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  • 2018-04-03 09:00:54

    具体信息在此处
    首先,复数基本单位是 i=√-1,有了这个单位,复数空间中的每个数都可以表示为 a+bi的形式。其中,a 被称为“实部(real part)”,b 被称为“虚部(imaginary part)”。复数可以在复平面(complex plane)上表示,复平面横纵坐标分别为实部和虚部,下图就是复数 2+3i,在复平面上的表示。

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  • 复数种表示形式

    千次阅读 2019-01-11 13:10:23
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  • 复数四种表示形式四种形式可以相互转换。其中代数式和极坐标形式应用得最为广泛。更多相关问题有3个整数a、b、c,由键盘输入,利用条件表达式,输出其中最大的数。 #include main( ) { int a,b,c,temp,max; printf...

    问题:正弦量的相量是复数。 复数有四种表示形式,四种形式可以相互转换。其中代数式和极坐标形式应用得最为广泛。

    更多相关问题

    有3个整数a、b、c,由键盘输入,利用条件表达式,输出其中最大的数。 #include main( ) { int a,b,c,temp,max; printf(\请输入3个整数:\); scanf(\%d,%d,%d\,&a,&b,&c); temp=______; max=______; printf(\3个整数的最大数是%d\\n\,max); }

    设为的连续函数,且满足方程:,则,常数C=1。58e64ea30bb0749a6333a34c313cabcb.png33127afbce76aa7a76e9533ace226638.pngc33726c139863759dcb9357c800c4ca2.pngb4fc3adbbbdd1373caea7a6c7245529b.png

    现有格式化输入语句scanf(\x=%d ,sum y=%d,line z=%d\,&x,&y,&z);, 已知在输入数据后,x,y,z的值分别是12,34,45,则下列数据是正确的输入格式的是( ).

    有以下程序#includemain(){inta1,a2;charc1,c2;scanf(\%d%c%d%c\,&a1,&c1,&a2,&c2);printf(\%d,%c,%d,%c\,a1,c1,a2,c2);}若想通过键盘输入,使得al的值为12,a2的值为34,cl的值为字符a,c2的值为字符b,程序输出结果是:12,a,34,b则正确的输入格式是(以下代表空格,代表回车)()。

    算术表达式 4+2*3^2\\2*4 的运算结果是 ( ) 。

    Na 2 S 2 O 3 中 S 的氧化值(数)是

    函数满足在的条件极值是( ).b95beee97790d6c5fad76522d8489a81.png7e08c9b0da638e4f053bcbc487dd0d7e.pngc9676e3482434b0b484238074afeff40.png

    用光杠杆测微小长度变化时,要想提高测量的灵敏度,可用的办法是

    第2章-填空题1.docx/js/editor20150812/dialogs/attachment_new/fileTypeImages/icon_doc.gif

    单选题:下列各数中,最小的数是( )

    设为3阶矩阵,且,求的值?9c482b7ca50e4176e9f0e00eced804ea.png43f80def181a2b792e8d03e014d1a7f4.pngb50142141b9d26fc5f7ad70f13689f79.png

    下列哪些变量是合法的?

    原命题与()同为真或假命题

    在计算机内部为简化电路设计,一般采用补码形式进行数值运算。

    13.预算线向右上方平行移动的原因是

    根据学院《学生“1+4”证书制度》要求,“1+4”方案学分要求为:(10.0分)

    在下列程序段中:int x, y ;scanf(\%3d*2d%d\,&x,&y);若输入的数据为:12345678,则x、y的值分别为( )。

    将两个各有n和m个元素的有序表(递增)归并成一个有序表,仍保持其递增有序,则最少的比较次数是 ( )(其中,MIN表示求两个数的最小数)。

    机件的每一尺寸,一般只标注( )。

    鲁滨逊是如何计算日月的?( )

    幼儿期是儿童理智感发展的飞跃时期,此时期幼儿表现出强烈的()和求知欲。

    已知为实连续信号, ,且的模值满足关系式若为时间的偶函数,求。http://image.zhihuishu.com/zhs/onlineexam/ueditor/201903/6bc6f421c7b2488ca8759d647420a59e.png

