偏导数全导数

偏导数

由于是二元函数，有两个因变量。偏导数表示分别对某一个导数求导，如偏x导数、偏y导数。

高阶偏导数

对偏导数继续求导。以二元函数的二阶偏导数为例，偏x导数有两个偏导数、偏y导数有两个偏导数。

定理：如果二元函数的两个二阶混合偏导数连续，那么他们两个相等。

全微分

与一元函数类似，由于有两个变量，x或y的增量称为偏增量，单单对x或y的微分称为偏微分。
若x，y同时增加，称为全增量。
全微分定义见下图

定理

1. 如果函数在该点可微分，那么其在该点的偏导数一定存在，且全微分中A、B分别等于偏x导数、偏y导数（叠加定理）
   （全微分存在，函数可微分，偏导数一定存在；偏导数存在，全微分不一定存在）
   
2. 如果函数在该点偏导数连续，那么函数在该点可微分

多元复合函数求导

一元函数与多元函数复合

先对多元函数微分，再把每个函数看成一元函数进行求导

多元函数与多元函数复合

如果对x求导，就先对所有函数微分，再把每个函数对x微分，最后相加。对y同理。

其他情形

当多元函数与一元或者多元函数复合时，可能所导变量在某个函数中不存在

不管那种情况，都有一下规律：
把最外层函数里的一个一个函数看过来，如果这个函数不存在所导变量，就不理他看下一个（微分后为0）。如果有，就先把最外层函数对其微分，如果里面这个函数是一元函数，就对变量求导；如果是多元，就对变量微分。

多元函数二阶求导

为方便起见，做出如下定义：有z=f(u,v)。f1’(u,v)=fu(u,v)——f对u求偏导;f2’=fv(u,v)——f对v求偏导;f12’’(u,v)=fuv(u,v)等等…
先求一阶偏导，再根据公式求二阶偏导数。需要注意的是此处求出来的是一阶偏导对变量的微分。由于一阶偏导内涵中间变量u、v，因此要再进行微分将一阶偏导对变量的微分变成二阶偏导。

隐函数求导

方程组

在求解的时候可以把行列式右边的常数和所求的变量前的系数代换，利用行列式法则求解。
以下给出例题

以二元函数为代表解释他们之间的关系。

1>可导不一定连续，连续不一定可导。

对于二元函数而言：可导是指的是两个偏导数存在，偏导数是把某一自变量看作一个常数时的导数。偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值（仅仅是坐标轴平行的方向），但是连续是指函数以任何方向趋近于某一定点，二元函数本身是一个平面型的，趋于某一定点是从四面八方的，而平行于坐标轴仅仅是其中的一种情况，所以可导不一定连续，同时也不能保证函数在这一点有极限，因为可以想象一下某一立体三维图形平行于坐标轴的切线上的极限值并不能代表整个图形的极值。至于连续不一定可导可以借鉴一元函数，如若平行于坐标轴方向的函数导数不存在（二元函数连续），也就是偏导数不存在。

2>可微必连续，可微必可导。反之不成立。

可微的性质最强，若二元函数的某一点可微，说明过该点任意垂直于XY平面的切平面与该二元曲平面的交线函数在该点连续且在该点的导函数存在，全微分是二元函数所有性质的综合，所以可微必连续，也必可导，但反之，连续与偏导数存在仅仅是可微的部分条件，所以不能通过连续与可导来断定可微。

引用博客https://blog.csdn.net/weixin_40054912/article/details/79501962中的两幅立体图可很好理解一些疑问。

f(x,y)于x=0,及y=0的切平面的交线都是坐标轴，这两条直线在（0，0）点满足连续可导。（图1）

但是f(x,y)与y=x的切平面的交线是一个像y=|x|的函数图像，连续但是在（0，0）点不可导。（图2）所以在（0，0）点不可微。 

3>一阶偏导数连续是可微的充分条件

以下用可微的定义进行证明

至于为什么可微不一定连续可以稍微借鉴以下一元函数中的存在含有第二类间断点（震荡间断点）的导函数。

震荡虽然是间断的但是我们可以把他考虑成一种特殊的连续，当函数具有这种“连续”的极限情况，我们就可以得到可微但是偏导不连续的曲面。

例如函数f(x,y)=x^2sin(1/x)+y^2sin(1/y).个人感觉了解即可，没必要深究。