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  • NMath是一个适用于所有.NET语言,如C#、Visual Basic、F#和.NET数学库,它包含了.NET平台上面向对象数字计算基础类。我们将以连载形式向大家介绍NMath...您可以从表示实部和虚部一对数值中构造复数对...

    NMath是一个适用于所有.NET语言,如C#、Visual Basic、F#和.NET的数学库,它包含了.NET平台上的面向对象数字计算的基础类。我们将以连载的形式向大家介绍NMath的实用教程,有任何建议或提示请在下方评论区留言,以便学习交流。

    本节将介绍如何构造FloatComplexDoubleComplex的实例:


    从数值创建复数

    您可以从表示实部和虚部的一对数值中构造复数对象。如果仅传递单个值则假定它是实部,并且虚部设置为0.0。例如:

    • C#复数代码示例
      var c = new FloatComplex( 1.3, 4.5 );   // 1.3 + 4.5i
      var c2 = new DoubleComplex( 6.5 );    // 6.5 + 0.0i
    • VB复数代码示例
      Dim C As New FloatComplex(1.3, 4.5)   ' 1.3 + 4.5i
      Dim C2 As New DoubleComplex(6.5)      ' 6.5 + 0.0i

    静态FromPolar()函数构造具有给定幅度和相位角的复数:

    • C#复数代码示例
      var c = DoubleComplex.FromPolar( 2 * Math.Sqrt(2), Math.PI/4 );
      // c = 2.0 + 2.0i
    • VB复数代码示例
      Dim C As DoubleComplex =
        DoubleComplex.FromPolar(2 * Math.Sqrt(2), Math.PI / 4)
      ' c = 2.0 + 2.0i
      

    从字符串创建复数

    您还可以从表单的字符串表示(real,imag)构造复杂的数字类型。括号是可选的,忽略空格。同样,如果只提供一个值,则假定它是真实的部分。例如4.2,-5.1是有效的字符串,而4.2-5.1i不是有效的字符串。

    • C#复数代码示例
      string s = "(1.1, -3.23)"; 
      var c = new DoubleComplex( s );
    • VB复数代码示例
      Dim S As String = "(1.1, -3.23)"
      Dim C As New DoubleComplex(S)

    静态Parse()方法执行相同的功能:

    • C#复数代码示例
      string s = "(1.1, -3.23)"; 
      DoubleComplex c = DoubleComplex.Parse( s );
    • VB复数代码示例
      Dim S As String = "(1.1, -3.23)"
      Dim C As DoubleComplex = DoubleComplex.Parse(s)

    注意:在解析复数字符串时,不能像在某些财务格式中那样使用括号来表示负数。

    相反的,重写的ToString()成员函数返回复数的字符串表示形式:

    • C#复数代码示例
      var c = new FloatComplex( 7.61, -1.2 );
      Console.WriteLine( c.ToString() );  // prints "(7.61,-1.2)"
    • VB复数代码示例
      Dim C As New FloatComplex(7.61, -1.2)
      Console.WriteLine(c.ToString())  ' prints "(7.61,-1.2)"

    ToString() 方法的变体也接受标准的.NET数字格式字符串。例如格式字符串“E”表示指数(科学)概念。


    隐式转换

    复数类的隐式转换运算符如下图所示,箭头表示隐式提升。


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  • 在选择计算机的数的表示方法时,需要考虑:1、要表示的数的类型(小数,整数,实数和复数)2、可能遇到的数值范围3、数值精确度4、数据存储和处理所需要的硬件代价 数值数据是用于表示数量的大小。选择表示方式时,...

    数据与文字的表示方法

    在选择计算机的数的表示方法时,需要考虑:1、要表示的数的类型(小数,整数,实数和复数)2、可能遇到的数值范围3、数值精确度4、数据存储和处理所需要的硬件代价

    数值数据是用于表示数量的大小。选择表示方式时,需要考虑几个因素:
    数据类型,整数、纯小数、 实数(通称浮点数);
    数值范围,指一种类型的数据所能表示的最大值和最小值;
    数据精度,通常用实数所能给出的有效数字的位数表示;
    数据存储和处理所需的硬件代价。

    计算机常用的数据表示格式有2种,一是定点格式,二是浮点格式。一般来说,定点格式容许的数值范围有限,要求的处理硬件比较简单。而浮点格式容许的数值范围很大,要求处理的硬件比较复杂。

