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  • 2021-12-01 20:11:07

    1. 解析函数

    1.1. 对区域 D D D 的「解析函数」是什么意思?

    f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 有定义,当 z o ∈ D z_o \in D zoD 时,若存在一个 z o z_o zo 的一个邻域,使得 f ( z ) f(z) f(z) 在邻域内处处可导,则 z o z_o zo f ( z ) f(z) f(z) 的解析点。当 D D D 上每一个点都解析时,则称 f ( z ) f(z) f(z) D D D 的解析函数。

    可以看到,解析和可导具有一定的等价性,但他们的意义不同,解析是指某一邻域可导,而可导只是某一点可导1

    所以从上述定义出发,我们可以得到「函数解析」的充要条件:

    对于 f ( z ) = u ( x , y ) + j y ( x , y ) f(z) = u(x, y) + j y(x, y) f(z)=u(x,y)+jy(x,y) 在区域 D D D 内解析的充要条件为: u ( x , y ) u(x, y) u(x,y) v ( x , y ) v(x, y) v(x,y) 在区域 D D D 内可微;在 D D D 内满足等式 C-R方程。

    所以,我们可以通过CR方程,得到下面方程
    f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + j ∂ v ∂ x = ∂ v ∂ y − j ∂ u ∂ y f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + j \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - j \frac{\partial u}{\partial y} f(z)=xu+jxv=yvjyu

    为了更好理解这个概念,我们先从函数 f ( z ) f(z) f(z) 对于某一点可导开始说起

    例1

    函数 f ( z ) = x y + j y f(z) = xy + j y f(z)=xy+jy 仅在 z = z= z=_______ 处可导,且该点的导数值为_________。

    解:对于问题一来说,我们可以从解析函数的充要条件出发,得到

    { ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x → { y = 1 x = 0 \left \{ \begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{ \partial u}{\partial y } = -\frac{ \partial v}{ \partial x } \end{matrix} \right. \rightarrow \left \{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = 0 \end{matrix} \right. {xu=yvyu=xv{y=1x=0

    得到 z = j z = j z=j,而该点的导数值即

    f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + j ∂ v ∂ x = y + j 0 ∣ z = j → f ′ ( z ) = 1 f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + j \frac{\partial v}{\partial x} = y + j 0 \left |_{z=j} \right . \rightarrow f'(z) = 1 f(z)=xu+jxv=y+j0z=jf(z)=1

    从上述例题中可以知道,当函数在点 ( 0 , 1 ) (0, 1) (0,1) 时,可以求导,并且导数等于 1。现在我们再来看看另外一个例子。

    例2

    设函数 f ( z ) = m y 3 + n x 2 y + j ( x 3 + k x y 2 ) f(z) = m y^3 + n x^2 y + j (x^3 + k xy^2) f(z)=my3+nx2y+j(x3+kxy2) z z z 平面上解析,求 m m m n n n k k k 的值。

    解:由于函数 f ( z ) f(z) f(z) 在平面 z z z 解析,也就是说它可导。所以我们可以代入 C- R方程,得到:

    { ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x → { 2 n x y = 2 k x y 3 m y 2 + n x 2 = − 3 x 2 − k y 2 → { m = 1 n = − 3 k = − 3 \left \{ \begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} \end{matrix} \right. \to \left \{ \begin{matrix} 2nxy = 2kxy \\ 3my^2 + n x^2 = -3x^2 - k y^2 \end{matrix} \right. \to \left \{ \begin{matrix} m = 1 \\ n = -3 \\ k = -3 \\ \end{matrix} \right . {xu=yvyu=xv{2nxy=2kxy3my2+nx2=3x2ky2m=1n=3k=3


    1. 复变函数与解析函数,https://zhuanlan.zhihu.com/p/133249193 ↩︎

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    1.背景知识

    在工程应用中,特别是信号处理领域,经常会遇到一些关于复信号的计算,一个典型的例子就是著名的快速傅里叶变换(FFT),它会将实信号也映射为复信号。与实信号相比,复信号包含额外的相位信息。某些物体,例如phase object,其有效信息完全包含在相位信号中。 而且实数作为复数的一个子集,针对复信号设计的算法往往有更加广泛的应用。因此,研究复信号是非常有必要的。    

    一些余弦波叠加的FFT分析(图片来源:维基百科)

