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  • 复数——概念和代数运算

    万次阅读 2018-03-25 08:42:56
    复数的引入 追根求源,最初是为了求解没有实数根的二次方程。例如求解 x2+1=0x2+1=0x^2+1=0 这个由实数组成的方程,显然没有实数根。 所以复数集可以看成实数集合的一个自然扩充。 首先引入一个“新数”iii。使...

    复数的引入

    追根求源,最初是为了求解没有实数根的二次方程。例如求解

    x2+1=0

    这个由实数组成的方程,显然没有实数根。
    所以复数集可以看成实数集合的一个自然扩充。
    首先引入一个“新数”i。使它满足
    i2=1

    也就是说i
    x2+1=0

    的解。
    我们再给复数定义:
    形如z=a+bi的数就是复数。
    其中ab分别叫做复数z的实部和虚部。
    注意,b才是虚部,bi不是虚部。
    记作:
    a=Re(z),b=Im(z)

    复数z=a+bi的分类

    当虚部b=0时,复数z是实数;
    当虚部b!=0时,复数z是虚数;
    当虚部b!=0,且实部a=0时,复数z是纯虚数。

    一些集合的记号

    RC

    PQ

    有下列关系:
    RP=ϕ

    RP=C

    QPC

    复数相等的充分必要条件

    设两个复数分别为z1=a+bi,z2=c+di,而二者相等的充分必要条件是a=c而且b=d

    化虚为实是复数问题的通性通法

    复数的运算法则

    对于两个复数z1=a+biz2=c+di
    z1+z2=(a+c)+(b+d)i
    z1z2=(ac)+(bd)i
    z1×z2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i
    z1z2=a+bic+di=(a+bi)×(cdi)(c+di)×(cdi)=(ac+bd)+(bcad)ic2+d2

    复数的运算定律

    复数的加法满足交换律,结合律。
    也就是

    z1+z2=z2+z1

    (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

    复数的乘法满足交换律、结合律,以及乘法对于加法的分配律。
    也就是
    z1×z2=z2×z1

    (z1z2)z3=z1(z2z3)

    z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

    共轭复数

    定义

    当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,就称其互为共轭复数。特别地,若复数的虚部不为零时,也称作互为共轭虚数。对于复数z=a+bi(abR),它的共轭复数用z¯=abi(abR)来表示。
    共轭复数有如下基本性质

    (1)z1±z2¯=z1¯±z2¯

    (2)z1z2¯=z1¯ z2¯

    (3)(z1z2)¯=z1¯z2¯

    (4)zn¯=(z¯)n

    (5)z+z¯=2Re(z),zz¯=2iIm(z)

    (6)z¯¯=z

    (7)zz¯=z;zz¯=zz!=0

    复数的几何形式

    复数z和复平面上的点Z(a,b)有着一一对应的关系,同时,复平面上的点Z(a,b)和向量OZ有着一一对应的关系。所以复数z和向量OZ有着一一对应的关系。
    复数的模我们定义为对应向量的模。
    也就是|z|=a2+b2
    关于复数的模,有如下的基本性质。

    (1)zz¯=|z|2=|z¯|2
    ;
    (2)||z1|||z2||z1±z2||z1|+|z2|

    (3)|z|max{|Re(z)|,|Im(z)|}

    例题

    已知复数z1=(m3)+(m1)i,z2=(2m5)+(m2+m2)i,且z1>z2¯,试求实数m的值。

    z1>z2¯可知,z1z2¯都是实数。
    也就是有:

    {m1=0(m2+m2)=0

    解得m=1
    因为z1>z2¯,所以m3<2m5,也就是m<2.
    m=1适合m<2

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  • 本文实例讲述了Python复数属性方法运算操作。分享给大家供大家参考,具体如下:#coding=utf8'''''复数是由一个实数一个虚数组合构成,表示为:x+yj一个负数时一对有序浮点数(x,y),其中x是实数部分,y是虚数部分...

    本文实例讲述了Python复数属性和方法运算操作。分享给大家供大家参考,具体如下:

    #coding=utf8

    '''''

    复数是由一个实数和一个虚数组合构成,表示为:x+yj

    一个负数时一对有序浮点数(x,y),其中x是实数部分,y是虚数部分。

    Python语言中有关负数的概念:

    1、虚数不能单独存在,它们总是和一个值为0.0的实数部分一起构成一个复数

    2、复数由实数部分和虚数部分构成

    3、表示虚数的语法:real+imagej

    4、实数部分和虚数部分都是浮点数

    5、虚数部分必须有后缀j或J

    复数的内建属性:

    复数对象拥有数据属性,分别为该复数的实部和虚部。

    复数还拥有conjugate方法,调用它可以返回该复数的共轭复数对象。

    复数属性:real(复数的实部)、imag(复数的虚部)、conjugate()(返回复数的共轭复数)

    '''

    class Complex(object):

    '''''创建一个静态属性用来记录类版本号'''

    version=1.0

    '''''创建个复数类,用于操作和初始化复数'''

    def __init__(self,rel=15,img=15j):

    self.realPart=rel

    self.imagPart=img

    #创建复数

    def creatComplex(self):

    return self.realPart+self.imagPart

    #获取输入数字部分的虚部

    def getImg(self):

    #把虚部转换成字符串

    img=str(self.imagPart)

    #对字符串进行切片操作获取数字部分

    img=img[:-1]

    return float(img)

    def test():

    print "run test..........."

    com=Complex()

    Cplex= com.creatComplex()

    if Cplex.imag==com.getImg():

    print com.getImg()

    else:

    pass

    if Cplex.real==com.realPart:

    print com.realPart

    else:

    pass

    #原复数

    print "the religion complex is :",Cplex

    #求取共轭复数

    print "the conjugate complex is :",Cplex.conjugate()

    if __name__=="__main__":

    test()

    运算结果:

    2017721122255675.jpg?2017621122312

    PS:这里再为大家推荐几款计算工具供大家进一步参考借鉴:

    在线一元函数(方程)求解计算工具:http://tools.jb51.net/jisuanqi/equ_jisuanqi

    科学计算器在线使用_高级计算器在线计算:http://tools.jb51.net/jisuanqi/jsqkexue

    在线计算器_标准计算器:http://tools.jb51.net/jisuanqi/jsq

    更多关于Python相关内容感兴趣的读者可查看本站专题:《Python数学运算技巧总结》、《Python数据结构与算法教程》、《Python函数使用技巧总结》、《Python字符串操作技巧汇总》、《Python入门与进阶经典教程》及《Python文件与目录操作技巧汇总》

    希望本文所述对大家Python程序设计有所帮助。

    本文标题: Python复数属性和方法运算操作示例

    本文地址: http://www.cppcns.com/jiaoben/python/197318.html

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  • 本文实例讲述了Python复数属性方法运算操作。分享给大家供大家参考,具体如下: #coding=utf8 ''''' 复数是由一个实数一个虚数组合构成,表示为:x+yj 一个负数时一对有序浮点数(x,y),其中x是实数部分,y是...
  • 复数基础——复数的基本运算_2

    千次阅读 2018-10-23 16:44:15
    复数的基本运算 回顾复数 将下列数字写成复数形式: -21 7i  简单复习一下,复数是包含实数部分虚数部分的数。 如果有a+bi,a是实数,b是实数,这是复数。a是实部,bi是虚数部分(注:虚部不包括i)。 ...

    目录

    回顾复数

    复数的基本运算


    回顾复数

    将下列数字写成复数形式:

    -21

    7i

     简单复习一下,复数是包含实数部分虚数部分的数。

    如果有a+bi,a是实数,b是实数,这是复数。a是实部,bi是虚数部分(注:虚部不包括i)。

    为什么bi是虚部?因为bi带有特殊系数i,这个虚数单位,这个特殊的数i,在这里乘以了b。我相信大家都会觉得怪诞,不过根据定义:

    i^{2} = -1

     在此之前,不存在对某个数取平方后得到-1,现在取i的平方,得到-1,关于虚数(单位)的特别的知识点是它的平方是负数。复数有用之处在于它使我们有能力解决很多方程,这些方程在只允许实数解的情况下无解。复数在很多方面都有用,特别是在工程领域,还有其他领域,比如物理等等。现在,我们不会花很多心思讨论复数定义,在大家处理更多数字后,特别是接触到某些工程应用后,希望大家明白虚数的价值。

    回到问题中来,把上面的数字写成复数形式。

    -21 

     怎么把它写成复数呢?把它写成实部和虚部的组合。可以写成:

    -21 = -21+0i

     0i等于0,所以它仍等于-21,实际上这里没有虚部,-21本身就是复数形式,很简单。同样的:

    7i = 0 + 7i

    7i是虚数形式的,所以这里没有实部,实部是0,虚部是7i,所以等于0 + 7i。

    复数的基本运算

    很多时候解方程都会碰到根号下负数的情况,比如根号下-1或者-9:

    \sqrt{-1}

    \sqrt{-9}

    由于如何实数的平方不是0就是正数,所以以上两个数这些没有定义,为了定义这些数,人们引入i的概念,i是虚数单位,i的定义是:

    i^{2}=-1

    这就是解决了根号下负数的问题,这样一来,根号下-9是多少呢?它等于i乘以根号9,即3i,

    \sqrt{-9} = i\sqrt{9} = 3i

    为什么,想想3i平方是多少?

