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  • 然而事实上, 绝大部分的实数算法都可以拓展到复数域,其核心思想大多都是将复数矩阵等效为一个实数矩阵,这样就可以满足实数算法的要求了。 本文讨论的就是如何将复数矩阵等效为一个实数矩阵。 本文的参考文献为:...

    在通信中,大部分的问题都是复数问题, 而大部分其他领域的问题都是实数问题, 也导致许多方法直观上看并不能简单地拓展到复数域来解决通信的问题。 然而事实上, 绝大部分的实数算法都可以拓展到复数域,其核心思想大多都是将复数矩阵等效为一个实数矩阵,这样就可以满足实数算法的要求了。 本文讨论的就是如何将复数矩阵等效为一个实数矩阵。

    本文的参考文献为: 复矩阵的两种实表示形式

    • 定义一: 本文中采用的 等效表示为: 对于任意一个 M × N M\times N M×N的复数矩阵 X = A + B j X = A + Bj X=A+Bj, 其实数等效矩阵为 Y Y Y
      Y = R ( X ) = [ A − B B A ] Y = R(X) = \left[\begin{array}{cc} A & -B \\ B & A \end{array}\right] Y=R(X)=[ABBA]
      其中, R ( X ) R(X) R(X)是一个 C M × N → R 2 M × 2 N \mathbb{C}^{M\times N}\rightarrow \mathbb{R}^{2M\times 2N} CM×NR2M×2N的映射。

    • 推理一:
      R ( X 1 ) + R ( X 2 ) = R ( X 1 + X 2 ) R(X_1) + R(X_2) = R(X_1 + X_2) R(X1)+R(X2)=R(X1+X2)
      证明: 由定义即可证明, 左边为:
      R ( X 1 ) + R ( X 2 ) = [ A 1 − B 1 B 1 A 1 ] + [ A 2 − B 2 B 2 A 2 ] = [ A 1 + A 2 − ( B 1 + B 2 ) B 1 + B 2 A 1 + A 2 ] R(X_1) + R(X_2)=\left[\begin{array}{cc} A_1 & -B_1 \\ B_1 & A_1 \end{array}\right] +\left[\begin{array}{cc} A_2 & -B_2 \\ B_2 & A_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} A_1 +A_2 & -(B_1 + B_2) \\ B_1 + B_2& A_1 + A_2 \end{array}\right] R(X1)+R(X2)=[A1B1B1A1]+[A2B2B2A2]=[A1+A2B1+B2(B1+B2)A1+A2]
      显然等于右边。

    • 推理二:
      R ( X 1 ) R ( X 2 ) = R ( X 1 X 2 ) R(X_1)R(X_2) = R(X_1X_2) R(X1)R(X2)=R(X1X2)
      证明: 由定义及分块矩阵相乘法则可得, 左边为:
      R ( X 1 ) R ( X 2 ) = [ A 1 − B 1 B 1 A 1 ] [ A 2 − B 2 B 2 A 2 ] = [ A 1 A 2 − B 1 B 2 − ( A 1 B 2 + B 1 A 2 ) A 1 B 2 + B 1 A 2 A 1 A 2 − B 1 B 2 ] R(X_1) R(X_2)=\left[\begin{array}{cc} A_1 & -B_1 \\ B_1 & A_1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} A_2 & -B_2 \\ B_2 & A_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} A_1 A_2 - B_1B_2& -(A_1B_2+B_1A_2) \\ A_1B_2+B_1A_2& A_1 A_2 - B_1B_2 \end{array}\right] R(X1)R(X2)=[A1B1B1A1][A2B2B2A2]=[A1A2B1B2A1B2+B1A2(A1B2+B1A2)A1A2B1B2]
      显然等于右边。 这里也可以看出为什么我们要这么设计 R ( X ) R(X) R(X)。同理, 很容易得: R ( X 1 ) R ( X 2 ) . . . R ( X n ) = R ( X 1 X 2 . . . X n ) R(X_1)R(X_2)...R(X_n) = R(X_1X_2...X_n) R(X1)R(X2)...R(Xn)=R(X1X2...Xn), 不赘述。

