S平面横轴为复数实部，纵轴为虚部。

Z平面距离原点的距离为复数的模，与横轴的夹角为复数的辐角。

因此S平面的纵轴，即复数实部为0，因此，复数模为1，对应Z平面的半径为1的圆；此时虚部从负无穷到正无穷，对应辐角从正无穷到负无穷。

S平面的横轴，即复数虚部为0，对应复数辐角为0，对应Z平面的横轴。

连续系统的复频域分析





1
①
%求拉氏变换
syms t s
ft=sym('2*exp(-t)*heaviside(t)+5*exp(-3*t)*heaviside(t)');
Fs=laplace(ft)
结果
//
Fs =
 
2/(s + 1) + 5/(s + 3)
//
%画三维曲面图
syms x y s
s=x+i*y;
FFs=2/(s + 1) + 5/(s + 3);
FFss=abs(FFs);
ezmesh(FFss);
ezsurf(FFss);
colormap(hsv);
②
%求拉氏变换
syms t s
ft=sym('heaviside(t)-heaviside(t-2)');
Fs=laplace(ft)
//
Fs =
 
1/s - exp(-2*s)/s
//
%画三维曲面图
syms x y s
s=x+i*y;
FFs=1/s - exp(-2*s)/s;
FFss=abs(FFs);
ezmesh(FFss);
ezsurf(FFss);
colormap(hsv);

③
%求拉氏变换
syms t s
ft=sym('exp(-3*t)*sin(t)*heaviside(t)');
Fs=laplace(ft)
//
Fs =
 
1/((s + 3)^2 + 1)

//
%画三维曲面图
syms x y s
s=x+i*y;
FFs=1/((s + 3)^2 + 1);
FFss=abs(FFs);
ezmesh(FFss);
ezsurf(FFss);
colormap(hsv);
④
%求拉氏变换
syms t s
ft=sym('sin(pi*t)*(heaviside(t)-heaviside(t-2))');
Fs=laplace(ft)
//
Fs =
 
-(pi - pi*exp(2*s))/(pi^2*exp(2*s) + s^2*exp(2*s))
//
%画三维曲面图
syms x y s
s=x+i*y;
FFs=-(pi - pi*exp(2*s))/(pi^2*exp(2*s) + s^2*exp(2*s));
FFss=abs(FFs);
ezmesh(FFss);
ezsurf(FFss);
colormap(hsv);
2、
①
syms x y s
s=x+i*y;
FFs=(2*(s-3)*(s+3))/((s-5)*(s^2+16));
FFss=abs(FFs);
ezmesh(FFss);                %画出拉氏变换的网格曲面图
ezsurf(FFss);                 %画出带阴影效果的三维曲面图
colormap(hsv);               %设置图形中多条曲线的颜色顺序
Fs=sym('(2*(s-3)*(s+3))/((s-5)*(s^2+16))');%定义F(s)的表达式
ft=ilaplace(Fs)               %求F(s)的拉氏反变换式f(t)
//

ft =
 
(50*cos(4*t))/41 + (32*exp(5*t))/41 + (125*sin(4*t))/82
//
%做零极点图
num=[2 0 -18];%分子系数
den=[1 -5 16 -80];%分母系数
[z,p] = tf2zp(num,den);  %求零点z和极点p
zplane (z,p)                    %作出零极点图
②
syms x y s
s=x+i*y;
FFs=((s+1)*(s+3))/(s*(s+2)*(s+5));
FFss=abs(FFs);
ezmesh(FFss);                %画出拉氏变换的网格曲面图
ezsurf(FFss);                 %画出带阴影效果的三维曲面图
colormap(hsv);               %设置图形中多条曲线的颜色顺序
Fs=sym('((s+1)*(s+3))/(s*(s+2)*(s+5))');%定义F(s)的表达式
ft=ilaplace(Fs)               %求F(s)的拉氏反变换式f(t)
//
ft =
 
exp(-2*t)/6 + (8*exp(-5*t))/15 + 3/10
//
%做零极点图
num=[1 4 3];
den=[1 7 10 0];
[z,p] = tf2zp(num,den);  %求零点z和极点p
zplane (z,p)                    %作出零极点图

连续时间信号与系统的复频域分析
拉普拉斯变换的MATLAB实现
零极点分布图
复频域法1
复频域法2

拉普拉斯变换的MATLAB实现
(1) 已知信号$f(t)=\cos(2t)\sin(3t)u(t)$，试调用laplace函数计算其拉普拉斯变换。
(2) 已知某连续系统的系统函数如下，试计算拉普拉斯逆变换。
$H_1(s)=\frac{(s+1)(s+4)}{s(s+2)(s+3)}$，$H_2(s)=\frac{s^3+5s2+9s+7}{s^2+3s+2}$
syms t;
f = cos(2*t)*sin(3*t)*heaviside(t);
L = laplace(f);
display(L);
syms s;
H1 = ((s+1)*(s+4))/(s*(s+2)*(s+3));
h1 = ilaplace(H1);
display(h1);
H2 = (s^3+5*s^2+9*s+7)/(s^2+3*s+2);
h2 = ilaplace(H2);
display(h2);