    计算机中参与运算的数有两大类:无符号数及有符号数
    无符号数:没有符号的数
    有符号数:为了让计算机识别数的“正”“负”,在有效数字的前面加入符号位(如0表示正数,1表示负数)

    计算机常用的数据表示格式有两种:
    定点表示:小数点位置固定
    浮点表示:小数点位置不固定

    数的机器码表示
    最高位为符号位
    正数:符号位为 0,原码 = 补码 = 反码
    负数:符号位为 1,其数值部分:
    原码除符号位外每位取反末位加 1 -》补码
    原码除符号位外每位取反 -》 反码
    将补码的符号位取反(1正0负)-》 移码

    定点数的表示方法

    定点表示:
    所有数据的小数点位置固定不变。(由于约定在固定的位置,小数点就不再使用记号“."来表示。)
    理论上位置可以任意,但实际上将数据表示有两种方法(小数点位置固定-定点表示法/定点格式):
    通常把数据表示成纯小数或者纯整数 。

    假设用一个n+1位字来表示一个定点数x,其中一位xn用来表示数的符号,其余位代表它的量值。为了将整个n+1位统一处理,符号位xn放在最左位置,并用数值0和1分别代表正号和负号,这样,对于任意定点数x=xnxn-1```x1x0,在定点机中可表示为如下形式:
    在这里插入图片描述
    如果数x表示的是纯小数,那么小数点位于xn个xn-1之间。当xnxn-1…x1x0各位均为0时,数x的绝对值最小,即|x|min=0,当各位均为1时,x的绝对值最大,即|x|max=1-2^-n,故数的表示范围为
    0<=|x|<=1-2^-n (2.1)
    如果数x表示的是纯整数,那么小数点位于最低位x0的右边,此时数x的表示范围为
    0<=|x|<=2^n-1 (2.2)
    目前计算机中多采用定点纯整数表示,因此将定点数表示的运算简称为整数运算。

    定点表示法的特点:
    定点数表示数的范围受字长限制,表示数的范围有限;
    定点表示的精度有限;
    机器中,常用定点纯整数表示;

    浮点数的表示方法

    在计算机还可以这样来表示数据:把一个数的有效数字和数的范围在计算机的一个存储单元中分别给予表示。这种把数的范围和精度分别表示的方法,相当于数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内可以自由移动,称为浮点表示法。
    任意一个十进制数N可以写成
    N=10^E.M
    同样,在计算机中一个任意二进制数N可以写成
    N=2^e.M
    其中M称为浮点数的尾数,是一个纯小数。e是比例因子的指数,称为浮点数的指数,是一个整数。比例因子的基数2对二进制数制的机器是一个常数。
    在机器中表示一个浮点数时,一是要给出尾数,用定点小数形式表。尾数部分给出有效数字的位数,因而决定了浮点数的表示精度。二是要给出指数,用整数形式表示,常称为阶码,阶码指明小数点在数据中的位置,因而决定了浮点数的表示范围。浮点数也要有符号位。早期计算机中,一个机器浮点数由阶码和尾数及其符号位组成:
    在这里插入图片描述
    不论是32位浮点数还是64位浮点数,由于基数2是固定常数,对每一个浮点数都一样,所以不必用显示方式来表示它。
    32位的浮点数中,S是浮点数的符号位,占1位,安排在最高位,S=0表示正数,S=1表示负数。M是尾数,放在低位部分,占用23位,小数点位置放在尾数域最左(最高)有效位的右边。E是阶码,占用8位,阶符采用隐含方式,即采用移码方法来表示正负指数。移码方法对两个指数大小的比较和对阶操作都比较方便,因为阶码域值大者其指数值也大。采用这种方式,将浮点数的指数真值e变成阶码E时,应将指数e加上一个固定的偏移值127(01111111),即E=e+127
    若不对浮点数的表示作出明确规定,同一个浮点数的表示就不是唯一的。例如,(1.75)10可以表示成1.11x2^0, 0.111x2 ^1,0.0111x2 ^2
    等多种形式。
    为了提高数据的表示精度,当尾数的值不为0时,尾数域的最高有效位应为1,这称为浮点数的格式化表示。否则以修改阶码同时左右移动小数点位置的方法,使其变成规格化数的形式。
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    习题
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    十进制数串的表示方法

