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  • 在极分解的证明中使用过此定理,证明于此。 埃尔米特矩阵是指对称矩阵,实对称矩阵是其特例。 转载于:https://www.cnblogs.com/zhixingr/p/8750210.html...

    在极化分解的证明中使用过此定理,证明于此。

     埃尔米特矩阵是指复对称矩阵,实对称矩阵是其特例。

     

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/zhixingr/p/8750210.html

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  • 正交矩阵、正规矩阵和酉矩阵

    万次阅读 2012-03-31 10:09:30
    矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法:任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵,反过来所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵矩阵都是正规矩阵。 在系数矩阵中,所有的酉矩阵、埃尔
    
    

    正交矩阵、正规矩阵和酉矩阵

    数学中,正规矩阵 是与自己的共轭转置交换复系数方块矩阵,也就是说, 满足

    其中 是 的共轭转置

    如果 是实系数矩阵,那么条件简化为 其中 是 的转置矩阵

    矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法:任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵,反过来所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵。

    在复系数矩阵中,所有的酉矩阵埃尔米特矩阵斜埃尔米特矩阵都是正规的。同理,在实系数矩阵中,所有的正交矩阵对称矩阵斜对称矩阵都是正规的。两个正规矩阵的乘积也不一定是正规矩阵

     

    酉矩阵

     

      n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基,则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。

      一个简单的充分必要判别准则是:

      方阵U的共扼转置乘以U等于单位阵,则U是酉矩阵。即酉矩阵的逆矩阵与其伴随矩阵相等。

      酉方阵在量子力学中有着重要的应用。酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。

     

     

    若一n行n列的矩阵 U 满足

    U^* U = UU^* = I_n,

    其中I_n,为n阶单位矩阵U^* ,为U的共轭转置,则称其为幺正矩阵或酉矩阵。即,矩阵U为幺正矩阵,当且仅当其共轭转置U^* ,为其逆矩阵:

    U^{-1} = U^* ,;

    若幺正矩阵的元素都是实数,其即为正交矩阵。与正交阵G不会改变两个实向量的内积类似,

    langle Gx, Gy rangle = langle x, y rangle

    幺正矩阵U不改变两个复向量的内积:

    langle Ux, Uy rangle = langle x, y rangle

    数学中,正规矩阵 mathbf{A} 是与自己的共轭转置交换复系数方块矩阵,也就是说,mathbf{A} 满足

    mathbf{A}^* mathbf{A} = mathbf{A} mathbf{A}^*

    其中 mathbf{A}^*mathbf{A}共轭转置

    如果 mathbf{A}^* 是实系数矩阵,那么条件简化为 mathbf{A}^T mathbf{A} = mathbf{A} mathbf{A}^T 其中 mathbf{A}^Tmathbf{A}转置矩阵

    矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法:任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵,反过来所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵。

    在复系数矩阵中,所有的酉矩阵埃尔米特矩阵斜埃尔米特矩阵都是正规的。同理,在实系数矩阵中,所有的正交矩阵对称矩阵斜对称矩阵都是正规的。两个正规矩阵的乘积也不一定是正规矩阵

    酉矩阵


      n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基,则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。

      一个简单的充分必要判别准则是:

      方阵U的共扼转置乘以U等于单位阵,则U是酉矩阵。即酉矩阵的逆矩阵与其伴随矩阵相等。

      酉方阵在量子力学中有着重要的应用。酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。

    若一 n 行 n 列的矩阵 U 满足

    U^* U = UU^* = I_n\,

    其中I_n\,为n阶单位矩阵U^* \,U共轭转置,为酉矩阵或译幺正矩阵。即,矩阵U为酉矩阵,当且仅当其共轭转置U^* \,为其逆矩阵:

    U^{-1} = U^* \,\;

    若酉矩阵的元素都是实数,其即为正交矩阵。与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似,

    \langle Gx, Gy \rangle = \langle x, y \rangle

    幺正矩阵U不改变两个复向量的内积:

    \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle

    U \,为n阶方阵,则下列条件等价:

    1. U \, 是酉矩阵
    2. U^* \, 是酉矩阵
    3. U \,的列向量构成内积空间Cn上的一组正交基
    4. U \,的行向量构成内积空间Cn上的一组正交基

    酉矩阵的特征值都是绝对值为1的复数,即分布在复平面的单位圆上,因此酉矩阵行列式的值也为1。

    酉矩阵是正规矩阵,由谱定理知,幺正酉矩阵U可被分解为

    U = V\Sigma V^*\;

    其中V是酉矩阵,Σ是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。

    对任意 n,所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个

    性质

    • U 可逆
    • U − 1 = U *
    • |det(U)| = 1
    • U * 是酉矩阵
    • \|Ux\|_2=\|x\|_2

    正交变换最初来自于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.用质量加权坐标表示的分子内部运动的动能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,由力常数的数学表达式可以知道fij = fji因而矩阵为一个正交变换通过酉变换可以把矩阵变形成为对角矩阵的形式:。则有:它的每一个矩阵元都是分子所有质量加权坐标的线性组合,总的矩阵元的数量恰巧等于质量加权坐标的个数,这些矩阵元就被称作简正坐标,而这些变换中分子的势能不变,所以正交变换又称为酉变换.

    矩阵定义和相关符号

      以下是一个 4 × 3 矩阵:

      某矩阵 A 的第 i 行第 j 列,或 i,j位,通常记为 A[i,j] 或 Ai,j。在上述例子中 A[2,3]=7。
      在C语言中,亦以 A[j] 表达。(值得注意的是,与一般矩阵的算法不同,在C中,"行"和"列"都是从0开始算起的)
      此外 A = (aij),意为 A[i,j] = aij 对于所有 i 及 j,常见于数学著作中。
      一般上构作的矩阵
      给出一环 R,M(m,n, R) 是所有由 R 中元素排成的 m× n 矩阵的集合。若 m=n,则通常记以 M(n,R)。这些矩阵可加可乘 (请看下面),故 M(n,R) 本身是一个环,而此环与左 R Rn 的自同态环同构
      若 R 可置换,则 M(n, R) 为一带单位元的 R-代数。其上可以莱布尼茨公式定义行列式:一个矩阵可逆当且仅当其行列式在 R 内可逆。
      在百度百科内,除特别指出,一个矩阵多是实数矩阵或虚数矩阵。
      分块矩阵
      分块矩阵是指一个大矩阵分割成“矩阵的矩阵”。举例,以下的矩阵
      可分割成 4 个 2×2 的矩阵。
      此法可用于简化运算,简化数学证明,以及一些电脑应用如VLSI芯片设计等。
      特殊矩阵类别
      对称矩阵是相对其主对角线(由左上至右下)对称, 即是 ai,j=aj,i。
      埃尔米特矩阵(或自共轭矩阵)是相对其主对角线以复共轭方式对称, 即是 ai,j=a*j,i。
      特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对, 是 ai,j=ai+1,j+1。
      随机矩阵所有列都是概率向量, 用于马尔可夫链。
      矩阵运算 给出 m×n 矩阵 A 和 B,可定义它们的和 A + B 为一 m×n 矩阵,等 i,j 项为 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。举例:
      另类加法可见于矩阵加法.
      若给出一矩阵 A 及一数字 c,可定义标量积 cA,其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]。 例如
      这两种运算令 M(m, n, R) 成为一实数线性空间,维数是mn.
      若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等,则可定义这两个矩阵的乘积。如 A 是 m×n 矩阵和 B 是 n×p矩阵,它们是乘积 AB 是一个 m×p 矩阵,其中
      (AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] 对所有 i 及 j。
      例如
      此乘法有如下性质:
      (AB)C = A(BC) 对所有 k×m 矩阵 A, m×n 矩阵 B 及 n×p 矩阵 C ("结合律").
      (A + B)C = AC + BC 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 n×k 矩阵 C ("分配律")。
      C(A + B) = CA + CB 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 k×m 矩阵 C ("分配律")。
      要注意的是:可置换性不一定成立,即有矩阵 A 及 B 使得 AB ≠ BA。
      对其他特殊乘法,见矩阵乘法

