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  • 复数矩阵行列式VB和C#计算程序 这是一个计算复数矩阵行列的VB和C#代码,需要的下载来看看哦
  • 复数矩阵计算行列式

    千次阅读 2014-05-09 16:42:52
    项目上需要对复矩阵的行列式计算,根据计算一般矩阵行列式的代码改成了复矩阵行列式计算。 #include #include #include #include #include #include using namespace std; #define ROW 25 #define COL 25 typedef ...
    项目上需要对复矩阵的行列式计算,根据计算一般矩阵行列式的代码改成了复矩阵行列式计算。
    #include<iostream>
    #include<stdio.h>
    #include<stdlib.h>
    #include<time.h>
    #include<fstream>
    #include <iomanip>
    using namespace std;
    
    #define ROW 25
    #define COL 25
    typedef struct  
    {
    	float Real;
    	float Image;
    }Complex;
    
    
    Complex add(Complex a,Complex b)
    {
    	Complex c;
    	c.Real=a.Real+b.Real;
    	c.Image=a.Image+b.Image;
    	return c;
    }
    Complex sub(Complex a,Complex b)
    {
    	Complex c;
    	c.Real=a.Real-b.Real;
    	c.Image=a.Image-b.Image;
    	return c;
    }
    Complex Mul(Complex a,Complex b)
    {
    	Complex c;
    	c.Real=a.Real*b.Real-a.Image*b.Image;
    	c.Image=a.Real*b.Image+b.Real*a.Image;
    	return c;
    }
    Complex Div(Complex a,Complex b)
    {
    	Complex c;
    	c.Real=(a.Real*b.Real+a.Image*b.Image)/(b.Real*b.Real+b.Image*b.Image);
    	c.Image=(a.Image*b.Real-a.Real*b.Image)/(b.Real*b.Real+b.Image*b.Image);
    	return c;
    }
    Complex matrix_det(const Complex *mat, int n)
    {
        int i,j,k,is,js,l,v;
    	Complex det;
    	float flag,pivot,tmp;
        Complex *cpmat;
    	Complex tempValue;
        if(mat == NULL)                            /* 检查输入的指针是否为空*/
        {
          printf("matrix pointer is NULL.\n");
        }
        cpmat = (Complex*)malloc(n*n*sizeof(Complex));  /* 将输入矩阵的内容拷贝一份,以免破坏*/
        for(i=0; i<n*n; i++)
          cpmat[i] = mat[i];
    	det.Real = 1.0;                                 /* 设置行列式值初置*/ 
    	det.Image=0.0;
    	flag= 1.0;                                /* 这个变量原来记录行列式值的符号*/
        for(k=0; k<n-1; k++){           /* 最多进行n-1次消去*/     
        
    		pivot = 0.0;                             /* 选择主元*/
    
    		for(i=k; i<n; i++){
    			for(j=k; j<n; j++){
    				tmp = cpmat[i*n+j].Real*cpmat[i*n+j].Real+cpmat[i*n+j].Image*cpmat[i*n+j].Image;
    				if(tmp > pivot){
    					pivot = tmp;
    					is = i;
    					js = j;
    				}
    			}
    		}
    		if(pivot < 1e-5){                          /* 如果找到的主元小于eps,则认为是0。*/
    			det.Real = 0.0;                             /*此时行列式值也是0。*/
    			det.Image=0.0;
    			return(det);
    		} 
    		if(is != k){                              /* 判断是否需要行交换*/
    			flag = -flag;                          /* 行交换一次,行列式值变号*/
    			for(j=k; j<n; j++){                     /* 进行行交换*/	
    				l = k*n + j;
    				v = is*n + j;
    				tempValue = cpmat[l];
    				cpmat[l] = cpmat[v];
    				cpmat[v] = tempValue;
    			}
          }
          if(js != k){                              /* 判断是否需要列交换*/
    			flag = -flag;                          /* 列交换一次,行列式值变号*/
    			for(i=k; i<n; i++){                     /* 进行列交换*/
    				
