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  • 2021-04-20 05:03:33

    实验六 连续信号与系统复频域的MATLAB 实现

    一、实验目的

    1. 掌握连续时间信号拉普拉斯变换的MATLAB 实现方法;

    2. 掌握连续系统复频域分析的MATLAB 实现方法。

    二、实验原理

    1. 连续时间信号的拉普拉斯变换

    连续时间信号的拉普拉斯正变换和逆变换分别为:

    ?

    --=

    dt e

    t f s F st

    )()(

    ?∞

    +∞

    -=

    j j st

    ds e s F j

    t f σσ

    π)(21)(

    Matlab 的符号数学工具箱(Symbolic Math Toolbox )提供了能直接求解拉普拉斯变换和逆变换的符号运算函数laplace()和ilaplace ()。下面举例说明两函数的调用方法。

    (1)拉普拉斯变换

    例1.求以下函数的拉普拉斯变换。

    212(1)()()(2)

    ()()t

    t

    f t e

    u t f t te u t --==

    解:输入如下M 文件:

    syms t

    f1=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)'); F1=laplace(f1) %求f1(t)的拉普拉斯变换 f2=sym('t*exp(-t)*Heaviside(t)'); F2=laplace(f2) 运行后,可得如下结果:

    F1 = 1/(s+2) F2 = 1/(s+1)^2 (2)拉普拉斯逆变换

    例2.若系统的系统函数为1]Re[,2

    31)(2

    ->++=s s s s H 。求冲激响应)(t h 。

    解:输入如下M 文件:

    H=sym('1/(s^2+3*s+2)');

    h=ilaplace(H) %求拉普拉斯逆变换

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    1543eaf33c21810aefb424064fd0cc02.png

    连续时间系统的复频域分析

    音频提纲:(文字简略而枯燥,语音才更加详细生动哦)

    连续时间系统的复频域分析可以总结为如下三个方面的内容:

    a6bdf50f8abac378808072cdab76d6d3.png

    图1

    一、利用单边拉氏变换求解LTI系统的响应

    1、微分方程的求解

    描述连续时间LTI的是常系数的线性微分方程,也就是,由y(t)以及y(t)的各阶导数和x(t)以及x(t)的各阶导数,乘上相应的系数(常数),加加减减组合成的等式。这个时候,拉氏变换的时域微分特性就大有用武之地了。

    方程两边取单边LT,利用LT微分性质,就将时域的微分方程,转变成了s域的代数方程(由X(s)、Y(s)以及系统的初始状态y(0-)、y’(0-)......组成),这样,做一个简单的代数运算,就可以求出Y(s),再求反变换就得到y(t),这个y(t)是全响应。

    4b2284fc7580a04cecc3496996d616a7.png

    图2

    如果要分别求解零输入响应和零状态响应,也很容易。要在求解过程中就分开,看下题,把X(s)放在一堆,初始状态y(0-)、y’(0-)......等等放在一堆,那前者就是零状态响应的拉氏变换,后者就是零输入响应的拉氏变换。

    15a6a492ec674ef4141b0f6617d5b051.png

    图3

    2、电路系统的求解

    当然可以先列出电路系统的微分方程,然后利用s域求解方法求解之。但更简便的方法是,利用电阻、电容、电感的复频域等效模型替换,将电路转换为复频域的等效电路,直接列出代数方程。

    下图4是电阻、电容和电感的时域及复频域的等效模型。

    e54df7473436aad3b18c1bdbb54377dd.png

    图4

    这样,将电路系统转换成s域的等效模型之后,利用KVL或KCL列出方程(这个就是代数方程了),求出Y(s),再求拉氏反变换即可得出y(t)。

    二、利用系统函数分析系统特性

    1、系统函数

    系统函数H(s)是谁?

