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  • 个变量与因变量相关性分析提问:用SPSS一个分析,有一个变量和N个自变量,先做相关性发现有很自变量与因变量有关,相关性也比较高.继续说,但是再做多重回归方程时候只有3个因变量入选,其他都被排除了,那在写...

    两个变量与因变量相关性分析

    提问:用SPSS一个分析,有一个因变量和N个自变量,先做相关性发现有很多自变量与因变量有关,相关性也比较高.

    继续说,但是再做多重回归方程的时候只有3个因变量入选,其他都被排除了,那在写文章的时候那些被排除了的有相关性的因变量该怎么处理呢?

    这说明这些变量之间存在自相关,模型选择的是代表程度更高且自变量相互之间相关性低的自变量来,以保证自变量变化时,只影响因变量,而不影响其它模型中的自变量.

    建议你对这些自变量做两两之间的相关性检验,以说明他们不适合同时存在于模型中.

    追问:这个是所谓的共线性的问题么?那我做自变量两两之间的相关性检验,什么样的结果才能显示他们不适合同时出现在模型中呢?

    追答:你进行自变量之间的相关性检验,结果就会出来他们之间的相关性很高。 至于具体到模型中,得看具体的情况了,我也没有经验值。但是建模的时候一定要选择合适的变量进入方式。

    最佳答案:

    1.多重共线性的概念:

    所谓多重共线性(Multicollinearity)是指线性回归模型中的解释变量之间由于存在精确相关关系或高度相关关系而使模型估计失真或难以估计准确。一般来说,由于经济数据的限制使得模型设计不当,导致设计矩阵中解释变量间存在普遍的相关关系。

    完全共线性的情况并不多见,一般出现的是在一定程度上的共线性,即近似共线性。

    2.多重共线性产生的原因   主要有3各方面:   (1)经济变量相关的共同趋势   (2)滞后变量的引入   (3)样本资料的限制 3多重共线性的解决方法

    多重共线性的处理方法一般有如下的几种

    1 增加样本容量,当线性重合是由于测量误差引起的以及他仅是偶然存在于原始样本,而不存在于总体时,通过增加样本容量可以减少或是避免线性重合,但是在现实的生活中,由于受到各种条件的限制增加样本容量有时又是不现实的

    2剔除一些不重要的解释变量,主要有向前法和后退法,逐步回归法.

    前进法的主要思想是变量由少到多的,每次增加一个,直至没有可引入的变量为止.具体做法是首先对一个因变量y和m个自变量分别建立回归方程,并分别计算这m个回归方程的F值,选其最大者,记为Fj,,给定显著性水平F,如果Fj>F,则变量引入该方程,再分别对(Xj,X1),(Xj,X2)…(Xj,Xm)做回归方程,并对他们进行F检验,选择最大的Fi值,如果Fi.>F,则该变量引入方程,重复上述步骤,直到没有变量引入为止.

    后退法,是先用m个因变量建立回归方程,然后在这m个变量中选择一个最不显著的变量将它从方程中剔除,对m个回归系数进行F检验,记所求得的最小的

    一个记为Fj,给定一个显著性的水平,如果Fj逐步回归法,前进法存在着这样的缺点当一个变量被引入方程时,这个变量就被保留在这个方程中了,当引入的变量导致其不显著时,它也不会被删除掉,后退法同样存在着这样的缺点,当一个变量被剔除时就永远的被排斥在方程以外了,而逐步回归法克除了两者的缺点.逐步回归的思想是有进有出.将变量一个一个的引入,每引入一个变量对后面的变量进行逐个检验,当变量由于后面变量的引入而不变的不显著时将其剔除,进行每一步都要进行显著性的检验,以保证每一个变量都是显著的.

    理论上上面的三种方法都是针对不相关的的数据而言的,在多重共线性很严重的情况下,结论 的可靠性受到影响,在一些经济模型中,要求一些很重要变量必须包含在里面,这时如果贸然的删除就不符合现实的经济意义.

