那么,如果我们知道函数的n个不同的值。即n个(x_{i},f(x_{i})),我们就可以唯一的确定一个多项式。DFT就是巧妙的利用复数,将n个系数快速的转换为对应的n个O(nlogn)】。

    系数法:系数法就是用(a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{i},...,a_{n})来表示多项式a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{n}x^{n}IDFT就是巧妙的利用复数,将n个点快速的转换为对应的n个系数O(nlogn)】。

    二、模板

    luogu 3803的模板题为例,用的kuangbin大神(没时间手敲了)的板子。

    其中极坐标(r,i),对应直角坐标系(x,y)。

    #include <bits/stdc++.h>
    #define ll long long
    using namespace std;
    const int N = 1e6+10;
    const double PI = acos(-1.0);
    struct Complex
    {
        double r,i;
        Complex(double _r = 0,double _i = 0)
        {
            r = _r; i = _i;
        }
        Complex operator +(const Complex &b)
        {
            return Complex(r+b.r,i+b.i);
        }
        Complex operator -(const Complex &b)
        {
            return Complex(r-b.r,i-b.i);
        }
        Complex operator *(const Complex &b)
        {
            return Complex(r*b.r-i*b.i,r*b.i+i*b.r);
        }
    };
    void change(Complex* y,int len)
    {
        int i,j,k;
        for(i = 1, j = len/2;i < len-1;i++)
        {
            if(i < j)swap(y[i],y[j]);
            k = len/2;
            while( j >= k)
            {
                j -= k;
                k /= 2;
            }
            if(j < k)j += k;
        }
    }
    void fft(Complex* y,int len,int on)
    {
        change(y,len);
        for(int h = 2;h <= len;h <<= 1)
        {
            Complex wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h));
            for(int j = 0;j < len;j += h)
            {
                Complex w(1,0);
                for(int k = j;k < j+h/2;k++)
                {
                    Complex u = y[k];
                    Complex t = w*y[k+h/2];
                    y[k] = u+t;
                    y[k+h/2] = u-t;
                    w = w*wn;
                }
            }
        }
        if(on == -1)
            for(int i = 0;i < len;i++)
                y[i].r /= len;
    }
    Complex x1[N<<2];
    Complex x2[N<<2];
    int n,m,a[N],b[N];
    int num[N<<1]; 
    int main(void){
    	scanf("%d%d",&n,&m);
    	for(int i=0;i<=n;i++)
    		scanf("%d",&a[i]);
    	for(int i=0;i<=m;i++)
    		scanf("%d",&b[i]);
    	int len,len1;
    	//len1=n+m+1;
    	len=1;
    	while(len < ((n+1)<<1) || len < ((m+1)<<1)) len <<= 1;
    	for(int i = 0; i <= n; i++)
    	   x1[i] = Complex(a[i],0);
    	for(int i = n+1; i < len; i++)
    	   x1[i] = Complex(0,0);
    	for(int i = 0; i <= m; i++)
    	   x2[i] = Complex(b[i],0);
    	for(int i = m+1; i < len; i++)
    	   x2[i] = Complex(0,0);
    	fft(x1,len,1);
    	fft(x2,len,1);
    	for(int i = 0;i < len;i++)
                x1[i] = (x1[i]*x2[i]);
    	fft(x1,len,-1);	
        for(int i = 0;i <= n+m;i++)
            num[i] = (x1[i].r+0.5);	
    	for(int i=0;i<=n+m;i++)
    		printf("%d%c",num[i],i==n+m?'\n':' ');
    	
    	return 0;	
    } 

    三、例题

    1、luogu P3803 【模板】多项式乘法(FFT)      题解 

    2、luogu P1919 【模板】A*B Problem升级版(FFT快速傅里叶)      题解 

    3、HDU - 1402 A * B Problem Plus       题解

    4、石油大 2020年秋季组队训练赛第二十五场 问题 H: Needle      题解

    5、HDU - 4609 3-idiots      题解

     

    强推大佬博客

     

    展开全文
  • 系数表达式点值表达式优缺点复数和单位复根复数单位复根 引入 如果给你一个多项式 A(x)=∑anxnA(x) = ∑a_nx^nA(x)=∑an​xn 和 B(x)=∑bnxnB(x) = ∑b_nx^nB(x)=∑bn​xn, A(x)⋅B(x)A(x) · B(x...

    现在时间是2021-2-2,重新回来看2019学习的一知半解的FFTFFT,又有了新的理解
    所以修改了以往写过的文章,并增添些许内容
    因为过去一年多,上了高中,学的知识多了些,以前不懂的有些东西现在看来挺简单的??

    • Add
      建议了解系数和点值表示法后直接从复数看起
      因为前面很多是第一次学习的时候,为了全面了解
      然而似乎并没有起到这个效果??

    引入

    如果给你一个多项式 A(x)=anxnA(x) = ∑a_nx^nB(x)=bnxnB(x) = ∑b_nx^n,求 A(x)B(x)A(x) · B(x)
    你会怎么做??
    ——可能只能选择O(n2)O(n^2),做i=1nj=1maibj\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mai*bj
    但是你觉得那些毒瘤出题dalao,会让你轻轻松松O(n2)O(n^2)水过去吗?
    在这里插入图片描述
    如此之高的时间复杂度永远成为了多项式乘法的一个瓶颈…
    直到伟大的FFTFFT就出现了,将其优化到O(nlogn)O(nlogn)专治


    系数和点值表示法

    对于求一个n1n-1次的多项式f(x)f(x),可以有两种表示方法,并且可以互相转化

    系数表示法

    概念

    f(x)=i=0n1cixif(x)=\sum_{i=0}^{n-1}c_i*x^i
    什么意思呢?
    🍔设f(x)=(a0x0+a1x1+a2x2)(b0x0+b1x1+b2x2)f(x)=(a_0*x^0+a_1*x^1+a_2*x^2)*(b_0*x^0+b_1*x^1+b_2*x^2)

    那么一一相乘将之拆成了九项式子相加
    f(x)=a0b0x0+a0b1x1+a0b2x2+a1b0x1+a1b1x2f(x)=a_0b_0*x^0+a_0b_1*x^1+a_0b_2*x^2+a_1b_0*x^1+a_1b_1*x^2
    +a1b2x3+a2b0x2+a2b1x3+a2b2x4+a_1b_2*x^3+a_2b_0*x^2+a_2b_1*x^3+a_2b_2*x^4

    进行同类项合并
    f(x)=a0b0x0+(a0b1+a1b0)x1+(a0b2+a1b1+a2b0)x2f(x)=a_0b_0*x^0+(a_0b_1+a_1b_0)*x_1+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)*x^2
    +(a1b2+a2b1)x3+a2b2x4+(a_1b_2+a_2b_1)*x^3+a_2b_2*x^4

    c0=a0b0c_0=a_0b_0
    c1=(a0b1+a1b0)c_1=(a_0b_1+a_1b_0)
    c2=(a0b2+a1b1+a2b0)c_2=(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)
    c3=(a1b2+a2b1)c_3=(a_1b_2+a_2b_1)
    c4=a2b2c_4=a_2b_2

    用中国话来理解就是cic_i是我们整合后的对于xix^i的系数和,将这些相加就是最后的f(x)f(x)


    • Add
      cic_i本质来说可以看作是两个函数的卷积
      h(n)=i=0n1ci xi,f(n)=i=0n1ai xi,g(n)=i=0n1bi xih(n)=\sum_{i=0}^{n-1}c_i\ x^i,f(n)=\sum_{i=0}^{n-1}a_i\ x^i,g(n)=\sum_{i=0}^{n-1}b_i\ x^ici=j=0iaj×bij\Rightarrow c_i=\sum_{j=0}^ia_j\times b_{i-j}

    系数表示法\rightarrow点值表示法

    就是把xix_i带进去就可以算出来每一个点ii的函数值,就可以表示该点(xi,yi)(x_i,y_i)
    yi=j=0n1cjxijy_i=\sum_{j=0}^{n-1}c_j*x_i^j

    系数表示法的优缺点

    优点
    多项式的求值计算效率高,对于A(x)=a0+a1x1+a2x2...anxnA(x)=a_0+a_1*x^1+a_2*x^2...a_n*x^n
    提一个同类项xx,变成
    A(x)=a0+x(a1+a2x+...anxn1)A(x)=a_0+x(a_1+a_2*x+...a_n*x^{n-1}),不停地提xx出来
    我们就可以在a0a_0处通过霍纳法则O(n)O(n)算出来

    多项式的加减计算效率也高
    A(x)=a0+a1x1+a2x2+...+an1xn1A(x)=a_0+a_1*x^1+a_2*x^2+...+a_{n-1}*x^{n-1}
    B(x)=b0+b1x1+...+bn1xn1B(x)=b_0+b_1*x^1+...+b_{n-1}*x^{n-1}
    可以通过O(n)O(n),算出C(x)=c0+c1x1+...+cn1xn1C(x)=c_0+c_1*x^1+...+c_{n-1}*x^{n-1}
    对于每一个i[0,n)i∈[0,n),都有ci=ai+bic_i=a_i+b_i,其实就是直接系数方面的相加减

    缺点
    多项式的乘法计算时间复杂度将达到O(n2)O(n^2)
    1.感性理解就是我们要枚举AA里面的每一项,再与BB里面的每一项进行相乘再合并同类项
    2.数学公式表达则是:解释一下为什么上界是2n22n-2
    额其实很好想,A,BA,B的最高项都是xn1x^{n-1}相乘肯定就是CC的最高项,也就是x2n2x^{2n-2}
    C(x)=i=02n2cixi,ci=j=0iajbijC(x)=\sum_{i=0}^{2n-2}c_i*x^i,c_i=\sum_{j=0}^ia_jb_{i-j}

    点值表示法

    概念

    给一堆点对(x1,x2,x3...xn),(y1,y2,y3...yn)(x_1,x_2,x_3...x_n),(y_1,y_2,y_3...y_n),满足f(xi)=yif(x_i)=y_i
    (xi,yi)(x_i,y_i)是曲线上y=f(x)y=f(x)的点


    • Add
      这样表示似乎更好?
      (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)....(xn1,yn1)(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)....(x_{n-1},y_{n-1})

    用中国话来讲就是我们知道了平面直角坐标系上某条函数的nn对点
    然后就可以勾勒出这一条唯一的函数图象

    要确定一条函数的图像,要至少知道函数最高次+1个不同的点

    简单证明一下:
    1.感性理解,我们说两个点确定一条直线,也就是说要两个点才能画出一次函数
    而我们的抛物线又要三个点才能画出二次函数......以此类推
    2.运用解方程的方法,我们面对四个点会设f(x)=ax3+bx2+cx1+df(x)=a*x^3+b*x^2+c*x^1+d
    四个不同的方程对应四个解
    在这里插入图片描述感觉好像是一样的证明,别管这么多了,反正都是简单证明,口胡口胡

    点值表达式–>系数表达式

    f(x)=i=0n1yiji(xxj)ji(xixj)f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}y_i\frac{\prod_{j\neq i}(x-x_j)}{\prod_{j\ne i}(x_i-x_j)}
    这个证明要用到拉格朗日插值法,但是因为我们一般不用这玩意儿,老子就不搞了,太现实了