    常见的对的复信号的处理是将其实部和虚部分开,然后进行单独处理,这样就可以用处理实信号的方法解决复信号的问题。但是,这种方法往往包含很多重复步骤分别用来处理实部和虚部。 我们希望能够直接在复数域进行相关分析,从而让整个算法的结构变得更加精简。

    信号复原是信号处理中一个重要的方向,主要研究根据测量结果恢复出原始信号,而这个问题常常被看作是一个优化问题。解决优化问题经常要用到函数的梯度,因此有必要研究复变函数的一些求导理论。

    2.经典的复变函数可导性

    在传统的复变函数理论中,可导性的要求非常严格,具体定义为:如果复变函数f(z)z_0处可导,那么极限

                                                                       \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}

    总是存在,与z趋近于z_0的路径无关。因此,若将其写成实部和虚部的形式,那么对于函数f(z) = u(z)+iv(z)和变量z = x+iy, 必须满足条件:

                                                                               \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x},

    这一性质与势能函数类似,即做功只与始末位置有关,而与路径无关,比如重力势能只与高度有关。因此其在一个封闭路径上的积分为0,从而可导函数具有上述的偏导数约束。 

    重力势能(来源:百度百科)

                             

    这种定义下的导函数是实数导数理论的一个直接推广,但是适用性较窄,使用时限制条件较多。一类典型的不具有这种可导性的函数包括所有的实值复变函数(非常函数)。对于这种函数,u(z)不为常数,v(z) = 0,因此\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x} = 0,必不满足上述偏导数条件。但是,这类实值函数在实际应用中很常见,一个例子是评价函数。对于一个复原后的复信号,我们对它的评价一定为一个实数,这样才可以用该指标的大小评价信号的好坏(一般复数无法直接比较大小)。在模仿深度学习进行误差反向传播更新的过程中,必然会涉及到实值复变函数的求导,而上述导数定义无法使用,因此引入了Wirtinger导数体系解决这个问题。

    3. Wirtinger 导数

    Wirtinger 导数由Remmert与1995年提出 [1],用于解决实值复变函数的问题。首先通过实部与虚部分离的方法研究一个复变函数f(z) = F(x,y) = U(x,y)+iV(x,y), z = x+iy的微分问题。根据多元函数的微分性质

                                                    dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx +\frac{\partial F}{\partial y} dy = \frac{\partial U}{\partial x} dx + \frac{\partial V}{\partial x} idx + \frac{\partial U}{\partial y} dy + \frac{\partial V}{\partial y} idy,

    根据z与x和y的关系,可将其改写成关于z的微分:

                                                                                  x = \frac{z+z^*}{2}, dx = \frac{dz+dz^*}{2}\\ ~~~~~y = \frac{z-z^*}{2i}, dx = \frac{dz-dz^*}{2i},

    带入上式可得,若dF = \frac{\partial F}{\partial z}dz + \frac{\partial F}{\partial z^*}dz^*,那么

                                                                                      \frac{\partial }{\partial z} = \frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y})\\ ~~~~~\frac{\partial }{\partial z^*} = \frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}),

    这两个导数就被称为Wirtinger导数(Wirtinger derivatives)。

    根据上述定义,可以得到一个Wirtinger求导法则中非常重要的一组等式

                                                                  \frac{\partial z^*}{\partial z} = \frac{1}{2}\left[\frac{\partial x}{\partial x}-i\frac{\partial (-iy)}{\partial y}\right] = 1-i*(-i) = 0\\ ~~~~~\frac{\partial z}{\partial z^*} = \frac{1}{2}\left[\frac{\partial x}{\partial x}+i\frac{\partial (iy)}{\partial y}\right] = 1+i*i = 0.

    类比多元函数中偏导数恒为零的情况,我们可以很自然得得出一个结论:在Wirtinger求导法则中,zz^*可以看作两个互不相关的变量,只要分别对其单独求导即可。例如,对z求导时,可将z^*看作常量,反之亦然。

    最后举一个例子。复数的模平方的计算公式为\|z\|^2 = z^*z,那么在Wirtinger导数体系下,其关于z的导数为

                                                                     \frac{\partial \|z\|^2}{\partial z} =\frac{\partial z^*z}{\partial z} = z^*, \frac{\partial \|z\|^2}{\partial z^*} =\frac{\partial z^*z}{\partial z^*} = z.

    模函数也为一个实值函数,它也具有实值函数特有的求导性质

                                                                                             dF = 2Re(\frac{\partial F}{\partial z}dz).