    矮脚乌龙又名小叶乌龙,原产福建建瓯东峰一带,是福建省地方品种。

    组合问题,由组合的基本性质可知:(1)C(m,n)=C(n-m,n)(2)C(m,n+1)=C(m,n)+C(m-1,n)公式(2)是一个递归公式,一直到满足C(1,n)=n为止。当n<2*m时,可先用公式(1)进行简化,填写程序中的空白,使程序可以正确运行。#includeintcombin(intm,intn){intcom;if(n<2*m)m=n-m;if(m==0)com=1;elseif(m==1)①;else②;return(com);}intmain(){intm,n;printf(\Inputmn:\);scanf(\%d%d\,&m,&n);printf(\Thecombinationnumbeersis%d\\n\,combin(m,n));return0;}

    微分方程的解是( )7715032656cbce42831c5992c9ede08e.png

    行列式中的代数余子式是( ).0214802e28700b428890357ec5edf035.gif23bf053fb72c3bf3a799e2b4db41e18d.gif

    下面程序的输出是【 】。long fun5(int n){ long s ;if((n= =1)||(n= =2)) s=2;else s=n+fun5(n-1);return(s);}main(){ long x ;x=fun5(4);printf(\%ld\\n\,x) ;}

    定义inta[2][3];表示数组a中的元素个数是【1】个.

    请解释什么是素土夯实?

    下列数字格式中,属于Excel数字格式的是()

    举例说明竞争性抑制的特点和实际意义。

    Dimx!,y!y=1x=Inputbox(\x=?\)Ifx<5.5

    Theny=Int(x)'向下取整,如Int(5.6)=5,Int(-5.2)=-6Ifx<3

    Theny=x+1End

    IfElsey=Fix(x+0.5)'取整,如Fix(5.6)=5,Fix(-5.8)=-5Ify>9.5

    Theny=y-0.1End

    IfEnd

    IfPrint

    y①当输入x的值为2.5时,输出y的值为(______)②当输入x的值为4.4时,输出y的值为(______)③当输入x的值为5.5时,输出y的值为(______)④当输入x的值为9.3时,输出y的值为(______)⑤当输入x的值为9.8时,输出y的值为(______)(33.33分)

    在 Excel 2010 中,若计算单元格 A2 、 B1 、 B2 的和并填在 C2 单元格中,则在 C2 中输入下列( )一定正确。

    设计一个java程序,要求如下:读入三角形的三条边,如果输入有效,计算它的周长;否则,显示输入无效。(提示:如果任意两边的和大于第三边,则输入有效)答案提交要求:(1)把 “ 源代码、程序运行结果” 截图在一张图中,确保清晰,将图片贴在答案栏中(不要上传附件)。

    简化的分批法就是不分批计算成本成本的分批法()

    桩号的一般表示形式为 K+M ,其中 K 的单位一般为()。

    3.设置超链接标记中的border样式为none,下列代码书写正确的是( )

    39100.html

    反应速率等于反应物浓度的乘积。

    若一棵完全二元(叉)树有2n-1个顶点,则它( )片树叶。

    以下程序的运行结果是_____inta=2,b=2,c,d;c=a++;d=++b;printf(\%d%d%d%d\,a,b,c,d);

    代数式ae/(bc)的正确C语言表达式是_________。

    设置表格的某单元格跨4行,那么该行单元格个数需要减少3个。

    下面程序段的运行结果static void Main(string[] args){int a = 0;for (int i = 1; i < 5; i++){int c = 0, b = 2;a += 3; c = a + b;Console.Write(c + \,\);}}程序运行结果是( )

    3. 下列哪项不属于EMSS范畴

    请用Verilog HDL的case语句编写8选1选择器。主要的verilog代码已列出,请将空格部分补充完整。module mux8_1 (a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,s,q);input a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8;input _________ s;__________ q;reg q;always @(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,s)begin________ (s)3'b000: q=a1;3'______: q=a2;3'b010: q=a3;3'b011: q=a4;3'b100: q= ____;3'b101: q=a6;3'b110: q=a7;3'b111: q=a8;________________endmodule

    请用Verilog HDL的case语句编写8选1选择器。主要的verilog代码已列出,请将空格部分补充完整。module mux8_1 (a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,s,q);input a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8;input _________ s;__________ q;reg q;always @(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,s)begin________ (s)3'b000: q=a1;3'______: q=a2;3'b010: q=a3;3'b011: q=a4;3'b100: q= ____;3'b101: q=a6;3'b110: q=a7;3'b111: q=a8;________________endmodule

    F(x,y,z,t)=x+y+z+t,若xyzt=c 4 ,则F的极大值为()。

    对于海都等西北叛王的有效的军事防御是大力增加蒙古军的精锐军队的兵力部署,其他军队,尤其是色目军被大量的迁回。

    平面一般力系简化的最终结果可归纳为哪三种情况?