    H(s)与h(t)的关系:是单位冲激响应h(t)的拉氏变换;

    H(s)与输入/输出的关系:是Y(s)/X(s);

    H(s)与H(jw)的关系:H(jw)=H(s)|s=jw

    H(s)与微分方程的关系:

    H(s)与极零点图的关系:

    H(s)与系统框图、流图的关系:

    03aa2b0a72063e2d03aa60be59012208.png

    图5

    2、稳定性分析

    定义:输入有限,则输出一定有限(BIBO)

    从时域上看:h(t)满足绝对可积

    从复频域上看:

    收敛域:包含虚轴

    极点位置:对于因果系统,所有极点均位于左半平面

    劳斯——霍尔维茨准则(但是需要注意,只适用于判断连续时间因果系统的稳定性,而且必须计算到n+2行才有意义)

    3、系统函数极零点对滤波器特性的影响

    系统的幅频特性=各零点矢量长度之积/各极点矢量长度之积

    系统的相频特性=各零点矢量相角之和-各极点矢量相角之和

    极点对幅频特性的影响——极点增强增益。

    极点对频率选择性的影响是:使得w0处的增益增强。

    随着极点愈靠近虚轴(a减小),增强效果愈明显。如果是高阶极点,增强效果也愈明显。

    共轭极点的存在并不会显著改变w0附近的频率选择特性。

    零点对幅频特性的影响——零点抵消增益。

    零点对频率选择性的影响是:使得w0处的增益减小。

    随着零点愈靠近虚轴(a减小),减弱的效果愈明显。当零点在虚轴上时,使w0处增益为零。

    a6f7415266b9eae3e4344327a8f60722.png

    图6

    下面给一个典型了例题,根据极零点图判断系统的滤波特性。

    0c03b78acc61a039975c75fdca7ca0bc.png

    图7

    三、系统框图与实现

    梅森公式是桥梁,可以很方便地在系统函数和流图或框图之间转换。在自动控制、数字信号处理等课程中也有应用。因为内容比较简单,这里不再赘述。

    展开全文
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    第7章連续系统的复频域分析

    第七章 连续系统的复频域分析

    利用拉普拉氏变换得到了信号的复频域表达式,如果将系统的输入输出信号都用拉普拉斯变换表示,并将系统用其复频域模型描述,这就得到了连续系统的复频域分析方法。

    7.1 基本要求

    1.基本要求

    掌握传递函数的概念及求法;

    掌握在复频域中求解连续系统响应的方法;

    了解方框图的复频域分析方法;

    熟练系统稳定性的概念及判断方法;

    了解系统的时域、频域、复频域模型之间的相互转换。

    2.重点和难点

    传递函数的求法

    系统响应的复频域求解方法

    系统稳定性的判断方法

    7.2 知识要点

    1.传递函数

    传递函数又称为系统函数、传输函数、或转移函数,其定义为系统零状态响应和外加输入的单边拉普拉斯变换之比,即

    (7-1)

    或者系统单位冲激响应的单边拉普拉斯变换,即

    (7-2)

    以上两式给出了求解系统传递函数的方法。此外,如果已知系统的传输算子,可以由下式得到系统的传递函数,即

    (7-3)

    2.系统响应的复频域求解

    根据系统的传递函数,在求出了所有极点后,就可以将极点视为特征根,而采用与时域分析类似的方法求解得到系统的零输入响应。

    对于零状态响应,将系统的传递函数与输入信号的拉普拉斯变换相乘,即得到系统零状态响应的拉普拉斯变换,然后取拉普拉斯反变换即可得到系统的零状态响应。

    3.方框图的复频域模型

    实际分析时有两种层次的方框图,即用基本运算单元构成的方框图和用子系统的相互连接构成的方框图。

    (1)基本运算单元的复频域模型

    数乘器、加法器的复频域模型与时域模型相同,而微分器、积分器、延迟器的复频域模型分别为s、1/s、e-s?。复频域分析时,将方框图中所有的基本运算单元用复频域模型表示,所有信号用拉氏变换表示,然后列写方程,得到传递函数,再进行其它的分析(例如求解系统的响应)。