    点值表达式的优缺点

    优点
    加减法计算效率高:对两个点值表达的次数界为nn的多项式,计算只有O(n)O(n)
    如果C(x)=A(x)+b(x)C(x)=A(x)+b(x),那么C(xk)=A(xk)+B(xk)C(x_k)=A(x_k)+B(x_k)

    更具体而言:对于给定的A(x0,y0),(x1,y1)...(xn1,yn1)),B(x0,y0),(x1,y1)...(xn1,yn1))A{(x_0,y_0),(x_1,y_1)...(x_{n-1},y_{n-1}))},B{(x_0,y_0'),(x_1,y_1')...(x_{n-1},y_{n-1}'))}
    那么AABB对相同的nn个点对求和,CC的点对就表示成C(x0,y0+y0),(x1,y1+y1)...(xn1,yn1+yn1))C{(x_0,y_0+y_0'),(x_1,y_1+y_1')...(x_{n-1},y_{n-1}+y_{n-1}'))}

    乘法计算效率也高:对两个点值表达的次数界为nn的多项式,计算只有O(n)O(n)
    如果C(x)=A(x)b(x)C(x)=A(x)*b(x),那么C(xk)=A(xk)B(xk)C(x_k)=A(x_k)*B(x_k)
    这样只需要将A,BA,B进行逐点相乘就可以求出了CC,但是CC的次数界要达到2n2n
    A,BA,B次数界也只有nn,所以我们必须对A,BA,B进行扩点处理,将其扩大成CC的次数界

    更具体而言:扩充A(x0,y0),(x1,y1)...(x2n1,y2n1)),B(x0,y0),(x1,y1)...(x2n1,y2n1))A{(x_0,y_0),(x_1,y_1)...(x_{2n-1},y_{2n-1}))},B{(x_0,y_0'),(x_1,y_1')...(x_{2n-1},y_{2n-1}'))}
    CC的点对就表示成C(x0,y0+y0),(x1,y1+y1)...(xn1,y2n1+y2n1))C{(x_0,y_0+y_0'),(x_1,y_1+y_1')...(x_{n-1},y_{2n-1}+y_{2n-1}'))}

    缺点
    我们如何求一个新点的值呢?是不是只能转化成系数表达式,用O(n)O(n)计算
    但是时间复杂度就在转化这里达到了O(n2)O(n^2)

    换言之:对于多项式 A(x)A(x)B(x)B(x),假设 degA+degB<ndegA + degB < n
    deg是数学中的表示多项式的次数的玩意儿)
    如果有 AABBx0,x1,...,xn1{x_0, x_1, . . . , x_{n-1}} 处的点值表示
    (AB)(A · B)的点值表示可以通过(AB)(xi)=A(xi)B(xi)(A · B)(x_i) = A(x_i) · B(x_i)O(N)O(N) 时间内得到
    还原 (AB)(A · B) 为系数表示就实现了多项式乘法,但是还原的时间O(n2)O(n^2)

    🍔:所以如果有一道题给我们系数表达式,最后又让我们输出结果的系数表达式
    我们用以上的方法虽然计算成点值表达式只用了O(n)O(n)
    但是最后在转化成系数表达式的时候,时间复杂度还是蹭蹭蹭地涨到了O(n2)O(n^2)
    看上面的式子,我们会面临枚举i,ji,j的难题,还是没有在本质上解决问题


    但是我们的FFTFFT就剋以做到以上的转化且只用O(nlogn)O(nlogn)

    1.把已知的一个多项式转化成对应的点值表示
    2.把已知的点值表示转换成对应的多项式

    说了这么多,还是没有告诉我怎么做啊!!!不急慢慢往下看
    在这里插入图片描述


    复数和单位复根

    在这里插入图片描述

    复数

    我们把形如z=a+biz=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数,其中aa称为实部bb称为虚部ii称为虚数单位
    i=1i=\sqrt{-1},即i2=1i^2=-1

    我们可以把复数当做一个向量丢在二维平面,即平面直角坐标系
    在这里插入图片描述


    百度百科说:复数之间的加减乘(除)是可以直接算的,除法因为不怎么用就不说了
    在这里插入图片描述
    1.加法法则
    z1=a+biz2=c+diz1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,
    则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
    两个复数的和依然是复数,它的实部是原来两个复数实部的和,它的虚部是原来两个虚部的和,当然复数的加法满足交换律和结合律


    2.减法法则
    z1=a+biz2=c+diz1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,
    则它们的差是 (a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
    两个复数的差依然是复数,它的实部是原来两个复数实部的差,它的虚部是原来两个虚部的差


    3.乘法法则
    z1=a+biz2=c+di(abcdR)z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,
    那么它们的积(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i
    其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,展开得: ac+adi+bci+bdi2ac+adi+bci+bdi^2,因为i2=1i^2=-1,所以结果是(acbd)+(bc+ad)i(ac-bd)+(bc+ad)i两个复数的积仍然是一个复数
    此时,复数相乘表现为幅角相加,模长相乘

    单位复根

    定义nn次单位复根为ωni\omega_n^i,满足xn=1x^n=1的复数xx,表现在平面直角坐标系中
    在这里插入图片描述

    单位复根满足的性质如下:可以想象成在单位圆上的旋转

    ωnaωnb=ωna+b\omega_n^a*\omega_n^b=\omega_n^{a+b}
    ωni=ωni+n\omega_n^i=\omega_n^{i+n},也就是转了一圈单位圆最后在坐标系上只转了幅角为i
    ωknki=ωni\omega_{kn}^{ki}=\omega_n^i
    ωni=ωni+n/2\omega_n^i=-\omega_n^{i+n/2}-可以理解为倒着转

    因为单位复根刚好有nn个,可以分别一一对应我们的n1n-1次多项式,形成点值表达式

    {(ωn0,f(ωn0)),(ωn1,f(ωn1)),(ωn2,f(ωn2))...,(ωnn1,f(ωnn1))}\{(\omega_n^0,f(\omega_n^0)),(\omega_n^1,f(\omega_n^1)),(\omega_n^2,f(\omega_n^2))...,(\omega_n^{n-1},f(\omega_n^{n-1}))\}

    在这里插入图片描述
    我们的FFTFFT是要求nn为2的幂次的


    • Add
      对于一个函数f(n)=i=0n1ci xif(n)=\sum_{i=0}^{n-1}c_i\ x_i
      其实可以上调nn但不能下降nn
      意思就是可以将nn配成任何比nn大的nn',系数cc直接配成00,不就行了?
      所以FFTFFTnn的要求是完全可以人为调控达到的

    所以像上图的五个单位复根
    其实我们是分成了八个单位复根,然后就只用前五个
    如图分成了八份,只用其中涂绿了的五份
    在这里插入图片描述


    • Add
      前面提到是将复数当成向量放在二维平面的单位圆里
      所以对于单位圆上的一点,假设角度为xx,那么该点可以表示为(cos x,i sin x)(cos\ x,i\ sin\ x)
      对于两个角度分别为x,yx,y的在单位圆上的点,相乘
      (cos x,i sin x)×(cos y,i sin y)=(cos\ x,i\ sin\ x)\times (cos\ y,i\ sin\ y)=
      (cos x cos ysin x sin y,i(sin x cos y+cos x sin y))(cos\ x\ cos\ y-sin\ x\ sin\ y,i(sin\ x\ cos\ y+cos\ x\ sin\ y))
      发现就是角度为x+yx+y的点坐标(cos(x+y),i sin(x+y))(cos(x+y),i\ sin(x+y))
      这也恰恰应证了复数相乘表现为幅角相加,模长相乘
      点乘算出来的结果是一个点
      叉乘算出来的结果仍是一个向量

    傅里叶正变换(一般形式\rightarrow点值表达式)

    理论


    • Add
      FFTFFT就是知道用点值表达式表示函数

    FFT 的正变换实现,是基于对多项式进行奇偶项分开递归再合并的分治进行的
    对于 n1n-1 次多项式,我们选择插入 nn 次单位根求出其点值表达式,
    这就跟我们引入单位复根的原因相结合了

    f(x)=a0+a1x1+a2x2+...+an1xn1f(x)=a_0+a_1*x^1+a_2*x^2+...+a_{n-1}*x^{n-1}
    f0(x)=a0+a2x+a4x2+a6x3+...f_0(x)=a_0+a_2*x+a_4*x^2+a_6*x^3+...f1(x)=a1+a3x+a5x2+...f_1(x)=a_1+a_3*x+a_5*x^2+...
    f(x)=f0(x2)+xf1(x2)f(x)=f_0(x^2)+x*f_1(x^2)
    证明的话把这个式子展开就行了,跳过

    也就是说我们把f(x)f(x)分成了两类,奇数项分成一类,偶数项分成一类,去得到上列公式

    接着,令n=2pn=2*p,那么就有以下转化
    f(ωni)=f0((ωn/2i/2)2)+ωnif1((wn/2i/2)2)=f0(ωpi)+ωnif1(ωpi)f(\omega_n^i)=f_0((\omega_{n/2}^{i/2})^2)+\omega_n^i*f1((w_{n/2}^{i/2})^2)=f_0(\omega_p^i)+\omega_n^i*f_1(\omega_p^i)
    f(ωni+p)=f0((ωn/2(i+p)/2)2)+ωni+pf1((wn/2(i+p)/2)2)f(\omega_n^{i+p})=f_0((\omega_{n/2}^{(i+p)/2})^2)+\omega_n^{i+p}*f1((w_{n/2}^{(i+p)/2})^2)=f0(ωpi+p)+ωni+pf1(ωpi+p)=f0(ωpi)ωnif1(ωpi)=f_0(\omega_p^{i+p})+\omega_n^{i+p}*f_1(\omega_p^{i+p})=f_0(\omega_p^i)-\omega_n^i*f_1(\omega_p^i)
    在这里插入图片描述
    由上述式子我们可以知道,如果我们知道f0(ωpi),f1(ωpi)f_0(\omega_p^i),f_1(\omega_p^i),我们就可以O(1)O(1)算出f(ωni),f(ωni+n/2)f(\omega_n^i),f(\omega_n^{i+n/2})
    那么如果我们递归求出了f0(x),f1(x)f_0(x),f_1(x)n/2n/2次的插值,我们就能O(n)O(n)的算出f(x)f(x)nn次单位根的插值,所以时间复杂度则是O(nlogn)O(nlogn)

    一言以蔽之:当 xx 取遍所有 nn 次单位复根时,x2x^2 取遍所有 (n/2)(n/2) 次单位复根

    递归模板

    struct complex {//先自己手打STL里面的复数,可以防止某些**卡常
    	double real, i;
    	complex () {}
    	complex ( double xx, double yy ) {
    		real = xx;
    		i = yy;
    	}
    }a[MAXN], b[MAXN];
    
    complex operator + ( complex s, complex t ) {
    	return complex ( s.real + t.real, s.i + t.i );
    }
    complex operator - ( complex s, complex t ) {
    	return complex ( s.real - t.real, s.i - t.i );
    }
    complex operator * ( complex s, complex t ) {
    	return complex ( s.real * t.real - s.i * t.i, s.real * t.i + s.i * t.real );
    }
    
    const double pi = acos ( -1.0 );
    
    void FFT ( int limit, complex *a, int inv ) {
    	if ( limit == 1 )
    		return;
    	complex a1[limit >> 1], a2[limit >> 1];
    	for ( int i = 0;i < limit;i += 2 ) {
    		a1[i >> 1] = a[i];
    		a2[i >> 1] = a[i + 1];
    	}
    	FFT ( limit >> 1, a1, inv );
    	FFT ( limit >> 1, a2, inv );
    	complex w = complex ( cos ( 2 * pi / limit ), inv * sin ( 2 * pi / limit ) ), p = complex ( 1, 0 );
    	for ( int i = 0;i < ( limit >> 1 );i ++, p = p * w ) {
    		a[i] = a1[i] + p * a2[i];
    		a[i + ( limit >> 1)] = a1[i] - p * a2[i];
    	}
    }
    

