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  • 高等应用数学问题的MATLAB求解 第5 章积分变换与复变函数问题的计算机求解 薛定宇、陈阳泉著《高等应用数学问题的MATLAB求解》,清华大学出版社2004 CAI课件开发:刘莹莹、薛定宇 主要内容 Laplace变换及其反变换 ...

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    高等应用数学问题的MATLAB求解 第5 章积分变换与复变函数问题的计算机求解 薛定宇、陈阳泉著《高等应用数学问题的MATLAB求解》,清华大学出版社2004 CAI课件开发:刘莹莹、薛定宇 主要内容 Laplace变换及其反变换 Fourier变换及其反变换 其他积分变换问题及求解 Z变换及其反变换 复变函数问题计算机求解 本章内容小结 5.1 Laplace变换及其反变换 Laplace变换及反变换定义与性质 Laplace变换的计算机求解 5.1.1 Laplace变换及反变换定义与性质 5.1.2 Laplace变换的计算机求解 【例5-1】 【例5-2】 【例5-3】 【例5-4】 考虑初始条件: 【例5-5】 【例5-6】 5.2Fourier变换及其反变换 Fourier变换及反变换定义与性质 Fourier变换的计算机求解 Fourier正弦和余弦变换 离散Fourier正弦、余弦变换 5.2.1 Fourier变换及反变换 定义与性质 5.2.2 Fourier 变换的计算机求解 【例5-7】 【例5-8】 【例5-9】 5.2.3 Fourier 正弦和余弦变换 【例5-10】 【例5-11】 【例5-12】 5.2.4 离散Fourier正弦、 余弦变换 【例5-13】 5.3 其他积分变换问题及求解 Mellin变换 Hankel变换及求解 5.3.1 Mellin变换 【例5-14】 【例5-15】 【例5-16】 5.3.2 Hankel变换及求解 【例5-17】 5.4 Z 变换及其反变换 Z 变换及反变换定义与性质 Z 变换的计算机求解 5.4.1 Z 变换及反变换定义与性质 5.4.2 Z 变换的计算机求解 【例5-18】 【例5-19】 5.5 复变函数问题计算机求解 留数的概念与计算 有理函数的部分分式展开 基于部分分式展开的Laplace变换 封闭曲线积分问题计算 5.5.1 留数的概念与计算 【例5-20】 【例5-21】 【例5-22】 5.5.2 有理函数的部分分式展开 【例5-23】 【例5-24】 【例5-25】 【例5-26】 【例5-27】 【例5-28】 【例5-29】 【例5-30】 5.5.3 基于部分分式展开的 Laplace变换 【例5-31】求部分分式展开 5.5.4 封闭曲线积分问题计算 【例5-32】 【例5-33】 本章内容小结 本章涉及的MATLAB函数一览表 Laplace 变换是一种很重要的积分变换方法,本章中介绍了 Laplace 变换及其反变换的定义和性质,并着重介绍了正反 Laplace 变换的 MATLAB 求解方法。 Fourier 变换是另一类常用的积分变换方法,可以用于信号的频域分析,本章介绍了 Fourier 正反变换的定义和性质,介绍了利用 MATLAB 语言求解 Fourier 变换的方法,还探讨了几种特殊的 Fourier 变换及 MATLAB 求解方法,如正弦、余弦 Fourier 变换、离散 Fourier 正余弦变换等,并介绍了直接积分方法和用 MATLAB 调用 Maple 语言现成变换函数的方法。 本章还介绍了两种不那么常用的积分变换--- Mellin 变换和 Hankel 变换,这些变换在 MATLAB 的符号运算工具箱中没有直接对应的函数,但可以通过符号运算工具箱中积分功能直接计算,也可以从 MATLAB 调用 Maple 语言的相应函数计算。本章同时还指出了这些正反变换有些函数是不难用计算机数学语言求解的,只能通过手工推导或查阅数学手册的方式求解。 在离散系统研究中一类很重要的变换--- Z 变换的定义和性质等也在本章中给出,在此基础上着重介绍了 Z 变换及其反变换的 MATLAB 求解方法,并通过例子演示了各类函数 Z 变换的实际求解。 复变函数中一类重要的问题是奇点与留数的概念与求取,本章介绍了利用 MATLAB 语言进行留数运算的方法,并以其为基础编写了有理函数部分分式展开的求解函数,比 MATLAB 自己提供的 residue() 函数更进了一步,本章还讨论了有理函数 Laplace 反变换的求解方法和化简方法,基于留数定理还探讨了封闭曲线积分的求解方法。 化简: 一般的 Mellin 变换规律: 理论值 Z 反变换 总结规律: Z 反变换,并总结出规律 试探其他的阶次,得出最小的值 * 东北大学信息学院 * 简化结果: 求其 Fourier 变换。