    输出所有的“水仙花数”。所谓“水仙花数”是指一个三位数,其各位数字的立方和等于该数本身。例如,153是“水仙花数”,因为153=13+33+53。请填空。voidmain(){intn,a,b,c;for(n=100;n<1000;n++){a=______;//求百位数数码b=n/10%10;c=_____;//求个位数数码if(n==a*b*c)printf(\%d\,n);}}(3.0分)

    Dimx!,y!y=1x=Inputbox(\x=?\)Ifx<5.5

    Theny=Int(x)'向下取整,如Int(5.6)=5,Int(-5.2)=-6Ifx<3

    Theny=x+1End

    IfElsey=Fix(x+0.5)'取整,如Fix(5.6)=5,Fix(-5.8)=-5Ify>9.5

    Theny=y-0.1End

    IfEnd

    IfPrint

    y①当输入x的值为2.5时,输出y的值为(______)②当输入x的值为4.4时,输出y的值为(______)③当输入x的值为5.5时,输出y的值为(______)④当输入x的值为9.3时,输出y的值为(______)⑤当输入x的值为9.8时,输出y的值为(______)(33.33分)

    8.下列选项中,符合标签指定式选择器的写法要求的是( )

    /*【程序填空】题目:输入x和y的值,求表达式的值2x+xy/3+2y。*/#include\stdio.h\main(){intx,y;/***********SPACE***********/【?】z;/***********SPACE***********/【?】(\%d%d\,&x,&y);z=2*x+x*y/3.0+2*y;/***********SPACE***********/printf(\%f\\n\,z)【?】}

    'a'-32的运算结果为___。

    题目同 2 ,如果用 cm -1 表示该线宽,是多少?

    echo \3+5a\的输出结果是()。

    以下程序段的输出结果是( )。int k,n,m;n=10;m=1;k=1;do{m*=2;k+=4;} while (k<=n);printf(\%d\\n\,m);

    以下程序的结果是( )Int a=1234;Prinft(“%2d\\n”,a)

    某组织的购买者小王在做出购买决策时考虑到该企业的条件符合国家实行的一项最新的税收优惠政策,这种影响组织购买者行为的因素是

    以下程序的输出结果是:void main(){int k,a[3][3]={1,2,3,4,5,6,7,8,9};for(k=0;k<3;k++)printf(\%3d\,a[k][2-k]);printf(\\\n\);}

    写出下列动词的单数第三人称形式:1. wash_________ 2. guess _________ 3. study _________ 4. go________ 5. carry _________

    设一个连通图G中有n个顶点e条边,则其最小生成树上有________条边。

    关键词效能公式的分母是

    有下列程序:main(){chara1='M',a2='m';printf(\%c\\n\,(a1,a2));}下列叙述中正确的是()。

    有下列程序:main( ){ char a1='M',a2='m';printf(\%c\\n\,(a1,a2));}下列叙述中正确的是( )。

    下面程序的运行结果是 。main( ){ int i,j;for(i=0;i<=3;i++){ for(j=0;j<=5;j++){ if(i==0||j==0||i==3||j==5) printf(“*”);else printf(“ ”);}printf(“\\n”);}}

    已知A$=\12345678\,则表达式Val(Left$(A$, 4) + Mid(A$, 4, 2))的值为( )。

    下面程序的功能是输出所有的水仙花数,水仙花数是一个三位数,而且每位数字的立方加起来恰好等于该数。PrivateSubForm_Click()Dimi%,j%,k%,x%Forx=100To999i=(______)'求百位数字j=(______)'求十位数字k=(______)'求个位数字Ifi^3+j^3+k^3=xThenPrintxNextxEndSub(10.0分)

    执行下面的代码后,输出结果为 ____________ 。 $x=10; $y=&$x; $y=”5ab”; echo $x+10;

    已知a和b为整型变量,下面每组表达式等价的是 _____。

    下列逻辑运算结果为\true\的是______。

    已知 ,则总电压 的三角函数式为( )8862834b6b6ad4f60dbf9a1d67e9e7ac.png87dbe4a2eeddd2456e1934b786e8035e.png

    191f52d8534f898683fa089fd4087730.jpg

    学者 (写出一个以 “ar” 结尾的单词即可)