    3.不相关的系数法.当变量之间存在着多重共线性最直接的表现就是各个解释变量之间的决定系数很大.考虑到两个变量之间的决定系数众所周知, 在多元线性回归模型中, 当各个解释变量( 如Xi 与Xj, i≠j) 之间存在着多重共线性时, 其最直接的表现就是各个解释变量之间的决定系数(ri2,j)很大.ri2,j 很大, 则意味着重要变量Xi( 在本文中, 为研究方便, 我们始终假定Xi 相对于Xj 而言, 是一重要变量, i≠j) 的变化能够说明Xj 的变化.如两者之间的r2,j=90%, 则我们以说, Xi 的变化说明了Xj 变化的90%,而剩余的( 1- ri2,j) 部分,则是由Xj 自身的变化说明的.由此决定, 在反映被解释变量(Y)与解释变量Xi,Xj 之间的关系时, 对于解释变量Xj 来说, 并不需要用全部的信息来解释被解释变量的问题, 而只需要用剩余的( 1- ri2,j) 部分的信息来解释就足够了,因为有ri2,j 部分的信息是与Xi 相重复的, 已由Xi 解释了.由此出发, 如果我们能够在保留重要变量(Xi) 全部信息的同时, 以重要变量(Xi) 为基础, 对其他的解释变量进行一定的线形变换, 使之转换为一个新变量, 如将Xj 转换为Xjj , 并且使得Xi 与新变量Xjj 之间的决定系数( ri2,jj) 降低到最小程度———如( 1- ri2,j) , 则就可以消除多重共线性.

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  • 随机变量的相关性: 很奇怪,我找了一下威廉.费勒的《概率论及其应用》并未找到随机变量相关的定义 当然,如很书籍一样,有相关系数的概念。针对两正态分布的随机变量: 抄段原话:使用相关系数,无非是...

    随机变量的独立性指代概率上无关,或条件概率等于绝对概率

     

    随机变量的相关性:

    很奇怪,我找了一下威廉.费勒的《概率论及其应用》并未找到随机变量相关的定义

    当然,如很多书籍一样,有相关系数的概念。针对两个正态分布的随机变量:

    抄一段原话:使用相关系数,无非是给协方差的书写来个花样罢了。很不幸,相关系数并没有相关这个词所暗示的涵义。

    事实上,甚至Y 是X 的函教时,相关系数p(X ,Y) 也可能为0。

    举例如下:

    X -2 -1 1 2
    P 1/4 1/4 1/4 1/4

    令Y=X^2,可得p(X ,Y)=0

     

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  • 1 分位数分位数回归分位数(quantile)是概率...换句话说,τ 分位数说明:如果我们按该随机变量的分布产生足够的样本点,那么在这些样本点的取值中,有 τ × 100% 小于该分位数;有 (1 - τ) × 100% 大于该...

    1 分位数和分位数回归

    分位数(quantile)是概率中的一个概念。对一个随机变量 X 和任意一个 0 到 1 之间的数 τ,如果 X 的取值 x 满足 prob(X ≤ x) = τ,那么 x 就是 X 的 τ 分位数。换句话说,τ 分位数说明:如果我们按该随机变量的分布产生足够多的样本点,那么在这些样本点的取值中,有 τ × 100% 个小于该分位数;有 (1 - τ) × 100% 个大于该分位数。最常见的分位数非中位数(median)莫属,它是 50% 分位数 —— 在 X 的分布中,有一半比中位数小,一半比中位数大。

    也许你仍觉着上面的定义抽象,但是你对下面的儿童成长图(child growth chart)一定不陌生。它给出了儿童(这个表中是男孩)在不同年龄时身高和体重的不同分位数(3%、10%、25%、50%、75%、90% 以及 97%)曲线,这有助于儿医和父母判断宝宝成长过程中发育是否正常。如果一个娃的体重落在 90% 分位线上,说明他的体重比同龄的 90% 的小伙伴要高;如果一个娃的身高或体重在表外了(off the chart),那多半就说明他营养不良或过剩了。分位数在生活中作用很大。

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    上面这个图说明两点:

    1. 随着年龄的增加,低分位数和高分位数之间的间隔越来越大;
    2. 年龄变量的单位增量对身高(或体重)分布的右侧(高分位数部分)的影响大于其对身高(或体重)分布的左侧(低分位数数的部分)。

    显然,这两点向我们展示了身高(或体重)与年龄在整个分布上的一些关系。试想一下,如果我们仅有年龄和平均身高(平均体重)的关系,我们是无法得到上面两点结论的。分位数定量描述了中心趋势和统计离散度,这有助于更我们全面地分析变量之间的关系。

    如何得到如上图中的分位数曲线呢?答案是分位数回归(quantile regression)

    分位数回归由 Koenker and Bassett, Jr. (1978) 提出,是一种回归分析。在传统回归中,我们构建回归模型由自变量求出因变量的条件期望;而在分位数回归中,我们构建回归模型由自变量求出因变量的条件分位数。

    近年来,分位数回归在计量经济学中的应用越来越广泛。利用分位数回归,Saastamoinen (2008) 研究了芬兰市场中的羊群效应;Alagidede and Panagiotidis (2012) 讨论了通货膨胀和股票收益率之间的关系;Badshah (2012) 分析了美股中恐慌指数(VIX)和收益率分布之间的不对称性。

