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  • 矩阵 相乘求导

    万次阅读 2017-11-18 21:27:42
    矩阵求导 属于 矩阵计算,应该查找 Matrix Calculus 的文献: http://www.psi.toronto.edu/matrix/intro.html#Intro http://www.psi.toronto.edu/matrix/calculus.html http://www.stanford.edu/~dattorro/...

    矩阵求导 属于 矩阵计算,应该查找 Matrix Calculus 的文献:

    http://www.psi.toronto.edu/matrix/intro.html#Intro

    http://www.psi.toronto.edu/matrix/calculus.html

    http://www.stanford.edu/~dattorro/matrixcalc.pdf

    http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM.d/IFEM.AppD.d/IFEM.AppD.pdf

    http://www4.ncsu.edu/~pfackler/MatCalc.pdf

    http://center.uvt.nl/staff/magnus/wip12.pdf

    在网上看到有人贴了如下求导公式:

    Y = A * X --> DY/DX = A'
    Y = X * A --> DY/DX = A
    Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B'
    Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A'

    于是把以前学过的矩阵求导部分整理一下:

    1. 矩阵Y对标量x求导:

    相当于每个元素求导数后转置一下,注意M×N矩阵求导后变成N×M了

    Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]

    2. 标量y对列向量X求导:

    注意与上面不同,这次括号内是求偏导,不转置,对N×1向量求导后还是N×1向量

    y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'

    3. 行向量Y'对列向量X求导:

    注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。

    将Y的每一列对X求偏导,将各列构成一个矩阵。

    重要结论:

    dX'/dX = I

    d(AX)'/dX = A'

    4. 列向量Y对行向量X’求导:

    转化为行向量Y’对列向量X的导数,然后转置。

    注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。

    dY/dX' = (dY'/dX)'

    5. 向量积对列向量X求导运算法则:

    注意与标量求导有点不同。

    d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)

    d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'

    重要结论:

    d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A

    d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A

    d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X

    6. 矩阵Y对列向量X求导:

    将Y对X的每一个分量求偏导,构成一个超向量。

    注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。

    7. 矩阵积对列向量求导法则:

    d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)

    d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)

    重要结论:

    d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A

    8. 标量y对矩阵X的导数:

    类似标量y对列向量X的导数,

    把y对每个X的元素求偏导,不用转置。

    dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ]

    重要结论:

    y = U'XV = ΣΣu(i)x(ij)v(j) 于是 dy/dX = [u(i)v(j)] = UV'

    y = U'X'XU 则 dy/dX = 2XUU'

    y = (XU-V)'(XU-V) 则 dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' - 2VU' + 0 = 2(XU-V)U'

    9. 矩阵Y对矩阵X的导数:

    将Y的每个元素对X求导,然后排在一起形成超级矩阵。

    10.乘积的导数

    d(f*g)/dx=(df'/dx)g+(dg/dx)f'

    结论

    d(x'Ax)=(d(x'')/dx)Ax+(d(Ax)/dx)(x'')=Ax+A'x (注意:''是表示两次转置)


    文章出处:http://blog.sina.com.cn/s/blog_51c4baac0100xuww.html

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  • 而softmax函数是一个多输入输出的函数,这里提到的求导是对经过softmax函数后进行交叉熵计算得到的损失函数求导。 sigmoid函数求导 sigmoid激活函数形式为: σ(x)=sigmoid(x)=11+e−x\sigma (x)=sigmoid(x)=\...

    sigmoid函数和tanh函数都是激活函数,接收一个输入,产生一个输出。这里的求导是对激活函数求导。而softmax函数是一个多输入多输出的激活函数,这里提到的求导是对经过softmax函数后进行交叉熵计算得到的损失函数求导。

    sigmoid函数及求导

    sigmoid激活函数形式为:
    σ(x)=sigmoid(x)=11+ex\sigma (x)=sigmoid(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}
    其导数为:
    dσ(x)dx=σ(x)(1σ(x))\frac{\text d \sigma(x)}{\text dx}=\sigma(x)(1-\sigma(x))

    tanh函数及求导

    tanh激活函数形式为:
    tanh(x)=exexex+extanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
    其导数为:
    dtanh(x)dx=1(tanh(x))2\frac{\text d tanh(x)}{\text dx}=1-(tanh(x))^2