    六、其他性质

      线性变换,转置。

      矩阵是线性变换的便利表达法,皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系:
      以 Rn 表示 n×1 矩阵(即长度为n的矢量)。对每个线性变换 f : Rn -> Rm 都存在唯一 m×n 矩阵 A 使得 f(x) = Ax 对所有 x ∈ Rn。 这矩阵 A "代表了" 线性变换 f。 今另有 k×m 矩阵 B 代表线性变换 g : Rm -> Rk,则矩阵积 BA 代表了线性变换 g o f。
      矩阵 A 代表的线性代数的映像的维数称为 A 的矩阵秩。矩阵秩亦是 A 的行(或列)生成空间的维数。
      m×n矩阵 A 的转置是由行列交换角式生成的 n×m 矩阵 Atr (亦纪作 AT 或 tA),即 Atr[i, j] = A[j, i] 对所有 i and j。若 A 代表某一线性变换则 Atr 表示其对偶算子。转置有以下特性:
      (A + B)tr = Atr + Btr,(AB)tr = BtrAtr。
      注记
      矩阵可看成二阶张量,因此张量可以认为是矩阵和向量的一种自然推广。

    七、矩阵卡

      矩阵卡是由深圳网域提出的一种保护个人帐号的系统,它是由一张表格组成,横排是A\B\C\D等英文字母,在竖排是1.2.3等阿拉伯数字,在登录时必须通过矩阵卡的验证才可以进入游戏..。现广泛应用于各游戏公司和银行等的账号保密防盗。

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  • 介绍一个非常有用的定理:任何方阵 \(A\) 与以 \(A\) 的特征值作为对角元素的一个三角矩阵酉相似, 以及总可以通过实正交相似将矩阵化为一个实的拟三角型并作了相应的推广. Schur 型   证明: 设 \(U_1=[x \...

    将学习到什么

    介绍一个非常有用的定理:任何复方阵 \(A\) 与以 \(A\) 的特征值作为对角元素的一个三角矩阵酉相似, 以及总可以通过实正交相似将矩阵化为一个实的拟三角型并作了相应的推广.

     


    Schur 型

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      证明:\(U_1=[x \quad u_2 \quad \cdots \quad u_n]\) 是任意一个第一列为 \(x\) 的酉矩阵,比方说利用 QR 分解中定理 1.1 中的方法构造 \(U_1=U(x,e_1)\), 这样就有
    \begin{align}
    U_1^*AU_1 &=U_1^*\begin{bmatrix} Ax & Au_2 & \cdots & Au_n \end{bmatrix}=U_1^*\begin{bmatrix} \lambda_1 x & Au_2 & \cdots & Au_n \end{bmatrix} \notag \\
    &=\begin{bmatrix} x^* \\ u_2^* \\ \vdots \\ u_n^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 x & Au_2 & \cdots & Au_n \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \lambda_1 x^*x & x^*Au_2 & \cdots & x^*A u_n \\ \lambda_1 u_2^*x & && \\ \vdots & & A_1 & \\ \lambda_1u_n^*x & & & \end{bmatrix} \notag \\
    &= \begin{bmatrix} \lambda_1 & \bigstar\\ 0 & A_1 \end{bmatrix} \notag
    \end{align}
    子矩阵 \(A_1=[u_i^*Au_j]_{i,j=2}^n \in M_{n-1}\) 的特征值是 \(\lambda_2,\cdots,\lambda_n\). 然后对矩阵 \(A_1\) 重复上述操作直至完成.
    如果 \(A\in M_n(\mathbb{R})\) 所有的特征值都是实的,那么上面算法中所有的特征向量以及酉矩阵都可以取为实的.

     

    推广

    上个定理有个推广:由复矩阵组成的一个交换族可以通过单独一个酉相似同时化简为上三角型.
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      证明: 交换族中的矩阵存在共有的特征向量,在上个定理证明构造酉矩阵的过程中,选取对每一个 \(A\in \mathcal{F}\) 共有的单位特征向量,它们用同样的方式缩减 \(\mathcal{F}\) 中的每一个矩阵. 相似性将交换性也保留下来,所以关于 \(U\) 的所有组成成分都可以对交换族的所有成员用同样的方式选取. 在这个定理中,我们用到的公共特征向量是与 \(\mathcal{F}\) 中每一个矩阵的某个特征值相伴的,所以或许不能预先指定矩阵特征值的排列次序.

     

    Schur 不等式

    如果 \(A=[a_{ij}]\in M_n\) 有特征值 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\), 且它与一个上三角矩阵 \(T=[t_{ij}]\in M_n\) 酉相似,\(T\) 的对角元素是 \(A\) 的特征值按照某种次序的排列. 由酉相似中定理 1.1 得 \(\sum_{i,j=1}^n \lvert t_{ij} \rvert ^2=\sum_{i,j=1}^n \lvert a_{ij} \rvert ^2\), 可得
    \begin{align}
    \sum_{i=1}^n \lvert \lambda_i \rvert ^2 = \sum_{i,j=1}^n \lvert a_{ij} \rvert ^2 - \sum_{i<j} \lvert t_{ij} \rvert ^2 \leqslant \sum_{i,j=1}^n \lvert a_{ij} \rvert ^2 = \mathrm{tr}\,(AA^*)
    \end{align}
    其中等式当且仅当 \(T\) 是对角矩阵成立.