    傅里叶逆变换(点值表达式–>一般形式)

    其实正变换的实现就是下列的矩阵相乘,反正我是没看出来
    [ (ωn0)0(ωn0)1...(ωn0)n1(ωn1)0(ωn1)1...(ωn1)n1............(ωnn1)0(ωnn1)1...(ωnn1)n1]×[ a0 a1 a2 . . . an1]=[ f(wn0) f(wn1) f(wn2) . . . f(wnn1)] \begin{bmatrix} \ (\omega_n^0)^0 & (\omega_n^0)^1 & ... &(\omega_n^0)^{n-1} \\ \\ (\omega_n^1)^0 & (\omega_n^1)^1 & ... & (\omega_n^1)^{n-1} \\ \\.&.&...&. \\.&.&...&. \\ (\omega_n^{n-1})^0 & (\omega_n^{n-1})^1 & ... & (\omega_n^{n-1})^{n-1} \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \ a_0 \\ \ a_1\\ \ a_2 \\ \ .\\ \ .\\ \ .\\ \ a_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ f(w_n^0) \\ \ f(w_n^1) \\ \ f(w_n^2)\\ \ . \\ \ . \\ \ . \\ \ f(w_n^{n-1}) \\ \end{bmatrix}


    • Add
      快速傅里叶逆变化IFFTIFFT,将点值表达式转换为系数表达式
      一般都是用的系数表达式

    矩阵相乘的第i行第j列等于
    求和第一个矩阵的第i行的每一个数和第二个矩阵的第j列的每一个数的乘积

    我们记VV就为(系数矩阵)上列的第一个矩阵,接下来再定义一个矩阵DD
    D=[ (ωn0)0(ωn0)1...(ωn0)n1(ωn1)0(ωn1)1...(ωn1)n1............(ωnn+1)0(ωnn+1)1...(ωnn+1)n1]D= \begin{bmatrix} \ (\omega_n^{-0})^0 & (\omega_n^{-0})^1 & ... &(\omega_n^{-0})^{n-1} \\ \\ (\omega_n^{-1})^0 & (\omega_n^{-1})^1 & ... & (\omega_n^{-1})^{n-1} \\ \\.&.&...&. \\.&.&...&. \\ (\omega_n^{-n+1})^0 & (\omega_n^{-n+1})^1 & ... & (\omega_n^{-n+1})^{n-1} \\ \end{bmatrix}
    在这里插入图片描述


    那么计算矩阵DVD*Vi,ji,j项,分为两种情况
    ①:i=ji=j,(任何数除零外的零次方都为1)
    (DV)i,j=k=0n1Di,kVk,j=k=0n1ωnikωnjk=k=0n1ωn(ji)k=k=0n1ωn0=n(D*V)_{i,j}=\sum_{k=0}^{n-1}D_{i,k}*V_{k,j}=\sum_{k=0}^{n-1}\omega_n^{-ik}*\omega_n^{jk}=\sum_{k=0}^{n-1}\omega_n^{(j-i)k}=\sum_{k=0}^{n-1}\omega_n^0=n
    ②:iji\ne j
    (DV)i,j=k=0n1Di,kVk,j=k=0n1ωnikωnjk=k=0n1ωn(ji)k(D*V)_{i,j}=\sum_{k=0}^{n-1}D_{i,k}*V_{k,j}=\sum_{k=0}^{n-1}\omega_n^{-ik}*\omega_n^{jk}=\sum_{k=0}^{n-1}\omega_n^{(j-i)k}
    =(ωnji)0+(ωnji)1+(ωnji)2+...+(ωnji)n1=(\omega_n^{j-i})^0+(\omega_n^{j-i})^1+(\omega_n^{j-i})^2+...+(\omega_n^{j-i})^{n-1}
    发现这个公式是一个以ωnj1\omega_n^{j-1}为公比的等比数列,
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    那么就可以转换为
    (ωnji)0(ωnji)1(ωnji)n11(ωnji)1=1(ωnji)n1ωnji=01ωnji=0\frac{(\omega_n^{j-i})^0-(\omega_n^{j-i})^1*(\omega_n^{j-i})^{n-1}}{1-(\omega_n^{j-i})^1}=\frac{1-(\omega_n^{j-i})^n}{1-\omega_n^{j-i}}=\frac{0}{1-\omega_n^{j-i}}=0
    单位复根的nn次方=0=0,见上文单位复根定义
    因为此公式的前提是jij\ne i,所以分母一定不为00

    jij\ne i时,(DV)i,j=0(D*V)_{i,j}=0


    DVfD*V*f去转换为点值表达式,去带最上面的这一板块的公式,你会惊讶地发现
    [ (ωn0)0(ωn0)1...(ωn0)n1(ωn1)0(ωn1)1...(ωn1)n1............(ωnn+1)0(ωnn+1)1...(ωnn+1)n1]×[ (ωn0)0(ωn0)1...(ωn0)n1(ωn1)0(ωn1)1...(ωn1)n1............(ωnn1)0(ωnn1)1...(ωnn1)n1]×[ f(wn0) f(wn1) f(wn2) . . . f(wnn1)]= \begin{bmatrix} \ (\omega_n^{-0})^0 & (\omega_n^{-0})^1 & ... &(\omega_n^{-0})^{n-1} \\ \\ (\omega_n^{-1})^0 & (\omega_n^{-1})^1 & ... & (\omega_n^{-1})^{n-1} \\ \\.&.&...&. \\.&.&...&. \\ (\omega_n^{-n+1})^0 & (\omega_n^{-n+1})^1 & ... & (\omega_n^{-n+1})^{n-1} \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \ (\omega_n^0)^0 & (\omega_n^0)^1 & ... &(\omega_n^0)^{n-1} \\ \\ (\omega_n^1)^0 & (\omega_n^1)^1 & ... & (\omega_n^1)^{n-1} \\ \\.&.&...&. \\.&.&...&. \\ (\omega_n^{n-1})^0 & (\omega_n^{n-1})^1 & ... & (\omega_n^{n-1})^{n-1} \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \ f(w_n^0) \\ \ f(w_n^1) \\ \ f(w_n^2)\\ \ . \\ \ . \\ \ . \\ \ f(w_n^{n-1}) \\ \end{bmatrix} =
    [ n00...0 0n0...0 00n..0 ............0 000...n]×[ f(wn0) f(wn1) f(wn2) . . . f(wnn1)]=[ na0 na1 na2 . . . nan1] \begin{bmatrix} \ n&0&0&...&0 \\ \ 0&n&0&...&0 \\ \ 0 &0&n&..&0\\ \ ...&...&...&... &0\\ \ 0&0&0&...&n \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \ f(w_n^0) \\ \ f(w_n^1) \\ \ f(w_n^2)\\ \ . \\ \ . \\ \ . \\ \ f(w_n^{n-1}) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ n*a_0 \\ \ n*a_1\\ \ n*a_2 \\ \ .\\ \ .\\ \ .\\ \ n*a_{n-1} \end{bmatrix}
    所以最后对答案全部/n/n就是点值表达式了,这也是为什么我们为这么定义D,VD,V

    逆变换就相当于把正变换过程中的ωnk\omega^k_n换成wnkw^{-k}_n,之后结果除以n就可以了——摘自某dalao博客

    在这里插入图片描述

    离散傅里叶变换实现

    在这里插入图片描述

    理论

    之前的思路全都是递归思想,实现出来后发现吓死个人,所以我们考虑转成迭代
    以下的图摘自学长大佬:
    在这里插入图片描述
    学长让我们换成二进制看看:
    在这里插入图片描述

    可以发现终序列是原序列每个元素的翻转。
    于是我们可以先把要变换的系数排在相邻位置,从下往上迭代。
    在这里给出一个参考的方法:
    我们对于每个 i,假设已知 i-1 的翻转为 j。考虑不进行翻转的二进制加法怎么进行:从最低位开始,找到第一个为 0 的二进制位,将它之前的 1 变为 0,将它自己变为 1。因此我们可以从 j 的最高位开始,倒过来进行这个过程
    ——摘自某dalao的博主

    所以我们才会把这个FFTFFT跟蝴蝶操作搞在一起,盗一波百度的图片
    在这里插入图片描述

    模板

    void FFT ( complex *c, int f ) {
    	for ( int i = 0;i < len;i ++ )
    		if ( i < r[i] )
    			swap ( c[i], c[r[i]] );
    	for ( int i = 1;i < len;i <<= 1 ) {
    		complex omega ( cos ( pi / i ), f * sin ( pi / i ) );
    		for ( int j = 0;j < len;j += ( i << 1 ) ) {
    			complex w ( 1, 0 );
    			for ( int k = 0;k < i;k ++, w = w * omega ) {
    				complex x = c[j + k], y = w * c[j + k + i];
    				c[j + k] = x + y;
    				c[i + j + k] = x - y;
    			}
    		}
    	}
    }
    

    模板的板题运用

    例题:洛谷P3803【模板】多项式乘法(FFT)

    题目

    递归版CODE

    #include <cmath>
    #include <cstdio>
    using namespace std;
    #define MAXN 3000005
    struct complex {
    	double real, i;
    	complex () {}
    	complex ( double xx, double yy ) {
    		real = xx;
    		i = yy;
    	}
    }a[MAXN], b[MAXN];
    
    complex operator + ( complex s, complex t ) {
    	return complex ( s.real + t.real, s.i + t.i );
    }
    complex operator - ( complex s, complex t ) {
    	return complex ( s.real - t.real, s.i - t.i );
    }
    complex operator * ( complex s, complex t ) {
    	return complex ( s.real * t.real - s.i * t.i, s.real * t.i + s.i * t.real );
    }
    
    const double pi = acos ( -1.0 );
    
    void FFT ( int limit, complex *a, int inv ) {
    	if ( limit == 1 )
    		return;
    	complex a1[limit >> 1], a2[limit >> 1];
    	for ( int i = 0;i < limit;i += 2 ) {
    		a1[i >> 1] = a[i];
    		a2[i >> 1] = a[i + 1];
    	}
    	FFT ( limit >> 1, a1, inv );
    	FFT ( limit >> 1, a2, inv );
    	complex w = complex ( cos ( 2 * pi / limit ), inv * sin ( 2 * pi / limit ) ), p = complex ( 1, 0 );
    	for ( int i = 0;i < ( limit >> 1 );i ++, p = p * w ) {
    		a[i] = a1[i] + p * a2[i];
    		a[i + ( limit >> 1)] = a1[i] - p * a2[i];
    	}
    }
    
    int main() {
    	int n, m;
    	scanf ( "%d %d", &n, &m );
    	for ( int i = 0;i <= n;i ++ )
    		scanf ( "%lf", &a[i].real );
    	for ( int i = 0;i <= m;i ++ )
    		scanf ( "%lf", &b[i].real );
    	int limit = 1;
    	while ( limit <= n + m )
    		limit <<= 1; 
    	FFT ( limit, a, 1 );
    	FFT ( limit, b, 1 );
    	for ( int i = 0;i <= limit;i ++ )
    		a[i] = a[i] * b[i];
    	FFT ( limit, a, -1 );
    	for ( int i = 0;i <= n + m;i ++ )
    		printf ( "%d ", ( int ) ( a[i].real / limit + 0.5 ) );
    	return 0;
    }
    