    (2)子系统的连接

    由若干子系统相互连接构成大系统,典型的连接方式有串联连接、并联连接和反馈连接。每个子系统都有各自的数学模型和传递函数。一旦知道各子系统的数学模型,再根据方框图分析各子系统的连接关系,即可求得大系统的传递函数,再进一步对大系统进行分析。

    4.连续系统的稳定性

    (1)稳定的概念

    在系统理论中,系统稳定的确切定义为,如果在任意有界输入作用下,系统的零状态响应也是有界的,则称该系统是有界输入有界输出意义下的稳定系统。

    (2)连续系统稳定的充要条件

    对一般的因果系统,稳定的充要条件是其单位冲激响应h(t)满足傅里叶变换的绝对可积条件,即

    (7-4)

    (3)连续系统稳定的判断方法

    如果系统函数所有极点都具有负实部,即都在s平面左半平面,则连续系统是稳定的。只要有一个极点在右半平面或者在虚轴上,则系统不稳定。

    实际分析时,有劳斯-霍尔维茨判据等方法。

    5.连续系统各种模型之间的相互转换

    (7-5)

    (7-6)

    需要说明的是,只有稳定的系统,其单位冲激响应才具有傅里叶变换,因而才能得到系统的频率特性。不稳定的系统是不具有频率特性的。但不稳定的系统同样存在传递函数、传输算子和单位冲激响应。因此,根据以上关系求系统的频率特性时,首先必须分析系统是否稳定,否则得到的H(j?)并不是系统的频率特性。

    7.3 补充例题

    例7-1 已知系统的微分方程为

    (1)求系统函数H(s)、频率特性H(j?);

    (2)求系统的单位冲激响应h(t);

    (3)设y(0-)=1,y?(0-)=0,f(t)=5etu(t),求系统的全响应y(t)。

    解 (1)由微分方程得到

    则系统函数为

    由于传递函数的极点为p1=3,p2=-2,其中p1位于[s]平面右半平面,所以系统不稳定,不存在频率特性。

    (2)因为

    对其取拉氏反变换得到

    (3)由传递函数的极点可设零输入响应为

    求导得到

    代入初始条件得到

    联解求得C1=0.4,C2=0.6,则

    输入信号的拉氏变换为

    则零状态响应的拉氏变换为

    取拉氏反变换得到

    则全响应为

    说明:本题是比较综合的一个题目,涉及到了本章的大多数内容,具体包括——

    (1)传递函数的定义及求法;

    (2)系统的时域、频域和复频域模型之间的相互转换;

    (3)系统零输入响应和零状态响应的复频域求解方法。

    例7-2 已知系统在输入作用下的零状态响应为,在输入作用下的零状态响应为。

    (1)求系统函数H(s);

    (2)求系统的单位冲激响应h(t)。

    解 (1)已知的yf2(t)的拉氏变换为

    根据系统的复频域分析方法又有

    其中根据拉氏

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    连续系统的复频域分析

    更新时间:2017/2/10 0:02:00  浏览量:891  手机版

    实验四:连续系统的复频域分析

    一、实验目的:

    1、掌握连续与离散时间系统的正反复频域与Z域变换

    2、掌握利用MATLAB进行零极点分析,进一步了解零极点对整个系统的影响 3、掌握simulink环境下系统建模与仿真以及系统求解。 二、实验内容:

    1、已知某连续系统的系统函数为:

    2s+5

    H(s)=32

    s+s+3s+2

    (1)利用 [r, p, k]=residue(num, den),求H(s)的极零点以及多项式系数; (2)画出系统的零极点分布图,判断系统得稳定性。 (3)求h(t),判断系统得稳定性。 2、已知某离散系统的系统函数为: H(z)?

