5.28 多元函数
聚点：去心邻域（四面八方趋近 值相等 -> 极限才存在）
二阶偏导在连续条件下与求导次序无关
二元函数的极值
必要条件：一阶偏导求驻点
充分条件：二阶偏导判存在
条件极值
拉格朗日乘数法

局限：


方程组求解困难
只是必要条件，而非充要条件
多变量情况下，需根据二阶偏导数构成的海森矩阵的正定性判断是否属于极值点

二元函数的全微分
切平面近似表示
方向导数 & 梯度
偏导数 --任意方向变化率–> 方向导数（用于搜索函数极值，找最陡的【局部最优解】）
射线的方向方程：
单位方向向量
梯度：grad f(x0, y0) 是一个向量
指示了函数变化率最大的方向
如何按梯度方向移动？
next_x = x0 + t * fx(x0, y0)
next_y = y0 + t * fy(x0, y0)
梯度下降算法
迭代关系式：
极大值迭代式：
极小值迭代式：
step 1: 初始化
m: 迭代步长 / 学习率 （选取和函数特性有关，参数）

case: gradient_descent

# 用梯度下降算法求函数最小值：L = x1 ^ 2 + 2 * x2 ^ 2

# 作图
import matplotlib.pyplot as plt

m = 0.1
x1 = 10
x2 = 3
L = x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2 # grad L = (2 * x1, 4 * x2)
times = 0
err = 1
threshold = 0.0000001
value = []

while (err > threshold and times < 10000):
    x1 = x1 - m * (2 * x1)
    x2 = x2 - m * (4 * x2)
    err = abs(x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2 - L)    # 易出错：计算前后两次迭代后函数差值的绝对值
    value.append(err)
    L = x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
    times += 1

print(x1, x2, L, times)
# 作图
plt.plot(value)
plt.show()

当有不同极值点时，可能收敛到不同值

局限性：

初值敏感，变量越多越敏感，不同初值可能收敛到不同极值点
学习率敏感，可动态改变学习率
无法完全保证取得全局最值

关于多元函数的极值和最值计算
（一）  可微函数的无条件极值
如果在区域上存在二阶连续偏导数，我们可以用下面的方法求出极值。
首先，通过解方程   得到驻点。其次，对每个驻点求出二阶偏导数：

最后利用课本定理7.8进行判断。
  函数在此点取极小值；
  函数在此点取极大值；
        函数在此点不取极值；
        不能确定。
（二）  如何求多元函数的最值
如果函数在有界闭域上连续，那么函数在有界闭域上一定存在最大值和最小值。下面介绍如何求出在有界闭域上的最值。
首先， 在的内部求出函数的驻点及偏导数不存在的点。
其次，求出函数在的边界上的最大值点和最小值点。这里分两种情况处理：
第一种情况：的边界是由显函数来表示的（包括边界是分段用显函数表示的情形），可以用消元法转化为一元函数在闭区间上的最值问题来解决。
第二种情况：的边界是由 隐函数来表示的，而且函数，在包含的区域上存在二阶连续偏导数，此时可以用拉格朗日乘数法求出驻点。
最后， 通过比较函数在我们得到的点上的函数值，就可得到在有界闭域上的最值。
 
（三）  如何求条件极值
下面介绍求函数在约束条件下的条件极值。
第一种情况：如果确定了显函数或者，可以用消元法转化为一元函数在闭区间上的极值问题来解决。
第二种情况：如果函数，在区域上存在二阶连续偏导数，而且确定了隐函数，此时可以用拉格朗日乘数法。首先，求出拉格朗日函数在区域内的驻点。然后用书中介绍的二阶全微分方法对每个驻点进行判断。
通常，在实际应用中只要求我们求出函数在约束条件下的最大值和最小值，此时只要比较函数在相应驻点处的函数值就可以了。

    
一、多元函数的极限、连续、偏导数与全微分
1.讨论二重极限
2.讨论二元函数的连续性、偏导数存在性
3.讨论二元函数的可微性
 
二、多元函数的微分法
1.求复合函数的偏导数与全微分
2.求隐函数的偏导数与全微分
 
三、极值与最值
1.无条件极值问题
2.条件极值(最值)问题
3.多元函数的最大值最小值问题
 
四、二重积分
1.计算二重积分
2.累次积分交换积分次序及计算
3.与二重积分有关的综合题
4.与二重积分有关的积分不等式问题

转载于:https://www.cnblogs.com/LUCKMOON/articles/7352175.html

[第一章——函数、极限、连续]