    请用Verilog HDL的case语句编写8选1选择器。主要的verilog代码已列出,请将空格部分补充完整。module mux8_1 (a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,s,q);input a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8;input _________ s;__________ q;reg q;always @(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,s)begin________ (s)3'b000: q=a1;3'______: q=a2;3'b010: q=a3;3'b011: q=a4;3'b100: q= ____;3'b101: q=a6;3'b110: q=a7;3'b111: q=a8;________________endmodule

    下面程序int x=2;do{ ++x; }while(x<2)System.out.println(x);的结果为:

    下列各项中,是单句的是:

    下面程序的功能是:计算1到10之间奇数之和及偶数之和,请填空。 main( ) { int a, b, c, i; a=c=______; for(i=0;i<10;i+=2) { a+=i; ______; c+=b; } printf(\偶数之和=%d\\n\,a); printf(\奇数之和=%d\\n\,c); }

    下列各式中,极限存在的是( )

    插入的图片,我们可以对图片进行如下哪些设置?

    inta=0,b=0;a=10;b=20;printf(“a+b=%d\\n”,a+b);

    arctanx=x-x3/3x5/5-x7/7……,要使其级数收敛较快,则

    设,,,矩阵X使满足AXB = C .则1149bb12c75c90878610584c6a91ebad.gifa9e0435dedce2aaced006c6c4a7a7f24.gif1ab061889bd795981a5b726cfd12030e.giffa6512c4e5223f56c80881009eeb8361.gif

    Injunction对应

    已知char a='\\17',变量a中_______。

    下列( )选项可以表达方程的解X2=4中的上标“2”。

    同一机件如采用不同的比例画出图样,则其图形大小______(相同,不同),但图上所标注的尺寸数值是______(一样的,不一样的)。

    Dimx!,y!y=1x=Inputbox(\x=?\)Ifx<5.5

    Theny=Int(x)'向下取整,如Int(5.6)=5,Int(-5.2)=-6Ifx<3

    Theny=x+1End

    IfElsey=Fix(x+0.5)'取整,如Fix(5.6)=5,Fix(-5.8)=-5Ify>9.5

    Theny=y-0.1End

    IfEnd

    IfPrint

    y①当输入x的值为2.5时,输出y的值为(______)②当输入x的值为4.4时,输出y的值为(______)③当输入x的值为5.5时,输出y的值为(______)④当输入x的值为9.3时,输出y的值为(______)⑤当输入x的值为9.8时,输出y的值为(______)(33.33分)

    已知 x = 'abcdefg' ,则表达式 x[3:] + x[:3] 的值为 ___________________ 。

    以下程序的运行结果是inta=5,b=6,c=7,d=8,m=2,n=2;(m=a>b)&&(n=c>d);printf(\%d\,n);

    /*【程序填空】题目:输入x和y的值,求2(x+y)的值*/#include\stdio.h\main(){/***********SPACE***********/【?】x,y;floatz;/***********SPACE***********/scanf(\%d%d\,&x,【?】);z=2*(x+y);/***********SPACE***********/printf(\%f\\n\,【?】);}

    若有如下程序段:intn=0;while(n<=2){n++;printf(“%d”,n);}则正确的执行结果是()

    已知UR=100sin(100t+π/2)V,纯电阻电路R=10Ω,则电流的有效值IR=10A。

    在Excel2010中,设A1—A4单元格的数值为82,71,53,60,A5单元格使用公式为=If(Average($A$1:$A$4)>=60,\及格\,\不及格\),则A5显示的值是()。

    根据题目中已给出的数据输入和输出形式,程序中输入输出语句的正确内容是 。 main() {int x;float y; printf(\enter x,y:\); 输入语句 输出语句 } 输入形式:enter x,y:2 3.4 输出形式:x+y=5.40

    由下列数表所确定的插值多项式的次数是f1bbee244ef053ffe5f83fc40d8835a6.png

    请用Verilog HDL的case语句编写8选1选择器。主要的verilog代码已列出,请将空格部分补充完整。module mux8_1 (a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,s,q);input a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8;input _________ s;__________ q;reg q;always @(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,s)begin________ (s)3'b000: q=a1;3'______: q=a2;3'b010: q=a3;3'b011: q=a4;3'b100: q= ____;3'b101: q=a6;3'b110: q=a7;3'b111: q=a8;________________endmodule

    如果x是整型变量,则合法形式为()。

    正弦量的相量是复数。 复数有四种表示形式,四种形式可以相互转换。其中代数式和极坐标形式应用得最为广泛。

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  • 复数的几种表示形式的转换及计算
  • 复数的三角形式与指数形式

    万次阅读 多人点赞 2019-10-22 16:46:46
    在中学,我们已经学习过复数及其用代数形式a+bi表达的则运算法则及算律。在《大学数学》中我们学习过建立在实数集合上的微积分——称为实分析;同样,在复数集合上也可以讨论函数、导数、微分、积分等问题,这就是...