    				l = i*n + k;
    				v = i*n + js;
    				tempValue = cpmat[v];
    				cpmat[v] = cpmat[l];
    				cpmat[l] = tempValue;
    			}
         }
         for(i=k+1; i<n; i++){                    /* 进行消去*/
    		tempValue=Div(cpmat[i*n+k],cpmat[k*n+k]);   /* 记录下此值,减少除法的次数*/   
    		for(j=k+1; j<n; j++) {                 /* 消去*/
    			Complex aa;
    			aa=Mul(tempValue,cpmat[k*n+j]);
    			cpmat[i*n+j]=sub(cpmat[i*n+j],aa);
    		}
    	 }
          det = Mul(det,cpmat[k*n+k]);           /*更新det的值*/
        }
    	det = Mul(det,cpmat[k*n+k]); /* 最终更新det的值*/
    	det.Real=flag*det.Real;
    	det.Image=flag*det.Image;
        free(cpmat);       
        return(det);
    }
    
    int main()
    {
    	Complex *inputdata;
    	Complex result;
    	inputdata=(Complex*)malloc(sizeof(Complex)*ROW*COL);
    	ofstream myfile("example.txt");
    	srand(time(0));
    	for(int i=0;i<ROW*COL;i++){
    		inputdata[i].Real=(float)rand()/10000;
    		inputdata[i].Image=(float)rand()/10000;
    	}
    	//cout<<"[";
    	myfile<<"b=[";
    	for(int i=0;i<ROW;i++){
    		for(int j=0;j<COL;j++){
    			//cout<<inputdata[i*COL+j].Real<<"+"<<inputdata[i*COL+j].Image<<"i";
    			myfile<<inputdata[i*COL+j].Real<<"+"<<inputdata[i*COL+j].Image<<"i";
    			if(j<COL-1){
    			//	cout<<",";
    				myfile<<",";
    			}
    		}
    		if(i<COL-1){
    			//cout<<";";
    			myfile<<";";
    		}
    		
    	}
    	//cout<<"]"<<endl;
    	myfile<<"]"<<endl;;
    	
    	result=matrix_det(inputdata,ROW);
    	//cout<<"Result:"<<endl;
    	//cout<<result.Real<<"+"<<result.Image<<"i"<<endl;
    	myfile<<setiosflags(ios::showpoint)<<result.Real<<"+"<<result.Image<<"i"<<endl;
    	myfile<<flush;
    	myfile.close();
    	return 0;
    }
    计算结果与matlab计算对比,没有问题
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  • 行列式

    千次阅读 2016-12-16 09:39:40
    行列互换,行列式不变. 转制行列式. 行列式的性质 行列互换,行列式不变. 一行或一列的公因子可以提到行列式的外面;推论:某一行/列全=0,行列式=0 把某一行/列的数拆分为两个加数,可以分别由这两个加数和其他行/...

    1. 多元一次方程组即线性方程组.
    2. 逆序数偶,偶排列.
    3. 逆序数奇,奇排列.
    4. 对换改变排列奇偶性.
    5. n级排列中,奇排和偶排一样多.
    6. 排列12..n是基本排列,可以构成任意排列.
    7. 行列互换,行列式不变.
    8. 转制行列式.

    行列式的性质

    1. 行列互换,行列式不变.
    2. 一行或一列的公因子可以提到行列式的外面;推论:某一行/列全=0,行列式=0
    3. 把某一行/列的数拆分为两个加数,可以分别由这两个加数和其他行/列组成新的两个行列式,它们的和=原来行列式
    4. 若有两行/列相等,行列式=0
    5. 若两行成比例,行列式=0…利用4和2一起证明
    6. 把一行的倍数加到另一行,行列式不变….利用3、5一起证明
    7. 两行互换,行列式变号

    1. P中任意两个数和、差、积、商(除数不为0)仍然是P中的数,那么P就称为一个数域.
    2. P对简单运算封闭.
    3. 有理数集是最小数域.
    4. 零次多项式是唯一不定义次数的多项式.
    5. 所有系数在数域P中的一元多项式的全体,称为数域P上的一元多项式环,记为P[x].
    6. 多项式的一个组合.P12
    7. 辗转相除法.
    8. 定理4 P16
    9. 定理6 P2
    10. 代数基本定理:每个次数大于等于1的复系数多项式在复数域中有一根,即一定有个一次因式.
    11. 复多项式能分解,唯一性,一次性.
    12. 实…能分解,唯一性,一次二次性.
    13. 系数没有异于正负1的公因子,本原多项式.
    14. 本乘本,还是本.
    15. 定理11 P31 整系多项,若能分有,则能分整.

