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  • 2020-10-27 23:29:38

    本文针对数学建模美赛中的复杂网络题,做了一些总结,具体涉及一些该题的注意事项。

    注意事项

    1. 定义点和边的意义
    2. 制定连接规则,删除孤立节点(代表影响很小的点),可以限制网络的大小,减小运算量,同时也可以克服PageRank的不足点
    3. 网络根据有向/无向,有环/无环,有/无标度,可以根据其性质,制定不同的算法,简化传统的算法
    4. 常用度量的指标:度,中心性,聚类系数,密度,中介性Degree, Centrality, Clustering coefficient,  Density,  Betweenness一定要将各种指标联系实际,分析每种情况的特性
    5. 结合现实考虑,即使简化了也要表明出来
    6. 除了重要性,还应该考虑节点的权威性(如时间)等现实因素
    7. 考虑节点的时间因素,现实中的一切都是因果的,比如引用模型中,只能引用比自己先发表的论文,而且此时满足偏序关系
    8. 注意关系的自反性、对称性、传递性
    9. 关系网络:相容关系、等价关系、偏序关系;对分析出来的关系做说明,即使没有什么用也可以说明,来体现对该网络性质的研究
    10. 对网络关系性质的分析也是一个重点,网络的性质和建立网络的规则有关,规则又是由实际的问题情况决定
    11. 网络的稳定性探究也是很重要的一点,可以分析参数对排序或者其他结果的影响,还可以考虑节点缺失对网络造成的影响
    12. 拥有关系和引用关系类似
    13. 对于性质类似的网络,对不同问题采用不同的量化方法,制定规则量化为适合模型的值,使得模型可以推广
    14. 对于一道题搭了几个网络,可以将这几个网络的性质进行对比分析,最好还能说出各自的用途
    15. 扩散可以用到矢量分析与场论的知识,用梯度、散度、旋度来分析
    16. 传染病模型也经常用在网络题里面
    17. 1959年,汉森首次提出了交通可达性的概念,这被定义为接受道路网络中节点之间相互作用的机会。
    18. 可以自己定义算法,把边的权重转换到点上,这样就可以使用修正的PageRank算法求解点的重要性

    使得初始时点的权重为1,但是每条边的传递权重不同,而其邻接边的权重相加仍然为1(参考2014C--25318

     

    编程和图表

    1. 对于外行难懂的复杂网络图,最好给出图的解释,各种东西代表什么
    2. 对自己定义的网络规则最好用图来展示一下
    3. 复杂网络考虑计算复杂度,特别是在有改进的情况下说明复杂度的改善
    4. 网络有很重要的一点就是测试其稳定性

    数据预处理

    1. 复杂网络的题也常常涉及大数据,对于空白数据的处理很重要,对于空缺太多的数据直接删掉
    2. 接着对剩余数据处理;或者通过聚类,被聚类到一起的点,空缺数值可以用该类中数值完整的值的均值和方差来生成;最常用的就是插值,不过没有什么亮点
    3. C/D题,数据支撑和合理性很重要
    4. 归一化、标准化、中心化特别重要,记得说明各自的意义

    ​​​​​​​过程

    1. 一开始建立各项指标,用数据对属性进行描述,为数据预处理提供依据。同时这些指标的分类不同,可能作用于底层网络或者顶层网络,可能是节点指标也可能是边的指标(可以给边加权,可以给点加权注意两种网络的适用算法不同)
    2. 接着设置算法,选择算法;结合实际的问题,分析其是否有什么不合理的地方,对于不合理的地方想一想改进的措施
    3. 必要时考虑一下计算复杂度,考虑是否改善,对复杂度改善后可以使用原算法来验证正确性;考虑是否有可以用来类比的模型
    4. 建立好静态的网络结构之后,接下来就是要确定规则(类似于仿真规则),使网络变成动态模型
    5. 网络的改善就是不停对规则进行更改
    6. 注意模型建立好之后先验证合理性,再应用​​​​​​​

    一般情况都用双层网络,既不会过于简单,也不会计算量太大

    相关性很强(同一地区、同一背景等)的各集团作为高一层的节点,底层的网络由各个单独的节点构成

    采用双层网络模型有两种思路:

    1、先手动根据节点的某种/某些相似性把一些满足相似性的节点规定为一个集团,各个集团作为上层网络的节点

    2、直接所有节点一视同仁,然后用节点划分的方法,对网络进行分割,分割后每个集团作为底层网络,然后更改边的类型,集团内保持不变,集团间建立新的连接方式

    灵敏性/稳健性分析

    1. 研究网络是否是无标度性。(有些结论已经有了,比如社交网络就是无标度,先了解背景,如果没有研究文献再自己计算)其实复杂网络的无标度特性与网络的鲁棒性分析具有密切的关系。无标度网络中幂律分布特性的存在极大地提高了高度数节点存在的可能性,因此,无标度网络同时显现出针对随机故障的鲁棒性和针对蓄意攻击的脆弱性。这种鲁棒且脆弱性对网络容错和抗攻击能力有很大影响。研究表明,无标度网络具有很强的容错性,但是对基于节点度值的选择性攻击而言,其抗攻击能力相当差,高度数节点的存在极大地削弱了网络的鲁棒性,一个恶意攻击者只需选择攻击网络很少的一部分高度数节点,就能使网络迅速瘫痪。
    2. 删除重要节点,看对网络的影响
    3. 改变指标值/删除指标,分析影响
    4. 用斜率来度量影响是一种非常常见的方法,和灵敏度分析中分析参数的影响类似,特别是有解析式的时候
    5. 网络一般分析结果都是
      从节点的变化分析
      从边的参数变化分析
      从这个网络的演变(传播过程)分析
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