    在中学,我们已经学习过复数及其用代数形式a+bi表达的四则运算法则及算律。在大学数学中我们学习过建立在实数集合上的微积分——称为实分析;同样,在复数集合上也可以讨论函数、导数、微分、积分等问题,这就是大学数学本科(或研究生)专业里一门必修课复变函数》,因此我们有必要对复数了解得更多些。

    1. 复数的三角形式

    1.1 复数的幅角与模

    我们知道复数a+bi对应着复平面上的点(a, b),也对应复平面上一个向量(如下图所示):

    这个向量的长度叫做复数a+bi的模,记为|a+bi|,一般情况下,复数的模用字母r表示。同时,这个向量针对x轴的正方向有一个方向角,我们称为幅角,记为arg(a+bi),幅角一般情形下用希腊字母θ表示。在实轴X与虚轴Y正交的前提下:

    a = r \cdot cos\Theta, b = r \cdot sin\Theta                                                                                                                                        式(1)

    把它们代入复数的代数形式得:

    a + bi = r\cdot cos\Theta +i\cdot r\cdot sin\Theta = r\left ( cos\Theta + i \cdot sin\Theta \right )                                                                                           式(2)

    我们把式(2)叫做复数a+bi的三角形式。

    1.2 复数三角形式的运算法则

    引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。

    1.2.1 复数的乘法

    设:

    Z_{1} = r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )

    Z_{2} = r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )

    则:

    Z_{1} Z_{2}= \left [ r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )\right ]\cdot \left [ r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )\right ]

              =r_{1}r_{2}\left ( cos \Theta_{1}cos \Theta_{2} - sin\Theta_{1} sin\Theta_{2}\right )+ir_{1}r_{2}\left ( sin \Theta_{1}cos \Theta_{2} + cos\Theta_{1} sin\Theta_{2}\right )

              = r_{1}r_{2}\left [ cos\left( \Theta_{1}+\Theta_{2}\right ) + i sin\left(\Theta_{1} +\Theta_{2}\right ) \right ]

    这说明,两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加,这个运算在几何上可以用下面的方法进行:将向量Z_{1}的模扩大为原来的r_{2}倍,然后再将它绕原点逆时针旋转角\Theta_{2},就得到Z_{1}Z_{2}

    1.2.2 复数的除法

    设:

    Z_{1} = r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )

    Z_{2} = r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )

    则:

    Z_{1}\div Z_{1} = \frac{r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )}{r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )}

                   =\frac{r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )\left ( cos \Theta_{2} -i sin\Theta_{2} \right )}{r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )\left ( cos \Theta_{2} -i sin\Theta_{2} \right )}

                   =\frac{r_{1}}{r_{2}}\left [ \left ( cos \Theta_{1}cos \Theta_{2} + sin\Theta_{1} sin\Theta_{2}\right )+i\left ( sin \Theta_{1}cos \Theta_{2} - cos\Theta_{1} sin\Theta_{2}\right )\right ]

                   =\frac{r_{1}}{r_{2}}\left [ cos\left( \Theta_{1}-\Theta_{2}\right ) + i sin\left(\Theta_{1} -\Theta_{2}\right ) \right ]

    这说明,两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减,这个运算在几何上可以用下面的方法进行:将向量Z_{1}的模缩小为原来的r_{2}分之一,然后再将它绕原点顺时针旋转角\Theta_{2},就得到Z_{1}\div Z_{2}

    1.2.3 复数的乘方

    利用复数的乘法不难得到:

    Z^{n} = r^{n}\left ( cos \left ( n\Theta \right ) + i sin\left ( n\Theta \right ) \right )

    这说明,复数的n次方等于它模的n次方,幅角的n倍。这个运算在几何上可以用下面的方法进行:将向量z1的模变为原来的n次方,然后再将它绕原点逆时针旋转角n\Theta,就得到Z^{n}

    1.2.4 复数的开方

     对于复数Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right ),根据代数基本定理及其推论知,任何一个复数在复数范围内都有n个不同的n次方根。

    设: Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right ) 的一个n次方根为 \omega= \rho \left ( cos \varphi +i sin\varphi \right )