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    为了区分一般书写表示的数和机器中这些编码表示的数,通常把前者称为真值,后者称为机器数或机器码。

    原码表示法

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    补码表示法

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    移码表示法

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    字符和字符串的表示方法

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    汉字的表示方法

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  • 关于浮点数讲解

    千次阅读 2018-11-01 17:37:14
    数值数据在机内的表示  在选择计算机的数值数的表示方式时,需要... 计算机处理的数值数据多数带小数,小数点在计算机中通常种表示方法,一是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上,称为定...

    数值数据在机内的表示

        在选择计算机的数值数的表示方式时,需要考虑以下几个因素:(1)要表示的数的类型(小数、整数、实数和复数);(2)可能遇到的数值范围;(3)数值精确度;(4)数据存储和处理所需要的硬件代价。

       2.1.1.1 定点数与浮点数

       计算机处理的数值数据多数带有小数,小数点在计算机中通常有两种表示方法,一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上,称为定点表示法,简称定点数;另一种是小数点位置可以浮动,称为浮点表示法,简称浮点数

    1. 定点数表示法(fixed-point)

    所谓定点格式,即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。在计算机中通常采用两种简单的约定:将小数点的位置固定在数据的最高位之前,或者是固定在最低位之后。一般常称前者为定点小数,后者为定点整数。

    定点小数是纯小数,约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。若数据 x 的形式为 x = x0.x1x2…xn ( 其中x0为符号位,x1~xn是数值的有效部分,也称为尾数, x1为最高有效位 ),则在计算机中的表示形式为:

    一般说来,如果最末位 xn = 1,前面各位都为 0 ,则数的绝对值最小,即 |x|min = 2-n 。如果各位均为 1,则数的绝对值最大,即 |x|max =1-2-n 。所以定点小数的表示范围是:

    2- n  ≤ | x | ≤ 1 -  2- n

    定点整数是纯整数,约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。若数据 x 的形式为 x = xx1x2…xn ( 其中x0为符号位,x1~xn 是尾数, xn 为最低有效位 ),则在计算机中的表示形式为:

        

    定点整数的表示范围是:

    1≤ | x | ≤ 2n  -  1

    当数据小于定点数能表示的最小值时,计算机将它们作0处理,称为下溢;大于定点数能表示的最大值时,计算机将无法表示,称为上溢,上溢和下溢统称为溢出

    计算机采用定点数表示时,对于既有整数又有小数的原始数据,需要设定一个比例因子,数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算,运算结果,根据比例因子,还原成实际数值。若比例因子选择不当,往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。

    用定点数进行运算处理的计算机被称为定点机。        

    2. 浮点数表示法(floating-point number)

    与科学计数法相似,任意一个J进制数N,总可以写成

    N = J E × M

    式中M称为数 N 的尾数(mantissa),是一个纯小数;E 为数 N 的阶码(exponent),是一个整数,J称为比例因子 J E 的底数。这种表示方法相当于数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内可以自由浮动,所以称为浮点表示法。

    底数是事先约定好的(常取2),在计算机中不出现。在机器中表示一个浮点数时,一是要给出尾数,用定点小数形式表示。尾数部分给出有效数字的位数,因而决定了浮点数的表示精度。二是要给出阶码,用整数形式表示,阶码指明小数点在数据中的位置,因而决定了浮点数的表示范围。浮点数也要有符号位。因此一个机器浮点数应当由阶码和尾数及其符号位组成:

    其中 ES 表示阶码的符号,占一位,E1~En 为阶码值,占 n 位,尾符是数 N 的符号,也要占一位。当底数取 2 时,二进制数 N 的小数点每右移一位,阶码减小 1,相应尾数右移一位;反之,小数点每左移一位,阶码加 1,相应尾数左移一位。

    若不对浮点数的表示作出明确规定,同一个浮点数的表示就不是唯一的。例如 11.01 也可以表示成 0.011012-3 ,0.1101×2-2 等等。为了提高数据的表示精度,当尾数的值不为 0 时,其绝对值应大于等于 0.5,即尾数域的最高有效位应为 1,否则要以修改阶码同时左右移小数点的方法,使其变成这一要求的表示形式,这称为浮点数的规格化表示。