     

    实 Schur 型

    如果一个实矩阵 \(A\) 有任何非实的特征值,就没有希望通过一个实的相似将它化简为上三角型 \(T\), 因为 \(T\) 的某个主对角元素(\(A\) 的特征值)就会不是实的. 然而,我们总可以通过实正交相似将 \(A\) 化为一个实的拟三角型,成对共轭的非实特征值与 \(2\times 2\) 分块相伴.
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      证明:(a) 中的缩减方法与前边介绍的类似,了解即可. (b) 中通过对构造出来的矩阵 \(S\) 作 QR 分解 \(S=QR\)\(Q^TAQ\) 即是上拟三角矩阵.

     

    上面的定理有一个用交换族来表达的形式:一个由实矩阵组成的交换族可以通过单独一个实相似或者实正交相似被同时简化成共同的上拟三角型. 正如先前的介绍一样,我们不能控制与上一个定理中的对角块相对应的特征值出现的次序.

     


    应该知道什么

    • 复矩阵可以通过酉相似化简为上三角型
    • 复矩阵组成的一个交换族可以通过单独一个酉相似同时化简为上三角型
    • 总可以通过实正交相似将 \(A\) 化为一个实的拟三角型
    • 一个由实矩阵组成的交换族可以通过单独一个实相似或者实正交相似被同时简化成共同的上拟三角型

    转载于:https://www.cnblogs.com/zhoukui/p/7782688.html

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  • 矩阵论(零):线性代数基础知识整理 为更具一般性,讨论复矩阵和复向量,...相似变换与相似对角化 复数的运算法则、复矩阵的共轭与共轭转置 复数的运算法则 复数的四则运算律与实数的完全...

    矩阵论专栏:专栏(文章按照顺序排序)

    线性代数是矩阵论的先修课程,本篇博客整理线性代数的基础理论知识,为矩阵论的学习做准备。限于篇幅,梳理的重点将在定理和结论上(只给出部分必要的定义),对最基础的概念(如矩阵及其基本运算等等)不清楚的童鞋可以参考矩阵的基本运算
    本文的讨论在一般的数域FF中进行,FF可以是有理数域、实数域、复数域等。这里不给出数域的严格定义,只要知道数域是复数域的一个对加减乘除运算封闭的子集,且有理数域是最小的数域即可。需要特别指出的是,我们所关心的数域都是复数域的子集,并不是什么抽象的代数数域。由于数域都是复数域的子集,在复数中定义的基本运算以及相应的运算律往往也适用于实数、有理数,例如取共轭,实数和有理数的共轭是其自身。数域的相关理论可参考数域维基


    本篇博客先介绍线性代数中一些基本的概念,然后重点围绕“秩”这一重要概念整理相关结论:


    复数的运算法则、复矩阵的共轭与共轭转置

    • 复数的基本运算法则
      复数的基本运算法则与实数的完全一致,且根据复数的定义z=a+biz=a+bi容易验证,现列举如下:(设a,b,cCa, b, c\in C
      • 加法交换律:a+b=b+aa+b=b+a
      • 加法结合律:a+(b+c)=(a+b)+ca+(b+c)=(a+b)+c
      • 乘法交换律:a×b=b×aa\times b=b\times a
      • 乘法结合律:a×(b×c)=(a×b)×ca\times (b\times c)=(a\times b)\times c
      • 乘法对加法的左分配律:(a+b)×c=a×c+b×c(a+b)\times c=a\times c+b\times c
      • 乘法对加法的右分配律:a×(b+c)=a×b+a×ca\times (b+c)=a\times b+a\times c
    • 复数的共轭、复数的模的运算律(设x,yCx,y\in C
      • x±y=x±y\overline{x\pm{}y}=\overline{x}\pm{}\overline{y}
      • xy=xˉyˉ\overline{xy}=\bar{x}\bar{y}
      • (xy)=xy\overline{(\frac{x}{y})}=\frac{\overline{x}}{\overline{y}}
      • xx=xx=x2x\overline{x}=\overline{x}x=|x|^2
      • xy=xy|xy|=|x||y|
    • 矩阵的共轭
      矩阵的共轭就是将原矩阵的每个元素取共轭,即若A=(aij)m×nA=(a_{ij})_{m\times{n}},则A=(aij)m×n\overline{A}=(\overline{a_{ij}})_{m\times{n}}。实矩阵的共轭是其本身。根据复数共轭的运算率,可得矩阵的共轭具有如下性质:
      • A=A\overline{\overline{A}}=A
      • A+B=A+B\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B}
      • kA=kˉA,kC\overline{kA}=\bar{k}\overline{A},k\in{C}
      • AB=AˉBˉ\overline{AB}=\bar{A}\bar{B}
    • 矩阵的共轭转置
      矩阵的共轭转置即先取共轭再转置或先转置再取共轭,即AH=(AT)=(A)TA^H=\overline{(A^T)}=\Bigl(\overline{A}\Bigr)^T。实矩阵的转置是复矩阵的共轭转置的特例。矩阵的共轭转置具有如下性质:
      • (AH)H=A(A^{H})^H=A
      • (AH)T=(AT)H(A^H)^T=(A^T)^H
      • AH=(A)H\overline{A^H}=(\overline A)^H
      • (A+B)H=AH+BH(A+B)^H=A^H+B^H
      • (kA)H=kAH,kC(kA)^H=\overline{k}A^H,k\in{C}
      • (AB)H=BHAH(AB)^H=B^HA^H
    • Hermite矩阵(共轭对称矩阵)
      若方阵A满足AH=AA^H=A,则称A是Hermite矩阵。实对称矩阵是一种Hermite矩阵。

    行列式的性质

    设F为一数域,给定正整数nn,在FF上可以构造出唯一的映射Fn×nFF^{n\times n}\rightarrow F满足行列式第一公理和行列式第二公理。行列式的具体表达式可以使用置换或逆序数写出,本文略去,具体可参考博客以及知乎
    A,BFn×nA,B\in F^{n\times n}kFk\in F为常数,根据置换或逆序数的性质可得行列式的如下性质:

    • det(AT)=det(A)det(A^T)=det(A)
    • det(AH)=det(A)det(A^H)=\overline{det(A)}
    • det(kA)=kndet(A)det(kA)=k^ndet(A)
    • 行列式的某一行(列)乘非零常数kFk\in F,则行列式的值变为原来的kk
    • 互换行列式的两行(或两列),则行列式的值取负
    • 行列式的某一行(列)加上另一行(列)的常数倍,行列式的值不变
    • det(AB)=det(A)det(B)det(AB)=det(A)det(B)
      证:见分块矩阵的初等变换。
    • 若A是共轭对称矩阵,则det(A)Rdet(A)\in R
      证:因为det(A)=det(AH)=det(A)det(A)=det(A^H)=\overline{det(A)},所以det(A)det(A)的虚部为零,det(A)Rdet(A)\in R

    AFm×m,BFn×nA\in F^{m\times m},B\in F^{n\times n},则:

    • 若A是对角矩阵或上(下)三角矩阵,则A的行列式是A的主对角元之积
    • 拉普拉斯展开式一:AOB=AOB=AB\begin{vmatrix} A&*\\O&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&O\\*&B\end{vmatrix}=|A||B|
    • 拉普拉斯展开式二:OAB=ABO=(1)mnAB\begin{vmatrix}O&A\\B&*\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}*&A\\B&O\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|

    方阵的迹及其性质

    • 定义
      方阵A的迹tr(A)tr(A)定义为A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n\times n}的主对角元之和,即tr(A)=i=1naiitr(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}
    • 性质
      • 设A、B均为n阶方阵,则tr(A±B)=tr(A)±tr(B)tr(A\pm{B)}=tr(A)\pm{}tr(B)
      • tr(cA)=ctr(A),cFtr(cA)=ctr(A),c\in{F}
      • tr(AT)=tr(A),tr(Aˉ)=tr(AH)=tr(A)tr(A^T)=tr(A),tr(\bar{A})=tr(A^H)=\overline{tr(A)}
        推论:tr(ATB)=tr(BTA)=i,jAijBijtr(A^TB)=tr(B^TA)=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij},其中A、B均为m×nm\times{n}矩阵
      • 设A为m×nm\times{n}矩阵,B为n×mn\times{m}矩阵,则tr(AB)=tr(BA)=i,jAijBjitr(AB)=tr(BA)=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ji}
      • 设A、B、C均为m×nm\times{n}矩阵,则tr((AB)TC)=tr(AT(BC))=i,jAijBijCijtr((A\odot{B})^TC)=tr(A^T(B\odot{C}))=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}C_{ij}式中\odot{}是逐元素乘法(Hadarmard积)
      • 设A、B、C均为m×nm\times{n}矩阵,BB的所有元素均非零,则tr((AB)TC)=tr(AT(CB))=ijAijCijBijtr((A\oslash B)^TC)=tr(A^T(C\oslash B))=\sum_{ij}\frac{A_{ij}C_{ij}}{B_{ij}}式中\oslash是逐元素除法

    逆矩阵

    • 定义
      AFn×nA\in F^{n\times n},若存在BFn×nB\in F^{n\times n}使得AB=BA=IAB=BA=I其中II是单位矩阵,则称A是可逆的,B是A的逆矩阵,记为B=A1B=A^{-1}
    • 定理:任意方阵的逆矩阵若存在则唯一
    • 伴随矩阵
      • n阶(n2)(n\geqslant{2})方阵A的伴随矩阵AA^*定义为:以AjiA_{ji}为(i,j)元素的n阶方阵,其中AijA_{ij}AA的(i,j)元素aija_{ij}的代数余子式
      • 对任意n阶(n2)(n\geqslant{2})方阵A,根据拉普拉斯展开式,有AA=AA=det(A)IAA^*=A^*A=det(A)I成立
    • 伴随矩阵的性质(设A,BFn×n,n2A,B\in F^{n\times n},n\geqslant 2
      • (kA)=kn1A,kF(kA)^*=k^{n-1}A^*,k\in{F}
      • A=An1|A^*|=|A|^{n-1}
      • (A)=An2A(A^*)^*=|A|^{n-2}A
      • (A)T=(AT)(A^*)^T=(A^T)^*
      • (A)H=(AH)(A^*)^H=(A^H)^*
      • (AB)=BA(AB)^*=B^*A^*
    • 方阵可逆的充要条件
      • (行列式判定)n阶方阵A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n\times{n}}可逆的充要条件是det(A)0det(A)\neq0,A的逆矩阵为A1={Adet(A)n2(a111)1×1n=1A^{-1}=\begin{cases}\frac{A^*}{det(A)}&n\geqslant{2}\\(a_{11}^{-1})_{1\times{1}}&n=1\end{cases}
      • n阶方阵A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n\times{n}}可逆的充要条件是存在BB使得AB=IAB=I
        证:
        必要性:若AA可逆,显然取B=A1B=A^{-1}就有AB=IAB=I
        充分性:若存在BB使得AB=IAB=I,则由det(AB)=det(A)det(B)=det(I)=1det(AB)=det(A)det(B)=det(I)=1det(A)0det(A)\neq 0(否则的话就有det(AB)=0det(AB)=0det(AB)=1det(AB)=1矛盾),故由行列式判定知AA可逆。(此时若用A1A^{-1}左乘AB=IAB=I,就得到B=A1B=A^{-1},即这里的BB只能是A1A^{-1}
        【注1】该结论可以看做是逆矩阵的定义的弱化。本来逆矩阵要求AB=IAB=IBA=IBA=I,但该结论说明只要AB=IAB=I就够了(同理可知如果满足BA=IBA=I也可推出AA可逆且B=A1B=A^{-1})。
        【注2】该结论的一个等价结论是“已知同阶方阵A,BA,B,若AB=IAB=I,则BA=IBA=I”。
    • 逆矩阵的性质
      A,BFn×nA,B\in F^{n\times n}
      • (A1)1=A(A^{-1})^{-1}=A
      • (AT)1=(A1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T
      • (AH)1=(A1)H(A^H)^{-1}=(A^{-1})^H
      • (kA)1=1kA1,0kF(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1},0\neq k\in F
      • (An)1=(A1)n(A^n)^{-1}=(A^{-1})^n
      • (A)1=(A1)=AA(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{A}{|A|}n2n\geqslant 2
      • (AB)1=B1A1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
    • 特殊矩阵的逆矩阵
      • 若对角矩阵Σ=[λ1λn]\Sigma=\begin{bmatrix}\lambda_1&\quad\\\quad&\ddots&\quad\\\quad&\quad&\lambda_n\end{bmatrix}可逆,则其逆矩阵为Σ1=[λ11λn1]\Sigma^{-1}=\begin{bmatrix}\lambda_1^{-1}&\quad\\\quad&\ddots&\quad\\\quad&\quad&\lambda_n^{-1}\end{bmatrix}
      • 若上三角方阵可逆,则其逆矩阵为上三角方阵
      • 若下三角方阵可逆,则其逆矩阵为下三角方阵