    迭代版CODE

    推荐使用递推版,要比递归版快

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    #define maxn 3000005
    struct complex {
    	double x, i;
    	complex(){}
    	complex( double X, double I ) {
    		x = X, i = I;
    	}
    }A[maxn], B[maxn];
    int len = 1;
    int r[maxn];
    
    double pi = acos( -1.0 );
    
    complex operator + ( complex a, complex b ) {
    	return complex( a.x + b.x, a.i + b.i );
    }
    
    complex operator - ( complex a, complex b ) {
    	return complex( a.x - b.x, a.i - b.i );
    }
    
    complex operator * ( complex a, complex b ) {
    	return complex( a.x * b.x - a.i * b.i, a.x * b.i + a.i * b.x );
    }
    
    void FFT( complex *c, int f ) { //f=1系数转化为点值表达式w^1  f=-1点值转化为系数表达式w^(-1)
    /*
    蝴蝶发现:终序列是原序列每个元素二进制的翻转 
    */ 
    	for( int i = 0;i < len;i ++ )
    		if( i < r[i] ) swap( c[i], c[r[i]] ); 
    	for( int i = 1;i < len;i <<= 1 ) { //枚举迭代区间长度的一半 
    		complex omega( cos( pi / i ), f * sin( pi / i ) );//区间长度本来是2i 就是要分成2i份 每一份是2pi/2i=pi/i 
    		for( int j = 0;j < len;j += ( i << 1 ) ) {//枚举每一次迭代区间的开头
    			complex w( 1, 0 );
    			for( int k = 0;k < i;k ++, w = w * omega ) {
    /*
    只枚举迭代区间的左半部分
    左半部分和右半部分进行计算
    就可以算出上一层 直接覆盖即可
    (w^k)^2=[w^(k+n/2)]^2 
    左半部分是按照偶数分类
    右半部分是按照奇数分类
    f(x)=x*f1(x^2)+f2(x^2)
    f1是奇数分类 f2是偶数分类 
    */ 
    				complex x = c[j + k], y = w * c[j + k + i];
    				c[j + k] = x + y;
    				c[j + k + i] = x - y;
    			}
    		}
    	}
    }
    
    int main() {
    	int n, m;
    	scanf( "%d %d", &n, &m );
    	for( int i = 0;i <= n;i ++ )
    		scanf( "%lf", &A[i].x );
    	for( int i = 0;i <= m;i ++ )
    		scanf( "%lf", &B[i].x );
    	int l = 0;
    	while( len <= n + m ) {
    		len <<= 1;
    		l ++;
    	}
    	for( int i = 0;i < len;i ++ )
    		r[i] = ( r[i >> 1] >> 1 ) | ( ( i & 1 ) << ( l - 1 ) );
    /*
    在原序列中i与i/2的关系是:i可以看做是i/2的二进制上的每一位左移一位得来
    那么在反转后的数组中就需要右移一位
    因为i直接左移一位
    那么i二进制的右边第一位是没有考虑到的
    那么如果那一位是1
    反转后就应该是最高位为1 
    */
    	FFT( A, 1 ); 
    	FFT( B, 1 );
    	for( int i = 0;i < len;i ++ )
    		A[i] = A[i] * B[i];
    	FFT( A, -1 );
    	for( int i = 0;i <= n + m;i ++ )
    		printf( "%d ", int( A[i].x / len + 0.5 ) );
    	return 0;
    }
    

    在这里插入图片描述
    给个版权吧:以上内容部分学习于

    https://www.cnblogs.com/Tiw-Air-OAO/p/10162034.html
    学校的lucky学长(没找到blog)
    老师专讲
    叉姐

    展开全文
  • 链接:Python小例子:https://github.com/jackzhenguo/python-small-examples...小例子一、 数字1 绝对值绝对值或复数的模In [1]: abs(-6)Out[1]: 62 进制转化十进制转换为二进制:In [2]: bin(10)Out[2]: '0b10...

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    小例子

    一、 数字

    1 求绝对值

    绝对值或复数的模

    In [1]: abs(-6)Out[1]: 6

    2 进制转化

    十进制转换为二进制:

    In [2]: bin(10)Out[2]: '0b1010'

    十进制转换为八进制:

    In [3]: oct(9)Out[3]: '0o11'

    十进制转换为十六进制:

    In [4]: hex(15)Out[4]: '0xf'

    3 整数和ASCII互转

    十进制整数对应的ASCII字符

    In [1]: chr(65)Out[1]: 'A'

    查看某个ASCII字符对应的十进制数

    In [1]: ord('A')Out[1]: 65

    4 元素都为真检查

    所有元素都为真,返回 True,否则为False

    In [5]: all([1,0,3,6])Out[5]: False
    In [6]: all([1,2,3])Out[6]: True

    5 元素至少一个为真检查 

    至少有一个元素为真返回True,否则False

    In [7]: any([0,0,0,[]])Out[7]: False
    In [8]: any([0,0,1])Out[8]: True

    6 判断是真是假  

    测试一个对象是True, 还是False.

    In [9]: bool([0,0,0])Out[9]: TrueIn [10]: bool([])Out[10]: FalseIn [11]: bool([1,0,1])Out[11]: True

    7 创建复数

    创建一个复数

    In [1]: complex(1,2)Out[1]: (1+2j)

    8 取商和余数  

    分别取商和余数

    In [1]: divmod(10,3)Out[1]: (3, 1)

    9 转为浮点类型 

    将一个整数或数值型字符串转换为浮点数

    In [1]: float(3)Out[1]: 3.0

    如果不能转化为浮点数,则会报ValueError:

    In [2]: float('a')# ValueError: could not convert string to float: 'a'

    10 转为整型  

    int(x, base =10) , x可能为字符串或数值,将x 转换为一个普通整数。如果参数是字符串,那么它可能包含符号和小数点。如果超出了普通整数的表示范围,一个长整数被返回。

    In [1]: int('12',16)Out[1]: 18

    11 次幂

    base为底的exp次幂,如果mod给出,取余

    In [1]: pow(3, 2, 4)Out[1]: 1

    12 四舍五入

    四舍五入,ndigits代表小数点后保留几位:

    In [11]: round(10.0222222, 3)Out[11]: 10.022In [12]: round(10.05,1)Out[12]: 10.1

    13 链式比较

    i = 3print(1 < i < 3)  # Falseprint(1 < i <= 3)  # True

    二、 字符串

    14 字符串转字节  

    字符串转换为字节类型

    In [12]: s = "apple"                                                            In [13]: bytes(s,encoding='utf-8')Out[13]: b'apple'

    15 任意对象转为字符串  

    In [14]: i = 100                                                                In [15]: str(i)Out[15]: '100'In [16]: str([])Out[16]: '[]'In [17]: str(tuple())Out[17]: '()'

    16 执行字符串表示的代码

    将字符串编译成python能识别或可执行的代码,也可以将文字读成字符串再编译。

    In [1]: s  = "print('helloworld')"In [2]: r = compile(s,"", "exec")In [3]: rOut[3]: <code object <module> at 0x0000000005DE75D0, file "", line 1>In [4]: exec(r)
    helloworld

    17 计算表达式

    将字符串str 当成有效的表达式来求值并返回计算结果取出字符串中内容

    In [1]: s = "1 + 3 +5"
    ...: eval(s)
    ...:Out[1]: 9

    18 字符串格式化 

    格式化输出字符串,format(value, format_spec)实质上是调用了value的__format__(format_spec)方法。

    In [104]: print("i am {0},age{1}".format("tom",18))
    i am tom,age18
    3.1415926{:.2f}3.14保留小数点后两位
    3.1415926{:+.2f}+3.14带符号保留小数点后两位
    -1{:+.2f}-1.00带符号保留小数点后两位
    2.71828{:.0f}3不带小数
    5{:0>2d}05数字补零 (填充左边, 宽度为2)
    5{:x<4d}5xxx数字补x (填充右边, 宽度为4)
    10{:x<4d}10xx数字补x (填充右边, 宽度为4)
    1000000{:,}1,000,000以逗号分隔的数字格式
    0.25{:.2%}25.00%百分比格式
    1000000000{:.2e}1.00e+09指数记法
    18{:>10d}' 18'右对齐 (默认, 宽度为10)
    18{:<10d}'18 '左对齐 (宽度为10)
    18{:^10d}' 18 '中间对齐 (宽度为10)

    三、 函数

    19 拿来就用的排序函数

    排序:

    In [1]: a = [1,4,2,3,1]In [2]: sorted(a,reverse=True)Out[2]: [4, 3, 2, 1, 1]In [3]: a = [{'name':'xiaoming','age':18,'gender':'male'},{'name':'     ...: xiaohong','age':20,'gender':'female'}]In [4]: sorted(a,key=lambda x: x['age'],reverse=False)Out[4]:
    [{'name': 'xiaoming', 'age': 18, 'gender': 'male'},
    {'name': 'xiaohong', 'age': 20, 'gender': 'female'}]

    20 求和函数

    求和:

    In [181]: a = [1,4,2,3,1]In [182]: sum(a)Out[182]: 11In [185]: sum(a,10) #求和的初始值为10Out[185]: 21

    21 nonlocal用于内嵌函数中

    关键词nonlocal常用于函数嵌套中,声明变量i为非局部变量;如果不声明,i+=1表明i为函数wrapper内的局部变量,因为在i+=1引用(reference)时,i未被声明,所以会报unreferenced variable的错误。

    def excepter(f):
    i = 0
    t1 = time.time()def wrapper():try:f()except Exception as e:nonlocal i
    i += 1print(f'{e.args[0]}: {i}')
    t2 = time.time()if i == n:print(f'spending time:{round(t2-t1,2)}')return wrapper

    22 global 声明全局变量

    先回答为什么要有global,一个变量被多个函数引用,想让全局变量被所有函数共享。有的伙伴可能会想这还不简单,这样写:

    i = 5def f():print(i)def g():print(i)passf()g()

    f和g两个函数都能共享变量i,程序没有报错,所以他们依然不明白为什么要用global.

    但是,如果我想要有个函数对i递增,这样:

    def h():
    i += 1h()

    此时执行程序,bang, 出错了!抛出异常:UnboundLocalError,原来编译器在解释i+=1时会把i解析为函数h()内的局部变量,很显然在此函数内,编译器找不到对变量i的定义,所以会报错。

    global就是为解决此问题而被提出,在函数h内,显式地告诉编译器i为全局变量,然后编译器会在函数外面寻找i的定义,执行完i+=1后,i还为全局变量,值加1:

    i = 0def h():global i
    i += 1h()print(i)

    23 交换两元素

    def swap(a, b):return b, aprint(swap(1, 0))  # (0,1)

    24 操作函数对象

    In [31]: def f():
    ...: print('i\'m f')
    ...:In [32]: def g():
    ...: print('i\'m g')
    ...:In [33]: [f,g][1]()
    i'm g

    创建函数对象的list,根据想要调用的index,方便统一调用。

    25 生成逆序序列

    list(range(10,-1,-1)) # [10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]

    第三个参数为负时,表示从第一个参数开始递减,终止到第二个参数(不包括此边界)

    26 函数的五类参数使用例子

    python五类参数:位置参数,关键字参数,默认参数,可变位置或关键字参数的使用。

    def f(a,*b,c=10,**d):print(f'a:{a},b:{b},c:{c},d:{d}')

    默认参数c不能位于可变关键字参数d后.