    对于梯度下降法,其最速下降方向为\frac{\partial F}{\partial z^*},其中F为实值复变函数。

    参考文献:

    [1] Remmert, R. (1991). Theory of complex functions (Vol. 122). Springer Science & Business Media.

    [2] (一份实用课件) https://mediatum.ub.tum.de/doc/631019/631019.pdf

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  • matlab在复变函数中的一些应用修改后的.doc MATLAB语言课程论文MATLAB在复变函数中的一些应用姓名刘乐学号12013241953专业通信工程班级2013级通信2班指导老师朱瑜红学院物理电气性息学院完成日期2013年11月9日MATLAB...

    41528d3028836879cd698677c3999917.gifmatlab在复变函数中的一些应用修改后的.doc

    MATLAB语言课程论文MATLAB在复变函数中的一些应用姓名刘乐学号12013241953专业通信工程班级2013级通信2班指导老师朱瑜红学院物理电气性息学院完成日期2013年11月9日MATLAB在复变函数中的一些应用刘乐120132419532013级通信2班【摘要】MATLAB是目前应用最广泛的工程计算软件之一本文利用MATLAB强大的数值计算和绘图功能,将复变函数论中的一些典型实例实现了计算机的数据自动计算和可视化从而使抽象、繁杂的内容具体化、简单化【关键词】复变函数MATLAB可视化一、问题提出复变函数理论诞生于18世纪,欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等都是这门学科的创建者119世纪,通过柯西、黎曼、维尔斯特拉斯等一些著名学者的大量奠基性工作,这门学科得到了全面发展复变函数理论这个新的数学分支被公认是19世纪最丰饶的数学分支和抽象科学中最和谐的理论之一20世纪初,复变函数理论又有了进一步的进展,开拓了复变函数理论更广阔的研究领域,复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛应用MATLAB语言是当今国际上科学界尤其是自动控制领域最具影响力,也是最有活力2的软件之一它起源于矩阵运算,并已经发展成一种高度集成的计算机语言它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能MATLAB是一种具有强大数值计算、分析和图形处理功能的科学计算语言,其应用领域极为广泛,而且操作简单、代码少、效率高,有人称为第四代程序设计语言MATLAB越来越多的应用在复变函数领域中利用MATLAB求解可以简化对求复数的导数、极限、积分、次方根、留数和级数展开等的一些基本计算详见文献311但是,在分析N一些复变函数性质的时候,利用MATLAB的计算功能不一定直观、明了因此,可以利用MATLAB作图来分析这些复变函数的性质,在文献12中也有所涉及本文主要分为两个部分,第一部分主要论述MATLAB在复变函数中的计算,主要包括复数的计算、复数的微积分、求解复数方程、留数的计算以及TAYLOR级数的展开这部分主要说明在复变函数中很多问题都可以利用MATLAB强大的数值计算和符号运算功能来解决第二部分中,进一步研究关于利用MATLAB高质量的图形可视化处理功能作图分析一些复变函数性质这部分主要说明利用MATLAB高质量的图形可视化这一优点,使一些抽象的、复杂的复变函数问题变得具体化、简单化二、MATLAB在复变函数计算中的应用1、复数的计算MATLAB有着强大的数值计算功能,是MATLAB软件的基础在MATLAB中,复数,ZAIB的实部、虚部、共轭复数和辐角都可以调用内部函数来计算而对于复数的乘除、I开方、乘幂、指数、对数、三角运算也和其他语言一样下面我们来看几个具体的例子例1对下列复数进行化简,并求它们的实部、虚部、辐角、模、共轭复数032II23415I201I3ILN5I分析我们知道上面这几个复数的计算都比较简单但是,我们在处理许多这样的问题的时候,工作量随之增加利用MATLAB强大的矩阵运算功能可以把这些问题得到很好的解决利2用简单的MATLAB语句REAL、IMAG、ANGLE、ABS、CONJ可直接求出该复数的实部、虚部、辐角、模与共轭复数解在MATLAB命令窗口输入如下复数矩阵AI10I3I123I21I2/5I32I432II2012LOG5I1/2IA1100000005900014I3000020000I100000939304983IREALA复数矩阵A的实部ANS11000000059300001000009393IMAGA复数矩阵A的虚部ANS00001420000004983ANGLEA复数矩阵A的辐角ANS00232505880004877ABSA复数矩阵A的模ANS11000000060360561000010632CONJA复数矩阵A的共轭复数ANS1100000005900014I3000020000I100000939304983I从上例我们可以看出,利用MATLAB不仅可以求复数的加、减、乘、除,而且还可以求复指数、复对数等并且可以把它们的实部、虚部、共轭复数等都求出来当很多复数要处理这些问题时,我们还可以利用MATLAB强大矩阵运算功能把这些复数构建成矩阵的形式一起解决例2计算和13IEI分析在MATLAB中的乘除由“”和“/”来实现解MATLAB程序如下IEXP1/3IANS0327209450IIEXP1/3IANS0327209450I可见,MATLAB程序中IEXP1/3I和IEXP1/3I是不相等的例3计算38分析在实数域内,这时就只取三值中的实值下面,我们按常规338238方法和利用MATLAB来计算此题解因为,故8COSINK0,1,2当K0时,3322S3KKK3330228COSSIN3KK;1II;31228COSSIN33KK3213I利用MATLAB来计算81/3ANS默认的结果变量1000017321I可见,对于多值函数,MATLAB仅仅对其主值K0时进行计算2、复变函数的微积分复变函数的微积分包括极限、导数包括偏导数、符号函数的积分以及复数方程等,这些都可以通过MATLAB的符号运算工具箱来实现我们看下面几个具体的例子例4求下列极限A;B0SINLMZLI1/TTZ分析一般求复变函数极限的时候,主要把复变函数的极限问题转化为它的实部和虚部的极限问题,再讨论这两个二元实变函数的极限问题但对于多数复变函数而言,写出它的实部和虚部比较复杂,比如例A中用泰勒展开式证明的时候就比较复杂下面我们利用MATLAB求极限解AMATLAB程序如下SYMSZ定义符号变量FLIMITSINZ/Z,Z,0F表示SINZ/Z以Z为变量在0处的极限F1BMATLAB程序如下SYMSZTFLIMIT1Z/TT,T,INFLIMIT对函数求极限符号,INF表示无穷大F对F求极限EXPZ从上例可以看出,当利用MATLAB求极限时我们只需要掌握几个常见的步骤1定义变量;2列出;3对求极限FF例5试求在点处的左右极限,0ZFFZ0分析首先,我们利用MATLAB符号计算方法计算解MATLAB程序如下5SYMSZF1LIMITZ/ABSZ,Z,0, LEFT F11F2LIMITZ/ABSZ,Z,0, RIGHT F21从运行的结果可以看出,左极限为1,右极限为1,左右极限不相等,所以的极限不FZ存在我们也可以通过MATLAB作图更加形象的理解它的性质下面利用MATLAB作图分析此题解MATLAB程序如下Z120010F1Z1/ABSZ1ABS表示绝对值符号ZR00012FRZR/ABSZRPLOTZ1,F1,ZR,FRAXIS221515仿真结果如下215105005115215105005115图21观察图21可以清楚的看到,Z0是其间断点,其右极限为1,左极限为1,故在FZ处的极限不存在0Z例6试对下列函数求导A设,求的导数;9FZFFB试对表达式求一阶导数和偏导数32,4XYXY分析上述两个例子在求导问题中具有一定的代表性求一阶导数和