    关于逆矩阵的一个常用公式

    • 定理:设ACm×m,UCm×p,BCp×q,VCq×mA\in C^{m\times m},U\in C^{m\times p},B\in C^{p\times q},V\in C^{q\times m}。若AA可逆,则A+UBVA+UBV可逆的充要条件为Ip+BVA1UI_p+BVA^{-1}U可逆,且(A+UBV)1=A1A1U(Ip+BVA1U)1BVA1(A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I_p+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1}
      证明:(该定理的证明需要用到特征值的相关结论,若这块不熟悉可先跳过,特征值相关可参考矩阵论(零):线性代数基础知识整理(5)——特征值与相似
      AA可逆以及A+UBV=A(Im+A1UBV)A+UBV=A(I_m+A^{-1}UBV)知,A+UBVA+UBV可逆的充要条件为Im+A1UBVI_m+A^{-1}UBV可逆。令M=A1U,N=BVM=A^{-1}U,N=BV,由MNMNNMNM有相同的非零特征值可知,Im+MNI_m+MN可逆    \iff1-1不是MNMN的特征值    \iff1-1不是NMNM的特征值    \iffIp+NMI_p+NM可逆。这就证明了A+UBVA+UBV可逆的充要条件为Ip+BVA1UI_p+BVA^{-1}U可逆。利用逆矩阵的定义容易验证公式(A+UBV)1=A1A1U(I+BVA1U)1BVA1(A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1}的正确性。证毕。

    该定理的如下推论较常见:

    • 推论1(Woodbury恒等式):设ACm×m,UCm×n,BCn×n,VCn×mA\in C^{m\times m},U\in C^{m\times n},B\in C^{n\times n},V\in C^{n\times m}。若A,BA,B可逆,则A+UBVA+UBV可逆的充要条件为B1+VA1UB^{-1}+VA^{-1}U可逆,且(A+UBV)1=A1A1U(B1+VA1U)1VA1(A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(B^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}
      证:显然该定理是上面的定理当BB取可逆方阵时的特殊情形。由于BB可逆且In+BVA1U=B(B1+VA1U)I_n+BVA^{-1}U=B(B^{-1}+VA^{-1}U),故A+UBVA+UBV可逆的充要条件为B1+VA1UB^{-1}+VA^{-1}U可逆。(A+UBV)1=A1A1U(Ip+BVA1U)1(B1)1VA1=A1A1U(B1+VA1U)1VA1(A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I_p+BVA^{-1}U)^{-1}(B^{-1})^{-1}VA^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(B^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}
    • 推论2(Sherman-Morrison定理):设ACn×nA\in C^{n\times n}可逆,u,vCn,bCu,v\in C^n,b\in C,则A+buvTA+buv^T可逆的充要条件为1+bvTA1u01+bv^TA^{-1}u\neq 0,且(A+buvT)1=A1bA1uvTA11+bvTA1u(A+buv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{bA^{-1}uv^TA^{-1}}{1+bv^TA^{-1}u}
      证:显然该定理是上面的定理当BB1×11\times 1矩阵(即标量)时的特殊情形。证明略。
    • 推论3:设ACn×nA\in C^{n\times n}可逆,u,vCnu,v\in C^n,则A+uvTA+uv^T可逆的充要条件为1+vTA1u01+v^TA^{-1}u\neq 0,且(A+uvT)1=A1A1uvTA11+vTA1u(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1+v^TA^{-1}u}
      证明:该定理是推论2当bb取1时的特殊情形。证明略。

    【注】上述诸结论是在复数域下给出的,然而,可以看出既然在复数域下证明了这些结论,那么其他数域下结论也成立。上述推论2和推论3由于结论更弱,有更简便的证法,感兴趣的读者可自行研究。下面提供推论2的一个简单证法作为参考。

    • 推论2的简单证法
      证:
      充分性:若1+bvTA1u01+bv^TA^{-1}u\neq 0,验证(A+buvT)(A1bA1uvTA11+bvTA1u)=I(A+buv^T)(A^{-1}-\frac{bA^{-1}uv^TA^{-1}}{1+bv^TA^{-1}u})=I即可。
      必要性:注意由A+buvT=(I+buvTA1)AA+buv^T=(I+buv^TA^{-1})A可推出I+buvTA1I+buv^TA^{-1}可逆。假设1+bvTA1u=01+bv^TA^{-1}u=0,则(I+buvTA1)u=u+buvTA1u=uu=0(I+buv^TA^{-1})u=u+buv^TA^{-1}u=u-u=0。注意1+bvTA1u=01+bv^TA^{-1}u=0确保u0u\neq 0。这说明齐次线性方程组(I+buvTA1)x=0(I+buv^TA^{-1})x=0有非零解,这与I+buvTA1I+buv^TA^{-1}可逆是矛盾的。因此假设不成立,得证。

    初等变换与矩阵的秩

    行最简形和列最简形

    • 矩阵A称为行最简形,若A的所有非零行都在零行的上面,A的每个非零行的首非零元是1,其列号随行号严格单调递增,且其所在列的其他元素均为零。
    • 矩阵A称为列最简形,若A的所有非零列都在零列的左面,A的每个非零列的首非零元是1,其行号随列号严格单调递增,且其所在行的其他元素均为零。

    初等变换

    初等行(列)变换有三种:

    • 行(列)互换变换:互换矩阵的第i行(列)和第j行(列),iji\neq j
    • 行(列)倍乘变换:用非零常数kFk\in F乘矩阵的某一行(列)的每个元素
    • 行(列)倍加变换:将矩阵的第i行(列)的k倍(kF)(k\in{F})加到第j行(列),iji\neq j

    初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

    初等矩阵

    • 定义:对单位矩阵只作1次初等行(列)变换得到的矩阵称为初等矩阵,初等矩阵也有三种,对应分别为互换初等矩阵、倍乘初等矩阵、倍加初等矩阵
      【注】初等矩阵都是可逆的
    • 定理:设AFm×nA\in F^{m\times{n}},对A施行1次初等行变换,其结果等同于给A的左边乘上一个相应的m阶初等矩阵(对单位矩阵施行1次相同的初等行变换得到的矩阵);对A施行1次初等列变换,其结果等同于给A的右边乘上一个相应的n阶初等矩阵(对单位矩阵施行1次相同的初等列变换得到的矩阵)
    • 定理:(可逆矩阵与初等矩阵的关系)方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可以写成若干初等矩阵的积
    • 定理:任意矩阵A可通过有限次初等行变换化为唯一的一个行最简形,称为A的行最简形;也可通过有限次初等列变换化为唯一的一个列最简形,称为A的列最简形;即存在可逆矩阵P、Q使得PA是A的行最简形,AQ是A的列最简形

    行等价与列等价

    • 定义:若矩阵A可经过若干次初等行(列)变换得到矩阵B,则称A与B行(列)等价
    • 定义:若矩阵A可经过若干次初等变换得到矩阵B,则称A与B等价
    • 定理:A与B行等价的充要条件为存在可逆矩阵P使得PA=BPA=B;A与B列等价的充要条件为存在可逆矩阵Q使得A=BQA=BQ;A与B等价的充要条件为存在可逆矩阵P和Q使得PAQ=BPAQ=B
      证:由可逆矩阵的充要条件是其可被写成若干初等矩阵的积即证。