    • 推理三:
      R ( X H ) = R ( X ) T R(X^H) = R(X)^T R(XH)=R(X)T ( R ( X T ) ≠ R ( X ) T R(X^T) \ne R(X)^T R(XT)=R(X)T)
      证明: 也是定义即可。

    R ( X H ) = [ A T B T − B T A T ] R(X^H) = \left[\begin{array}{cc} A^T & B^T \\ -B^T & A^T \end{array}\right] R(XH)=[ATBTBTAT]
    显然等于右边。这是一个重要的结论。

    有这三条基本推理, 可以推导出很多相关的结论了。

    • 推理四: 对于奇异值分解 X = U Σ V H X=U\Sigma V^H X=UΣVH:
      R ( X ) = R ( U ) R ( Σ ) ( R ( V ) ) T R(X) = R(U)R(\Sigma)(R(V))^T R(X)=R(U)R(Σ)(R(V))T
      证明:
      R ( X ) = R ( U Σ V H ) = R ( U ) R ( Σ ) R ( V H ) R(X) = R(U\Sigma V^H)=R(U)R(\Sigma)R(V^H) R(X)=R(UΣVH)=R(U)R(Σ)R(VH)
      再由定理三, 可得。

    后面再想到一些常用的操作再补充了。

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  • 前言:花了一个半月时间学习了 北大丘维声的《高等代数》、北理史荣昌的《矩阵分析》、清华张贤达的《矩阵分析与应用》;北大与哈工大的网课。本质:(万物皆矩阵矩阵论主要研究矩阵,对于图像、神经网络等可表示...

    前言:花了一个半月时间学习了 北大丘维声的《高等代数》、北理史荣昌的《矩阵分析》、清华张贤达的《矩阵分析与应用》;北大与哈工大的网课。

    本质:(万物皆矩阵)矩阵论主要研究矩阵,对于图像、神经网络等可表示成矩阵形式,然后结果矩阵的处理方法,对其进行操作,例如分解,基本运算等。

    一、矩阵(矩阵表示单个事物)

    1.1矩阵的基本运算

    基本运算:加法;数乘;矩阵乘法;转置;內积;外积

    拓展运算:直和;Hadamard积(Schur积);Kronecker积(直积);Khatri-Rao积(对应列Kronecker积)

    注:向量之间的外积可由Kronecker积表示;Khatri-Rao积由两个列数相同的矩阵 对应列Kronecker积构成

    矩阵结构运算:向量化(列向量化vec(A),行向量化revec(A)),矩阵化(分行向量矩阵化与列向量矩阵化)

    1.2矩阵的性能指标

    (实对称矩阵或Hermite矩阵)二次型:

    ,刻画矩阵的正定性

    (方阵)行列式:刻画矩阵的奇异性;等于特征值之积

    方阵)特征值:1、刻画矩阵的奇异性(是否存在0特征值) 2、刻画矩阵的正定性 3、刻画对角元素之和

    注:上,下三角矩阵的特征值等于主对角元素;实对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的。

    (方阵)迹:等于特征值之和

    :刻画矩阵的奇异性,行秩等于列秩(对于张量不一定成立)

    奇异值:

    的特征值的正平方根,全奇异值分解-》刻画矩阵的奇异性(是否存在0奇异值)

    1.3矩阵的度量(内积与范数)

    向量:(常采用典范內积

    ,Lp范数

    注:L2范数常称Euclidean范数或者Frobenius范数

    矩阵:

    矩阵內积:

    矩阵范数:诱导范数、元素形式范数、Schatten范数

    (1)诱导范数定义:

    注:常用的诱导范数为p-范数

    ;诱导L1范数对应矩阵的列元素绝对值最大列和;诱导L2范数(
    矩阵的谱范数)对应矩阵A的最大奇异值;诱导L
    范数对应矩阵A的行元素绝对值最大行和

    (2)“元素形式”范数:

    注:当p=2时的范数称为L2范数,Euclidean范数,Frobenius范数

    (3)Schatten范数(用矩阵奇异值定义的范数)

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    1.4 逆矩阵

    (1)正方满秩矩阵的逆矩阵

    (2)非正方满(行或列)秩的伪逆矩阵

    左逆矩阵

    右逆矩阵

    注:左伪逆矩阵与超定方程的最小二乘解有关,右伪逆矩阵与欠定方程的最小二乘解有关

    (3)非正方秩亏损的伪逆矩阵(Moore-Penrose逆矩阵,广义逆矩阵)