[第二章——导数与微分]

[第三章——微分中值定理及导数应用]

【复习多元的思路】

学习多元，需要同一元进行对照学习，主要抓住两点

一：哪些是相同点

二：哪些是不同点


本章节对应一元函数微分学中的一、二、三章


第一节	多元函数的基本概念

主要复习四个重要概念：重极限、连续、偏导数、全微分

对应着一元函数微分学中的四个重要概念：极限、连续、导数、微分

8.1.1	多元函数的极限

即重极限，对应一元函数微分学中的极限


研究多元，通常以二元为例，一元到二元通常有本质性的变化，二元到三元及以上，没有本质性的变化

自变量存在于平面上的二维空间，动点趋向于定点的方式比一元的方式复杂得多


【notes】

一元函数极限中的下述性质对多元函数仍成立

① 局部有界限

② 保号性

③ 有理运算

④ 极限与无穷小的关系

⑤ 夹逼性d

【求极限】

多元求极限时，一般先“观察”极限值（大致推测）。通常只有三种情况
为0（高阶/低阶）；

为无穷（同阶/同阶）；

极限不存在（低阶/高阶）
若极限存在，则求解；

若极限不存在，则需找出反例。
【极限存在求极限】

当极限存在时，求极限转化为证明极限存在

在极限为0的多元函数求极限题型中，证明方法为：

取绝对值，再用夹逼定理。



【证明极限举反例】



当分子分母同次时，一般极限不存在。

而证明极限不存在的方法一般是

①找不同路径上的两个极限值不同来说明

②或是存在任意一个路径上的极限不存在也可说明

8.1.2	多元函数的连续性

对应一元函数微分学中的连续性

1、连续的概念


2、连续函数的性质



定义区域区别于定义域，指的是被包含于定义域内部的所有区域

多元称定义区域，对应于一元的定义区间。



一元中为有界闭区间，对应多元的有界闭区域



对于零点定理，这里也有，因为零点定理是介值定理的一个特例，这里不谈零点定理的理由是，在一元探讨方程根的存在性时，探讨了很多，而在多元中，往往不讨论方程根的存在性，所以多元中不要求


一元连续函数的四大性质，在多元中仅要求掌握两个

【判断多元函数的连续性】



注意分段函数的分界点

8.1.3	偏导数

对应一元函数微分学中的导数

1、偏导数的定义


沿x轴方向的函数的变化率



沿y轴方向的函数的变化率
函数的偏增量与自变量的增量之比的极限，而本质上是一元函数的导数
一点上的偏导数，本质上就是一元函数的导数，故可以先代值再求导


2、二元函数偏导数的几何意义












一元函数
$y=f(x)$
曲线



二元函数
$z=f(x,y)$
曲面



牵扯到后面的曲面的切平面和法线


3、高阶偏导数


*4、求偏导数
求偏导数的一般方法为定义法，但是对于一点处的偏导数，则可以对应转化为求一元函数的导数

对于一元函数求导，一般利用基本求导公式；但当是对定点求导，用定义法一般是最好的选择

使用定义法的情况一般是：

函数表现为商的形式（传统的商的法则较复杂）

定点为x=0这一点（在定义中表现为分母是x-0）

在0点的函数值为0（保证分子在形式上仍是一项）



在多元中，也可使用这样的思想

8.1.4	全微分

对应一元函数微分学中的微分



【可微与可导的关系】










一元函数
可微是可导的充分必要条件


二元函数
可微是可导的必要条件


【可微的充分条件】

对于一元函数，可微与可导等价



对于二元函数，只有可微$\to$可导





【可微的充分条件】



偏导数存在，不能推出可微；

而偏导数连续，可推出可微。

因为偏导数连续，意味着偏导数在 $(x_0,y_0)$ 处存在，同时在 $(x_0,y_0)$ 处也可导，对应于一元中的一点处导函数连续 ，故可推出可微，而且由于该条件过强，导致可微反过来不可推偏导数连续。