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  • python/Matplotlib绘制复变函数图像教程

    千次阅读 2021-01-14 00:11:25
    今天发现sympy依赖的库mpmath里也有很数学函数,其中也有在平面绘制二维图的函数cplot,具体例子如下from mpmath import *def f1(z):return zdef f2(z):return z**3def f3(z):return (z**4-1)**(1/4)def f4(z):...

    今天发现sympy依赖的库mpmath里也有很多数学函数,其中也有在复平面绘制二维图的函数cplot,具体例子如下

    from mpmath import *

    def f1(z):

    return z

    def f2(z):

    return z**3

    def f3(z):

    return (z**4-1)**(1/4)

    def f4(z):

    return 1/z

    def f5(z):

    return atan(z)

    def f6(z):

    return sqrt(z)

    cplot(f1)

    cplot(f2)

    cplot(f3)

    cplot(f4)

    cplot(f5)

    cplot(f6)

    参照matlab绘制复变函数的例子,使用python实现绘制复变函数图像,网上还没搜到相关的文章,在这里分享出来供大家学习。

    '''

    参照matlab绘制复变函数的例子,创建函数cplxgrid,cplxmap,cplxroot

    '''

    # 1.导入相关库

    import numpy as np

    import matplotlib.pyplot as plt

    from mpl_toolkits.mplot3d import *

    # 2.创建函数

    def cplxgrid(m):

    '''Return polar coordinate complex grid.