    本文简要介绍分位数回归,并通过一个简单的例子说明它在量化投资中的潜在作用。

    2 最优化视角下求解均值和中位数

    让我们先把回归问题放在一边,仅仅考虑一个随机变量 Y 的一组样本 {y1, y2, …, yn}。在本节中,我们从求解最优化问题的角度说明如何求出样本均值和中位数。这对于后面介绍分位数回归很有帮助。

    我们都知道,这组样本的均值就是这 n 个数的平均值。从最优化的角度来说,该样本均值正是下列最小化残差平方和问题的解:

    6b9963629e6126b2b1f6a43021f1d2c7.png

    最优的 μ 应满足 df/dμ = 0。经过简单的推导不难看出,最小化残差平方和(即我们常说的最小二乘法)得到的解就是样本均值

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    与之类似的,最小化残差绝对值之和的解就是样本的中位数(这里的残差是样本点相对于中位数而言的),即这组样本的样本中位数 M 是如下最优化问题的解:

    c827216bb5c30666d9c278e73522359a.png

    对 M 求导得:

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    可见,df/dM 等于 0 的必要条件是 s = n - s,其中 s 是小于 M 的样本点的个数,而 n - s 是大于 M 的样本点的个数。这意味着 M 的取值满足在其两侧的样本点个数相同,即 M 是中位数。

    来看一个例子。

    假设随机变量 Y 的一组样本是 1 到 9 这 9 个数。按照上述最优化的思路,我们想找到 M 使得目标方程 f = Σi|yi - M| 最小。在 1 到 9 内遍历 M 并求出 f 对应的值有:

    997b9fbb027e7ce597d185e7de23e944.png

    可见,当 M = 5 时 f 的取值最小,因此这组样本的中位数为 5。现在我们已经知道如何从求解最优化问题的角度找到样本的均值和中位数(一个特殊的分位数 —— 50% 分位数),接下来就来看看如何将这个思路推广到分位数回归上。

    3 分位数回归

    推广上一节的最优化思路引出分位数回归十分简单,仅需要两步走。

    第一步:引入回归问题。在上一节中,为了简化讨论,我们考虑的是随机变量 Y 自身。在(线性)回归问题中,我们关注的是因变量 Y 和某些自变量 X 之间的(线性)关系。(这里,X 可以代表一个自变量或者多个自变量组成的向量。下文中为了简化讨论,假设自变量只有一个。)

    对于均值来说,我们将上一节中的标量 μ 变成自变量 X 的线性方程 μ(X, β) —— 其中 β 是 X 的系数,并将最优化问题转化为(在这个问题中,求解的对象是 X 的系数 β):

    02792e6eb19e0db3b72cea3c58dd8f71.png

    求解得到 β 后,线性方程 μ(X, β) 就是因变量 Y 的条件期望方程 E[Y|X]。我们熟悉的求解线性回归的最小二乘法正是如此找到 Y 和 X 的关系的,它得到的 Y 和 X 之间的关系正是 E[Y|X]。

    对于中位数也可以做相同的推演。令上一节中的标量 M 变为自变量的线性方程 ξ(X, β)。因此该最优化问题转化为:

    ab9f099f43ecb3073d32032a947c8893.png

    求解得到 β 后,线性方程 ξ(X, β) 就是因变量 Y 的条件中位数方程

    第二步:将中位数推广到一般分位数。在所有分位数中间,中位数 —— 又称 50% 分位数 —— 比较特殊是在于在求解最优化问题中,其两侧样本点的残差是等权重的。把上述最小化残差绝对值的问题推广到一般的 τ 分位数时,只需把 τ 分位数两侧的残差赋予不同的权重即可。

    具体的,对于 τ 分位数左侧样本点的残差,赋予它们 1 - τ 的权重;对于 τ 分位数右侧样本点的残差,赋予它们 τ 的权重。最优化问题由此变为(求解的对象为 τ 分位数对应的系数 β,记为 β_τ):

    b720b3625dc95cc9620a052c36fbf653.png

    使用线性规划求解这个最优化问题,得到最优解 β_τ 后,线性方程 ξ(X, β_τ) 就是因变量 Y 的条件 τ 分位数方程。对于不同的 τ 的取值(如 5%、10%、15%、……、85%、90%、95%),只需要对每个 τ 分别求解上述最优化问题,就可以得到 Y 的不同条件 τ 分位数方程。