    调用f:

    In [10]: f(1,2,5,width=10,height=20)
    a:1,b:(2, 5),c:10,d:{'width': 10, 'height': 20}

    可变位置参数b实参后被解析为元组(2,5);而c取得默认值10; d被解析为字典.

    再次调用f:

    In [11]: f(a=1,c=12)
    a:1,b:(),c:12,d:{}

    a=1传入时a就是关键字参数,b,d都未传值,c被传入12,而非默认值。

    注意观察参数a, 既可以f(1),也可以f(a=1) 其可读性比第一种更好,建议使用f(a=1)。如果要强制使用f(a=1),需要在前面添加一个星号:

    def f(*,a,**b):print(f'a:{a},b:{b}')

    此时f(1)调用,将会报错:TypeError: f() takes 0 positional arguments but 1 was given

    只能f(a=1)才能OK.

    说明前面的*发挥作用,它变为只能传入关键字参数,那么如何查看这个参数的类型呢?借助python的inspect模块:

    In [22]: for name,val in signature(f).parameters.items():
    ...: print(name,val.kind)
    ...:
    a KEYWORD_ONLY
    b VAR_KEYWORD

    可看到参数a的类型为KEYWORD_ONLY,也就是仅仅为关键字参数。

    但是,如果f定义为:

    def f(a,*b):print(f'a:{a},b:{b}')

    查看参数类型:

    In [24]: for name,val in signature(f).parameters.items():
    ...: print(name,val.kind)
    ...:
    a POSITIONAL_OR_KEYWORD
    b VAR_POSITIONAL

    可以看到参数a既可以是位置参数也可是关键字参数。

    27 使用slice对象

    生成关于蛋糕的序列cake1:

    In [1]: cake1 = list(range(5,0,-1))In [2]: b = cake1[1:10:2]In [3]: bOut[3]: [4, 2]In [4]: cake1Out[4]: [5, 4, 3, 2, 1]

    再生成一个序列:

    In [5]: from random import randint
    ...: cake2 = [randint(1,100) for _ in range(100)]
    ...: # 同样以间隔为2切前10个元素,得到切片d
    ...: d = cake2[1:10:2]In [6]: dOut[6]: [75, 33, 63, 93, 15]

    你看,我们使用同一种切法,分别切开两个蛋糕cake1,cake2. 后来发现这种切法极为经典,又拿它去切更多的容器对象。

    那么,为什么不把这种切法封装为一个对象呢?于是就有了slice对象。

    定义slice对象极为简单,如把上面的切法定义成slice对象:

    perfect_cake_slice_way = slice(1,10,2)#去切cake1
    cake1_slice = cake1[perfect_cake_slice_way]
    cake2_slice = cake2[perfect_cake_slice_way]In [11]: cake1_sliceOut[11]: [4, 2]In [12]: cake2_sliceOut[12]: [75, 33, 63, 93, 15]

    与上面的结果一致。

    对于逆向序列切片,slice对象一样可行:

    a = [1,3,5,7,9,0,3,5,7]
    a_ = a[5:1:-1]
    named_slice = slice(5,1,-1)
    a_slice = a[named_slice]In [14]: a_Out[14]: [0, 9, 7, 5]In [15]: a_sliceOut[15]: [0, 9, 7, 5]

    频繁使用同一切片的操作可使用slice对象抽出来,复用的同时还能提高代码可读性。

    28 lambda 函数的动画演示

    有些读者反映,lambda函数不太会用,问我能不能解释一下。

    比如,下面求这个 lambda函数:

    def max_len(*lists):return max(*lists, key=lambda v: len(v))

    有两点疑惑:

    • 参数v的取值?

    • lambda函数有返回值吗?如果有,返回值是多少?

    调用上面函数,求出以下三个最长的列表:

    r = max_len([1, 2, 3], [4, 5, 6, 7], [8])print(f'更长的列表是{r}')

    程序完整运行过程,动画演示如下:

    b6f2970184dbba7f04b34455d3607b34.gif

    结论:

    • 参数v的可能取值为*lists,也就是 tuple 的一个元素。

    • lambda函数返回值,等于lambda v冒号后表达式的返回值。

    四、 数据结构

    29 转为字典  

    创建数据字典

    In [1]: dict()Out[1]: {}In [2]: dict(a='a',b='b')Out[2]: {'a': 'a', 'b': 'b'}In [3]: dict(zip(['a','b'],[1,2]))Out[3]: {'a': 1, 'b': 2}In [4]: dict([('a',1),('b',2)])Out[4]: {'a': 1, 'b': 2}

    30 冻结集合  

    创建一个不可修改的集合。

    In [1]: frozenset([1,1,3,2,3])Out[1]: frozenset({1, 2, 3})

    因为不可修改,所以没有像set那样的addpop方法

    31 转为集合类型

    返回一个set对象,集合内不允许有重复元素:

    In [159]: a = [1,4,2,3,1]In [160]: set(a)Out[160]: {1, 2, 3, 4}

    32 转为切片对象

    class slice(startstop[, step])

    返回一个表示由 range(start, stop, step) 所指定索引集的 slice对象,它让代码可读性、可维护性变好。

    In [1]: a = [1,4,2,3,1]In [2]: my_slice_meaning = slice(0,5,2)In [3]: a[my_slice_meaning]Out[3]: [1, 2, 1]

    33 转元组

    tuple() 将对象转为一个不可变的序列类型

    In [16]: i_am_list = [1,3,5]In [17]: i_am_tuple = tuple(i_am_list)In [18]: i_am_tupleOut[18]: (1, 3, 5)

    五、 类和对象

    34 是否可调用  

    检查对象是否可被调用

    In [1]: callable(str)Out[1]: TrueIn [2]: callable(int)Out[2]: True
    In [18]: class Student():
    ...: def __init__(self,id,name):
    ...: self.id = id
    ...: self.name = name
    ...: def __repr__(self):
    ...: return 'id = '+self.id +', name = '+self.name
    ...In [19]: xiaoming = Student('001','xiaoming')In [20]: callable(xiaoming)Out[20]: False

    如果能调用xiaoming(), 需要重写Student类的__call__方法:

    In [1]: class Student():
    ...: def __init__(self,id,name):
    ...: self.id = id
    ...: self.name = name
    ...: def __repr__(self):
    ...: return 'id = '+self.id +', name = '+self.name
    ...: def __call__(self):
    ...: print('I can be called')
    ...: print(f'my name is {self.name}')
    ...:In [2]: t = Student('001','xiaoming')In [3]: t()I can be called
    my name is xiaoming

    35 ascii 展示对象  

    调用对象的 __repr__ 方法,获得该方法的返回值,如下例子返回值为字符串

    >>> class Student():def __init__(self,id,name):
    self.id = id
    self.name = namedef __repr__(self):return 'id = '+self.id +', name = '+self.name

    调用:

    >>> xiaoming = Student(id='1',name='xiaoming')>>> xiaoming
    id = 1, name = xiaoming>>> ascii(xiaoming)'id = 1, name = xiaoming'

    36 类方法 

    classmethod 装饰器对应的函数不需要实例化,不需要 self 参数,但第一个参数需要是表示自身类的 cls 参数,可以来调用类的属性,类的方法,实例化对象等。

    In [1]: class Student():
    ...: def __init__(self,id,name):
    ...: self.id = id
    ...: self.name = name
    ...: def __repr__(self):
    ...: return 'id = '+self.id +', name = '+self.name
    ...: @classmethod
    ...: def f(cls):
    ...: print(cls)

    37 动态删除属性  

    删除对象的属性

    In [1]: delattr(xiaoming,'id')In [2]: hasattr(xiaoming,'id')Out[2]: False

    38 一键查看对象所有方法 

    不带参数时返回当前范围内的变量、方法和定义的类型列表;带参数时返回参数的属性,方法列表。

    In [96]: dir(xiaoming)Out[96]:
    ['__class__','__delattr__','__dict__','__dir__','__doc__','__eq__','__format__','__ge__','__getattribute__','__gt__','__hash__','__init__','__init_subclass__','__le__','__lt__','__module__','__ne__','__new__','__reduce__','__reduce_ex__','__repr__','__setattr__','__sizeof__','__str__','__subclasshook__','__weakref__','name']

    39 动态获取对象属性 

    获取对象的属性

    In [1]: class Student():
    ...: def __init__(self,id,name):
    ...: self.id = id
    ...: self.name = name
    ...: def __repr__(self):
    ...: return 'id = '+self.id +', name = '+self.nameIn [2]: xiaoming = Student(id='001',name='xiaoming')In [3]: getattr(xiaoming,'name') # 获取xiaoming这个实例的name属性值Out[3]: 'xiaoming'

    40 对象是否有这个属性

    In [1]: class Student():
    ...: def __init__(self,id,name):
    ...: self.id = id
    ...: self.name = name
    ...: def __repr__(self):
    ...: return 'id = '+self.id +', name = '+self.nameIn [2]: xiaoming = Student(id='001',name='xiaoming')In [3]: hasattr(xiaoming,'name')Out[3]: TrueIn [4]: hasattr(xiaoming,'address')Out[4]: False

    41 对象门牌号 

    返回对象的内存地址

    In [1]: id(xiaoming)Out[1]: 98234208

    42 isinstance

    判断object是否为类classinfo的实例,是返回true

    In [1]: class Student():
    ...: def __init__(self,id,name):
    ...: self.id = id
    ...: self.name = name
    ...: def __repr__(self):
    ...: return 'id = '+self.id +', name = '+self.nameIn [2]: xiaoming = Student(id='001',name='xiaoming')In [3]: isinstance(xiaoming,Student)Out[3]: True

    43 父子关系鉴定

    In [1]: class undergraduate(Student):
    ...: def studyClass(self):
    ...: pass
    ...: def attendActivity(self):
    ...: passIn [2]: issubclass(undergraduate,Student)Out[2]: TrueIn [3]: issubclass(object,Student)Out[3]: FalseIn [4]: issubclass(Student,object)Out[4]: True

    如果class是classinfo元组中某个元素的子类,也会返回True

    In [1]: issubclass(int,(int,float))Out[1]: True

    44 所有对象之根

    object 是所有类的基类

    In [1]: o = object()In [2]: type(o)Out[2]: object

    45 创建属性的两种方式

    返回 property 属性,典型的用法:

    class C:def __init__(self):
    self._x = Nonedef getx(self):return self._xdef setx(self, value):
    self._x = valuedef delx(self):del self._x# 使用property类创建 property 属性
    x = property(getx, setx, delx, "I'm the 'x' property.")