    满足以下4个条件的矩阵,称为Moore-Penrose逆矩阵

    1.5 特殊矩阵

    (1)(方阵)实对称矩阵与复共轭对称矩阵(Hermite矩阵)

    (2)(方阵)实正交矩阵与酉矩阵(复数域)

    注:酉矩阵的列或者行向量皆为标准正交基;酉矩阵对应的酉变换保內积,保长度

    (3)(方阵)正规矩阵

    注:对称矩阵hermite矩阵,正交矩阵,酉矩阵皆为正规矩阵。

    (4)置换矩阵:每一行每一列有且仅有一个非零元素1。(等于初等矩阵的乘积,左乘A表示行变换,右乘A表示列变换,)

    注:置换矩阵的三种特殊情况:交换矩阵,互换矩阵,位移矩阵

    (5)带型矩阵(三角矩阵为带型矩阵的特例)除主对角线上下几条斜线以外元素皆为0

    (6)求和向量与中心化矩阵(数理统计中常用)

    求和向量(元素全为1):n个标量的求和可表示为求和向量与另一向量的內积

    中心化矩阵:

    ,其中Jn为元素全为1的n*n矩阵

    注:

    Cnx向量內积等于C的二次型,等于样本数据的协方差

    (7)Vandermonde矩阵,Fourier矩阵,Hadmard矩阵(信号处理中常用)

    1.6 常数、函数、随机矩阵

    注:矩阵元素可为常数、函数、随机变量

    函数矩阵的极限、导数、积分等于对应元素求极限、导数、积分;其余与常数矩阵类似

    1.7 矩阵函数

    (1)利用矩阵幂级数定义矩阵函数(北理数用解析定义)

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    (2)常见矩阵函数(类似利用一元多项式环的通用性质直接得到,与常见函数的泰勒展开式一致)

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    (3)矩阵函数值的计算

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    后面少了P逆

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    da7f8335bc55a726d1c7dbeed745cf43.png

    由该定理,我们可以实现降次的目的。

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    (4)矩阵函数微分(其中矩阵函数值根据f(X)中f的不同,最终结果可为标量、向量、矩阵)(梯度矩阵与Hessian矩阵最优化问题中常用)

    1、以实矩阵为变元的实函数(梯度矩阵等于Jacobian矩阵的转置)

    注1:Jacobian矩阵为按行向量形式定义的偏导矩阵,梯度矩阵(最优化问题中常见)为按列向量形式定义的偏导矩阵;Jacobian矩阵也有称协(同)梯度矩阵

    注2:一阶实矩阵微分是辨识实矩阵函数的梯度矩阵、Jacobian矩阵的有效数学工具;(即可通过对矩阵函数求一阶微分的结果中直接得到梯度矩阵与Jacobian矩阵,具体表示式见张贤达书第三章

    注3:二阶实矩阵微分是辨识实矩阵函数的Hessian矩阵(二阶偏导矩阵)的有效数学工具;(即可通过对矩阵函数求二阶微分的结果中直接得到实函数的Hessian矩阵,具体表示式见张贤达书第三章

    2、以复矩阵为变元的实函数(梯度矩阵等于Jacobian矩阵的转置,会得到梯度&共轭梯度)注:一阶复矩阵微分可以标识梯度矩阵与共轭梯度矩阵,Jacobian矩阵与共轭Jacobian矩阵;二阶复矩阵微分可以标识复Hessian矩阵

    二、代数系统(矩阵表示两系统之间的关系)

    2.1 代数系统(线性空间、环、域)

    线性空间:定义了加法与数乘,满足8条

    环:定义了加法与乘法,满足6条,乘法需要满足结合律与左右分配律

    注:乘法满足交换律的环称为交换环,乘法中含有单位元的环称为有单位元的环

    举例:一元多项式环,n元多项式环,整数集

    域:含有单位元的交换环,并且其中每个非零元都是可逆元

    举例:数域

    2.2 线性映射(描述两个线性空间的映射问题)

