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  • 复数

    千次阅读 2019-04-30 14:14:44
    复数域是实数域的代数闭包,也即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受。 历史 最早有关复....

    简介

    我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数,其中a称为实部,b称为虚部,i称为虚数单位。当虚部等于零时,这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时,实部等于零时,常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包,也即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受。

    历史

    最早有关复数方根的文献出于公元1世纪希腊数学家海伦,他考虑的是平顶金字塔不可能问题。

    16世纪意大利米兰学者卡尔达诺(Jerome Cardan,1501—1576)在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了一元三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成,尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596—1650),他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应,从此,虚数才流传开来。

    数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨(1646—1716)在1702年说:“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔(1717—1783)在1747年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是a+bi的形式(a、b都是实数)。法国数学家棣莫弗(1667—1754)在1722年发现了著名的棣莫佛定理。欧拉在1748年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i来表示-1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的。挪威的测量学家韦塞尔(1745—1818)在1797年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视。

    十八世纪末,复数渐渐被大多数人接受,当时卡斯帕尔·韦塞尔提出复数可看作平面上的一点。数年后,高斯再提出此观点并大力推广,复数的研究开始高速发展。诧异的是,早于1685年约翰·沃利斯已经在De Algebra tractatus提出此一观点。

    卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表在1799年的《Proceedings of the Copenhagen Academy》上,以当今标准来看,也是相当清楚和完备。他又考虑球体,得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。1804年,Abbé Buée亦独立地提出与沃利斯相似的观点,即以来表示平面上与实轴垂直的单位线段。1806年,Buée的文章正式刊出,同年让-罗贝尔·阿尔冈亦发表同类文章,而阿冈的复平面成了标准。1831年高斯认为复数不够普及,次年他发表了一篇备忘录,奠定复数在数学的地位。柯西及阿贝尔的努力,扫除了复数使用的最后顾忌,后者更是首位以复数研究著名的。

    复数吸引了著名数学家的注意,包括库默尔(1844年)、克罗内克(1845年)、Scheffler(1845年、1851年、1880年)、Bellavitis(1835年、1852年)、乔治·皮库克(1845年)及德·摩根(1849年)。莫比乌斯发表了大量有关复数几何的短文,约翰·彼得·狄利克雷将很多实数概念,例如素数,推广至复数。

    德国数学家阿甘得(1777—1855)在1806年公布了复数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,复数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数 。象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年,用实数组 代表复数 ,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数一一对应,扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法。至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

    经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集。

    随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。

    主要内容

    定义

    数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行(比如对负数开偶数次方),为了使方程有解,我们将数集再次扩充。

    在实数域上定义二元有序对z=(a,b),并规定有序对之间有运算"+"、"×" (记z1=(a,b),z2=(c,d)):

    z1 + z2=(a+c,b+d)

    z1 × z2=(ac-bd,bc+ad)

    容易验证,这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域,并且对任何复数z,我们有

    z=(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)

    令f是从实数域到复数域的映射,f(a)=(a,0),则这个映射保持了实数域上的加法和乘法,因此实数域可以嵌入复数域中,可以视为复数域的子域。

    记(0,1)=i,则根据我们定义的运算,(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi,i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1,这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。

    形如的数称为复数(complex number),其中规定i为虚数单位,且(a,b是任意实数

    我们将复数中的实数a称为复数z的实部(real part)记作Rez=a

    实数b称为复数z的虚部(imaginary part)记作 Imz=b.

    当a=0且b≠0时,z=bi,我们就将其称为纯虚数

    复数的集合C表示,实数的集合用R表示,显然,RC真子集

    复数集是无序集,不能建立大小顺序。

    复数的模

    将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模,记作∣z∣.

    即对于复数,它的模

    共轭复数

    释义

    对于复数,称复数=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。复数z的共轭复数记作

    性质

    根据定义,若(a,b∈R),则=a-bi(a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称。两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数。在复平面上,表示两个共轭复数的点关于X轴对称,而这一点正是"共轭"一词的来源----两头牛平行地拉一部犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就叫做"轭"。如果用z表示x+yi,那么在z字上面加个"一"就表示x-yi,或相反

    共轭复数有些有趣的性质:

    复数的辐角

    概述

    复变函数中,自变量z可以写成,r是z的模,即r = |z|;θ是z的辐角,记作: Arg(z)。在-π到π间的辐角称为辐角主值,记作: arg(z)(小写的A)。

    释义

    任意一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差2π的整数倍。把适合于-π≤θ<π的辐角θ的值,叫做辐角的主值,记作argz。辐角的主值是唯一的。

    指数形式:

    运算法则

    加法法则

    复数的加法法则:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和,它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。

    乘法法则

    复数的乘法法则:把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,结果中i2= -1,把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