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  • 在工程应用中,特别是信号处理领域,经常会遇到一些关于信号的计算,一个典型的例子就是著名的快速傅里叶变换(FFT),它会将实信号也映射为信号。与实信号相比,信号包含额外的相位信息。某些物体,例如phase...

    1.背景知识

    在工程应用中,特别是信号处理领域,经常会遇到一些关于复信号的计算,一个典型的例子就是著名的快速傅里叶变换(FFT),它会将实信号也映射为复信号。与实信号相比,复信号包含额外的相位信息。某些物体,例如phase object,其有效信息完全包含在相位信号中。 而且实数作为复数的一个子集,针对复信号设计的算法往往有更加广泛的应用。因此,研究复信号是非常有必要的。    

    一些余弦波叠加的FFT分析(图片来源:维基百科)

    常见的对的复信号的处理是将其实部和虚部分开,然后进行单独处理,这样就可以用处理实信号的方法解决复信号的问题。但是,这种方法往往包含很多重复步骤分别用来处理实部和虚部。 我们希望能够直接在复数域进行相关分析,从而让整个算法的结构变得更加精简。

    信号复原是信号处理中一个重要的方向,主要研究根据测量结果恢复出原始信号,而这个问题常常被看作是一个优化问题。解决优化问题经常要用到函数的梯度,因此有必要研究复变函数的一些求导理论。

    2.经典的复变函数可导性

    在传统的复变函数理论中,可导性的要求非常严格,具体定义为:如果复变函数f(z)z_0处可导,那么极限

                                                                       \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}

    总是存在,与z趋近于z_0的路径无关。因此,若将其写成实部和虚部的形式,那么对于函数f(z) = u(z)+iv(z)和变量z = x+iy, 必须满足条件:

                                                                               \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x},

    这一性质与势能函数类似,即做功只与始末位置有关,而与路径无关,比如重力势能只与高度有关。因此其在一个封闭路径上的积分为0,从而可导函数具有上述的偏导数约束。 

    重力势能(来源:百度百科)

                             

    这种定义下的导函数是实数导数理论的一个直接推广,但是适用性较窄,使用时限制条件较多。一类典型的不具有这种可导性的函数包括所有的实值复变函数(非常函数)。对于这种函数,u(z)不为常数,v(z) = 0,因此\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x} = 0,必不满足上述偏导数条件。但是,这类实值函数在实际应用中很常见,一个例子是评价函数。对于一个复原后的复信号,我们对它的评价一定为一个实数,这样才可以用该指标的大小评价信号的好坏(一般复数无法直接比较大小)。在模仿深度学习进行误差反向传播更新的过程中,必然会涉及到实值复变函数的求导,而上述导数定义无法使用,因此引入了Wirtinger导数体系解决这个问题。

    3. Wirtinger 导数

    Wirtinger 导数由Remmert与1995年提出 [1],用于解决实值复变函数的问题。首先通过实部与虚部分离的方法研究一个复变函数f(z) = F(x,y) = U(x,y)+iV(x,y), z = x+iy的微分问题。根据多元函数的微分性质

                                                    dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx +\frac{\partial F}{\partial y} dy = \frac{\partial U}{\partial x} dx + \frac{\partial V}{\partial x} idx + \frac{\partial U}{\partial y} dy + \frac{\partial V}{\partial y} idy,

    根据z与x和y的关系,可将其改写成关于z的微分:

                                                                                  x = \frac{z+z^*}{2}, dx = \frac{dz+dz^*}{2}\\ ~~~~~y = \frac{z-z^*}{2i}, dx = \frac{dz-dz^*}{2i},

    带入上式可得,若dF = \frac{\partial F}{\partial z}dz + \frac{\partial F}{\partial z^*}dz^*,那么