    1、线性映射的矩阵表达式

    线性变换矩阵:

    线性映射矩阵:

    注:已知向量a在

    基下的坐标为X,则线性变换后在
    基下的坐标为Y=AX;则线性映射后在
    基下的坐标为Y=BX;

    2、线性变换的Jordan标准型(方阵,矩阵相似的“最简形式”)

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    证明思路:基于不变子空间可将矩阵块三角化与块对角化,即P1与P2皆为方阵的不变子空间,则实现矩阵的块对角化。若引入一维不变子空间,即特征向量作为P的列向量,当存在n个线性无关的特征向量(表示满足P可逆),则实现矩阵的对角化。

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    最终得到最重要的Jordan标准性:

    798e4a48df8bcd3aec4c691e0682db05.png

    3、特殊的线性变换

    注:一个方阵对应与一个线性变换,具有特殊性质的矩阵对应的线性变换,同样具有某些特性

    (1)酉变换、正交变换(保内积,保长度),属于保距同构映射

    注:酉矩阵一定酉相似于对角矩阵,其主对角元素为模为1的复数(因为酉矩阵特征值的模等于1);正交变换正交相似于分块对角矩阵

    (2)Hermite变换、对称变换

    注:实对称矩阵一定能正交相似于对角矩阵,n级Hermite矩阵一定能酉相似于对角矩阵

    (3)正交投影

    注:若P即为幂等矩阵又为Hermite矩阵,即可作为一投影算子。I-P则为正交投影算子(往垂线方向投影)

    2.3 具有度量的线性空间(內积空间、赋范空间、Hilbert空间)

    內积空间:只要规定了一个內积(正定的对称双线性函数)的线性空间皆可称为內积空间

    注1:有限维实內积空间称为欧几里得空间,简称欧式空间;有限维复內积空间称为酉空间,

    注2:(正定性二者皆满足)复內积与实內积的区别:1、复內积满足共轭对称性,实內积满足对称性;2、实內积对两个变量都是线性的,复內积对于一个变量线性,对另一个共轭线性

    赋范空间:定义了范数的空间,可度量向量长度、距离、领域

    注:定义了L2范数的赋范空间称为Eculidean空间

    完备赋范空间:(完备性)

    1、Banach空间:每一个Cauchy序列极限都存在于空间中

    2、Hibert空间:每一个Cauchy序列的范数的极限都存在于空间中

    ,Banach空间不能

    3、一个有限维的赋范空间一定是Banach空间,自动满足Cauchy序列极限收敛的条件

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  • 复数域乘法法则 设 x=a+bi,y=c+di (a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.  其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,展开得: ac+adi+bci+bdi^2,  由i^2=-1,所以...
    • 复数域乘法法则
      设 x=a+bi,y=c+di (a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
        其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,展开得: ac+adi+bci+bdi^2,
        由i^2=-1,所以结果是(ac-bd)+(bc+ad)i 。两个复数的积仍然是一个复数。

    • 应用在图像中 A * B
      1、符号A,B分别代表两张图像
      2、通道分离split,通道分离后,第一个图像是实部,第二个是虚部
      3、将上述公式套用

    • 附代码

    cv::Mat complexDivision(cv::Mat a, cv::Mat b)
    {
        std::vector<cv::Mat> pa;
        std::vector<cv::Mat> pb;
        cv::split(a, pa);
        cv::split(b, pb);
    
        cv::Mat divisor = 1. / (pb[0].mul(pb[0]) + pb[1].mul(pb[1]));
    
        std::vector<cv::Mat> pres;
    
        pres.push_back((pa[0].mul(pb[0]) + pa[1].mul(pb[1])).mul(divisor));
        pres.push_back((pa[1].mul(pb[0]) + pa[0].mul(pb[1])).mul(divisor));
    
        cv::Mat res;
        cv::merge(pres, res);
        return res;
    }
    
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  • 线性代数之——复数矩阵

    千次阅读 2019-11-29 14:00:52
    即使矩阵是实的,特征值和特征向量也经常会是复数。 1. 虚数回顾 虚数由实部和虚部组成,虚数相加时实部和实部相加,虚部和虚部相加,虚数相乘时则利用 i2=−1i^2=-1i2=−1。 在虚平面,虚数 3+2i3+2i3+2i 是位于...