    (3i)^2=3^{2}\cdot i^2{}=9\cdot -1=-9

    这是指数性质。所以(3i)^2=-9,这样的定义就拓展到了,所有负数开根号的情况:

    3i=\sqrt{-9}

    3i是所谓的虚数,它其实也不比其他数“虚”,某种意义上,负数真的存在吗?只不过是将负号放在前面表示抽象含义,负号只是表示它和大小的关系。任何数乘以虚数单位i都是虚数。解二次方程时,你会发现结果有时会实数和虚数并存(有实数部分和虚数部分),举个例子:

    5 + 2i

    这不能化简了,因为实数和虚数不能相加,大家可以把这当作不同维度,一个数有实部5,还有虚部2i,这叫做复数。复数可以在平面中表示:

    虚数也就是虚轴,在纵轴2i,上图表示为2个单位。

    实数也就是实轴,在实轴5,上图表示为5个单位。

    所以这个图形表示为:5+2i。在以后讲复数应用时,我还会举更多例子,现在只需要知道定义即可。看看有什么运算,两复数相加怎么做:

    a + bi

    a是实部,bi是虚部,另一个复数是:

    c + di

    通常像方程的未知数,这样的一般性实数,人们喜欢用x,而复数的惯例是用z表示。比如:

    a + bi = z_{1}

    c + di = z_{2}

    z表示任意某个复数,那么z_{1}+z_{2}等于多少呢?

    z_{1}+z_{2} = (a + bi) + (c + di)

    复数相加只需要分别把实部和虚部相加即可,这等于:

    (a+c)+(b+d)i 

    那么两个复数相减呢?如下:

    z_{1}-z_{2} = (a - c) + (b - d)i

    这就是新的复数。

    那么两个复数相乘呢?如下:

    z_{1}\cdot z_{2} = (a + bi) (c + di)

    教科书的方法称为FOIL,大概是八九年级的方法,我不怎么喜欢它,我喜欢将这看成是两次使用分配率,这里,可以将(c+di)分配到(a+bi)中的a和bi这2项中。我们得到:

    a(c+di)+bi(c+di)

    分解得:

    ac+adi+cbi+bd(-1)

    化简得:

    (ac-bd)+(ad+cb)i

    实数很简单,下一次我们会谈到实数。这里的关键是使用分配率,然后实部相加,实数和虚数不可相加,然后虚部相加,记住,两个虚数相乘时,i和i相乘会得到-1。

    那么两个复数相除呢?

    \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a+bi)}{(c+di)}

    我们要用到一个性质,但愿大家学过:

    (a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}

    如果这两个复数相乘:

    (c+di)(c-di) = c^{2}-(b^2\cdot i^2) = c^2+b^2

    那么(bi)^{2}是多少?(bi)^{2} = b^2\cdot i^2 = b^2 \cdot -1=-b^2。我们最后得到c^2+b^2,非常有趣,这是一个复数乘以另外一个复数,两个复数很像,只是虚部方向相反。两者相乘得到一个实数,i都消去了。

    例子用的是z_{2},即c+di,那么c+di称为 z_{2} 的共轭复数。这个术语需要了解,共轭的符号是顶上一横,z_{2} 的共轭是c+di,反过来c-di的共轭是c+di,如下:

    \overline{c-di}=c+di

    两者互为共轭。c+di的共轭是c-di,共轭其实只是改变虚轴上的方向。好了,回到之前的题目。共轭只是做除法时需要的工具。复数乘以其共轭等于实数,我们还知道,任意数乘以1还是该数,那么,分子分母同时乘以分母的共轭复数,看看得到什么:

    \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a+bi)}{(c+di)} \cdot \frac{(c-di)}{(c-di)}

    我们将得到什么?

    \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a+bi)}{(c+di)} \cdot \frac{(c-di)}{(c-di)} = \frac{(ac-adi+cbi+bd)}{(c^2+d^2)}

    这是结果,代数运算的话,只能实部和实部相加,虚部和虚部相加,化简,先看实部:

    \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a+bi)}{(c+di)} \cdot \frac{(c-di)}{(c-di)} = \frac{(ac-adi+cbi+bd)}{(c^2+d^2)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{(c^2+d^2)} 

    这看起来也许不像复数,将实部和虚部分开就像了。

    \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{(c^2+d^2)}= \frac{(ac+bd)}{(c^2+d^2)}+\frac{(bc-ad)i}{(c^2+d^2)}