    除法法则

    复数除法定义:满足的复数叫复数a+bi除以复数c+di的商。

    运算方法:将分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再用乘法法则运算,

    开方法则

    若zn=r(cosθ+isinθ),则

    (k=0,1,2,3…n-1)

    运算律

    加法交换律:z1+z2=z2+z1

    乘法交换律:z1×z2=z2×z1

    加法结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

    乘法结合律:(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)

    分配律:z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3

    i的乘方法则

    i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1(其中n∈Z

    棣莫佛定理

    对于复数z=r(cosθ+isinθ),有z的n次幂

    zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)] (其中n是正整数

    分类

    数的分类拓展到复数范围后,我们对复数范围的数集做以下分类

    复数(a+bi)——集合符号C
    实数(复数当b=0时)——集合符号R
    有理数——集合符号Qp/q)
    ①正有理数——集合符号Q+
    正整数——集合符号N+或N*
    1
    质数
    合数
    正分数
    ①0
    ①负有理数——集合符号Q-
    负整数——集合符号Z-
    负分数
    ②整数——集合符号Z
    (自然数)——集合符号N
    奇数
    偶数
    ②分数
    无理数
    正无理数
    负无理数
    虚数(b≠0)
    纯虚数(a=0)
    混虚数(a≠0)

    注:①②代表对“有理数”两种不同的分类方式。

    应用

    系统分析

    系统分析中,系统常常通过拉普拉斯变换时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点零点。分析系统稳定性的根轨迹法奈奎斯特图法(Nyquist plot)和尼科尔斯图法(Nichols plot)都是在复平面上进行的。

    无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面,根轨迹法都很重要。如果系统极点

    位于右半平面,则因果系统不稳定; 都位于左半平面,则因果系统稳定; 位于虚轴上,则系统为临界稳定的。如果系统的全部零点和极点都在左半平面,则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关于虚轴对称,则这是全通系统

    信号分析

    信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度,辐角arg(z)表示给定频率的正弦波相位

    利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示:

    其中ω对应角频率,复数z包含了幅度和相位的信息。

    电路分析中,引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。(有时用字母j作为虚数单位,以免与电流符号i混淆。)

    反常积分

    在应用层面,复分析常用以计算某些实值的反常函数,藉由复值函数得出。方法有多种,见围道积分方法

    量子力学

    量子力学中复数是十分重要的,因其理论是建基于复数域上无限维的希尔伯特空间

    相对论

    如将时间变数视为虚数的话便可简化一些狭义广义相对论中的时空度量 (Metric) 方程。

    应用数学

    实际应用中,求解给定差分方程模型的系统,通常首先找出线性差分方程对应的特征方程的所有复特征根r,再将系统以形为f(t) =e的基函数的线性组合表示。

    流体力学

    复函数于流体力学中可描述二维势流(2D Potential Flow)。

    碎形

    一些碎形曼德勃罗集合茹利亚集(Julia set) 是建基于复平面上的点的。

    实变初等函数

    我们把数学分析中基本的实变初等函数推广到复变初等函数,使得定义的各种复变初等函数,当z变为实变数x(y=0)时与相应的实变初等函数相同。

    注意根据这些定义,在z为任意复变数时,

    ①.哪些相应的实变初等函数的性质被保留下来

    ②.哪些相应的实变初等函数的性质不再成立

    ③.出现了哪些相应的实变初等函数所没有的新的性质。

    复变指数函数

    ea+bi=eaebi=ea(cosb+isinb)

    复数的三角函数

    证明:把yi代入泰勒级数,借助

    来化简即可;

    同理可得aix=cos(xlna)+isin(xlna)= (eix)lna

    借助eix=cosx+isinx可以方便地证明棣莫佛定理

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  • #include //using namespace std; class complex { public: complex(){real=0;image=0;} complex(double r){real=r;... complex(double r,double i){real=r;... friend complex operator +(complex
    #include <iostream.h>
    //using namespace std;
    class complex
    {
    public:
    	complex(){real=0;image=0;}
    	complex(double r){real=r;image=0;}
    	complex(double r,double i){real=r;image=i;}
    	friend complex operator +(complex&,complex&);
    	friend complex operator -(complex&,complex&);
    	friend complex operator *(complex&,complex&);
    	friend complex operator /(complex&,complex&);
    	void display(){cout<<real<<"+"<<image<<"i"<<endl;}
    private:
    	double real;
    	double image;
    };
    int main()
    {
    	complex c1(2,5),c2(2,-3),c3;
    	c3=c1+c2;
    	c3.display();
    	c3=c1-c2;
    	c3.display();
    	c3=c1*c2;
    	c3.display();
    	c3=c1/c2;
    	c3.display();
    	cin.get();
    	return 0;
    }
    