即，偏导数连续是可微的充分条件

【总结】

关于多元函数可微性的判定

1、我们有可微的必要条件（偏导数存在），即可微的函数偏导数存在。

如果两个偏导数有一个不存在，那么肯定不可微；

但是两个偏导数都存在不能判定可微。

2、我们有可微的充分条件（偏导数连续），即两个偏导数连续，一定可微。
然而必要条件太弱，充分条件太强，最好的是有一个充要条件，可大学教材始终没有给出一个可微的充要条件，所以在没有充要条件的情况下，定义就是充要条件，特别是分段函数在分界点是否可微，往往用定义来判定
以上就是关于可微性的概念和全微分的判定
8.1.5	连续、可导、可微之间的关系
在多元函数微分学中，主要是围绕着 “连续、偏导数、全微分” 三者之间的概念与关系

【一元可导可推连续】

由导数定义可知，动点可取遍定点 $x_0$ 邻域内的所有点，所以一元函数的导数与 $x_0$ 及其邻域内的函数值都有关系，能完全反应该点处的变化率；

而多元函数偏导数存在，只能说明多元函数的变化率与其x轴y轴方向上的函数值有关，这两条线决定不了这一点处的重极限，也决定不了这一点的可微性
【可偏导不能推连续和可微】

二元函数在一点连续要求二元函数在该点的重极限等于该点的函数值，即要求动点 $(x,y)$ 以任意方向趋向于 $(x_0,y_0)$ 极限都要存在，并且要等于 $(x_0,y_0)$ 处的函数值，而有限的偏导数（x方向与y方向）不能决定任意方向的极限都存在，

所以偏导数存在不能决定多元函数的连续性，更不能决定多元函数可微性
【总结】

本节主要说明了

1、连续

2、偏导数

3、全微分

主要讲了这三个概念，

以及如何用这些概念去判定连续性、可导性、可微性

还有，就是这三大概念之间的关系，与一元函数三大概念的关系的异同点
8.1.6	常考题型与典型例题
连续、偏导数、全微分的概念及其之间的关系
【真】



求偏导数也可先代值，再求导




考察用用定义判定分段函数在分段点上连续性可导性

第二节	多元函数的微分法
一元函数求导的花样比较多，如复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导、对数求导法、高阶求导等