    为了完整地展示线性代数,我们必须包含复数。即使矩阵是实的,特征值和特征向量也经常会是复数。

    1. 虚数回顾

    虚数由实部和虚部组成,虚数相加时实部和实部相加,虚部和虚部相加,虚数相乘时则利用 i 2 = − 1 i^2=-1 i2=1

    在虚平面,虚数 3 + 2 i 3+2i 3+2i 是位于坐标 ( 3 , 2 ) (3, 2) (3,2) 的一个点。复数 z = a + b i z=a+bi z=a+bi 的共轭为 z ˉ = z ∗ = a − b i \bar z=z^*=a-bi zˉ=z=abi

    在极坐标下,复数则可以写作模长和极角的形式。

    两个复数相乘是模长相乘,极角相加。

    ( r e i θ ) n = r n e i n θ (re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} (reiθ)n=rneinθ

    2. 厄米特(Hermitian)矩阵和酉(Unitary)矩阵

    这部分的重点可以用一句话来介绍:当你对一个复数向量或者矩阵进行转置时,同时对它们取共轭。

    为什么要这样做呢?一个理由是复数向量长度的特殊性。针对实向量,其长度的平方为 x 1 2 + ⋯ + x n 2 x_1^2+\cdots+x_n^2 x12++xn2,但复数向量长度的平方并不是 z 1 2 + ⋯ + z n 2 z_1^2+\cdots+z_n^2 z12++zn2。比如 z = ( 1 , i ) z=(1, i) z=(1,i) 长度的平方并不是 1 2 + i 2 = 0 1^2+i^2=0 12+i2=0,而应该是 z z ˉ = 1 2 + ∣ i 2 ∣ = 2 z\bar z=1^2+|i^2|=2 zzˉ=12+i2=2

    我们定义一个新符号, z ˉ T = z H \bar z^T=z^H zˉT=zH,来表示向量的共轭转置,这个符号也可以应用到矩阵中去。

    同时,我们也要对向量的内积定义进行一下扩展,但内积为零仍然表明正交。

    这时候,向量的顺序就变得重要了。

    v H u = v ˉ 1 u 1 + ⋯ + v ˉ n u n = ( u H v ) ∗ \boldsymbol v^H\boldsymbol u=\bar v_1u_1+\cdots+\bar v_nu_n=(\boldsymbol u^H\boldsymbol v)^* vHu=vˉ1u1++vˉnun=(uHv)

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-y6Kmou3i-1575007209937)(https://upload-images.jianshu.io/upload_images/11895466-c64644ff7415abe8.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/1240)]

    一个厄米特矩阵满足 A H = A A^H=A AH=A,每一个实对称矩阵都是厄米特的,因为实数的共轭还是它本身。

    如果 A H = A A^H=A AH=A z \boldsymbol z z 是任意向量,那么 z H A z \boldsymbol z^HA\boldsymbol z zHAz 是实数。

    ( z H A z ) H = z H A H z = z H A z (z^HAz)^H=z^HA^Hz=z^HAz (zHAz)H=zHAHz=zHAz

    来自对角线上的两项都是实数,而来自非对角线上的两项互为共轭,相加之后也为实数。

    厄米特矩阵的每个特征值都是实数。

    A z = λ z → z H A z = λ z H z A\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol z \to \boldsymbol z^HA\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol z^H \boldsymbol z Az=λzzHAz=λzHz

    上式左边为实数, z H z \boldsymbol z^H\boldsymbol z zHz 是长度的平方,是正实数,所以特征值也必须为实数。

    厄米特矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的。

    A z = λ z → y H A z = λ y H z (1) \tag{1}A\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol z \to \boldsymbol y^HA\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol y^H\boldsymbol z Az=λzyHAz=λyHz(1)

    A y = β y → z ( A y ) H = z ( β y ) H → y H A z = β y H z (2) \tag{2}A\boldsymbol y=\beta \boldsymbol y \to \boldsymbol z(A\boldsymbol y)^H=\boldsymbol z(\beta \boldsymbol y)^H \to \boldsymbol y^HA\boldsymbol z=\beta \boldsymbol y^H\boldsymbol z Ay=βyz(Ay)H=z(βy)HyHAz=βyHz(2)