    那么:: \omega^{n}= \left [ \rho \left ( cos \varphi +i sin\varphi \right )\right ]^{n} = \rho^{n}\left ( cos n\varphi +i sinn\varphi \right )

    所以: r=\rho^{n}, n\varphi = \Theta + 2k\pi ,\left ( k = 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3 .... \right )

    即: \rho =\sqrt[n]{r}, \varphi = \frac{\Theta + 2k\pi }{n} = \frac{\Theta }{n}+\frac{2k\pi }{n},\left ( k = 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3 .... \right )

    显然,当k0依次取到n1,所得到的角的终边互不相同,但kn开始取值后,前面的终边又周期性出现。因此,复数znn次方根为:

    \omega _{k} = \sqrt[n]{r}\left ( cos\frac{\Theta + 2k\pi }{n} + i sin\frac{\Theta + 2k\pi }{n} \right ), \left ( k = 0,1,2,3 .... n-1 \right )

    从求根公式可以看出,相邻两个根之间幅角相差\frac{2\pi }{n},所以复数Znn次方根均匀地分布在以原点为圆心,以它的模的n次算术根为半径的圆周上。

    因此,求一个复数z的全部n次方根,可以用下面的几何手段进行:

    Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )

    先作出圆心在原点,半径为\sqrt[n]{r}的圆,然后作出角\frac{\Theta }{n}的终边,以这条终边与圆的交点为分点,将圆周n等分,那么每个等分点对应的复数就是复数Zn次方根。

    2. 复数的指数形式

    在对复数三角形式的乘法规则讨论中,我们发现,复数的三角形式将复数的乘法“部分地”转变成加法(模相乘,幅角相加),这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现,对数函数与指数函数:

    a^{x}a^{y} = a^{x+y}

    log_{a}\left ( xy \right ) = log_{a}\left ( x \right ) + log_{a}\left ( y \right )

    前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加;后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和。从形式上看,复数的乘法与指数函数的关系更为密切些:

    Z_{1}Z_{2}= r_{1}r_{2}\left [ cos\left( \Theta_{1}+\Theta_{2}\right ) + i sin\left(\Theta_{1} +\Theta_{2}\right ) \right ]

    \left ( b_{1}a^{x} \right )\cdot \left ( b_{2}a^{y} \right ) =\left ( b_{1} b_{2} \right )\cdot a^{x+y}

    根据这个特点,复数Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )应该可以表示成某种指数形式,即复数应该可以表示成y\cdot a^{x}的形式,这里有三个问题需要解决:

    1)反映复数本质特征的三个因素:模r、幅角θ、虚数单位i应各自摆放在什么位置?

    2)在这些位置上它们应呈现什么形态?

    3)作为指数形式的底应该用什么常数?

    再重新观察下面的等式:

    Z_{1}Z_{2}= r_{1}r_{2}\left [ cos\left( \Theta_{1}+\Theta_{2}\right ) + i sin\left(\Theta_{1} +\Theta_{2}\right ) \right ]

    \left ( b_{1}a^{x} \right )\cdot \left ( b_{2}a^{y} \right ) =\left ( b_{1} b_{2} \right )\cdot a^{x+y}

    首先,显然模r应该占据y\cdot a^{x}中系数y的位置,其次,幅角\Theta应该占据y\cdot a^{x}中指数x的位置,对于虚数单位i,如果放到系数y的位置上会怎样?

    \left ( i\cdot ra^{x} \right )^{2} = -r^{2}a^{2x}

    等式右边是实数,对于任意虚数而言,这是不可能的。因此幅角θ也应该占据指数的位置。这样第二个问题就产生了:它与幅角一起在指数的位置上是什么关系?(相加?相乘?)

    幅角\Theta与虚数单位i是相加的关系会怎样?先考察模为1的复数cos \Theta+i sin\Theta,如果写成a^{i+\Theta }的形式,一方面由于a^{i+\Theta } =a ^{i}\cdot a^{\Theta },与\left ( ir \right )a^{\Theta }的形式差别不是很大,其次\left ( a^{i+\Theta } \right )^{n} = a^{ni+n\Theta },在复数的乘方法则中,应该仅是幅角的n倍而没有虚数单位也要n倍,所以虚数单位与幅角不应该是相加关系,而应该是相乘关系。

    Z=ra^{i\Theta }

    现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合:

    Z_{1}Z_{2}=\left ( r_{1}a^{i \Theta _{1}} \right )\left ( r_{2}a^{i \Theta _{2}}\right ) = \left ( r_{1}r_{2} \right )a^{i\left (\Theta _{1} + \Theta _{2}\right )}