    矩阵的秩及其性质

    • 定义:矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为A的秩,记为r(A)或rank(A);当A没有非零子式(即A=OA=O)时,定义r(A)=0r(A)=0
    • 定理:r(AH)=r(AT)=r(A)r(A^H)=r(A^T)=r(A)
    • 定义:设AFm×nA\in F^{m\times n},若r(A)=nr(A)=n,则称A是列满秩矩阵;若r(A)=mr(A)=m,则称A是行满秩矩阵;若r(A)=m=nr(A)=m=n,则称A是满秩方阵,显然满秩方阵就是可逆矩阵
    • 定理:初等行(列)变换不改变矩阵的秩
    • 定理:r(PA)=r(AQ)=r(A)r(PA)=r(AQ)=r(A),其中P、Q是可逆矩阵
      证:可逆矩阵可写成若干初等矩阵的积,故PAPA相当于对AA做若干次初等行变换,AQAQ相当于对AA做若干次初等列变换,又因为初等变换不改变矩阵的秩,故结论成立。
    • 定义:设AFm×n,r(A)=rA\in F^{m\times{n}},r(A)=r,A的秩标准形(又称等价标准形、相抵标准形)定义为[IrOOO]\begin{bmatrix}I_r&O\\O&O\end{bmatrix}
    • 定理:(等价标准形定理/相抵标准形定理/秩标准形定理)任意秩为r的矩阵A可经有限次初等变换化为A的秩标准形;即存在可逆矩阵P、Q使得PAQ=[IrOOO]PAQ=\begin{bmatrix}I_r&O\\O&O\end{bmatrix}
    • 定理:列满秩矩阵可经有限次初等行变换化为它的秩标准形,行满秩矩阵可经有限次初等列变换化为它的秩标准形
    • 定理:同型矩阵AABB等价的充要条件为r(A)=r(B)=rr(A)=r(B)=r
      【注】所谓同型矩阵就是指两个矩阵的大小(或规格)一样,即若AAm×nm\times n的,则BB也是m×nm\times n的。
      证:
      充分性显然。
      必要性:由秩标准形定理,存在可逆矩阵P1,Q1,P2,Q2P_1,Q_1,P_2,Q_2使得P1AQ1=P2BQ2=[IrOOO]P_1AQ_1=P_2BQ_2=\begin{bmatrix}I_r&O\\O&O\end{bmatrix},故(P21P1)A(Q1Q21)=B(P_2^{-1}P_1)A(Q_1Q_2^{-1})=B,即A与B等价。
    • 可逆方阵A求逆的方法:对[IA]\begin{bmatrix}I&A\end{bmatrix}进行初等行变换把A化成单位矩阵,则单位矩阵II就被自然地化成了A1A^{-1}
      分析:设[IA]\begin{bmatrix}I&A\end{bmatrix}经上述变换得到的结果为[BI]\begin{bmatrix}B&I\end{bmatrix}。存在可逆矩阵P使得P[IA]=[BI]P\begin{bmatrix}I&A\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B&I\end{bmatrix},即P=BP=BPA=IPA=I,故B=P=A1B=P=A^{-1},即原本的单位矩阵II自然地化成了A1A^{-1}
    • 定理:r(BA)=r(AC)=r(A)r(BA)=r(AC)=r(A),其中B是列满秩矩阵,C是行满秩矩阵
      证:
      由B列满秩,C行满秩知,存在可逆矩阵P,Q使得PB=[IO],CQ=[IO]PB=\begin{bmatrix}I\\O\end{bmatrix},CQ=\begin{bmatrix}I&O\end{bmatrix},故r(BA)=r(P1[IO]A)=r([AO])=r(A)r(BA)=r(P^{-1}\begin{bmatrix}I\\O\end{bmatrix}A)=r(\begin{bmatrix}A\\O\end{bmatrix})=r(A)r(AC)=r(A[IO]Q1)=r([AO])=r(A)r(AC)=r(A\begin{bmatrix}I&O\end{bmatrix}Q^{-1})=r(\begin{bmatrix}A&O\end{bmatrix})=r(A)

    分块矩阵的初等变换

    分块矩阵是研究矩阵必不可少的工具,要想深入学习线性代数和矩阵论,一方面要学好线性空间与线性算子,另一方面要学好分块矩阵。一些较为深入的结论,有时从线性空间角度看更直观,有时从分块矩阵的角度看更直观。分块矩阵的基本运算请参考线性代数(四)-矩阵分块法
    分块矩阵的初等变换,又称广义初等变换,可以用来解决一些较为深入的秩的定理,还在相似、合同理论中有重要的应用。
    所谓分块矩阵的初等变换,实际上是对分块矩阵进行多次初等变换,使结果整体上来看相当于变换的是矩阵的子块。下面看一个例子:

    • 定理:设AFm×nA\in F^{m\times n}按行分块为A=[BC]A=\begin{bmatrix}B\\C\end{bmatrix},其中BFm1×n,CFm2×n,m1+m2=mB\in F^{m_1\times n},C\in F^{m_2\times n},m_1+m_2=m,矩阵DFm2×m1D\in F^{m_2\times m_1}。则可对AA进行若干次初等行变换(具体地,行倍加变换),使其变为[BC+DB]\begin{bmatrix}B\\C+DB\end{bmatrix}
      证:
      注意到C+DBC+DB的第i行为ci+diB=ci+j=1m1dijbjc_i+d_iB=c_i+\sum_{j=1}^{m_1}d_{ij}b_j,其中ci,dic_i,d_i分别是C,DC,D的第i行,bjb_jBB的第j行。于是只要依次将BB的第1行的di1d_{i1}倍、第2行的di2d_{i2}倍、……、第m1m_1行的dim1d_{im_1}倍加到CC的第i行,就将CC的第i行变成了C+DBC+DB的第i行。对i=1,2,...,m2i=1,2,...,m_2依次实施上述的一系列行倍加变换,就将AA变成了[BC+DB]\begin{bmatrix}B\\C+DB\end{bmatrix}

    上面这个例子中,通过多次的初等行倍加变换,将AA的子块CC变成了C+DBC+DB,即加上了AA的另一个子块BBDD倍(注意DD是乘在左边的),而这个“倍数”DD是没有限制的,这个DD无论怎么取,都能够找到上述一系列初等行倍加变换以完成子块CC的整体变换。这种“神奇”的技巧在理论分析时很有用,尤其是当你可以用这个技巧把矩阵的某个子块变成零矩阵时,能大大降低计算的难度。通过初等变换把一个矩阵的某个子块变成零矩阵的技术被称作分块消元法,俗称矩阵打洞术。(听说数学家华罗庚和他的学生就十分擅长这类技巧)

    我们已经知道对矩阵实施一次初等行变换与在其左边乘相应的初等矩阵的效果是等同的,如果进行一系列初等行变换,那么就相当于在左边乘一个可逆矩阵,那么上述例子中对应的可逆矩阵是什么呢?