    softmax函数及求导

    sigmoid函数以及tanh函数的求导都是比较简单的,而softmax函数的求导则稍显复杂。详细求导过程详见我的另一篇博客softmax函数及交叉熵函数求导,这里只是总结三种函数的求导。
    这里以神经网络多分类问题为例,假设输出层有nn个神经元,输出为z1,z2,...,znz_1,z_2,...,z_n,经过softmax函数后的输出为a1,a2,...,ana_1,a_2,...,a_naia_i的计算公式为:
    ai=ezij=1nezja_i=\frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^{n}{e^{z_j}}}
    假设真实标签为y1,y2,...,yny_1,y_2,...,y_n,由于是分类问题,因此yiy_i的取值为0或1,并且i=1nyi=1\sum_{i=1}^{n}y_i=1。则交叉熵损失函数为:
    L(a,y)=inyilnaiL(\bold{a},\bold{y})=-\sum_{i}^ny_i\ln a_i
    则其导数为:
    Lzi=aiyi\frac{\partial L}{\partial z_i}=a_i-y_i

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  • 在学习凸优化的时候对于复合函数二次求导,需要用对两个相乘函数进行求导,发现别人一句话的事情,到我这里10句话都不行,然后的然后,就开始查了相关的导数知识的学习。然后就有了这篇博客,...

    今日重大收获,每次到函数求导的时候就歇菜,但是呢函数求导还经常用。好吧,今天终于实现了自己的重大突破,哈哈开心一下。

    此篇博客要证明的是导数的四则运算法则之一的乘法。

    总结:欠的账总要还的,此时不还更待何时。

    在学习凸优化的时候对于复合函数二次求导,需要用对两个相乘函数进行求导,发现别人一句话的事情,到我这里10句话都不行,然后的然后,就开始查了相关的导数知识的学习。然后就有了这篇博客,不为别的,只为让自己的学习有质感。

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  • 本文始发于个人公众号:TechFlow,原创不易,求个关注 上一篇文章我们复习了函数求导的定义和一些常见函数的导数,今天这...我们先来看第一种情况:多个函数进行四则运算的导数。 函数四则运算求导法则 我们假设u...

    本文始发于个人公众号:TechFlow,原创不易,求个关注


    上一篇文章我们复习了函数求导的定义和一些常见函数的导数,今天这篇文章我们回顾一下复杂函数的求导方法。先强调一下,今天的文章很重要,想要看懂机器学习各种公式推导,想要能够自己推一推各种公式,函数求导是基础中的基础,在算法这个领域,它比积分要重要得多。

    我们先来看第一种情况:多个函数进行四则运算的导数。


    函数四则运算求导法则


    我们假设u=u(x)u=u(x)v=v(x)v=v(x)都在x点有导数,那么它们进行加减乘除四则运算之后的结果的导数有如下性质:

    [u(x)±v(x)]=u(x)±v(x)[u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x)[u(x)v(x)]=u(x)v(x)u(x)v(x)v2(x)(v(x)0) \begin{aligned} \left[u(x) \pm v(x)\right]'&= u'(x) \pm v'(x) \\ \left[u(x)v(x)\right]' &= u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \\ \left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] &= \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} (v(x) \neq 0) \end{aligned}

    我们来看一下证明过程,熟悉证明过程并不是炫技,除了能加深对公式的理解之外,更重要的是防止遗忘。即使以后真的不记得公式的细节了,也可以临时推导一下,这是学算法和数学很重要的技巧。

    我们先来看第一个,第一个很容易证明,我们直接套一下导数的公式即可:

    [u(x)±v(x)]=limΔx0[u(x+Δx)±v(x+Δx)][u(x)±v(x)]Δx=limΔx0u(x+Δx)Δx±limΔx0v(x+Δx)Δx=u(x)±v(x) \begin{aligned} \left[u(x) \pm v(x) \right]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\left[u(x+\Delta x) \pm v(x + \Delta x) \right] - \left[u(x) \pm v(x) \right] }{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{u(x+\Delta x)}{\Delta x} \pm \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x+\Delta x)}{\Delta x} \\ &= u'(x) \pm v'(x) \end{aligned}

    第二个式子同样套用公式:

    [u(x)v(x)]=limΔx0u(x+Δx)v(x+Δx)u(x)v(x)Δx=limΔx0u(x+Δx)v(x+Δx)u(x)v(x+Δx)+u(x)v(x+Δx)u(x)v(x)Δx=limΔx0(u(x+Δx)u(x))v(x+Δx)+u(x)(v(x+Δx)v(x))Δx=limΔx0v(x+Δx)u(x+Δx)u(x)Δx+limΔx0u(x)v(x+Δx)v(x)Δx=v(x+Δx)u(x)+u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x) \begin{aligned} \left[u(x)v(x)\right]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) v(x + \Delta x) - u(x) v(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) v(x + \Delta x) - u(x)v(x+ \Delta x) + u(x)v(x+\Delta x) - u(x) v(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x+\Delta x) - u(x))v(x+\Delta x) + u(x)(v(x+\Delta x) - v(x))}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}v(x+\Delta x) \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0}u(x)\frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x}\\ &=v(x+\Delta x)u'(x) + u(x)v'(x) \\ &=u(x)v'(x) + u'(x)v(x) \end{aligned}

    最后是第三个式子的推导,也并不复杂:

    [u(x)v(x)]=limΔx0u(x+Δx)v(x+Δx)u(x)v(x)Δx=limΔx0v(x)u(x+Δx)v(x+Δx)u(x)v(x+Δx)v(x)Δx=limΔx0=limΔx0v(x)u(x+Δx)v(x)u(x)+v(x)u(x)v(x+Δx)u(x)v(x+Δx)v(x)Δx=limΔx0u(x+Δx)u(x)Δxv(x)v(x+Δx)v(x)Δxu(x)v(x+Δx)v(x)=u(x)v(x)u(x)v(x)v2(x) \displaystyle \begin{aligned} \left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{v(x)u(x+\Delta x)-v(x+\Delta x)u(x)}{v(x+\Delta x)v(x)\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{v(x)u(x+\Delta x)-v(x)u(x)+v(x)u(x)-v(x+\Delta x)u(x)}{v(x+\Delta x)v(x)\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}v(x)-\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}u(x)}{v(x+\Delta x)v(x)}\\ &=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \end{aligned}


    反函数求导法则


    推导完了四则运算的求导法则,我们再来看一下反函数的求导法则。

    我们陷在了看结论,如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyI_y内单调、可导并且f(x)!=0f'(x)!=0,那么它的反函数y=f1(x)y=f^{-1}(x)在区间Ix={xx=f(y),yIy}I_x=\{x|x=f(y), y\in I_y\}内也可导,那么:

    [f1(x)]=1f(y)\left[f^{-1}(x)\right]'=\frac{1}{f'(y)}

    关于这个结论的证明很简单,因为x=f(y)x=f(y)在区间内单调、可导,所以它的反函数y=f1(x)y=f^{-1}(x)存在,并且也单调且连续。

    所以:

    Δy=f1(x+Δx)f1x0ΔyΔx=1ΔxΔy=1f(y) \begin{aligned} \Delta y=f^{-1}(x+\Delta x)-f^{-1}x \neq 0 \\ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}=\frac{1}{f'(y)} \end{aligned}

    由于y=f1(x)y=f^{-1}(x)连续,limΔx0Δy=0\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y=0,所以上式成立。

    我们来看一个例子:x=siny,y[π2,π2]x=\sin y, y\in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right],则y=arcsinxy=\arcsin x是它的反函数,根据上面的公式,我们可以得到:

    (arcsinx)=1(siny)=1cosy(\arcsin x)'=\frac{1}{(\sin y)'}=\frac{1}{\cos y}

    由于cosy=1sin2y=1x2\cos y= \sqrt{1-\sin^2 y} = \sqrt{1-x^2},代入上式可以得到:

    (arcsinx)=11x2(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

    利用同样的方法,我们还可以求出其他反三角函数的导数,由于这些并不太常用,所以我们就不多介绍了,感兴趣的同学可以自己利用导数的定义推导一下,我想应该也不难。


    复合函数求导


    这是最后一个法则,也是本篇文章的重点,因为经常用到。我们现在已经搞定了一些常见的函数,还搞定了常见函数加减乘除之后求导的结果,但是对于一些看起来比较复杂的函数,我们并不能一下写出它们的导数。