    Parameters

    ----------

    m: int

    Returns

    ----------

    z: ndarray,with shape (m+1)-by-(2*(m+1))

    '''

    m = m

    r = np.arange(0,m).reshape(m,1) / m

    theta = np.pi * np.arange(-m,m) / m

    z = r * np.exp(1j * theta)

    return z

    def cplxroot(n=3,m=20):

    '''

    cplxroot(n): renders the Riemann surface for the n-th root

    cplxroot(): renders the Riemann surface for the cube root.

    cplxroot(n,m): uses an m-by-m grid. Default m = 20.

    Use polar coordinates, (r,theta).

    Use polar coordinates, (r,theta).

    Parameters

    ----------

    n: n-th root

    m: int

    Returns

    ----------

    None: Plot the Riemann surface

    '''

    m = m+1

    r = np.arange(0,m).reshape(m,1) / m

    theta = np.pi * np.arange(-n * m, n * m) / m

    z = r * np.exp(1j * theta)

    s = r * (1/n) * np.exp(1j * theta / n)

    fig = plt.figure()

    ax = fig.add_subplot(111,projection='3d')

    # ax.plot_surface(np.real(z),np.imag(z),np.real(s),color = np.imag(s))

    ax.plot_surface(np.real(z),np.imag(z),np.real(s),cmap = plt.cm.hsv)

    ax.set_xlim((-1,1))

    ax.set_ylim((-1,1))

    ax.set_xlabel('Real')

    ax.set_ylabel('Imag')

    ax.set_xticks([])

    ax.set_yticks([])

    ax.set_zticks([])

    ax.set_autoscalez_on(True)#z轴自动缩放

    ax.grid('on')

    plt.show()

    def cplxmap(z,cfun):

    '''

    Plot a function of a complex variable.

    Parameters

    ----------

    z: complex plane

    cfun: complex function to plot

    Returns

    ----------

    None: Plot the surface of complex function

    '''

    blue = 0.2

    x = np.real(z)

    y = np.imag(z)

    u = np.real(cfun)

    v = np.imag(cfun)

    M = np.max(np.max(u))#复变函数实部最大值

    m = np.min(np.min(u))#复变函数实部最大值

    s = np.ones(z.shape)

    fig = plt.figure()

    ax = fig.add_subplot(111,projection='3d')

    # 投影部分用线框图

    surf1 = ax.plot_wireframe(x,y,m*s,cmap=plt.cm.hsv)

    surf2 = ax.plot_surface(x,y,u,cmap=plt.cm.hsv)

    #绘制复变函数1/z时会出错,ValueError: Axis limits cannot be NaN or Inf

    # ax.set_zlim(m, M)

    ax.set_xlim((-1,1))

    ax.set_ylim((-1,1))

    ax.set_xlabel('Real')

    ax.set_ylabel('Imag')

    ax.set_xticks([])

    ax.set_yticks([])

    ax.set_zticks([])

    ax.set_autoscalez_on(True)#z轴自动缩放

    ax.grid('on')

    plt.show()

    def _test_cplxmap():

    '''测试cplxmap函数'''

    z = cplxgrid(30)

    w1 = z

    w2 = z**3

    w3 = (z**4-1)**(1/4)

    w4 = 1/z

    w5 = np.arctan(2*z)

    w6 = np.sqrt(z)

    w = [w1,w2,w3,w4,w5,w6]

    for i in w:

    cplxmap(z,i)

    def _test_cplxroot():

    '''测试cplxroot函数'''

    cplxroot(n=2)

    cplxroot(n=3)

    cplxroot(n=4)

    cplxroot(n=5)

    if __name__ == '__main__':

    _test_cplxmap()

    _test_cplxroot()