多元函数微分法主要考点比较单一，主要是复合函数微分、隐函数微分
8.2.1	复合函数的微分法
对于一元


对于多元


notes：

一元是内外层都可导；

多元是内层可导，外层偏导数存在连续

在多元中，可导（指的是偏导）是一个比较弱的条件，不能推出可微，甚至不能推连续，所以对于多元函数复合函数微分法的条件，需要加强外层条件，即需要外层偏导数存在且连续

【全微分形式的不变性】






8.2.2	隐函数的微分法
即隐函数求导法，需要了解隐函数存在定理
1）二元方程确定一元函数
二元方程在一定条件下可以确定一元函数



可以确定的条件：



如果是对x的偏导非零，则上式分子分母调换
1）三元方程确定二元函数
三元方程在一定条件下可以确定二元函数，

那么在什么条件下可以确定？

【隐函数存在定理】



注意核心条件：三元方程在该点处对z的偏导不为零，则可确定z是x、y的函数

对于三元方程，首先要确定谁是另外两个的函数，主要取决于三元方程在该点处对其变量的偏导不为零

【隐函数求导的方法】

隐函数求导有三种方法
8.2.3	常考题型与典型例题
考察复合函数及隐函数的偏导数及全微分的计算

与一元不同的是，一元只有一个自变量，其函数关系比较简单；

而多元由于变量的个数多，导致函数关系复杂一点，也就是写起来啰嗦一点，但是考题花样比较少，所以掌握原理即可，不可能丢分
题型一	复合函数的偏导数与全微分
【真】





求二原函数定点的偏导数，常转换为对应一元函数求导，即先代入后求解，见解2



【真】



【真】



先带后求

题型二	隐函数的偏导数与全微分
隐函数求微分的方法有两个：

① 两边分别微分

② 单独求 $z_x(x_0,y_0)$ 和 $z_y(x_0,y_0)$
【真】



第三节	多元函数的极值与最值

一元函数微分学中，有微分中值定理以及倒数的应用；

而在多元函数微分学中，没有微分中值定理



在一元中，有了微分中值定理，可以用导数研究极限，从而有了洛必达；

而在多元中，研究极限没有洛必达



在一元中，导数可以研究函数的单调性；

而多元中，函数就没有定义过单调性，这个问题就没有



一元可以用导数来研究函数的极值和最值，多元也有这个问题

一元可以研究函数曲线的凹凸性，多元因为研究的是曲面，在考研阶段不做研究

8.3.1	无约束极限
对应一元函数那里的极值，之所以叫做无约束，是因为相对于条件极值（有约束）而言的
三个知识点：定义、必要条件、充分条件
【定义】



【必要条件】



二元函数的极值点只可能在驻点取到

两个一阶偏导数为零是函数取得极值的必要条件


驻点：两个一阶偏导数均为零

极值点：偏导数不存在的点也可能是极值点

[一般情况下，极值点和驻点没有关系]

极值点不一定是驻点

在可导的条件下，极值点才是驻点（驻点要求可导）

驻点不一定极值点

如：xy在(0,0)处偏导数为零，为驻点，而在(0,0)的邻域内始终有正有负，故不是极值点

[一定条件下，极值点与驻点有关系]

在f(x,y)可导的前提下，极值点可推（是）驻点，但驻点仍不可推（是）极值点




[总结]

一元函数极值点只可能在两个地方取到：

① 驻点

② 一阶导不存在的点




二元函数极值点只可能在两种地方取到：

① 驻点

② 偏导数至少有一个不存在的点（与一元函数完全对应）



所以说，在多元函数中，若函数是一个可导函数，那么极值点只可能在驻点取了（可导函数没有偏导数不存在的点）



【充分条件】

上述的必要条件只能说明可能取到，但是具体是否能取到，还需要充分条件的判定




一元函数中，有两个充分条件

多元函数中，只有一个充分条件



前面在极值的必要条件说到，多元函数去取极值点有两种可能。而上面的充分条件只能用来判断第一种可能，也就是二元函数可导的情况下可用；

对于第二种可能，即至少有一个偏导数不存在时，便不再适用。

此时的解决方案是用定义作判定
8.3.2	条件极值及拉格朗日乘数法

什么叫条件极值，我们过去在求一个函数的极值，是在其定义域中，而条件极值，是在定义域中，对(x,y)增加了一个约束条件，即在这个条件下，求函数的极值



【拉格朗日乘数法】

一个约束条件



两个约束条件




拉格朗日乘数法的意义是：把条件极值的必要条件问题，转化为拉格朗日函数 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \namuta at position 7: F(x,y,\̲n̲a̲m̲u̲t̲a̲)这个三元函数无约束条件极值的必要条件




解出的点 $(x_0,y_0)$ 只是可能取得极值的点，对于该点是否能够取得极值，还需进一步判断。

而且因为没有充分条件，所以不能进一步判断是否就是极值点，故这里出题一般都不会出理论题，而是出实际性的应用题，通过应用题的背景来判断是否是极值点
8.3.3	最大最小值
【理论】


求一个一元函数在一个有限闭区间的最大最小值（三部曲）

s1：求出内部可能取的极值点

s2：算出内部的极值点处的函数值以及边界上的函数值

s3：比较
求一个二元函数在一个有限闭区域的最大最小值（三部曲）

s1：求 $f(x,y)$ 在 $D$ 内部可能的极值点（如果是可导函数，那就是在驻点上取；如果是一些一阶偏导数不存在的点，也可能取到）

s2：求 $f(x,y)$ 在 $D$ 的边界上的最大最小值。（算出内部的极值点处的函数值以及边界上的函数值（一元的边界就两个点；多元的边界是无数个点，实际上只要找最大最小即可））（实际上，求边界上的最大最小值，其实就是条件最值，用拉格朗日乘数法）

s3：比较
区别在于，二元函数在求边界上的函数值稍微麻烦一点，其他都一样
【应 用】



主要是建立目标函数
8.3.4	常考题型方法与技巧
题型一	求极值（无条件）
题型二	求最大最小值
【真】



这里的方程没有固定形式，但是有着固定思想，那就是消元，始终急着，待求变量仅为 $x,y,z$

题型三	最大最小值的应用题