    3z?5z2?10zz?3z?7z?5

    3

    3

    2

    (1)利用 [r, p, k]=residuez(num, den)求H(z)的极零点以及多项式系数; (2)画出零极点分布图,判断系统得稳定性。

    (3)求单位函数响应用impz(b, a),判断系统是否稳定; 3、已知线性时不变微分方程 y''(t?)

    ft3yt'?()y2t?()f3?t'()

    在Simulink环境下搭建起系统的仿真模型,并查看仿真结果曲线。 (1)写出传递函数H(s),绘出系统模拟框图;

    (2)当f(t)分别为f(t)??(t),f(t)?u(t),f(t)?e?tsin(t)u(t)的零状态响应;且当

    f(t)??(t)与课本P81的结果进行比较

    (3)方程的初值为y(0)?2, y'(0)??3,求全响应;

    4、已知某信号f(t)?sin(2?*10*t)?2cos(2?*100*t)?n(t),n(t)为正态噪声干扰且服从N(0,0.22)分布,对此信号进行采样,采样间隔为0.001s,之后对此信号进行Botterworth低通滤波,从信号中过滤10HZ的输出信号,试对系统进行建模与仿真。 三、实验数据处理与结果分析: 第一题:题1_1:

    >> num=[2,5]; den=[1,1,3,2];

    [r,p,k]=residue(num,den) r = -0.5750 - 0.7979i -0.5750 + 0.7979i

    1.1499 p =-0.1424 + 1.6661i -0.1424 - 1.6661i -0.7152 k =[]

    H(s)?

    -0.5750 -0.7979i-0.5750 ? 0.7979i1.1499

    ??

    s?0.1424 -1.6661is?0.1424 ? 1.6661is?0.7152

    P为极零点,r为多项式系数。 题1_2:

    r=[2,5];

    p=[1,1,3,2]; zplane(r,p)

    legend('零点','极点');

    分析:系统函数的极点位于s左半平面,所以系统稳定。

    题1_3:

    -0.5750 -0.7979i-0.5750 ? 0.7979i1.1499

    H(s)???

    s?0.1424 -1.6661is?0.1424 ? 1.6661is?0.7152

    图1_2

    则得:h

    (t)?(-0.5750 -0.7979i)e?0.1424 ? 1.6661?(-0.5750 ? 0.7979i)e?0.1424 ?1.6661i?1.1499e-0.7152

    图1_3

    分析:波形逐渐趋于稳定,则系统稳定。 第二题:题2_1:

    >> num=[3,-5,10]; den=[1,-3,7,-5]; [r,p,k]=residue(num,den) r = 0.5000 - 0.2500i

    0.5000 + 0.2500i 2.0000 p =1.0000 + 2.0000i

    1.0000 - 2.0000i

    1.0000 k =[]

    题2_2:

    r=[3,-5,10]; p=[1,-3,7,-5]; zplane(r,p)

    legend('零点','极点');

    分析:图中的虚线画的是单位圆,由图可知该系统的极点不在单位园内,故系统不稳定 题2_3:

    num=[3,-5,10]; den=[1,-3,7,-5]; h=impz(num,den); stem(h);

    title('h(n)')

    图2_2

    图2_3

    分析:由图可知,图形并不趋于0,故系统不稳定。 第三题:题3_1:

    H(s)?

    3s?24?2

    ??

    s2?3s?2s?2s?1

    并联模拟框图如图3_1_1:

    直接模拟框图如图3_1_2:

    并联模拟框图

    图3_1_1

    直接模拟框图

    图3_1_2

    题3_2:

    当f(t)分别为f(t)??(t),f(t)?u(t),f(t)?e?tsin(t)u(t)时,模拟框图如图3_2所示,输出波形如图3_a所示。 题3_3:

    当f(t)分别为f(t)??(t),f(t)?u(t),f(t)?e?tsin(t)u(t)时,方程的初值为y(0)?2,

    y'(0)??3,模拟框图如图3_3所示,输出波形如图3_b所示。

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