    1. 求有理根:根据a0/an找到所有可能的根,逐一验证
    2. 判断是否可约:1. 的办法,找到则可约,反之不行;Eisenstein 判别发,找到一个符合条件的素数。p33
    3. 求重因式:求导函数和原函数的公因式。
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  • 行列式的意义

    万次阅读 多人点赞 2018-07-31 10:22:15
    三、行列式的几何意义: 行列式的定义: ...行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。当然,如果行列式中含有未知数,那么行列式就是一个多项式。它本质上代表一个数值,这...

    本文转自http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/3491487.html

    三、行列式的几何意义:

    行列式的定义:

    行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。当然,如果行列式中含有未知数,那么行列式就是一个多项式。它本质上代表一个数值,这点请与矩阵区别开来。矩阵只是一个数表,行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个实数、复数或者多项式。

    一阶行列式

    (注意不是绝对值)

    二阶行列式

    三阶行列式

    N阶行列式

    行列式的几何意义是什么呢?

    概括说来有两个解释:

    一个解释是行列式就是行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积;

    另一个解释是矩阵A的行列式detA就是线性变换A下的图形面积或体积的伸缩因子。

    这两个几何解释一个是静态的体积概念,一个是动态的变换比例概念。但具有相同的几何本质,因为矩阵A表示的(矩阵向量所构成的)几何图形相对于单位矩阵E的所表示的单位面积或体积(即正方形或正方体或超立方体的容积等于1)的几何图形而言,伸缩因子本身就是矩阵矩阵A表示的几何图形的面积或体积,也就是矩阵A的行列式。

    二阶行列式的几何意义:

    二阶行列式的几何意义是xoy平面上以行向量为邻边的平行四边形的有向面积。

    二阶行列式的几何意义就是由行列式的向量所张成的平行四边形的面积。另外,两个向量的叉积也是这个公式。

    二阶行列式的另一个意义就是是两个行向量或列向量的叉积的数值,这个数值是z轴上(在二维平面上,z轴的正向想象为指向读者的方向)的叉积分量。如果数值是正值,则与z坐标同向;负值就与z坐标反向。如果我们不强调叉积是第三维的向量,也就是忽略单位向量,那么二阶行列式就与两个向量的叉积完全等价了。

    二阶行列式性质的几何解释:

    两向量在同一条直线上,显然围成的四边形的面积为零,因此行列式为零

    这个性质由行列式的叉积特性得到,交换行列式的两行,就是改变了向量a和向量b的叉积顺序,根据,因此行列式换号。

    把行列式的一行的k倍加到另一行,则行列式值不变,即

    矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式(根据行列式的定义可证)

    总结:

    (1)用一个数k乘以向量a,b中之一的a,则平行四边形的面积就相应地增大了k倍;

    (2)把向量a,b中的一个乘以数k之后加到另一个上,则平行四边形的面积不变;

    (3)以单位向量(1,0),(0,1)构成的平行四边形(即单位正方形)的面积为1。

    三阶行列式的几何意义:

    一个3×3阶的行列式是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。

    一个行列式可以通过拆分某一个列向量得到两个行列式的和

    行列式的有两行或者两列元素相同,它对应的空间平行六面体的两条邻边重合,相当于三维空间中六面体被压成了高度为零的二维平面,显然,这个平面的三维体积为零。

    一个行列式对应着一个数值,这个数值是对行列式中的元素经过运算得到的。这个运算是与元素的位置有关系的,因此你改变了行列式中列向量或行向量的位置当然会改变行列式的结果。幸而只改变结果的符号。一般地,一个行列式的值对应矩阵A的列向量的一个固定顺序。当detA为负值时,它确定原象的一个反射。所以,这种变换改变了原象的定向。

    这就是说,平行六面体的体积的k倍等于六面体的三条棱中一条棱长的k倍。这是显然的。因为立方体的体积增大可以沿着立方体某一棱方向增大相同的倍数。

    此性质表述了以为底面积的平行六面体在a方向上进行了切向变换,变换的后的六面体因为底面积不变,高也不变,因此体积不变。

    矩阵A的行列式等于矩阵A转置的行列式

    行列式化为对角形的几何解释:

    一个行列式的第i行加上j行的K倍,可以使第i行的某一个元素变为0,而这个行列式的值不变。这个性质在化简行列式时非常有用。

    一个二阶行列式所表示的平行四边形被变成了一个对角行列式所表示的正(长)方形。

    三阶行列式有类似的变换情形,对角化的过程会把一个平行六面体变化为一个等体积的立方体或长方体。

    那么n阶行列式我们亦不怀疑的认为也可以被表示成一个n维的长方体的几何图形。

    二阶行列式乘积项的几何意义:

    对于二阶行列式而言,既然二阶行列式的几何图形是一个有方向的面积,那么从二阶行列式公理化定义−看,又是如何构成这个面积的呢?显然,式中项和项的和构成了这个面积。(面积方向的确定:叉积的右手定则)

    三阶行列式乘积项的几何意义:

    与二阶行列式的乘积项的几何解释类似,三阶行列式的乘积项,可以看成具有有方向的小长方体的体积。也就是说,在三阶方阵张成的三维平行六面体可以分解为一个个由各座标分量混合积构成的小长方体。这些小长方体共有六块,其体积具有方向。

    n阶行列式乘积项的几何意义:

    N阶行列式的超平行多面体的几何图形是由行(或列)向量张成的,而且这个n维超平行多面体与一个n维超长方体等体积。

    比如一个二阶行列式可以分拆成两个这样的二阶对角行列式:

     

    一个三阶行列式可以拆分成六个(其余的行列式值等于零)三阶对角行列式:

    一个行列式的整体几何意义是有向线段(一阶行列式)或有向面积(二阶行列式)或有向体积(三阶行列式及以上)。

    因此,行列式最基本的几何意义是由各个坐标轴上的有向线段所围起来的所有有向面积或有向体积的累加和。这个累加要注意每个面积或体积的方向或符号,方向相同的要加,方向相反的要减,因而,这个累加的和是代数和。

    克莱姆法则的几何意义:

    1750年,瑞士的克莱姆发现了用行列式求解现行方程组的克莱姆(Cramer)法则。这个法则在表述上简洁自然,思想深刻,包含了对多重行列式的计算,是对行列式与线性方程组之间关系的深刻理解。如果我们不能从几何上解释这个法则,就不可能领会向量、行列式和线性方程组之间的真正关系。

    二阶克莱姆法则的几何解释:

    二阶线性方程组:

    其克莱姆法则的解:

    三阶克莱姆法则的几何解释:

    三阶线性方程组如下:

    其克莱姆法则的解:

    过程与二阶类似,参考二阶的推导过程。

    克莱姆法则的意义是可以用方程组的系数和常数项的行列式把方程组的解简洁的表达出来。但在实际工程应用中由于计算量较大,常常采用高斯消元法来解大型的线性方程组。

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  • 线性代数——行列式

    2019-04-15 19:15:02
    行列式二阶行列式三阶行列式$n$ 阶行列式行列式的性质行列式展开克拉默法则 二阶行列式 形如: ∣a11&ThickSpace;a12a21&ThickSpace;a22∣ \begin{vmatrix} a_{11} \; a_{12} \\ a_{21} \; a_{22} \end{...

    二阶行列式

    形如:
    a11&ThickSpace;a12a21&ThickSpace;a22 \begin{vmatrix} a_{11} \; a_{12} \\ a_{21} \; a_{22} \end{vmatrix}
    叫做一个二阶行列式,其值由主、副对角线的积作差得到

    三阶行列式

    形如:
    a11&ThickSpace;a12&ThickSpace;a13a21&ThickSpace;a22&ThickSpace;a23a31&ThickSpace;a32&ThickSpace;a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31 \begin{vmatrix} a_{11} \; a_{12} \; a_{13} \\ a_{21} \; a_{22} \; a_{23} \\ a_{31} \; a_{32} \; a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad -a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
    叫做三阶行列式

    n 阶行列式


    D=a11a12a1na21a22a2nan1an2ann D= \begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; \cdots &amp; a_{1n} \\ a_{21} &amp; a_{22} &amp; \cdots &amp; a_{2n} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \cdots &amp; a_{nn} \end{vmatrix}
    表示一个n\bm n阶行列式,其中元素 αijC\alpha_{ij}\in\mathbb{C},这里 C\mathbb{C} 为复数集。为了描述行列式中某个位置的元素,将行列式的横排称为,竖排称为,那么 αij\alpha_{ij} 表示此 nn 阶行列式的第 ii 行第 jj 列的元素,ii 称为行指标jj 称为列指标