    值得一提的是,如果我们仅有一个自变量 X,并用它来对 Y 进行分位数回归,那么任何一个 τ 分位数回归方程都是一条直线(有截距项、斜率为 β_τ)。但是在第一节的儿童成长图中,身高(体重)的条件 τ 分位数方程随年龄的变化明显不是直线。这是因为在构建成长曲线时,通常对年龄先进行了某种非线性变化以更好的反应它和儿童的成长的关系。从分位数回归的角度,我们做的依然是线性回归,只不过这时自变量已经从身高变成了身高的某个非线性函数而已。

    在下文的第 4、5 节我们考虑两个例子,在这两个例子中我们都不会对自变量进行任何变换。因此这两个例子中的条件 τ 分位数方程都是线性的。

    4 收入和食物消费支出的关系

    先看一个生活中的例子。Engel (1857) 研究了家庭收入和家庭食物消费支出之间的关系。对该数据同时进行最小二乘法回归(得到条件均值的方程)和分位数回归(得到 10 个条件 τ 分位数方程,τ 的取值为 5%,15%,……,95%)如下图所示。

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    从这个图中可以观察到以下结论:

    1. 食物消费支出随收入而增加;
    2. 食物消费的分布随收入增加变得越来越宽(高分位数和低分位数之间的间隔越来越大);
    3. 最小二乘法回归对于低收入对应的观测点的拟合度较差;从图中可见,最小二乘法的红色曲线处于很多低收入观测点之上。

    上述分位数回归的结果说明,在食物消费支出分布的不同位置(不同分位数),家庭收入对其的影响是不同的。下图展示了这一点。图中横坐标为食物消费支出的分位数,纵坐标为不同分位数回归的系数 β_τ,它表示一个单位的家庭收入变化带来多大的食物消费支出。对于最小二乘法(红色)来说,它假设收入对食物消费支出的影响在整个分布上是恒定的;但是分位数回归(黑色)正好得到不同的结论。显然,分位数回归提供了收入和食物支出之间更为丰富的关系。

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    5 分位数回归在量化投资中的应用一例

    最后通过一个简单的例子介绍分位数回归在量化投资中的应用。

    具体的,我们关注风险和收益之间的关系。为此,需要给风险和收益各找一个代理指标。以上证指数(2005 年 1 月 1 日至 2017 年 7 月 31 日)为例,风险的代理指标为每周已实现波动率(日频收益率的平方和)的变化率,记为 ΔVol;收益的代理指标为周收益率的绝对值,记为 |Rm|。对该数据同时进行最小二乘法回归和分位数回归如下图所示。

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    可见,对于 ΔVol 的不同分位数,|Rm| 对其的影响不同。下图是 τ 和系数 β_τ 的关系。当 ΔVol 处于低分位数通常意味着市场一般比较平稳,因此周波动率也比较稳定、ΔVol 较小。这时收益率的单位变化对 ΔVol 的影响为负,有助于进一步维持平稳的市场状态。当 ΔVol 处于高分位数通常意味着市场一般比较震荡,因此周波动率变化剧烈、ΔVol 较大。这时收益率的单位变化对 ΔVol 的影响为正,即它会进一步加剧市场的波动。

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    6 结语

    对于金融投资中的很多变量,比如收益率,我们往往更关心它在分布尾部的特性。在这方面,分位数回归是一个有力的工具,它让我们研究收益率和不同的解释变量在全分布上的相关性。

    当变量的分布明显偏离正态分布或者存在异常值(outliers)时,传统的最小二乘法回归就不那么有效了。然而分位数回归不受这些弊端的影响。此外,分位数回归满足单调变换不变性(invariant to monotonic transformations)。对于随机变量 Y 和它的单调变换 h(Y) —— 比如 log(Y),h(Y) 的分位数正好是 h(Q_τ(Y)),即对 Y 的分位数 Q_τ(Y) 直接做同样的变换;而均值并不满足类似的性质,即 E[h(Y)] ≠ h(E[Y])。投资品收益率的分布以不满足正态性并存在很多异常值而闻名,因此上述优点使分位数回归在分析收益率时有着广阔的前景。

    参考文献

    • Alagidede, P. and T. Panagiotidis (2012). Stock returns and Inflation: Evidence from Quantile Regressions. Discussion Paper Series, Department of Economics, University of Macedonia.
    • Badshah, I. U. (2012). Quantile regression analysis of the asymmetric return-volatility relation. Journal of Futures Markets, Vol. 33(3), 235 – 265.
    • Engel, E. (1857). Die Produktions- und Konsumptionverhaltnisse des Konigreichs Sachsen. Reprinted in “Die Lebenkosten Belgischer Arbeiter-Familien Fruher und Jetzt.” International Statistical Institute Bulletin. Vol. 9, 1 – 125.
    • Koenker, R. and G. Bassett, Jr. (1978). Regression Quantiles. Econometrica, Vol. 46(1), 33 – 50.
    • Saastamoinen, J. (2008). Quantile regression analysis of dispersion of stock returns – evidence of herding? Working paper, Joensuun yliopisto, Taloustieteet.