    实际上,设对某矩阵AA进行共kk次初等行变换,得到矩阵GG,变换对应的初等矩阵分别为P1,P2,...,PkP_1,P_2,...,P_k,则PkPk1...P1A=GP_kP_{k-1}...P_1A=G,即对应在AA的左边乘了个可逆矩阵P=PkPk1...P1P=P_kP_{k-1}...P_1。而PkPk1...P1=PkPk1...P1IP_kP_{k-1}...P_1=P_kP_{k-1}...P_1I,所以可逆矩阵PP实际上就是对单位矩阵也实施同样的kk次初等行变换的结果。
    据此,上述例子中对应的可逆矩阵就应是[Em1ODEm2]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\D&E_{m_2}\end{bmatrix}(可以这样想:对[BC]\begin{bmatrix}B\\C\end{bmatrix}实施一系列初等行变换后得到的是[BC+DB]\begin{bmatrix}B\\C+DB\end{bmatrix},效果就是给CC加上了BBDD倍,那么对单位矩阵[Em1OOEm2]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\O&E_{m_2}\end{bmatrix}实施相同的初等行变换后,效果应该是相同的,即给[OEm2]\begin{bmatrix}O&E_{m_2}\end{bmatrix}加上[Em1O]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\end{bmatrix}DD倍,于是得到[Em1ODEm2]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\D&E_{m_2}\end{bmatrix})。验证一下,根据行列式的拉普拉斯展开式,[Em1ODEm2]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\D&E_{m_2}\end{bmatrix}确实是一个可逆矩阵,根据分块矩阵乘法,[Em1ODEm2][BC]=[BC+DB]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\D&E_{m_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B\\C\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B\\C+DB\end{bmatrix}确实成立。

    前面说过三种初等行(列)变换对应三种初等矩阵,类比一下,对分块矩阵实施三种分块行初等变换就对应于在原矩阵的左边乘三种分块初等矩阵,类似地,对分块矩阵实施三种分块列初等变换就对应于在原矩阵的右边乘三种分块初等矩阵

    三种分块初等矩阵是指(为简单起见,以下只给出了四分块的情形):
    分块倍加阵[Em1OCEm2]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\C&E_{m_2}\end{bmatrix}[Em1COEm2]\begin{bmatrix}E_{m_1}&C\\O&E_{m_2}\end{bmatrix}
    分块倍乘阵[COOE]\begin{bmatrix}C&O\\O&E\end{bmatrix}[EOOC]\begin{bmatrix}E&O\\O&C\end{bmatrix},其中CC可逆;
    分块互换阵[OEm2Em1O]\begin{bmatrix}O&E_{m_2}&\\E_{m_1}&O\end{bmatrix}
    【注】分块初等矩阵并不是初等矩阵,初等矩阵是单位矩阵进行一次初等变换得到的,而分块初等矩阵需要单位矩阵经过多次初等变换才能得到

    分块行初等变换:

    • 分块行倍加变换:[Em1OCEm2][Am1×nBm2×n]=[AB+CA]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\C&E_{m_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_{m_1\times n}\\B_{m_2\times n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A\\B+CA\end{bmatrix}
      (相当于给BB加上了AACC倍,注意“倍数”CC乘在了AA的左边)
    • 分块行倍乘变换:[COOE][AB]=[CAB]\begin{bmatrix}C&O\\O&E\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}CA\\B\end{bmatrix},其中CC可逆的
      (相当于给AA乘上了CC倍,注意“倍数”CC乘在了AA的左边)
    • 分块行互换变换:[OEm2Em1O][Am1×nBm2×n]=[BA]\begin{bmatrix}O&E_{m_2}&\\E_{m_1}&O\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_{m_1\times n}\\B_{m_2\times n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B\\A\end{bmatrix}
      (相当于把子块AABB交换了一下)

    分块列初等变换:

    • 分块列倍加变换:[An×m1Bn×m2][Em1OCEm2]=[A+BCB]\begin{bmatrix}A_{n\times m_1}&B_{n\times m_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\C&E_{m_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A+BC&B\end{bmatrix}
      (相当于给AA加上了BBCC倍,注意“倍数”CC乘在了BB的右边)
    • 分块列倍乘变换:[An×m1Bn×m2][COOEm2]=[ACB]\begin{bmatrix}A_{n\times m_1}&B_{n\times m_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}C&O\\O&E_{m_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}AC&B\end{bmatrix},其中CC可逆的
      (相当于给AA乘上了CC倍,注意“倍数”CC乘在了AA的右边)
    • 分块列互换变换:[An×m1Bn×m2][OEm2Em1O]=[BA]\begin{bmatrix}A_{n\times m_1}&B_{n\times m_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}O&E_{m_2}&\\E_{m_1}&O\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B&A\end{bmatrix}
      (相当于把子块AABB交换了一下)

    正如上面的定理指出的,一次分块倍加变换可通过多次一般的倍加变换完成。一次分块互换变换也可通过多次一般的互换变换完成。但是一次分块倍乘变换不一定可由多次一般的倍乘变换完成,而是在同一个子块内灵活地运用三种初等变换,关于这一点读者可自行研究。因为分块初等变换实际上不过是执行了多次一般的初等变换而已,所以分块初等变换均不改变矩阵的秩。此外,分块倍加变换不改变矩阵的行列式的值。

    矩阵打洞技巧

    这里列举几个常常碰到的矩阵打洞的情形,具体的用法请参考后文以及后面的博客。(以分块行初等变换为例)

    • [BAB]\begin{bmatrix}B\\AB\end{bmatrix}:给子块ABAB加上子块BBA-A倍,就能把ABAB消掉。[EOAE][BAB]=[BO]\begin{bmatrix}E&O\\-A&E\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B\\AB\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B\\O\end{bmatrix}
    • [AB]\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}:如果AA可逆,则无论BB是什么都能消掉BB[EOBA1E][AB]=[AO]\begin{bmatrix}E&O\\-BA^{-1}&E\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A\\O\end{bmatrix}

    暂时这两个,想到不一样的再补充~~

    方阵乘积的行列式公式
    • 定理:设A,BFn×nA,B\in F^{n\times n},则det(AB)=det(A)det(B)det(AB)=det(A)det(B)
      证:
      对分块矩阵做如下初等变换:[ABOOIn]行倍加[ABAOIn]列倍加[OABIn]\begin{bmatrix}AB&O\\O&I_n\end{bmatrix}\overset{\text{行倍加}}{\rightarrow}\begin{bmatrix}AB&A\\O&I_n\end{bmatrix}\overset{\text{列倍加}}{\rightarrow}\begin{bmatrix}O&A\\-B&I_n\end{bmatrix}因为倍加变换不改变行列式的值,所以应用拉普拉斯公式就有det(AB)=det[ABOOIn]=det[OABIn]=(1)n2det(A)det(B)=det(A)det(B)det(AB)=det\begin{bmatrix}AB&O\\O&I_n\end{bmatrix}=det\begin{bmatrix}O&A\\-B&I_n\end{bmatrix}\\=(-1)^{n^2}det(A)det(-B)=det(A)det(B)
    分块矩阵的逆