    以上这篇python/Matplotlib绘制复变函数图像教程就是小编分享给大家的全部内容了,希望能给大家一个参考,也希望大家多多支持我们。

    时间: 2019-11-19

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    千次阅读 2018-09-03 15:28:53
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  • 高等应用数学问题的MATLAB求解 第5 章积分变换与复变函数问题的计算机求解 薛定宇、陈阳泉著《高等应用数学问题的MATLAB求解》,清华大学出版社2004 CAI课件开发:刘莹莹、薛定宇 主要内容 Laplace变换及其反变换 ...
  • 本文主要介绍复变函数的积分及其计算方法,其中柯西积分定理和柯西积分公式是研究解析函数的重要工具。
  • 论文导读:复变函数与实变函数在MATLAB中的计算有着相似之处,因为不管自变量是实数还是复数,都是将自变量的直接代入函数表达式中去计算。而MATLAB对复变函数和实变函数运算时最大的区别在于MATLAB只对复变函数的...
  • 数学物理方法·基础⑦基本初等复变函数的计算公式/方法 QQ:3020889729 小蔡复幂函数(指数为实数)复指数函数复三角函数反三角函数复反双曲函数复根式函数复对数函数一般复幂函数(指数为复...
  • 内容摘要 1. 指数函数 2. 支点支割线 3. 对数函数 4. 幂函数 5. 三角函数
  • 1. 复变函数1.1 复变函数的定义说地简单点,复变函数就是自变量和应变量都是复数的函数。其定义域和值域均 ,是实函数的扩充。1.2 复变函数的可视化由于定义域和值域都是二维的,用一幅类似实函数的静态图像完整绘制...
  • (内蒙古科技大学数理与生物工程学院 内蒙古包头 014010)摘 要:《复变函数与积分变换》作为高等院校相关专业的数学必修课,本文结合教学实践,从强调历史、以“熟”带“新”、实例教学、MATLAB应用等四个方面对教学内容...
  • 复变函数论的3个奠基人之一。 《解析函数论》(1876)一书 解析开拓 完全解析函数 用幂级数定义了本性奇点、整函数、超越整函数函数分解为无穷乘积 亚[半]纯函数可表为两个整函数之商 1.2在椭圆函数...
  • 到现在为止复变函数的理论还算友善,只是Cauchy积分定理很难证。不过接下来,一系列震撼我...与实函数不一样的是,在发展了复变函数的积分以后我们才能继续发展导数的更定理,这是很有趣的。定理(Cauchy积分公式) ...
  • 早在1877年,Norman Macleod Ferrers就专门写了一本书来介绍球谐函数,后面物理学家把实数球谐函数扩展到复平面上,在复变函数论中作为“特殊函数”来研究,它在物理以及计算化学上有重要的应用,我们主要讨论它在...
  • 多值复变函数: z z z 的一个值,对应 w = f ( z ) w = f\left( z \right) w=f(z) 具有两个,或者两个以上的值; 定义集合:集合 G G G 成为 f ( z ) f\left( z \right) f(z) 的定义集合。在定义集合为平面区域时,...
  • [计算机软件及应用]积分变换与复变函数问题的计算机求解高等应用数学问题的MATLAB求解 第5 章积分变换与复变函数问题的计算机求解 薛定宇、陈阳泉著《高等应用数学问题的MATLAB求解》,清华大学出版社2004 CAI课件...
  • 计科顶流必背复变

    2021-12-01 22:10:51
    复变函数B-重难点 ​ 第一章、复数和平面点集 四则运算同实数,满足交换律、结合律、分配律 满足三角不等式及其推论 由得 复数...
  • 柯西-黎曼方程(简称C-R方程)是在复分析中用来判定一个复变函数是否可微的充要条件,本文试图用代数和几何两种方法来理解它到底说了什么。 代数证明: 在复变函数领域,f(z)在处解析=>f(z)在处可导<=>f...
  • 求周期方波见图的傅里叶级数指数函数形… 1-1 求周期方波(见图 1-4)的傅里叶级数(指数函数形式) ,划出|c n| 和 n 图,并与表 1-1 对比。图 1-4 周期方波信号波形图0 txt T02T20A-A0解答在一个周期的表达式为 0 ...
  • python中有可对象和不可对象,可对象:list,dict.不可对象有:int,string,float,tuple....python不可对象int,string,float,tuple先来看一个例子 def int_test(): i = 77 j = 77 print(id(77))
  • 导语:现代数学入门的钥匙就是实变函数与泛函数分析。数学,物理学,计算机学科,神经生物学相互交叉构成了AI的基础。深入研究AI,尤其是神经规则推理以及下一代AI技术,必须修炼好内功。非数学专业的学生,可能学过...
  • 变函数论与泛函分析(第3版)(上册),曹广福,高等教育出版社; 实变函数论(第三版),周民强,北京大学出版社; 实变函数论(第三版),江泽坚等,高等教育出版社; 实变函数论(第5版),那汤松,高等教育...

空空如也

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多值复变函数例子