    使用python装饰器,实现与上完全一样的效果代码:

    class C:def __init__(self):
    self._x = None@propertydef x(self):return self._x@x.setterdef x(self, value):
    self._x = value@x.deleterdef x(self):del self._x

    46 查看对象类型

    class type(namebasesdict)

    传入一个参数时,返回 object 的类型:

    In [1]: class Student():
    ...: def __init__(self,id,name):
    ...: self.id = id
    ...: self.name = name
    ...: def __repr__(self):
    ...: return 'id = '+self.id +', name = '+self.name
    ...:In [2]: xiaoming = Student(id='001',name='xiaoming')In [3]: type(xiaoming)Out[3]: __main__.StudentIn [4]: type(tuple())Out[4]: tuple

    47 元类

    xiaomingxiaohongxiaozhang 都是学生,这类群体叫做 Student.

    Python 定义类的常见方法,使用关键字 class

    In [36]: class Student(object):
    ...: pass

    xiaomingxiaohongxiaozhang 是类的实例,则:

    xiaoming = Student()
    xiaohong = Student()
    xiaozhang = Student()

    创建后,xiaoming 的 __class__ 属性,返回的便是 Student

    In [38]: xiaoming.__class__Out[38]: __main__.Student

    问题在于,Student 类有 __class__属性,如果有,返回的又是什么?

    In [39]: xiaoming.__class__.__class__Out[39]: type

    哇,程序没报错,返回 type

    那么,我们不妨猜测:Student 类,类型就是 type

    换句话说,Student类就是一个对象,它的类型就是 type

    所以,Python 中一切皆对象,类也是对象

    Python 中,将描述 Student 类的类被称为:元类。

    按照此逻辑延伸,描述元类的类被称为:元元类,开玩笑了~ 描述元类的类也被称为元类。

    聪明的朋友会问了,既然 Student 类可创建实例,那么 type 类可创建实例吗?如果能,它创建的实例就叫:类 了。你们真聪明!

    说对了,type 类一定能创建实例,比如 Student 类了。

    In [40]: Student = type('Student',(),{})In [41]: StudentOut[41]: __main__.Student

    它与使用 class 关键字创建的 Student 类一模一样。

    Python 的类,因为又是对象,所以和 xiaomingxiaohong 对象操作相似。支持:

    • 赋值

    • 拷贝

    • 添加属性

    • 作为函数参数

    In [43]: StudentMirror = Student # 类直接赋值 # 类直接赋值In [44]: Student.class_property = 'class_property' # 添加类属性In [46]: hasattr(Student, 'class_property')Out[46]: True

    元类,确实使用不是那么多,也许先了解这些,就能应付一些场合。就连 Python 界的领袖 Tim Peters 都说:

    “元类就是深度的魔法,99%的用户应该根本不必为此操心。

    六、工具

    48 枚举对象  

    返回一个可以枚举的对象,该对象的next()方法将返回一个元组。

    In [1]: s = ["a","b","c"]
    ...: for i ,v in enumerate(s,1):
    ...: print(i,v)
    ...:1 a2 b3 c

    49 查看变量所占字节数

    In [1]: import sysIn [2]: a = {'a':1,'b':2.0}In [3]: sys.getsizeof(a) # 占用240个字节Out[3]: 240

    50 过滤器  

    在函数中设定过滤条件,迭代元素,保留返回值为True的元素:

    In [1]: fil = filter(lambda x: x>10,[1,11,2,45,7,6,13])In [2]: list(fil)Out[2]: [11, 45, 13]

    51 返回对象的哈希值  

    返回对象的哈希值,值得注意的是自定义的实例都是可哈希的,listdictset等可变对象都是不可哈希的(unhashable)

    In [1]: hash(xiaoming)Out[1]: 6139638In [2]: hash([1,2,3])# TypeError: unhashable type: 'list'

    52 一键帮助 

    返回对象的帮助文档

    In [1]: help(xiaoming)Help on Student in module __main__ object:
    class Student(builtins.object)| Methods defined here:|| __init__(self, id, name)|| __repr__(self)|| Data descriptors defined here:|| __dict__| dictionary for instance variables (if defined)|| __weakref__| list of weak references to the object (if defined)

    53 获取用户输入 

    获取用户输入内容

    In [1]: input()
    aaOut[1]: 'aa'

    54 创建迭代器类型

    使用iter(obj, sentinel), 返回一个可迭代对象, sentinel可省略(一旦迭代到此元素,立即终止)

    In [1]: lst = [1,3,5]In [2]: for i in iter(lst):
    ...: print(i)
    ...:135
    In [1]: class TestIter(object):
    ...: def __init__(self):
    ...: self.l=[1,3,2,3,4,5]
    ...: self.i=iter(self.l)
    ...: def __call__(self): #定义了__call__方法的类的实例是可调用的
    ...: item = next(self.i)
    ...: print ("__call__ is called,fowhich would return",item)
    ...: return item
    ...: def __iter__(self): #支持迭代协议(即定义有__iter__()函数)
    ...: print ("__iter__ is called!!")
    ...: return iter(self.l)In [2]: t = TestIter()In [3]: t() # 因为实现了__call__,所以t实例能被调用
    __call__ is called,which would return 1Out[3]: 1In [4]: for e in TestIter(): # 因为实现了__iter__方法,所以t能被迭代
    ...: print(e)
    ...:
    __iter__ is called!!132345

    55 打开文件

    返回文件对象

    In [1]: fo = open('D:/a.txt',mode='r', encoding='utf-8')In [2]: fo.read()Out[2]: '\ufefflife is not so long,\nI use Python to play.'

    mode取值表:

    字符意义
    'r'读取(默认)
    'w'写入,并先截断文件
    'x'排它性创建,如果文件已存在则失败
    'a'写入,如果文件存在则在末尾追加
    'b'二进制模式
    't'文本模式(默认)
    '+'打开用于更新(读取与写入)

    56 创建range序列

    1. range(stop)

    2. range(start, stop[,step])

    生成一个不可变序列:

    In [1]: range(11)Out[1]: range(0, 11)In [2]: range(0,11,1)Out[2]: range(0, 11)

    57 反向迭代器

    In [1]: rev = reversed([1,4,2,3,1])In [2]: for i in rev:
    ...: print(i)
    ...:13241

    58 聚合迭代器

    创建一个聚合了来自每个可迭代对象中的元素的迭代器:

    In [1]: x = [3,2,1]In [2]: y = [4,5,6]In [3]: list(zip(y,x))Out[3]: [(4, 3), (5, 2), (6, 1)]In [4]: a = range(5)In [5]: b = list('abcde')In [6]: bOut[6]: ['a', 'b', 'c', 'd', 'e']In [7]: [str(y) + str(x) for x,y in zip(a,b)]Out[7]: ['a0', 'b1', 'c2', 'd3', 'e4']

    59 链式操作

    from operator import (add, sub)def add_or_sub(a, b, oper):return (add if oper == '+' else sub)(a, b)add_or_sub(1, 2, '-')  # -1

    60 对象序列化

    对象序列化,是指将内存中的对象转化为可存储或传输的过程。很多场景,直接一个类对象,传输不方便。

    但是,当对象序列化后,就会更加方便,因为约定俗成的,接口间的调用或者发起的 web 请求,一般使用 json 串传输。

    实际使用中,一般对类对象序列化。先创建一个 Student 类型,并创建两个实例。

    class Student():def __init__(self,**args):
    self.ids = args['ids']
    self.name = args['name']
    self.address = args['address']
    xiaoming = Student(ids = 1,name = 'xiaoming',address = '北京')
    xiaohong = Student(ids = 2,name = 'xiaohong',address = '南京')

    导入 json 模块,调用 dump 方法,就会将列表对象 [xiaoming,xiaohong],序列化到文件 json.txt 中。

    import jsonwith open('json.txt', 'w') as f:
    json.dump([xiaoming,xiaohong], f, default=lambda obj: obj.__dict__, ensure_ascii=False, indent=2, sort_keys=True)

    生成的文件内容,如下:

    [
    {"address":"北京","ids":1,"name":"xiaoming"
    },
    {"address":"南京","ids":2,"name":"xiaohong"
    }
    ]
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    如果转载本库小例子、小案例,请备注下方链接:

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    小例子

    一、 数字

    1 求绝对值

    绝对值或复数的模

    In [1]: abs(-6)Out[1]: 6

    2 进制转化

    十进制转换为二进制:

    In [2]: bin(10)Out[2]: '0b1010'

    十进制转换为八进制:

    In [3]: oct(9)Out[3]: '0o11'

    十进制转换为十六进制:

    In [4]: hex(15)Out[4]: '0xf'

    3 整数和ASCII互转

    十进制整数对应的ASCII字符

    In [1]: chr(65)Out[1]: 'A'

    查看某个ASCII字符对应的十进制数

    In [1]: ord('A')Out[1]: 65

    4 元素都为真检查

    所有元素都为真,返回 True,否则为False

    In [5]: all([1,0,3,6])Out[5]: False
    In [6]: all([1,2,3])Out[6]: True

    5 元素至少一个为真检查 

    至少有一个元素为真返回True,否则False

    In [7]: any([0,0,0,[]])Out[7]: False
    In [8]: any([0,0,1])Out[8]: True

    6 判断是真是假  

    测试一个对象是True, 还是False.

    In [9]: bool([0,0,0])Out[9]: TrueIn [10]: bool([])Out[10]: FalseIn [11]: bool([1,0,1])Out[11]: True

    7 创建复数

    创建一个复数

    In [1]: complex(1,2)Out[1]: (1+2j)

    8 取商和余数  

    分别取商和余数

    In [1]: divmod(10,3)Out[1]: (3, 1)

    9 转为浮点类型 

    将一个整数或数值型字符串转换为浮点数

    In [1]: float(3)Out[1]: 3.0

    如果不能转化为浮点数,则会报ValueError:

    In [2]: float('a')# ValueError: could not convert string to float: 'a'

    10 转为整型  

    int(x, base =10) , x可能为字符串或数值,将x 转换为一个普通整数。如果参数是字符串,那么它可能包含符号和小数点。如果超出了普通整数的表示范围,一个长整数被返回。

    In [1]: int('12',16)Out[1]: 18

    11 次幂

    base为底的exp次幂,如果mod给出,取余

    In [1]: pow(3, 2, 4)Out[1]: 1

    12 四舍五入

    四舍五入,ndigits代表小数点后保留几位:

    In [11]: round(10.0222222, 3)Out[11]: 10.022In [12]: round(10.05,1)Out[12]: 10.1

    13 链式比较

    i = 3print(1 < i < 3)  # Falseprint(1 < i <= 3)  # True

    二、 字符串

    14 字符串转字节  

    字符串转换为字节类型

    In [12]: s = "apple"                                                            In [13]: bytes(s,encoding='utf-8')Out[13]: b'apple'

    15 任意对象转为字符串  

    In [14]: i = 100                                                                In [15]: str(i)Out[15]: '100'In [16]: str([])Out[16]: '[]'In [17]: str(tuple())Out[17]: '()'

    16 执行字符串表示的代码

    将字符串编译成python能识别或可执行的代码,也可以将文字读成字符串再编译。

    In [1]: s  = "print('helloworld')"In [2]: r = compile(s,"", "exec")In [3]: rOut[3]: <code object <module> at 0x0000000005DE75D0, file "", line 1>In [4]: exec(r)
    helloworld