    Z_{1}\div Z_{2}=\left ( r_{1}a^{i \Theta _{1}} \right )\div \left ( r_{2}a^{i \Theta _{2}}\right ) = \left ( r_{1}\div r_{2} \right )a^{i\left (\Theta _{1} - \Theta _{2}\right )}

    Z^{n} = \left ( ra^{i\Theta } \right )^{n} = r^{n}a^{i\left ( n\Theta\right ) }

    乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本质特征,下面来解决最后一个问题:应该选用哪个常数作为底数?我们暂时将Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )形式化地看做r\Theta的“二元函数”,数学是“形式化的科学”,因此,一些形式化的性质应该“形式化”地保持不变。

    下面我们将r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right ) = ra^{i\Theta }等式两边对\Theta形式化地求“偏微分”:

    \frac{\partial r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )}{\partial \Theta }

    =r\left ( -sin \Theta+i cos\Theta \right )

    =\left [ r\left ( cos\Theta + isin\Theta \right ) \right ]i

    =Zi

     

    \frac{\partial }{\partial \Theta }\left ( ra^{i\Theta } \right )

    =r\frac{\partial a^{i\Theta }}{\partial \Theta }

    =ira^{i\Theta }ln_{a}

    =Zi\cdot ln_{a}

    所以ln_{a} = 1,得a=e

    这样我们利用不太严格的推理得到了复数的第三种表现形式——指数式

    Z=a+bi = r\left ( cos\Theta + isin\Theta \right )=re^{i\Theta }

    从复数的模与幅角的角度看,复数的指数形式其实是三角形式的简略化,对于指数形式的严格证明可以参读复数的指数形式的证明

    由复数的三角形式与指数形式,我们很容易得到下面的两个公式:

    \left\{\begin{matrix} cos\Theta + i sin\Theta = e^{i\Theta }\\ cos\Theta - i sin\Theta = e^{-i\Theta }\\ \end{matrix}\right.

    \Rightarrow\left\{ \begin{matrix} cos\Theta = \frac{e^{i\Theta } + e^{-i\Theta }}{2}\\ sin\Theta = \frac{e^{i\Theta } - e^{-i\Theta }}{2i} \end{matrix}\right.

    这两个公式被统称为欧拉公式;在复数的指数形式中,令r=1\Theta = \pi,就得到下面的等式:

    e^{i\pi } = -1 或者e^{i\pi } +1=0

    它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的五个数字就这么神秘地联系到了一起:两个超越数——自然对数的底e,圆周率\pi;三个单位——虚数单位i、自然数的乘法单位1和加法单位0。关于自然对数的底e和圆周率\pi,这里我想多说那么几句:它们是迄今为止人类所发现的两个彼此独立的超越数,尽管从理论上我们知道,超越数比有理数、代数数(可以表示为有理系数一元多项式的根的数)要多得多,但为人类所认识的超越数却仅此两个!令人不可思议的是,它们居然凭借这么一个简单关系彼此联系着。数学家们评价它是“上帝创造的公式”,我们只能看着它但却不能理解它。

    3. 复数的应用

    利用复数的三角形式,我们可以比较容易地解决一些数学其他领域里的问题。由于我们这门课的特点,我们仅限于在初等数学领域里举两个例子。

    3.1 三角级数求和

    求解\left\{\begin{matrix} cos\alpha + cos2\alpha + ... + cosn\alpha = ?\\ sin\alpha + sin2\alpha + ... + sinn\alpha = ? \end{matrix}\right.

    解:令Z= cos \alpha +i sin\alpha,那么对任何自然数k有:

    Z^{k} = cosk\alpha + i sink\alpha

    \Rightarrow Z+Z^{2}+ ...+ Z^{n}

    = \left ( cos\alpha + isin\alpha \right ) + \left ( cos2\alpha + isin2\alpha \right ) + ..... +\left ( cosn\alpha + isinn\alpha \right )

    =\left(cos\alpha + cos2\alpha + ... + cosn\alpha\right) +i \left( sin\alpha + sin2\alpha + ... + sinn\alpha \right)

    另一方面由等比数列的定义可知:

    Z+Z^{2}+ ...+ Z^{n}

    =\frac{Z(1-Z^{n})}{1-Z}

    =\frac{\left ( cos\alpha +isin\alpha \right )\left [ 1-\left ( cosn\alpha + i sinn\alpha \right ) \right ]}{1- \left ( cos\alpha +i sin\alpha \right )}