    比较 (1) 式和 (2) 式可得,两式左边相等,所以右边应该也相等。又由于两个特征值不一样,所以有 y H z = 0 y^H\boldsymbol z=0 yHz=0,两个特征向量正交。

    酉矩阵是一个有着标准正交列的方阵。

    任意有着标准正交列的矩阵满足 U H U = I U^HU=I UHU=I,如果它还是一个方阵,那么有 U H = U − 1 U^H=U^{-1} UH=U1

    一个酉矩阵乘以任意向量,向量的长度保持不变。

    z H U H U z = z H z \boldsymbol z^HU^HU\boldsymbol z=\boldsymbol z^H\boldsymbol z zHUHUz=zHz

    而且,酉矩阵的所有特征值的绝对值都为 1。

    最后,我们来总结一下实数和虚数向量以及矩阵之间的一些概念迁移。

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    2021-04-22 03:29:59
    Copyright 2008说明:这一段时间用Matlab做了LDPC码的性能仿真,过程中涉及了大量的矩阵运算,本文记录了Matlab中矩阵的相关知识,特别的说明了稀疏矩阵和有限中的矩阵。Matlab的运算是在矩阵意义下进行的,这里所...
  • 本章开始,开始详细讲解实数和复数矩阵的转置、复制、行列式、代数余子式、逆等运算,并给出函数和测试demo的C代码,以及与matlab计算的结果; 并且,本章出现了我在编写函数、后期与matlab联调跑数据时候出现...
  • 如果是tf1版本直接tf.complex 或者 tf.real,imag之类的, 在2.0版本以上操作无法使用 正确做法是:该api被移动到tf.math库下面,所以操作前加上tf.math即可,如tf.math.real 或者tf.raw_ops.Real ...
  • 矩阵乘法2.1 向量-向量乘法2.2 矩阵-向量乘法2.3 矩阵-矩阵乘法3 运算和属性3.1 单位矩阵和对角矩阵3.2 转置3.3 对称矩阵3.4 矩阵的迹3.5 范数3.6 线性相关性和秩3.7 方阵的逆3.8 正交阵3.9 矩阵的值域和零空间3.10 ...
  • 复数向量的内积

    2021-12-08 22:30:18
    复数向量的内积公式是前一个向量各分量与后一个向量中元素的共轭对应相乘然后相加. 即(x,y,z)*(a,b,c)=x(a共轭)+y(b共轭)+z(c共轭) 这样定义才能保证自己与自己的内积结果为正数. 上式结果为1*(-i)+i*(-i)+i*1=1 ...
  • 【MATLAB】矩阵运算之矩阵分解

    千次阅读 2018-07-15 15:50:24
    矩阵的分解函数cholCholesky分解cholinc稀疏矩阵的不完全Cholesky分解lu矩阵LU分解luinc稀疏矩阵的不完全LU分解qr正交三角分解svd奇异值分解gsvd一般奇异值分解schur舒尔分解在MATLAB中线性方程组的求解主要基于四种...
  • 矩阵论体系简单梳理

    2021-09-14 16:11:12
    矩阵理论作为一门应用广泛的数学基础课程,在很多行业、专业都有着重要的实用价值。所以对于这样的基础学科有必要进行系统学习,并应该掌握必要的应用方法。本文基于这样的学习目的,总结了矩阵理论的一些基础内容和...
  • 【综述】矩阵补全问题

    千次阅读 2020-11-02 16:49:04
    顾名思义, 矩阵补全就是指将一个部分元素已知的矩阵的缺失值补全的问题。 这个问题的著名背景是美国的视频公司Netflix提出了这样的问题, 给出一个矩阵, 其每行代表一个用户, 每列则代表用户所看过的电影。 这样...
  • 第3章 矩阵的分解3.1 矩阵的三角分解3.1.1 消元过程的矩阵描述3.1.2 矩阵的三角分解3.1.3 常用的三角分解公式3.2 矩阵的 QR(正交三角) 分解3.2.1 QR 分解的概念3.2.2 QR 分解的实际求法1. 吉文斯 (Givens) 方法2. ...
  • 矩阵分析——线性空间和线性映射(一) 哈工大严老师矩阵分析笔记 线性空间定义:给定非空集合和域,若存在映射:(从V和V自己的卡氏集到V的映射 任取V1和V2就可以算出一个值且算出的这个值还在V中) 则称为上...
  • 矩阵的各种分解