    17 计算表达式

    将字符串str 当成有效的表达式来求值并返回计算结果取出字符串中内容

    In [1]: s = "1 + 3 +5"
    ...: eval(s)
    ...:Out[1]: 9

    18 字符串格式化 

    格式化输出字符串,format(value, format_spec)实质上是调用了value的__format__(format_spec)方法。

    In [104]: print("i am {0},age{1}".format("tom",18))
    i am tom,age18
    3.1415926{:.2f}3.14保留小数点后两位
    3.1415926{:+.2f}+3.14带符号保留小数点后两位
    -1{:+.2f}-1.00带符号保留小数点后两位
    2.71828{:.0f}3不带小数
    5{:0>2d}05数字补零 (填充左边, 宽度为2)
    5{:x<4d}5xxx数字补x (填充右边, 宽度为4)
    10{:x<4d}10xx数字补x (填充右边, 宽度为4)
    1000000{:,}1,000,000以逗号分隔的数字格式
    0.25{:.2%}25.00%百分比格式
    1000000000{:.2e}1.00e+09指数记法
    18{:>10d}' 18'右对齐 (默认, 宽度为10)
    18{:<10d}'18 '左对齐 (宽度为10)
    18{:^10d}' 18 '中间对齐 (宽度为10)

    三、 函数

    19 拿来就用的排序函数

    排序:

    In [1]: a = [1,4,2,3,1]In [2]: sorted(a,reverse=True)Out[2]: [4, 3, 2, 1, 1]In [3]: a = [{'name':'xiaoming','age':18,'gender':'male'},{'name':'     ...: xiaohong','age':20,'gender':'female'}]In [4]: sorted(a,key=lambda x: x['age'],reverse=False)Out[4]:
    [{'name': 'xiaoming', 'age': 18, 'gender': 'male'},
    {'name': 'xiaohong', 'age': 20, 'gender': 'female'}]

    20 求和函数

    求和:

    In [181]: a = [1,4,2,3,1]In [182]: sum(a)Out[182]: 11In [185]: sum(a,10) #求和的初始值为10Out[185]: 21

    21 nonlocal用于内嵌函数中

    关键词nonlocal常用于函数嵌套中,声明变量i为非局部变量;如果不声明,i+=1表明i为函数wrapper内的局部变量,因为在i+=1引用(reference)时,i未被声明,所以会报unreferenced variable的错误。

    def excepter(f):
    i = 0
    t1 = time.time()def wrapper():try:f()except Exception as e:nonlocal i
    i += 1print(f'{e.args[0]}: {i}')
    t2 = time.time()if i == n:print(f'spending time:{round(t2-t1,2)}')return wrapper

    22 global 声明全局变量

    先回答为什么要有global,一个变量被多个函数引用,想让全局变量被所有函数共享。有的伙伴可能会想这还不简单,这样写:

    i = 5def f():print(i)def g():print(i)passf()g()

    f和g两个函数都能共享变量i,程序没有报错,所以他们依然不明白为什么要用global.

    但是,如果我想要有个函数对i递增,这样:

    def h():
    i += 1h()

    此时执行程序,bang, 出错了!抛出异常:UnboundLocalError,原来编译器在解释i+=1时会把i解析为函数h()内的局部变量,很显然在此函数内,编译器找不到对变量i的定义,所以会报错。

    global就是为解决此问题而被提出,在函数h内,显式地告诉编译器i为全局变量,然后编译器会在函数外面寻找i的定义,执行完i+=1后,i还为全局变量,值加1:

    i = 0def h():global i
    i += 1h()print(i)

    23 交换两元素

    def swap(a, b):return b, aprint(swap(1, 0))  # (0,1)

    24 操作函数对象

    In [31]: def f():
    ...: print('i\'m f')
    ...:In [32]: def g():
    ...: print('i\'m g')
    ...:In [33]: [f,g][1]()
    i'm g

    创建函数对象的list,根据想要调用的index,方便统一调用。

    25 生成逆序序列

    list(range(10,-1,-1)) # [10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]

    第三个参数为负时,表示从第一个参数开始递减,终止到第二个参数(不包括此边界)

    26 函数的五类参数使用例子

    python五类参数:位置参数,关键字参数,默认参数,可变位置或关键字参数的使用。

    def f(a,*b,c=10,**d):print(f'a:{a},b:{b},c:{c},d:{d}')

    默认参数c不能位于可变关键字参数d后.

    调用f:

    In [10]: f(1,2,5,width=10,height=20)
    a:1,b:(2, 5),c:10,d:{'width': 10, 'height': 20}

    可变位置参数b实参后被解析为元组(2,5);而c取得默认值10; d被解析为字典.

    再次调用f:

    In [11]: f(a=1,c=12)
    a:1,b:(),c:12,d:{}

    a=1传入时a就是关键字参数,b,d都未传值,c被传入12,而非默认值。

    注意观察参数a, 既可以f(1),也可以f(a=1) 其可读性比第一种更好,建议使用f(a=1)。如果要强制使用f(a=1),需要在前面添加一个星号:

    def f(*,a,**b):print(f'a:{a},b:{b}')

    此时f(1)调用,将会报错:TypeError: f() takes 0 positional arguments but 1 was given

    只能f(a=1)才能OK.

    说明前面的*发挥作用,它变为只能传入关键字参数,那么如何查看这个参数的类型呢?借助python的inspect模块:

    In [22]: for name,val in signature(f).parameters.items():
    ...: print(name,val.kind)
    ...:
    a KEYWORD_ONLY
    b VAR_KEYWORD

    可看到参数a的类型为KEYWORD_ONLY,也就是仅仅为关键字参数。

    但是,如果f定义为:

    def f(a,*b):print(f'a:{a},b:{b}')

    查看参数类型:

    In [24]: for name,val in signature(f).parameters.items():
    ...: print(name,val.kind)
    ...:
    a POSITIONAL_OR_KEYWORD
    b VAR_POSITIONAL

    可以看到参数a既可以是位置参数也可是关键字参数。

    27 使用slice对象

    生成关于蛋糕的序列cake1:

    In [1]: cake1 = list(range(5,0,-1))In [2]: b = cake1[1:10:2]In [3]: bOut[3]: [4, 2]In [4]: cake1Out[4]: [5, 4, 3, 2, 1]

    再生成一个序列:

    In [5]: from random import randint
    ...: cake2 = [randint(1,100) for _ in range(100)]
    ...: # 同样以间隔为2切前10个元素,得到切片d
    ...: d = cake2[1:10:2]In [6]: dOut[6]: [75, 33, 63, 93, 15]

    你看,我们使用同一种切法,分别切开两个蛋糕cake1,cake2. 后来发现这种切法极为经典,又拿它去切更多的容器对象。

    那么,为什么不把这种切法封装为一个对象呢?于是就有了slice对象。

    定义slice对象极为简单,如把上面的切法定义成slice对象:

    perfect_cake_slice_way = slice(1,10,2)#去切cake1
    cake1_slice = cake1[perfect_cake_slice_way]
    cake2_slice = cake2[perfect_cake_slice_way]In [11]: cake1_sliceOut[11]: [4, 2]In [12]: cake2_sliceOut[12]: [75, 33, 63, 93, 15]

    与上面的结果一致。

    对于逆向序列切片,slice对象一样可行:

    a = [1,3,5,7,9,0,3,5,7]
    a_ = a[5:1:-1]
    named_slice = slice(5,1,-1)
    a_slice = a[named_slice]In [14]: a_Out[14]: [0, 9, 7, 5]In [15]: a_sliceOut[15]: [0, 9, 7, 5]

    频繁使用同一切片的操作可使用slice对象抽出来,复用的同时还能提高代码可读性。

    28 lambda 函数的动画演示

    有些读者反映,lambda函数不太会用,问我能不能解释一下。

    比如,下面求这个 lambda函数:

    def max_len(*lists):return max(*lists, key=lambda v: len(v))

    有两点疑惑:

    • 参数v的取值?

    • lambda函数有返回值吗?如果有,返回值是多少?

    调用上面函数,求出以下三个最长的列表:

    r = max_len([1, 2, 3], [4, 5, 6, 7], [8])print(f'更长的列表是{r}')

    程序完整运行过程,动画演示如下:

    58549921-7332-eb11-8da9-e4434bdf6706.gif

    结论:

    • 参数v的可能取值为*lists,也就是 tuple 的一个元素。

    • lambda函数返回值,等于lambda v冒号后表达式的返回值。

    四、 数据结构

    29 转为字典  

    创建数据字典

    In [1]: dict()Out[1]: {}In [2]: dict(a='a',b='b')Out[2]: {'a': 'a', 'b': 'b'}In [3]: dict(zip(['a','b'],[1,2]))Out[3]: {'a': 1, 'b': 2}In [4]: dict([('a',1),('b',2)])Out[4]: {'a': 1, 'b': 2}

    30 冻结集合  

    创建一个不可修改的集合。

    In [1]: frozenset([1,1,3,2,3])Out[1]: frozenset({1, 2, 3})

    因为不可修改,所以没有像set那样的addpop方法

    31 转为集合类型

    返回一个set对象,集合内不允许有重复元素:

    In [159]: a = [1,4,2,3,1]In [160]: set(a)Out[160]: {1, 2, 3, 4}

    32 转为切片对象

    class slice(startstop[, step])

    返回一个表示由 range(start, stop, step) 所指定索引集的 slice对象,它让代码可读性、可维护性变好。

    In [1]: a = [1,4,2,3,1]In [2]: my_slice_meaning = slice(0,5,2)In [3]: a[my_slice_meaning]Out[3]: [1, 2, 1]

    33 转元组

    tuple() 将对象转为一个不可变的序列类型

    In [16]: i_am_list = [1,3,5]In [17]: i_am_tuple = tuple(i_am_list)In [18]: i_am_tupleOut[18]: (1, 3, 5)

    五、 类和对象

    34 是否可调用  

    检查对象是否可被调用

    In [1]: callable(str)Out[1]: TrueIn [2]: callable(int)Out[2]: True
    In [18]: class Student():
    ...: def __init__(self,id,name):
    ...: self.id = id
    ...: self.name = name
    ...: def __repr__(self):
    ...: return 'id = '+self.id +', name = '+self.name
    ...In [19]: xiaoming = Student('001','xiaoming')In [20]: callable(xiaoming)Out[20]: False

    如果能调用xiaoming(), 需要重写Student类的__call__方法:

    In [1]: class Student():
    ...: def __init__(self,id,name):
    ...: self.id = id
    ...: self.name = name
    ...: def __repr__(self):
    ...: return 'id = '+self.id +', name = '+self.name
    ...: def __call__(self):
    ...: print('I can be called')
    ...: print(f'my name is {self.name}')
    ...:In [2]: t = Student('001','xiaoming')In [3]: t()I can be called
    my name is xiaoming

    35 ascii 展示对象  

    调用对象的 __repr__ 方法,获得该方法的返回值,如下例子返回值为字符串

    >>> class Student():def __init__(self,id,name):
    self.id = id
    self.name = namedef __repr__(self):return 'id = '+self.id +', name = '+self.name

    调用:

    >>> xiaoming = Student(id='1',name='xiaoming')>>> xiaoming
    id = 1, name = xiaoming>>> ascii(xiaoming)'id = 1, name = xiaoming'

    36 类方法 

    classmethod 装饰器对应的函数不需要实例化,不需要 self 参数,但第一个参数需要是表示自身类的 cls 参数,可以来调用类的属性,类的方法,实例化对象等。

    In [1]: class Student():
    ...: def __init__(self,id,name):
    ...: self.id = id
    ...: self.name = name
    ...: def __repr__(self):
    ...: return 'id = '+self.id +', name = '+self.name
    ...: @classmethod
    ...: def f(cls):
    ...: print(cls)