    
    complex operator +(complex &c1,complex &c2)
    {
    	return complex(c1.real+c2.real,c1.image+c2.image);
    }
    complex operator -(complex &c1,complex &c2)
    {
    	return complex(c1.real-c2.real,c1.image-c2.image);
    }
    complex operator *(complex &c1,complex &c2)
    {
    	return complex(c1.real*c2.real-c1.image*c2.image ,c1.image*c2.real +c2.image*c1.real );
    }
    complex operator /(complex &c1,complex &c2)
    {
    	double d;
    	d=c2.real*c2.real+c2.image*c2.image;
    	return complex((c1.real*c2.real+c1.image*c2.image)/d,(c1.image*c2.real-c2.image*c1.real)/d);
    }

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  • 在这一部分将会介绍基本组成部分,数值,符号,函数,等等 MATLAB命令的组成 MATLAB语言是基于最为流行的C++语言,因此语法特征与C++语言十分接近,更加符合科技人员对数学表达式的书写格式,而且可移植性好,可...


    本章介绍matlab的基本组成部分:数值,符号,函数

    3.1. MATLAB命令的组成

    matlab语言基于最流行的C++语言,更加符合科技人员对于数学表达式的书写格式

    3.1.1. 基本符号

    在这里插入图片描述
    下面介绍几种命令输入过程中的常见的错误
    在这里插入图片描述

    3.1.2. 功能符号

    在这里插入图片描述
    注意:续行号,注释号,各种括号的用途

    (1)分号
    一般情况下,在matlab中命令行窗口输入命令,则系统会随机根据指令给出计算结果,若不想让matlab每一次都显示结果,只需要在运算式最后加上分号;
    在这里插入图片描述
    (2)续行号
    由于命令过长,或者是出于某种需要,输入指令的时候必须多行书写的时候,需要使用特殊符号…,续行号也就是表示下一行是这一行的继续

    **(3)插入变量 **
    在这里插入图片描述

    3.1.3. 常用指令

    在使用matlab进行编程的时候,掌握熟悉的操作指令和技巧,事半功倍
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3.2. 数据类型:

    在这里插入图片描述

    3.2.1. 变量与常量

    (1)变量
    是任何程序设计语言的基本元素之一,MATLAB语言并不要求事先对所使用的变量进行声明,也不需要指定变量类型,MATLAB语言会自动依据所赋予变量的值或对变量所进行的操作来识别变量的类型,再赋值的过程之中,如果赋值变量已经存在,MATLAB会使用新值代替旧值,并以新值类型代替旧值类型。
    在MATLAB之中变量的命名应该遵循以下规则:
    1)变量名必须是以字母开头,之后可以是任意的字母,数字或者下划线;
    2)变量名区分字母的大小写;
    3)变量名不超过31个字符,第31个字符之后的字符将会被自动忽略;

    注意:MATLAB语言之中的也存在着变量作用域的问题:
    1)未加特殊说明的情况下,MATLAB语言将所有识别到的变量都视为局部变量,即仅在其使用的m文件之中有效;
    2)若要将变量定义为全局变量,则需要在该变量前面加关键字global,一般来说,全局变量都要用大写字母来表示;

    (2)常量
    MATLAB语言本身也有一些预定义的变量,这些特殊的变量就称为常量。
    在这里插入图片描述

    注意:
    1)如果计算时用户没有给表达式设定变量,系统将会自动将当前结果赋给ans变量
    2)在定义变量时应避免与常量名字相同,以免改变这些变量的值,如果已经改变了某个常量的值,可以通过clear+常量名命令来恢复该常量的初始值,重启MATLAB当然也可以做到
    例:改变圆周率的初值
    在这里插入图片描述
    若不想让MATLAB每次都显示运算结果,只需要在运算式的最后加上分号即可;

    3.2.2. 数值:

    MATLAB以矩阵为基本运算单元,而矩阵的基本单元是数值。

    数值类型

    (1)整型:
    整形数据是不包含小数部分的数值型数据
    整型数据的分类:
    在这里插入图片描述
    (2)浮点型:
    浮点型数据只采用十进制,有两种形式,十进制形式和指数形式;
    (1)十进制数:由数码和小数点组成,一定要含有小数点,
    (2)指数形式:由十进制数,加上阶码标志(e或者是E);
    例如:aEn 其中a是十进制数,n为十进制整数,表示的值是a*10的n次方;
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    下面很有必要介绍几种常见的不合法的实数表示:
    345:没有小数点,没有阶码标志;
    E7:阶码标志E之前没有数字,肯定是错的;
    2.7E:无阶码,只有阶码标志;
    浮点型变量可以分为两类:
    1)float:单精度说明符,占据四个字节,32位内存空间,数值范围是3.4E-38~3.4E+38,只能提供7位有效数字;
    2)double:双精度说明符:占据8个字节,64位内存空间,数值范围是1.7E-308~1.7E+308,提供16位有效数字;
    (3)复数类型
    在这里插入图片描述
    复数的显示:
    在这里插入图片描述
    数字的显示格式
    一般情况下,MATLAB之中数的存储和计算都是以双精度的形式进行的,但会有多种显示形式:
    在默认显示情况下,若数据是整数,就以整数形式来表示,若数据是实数,则以保留小数点后面4位的精度近似表示。
    注意:
    用户还可以自己改变数字显示格式,控制数字显示格式的命令是format,
    调用格式如下所示:format long ,pi 就会以15位小数的形式表示圆周率;
    还有很多种不同的数字显示格式,一定要注意!!!