实验结果：


零极点分布图
已知某连续系统的系统函数如下，试利用MATLAB绘出其零、极点分布图，并判断系统是否稳定。
$H(s)=\frac{s^2+1}{s^5+2s^4-3s^3+3s^2+3s+2}$
a = [1, 0, 1];
b = [1,2,-3,3,3,2];
sys = tf(a, b);
pzmap(sys);
pole = pole(sys);
zero = zero(sys);


实验结果：


复频域法1
已知系统传递函数为：$H(s)=\frac{s+5}{s2+5s+6}$，利用MATLAB复频域方法求解：
(1) 系统的单位冲激响应。
(2) 系统的单位阶跃响应。
(3) 输入$f(t)=e^{-t}u(t)$时的系统零状态响应。
a = [1, 5];
b = [1, 5, 6];
t = 0:0.01:10;
h = impulse(a, b, t);
subplot(2, 2, 1);
plot(t, h);
axis([0, 10, 0, 1.1]);
title('单位冲激响应');grid on;
syms s t;
H = (s+5)/(s^2+5*s+6);
F = laplace(heaviside(t));
Y = H*F;
y = ilaplace(Y);
subplot(2, 2, 2);
fplot(y*heaviside(t));
axis([0, 10, 0, 0.9]);
title('单位阶跃响应');
grid on;
f = exp(-t)*heaviside(t);
Fs = laplace(f);
Ys = H*Fs;
yts = ilaplace(Ys);
subplot(2, 2, [3, 4]);
fplot(yts*heaviside(t));
axis([0, 10, 0, 0.4]);
title('零状态响应');
grid on;


实验结果：


复频域法2
已知某连续系统的系统函数如下，其中输入信号的波形如图，利用MATLAB求解并绘出系统零状态响应。
$H(s)=\frac{1}{s^2+5s+4}$

syms t s;
f = (-t+1)*(heaviside(t)-heaviside(t-2))-(heaviside(t-2)-heaviside(t-3));
subplot(2, 1, 1);
fplot(f);
axis([0, 10, -1.5, 1.5]);
title('输入信号');
grid on;
subplot(2, 1, 2);
F = laplace(f);
H = 1/(s^2+5*s+4);
Y = F*H;
y = ilaplace(Y);
fplot(y);
axis([0, 10, -0.2, 0.1]);
title('零状态响应');
grid on;


实验结果：

拉普拉斯变换的定义

其中

上述变换称为拉普拉斯变换，简称拉氏变换。F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。

通常使用符号表示拉普拉斯变换，表示拉普拉斯反变换。

 

 

拉普拉斯变换的基本性质

线性性质



微分性质



积分性质



延迟性质



卷积定理



常用函数的拉氏变换









matlab计算验证：





 

 

拉普拉斯反变换的部分分式展开



先对分母多项式因式分解，求出D(s) = 0的根。

1.单根



求解得

将K值带入，求解得

matlab计算验证：



2.共轭复根



即

将K值带入，求解得

matlab计算验证：



3.重根



求解得，

matlab计算验证：



 

 

运算电路

基尔霍夫定律

进行拉氏变换

进行拉氏变换

电阻元件电压电流关系

进行拉氏变换

电感元件电压电流关系

进行拉氏变换

电容元件电压电流关系

进行拉氏变换

耦合电感互感关系

进行拉氏变换

RLC串联电路





进一步化简

在初始条件下，因此

 

 

应用拉普拉斯变换法分析线性电路

求S闭合后电感电流表达式



采用回路电流法求解



matlab建立方程组并求解，得



 

 

网络函数的极点、零点与冲激响应



s = zi时，H(s) = 0，所以zi称为网络函数的零点

s = pi时，H(s)趋近于无穷大，所以pi称为网络函数的极点

 

网络的冲激响应，，其中pi为极点

由上式可以看出

1.pi为负实根时，为衰减指数函数。pi为正实根时，为增长指数函数，|pi|越大衰减或增长速度越快。如果H(s)的极点都位于负实轴上，h(t)将随t的增大而衰减，这种电路是稳定的；如果有一个极点位于正实轴上，h(t)将随t的增大而增长，这种电路是不稳定的。

2.pi为共轭复根时，h(t)是以指数曲线为包络线的正弦函数，其实部的正或负确定增长或衰减的正弦项。

3.pi为虚根时，则是纯正弦项。



 

 

网络函数的极点、零点与频率响应

用jw来代替，

则

，

因此，已知极点、零点，就可以可容易分析频率响应