-
2020-12-30 01:42:29更多相关内容
-
怎样理解多元函数,连续与偏导存在的关系,偏导连续之间的关系
2020-12-30 19:25:52展开全部多元函数连续不是偏导存在的充分条件也不是必要条件。62616964757a686964616fe78988e69d8331333366306464而偏导连续则是更强的条件,即偏导存在且连续可以推出多元函数连续,反之不可。下面来分析,首先大家...展开全部
多元函数连续不是偏导存在的充分条件也不是必要条件。62616964757a686964616fe78988e69d8331333366306464
而偏导连续则是更强的条件,即偏导存在且连续可以推出多元函数连续,反之不可。
下面来分析,首先大家需要了解这些定义都是人定义出来的,可以反映多元函数的部分特征。所以,只要掌握了这些定义的意义就可以看出其背后的本质,才能判断定义间的相互关系。
多元函数在某点可偏导,可是可能在这点沿不同方向的极限不同,所以不一定连续。
而连续函数的偏导是不是一定存在,这个例子在一元函数里也很常见,比如x的绝对值,在x=0的时候没有导数。
偏导连续(是偏导连续哦!而不是偏导数存在+函数连续!是偏导数存在且偏导数连续),是可以推出可微的。
而可微是很强的结论,因为可以用十分特殊的线性函数来逼近的话,很多特殊的反例就不见了,而线性函数是连续的,这由定义可以看出来。
所以,偏导存在且连续可以推出函数连续,反之不能。
反例沿用之前的反例,函数连续,但偏导不存在。
扩展资料:
x方向的偏导
设有二元函数 z=f(x,y) ,点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ,相应地函数 z=f(x,y) 有增量(称为对 x 的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在,那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数,记作 f'x(x0,y0)或。函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数,实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后,一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。
y方向的偏导
同样,把 x 固定在 x0,让 y 有增量 △y ,如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。
人们常常说的函数y=f(x),是因变量与一个自变量之间的关系,即因变量的值只依赖于一个自变量,称为一元函数。
但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系,即因变量的值依赖于几个自变量。
例如,某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关,而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关,即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题,就需要引入多元函数的概念。
-
多元函数中的偏导数全导数以及隐函数
2019-03-31 22:48:01定理:如果二元函数的两个二阶混合偏导数连续,那么他们两个相等。 全微分 与一元函数类似,由于有两个变量,x或y的增量称为偏增量,单单对x或y的微分称为偏微分。 若x,y同时增加,称为全增...偏导数全导数
偏导数
由于是二元函数,有两个因变量。偏导数表示分别对某一个导数求导,如偏x导数、偏y导数。
高阶偏导数
对偏导数继续求导。以二元函数的二阶偏导数为例,偏x导数有两个偏导数、偏y导数有两个偏导数。
定理:如果二元函数的两个二阶混合偏导数连续,那么他们两个相等。全微分
与一元函数类似,由于有两个变量,x或y的增量称为偏增量,单单对x或y的微分称为偏微分。
若x,y同时增加,称为全增量。
全微分定义见下图
定理
- 如果函数在该点可微分,那么其在该点的偏导数一定存在,且全微分中A、B分别等于偏x导数、偏y导数(叠加定理)
(全微分存在,函数可微分,偏导数一定存在;偏导数存在,全微分不一定存在)
- 如果函数在该点偏导数连续,那么函数在该点可微分
多元复合函数求导
一元函数与多元函数复合
先对多元函数微分,再把每个函数看成一元函数进行求导
多元函数与多元函数复合
如果对x求导,就先对所有函数微分,再把每个函数对x微分,最后相加。对y同理。
其他情形
当多元函数与一元或者多元函数复合时,可能所导变量在某个函数中不存在
不管那种情况,都有一下规律:
把最外层函数里的一个一个函数看过来,如果这个函数不存在所导变量,就不理他看下一个(微分后为0)。如果有,就先把最外层函数对其微分,如果里面这个函数是一元函数,就对变量求导;如果是多元,就对变量微分。多元函数二阶求导
为方便起见,做出如下定义:有z=f(u,v)。f1’(u,v)=fu(u,v)——f对u求偏导;f2’=fv(u,v)——f对v求偏导;f12’’(u,v)=fuv(u,v)等等…
先求一阶偏导,再根据公式求二阶偏导数。需要注意的是此处求出来的是一阶偏导对变量的微分。由于一阶偏导内涵中间变量u、v,因此要再进行微分将一阶偏导对变量的微分变成二阶偏导。隐函数求导
方程组
在求解的时候可以把行列式右边的常数和所求的变量前的系数代换,利用行列式法则求解。
以下给出例题
- 如果函数在该点可微分,那么其在该点的偏导数一定存在,且全微分中A、B分别等于偏x导数、偏y导数(叠加定理)
-
多元函数可微为什么推不出偏导数连续,不要用反例证明,我想从根本上知道为什么?