                                                                                      \frac{\partial }{\partial z} = \frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y})\\ ~~~~~\frac{\partial }{\partial z^*} = \frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}),

    这两个导数就被称为Wirtinger导数(Wirtinger derivatives)。

    根据上述定义,可以得到一个Wirtinger求导法则中非常重要的一组等式

                                                                  \frac{\partial z^*}{\partial z} = \frac{1}{2}\left[\frac{\partial x}{\partial x}-i\frac{\partial (-iy)}{\partial y}\right] = 1-i*(-i) = 0\\ ~~~~~\frac{\partial z}{\partial z^*} = \frac{1}{2}\left[\frac{\partial x}{\partial x}+i\frac{\partial (iy)}{\partial y}\right] = 1+i*i = 0.

    类比多元函数中偏导数恒为零的情况,我们可以很自然得得出一个结论:在Wirtinger求导法则中,zz^*可以看作两个互不相关的变量,只要分别对其单独求导即可。例如,对z求导时,可将z^*看作常量,反之亦然。

    最后举一个例子。复数的模平方的计算公式为\|z\|^2 = z^*z,那么在Wirtinger导数体系下,其关于z的导数为

                                                                     \frac{\partial \|z\|^2}{\partial z} =\frac{\partial z^*z}{\partial z} = z^*, \frac{\partial \|z\|^2}{\partial z^*} =\frac{\partial z^*z}{\partial z^*} = z.

    模函数也为一个实值函数,它也具有实值函数特有的求导性质

                                                                                             dF = 2Re(\frac{\partial F}{\partial z}dz).

    对于梯度下降法,其最速下降方向为\frac{\partial F}{\partial z^*},其中F为实值复变函数。

    参考文献:

    [1] Remmert, R. (1991). Theory of complex functions (Vol. 122). Springer Science & Business Media.

    [2] (一份实用课件) https://mediatum.ub.tum.de/doc/631019/631019.pdf

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  • 【复变】复变函数

    千次阅读 2020-02-18 17:15:40
    复变函数复数与复变函数复数复变函数导数积分级数留数保形映射解析函数对平面向量场的应用 复数与复变函数 复数 复数的代数运算: 复数四则运算的几何意义: ①两个复数乘积的模等于它们模的乘 积;两个复数乘积...

    前言

    • 复变函数是由一个复数域映射到另一个复数域的关系。判断复变函数是否可导可导:u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在点 ( x, y ) 可微, 并且在该点 满足柯西—黎曼方程。解析函数是复变函数在一个区域内可导。可用定义法计算复变函数在一点的导数 或 利用常见初等函数的导数以及导数的运算法则求导。
    • 柯西定理:已知一复变函数的原函数,可求其积分。柯西定理证明了若一正向封闭区域内(逆时针),若所积函数解析,则其积分为零。
      在这里插入图片描述
    • 柯西积分公式:当复变函数在封闭区域内解析,则在该封闭区域内任一点的值由f(z)/z-z0在边界上的积分所决定。
      在这里插入图片描述
      如果一个函数在某点解析,那么它的各阶导函数在该点仍解析 。设 f ( z)在简单正向闭曲线 C 及其所围区域 D 内处处解析, z0 为 D 内任一点, 那么:
      在这里插入图片描述
      由此,一般解析初等函数可以展开为对应泰勒级数。且部分函数可展开为含负幂次项的洛朗级数。
      根据展开函数的级数在某一点或无穷远点的负幂次项的个数,可将奇点类型分为:可去奇点、极点、本性奇点。同时,根据留数定理可求出对应展开级数的C-1项的系数从而求出某封闭曲线上的积分。留数对一些特殊的定积分的计算。

    复数

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    1. 复数的代数运算:

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    2. 复数四则运算的几何意义:

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    ①两个复数乘积的模等于它们模的乘 积;两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和
    ②两个复数商的模等于它们模的商; 两个复数商的幅角等于被 除数与除数的幅角差
    ③复数的加减:
    在这里插入图片描述

    3. 复数的幂乘和方根

    ①幂乘
    在这里插入图片描述②方根(这里 w≠0 , n≥2 )的复数 w 为该方程的 n 次方根在这里插入图片描述

    复变函数

    复数域上初等函数的定义:

    1. 指数函数

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    性质:ez+2kπ=ez,故指数函数ez是一个以2π为周期的周期函数。
    在这里插入图片描述
    故ez在复平面上处处可导,解析。

    2. 对数函数

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    性质:w 是 z 的对数函数,记为 w = Ln z .其为多值函数。单值函数为多值函数 Ln z的主值,记作 ln z .
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    3. 幂函数

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    4. 三角函数与反三角函数

    ①正弦与余弦函数
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    由上面的定义,我们可以容易地推出正弦函数和余弦函数的下述性质:(*)在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述②其他三角函数
    ③反三角函数

    5. 双曲函数与反双曲函数

    导数

    1. 复变函数极限

    ①复变函数极限概念:
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    ②复变函数极限判断定理:
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    2. 复变函数的连续性

    ①复变函数连续概念:
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    ②复变函数连续性定理:
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    3. 导数

    ①定义:(可导必连续,连续不一定可导)
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    例1 求zn的导数
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    例2 证明
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    例3 证明f(z)=|z|2的可导性
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    ②导数的运算法则:
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    ③函数可导的充分必要条件:
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    4. 解析函数

    ①定义:(区域内所有点可导)
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    由定义知,函数在区域 D 内解析与在区域 D 内可导是等价的 .但函数在 一点解析与在该点可导是绝对不等价的 .前者比后者条件强的多, 函数在某点 解析意味着函数在该点及其某邻域内处处可导;而函数在某点可导, 在该点邻 域内函数也可能可导,也可能不可导 .
    ②判断定理:
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    由导数的运算法则可知,在某区域上解析的函数经过加、减、乘、除 (分母 不为零)运算得到的函数在该区域上仍解析 .两个及两个以上的解析函数经过 有限次复合运算后得到的函数仍为解析函数 .解析函数的单值反函数仍为解 析函数
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    5. 调和函数

    积分

    1.积分的概念、性质、计算

    将实数域上有关积分的概念、性质推广到复数域上
    1.原函数:
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    2.不定积分:
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    3. 常见公式:在这里插入图片描述
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    4. 定积分:
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    定积分性质:
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    5.计算:
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    2. 柯西定理及其推广

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    3.柯西积分公式

    定理:在这里插入图片描述推导前提:
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    4. 解析函数的导数

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    级数

    1.收敛序列和收敛级数

    ①收敛序列:在这里插入图片描述
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    ②收敛数项级数:
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    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    ③函数项级数:
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    2. 幂级数

    定义:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    幂级数的收敛半径:在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    幂级数的和函数的性质:
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    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在高等数学中,我们将一个具有 n + 1 阶导数的函数展为泰勒级数或麦 克劳林级数 .在下一节我们将解析函数 ( 具有任意阶导数 ) 展为泰勒级数或麦 克劳林级数,也就是解析函数展为幂级数 .

    3.泰勒级数

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
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    例1
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    4.洛朗级数

    有些函数虽然不能表示为泰勒级数, 但是却能用含有负指数幂 的级数在某个圆环内表示,这种含有负指数幂的级数就是下面要讨论的罗朗 级数
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    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    留数

    1.解析函数的孤立奇点

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    1.可去奇点、极点、本性奇点

    • 可去奇点、极点、本性奇点
      分别对应罗郎展开式中无负次幂,只有有限个负次幂和无限个负次幂。

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    2.零点定义
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    3.解析函数在无穷远点的性质
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    2.留数的一般理论

    1.留数的定义
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    2.极点处留数的求法(既求拆开的对应c-1的系数)
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    3.留数对定积分的计算

    在高等数学以及实际问题中,常常需要求出一些定积分或广义积分的值, 而这些积分中被积函数的原函数,不能用初等函数表示出来, 或即使可以求出 原函数,计算也往往比较复杂 .利用留数定理, 要计算某些类型的定积分或广 义积分, 只须计算某些解析函数在孤立奇点的留数, 从而把问题大大简化, 下 面通过具体例子,说明如何利用留数计算几种特殊类型的积分 .

    1.含sinx,cosx的有理分式积分
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    2.
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    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述3.在这里插入图片描述在这里插入图片描述
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    保形映射

    解析函数对平面向量场的应用

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空空如也

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多值复变函数例子