    如何控制数字显示格式
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3.3. 运算符

    算术运算符&逻辑运算符&关系运算符

    3.3.1. 算数运算符:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3.3.2. 关系运算符:

    关系运算符主要用于对矩阵与数,矩阵与矩阵进行比较,返回表示二者关系的由数字0和1组成的矩阵,0和1分别表示不满足和满足指定关系;
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3.3.3. 逻辑运算符

    MATLAB在进行逻辑判断时,所有非0数值均被认为是真,而0为假,在逻辑判断结果之中,判断为真会输出1,为假则会输出0
    常见的逻辑与算符:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3.4. 函数运算:

    简单的数学运算处理基本的四则运算外,还包括复数运算,三角函数运算,指数运算等

    3.4.1. 复数运算

    MATLAB提供的复数函数包括以下9种:
    在这里插入图片描述
    复数的四则运算:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    (2)复数的模:
    在这里插入图片描述
    (3)复数的共轭:
    在这里插入图片描述
    (4)构造复数:
    在这里插入图片描述
    (5)实数矩阵:
    在这里插入图片描述

    3.4.2. 三角函数运算:

    展开全文
  • 复数可以以1+2i,5-2i,3,2i,i,-i 的形式输入;可以以1+2i,5-2i,3,2i,i,-i输出 拜托啦
  • 输入输出格式可以为 1,2+2i,3+33i,4-4i,5i,-6i,i,-i。 最好可以用GetChar() 方式 来识别,putback()将字符回送到输入流
  • 复数

    2021-04-10 17:35:02
    已知一个名为Complex的复数类,这个类包含: (1)私有成员:实部、虚部,且均为int 型 (2)公有的带默认形参值的构造函数、复制构造函数 (3)公有成员函数Display,其作用为显示复数 要求: (1)实现满足上述...

    已知一个名为Complex的复数类,这个类包含: (1)私有成员:实部、虚部,且均为int 型 (2)公有的带默认形参值的构造函数、复制构造函数 (3)公有成员函数Display,其作用为显示复数 要求: (1)实现满足上述属性和行为的Complex类定义; (2)设计函数AddComplex,函数AddComplex功能为实现两个复数相加,要求该函数的形参为复数类的常引用; (3)保证如下主函数能正确运行。

    /* 请在这里填写答案 */
    
    int main(){
        int x,y;
        cin>>x>>y;
            Complex  c0(x,y);
            Complex  c1(c0);
            cout<<"c1 is: "; 
            c1.Display();
            cin>>x>>y; 
            Complex c2(x,y);
            cout<<"c2 is: "; 
            c2.Display();
            Complex c3;
            c3 = AddComplex(c1,c2); 
            cout<<"c3 is: "; 
            c3.Display();    
            return 0;
    }
    

    解:

    #include <iostream>
    #include <string>
    using namespace std;
    
    class Complex
    {
    private:
    	int real, image;//1)私有成员:实部、虚部,且均为int 型
    public:
    	Complex(int r=0, int c=0):real(r),image(c){}//公有的带默认形参值的构造函数
        Complex(const Complex& obj) {
            real = obj.real; image = obj.image;//拷贝构造函数
        }
    	void Display()//显示复数
        {
            if (image == 0)
            cout << real << endl;//判断虚数为零时为实数;
            else
            cout << real <<( image<0 ? "":"+" )<< image << "i" << endl;//判断虚部正负,保证符号正确
        }
        int get_real() const {
            return real;//间接为两复数相加访问私有成员
        }
    
        int get_image() const {
            return image;
        }
    
    };
    Complex AddComplex(const Complex& c1, const Complex c2)//两复数相加
    {
        return Complex(c1.get_real() + c2.get_real(), c1.get_image() + c2.get_image());
    }
    

    题写出有段时间了,不过没啥时间记录一下。
    写出这题有搜过别人怎么写的,解决了这题对我下面的那些题差不多也是照葫芦画瓢,过段时间再改改,睡觉啦;

    
    
    
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空空如也

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