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  • 复数的辐角的主值的计算公式

    千次阅读 2021-03-04 14:11:08
    笔记

    z = x + i y z=x+iy z=x+iy

    arg ⁡ z \arg z argz x < 0 x<0 x<0 x = 0 x=0 x=0 x > 0 x>0 x>0
    y < 0 y<0 y<0 arctan ⁡ y x − π \arctan\frac{y}{x}-\pi arctanxyπ − 1 2 π -\frac{1}{2}\pi 21π arctan ⁡ y x \arctan\frac{y}{x} arctanxy
    y = 0 y=0 y=0 π \pi π 0 0 0
    y > 0 y>0 y>0 arctan ⁡ y x + π \arctan\frac{y}{x}+\pi arctanxy+π 1 2 π \frac{1}{2}\pi 21π arctan ⁡ y x \arctan\frac{y}{x} arctanxy

    2021年3月21日19:32:16

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  • MATLAB笔记之复数基本公式 QQ:3020889729 小蔡复数的创建复数的实部与虚部的获取复数的辐角与模的获取复数的共轭运算 QQ:30...

                             QQ:3020889729                                                                                 小蔡

    复数的创建

    % 创建复数
    z1 = 2 + 7*1i;% 表达式直接创建
    z2 = 2 + 7*i;% 注意了,有时候版本要求,提示需要将*1i代替i来避免错误
    z3 = complex(2.7);% 创建实部为2,虚部为7的的复数
    

    效果:
    在这里插入图片描述

    复数的实部与虚部的获取

    % 复数的实部与虚部的获取
    z0 = complex(2,7);% 创建实部为2,虚部为7的的复数
    z0_Im = imag(z0);% 用imag获取复数的虚部
    z0_Re = real(z0);% 用real获取复数的实部
    

    在这里插入图片描述

    复数的辐角与模的获取

    % 复数的辐角与模的获取
    z0 = complex(2,7);% 创建实部为2,虚部为7的的复数
    z0_Mod = abs(z0);% 用abs获取复数的模——也可以用来求实数的绝对值
    z0_Arg = angle(z0);% 用angle获取复数的辐角(主)值——也可以求其它实数的相位角
    

    在这里插入图片描述

    复数的共轭运算

    % 复数的共轭运算
    clear,clc;
    z0 = complex(2,7);% 创建实部为2,虚部为7的的复数
    z1 = conj(z0);% 取得指定复数的(复)共轭复数
    

    在这里插入图片描述

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  • 【数理知识】欧拉复数公式

    千次阅读 2020-11-04 10:28:24
    欧拉复数公式欧拉复数公式欧拉公式泰勒级数展开近似值 欧拉复数公式 公式: eiπ+1=0e^{i\pi}+1 = 0eiπ+1=0 这个方程真的很奇妙,因为它集合了: eee (欧拉数) iii (单位 虚数) π\piπ (大名鼎鼎的 pi,一个...

    公式:
    e i π + 1 = 0 e^{i\pi}+1 = 0 eiπ+1=0

    这个方程真的很奇妙,因为它集合了:

    • e e e (欧拉数)
    • i i i (单位 虚数)
    • π \pi π (大名鼎鼎的 pi,一个在很多不同领域都出现的数)
    • 0 和 1(也是不凡的数!)

    欧拉公式

    这方程其实源自欧拉公式:

    e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x e^{ix} = \cos x + i \sin x eix=cosx+isinx

    x = π x = π x=π,我们得到:

    e i π = cos ⁡ π + i sin ⁡ π e i π = − 1 + i × 0 ( 因 为 cos ⁡ π = − 1 和 sin ⁡ π = 0 ) e i π = − 1 e i π + 1 = 0 \begin{aligned} &e^{iπ} = \cos π + i \sin π\\ &e^{iπ} = −1 + i × 0 (因为 \cos π = −1 和 \sin π = 0)\\ &e^{iπ} = −1\\ &e^{iπ} + 1 = 0 \end{aligned} eiπ=cosπ+isinπeiπ=1+i×0cosπ=1sinπ=0eiπ=1eiπ+1=0

    故此, e i π + 1 = 0 e^{iπ} + 1 = 0 eiπ+1=0 只不过是更有用的欧拉公式的一个特例。

    我们可以把任何点(例如 3 + 4 i 3 + 4i 3+4i)变成 r e i x re^{ix} reix 的格式(只需找到 x x x 的值和圆形的半径, r r r

    例子 3 + 4 i 3 + 4i 3+4i

    把这复数转换为 r e i x re^{ix} reix 的格式,我们要转换笛卡尔坐标为极坐标:

    r = ( 3 2 + 4 2 ) = ( 9 + 16 ) = 25 = 5 r = \sqrt{(3^2 + 4^2)} = \sqrt{(9+16)} = \sqrt{25} = 5 r=(32+42) =(9+16) =25 =5
    x = arctan ⁡ ( 4 / 3 ) = 0.927 ( 保 留 三 位 小 数 ) x = \arctan( 4 / 3 ) = 0.927 (保留三位小数) x=arctan(4/3)=0.927