    比如说:sin(x2+3x)\sin (x^2+3x),比如ln(3x1)\ln (3x -1)等等,这些函数基本上都可以确定是连续并且可导的,但是我们一下子并不能写出它们的导数,而且要通过导数的定义推导也非常麻烦,对于这些导数就需要用到今天的重头戏,也就是复合函数的求导法则了。

    对于复合函数而言,拥有如下法则:如果函数u=g(x)u=g(x)在点x处可导,并且y=f(u)y=f(u)在点u=g(x)u=g(x)处也可导,那么复合函数y=f[g(x)]y=f[g(x)]在x处可导,它的导数为:

    dydx=f(u)g(x)=dydududx\frac{dy}{dx}=f'(u)\cdot g'(x)=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}

    如果复合函数的数量更多也是一样的,我们按照顺序依次相乘即可。由于公式的形式像是一根链条一样依次所以,复合函数求导法则也叫链式求导法则。在举例之前,我们先来证明一下。

    由于y=f(u)y=f(u)在点u处可导,因此

    limΔu0ΔyΔu=f(u)\displaystyle\lim_{\Delta u \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta u} = f'(u)

    因为f(u)f'(u)存在,所以我们将它变形为:

    ΔyΔu=f(u)+a\frac{\Delta y}{\Delta u} = f'(u) + a

    其中a是Δu0\Delta u \to 0时的无穷小,我们对两边同时乘上Δu\Delta u,可以得到:

    Δy=f(u)Δu+aΔu\Delta y = f'(u)\Delta u + a\cdot \Delta u

    上式当中Δu\Delta u和a都是无穷小,所以当Δu0\Delta u \to 0时,Δy=0\Delta y=0,我们对上式两边同时除以Δx\Delta x,得:

    ΔyΔx=f(u)ΔuΔx+aΔuΔx\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x} + a\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}

    于是:

    limΔx0ΔyΔx=limΔx0[f(u)ΔuΔx+aΔuΔx]\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}[f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+a\frac{\Delta u}{\Delta x}]

    又根据u=g(x)u=g(x)在点x处可导,所以有:

    limΔx0ΔuΔx=g(x)\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}=g'(x)

    我们代入,就可以得到:

    limΔx0ΔyΔx=f(u)ΔuΔx=f(u)g(x)\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(u)\cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}=f'(u)\cdot g'(x)

    其实我们都知道相比于公式的证明,公式的运用更加重要,下面我们就来看两个例子,来巩固一下这个链式求导法则:

    y=lnsin3xy=\ln \sin 3x,求dydx\frac{dy}{dx}

    我们令u=3x,g=sinuu=3x, g=\sin u

    所以:

    dydx=dydgdgdududx=1gcosu3=3cos3xsin3x=3cot3x \begin{aligned} \frac{dy}{dx}&=\frac{dy}{dg}\cdot \frac{dg}{du}\cdot\frac{du}{dx}\\ &=\frac{1}{g}\cdot \cos u\cdot 3\\ &=3\frac{\cos 3x}{\sin 3x} \\ &=3 \cot 3x \end{aligned}

    还记得我们之前推导线性回归时候用到的均方差的公式吗:

    f(θ)=1m(θXY)2f(\theta) = \frac{1}{m}(\theta X-Y)^2

    我们来试着学以致用,求一下f(θ)f(\theta)的导数,在机器学习当中,X和Y都是样本都是已知的参数,要求的是θ\theta,所以我们对θ\theta求导:

    f(θ)=1m2(θXY)X=2mXT(θXY) \begin{aligned} f'(\theta) &= \frac{1}{m}\cdot 2 \cdot (\theta X - Y)\cdot X \\ &=\frac{2}{m}X^T(\theta X - Y) \end{aligned}

    这个结果其实就是之前我们说的梯度,梯度本来就是由导数计算得到的,所以理解了链式求导的公式,可以再回过头看看之前线性回归和梯度推导的公式,相信会有更深刻的体会。

    今天的文章篇幅有些长,但是除去证明之后,剩下的内容并不多,重要的是它的应用范围很广,所以希望大家都能学会。

    如果觉得有所收获,请顺手扫码点个关注吧,你们的举手之劳对我来说很重要。

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