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  • 数学物理方法·基础③复数基本运算法则 QQ:3020889729 小蔡复数的运算规律复数加法运算复数乘法运算复数除法运算复数乘方运算复数开方运算(使用欧拉方程更方便) ...

                             QQ:3020889729                                                                                 小蔡

    复数的运算规律

    欧拉公式:
    在这里插入图片描述

    复数加法运算

    直接实部虚部相加减:
    在这里插入图片描述
    以及矢量运算方法:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    复数乘法运算

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    复数除法运算

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    除法补充:
    在这里插入图片描述

    复数乘方运算

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    复数开方运算(使用欧拉方程更方便)

    在这里插入图片描述
    根据k的取值可知,开方的根有n个——即开n次方就有n个根。

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  • 不多废话,直接源代码: using System; using System.Collections.Generic; using System.ComponentModel; using System.Data; using System.Drawing; using System.Linq;...using System.Windows.For

    不多废话,直接源代码:

    using System;
    using System.Collections.Generic;
    using System.ComponentModel;
    using System.Data;
    using System.Drawing;
    using System.Linq;
    using System.Text;
    using System.Windows.Forms;

    namespace Complex
    {
        public partial class Form1 : Form
        {
            public Form1()
            {
                InitializeComponent();
            }

            private void Form1_Load(object sender, EventArgs e)
            {
                this.comboBox_operation.SelectedIndex = 0;
            }

            private void button_calc_Click(object sender, EventArgs e)
            {
                int real1 = 0, real2 = 0;
                int image1 = 0, image2 = 0;
                string opera="";

                try
                {
                    real1 = Convert.ToInt32(this.textBox_real1.Text);
                    image1 = Convert.ToInt32(this.textBox_image1.Text);
                    real2 = Convert.ToInt32(this.textBox_real2.Text);
                    image2 = Convert.ToInt32(this.textBox_image2.Text);
                    opera = Convert.ToString(this.comboBox_operation.SelectedItem);
                }
                catch
                {
                    MessageBox.Show("请输入正确形式的数据!", "错误提示");
                }

                switch (opera)
                {
                    case "+":
                        this.textBox_result.Text = (real1 + real2) + ((image1 + image2) >= 0 ? "+" + (image1 + image2) + "i" : (image1 + image2) + "i");
                        break;
                    case "-":
                        this.textBox_result.Text = (real1 - real2) + ((image1 - image2) >= 0 ? "+" + (image1 - image2) + "i" : (image1 - image2) + "i");
                        break;
                    case "*":
                        this.textBox_result.Text = (real1 * real2 - image1 * image2) + ((real1 * image2 + real2 * image1) >= 0 ? "+" + (real1 * image2 + real2 * image1) + "i" : (real1 * image2 + real2 * image1) + "i");
                        break;
                }
            }
        }
    }


    程序运行结果:









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  • 编程实现两个复数运算。设有两个复数 和 ,则他们的运算公式为: 要求:(1)定义一个结构体类型来描述复数。  (2)复数之间的加法、减法、乘法和除法分别用不用的函数来实现。  (3)必须使用结构体指针的方法...

    编程实现两个复数的运算。设有两个复数 和 ,则他们的运算公式为:

    要求:(1)定义一个结构体类型来描述复数。
      (2)复数之间的加法、减法、乘法和除法分别用不用的函数来实现。
      (3)必须使用结构体指针的方法把函数的计算结果返回
      说明:用户输入:运算符号(+,-,*,/) a b c d.
      输出:a+bi,输出时不管a,b是小于0或等于0都按该格式输出,输出时a,b都保留两位。

    # include<iostream>
    # include<iomanip>
    using namespace std;
    struct complex{
    	double real;
    	double image;
    };
    complex *jia(complex &a,complex &b)
    {
     complex *temp=new complex;     //注意必须分派空间
    	temp->image=a.image+b.image;
    	temp->real=a.real+b.real;
    	return temp;
    }
    complex *jian(complex &a,complex &b)
    {
    	complex *temp=new complex;
    	temp->image=a.image-b.image;
    	temp->real=a.real-b.real;
    	return temp;
    }
    complex *cheng(complex &a,complex &b)
    {
    	complex *temp=new complex;
    	temp->real=a.real*b.real-a.image*b.image;
    	temp->image=a.real*b.image+a.image*b.real;
    	return temp;
    }
    complex *chu(complex &a,complex &b)
    {
    	complex *temp=new complex;
    temp->real=(a.real*b.real+a.image*b.image)/(b.real*b.real+b.image*b.image);
    temp->image=(a.image*b.real-a.real*b.image)/(b.real*b.real+b.image*b.image);
    return temp;
    }
    int main()
    {
    	char s;
    	complex *p;
    	complex aa,bb;
    	double a,b,c,d;
    	cin>>s;
    	cin>>a>>b>>c>>d;
    	aa.real=a;
    	aa.image=b;
    	bb.real=c;
    	bb.image=d;
    	switch(s)
    	{
    		case'+':
    			p=jia(aa,bb);
    		break;	
    		case '-':
    			p=jian(aa,bb);
    		break;
    			