    所以 3 + 4 i 3 + 4i 3+4i 也可以是 5 e 0.927 i 5e^{0.927 i} 5e0.927i

    未完待续…

    From: 欧拉复数公式

    泰勒级数展开

    泰勒级数展开总和符号记法
    e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ e^{x} = 1+ x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots ex=1+x+2!x2+3!x3+ ∑ n = 0 ∞ x n n ! \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} n=0n!xn
    sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots sinx=x3!x3+5!x5 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} n=0(2n+1)!(1)nx2n+1
    cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots cosx=12!x2+4!x4 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} n=0(2n)!(1)nx2n
    1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ f o r   ∥ x ∥ < 1 \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad for\ \|x\|<1 1x1=1+x+x2+x3+for x<1 ∑ n = 0 ∞ x n \sum_{n=0}^{\infty} x^n n=0xn

    近似值

    你可以用泰勒级数的头几项来估计函数的近似值。

    这里是越来越准确的 cos(x) 近似值。红线是 cos(x),蓝线是近似值(自己画图来看看):

    From: 泰勒级数展开

    欧拉公式,复数域的成人礼

    但向量没有乘法(点积、叉积和实数乘法不一样),这就是复数和向量的区别。复数是对实数的扩展,所以要尽量兼容实数,必须要有加减乘除、乘方开方、对数等运算。

    可能你还会问,直接替换 x x x i θ i\theta iθ ,合理吗:

    在这里插入图片描述

    这里是理解欧拉公式的 关键 ,我们要意识到一点,欧拉公式是一种人为的选择,完全可以不这么去定义 e i θ e^{i\theta} eiθ 。但是,做了别的选择,会面临一个问题:会不会在现有的庞大复杂的数学体系中产生矛盾?

    打个比方吧,在实数中“除以0 ”是不合理的,假如你想让它变得合理,那么分分钟会导出矛盾:

    在这里插入图片描述
    欧拉公式并不会引发冲突,并且随着学习的深入,你会发现数学家已经证明了它是一种足够好的选择,这里就不赘述了。

    总结

    有了欧拉公式后,任何复数都可以表示为:

    z = a + b i = r e i θ z = a + bi = r e^{i\theta} z=a+bi=reiθ

    其中: r = ∣ z ∣ , θ = a r g ( z ) r=|z|,\quad \theta = arg(z) r=z,θ=arg(z)

    个人觉得 a + b i a+bi a+bi 只是复数的初始形态,而 r e i θ re^{i\theta} reiθ 才是复数的完成形态,因为它更具有启发性。

    比如计算乘法时:

    z 1 = r 1 e i θ 1 , z 2 = r 2 e i θ 2 z_1=r_1e^{i\theta_1},\quad z_2=r_2e^{i\theta_2} z1=r1eiθ1,z2=r2eiθ2

    那么有:

    z 1 × z 2 = r 1 r 2 e i ( θ 1 + θ 2 ) z_1 \times z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)} z1×z2=r1r2ei(θ1+θ2)

    z 1 ÷ z 2 = r 1 r 2 e i ( θ 1 − θ 2 ) z_1 \div z_2 = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)} z1÷z2=r2r1ei(θ1θ2)

    几何意义更加明显。并且扩展了乘方和对数运算:

    a i = e i ln ⁡ a a^i=e^{i\ln a} ai=eilna

    ln ⁡ i ⏟ 单 位 圆 上 幅 角 为 π 2 的 点 = ln ⁡ ( e i π 2 ) = i π 2 \ln \underbrace{i}_{单位圆上幅角为\frac{\pi}{2}的点}=\ln \left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right)=i\frac{\pi}{2} ln2π i=ln(ei2π)=i2π

    到此为止,基本上所有的初等运算都全了。更多高等的运算比如三角函数、积分、导数,也需要借助欧拉公式在复数上进行推广。

    欧拉公式中,如果取 θ = π \theta=\pi θ=π ,就得到了欧拉恒等式:

    e i π + 1 = 0 e^{i\pi}+1=0 eiπ+1=0

    这个公式也被誉为了上帝公式,包含了数学中最基本的 e 、 π 、 i 、 1 、 0 e 、\pi 、i 、1 、0 eπi10 ,仿佛一句诗,道尽了数学的美好。

    From: 欧拉公式,复数域的成人礼

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    这是我写一个与无线计算相关的小工具时而编写的代码,目的是为这完成矢量或复数的计算。同时,能完成矢量表达式:《模/相角》与《实数+i实数》这两种形式的自动转换。

     

    代码使用delphi 7.0 完成。对于接口部分,是为了导出到其它环境中使用。方式可能不是最好,但目的我找不到更好的方式,权宜用着。

     

      

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    万次阅读 2016-09-01 18:08:38
    无线传输距离计算 Pr(dBm) = Pt(dBm) - Ct(dB) + Gt(dB) - FL(dB) + Gr(dB) - Cr(dB) Pr:接受端灵敏度 Pt: 发送端功率 Cr: 接收端接头和电缆损耗 Ct: 发送端接头和电缆损耗 Gr: 接受端天线增益 Gt: 发送...
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