    37 动态删除属性  

    删除对象的属性

    In [1]: delattr(xiaoming,'id')In [2]: hasattr(xiaoming,'id')Out[2]: False

    38 一键查看对象所有方法 

    不带参数时返回当前范围内的变量、方法和定义的类型列表;带参数时返回参数的属性,方法列表。

    In [96]: dir(xiaoming)Out[96]:
    ['__class__','__delattr__','__dict__','__dir__','__doc__','__eq__','__format__','__ge__','__getattribute__','__gt__','__hash__','__init__','__init_subclass__','__le__','__lt__','__module__','__ne__','__new__','__reduce__','__reduce_ex__','__repr__','__setattr__','__sizeof__','__str__','__subclasshook__','__weakref__','name']

    39 动态获取对象属性 

    获取对象的属性

    In [1]: class Student():
    ...: def __init__(self,id,name):
    ...: self.id = id
    ...: self.name = name
    ...: def __repr__(self):
    ...: return 'id = '+self.id +', name = '+self.nameIn [2]: xiaoming = Student(id='001',name='xiaoming')In [3]: getattr(xiaoming,'name') # 获取xiaoming这个实例的name属性值Out[3]: 'xiaoming'

    40 对象是否有这个属性

    In [1]: class Student():
    ...: def __init__(self,id,name):
    ...: self.id = id
    ...: self.name = name
    ...: def __repr__(self):
    ...: return 'id = '+self.id +', name = '+self.nameIn [2]: xiaoming = Student(id='001',name='xiaoming')In [3]: hasattr(xiaoming,'name')Out[3]: TrueIn [4]: hasattr(xiaoming,'address')Out[4]: False

    41 对象门牌号 

    返回对象的内存地址

    In [1]: id(xiaoming)Out[1]: 98234208

    42 isinstance

    判断object是否为类classinfo的实例,是返回true

    In [1]: class Student():
    ...: def __init__(self,id,name):
    ...: self.id = id
    ...: self.name = name
    ...: def __repr__(self):
    ...: return 'id = '+self.id +', name = '+self.nameIn [2]: xiaoming = Student(id='001',name='xiaoming')In [3]: isinstance(xiaoming,Student)Out[3]: True

    43 父子关系鉴定

    In [1]: class undergraduate(Student):
    ...: def studyClass(self):
    ...: pass
    ...: def attendActivity(self):
    ...: passIn [2]: issubclass(undergraduate,Student)Out[2]: TrueIn [3]: issubclass(object,Student)Out[3]: FalseIn [4]: issubclass(Student,object)Out[4]: True

    如果class是classinfo元组中某个元素的子类,也会返回True

    In [1]: issubclass(int,(int,float))Out[1]: True

    44 所有对象之根

    object 是所有类的基类

    In [1]: o = object()In [2]: type(o)Out[2]: object

    45 创建属性的两种方式

    返回 property 属性,典型的用法:

    class C:def __init__(self):
    self._x = Nonedef getx(self):return self._xdef setx(self, value):
    self._x = valuedef delx(self):del self._x# 使用property类创建 property 属性
    x = property(getx, setx, delx, "I'm the 'x' property.")

    使用python装饰器,实现与上完全一样的效果代码:

    class C:def __init__(self):
    self._x = None@propertydef x(self):return self._x@x.setterdef x(self, value):
    self._x = value@x.deleterdef x(self):del self._x

    46 查看对象类型

    class type(namebasesdict)

    传入一个参数时,返回 object 的类型:

    In [1]: class Student():
    ...: def __init__(self,id,name):
    ...: self.id = id
    ...: self.name = name
    ...: def __repr__(self):
    ...: return 'id = '+self.id +', name = '+self.name
    ...:In [2]: xiaoming = Student(id='001',name='xiaoming')In [3]: type(xiaoming)Out[3]: __main__.StudentIn [4]: type(tuple())Out[4]: tuple

    47 元类

    xiaomingxiaohongxiaozhang 都是学生,这类群体叫做 Student.

    Python 定义类的常见方法,使用关键字 class

    In [36]: class Student(object):
    ...: pass

    xiaomingxiaohongxiaozhang 是类的实例,则:

    xiaoming = Student()
    xiaohong = Student()
    xiaozhang = Student()

    创建后,xiaoming 的 __class__ 属性,返回的便是 Student

    In [38]: xiaoming.__class__Out[38]: __main__.Student

    问题在于,Student 类有 __class__属性,如果有,返回的又是什么?

    In [39]: xiaoming.__class__.__class__Out[39]: type

    哇,程序没报错,返回 type

    那么,我们不妨猜测:Student 类,类型就是 type

    换句话说,Student类就是一个对象,它的类型就是 type

    所以,Python 中一切皆对象,类也是对象

    Python 中,将描述 Student 类的类被称为:元类。

    按照此逻辑延伸,描述元类的类被称为:元元类,开玩笑了~ 描述元类的类也被称为元类。

    聪明的朋友会问了,既然 Student 类可创建实例,那么 type 类可创建实例吗?如果能,它创建的实例就叫:类 了。你们真聪明!

    说对了,type 类一定能创建实例,比如 Student 类了。

    In [40]: Student = type('Student',(),{})In [41]: StudentOut[41]: __main__.Student

    它与使用 class 关键字创建的 Student 类一模一样。

    Python 的类,因为又是对象,所以和 xiaomingxiaohong 对象操作相似。支持:

    • 赋值

    • 拷贝

    • 添加属性

    • 作为函数参数

    In [43]: StudentMirror = Student # 类直接赋值 # 类直接赋值In [44]: Student.class_property = 'class_property' # 添加类属性In [46]: hasattr(Student, 'class_property')Out[46]: True

    元类,确实使用不是那么多,也许先了解这些,就能应付一些场合。就连 Python 界的领袖 Tim Peters 都说:

    “元类就是深度的魔法,99%的用户应该根本不必为此操心。

    六、工具

    48 枚举对象  

    返回一个可以枚举的对象,该对象的next()方法将返回一个元组。

    In [1]: s = ["a","b","c"]
    ...: for i ,v in enumerate(s,1):
    ...: print(i,v)
    ...:1 a2 b3 c

    49 查看变量所占字节数

    In [1]: import sysIn [2]: a = {'a':1,'b':2.0}In [3]: sys.getsizeof(a) # 占用240个字节Out[3]: 240

    50 过滤器  

    在函数中设定过滤条件,迭代元素,保留返回值为True的元素:

    In [1]: fil = filter(lambda x: x>10,[1,11,2,45,7,6,13])In [2]: list(fil)Out[2]: [11, 45, 13]

    51 返回对象的哈希值  

    返回对象的哈希值,值得注意的是自定义的实例都是可哈希的,listdictset等可变对象都是不可哈希的(unhashable)

    In [1]: hash(xiaoming)Out[1]: 6139638In [2]: hash([1,2,3])# TypeError: unhashable type: 'list'

    52 一键帮助 

    返回对象的帮助文档

    In [1]: help(xiaoming)Help on Student in module __main__ object:
    class Student(builtins.object)| Methods defined here:|| __init__(self, id, name)|| __repr__(self)|| Data descriptors defined here:|| __dict__| dictionary for instance variables (if defined)|| __weakref__| list of weak references to the object (if defined)

    53 获取用户输入 

    获取用户输入内容

    In [1]: input()
    aaOut[1]: 'aa'

    54 创建迭代器类型

    使用iter(obj, sentinel), 返回一个可迭代对象, sentinel可省略(一旦迭代到此元素,立即终止)

    In [1]: lst = [1,3,5]In [2]: for i in iter(lst):
    ...: print(i)
    ...:135
    In [1]: class TestIter(object):
    ...: def __init__(self):
    ...: self.l=[1,3,2,3,4,5]
    ...: self.i=iter(self.l)
    ...: def __call__(self): #定义了__call__方法的类的实例是可调用的
    ...: item = next(self.i)
    ...: print ("__call__ is called,fowhich would return",item)
    ...: return item
    ...: def __iter__(self): #支持迭代协议(即定义有__iter__()函数)
    ...: print ("__iter__ is called!!")
    ...: return iter(self.l)In [2]: t = TestIter()In [3]: t() # 因为实现了__call__,所以t实例能被调用
    __call__ is called,which would return 1Out[3]: 1In [4]: for e in TestIter(): # 因为实现了__iter__方法,所以t能被迭代
    ...: print(e)
    ...:
    __iter__ is called!!132345

    55 打开文件

    返回文件对象

    In [1]: fo = open('D:/a.txt',mode='r', encoding='utf-8')In [2]: fo.read()Out[2]: '\ufefflife is not so long,\nI use Python to play.'

    mode取值表:

    字符意义
    'r'读取(默认)
    'w'写入,并先截断文件
    'x'排它性创建,如果文件已存在则失败
    'a'写入,如果文件存在则在末尾追加
    'b'二进制模式
    't'文本模式(默认)
    '+'打开用于更新(读取与写入)

    56 创建range序列

    1. range(stop)

    2. range(start, stop[,step])

    生成一个不可变序列:

    In [1]: range(11)Out[1]: range(0, 11)In [2]: range(0,11,1)Out[2]: range(0, 11)

    57 反向迭代器

    In [1]: rev = reversed([1,4,2,3,1])In [2]: for i in rev:
    ...: print(i)
    ...:13241

    58 聚合迭代器

    创建一个聚合了来自每个可迭代对象中的元素的迭代器:

    In [1]: x = [3,2,1]In [2]: y = [4,5,6]In [3]: list(zip(y,x))Out[3]: [(4, 3), (5, 2), (6, 1)]In [4]: a = range(5)In [5]: b = list('abcde')In [6]: bOut[6]: ['a', 'b', 'c', 'd', 'e']In [7]: [str(y) + str(x) for x,y in zip(a,b)]Out[7]: ['a0', 'b1', 'c2', 'd3', 'e4']

    59 链式操作

    from operator import (add, sub)def add_or_sub(a, b, oper):return (add if oper == '+' else sub)(a, b)add_or_sub(1, 2, '-')  # -1

    60 对象序列化

    对象序列化,是指将内存中的对象转化为可存储或传输的过程。很多场景,直接一个类对象,传输不方便。

    但是,当对象序列化后,就会更加方便,因为约定俗成的,接口间的调用或者发起的 web 请求,一般使用 json 串传输。

    实际使用中,一般对类对象序列化。先创建一个 Student 类型,并创建两个实例。

    class Student():def __init__(self,**args):
    self.ids = args['ids']
    self.name = args['name']
    self.address = args['address']
    xiaoming = Student(ids = 1,name = 'xiaoming',address = '北京')
    xiaohong = Student(ids = 2,name = 'xiaohong',address = '南京')

    导入 json 模块,调用 dump 方法,就会将列表对象 [xiaoming,xiaohong],序列化到文件 json.txt 中。

    import jsonwith open('json.txt', 'w') as f:
    json.dump([xiaoming,xiaohong], f, default=lambda obj: obj.__dict__, ensure_ascii=False, indent=2, sort_keys=True)

    生成的文件内容,如下:

    [
    {"address":"北京","ids":1,"name":"xiaoming"
    },
    {"address":"南京","ids":2,"name":"xiaohong"
    }
    ]

    未完待续...

    最后还是希望你们能给我点一波小小的赞或者在看~

    人生苦短,和我一起学Python!

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