2022-03-26 09:30:57多元函数可微为什么推不出偏导数连续,不要用反例证明,我想从根本上知道为什么? -
多元函数 可导、可微、连续、一阶偏导数连续 之间关系的总结
2019-06-23 17:06:03偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值(仅仅是坐标轴平行的方向),但是连续是指函数以任何方向趋近于某一定点,二元函数本身是一个平面型的,趋于某一定点是从四面八方的,而平行于坐标...以二元函数为代表解释他们之间的关系。
1>可导不一定连续,连续不一定可导。
对于二元函数而言:可导是指的是两个偏导数存在,偏导数是把某一自变量看作一个常数时的导数。偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值(仅仅是坐标轴平行的方向),但是连续是指函数以任何方向趋近于某一定点,二元函数本身是一个平面型的,趋于某一定点是从四面八方的,而平行于坐标轴仅仅是其中的一种情况,所以可导不一定连续,同时也不能保证函数在这一点有极限,因为可以想象一下某一立体三维图形平行于坐标轴的切线上的极限值并不能代表整个图形的极值。至于连续不一定可导可以借鉴一元函数,如若平行于坐标轴方向的函数导数不存在(二元函数连续),也就是偏导数不存在。
2>可微必连续,可微必可导。反之不成立。
可微的性质最强,若二元函数的某一点可微,说明过该点任意垂直于XY平面的切平面与该二元曲平面的交线函数在该点连续且在该点的导函数存在,全微分是二元函数所有性质的综合,所以可微必连续,也必可导,但反之,连续与偏导数存在仅仅是可微的部分条件,所以不能通过连续与可导来断定可微。
引用博客https://blog.csdn.net/weixin_40054912/article/details/79501962中的两幅立体图可很好理解一些疑问。
f(x,y)于x=0,及y=0的切平面的交线都是坐标轴,这两条直线在(0,0)点满足连续可导。(图1)
但是f(x,y)与y=x的切平面的交线是一个像y=|x|的函数图像,连续但是在(0,0)点不可导。(图2)所以在(0,0)点不可微。
3>一阶偏导数连续是可微的充分条件
以下用可微的定义进行证明
至于为什么可微不一定连续可以稍微借鉴以下一元函数中的存在含有第二类间断点(震荡间断点)的导函数。
震荡虽然是间断的但是我们可以把他考虑成一种特殊的连续,当函数具有这种“连续”的极限情况,我们就可以得到可微但是偏导不连续的曲面。
例如函数f(x,y)=x^2sin(1/x)+y^2sin(1/y).个人感觉了解即可,没必要深究。
-
为什么偏导数连续,函数就可微?
2018-10-23 17:50:27如果非常熟悉了,可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。 1 连续的含义 通俗来说,用笔作画,不提笔画出来的曲线就是连续的: 1.1 没有缝隙 我们对连续的函数曲线的直观感受是没... -
偏导数存在(二元函数连续性怎么判断)
2021-01-30 16:28:071、如果函数z=f(x, y) 在(x, y)...这类问题一般都是证明在某点处偏导数存在,注意这时切记不能使用求导公式,以一元函数为例,这是因为用求导公式计算出来的导函数f'(x)往往含有间断点,在间断点x0.对于z=f(x,y) 求... -
多元函数的偏导数、方向导数、梯度以及微分之间的关系思考
2021-01-17 16:25:28包括全微分、偏导数、方向导数、梯度、全导数等内容。初学这些知识的时候,学生会明显觉得这些概念不难掌握,而且定义及计算公式也很容易记住,但总觉得差那么点东西,说又不知道从何说起。反正笔者是这种感觉。其实... -
多元函数概念和偏导数
2020-04-21 14:56:48偏导数 ...对多元函数而言,即使函数的各个偏导数都存在,也不能保证函数在该点连续。 即是可导不一定连续 3.高级偏导数 四个二阶偏导数 其中二三叫做混合偏导数 二阶及二阶以上的叫做高阶偏导数 ... -
多元函数可导为什么不一定连续
2022-05-05 22:23:22多元函数可导是指x,yx,yx,y两个方向的偏导数∂z∂x\partial z \over \partial x∂x∂z 、∂z∂y\partial z \over \partial y∂y∂z 存在。 所以,多元函数可导只能说明动点(x,y0)(x,y_0)(x,y0)(或(x0,y)(x_0,... -
多元函数的极限存在,连续性,偏导数,可微分之间的关系
2022-02-03 11:34:28一、一元函数范围结论 ...二、多元函数范围结论 三、 连续 什么是连续? 光滑就是连续。可光滑又是什么呢?想象有一栋楼,你要在一楼和二楼之间建立一座楼梯,且二层之间的高度差H 保持不变。楼 -
660多元函数偏导微分判断问题
2020-08-10 00:17:02235 答案解析 假设构造出一个函数的方法还是比较简单的 -
二元函数的连续、可偏导、可微、偏导数连续究竟意味着啥?