    nn 阶行列式
    D=a11a12a1na21a22a2nan1an2ann D= \begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; \cdots &amp; a_{1n} \\ a_{21} &amp; a_{22} &amp; \cdots &amp; a_{2n} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \cdots &amp; a_{nn} \end{vmatrix}
    等于所有来自不同行不同列的 nn 个元素乘积的代数和。由于代数和的项数为 n!n! 个,为了表达方便,我们可以将每项中的 nn 个元素按行指标由小及大的顺序排列,即写作 a1j1a2j2anjna_{1j_1}a_{2j_2} \cdots a_{nj_n} 的形式,并规定当列指标 j1j2jnj_1j_2 \cdots j_n偶排列时,此项前面带正号;当列指标 j1j2jnj_1j_2 \cdots j_n奇排列时,此项前面带负号。这样,nn 阶行列式可以表示为:
    D=a11a12a1na21a22a2nan1an2ann=j1j2jn(1)τ(j1j2jn)a1j1a2j2anjn D= \begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; \cdots &amp; a_{1n} \\ a_{21} &amp; a_{22} &amp; \cdots &amp; a_{2n} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \cdots &amp; a_{nn} \end{vmatrix}=\sum_{j_1j_2\cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2 \cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}
    上式称为行列式的展开式

    上述 nn 阶行列式通常记为 D=det(aij)D=det(a_{ij}) 或者 aij|a_{ij}|

    在行列式中,由左上角到右下角所形成的斜线称为主对角线,由右上角到左下角所形成的斜线称为副对角线。在主对角线下面的元素全为0,称为上三角形行列式,如果主对角线上面的元素全为0,则称为下三角形行列式。上三角形行列式和下三角形行列式统称为三角形行列式。如果除了对角线之外的元素全为0,则称之为对角行列式

    行列式的性质

    1. 行与列互换,行列式的值不变,即
      D=DT |D|=|D^T|
      DTD^TDD转置行列式,有时也记为 DD^{&#x27;}
    2. 在行列式中,如果某一行(列)元素全为0,则该行列式值为0
    3. 交换任意两行(列)的位置,行列式的值变号
    4. 如果行列式有两行(列)完全相同,则行列式为0
    5. 行列式具有线性性,即:
      a11a12a1nb1+c1b2+c2bn+cnan1an2ann=a11a12a1nb1b2bnan1an2ann+a11a12a1nc1c2cnan1an2ann \begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; \cdots &amp; a_{1n} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ b_1+c_1 &amp; b_2+c_2&amp; \cdots &amp; b_n+c_n \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \cdots &amp; a_{nn} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; \cdots &amp; a_{1n} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ b_1 &amp; b_2&amp; \cdots &amp; b_n \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \cdots &amp; a_{nn} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; \cdots &amp; a_{1n} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ c_1 &amp; c_2&amp; \cdots &amp; c_n \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \cdots &amp; a_{nn} \end{vmatrix}
      a11a12a1nkai1kai2kainan1an2ann=ka11a12a1nai1ai2ainan1an2ann \begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; \cdots &amp; a_{1n} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ ka_{i1} &amp; ka_{i2}&amp; \cdots &amp; ka_{in} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \cdots &amp; a_{nn} \end{vmatrix}=k \begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; \cdots &amp; a_{1n} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{i1} &amp; a_{i2}&amp; \cdots &amp; a_{in} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \cdots &amp; a_{nn} \end{vmatrix}
    6. 如果行列式有两行(列)成正比,则行列式为0
    7. 行列式某一行(列)的 kk 倍加到另一行(列),行列式不变,即
      a11a12a1nap1ap2apnaq1aq2aqnan1an2ann=a11a12a1nap1ap2apnaq1+kap1aq2+kap2aqn+kapnan1an2ann \begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; \cdots &amp; a_{1n} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{p1} &amp; a_{p2}&amp; \cdots &amp; a_{pn} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{q1} &amp; a_{q2}&amp; \cdots &amp; a_{qn} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \cdots &amp; a_{nn} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; \cdots &amp; a_{1n} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{p1} &amp; a_{p2}&amp; \cdots &amp; a_{pn} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{q1}+ka_{p1} &amp; a_{q2}+ka_{p2}&amp; \cdots &amp; a_{qn}+ka_{pn} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \cdots &amp; a_{nn} \end{vmatrix}
    8. A=(aij)\bm A=(a_{ij}) 是一个 nn 阶方阵,则称:
      a11a12a1na21a22a2nan1an2ann \begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; \cdots &amp; a_{1n} \\ a_{21} &amp; a_{22} &amp; \cdots &amp; a_{2n} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \cdots &amp; a_{nn} \end{vmatrix}
      为方阵 A\bm A 的行列式,记为 A|\bm A|det(A)det(\bm A)。矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积,即如果 A\bm AB\bm B 是两个同阶的方阵,那么 AB=AB|\bm{AB}|=|\bm A||\bm B|注意nn 阶方阵和 nn 阶行列式是两个不同的概念,前者是 n2n^2 个数按一定方式排成的一个数表,而后者是这个数表按一定的运算法则所计算的一个数。另外,由于行列式有 nnnn 列,所以若矩阵 A\bm A 不是方阵,就不能对它取行列式