    =\frac{\left ( cos\alpha +isin\alpha \right )\left ( 2sin^{2}\frac{n\alpha}{2} -2isin\frac{n\alpha}{2} cos\frac{n\alpha}{2}\right )}{2sin^{2}\frac{\alpha}{2} -2isin\frac{\alpha}{2} cos\frac{\alpha}{2}}

    =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}\left ( cos\alpha +isin\alpha \right )\left ( cos\frac{n\alpha -\pi }{2} + isin\frac{n\alpha -\pi }{2}\right )}{sin\frac{\alpha }{2}\left ( cos\frac{\alpha -\pi }{2} - isin\frac{\alpha -\pi }{2}\right )}

    =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}\left [ cos\left ( \alpha +\frac{n\alpha -\pi }{2} - \frac{\alpha -\pi }{2} \right ) + isin\left ( \alpha +\frac{n\alpha -\pi }{2} - \frac{\alpha -\pi }{2} \right )\right ]

    =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}\left ( cos\frac{n+1}{2} \alpha + i sin\frac{n+1}{2}\alpha \right )

    =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}cos\frac{n+1}{2}\alpha }{sin\frac{\alpha }{2}}+i\frac{sin\frac{n\alpha }{2}sin\frac{n+1}{2}\alpha }{sin\frac{\alpha }{2}}

    所以:

    \left\{\begin{matrix} cos\alpha + cos2\alpha + ... + cosn\alpha =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}cos\frac{n+1}{2}\alpha }{sin\frac{\alpha }{2}} \\ sin\alpha + sin2\alpha + ... + sinn\alpha =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}sin\frac{n+1}{2}\alpha }{sin\frac{\alpha }{2}} \end{matrix}\right.

    3.2 M是单位圆周  x2y2 = 1上的动点,点N与定点A(2,  0)和点M构成一个等边三角形的顶点,并且M→N→A→M成逆时针方向,当M点移动时,求点N的轨迹。

    分析:此题若用一般解析几何的方法寻找点MN之间的显性关系是比较困难的。下面用复数的乘法的几何意义来寻找这种关系。

    MNA对应的复数依次为:M\leftrightarrow{x}'+{y}'iN\leftrightarrow x+yiA\leftrightarrow 2

    那么向量AM可以用向量ANA点逆时针旋转300度得到,用复数运算来实现这个变换就是:

    \vec{AM}=\left ( cos300^{\circ}+ isin300^{\circ} \right )\cdot \vec{AN}

    \Rightarrow\vec{OM} - \vec{OA}=\left ( cos300^{\circ}+ isin300^{\circ} \right )\cdot \left ( \vec{ON}-\vec{OA} \right )

    \Rightarrow {x}'+{y}'i -2 = \frac{1-\sqrt{3}i}{2}\left ( x+yi-2 \right )= \frac{x+\sqrt{3}y-2}{2}+ \frac{y-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}{2}i

    \Rightarrow \left\{\begin{matrix} {x}' = \frac{x+\sqrt{3}y+2}{2}\\ {y}'=\frac{y-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}{2}\\ {x}'^{2}+{y}'^{2} = 1 \end{matrix}\right.

    \Rightarrow \left ( \frac{x+\sqrt{3}y+2}{2} \right )^{2} +\left ( \frac{y-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}{2} \right )^{2} = 1

    \Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x+2\sqrt{3}y+3=0

    \Rightarrow \left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-\sqrt{3} \right )^{2} = 1

    3.3 3. z1z2z3 是复平面上三个点ABC对应的复数,证明三角形ABC是等边三角形的充分必要条件是:

    z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} = z_{1}z_{2}+ z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1}

    假设结论不成立:

    z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} = z_{1}z_{2}+ z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1}

    \Rightarrow 2z_{1}^{2} + 2z_{2}^{2} +2 z_{3}^{2} = 2z_{1}z_{2}+ 2z_{2}z_{3}+2z_{3}z_{1}

    \Rightarrow \left ( z_{1} - z_{2} \right )^{2} +\left ( z_{1} - z_{3} \right )^{2} +\left ( z_{2} - z_{3} \right )^{2} =0

    三个向量\left ( z_{1} - z_{2} \right )\left ( z_{1} - z_{3} \right )\left ( z_{2} - z_{3} \right )均为零向量,则三个向量z_{1}z_{2}z_{3}所对应的点是同一个点,与题意不符.

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空空如也

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复数的四种表示形式