    当一个浮点数的尾数为 0 时,不论其阶码为何值,或者当阶码的值遇到比它能表示的最小值还小时,不管其尾数为何值,计算机都把该浮点数看成 0 值,称为机器零

    浮点数所表示的范围比定点数大。假设机器中的数由 8 位二进制数表示(包括符号位):在定点机中这 8 位全部用来表示有效数字(包括符号);在浮点机中若阶符、阶码占 3 位,尾符、尾数占 5 位,在此情况下,若只考虑正数值,定点机小数表示的数的范围是 0.0000000 到 0.1111111,相当于十进制数的 0 到 127/128,而浮点机所能表示的数的范围则是 2 - 11×0.0001 到 211×0.1111,相当于十进制数的 1/128到 7.5 。显然,都用 8 位,浮点机能表示的数的范围比定点机大得多。

    尽管浮点表示能扩大数据的表示范围,但浮点机在运算过程中,仍会出现溢出现象。下面以阶码占 3 位,尾数占 5 位(各包括 1 位符号位)为例,来讨论这个问题。图 2-1 给出了相应的规格化浮点数的数值表示范围。

    图2-1  规格化浮点数分布示意图

    图 2-1 中,“可表示的负数区域”和“可表示的正数区域”及“0”,是机器可表示的数据区域;上溢区是数据绝对值太大,机器无法表示的区域;下溢区是数据绝对值太小,机器无法表示的区域。若运算结果落在上溢区,就产生了溢出错误,使得结果不能被正确表示,要停止机器运行,进行溢出处理。若运算结果落在下溢区,也不能正确表示之,机器当 0 处理,称为机器零。

    一般来说,增加尾数的位数,将增加可表示区域数据点的密度,从而提高了数据的精度;增加阶码的位数,能增大可表示的数据区域。

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  • 牛顿法是一在实数域和复数域上近似求解方程的方法方法使用函数f (x)泰勒级数前面项来寻找方程f (x) = 0根。牛顿法最大特点就在于它收敛速度很快。 具体步骤: 首先,选择一个接近函数 f (x)零点 ...

    牛顿法(Newton's method)
    牛顿法是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数f (x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f (x) = 0的根。牛顿法最大的特点就在于它的收敛速度很快。

    具体步骤:
    首先,选择一个接近函数 f (x)零点的 x0,计算相应的 f (x0) 和切线斜率f  ' (x0)(这里f ' 表示函数 f  的导数)。

    然后我们计算穿过点(x0,f(x0))并且斜率为f '(x0)的直线和x轴的交点的x坐标,也就是求如下方程的解:

    我们将新求得的点的 x 坐标命名为x1,通常x1会比x0更接近方程f  (x) = 0的解。

    因此我们现在可以利用x1开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示:

    已经证明,如果f'是连续的,并且待求的零点x是孤立的,那么在零点x周围存在一个区域,只要初始值x0位于这个邻近区域内,那么牛顿法必定收敛。 并且,如果f'(x)不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说,这意味着每迭代一次,牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

    由于牛顿法是基于当前位置的切线来确定下一次的位置,所以牛顿法又被很形象地称为是"切线法"。牛顿法的搜索路径(二维情况)如下图所示:

    关于牛顿法和梯度下降法的效率对比:
    a)从收敛速度上看 ,牛顿法是二阶收敛,梯度下降是一阶收敛,前者牛顿法收敛速度更快。但牛顿法仍然是局部算法,只是在局部上看的更细致,梯度法仅考虑方向,牛顿法不但考虑了方向还兼顾了步子的大小,其对步长的估计使用的是二阶逼近。

    b)根据wiki上的解释,从几何上说,牛顿法就是用一个二次曲面去拟合你当前所处位置的局部曲面,而梯度下降法是用一个平面去拟合当前的局部曲面,通常情况下,二次曲面的拟合会比平面更好,所以牛顿法选择的下降路径会更符合真实的最优下降路径。

    注:红色的牛顿法的迭代路径,绿色的是梯度下降法的迭代路径。

    牛顿法的优缺点总结:
    优点:二阶收敛,收敛速度快;
    缺点:牛顿法是一种迭代算法,每一步都需要求解目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵,计算比较复杂。

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