    千次阅读 2018-06-04 15:53:01
    1、特征值与特征向量的意义解释矩阵乘法其实是对应着一个线性变换,是把任意一个向量变成另一个方向或者长度的新向量。在这个变换中,原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩...
  • 目录 1 常用的缺失值预处理方式 1.1 不处理 1.2 剔除 1.3 填充 2 利用矩阵分解补全缺失值 3 矩阵分解补全缺失值代码实现 4 通过矩阵分解补全矩阵的一些小问题 References ...
  • 目录序一些概念的介绍重码、奇偶校验码、Hamming码、扩展码和去心码最小距离Hamming球堆积上界Gilbert-Varshamov下界Hadamard 矩阵和Hadamard 码序 这里我们还是接着Shannon定理的思路往下讲的。之前,在第一篇文章...
  • 矩阵乘以矩阵的转置运算的解析

    千次阅读 2021-05-08 15:21:47
    题题目线性代数A矩阵乘以A的转置的含义或者几何意义我是在最小二乘法和SVD分解这部分知识中看到的,非常的迷惑,而且为什么A的转置乘以A的特征值是和A乘以A的转置的特征值是相同的呢重分!优优质解答(下面以A(T)表示A的...
  • 多精度计算里,多精度乘法是其中最重要的...一般的算法有如:多精度乘法,所知的几个主要的优化方法有:1:直接乘法.2:comba乘法3:Karatsuba乘法4:toom_cook乘法5:FFT乘法6:FNT算法,或其他类似的有限上对应类似的FFT算...
  • 矩阵范数(martix norm) --维基百科

    万次阅读 2015-06-12 14:48:40
    矩阵范数(martix norm)是数学上向量范数对矩阵的一个自然推广。 目录  [隐藏]  1 矩阵范数的特性2 诱导范数3 矩阵元范数 3.1 弗罗贝尼乌斯范数3.2 极大范数3.3 Schatten 范数 4...
  • 四元数与复数

    千次阅读 2014-02-21 08:45:13
    原文链接:...在搞清楚四元数之前首先要知道什么是复数以及复数的运算,详情:http://www
  • 矩阵中的一些基本概念

    千次阅读 2017-01-05 11:19:00
    矩阵中的概念还是很多的,时间一长很容易忘记,这里做一个摘录,已备不时之需。线性空间 生成子空间 设x1,x2,⋯,xm设\bf {x_1,x_2,\cdots,x_m} 是数域KK上的线性空间VV的一组向量,其所有可能的线性组合的集合V1=k1...
  • 【ZZ】Matlab矩阵操作

    2021-04-24 21:44:19
    第一部分:矩阵基本知识一、矩阵的创建直接输入法利用Matlab函数创建矩阵利用文件创建矩阵二、矩阵的拆分矩阵元素矩阵拆分...矩阵的应用一、稀疏矩阵稀疏矩阵的创建稀疏矩阵的运算其他二、有限中的矩阵内容第一...
  • 多项式矩阵的基本运算(子式****, 秩***, 伴随矩阵*, 等) 值数域定义:设F是一个数环,如果对任意的a,b∈F而且a≠0,则b/a∈F;则称F是一个数域.例如有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数域. 显然没有整数. 注:数...
  • 知识要点:矩阵的本质矩阵的计算公式实例演示背景矩阵计算是我们经常碰到的一个问题。在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里,矩阵这个家伙从不缺席。那Excel在其中扮演什么样的角色呢?矩阵是什么呢?矩阵...
  • 在数学中常见的共轭有:共轭复数,共轭根式,共轭双曲线,共轭矩阵,共轭转置,共轭梯度方向。共轭分布,共轭先验,共轭函数。共轭方向法,共轭梯度方向法。 我们在关注共轭时,主要关注共轭的配对规律,共轭的性质...

空空如也

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复数域矩阵相乘

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