    分块初等矩阵的逆:

    • [Em1OCEm2]1=[Em1OCEm2]\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\C&E_{m_2}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}E_{m_1}&O\\-C&E_{m_2}\end{bmatrix}
    • [COOEm2]1=[C1OOEm2]\begin{bmatrix}C&O\\O&E_{m_2}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}C^{-1}&O\\O&E_{m_2}\end{bmatrix},其中CC可逆
    • [OEm2Em1O]1=[OEm1Em2O]\begin{bmatrix}O&E_{m_2}&\\E_{m_1}&O\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}O&E_{m_1}&\\E_{m_2}&O\end{bmatrix}

    分块矩阵的逆的一般公式由以下结论导出:

    • 定理:设AFm×mA\in F^{m\times m}可逆,DFn×nD\in F^{n\times n},则[ABCD]\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}可逆的充要条件为M=DCA1BM=D-CA^{-1}B可逆,且[ABCD]1=[A1+A1DM1CA1A1DM1M1CA1M1]\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}DM^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}DM^{-1}\\-M^{-1}CA^{-1}&M^{-1}\end{bmatrix}
      证:
      [ABCD]行倍加[ABODCA1B]列倍加[AOODCA1B]\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\overset{\text{行倍加}}{\rightarrow}\begin{bmatrix}A&B\\O&D-CA^{-1}B\end{bmatrix}\overset{\text{列倍加}}{\rightarrow}\begin{bmatrix}A&O\\O&D-CA^{-1}B\end{bmatrix}由倍加变换不改变行列式的值,得det[ABCD]=det[AOODCA1B]=det(A)det(M)det\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=det\begin{bmatrix}A&O\\O&D-CA^{-1}B\end{bmatrix}=det(A)det(M)det[ABCD]0det\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\neq 0的充要条件为det(M)0det(M)\neq 0,得证。
      将上述初等变换用分块初等矩阵写出就是[EmOCA1En][ABCD][EmA1BOEn]=[AOOM]\begin{bmatrix}E_{m}&O\\-CA^{-1}&E_{n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_{m}&-A^{-1}B\\O&E_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&O\\O&M\end{bmatrix}于是[ABCD]1=([EmOCA1En]1[AOOM][EmA1BOEn]1)1=[EmA1BOEn][A1OOM1][EmOCA1En]=[A1+A1BM1CA1A1BM1M1CA1M1]\begin{aligned}\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}^{-1}&=\left(\begin{bmatrix}E_{m}&O\\-CA^{-1}&E_{n}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}A&O\\O&M\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_{m}&-A^{-1}B\\O&E_{n}\end{bmatrix}^{-1}\right)^{-1}\\&=\begin{bmatrix}E_{m}&-A^{-1}B\\O&E_{n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A^{-1}&O\\O&M^{-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_{m}&O\\-CA^{-1}&E_{n}\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}BM^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BM^{-1}\\-M^{-1}CA^{-1}&M^{-1}\end{bmatrix}\end{aligned}可以使用逆矩阵的定义验证一下上式是否正确。

    同理可得

    • 定理:设DFn×nD\in F^{n\times n}可逆,AFm×mA\in F^{m\times m},则[ABCD]\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}可逆的充要条件为M=ABD1CM=A-BD^{-1}C可逆,且[ABCD]1=[M1M1BD1D1CM1D1+D1CM1BD1]\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}M^{-1}&-M^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}CM^{-1}&D^{-1}+D^{-1}CM^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}
    • 定理:设BFm×mB\in F^{m\times m}可逆,CFn×nC\in F^{n\times n},则[ABCD]\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}可逆的充要条件为M=CDB1AM=C-DB^{-1}A可逆,且[ABCD]1=[M1DB1M1B1+B1AM1DB1B1AM1]\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}-M^{-1}DB^{-1}&M^{-1}\\B^{-1}+B^{-1}AM^{-1}DB^{-1}&-B^{-1}AM^{-1}\end{bmatrix}
    • 定理:设CFn×nC\in F^{n\times n}可逆,BFm×mB\in F^{m\times m},则[ABCD]\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}可逆的充要条件为M=BAC1DM=B-AC^{-1}D可逆,且[ABCD]1=[C1DM1C1+C1DM1AC1M1M1AC1]\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}-C^{-1}DM^{-1}&C^{-1}+C^{-1}DM^{-1}AC^{-1}\\M^{-1}&-M^{-1}AC^{-1}\end{bmatrix}
    分块矩阵的秩

    分块矩阵是研究矩阵的秩的重要工具,从分块矩阵的视角证明秩的结论往往非常简便。这里先给出一些基本结论:

    • 定理:r[AOOB]=r[OABO]=r(A)+r(B)r\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}O&A\\B&O\end{bmatrix}=r(A)+r(B),其中A,B是任意大小的矩阵
      证:(以r[AOOB]=r(A)+r(B)r\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}=r(A)+r(B)为例)
      由矩阵的秩的定义,A,B中最高阶非零子式的阶数分别为r(A),r(B)r(A),r(B),分别设这两个子式为A1,B1|A_1|,|B_1|,则A1OOB1\begin{vmatrix}A_1&O\\O&B_1\end{vmatrix}[AOOB]\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}的一个非零子式,故它的秩至少为r(A)+r(B)。显然任意阶数大于r(A)+r(B)的子式也具有A2OOB2\begin{vmatrix}A_2&O\\O&B_2\end{vmatrix}的形式(其中A2A_2B2B_2的阶数有可能为零),且要么A2A_2的阶数大于r(A)r(A),要么B2B_2的阶数大于r(B)r(B),即det(A2)=0det(A_2)=0det(B2)=0det(B_2)=0,故由拉普拉斯展开式得A2OOB2=det(A2)det(B2)=0\begin{vmatrix}A_2&O\\O&B_2\end{vmatrix}=det(A_2)det(B_2)=0,这就证明了r[AOOB]=r(A)+r(B)r\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}=r(A)+r(B)
    • 定理:r[AOOB]r[AOB]r\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}\leqslant r\begin{bmatrix}A&O\\*&B\end{bmatrix}r[AOOB]r[AOB]r\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}\leqslant r\begin{bmatrix}A&*\\O&B\end{bmatrix}
      证:(以r[AOOB]r[AOB]r\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}\leqslant r\begin{bmatrix}A&O\\*&B\end{bmatrix}为例)
      由拉普拉斯展开式知,[AOOB]\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}的一个最高阶非零子式A1OOB1\begin{vmatrix}A_1&O\\O&B_1\end{vmatrix}