    注意加减时,实部和虚部间不可以合并,顶多只能数乘虚数,这就是我们所做的。这里乘\frac{1}{c^2+b^2},写成字母形式,除法有点复杂。下面举个例子,实际数例就不会显得那么复杂了:

    \frac{1+2i}{2+3i}

    乘以分母的共轭复数:

    \frac{1+2i}{2+3i} \cdot \frac{2+3i}{2+3i}

    这是1,不会改变值,分母很容易求出:

    \frac{2-3i+4i+6}{4+9} = \frac{8+i}{13}

    然后写成一般形式:

    \frac{8+i}{13} = \frac{8}{13}+\frac{i}{13}

    复数除以复数,结果仍是复数。你们可以练习一下,随便找一下复数,在复平面画一下,看加减乘除时是什么情况,看数乘和取共轭时又是什么情况,这能让大家更好地理解复数。


    ——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。 

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  • 这篇文章主要介绍了Python复数属性方法运算操作,结合实例形式分析了Python复数运算相关操作技巧,代码注释备有详尽说明,需要的朋友可以参考下本文实例讲述了Python复数属性方法运算操作。分享给大家供大家参考,...

    这篇文章主要介绍了Python复数属性和方法运算操作,结合实例形式分析了Python复数运算相关操作技巧,代码注释备有详尽说明,需要的朋友可以参考下

    本文实例讲述了Python复数属性和方法运算操作。分享给大家供大家参考,具体如下:

    #coding=utf8

    '''''

    复数是由一个实数和一个虚数组合构成,表示为:x+yj

    一个负数时一对有序浮点数(x,y),其中x是实数部分,y是虚数部分。

    Python语言中有关负数的概念:

    1、虚数不能单独存在,它们总是和一个值为0.0的实数部分一起构成一个复数

    2、复数由实数部分和虚数部分构成

    3、表示虚数的语法:real+imagej

    4、实数部分和虚数部分都是浮点数

    5、虚数部分必须有后缀j或J

    复数的内建属性:

    复数对象拥有数据属性,分别为该复数的实部和虚部。

    复数还拥有conjugate方法,调用它可以返回该复数的共轭复数对象。

    复数属性:real(复数的实部)、imag(复数的虚部)、conjugate()(返回复数的共轭复数)

    '''

    class Complex(object):

    '''''创建一个静态属性用来记录类版本号'''

    version=1.0

    '''''创建个复数类,用于操作和初始化复数'''

    def __init__(self,rel=15,img=15j):

    self.realPart=rel

    self.imagPart=img

    #创建复数

    def creatComplex(self):

    return self.realPart+self.imagPart

    #获取输入数字部分的虚部

    def getImg(self):

    #把虚部转换成字符串

    img=str(self.imagPart)

    #对字符串进行切片操作获取数字部分

    img=img[:-1]

    return float(img)

    def test():

    print "run test..........."

    com=Complex()

    Cplex= com.creatComplex()

    if Cplex.imag==com.getImg():

    print com.getImg()

    else:

    pass

    if Cplex.real==com.realPart:

    print com.realPart

    else:

    pass

    #原复数

    print "the religion complex is :",Cplex

    #求取共轭复数

    print "the conjugate complex is :",Cplex.conjugate()

    if __name__=="__main__":

    test()

    运算结果:

    c5c88f58395eaf734a17cd611744a080-0.jpg

    以上就是Python中关于复数属性以及方法运算的示例的详细内容,更多请关注php中文网其它相关文章!

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  • 熟悉复数的几种表达方式及其加减乘除运算规则;掌握正弦量的相量表示法、相量的性能及其运算方法;掌握复阻抗复导纳的概念;学会用相量图进行正弦量的辅助分析;正确理解正弦交流电路中几种功率的分析
  • 向量范数与方阵范数的基本性质,与基本计算
  • 复数运算 虚数有一个直观化的解释:它把数字“旋转”,就像负数把数字做了“镜像”一样。这种深刻的见解使得我们理解复数的元算变得十分简单并且清晰,而且也可以很好的检查一下你是否学会了这种见解。以下是我们的...
  • 复数基础知识

    2019-08-12 20:32:18
    本文介绍了复数的基础知识,你将了解到: 1. 复数概念; 2. 复数的算术运算; 3. 复数的几何表示; 4. 复共轭;
  • 复数

    2021-04-13 20:16:02
    复数概念我们高中都学过,是对实数的扩充。其一般形式为: a+bi\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad a+bia+bi 1.其中a,ba,ba,b均为实数,iii为虚数单位,且满足i2=−1i^2=-1i2=−1。 2.其中aaa称为实部,bbb称为...

空空如也

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复数的概念和运算