    		case '*':
    		p=cheng(aa,bb);  
    		break;
    			
    		case '/': p=chu(aa,bb);
    		 break;
          }
          cout<<fixed<<setprecision(2)<<p->real<<'+'<<p->image<<'i'<<endl;
      return 0;
    } 
    

    也可以将函数定义在结构体内,因为在结构体内不说明 默认都是公有的,而在类中不说明 默认都是私有的。

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  • 复数基础——复数基本运算_2

    千次阅读 2018-10-23 16:44:15
    复数基本运算 回顾复数 将下列数字写成复数形式: -21 7i  简单复习一下,复数是包含实数部分和虚数部分的数。 如果有a+bi,a是实数,b是实数,这是复数。a是实部,bi是虚数部分(注:虚部不包括i)。 ...

    目录

    回顾复数

    复数的基本运算


    回顾复数

    将下列数字写成复数形式:

    -21

    7i

     简单复习一下,复数是包含实数部分虚数部分的数。

    如果有a+bi,a是实数,b是实数,这是复数。a是实部,bi是虚数部分(注:虚部不包括i)。

    为什么bi是虚部?因为bi带有特殊系数i,这个虚数单位,这个特殊的数i,在这里乘以了b。我相信大家都会觉得怪诞,不过根据定义:

    i^{2} = -1

     在此之前,不存在对某个数取平方后得到-1,现在取i的平方,得到-1,关于虚数(单位)的特别的知识点是它的平方是负数。复数有用之处在于它使我们有能力解决很多方程,这些方程在只允许实数解的情况下无解。复数在很多方面都有用,特别是在工程领域,还有其他领域,比如物理等等。现在,我们不会花很多心思讨论复数定义,在大家处理更多数字后,特别是接触到某些工程应用后,希望大家明白虚数的价值。

    回到问题中来,把上面的数字写成复数形式。

    -21 

     怎么把它写成复数呢?把它写成实部和虚部的组合。可以写成:

    -21 = -21+0i

     0i等于0,所以它仍等于-21,实际上这里没有虚部,-21本身就是复数形式,很简单。同样的:

    7i = 0 + 7i

    7i是虚数形式的,所以这里没有实部,实部是0,虚部是7i,所以等于0 + 7i。

    复数的基本运算

    很多时候解方程都会碰到根号下负数的情况,比如根号下-1或者-9:

    \sqrt{-1}

    \sqrt{-9}

    由于如何实数的平方不是0就是正数,所以以上两个数这些没有定义,为了定义这些数,人们引入i的概念,i是虚数单位,i的定义是:

    i^{2}=-1

    这就是解决了根号下负数的问题,这样一来,根号下-9是多少呢?它等于i乘以根号9,即3i,

    \sqrt{-9} = i\sqrt{9} = 3i

    为什么,想想3i平方是多少?

    (3i)^2=3^{2}\cdot i^2{}=9\cdot -1=-9

    这是指数性质。所以(3i)^2=-9,这样的定义就拓展到了,所有负数开根号的情况:

    3i=\sqrt{-9}

    3i是所谓的虚数,它其实也不比其他数“虚”,某种意义上,负数真的存在吗?只不过是将负号放在前面表示抽象含义,负号只是表示它和大小的关系。任何数乘以虚数单位i都是虚数。解二次方程时,你会发现结果有时会实数和虚数并存(有实数部分和虚数部分),举个例子:

    5 + 2i

    这不能化简了,因为实数和虚数不能相加,大家可以把这当作不同维度,一个数有实部5,还有虚部2i,这叫做复数。复数可以在平面中表示:

    虚数也就是虚轴,在纵轴2i,上图表示为2个单位。

    实数也就是实轴,在实轴5,上图表示为5个单位。

    所以这个图形表示为:5+2i。在以后讲复数应用时,我还会举更多例子,现在只需要知道定义即可。看看有什么运算,两复数相加怎么做:

    a + bi

    a是实部,bi是虚部,另一个复数是:

    c + di

    通常像方程的未知数,这样的一般性实数,人们喜欢用x,而复数的惯例是用z表示。比如:

    a + bi = z_{1}

    c + di = z_{2}

    z表示任意某个复数,那么z_{1}+z_{2}等于多少呢?

    z_{1}+z_{2} = (a + bi) + (c + di)

    复数相加只需要分别把实部和虚部相加即可,这等于:

    (a+c)+(b+d)i 

    那么两个复数相减呢?如下:

    z_{1}-z_{2} = (a - c) + (b - d)i

    这就是新的复数。

    那么两个复数相乘呢?如下:

    z_{1}\cdot z_{2} = (a + bi) (c + di)

    教科书的方法称为FOIL,大概是八九年级的方法,我不怎么喜欢它,我喜欢将这看成是两次使用分配率,这里,可以将(c+di)分配到(a+bi)中的a和bi这2项中。我们得到:

    a(c+di)+bi(c+di)

    分解得:

    ac+adi+cbi+bd(-1)

    化简得:

    (ac-bd)+(ad+cb)i

    实数很简单,下一次我们会谈到实数。这里的关键是使用分配率,然后实部相加,实数和虚数不可相加,然后虚部相加,记住,两个虚数相乘时,i和i相乘会得到-1。

    那么两个复数相除呢?

    \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a+bi)}{(c+di)}

    我们要用到一个性质,但愿大家学过:

    (a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}

    如果这两个复数相乘:

    (c+di)(c-di) = c^{2}-(b^2\cdot i^2) = c^2+b^2

    那么(bi)^{2}是多少?(bi)^{2} = b^2\cdot i^2 = b^2 \cdot -1=-b^2。我们最后得到c^2+b^2,非常有趣,这是一个复数乘以另外一个复数,两个复数很像,只是虚部方向相反。两者相乘得到一个实数,i都消去了。

    例子用的是z_{2},即c+di,那么c+di称为 z_{2} 的共轭复数。这个术语需要了解,共轭的符号是顶上一横,z_{2} 的共轭是c+di,反过来c-di的共轭是c+di,如下:

    \overline{c-di}=c+di

    两者互为共轭。c+di的共轭是c-di,共轭其实只是改变虚轴上的方向。好了,回到之前的题目。共轭只是做除法时需要的工具。复数乘以其共轭等于实数,我们还知道,任意数乘以1还是该数,那么,分子分母同时乘以分母的共轭复数,看看得到什么:

    \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a+bi)}{(c+di)} \cdot \frac{(c-di)}{(c-di)}

    我们将得到什么?

    \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a+bi)}{(c+di)} \cdot \frac{(c-di)}{(c-di)} = \frac{(ac-adi+cbi+bd)}{(c^2+d^2)}

    这是结果,代数运算的话,只能实部和实部相加,虚部和虚部相加,化简,先看实部:

    \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a+bi)}{(c+di)} \cdot \frac{(c-di)}{(c-di)} = \frac{(ac-adi+cbi+bd)}{(c^2+d^2)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{(c^2+d^2)} 

    这看起来也许不像复数,将实部和虚部分开就像了。

    \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{(c^2+d^2)}= \frac{(ac+bd)}{(c^2+d^2)}+\frac{(bc-ad)i}{(c^2+d^2)}

    注意加减时,实部和虚部间不可以合并,顶多只能数乘虚数,这就是我们所做的。这里乘\frac{1}{c^2+b^2},写成字母形式,除法有点复杂。下面举个例子,实际数例就不会显得那么复杂了:

    \frac{1+2i}{2+3i}

    乘以分母的共轭复数:

    \frac{1+2i}{2+3i} \cdot \frac{2+3i}{2+3i}

    这是1,不会改变值,分母很容易求出:

    \frac{2-3i+4i+6}{4+9} = \frac{8+i}{13}

    然后写成一般形式:

    \frac{8+i}{13} = \frac{8}{13}+\frac{i}{13}

    复数除以复数,结果仍是复数。你们可以练习一下,随便找一下复数,在复平面画一下,看加减乘除时是什么情况,看数乘和取共轭时又是什么情况,这能让大家更好地理解复数。


    ——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。 

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