2021-07-09 14:32:55注:多元函数的偏导数在一点连续是指, 偏导数在该点的某个邻域内存在,于是偏导数在这个邻域内有定义,而且这个偏导函数在该点连续。理解这一点,才能理解后面的充分条件。 为什么函数 在原点可导... -
多元函数微分学之偏导数
2018-07-23 17:26:10偏导数的概念 本质上就是求一元函数的导,只不过是把其他变量看作常数就行了。 在图像上显示可以想象下,例如z=f(x,y)这是一个三维 图形,然后对x求偏导其实就这一点所在的平行于zx平面的切面是投影到z,x上的... -
多元函数的极限,连续,偏导数,全微分之间的关系(学习笔记)
2020-05-15 14:12:161.相关概念的复习 2.一个例子 3.连续,偏导数和微分的关系 -
高等数学的函数连续,可导,可微和偏导数连续的关系(多元)
2019-04-20 15:02:43可导与连续的关系:可导必连续,连续不一定可导; 可微与连续的关系:可微与可导是一样的; 可积与连续的关系:可积不一定连续,连续必定可积; 可导与可积的关系:可导一般可积,可积推不出一定可导; 这个... -
讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系.doc
2021-10-12 20:13:22讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系.doc -
第五课多元函数偏导与全微分
2021-03-31 13:10:38,邻域点集,区域 首先关于边界有两种情况,一是包含,二是不包含,包含的叫闭区域,不包含的叫开区域(然后关于区域这个名词,这里说是开区域与闭区域的统称,但在复变函数中区域单...多元函数定义 比如二元函 -
高等数学:函数连续,可导,可微和偏导数连续的关系(多元)
2019-05-31 10:27:10结论(一元函数范畴内) 可导与连续的关系:可导必连续,连续不一定可导;...很显然函数连续,可导,可微和偏导数连续的关系可以从图中看出 函数连续不一定的函数可微(例子:y=|x|) 函数连续不一定函数可导 ... -
多元函数可导,连续,可微的关系
2020-06-20 02:04:28偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值(仅仅是坐标轴平行的方向),但是连续是指函数以任何方向趋近于某一定点,二元函数本身是一个平面型的,趋于某一定点是从四面八方的,而平行于坐标... -
二元函数的连续、可偏导、可微、偏导数连续之间的关系
2021-05-17 19:48:08注:多元函数的偏导数在一点连续是指, 偏导数在该点的某个邻域内存在,于是偏导数在这个邻域内有定义,而且这个偏导函数在该点连续。理解这一点,才能理解后面的充分条件。 -
多元函数的连续性,偏导数,方向导数及可微性之间的关系 (1987年)
2021-05-12 10:11:07本文全面叙述多元函数的连续性、偏导数、方向导数及可橄性之间的关系。并通过实例澄清一些模糊看法。 -
高等数学(七)- 多元函数微分学(1)【多元微分法:多元求偏导】
2020-05-21 08:14:21本节为高等数学复习笔记的第七部分,多元函数微分学,主要包括: 。 欢迎扫描二维码关注微信公众号 深度... -
函数可微,那么偏导数一定存在,且连续吗?
2021-01-14 15:31:46多元函数可微则偏导数一定存在,可微比偏导数存在要求强而偏导数连续可以退出可微,但反推不行。若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在,且均在这点连续,则该函数在这点可微。必要条件:若函数在某点可微,... -
高数笔记(十三):多元函数的极限及连续性,闭区域上多元连续函数的性质,偏导数,全微分
2022-05-02 22:35:24写在前面 当初考研时的手写笔记,不喜勿看,作为个人笔记电子档留存。 高数笔记(十二):向量及其线性运算,平面及其方程 高数笔记(十四):多元复合函数的求导法则,隐函数的偏导数,多元微分在几何上的应用 -
关于多元微分偏导数的一点感悟
2022-05-23 20:31:35其对x,y求一阶偏导本质上为从xy轴趋近,故一阶偏导数存在,其不一定连续,因连续概念为从所有方向趋近某点,其值相等。故某点一阶偏导数存在不一定保证在某点连续。 -
2020/7/25 多元函数微分学 连续-偏导存在-可微-偏导连续关系/题型1 连续性可导性可微性
2020-07-26 00:31:05复习内容 科目 内容 补充 时间 数学 第五章 多元函数微分学 第一节:重极限 连续 偏导 全微分 第二节: 偏导数与全微分的计算 第三节: 极值与最值 -
二元隐函数的二阶偏导数的计算方法
2021-02-05 03:52:20张辉 陈春梅 景慧丽摘 要:多元隐函授的求导...关键词:隐函数 偏导数 链式法则 微分法中图分类号:O13 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2020)01(b)-0222-02多元隐函数的求导问题是高等数学多元函数微分学的重要...