    免责声明:文章内容不可视为投资意见。市场有风险,入市需谨慎。

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  • 协方差为什么能表示两随机变量的相关性

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    在machine learning中有时候要测评两特征之间联系程度,举ml中一简单例子,现在要预测房子价格,告诉了房子面积X花园面积Y这两特征,我们要测评一下XY之间相关程度,即房子面积花园...
    协方差为什么能表示两个随机变量的相关性?


    作者:Hg
    时间:2015.8

    1.引言

    作为machine learning的初学者,看到如此多的问题都能够用数学简单的进行解决,再次感觉到数学的魅力。数学不仅仅是枯燥的考试题,而是人类理解世界的一种重要的工具。所以同样在搞ml的筒子们,我认为搞好数学是关键。在machine learning中有时候要测两个特征之间的联系的程度,举ml中一个简单的例子,现在要预测房子的价格,告诉了房子的面积X和花园的面积Y这两个特征,我们要测评一下X和Y之间的相关程度,即房子的面积和花园的面积是否有联系或者相关。那么这里就会用到了协方差,即Cov(X,Y),它表示了XY之间的相关程度。下面先让我们了解一下关于协方差的基本知识。

    2.什么是协方差和相关系数

    协方差的定义为:



    如果两个变量的协方差为正, 那么两个变量的变化趋势一致,即一个变量如果变大,那么这个变量也会变大。如果协方差为负,那么两个变量的变化趋势想反。如果为0,说明两个变量不相关。

    协方差虽然在一定程度上能够反映了X和Y相关间的联系,但它还是受X与Y量纲的影响。所以再计算X与Y的协方差之前,先对X与Y进行标准化变换(简单的说一下量纲,如果X的取值以万为单位,而Y的取值在0~1之间,那么Y微小的变化会引起X重大的变化,相反X的大变化使Y的变化微乎其微,所以我们要对其进行处理,而处理的方法就是对其进行标准化),即:



    由协方差的性质:


    且Cov(x*,y*)是无量纲的量,这样就消除了量纲对相关性的影响,由此得到了相关系数的概念。
    定义:(X, Y)是二维随机变量,D(X)> 0和 D(Y)> 0分表表示X和Y的方差, 那么上述的Cov(x*, y*)就表示随机变量X与Y的相关系数,记为ρXY。基本上,所有的相关教材上都讲到了这里就完事了,很多人对于相关系数或协方差为什么能够表示两个变量之间的的相关性也会一头雾水,下边我会从另外一个角度讲述协方差之所以可以表示相关性的原因。

    3.从向量的角度出发

    我们对随机变量X和Y随机取n个值,可以得到,又有它表示xi的平均数,所以我们可以得到差向量

    差向量的模可以表示为:



    差向量的方向反映了一个向量的波动方向。下面考虑两个差向量:

    从向量的角度进行考虑,可以用角度衡量两个向量的相关性,如果两个向量角度为90度,说明两个向量不相关(即变化趋势一点不同),如果两个向量角度为0度,说明两个向量极度相关,变化趋势一致。所以有:

    因此,求得:


    所以可以得出 为变量X,Y去量纲的相关系数
    为变量X,Y的协方差,也为未去量纲的相关系数。



    有什么错误之处,还请大家进行批评指正!

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  • 列联表是观测数据按两个或更属性(定性变量)进行交叉分类时所列出的频数表。列联表分析常用来判断同一个...χ2独立性检验可以检验列联表中行变量与列变量之间的相关性。根据显著性水平α自由度(r-1)(c-1)查...
  • 回归关系是一种确定关系,通过一个或几个事物取值能够得到另一个事物取值,这是通过回归方程(函数方程)实现。相关关系不是确定关系,当一个或几个事物取值发生变化时,与它(它们)有联系事物取值也会...
  • 导读:相关性分析是指对多个具备相关关系的变量进行分析,从而衡量变量相关程度或密切程度。相关性可以应用到所有数据分析过程中,任何事物之间都是存在一定联系。相关性用R(相关系数)表示,R取值范围是[-...

空空如也

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多个变量和一个变量的相关性