    行列式展开

    nn 阶行列式 D=aijD=|a_{ij}| 中,去掉元素 aija_{ij} 所在的第 ii 行、第 jj 列所剩下的 n1n-1 阶行列式:
    a11a1,j1a1,j+1a1nai1,1ai1,j1ai1,j+1ai1,nai+1,1ai+,j1ai+1,j+1ai+1,nan1an,j1an,j+1ann \begin{vmatrix} a_{11} &amp; \cdots &amp; a_{1,j-1} &amp; a_{1,j+1} &amp; \cdots &amp; a_{1n} \\ \vdots &amp;&amp; \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{i-1,1} &amp; \cdots &amp; a_{i-1,j-1} &amp; a_{i-1,j+1} &amp; \cdots &amp; a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} &amp; \cdots &amp; a_{i+,j-1} &amp; a_{i+1,j+1} &amp; \cdots &amp; a_{i+1,n} \\ \vdots &amp;&amp; \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{n1} &amp; \cdots &amp; a_{n,j-1} &amp; a_{n,j+1} &amp; \cdots &amp; a_{nn} \end{vmatrix}
    称为元素 aija_{ij} 的余子式,通常记作 MijM_{ij}。余子式 MijM_{ij} 与符号项 (1)i+j(-1)^{i+j} 的乘积 (1)i+jMij(-1)^{i+j}M_{ij} 叫做元素 aija_{ij} 的代数余子式,通常记作 AijA_{ij}

    nn 阶行列式 D=aijD=|a_{ij}| 等于它的任意一行(列)的所有元素与各自的代数余子式的乘积之和,即:
    D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}

    克拉默法则

    如果线性方程组
    {a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;&ThickSpace;.........an1x1+an2x2+...+annxn=bn \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; ......... \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n \\ \end{cases}
    的系数行列式
    D=a11a12a1na21a22a2nan1an2ann0 D= \begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; \cdots &amp; a_{1n} \\ a_{21} &amp; a_{22} &amp; \cdots &amp; a_{2n} \\ \vdots &amp; \vdots &amp;&amp; \vdots \\ a_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \cdots &amp; a_{nn} \end{vmatrix}\ne 0
    那么该方程组有唯一解
    x1=D1D,x2=D2D,...,xn=DnD x_1=\frac{D_1}{D}, x_2=\frac{D_2}{D},...,x_n=\frac{D_n}{D}
    其中 DiD_i 是把 DD 中第 ii 列依次换成常数项 b1,b2,...,bnb_1,b_2,...,b_n 后所成的行列式

    参考文献

    [1] 周盛林, 刘西民. 线性代数与解析几何. 高等教育出版社. 2012

    展开全文
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  • 行列式与矩阵的区别

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    千次阅读 2018-08-12 17:48:48
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  • 矩阵/行列式的意义

    万次阅读 多人点赞 2017-02-24 16:34:24
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  • 矩阵迹(trace), 行列式(determinate)

    万次阅读 多人点赞 2020-10-04 07:49:29
    1. 迹(trace) 矩阵的迹(trace)表示矩阵 A AA 主对角线所有元素...2. 行列式(determinant) 矩阵 A AA 的行列式值记为 det(A)det ( A )det(A)。 https://blog.csdn.net/robert_chen1988/article/details/88576194
  • 行列式这个“怪物”定义初看很奇怪,一堆逆序数什么的让人不免觉得恐惧,但其实它是有实际得不能更实际的物理意义的,理解只需要三步。这酸爽~1,行列式是针对一个的矩阵而言的。表示一个维空间到维空间的线性变换。...

空空如也

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复数行列式